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专项 03 空间向量与立体几何
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【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测
【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式
【实战刷题·冲高分】精选高考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分
根据近五年全国卷考情，空间位置关系、空间角或空间距离以及空间向量是必考主干，分值约15-27分．
命题趋势：
解答题：稳定考查空间位置关系的证明、空间向量法求解空间角或空间距离（常为第16至18题），核
心是利用空间向量解决空间角与空间距离问题以及空间位置关系的证明等综合问题．
2026年预测：解答题极可能仍为立体几何常规题，考查两平面夹角（二面角）或线面角的可能性较大．
备考核心：熟记空间角与空间距离公式，解答题注意强化空间向量法及空间位置有关系的几何证明的
综合训练，提升运算的准确率，小题注意几何法的灵活应用．
题型01 空间几何中的线面角
析典例 · 建模型
1．（2026·四川成都·二模）如图，在三棱柱 中， ，
.(1)证明：直线 平面ABC．
(2)设P是棱 的中点，求AC与平面 所成角的正弦值．
2．（2026·福建福州·模拟预测）如图，在四棱锥 中， 平面PAD， ．
(1)证明： 平面ABCD；
(2)若底面ABCD是正方形， ，E为PB中点，点F在棱PD上，且异面直线AF与PB所成
的角为60°．
（ⅰ）求 的长度；
（ⅱ）平面AEF交PC于点G，点M在线段PB上，求EG与平面 所成角的正弦值的取值范围．研考点 · 通技法
1．垂线法求线面角（也称直接法）：先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一
点A，过点A向平面 做垂线，确定垂足O；连结斜足与垂足为斜线AB在面 上的投影；投影BO与
斜线AB之间的夹角为线面角；把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理
或者直角三角形）．
2．公式法求线面角（也称等体积法）：用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三
h
角形的正弦公式进行求解．公式为：sinθ= ，其中θ是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，l是斜
l
线段的长．
3．向量法求线面角：设 是直线 的方向向量， 是平面 的法向量，直线与平面的夹角为 .则
．
破类题 · 提能力
1．（25-26高三下·重庆渝中·月考）已知圆锥的顶点为 ，底面圆 的半径为2，体积为 ．(1)求圆锥的表面积；
(2)如图，设 、 是底面圆的半径且 是等腰直角三角形， 为线段 的中点，求直线
与平面 所成的角的正弦值．
2．（25-26高三上·安徽淮北·期末）如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， ， 是
分别以 为斜边的等腰直角三角形， 是棱 上的动点.
(1)证明： ；
(2)若 与平面 所成角的大小为 ，求 的值.题型02 空间几何中两平面的夹角
析典例 · 建模型
1．（2026·山东菏泽·一模）如图，在直三棱柱 中，M、P分别为 ， 的中点，点Q在
上，且 .
(1)求证： 平面 ；
(2)若 ， ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
研考点 · 通技法
向量法求 两平面夹角 ：若 分别为平面 的法向量， 为平面 的夹角，则
，注意两平面夹角的范围是 到 .破类题 · 提能力
1．（2026·河北承德·一模）已知三棱锥P-ABC中， ， ，D为AC中点，M为BD
中点，平面 平面ABC，点P到平面ABC的距离为2．
(1)证明： ；
(2)若 ，求平面APB与平面CPB夹角的余弦值．
2．（2026·四川宜宾·一模）在四棱锥 中，四边形 为矩形， 为锐角三角形，
， ， ， 为棱 的中点，平面 与平面 的交线为 ，直
线 与 相交于点 ．
(1)求线段 长度的最小值；
(2)若异面直线 与 所成角为 ．
（ⅰ）求平面 与平面 夹角的余弦值；
（ⅱ）求三棱锥 的外接球的表面积．题型03 空间几何中的二面角
析典例 · 建模型
1．（25-26高三上·安徽六安·期末）如图，直四棱柱 底面 为菱形， ，
， ，点 为棱 上靠近 的三等分点，点 在 上且 ，过点
M、N、C的平面与直线 交于点 .
