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专题 隐圆与阿氏圆
近三年：
1、隐圆问题是