(1)求证： ；
(2)若 ，求三棱锥 的外接球的表面积；
(3)若二面角 的余弦值为 ，求 的值.
研考点 · 通技法
1．几何法求二面角
（1）定义法（棱上一点双垂线法）：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂
直于棱的射线．
（2）三垂线法（面上一点双垂线法）：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱
作垂线得到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的
平面角．
（3）垂面法（空间一点垂面法）：过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角．
（4）射影面积法：已知平面 β 内一个多边形的面积为S，它在平面α 内的射影图形的面积为 S
射影
，
S
平面α 和平面 β 所成的二面角的大小为 θ ，则COSθ= 射影.这个方法对于无棱二面角的求解很简便．
S
2．向量法求二面角：若 分别为平面 的法向量， 为平面 所成二面角的平面角，则
．.二面角的范围是0到180.
破类题 · 提能力
1．（2026·辽宁辽阳·一模）在三棱锥 中， 和 均为等边三角形， ，点 为线
段 的中点．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若直线 与 所成角的余弦值为 时，求二面角 的余弦值．
2．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）如图，在等腰梯形 中， ， ，
是 的中点.现将 沿 翻折，点 翻折到点 的位置，使得二面角 的大小为 .(1)求证： ；
(2)若点 为 的重心，求平面 与平面 所成二面角的正弦值.
题型04 空间距离问题
析典例 · 建模型
1．（25-26高三上·山东淄博·期末）如图所示，四边形 为平行四边形，四边形 为直角梯形，
， ，平面 平面ABEF.
(1)若 为DF的中点，证明： 平面ACP；
(2)若 ，直线AC与平面DEF所成角的正弦值为 ，求点 到EF
的距离.
2．（25-26高三下·浙江杭州·月考）如图，已知在四棱锥 中，．
(1)证明： ；
(2)若直线 与平面 所成角为 ，其中 的中点是 的中点是 ，求点 到平面
的距离．
研考点 · 通技法
1．几何法求距离
（1）求点线距一般要作出这个“距离”，然后利用直角三角形求解，或利用等面积法求解.
（2）求点面距时，若能够确定过点与平面垂直的直线，即作出这个“距离”，可根据条件求解，若不
易作出点面距，可借助于等体积法求解.
2．向量法求距离
(1)点线距：如图，先求出直线l的单位法向量n ，再求向量⃗PA在法向量n 方向上的投影向量的长度｜
0 0
⃗PA·n｜即可.
0
(2)点面距：若点P是直线l外一点，l 是直线l的单位方向向量，点A是直线l上任意一点，则点P到直
0
线l的距离为d＝❑√｜⃗PA｜2-|⃗PA·l ｜2.
0
2.点到平面的距离点P到平面α的距离，等于点P与平面α内任意一点A连线所得向量⃗PA，在平面α的单位法向量n 方
0
向上所作投影向量的长度，即d＝｜⃗PA·n｜.
0
破类题 · 提能力
1．（24-25高三上·天津·月考）如图，四棱锥 的底面 是正方形， 平面 ，
，点 ， 分别是棱 ， 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值；
(3)求 到直线 的距离；
2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在四棱锥 中，底面ABCD为菱形， ， 分别为CD，
PA的中点.(1)证明： 平面PBC；
(2)若平面 平面ABCD， ， ， ，平面PAE与平面PAB夹角的余弦值为
，求点 到平面PBC的距离.
题型05 空间几何中的折叠问题
析典例 · 建模型
1．（25-26高三上·广西河池·期末）如图，等腰梯形 中， ， ， ，
， ，现将 沿 折起得四棱锥 ，在四棱锥 中，点 ，
分别在 ， 上，且 .(1)求证： 平面 ；
(2)若二面角 为 ，求直线 与平面 所成角的余弦值.
研考点 · 通技法
1.概念：将平面图形沿某直线翻折成立体图形，再对折叠后的立体图形的线面位置关系和某几何量进行
论证和计算，就是折叠问题.
2. 折叠问题分析求解原则：
（1）折叠问题的探究须充分利用不变量和不变关系；
（2）折叠前后始终位于折线的同侧的几何量和位置关系保持不变
3 将空间图形按一定要求展开就成为平面问题，当涉及几何体表面上两点间的距离问题时，通常需要将
空间图形展开转化为平面问题进行研究.
破类题 · 提能力
1．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，直角梯形 中， 为
的中点，以 为折痕把 折起，使点 到点 的位置，且 ．
(1)设平面 与平面 的交线为 ，证明： ；
(2)证明： 平面 ；
(3)求二面角 的余弦值．2．（2026·安徽黄山·一模）如图，在直角梯形 中， ， ， ， 为 中点，
将 沿 折起，使 到 处．
(1)求证： 平面 ；
(2)若平面 平面 ， ， ， ，且二面角
的正弦值为 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求四棱锥 外接球的表面积．
题型06 空间几何中的动点问题
析典例 · 建模型1．（2026·山东东营·一模） 如图，在三棱锥 中，平面 ⊥平面 ，
， 分别为棱 上的点.
(1)若 ∥ ， ∥ ，证明: ∥ ；
(2)若 分别为棱 的中点，在棱 上是否存在点G，使得平面 与平面 所成角为 ?
若存在，求 的值；若不存在，请说明理由.
研考点 · 通技法
在解决探索性问题中点的存在性时，经常需要设出点的坐标，而（x，y，z）可表示空间中的任一点，
使用三个变量设点需要列三个方程，导致运算量增大.为了减少变量数量，用以下设法.
1.直线（一维）上的点：用一个变量可以表示出所求点的坐标；依据：根据平面向量共线定理——若
⃗a//⃗b⟹ ∃λ∈R，使得 ⃗a=⃗λb.
2.平面（二维）上的点：用两个变量可以表示出所求点的坐标.
3.依据：平面向量基本定理,若⃗a, ⃗b不共线，则平面上任意一个向量⃗c，均存在x，y R，使得
⃗c=x⃗a+ y⃗b.
∈
破类题 · 提能力
1．（25-26高三下·四川成都·开学考试）已知四棱锥 中， 底面 ，在四边形中 ，
满足 ， ， ， ．(1)求证：平面 平面 ；
(2)设 ，若线段 上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理
由．
2．（25-26高三下·贵州黔东南·开学考试）如图，在三棱柱 中， ， ，
．
(1)证明： ；
(2)若 ， ，在线段 上是否存在点P，使得二面角 的余弦值为 ？
若存在，求 的值；若不存在，请说明理由．（建议用时：80分钟）
刷模拟
1．（25-26高三上·广东深圳·月考）如图，在三棱锥 中， 平面PAB，平面 平面ABC，
点D，E分别为棱AB，AC的中点， .
(1)证明： 平面ABC；
(2)点 关于平面PDE的对称点为 ，求直线MB与平面PCD所成角的正弦值.
2．（25-26高三下·山东·月考）如图，在多面体 中，平面 平面 ，四边形 为
直角梯形，四边形 为平行四边形， ．
(1)证明： ；(2)若点 是 中点，求点 到平面 的距离．
3．（2026·湖南长沙·三模）如图，在三棱锥 中，平面 平面 是边长为2的等边三
角形， ．
(1)证明： ；
(2)若线段 上的点 满足直线 与直线 所成角的余弦值为 ，求点 到直线 的距离．
4．（2026·山东枣庄·一模）如图，已知四棱台 的上底面是边长为2的正方形，
， 底面 ，点 ， 分别在棱 ， 上．(1)若 ，求证：点 是棱 的中点；
(2)若三棱锥 的体积是 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
5．（2026·陕西咸阳·二模）如图，在直三棱柱 中 ， ， ， ， 分别是
棱 ， ， 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)若平面 与平面 夹角的余弦值为 ，求 的长．
6．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）如图， 、 、 为圆台 下底面圆周上三点， 为直径且
为上底面圆周上一点， 、 分别为线段 、 的中点，且满足： ，平面
平面 .(1)求证： 平面 ；
(2)若 ，满足要求的点 有且只有一个，设三棱锥 外接球半径为 ，圆台的高为 .
（i）求 ；
（ii 为上底面圆周上一动点，当平面 与平面 夹角为 时，求点 到平面 的距离.
7．（25-26高三上·宁夏·月考）如图1，在直角梯形 中，已知 ， ，将
沿 翻折，使平面 平面 .如图2， 的中点为O.
(1)求证： 平面BCD；
(2)若AD的中点为G，在线段AC上是否存在点H，使得平面GHB与平面BCD夹角的余弦值为 ？
若存在，求出点 的位置；若不存在，请说明理由.
8．（2026·广东汕头·模拟预测）如图．四棱锥 的底面为正方形，平面 平面ABCD，．设E为CP的中点．
(1)求平面PAB与平面ABE夹角的正切值；
(2)设F为线段PB上一点（含端点），求CF与平面ABE所成角的正弦值的范围；
(3)直接写出四棱锥 的外接球表面积与体积（无需证明）．
9．（25-26高三上·山东青岛·期中）用一个平面截圆锥，若圆锥的轴与该平面所成角大于圆锥轴截面的半
顶角时，所得截口曲线是椭圆.在直角三角形 中， ， ， ，点 在线段
上， 为 的平分线，直线 与平面 垂直，垂足为 .点 ， ，记点 的轨迹
为曲线 .
(1)说明：曲线 为椭圆；
(2)建立适当坐标系，求曲线 的方程；
(3)当四面体 体积最大时，求平面 与平面 夹角的大小.10．（25-26高三下·重庆·月考）球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O的半
径为 ，A，B，C为球面上三点，劣弧BC的弧长记为a．设 表示以O为圆心，过B，C的圆，同
理，圆 ， 的劣弧AC，AB的弧长分别记为b，c，球面ABC（阴影部分）叫做球面三角形．
(1)若平面OAB、平面OAC、平面OBC两两垂直，求球面三角形ABC的面积（直接写出答案，无需证
明）；
(2)若平面三角形ABC为直角三角形， ，设 ，则：
（i）求证： ；
（ii）延长 与球O交于点D，若直线 ， 与平面 所成的角分别为 ， ，
，S为 的中点，T为 的中点，设平面 与平面 的夹角为 ，若 ，求
平面 截球O的面积的最大值．刷真题
1．（2025·全国一卷·高考真题）如图,在四棱锥 中， 底面 ， ．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)设 ，且点 ， ， ， 均在球 的球面上．
（i）证明：点 在平面 内；
（ⅱ）求直线 与 所成角的余弦值．
2．（2025·全国二卷·高考真题）如图，在四边形 中， ，F为CD的中点，点E
在AB上， ， .将四边形 沿 翻折至四边形 ，使得面
与面EFCB所成的二面角为 ．(1)证明： 平面 ；
(2)求面 与面 所成的二面角的正弦值．
3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，四棱锥 中， 底面ABCD， ，
．
(1)若 ，证明： 平面 ；
(2)若 ，且二面角 的正弦值为 ，求 ．
4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，平面四边形ABCD中， ， ， ，
， ，点E，F满足 ， ，将 沿EF翻折至 ，
使得 ．(1)证明： ；
(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．
5．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，在正四棱柱 中， ．点
分别在棱 , 上， ．
(1)证明： ；
(2)点 在棱 上，当二面角 为 时，求 ．6．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，三棱锥 中， ， ，
，E为BC的中点．
(1)证明： ；
(2)点F满足 ，求二面角 的正弦值．
7．（2023·全国乙卷·高考真题）如图，在三棱锥 中， ， ， ，
，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O， ，点F在AC上， .
(1)证明： 平面 ；
(2)证明：平面 平面BEF；
(3)求二面角 的正弦值.
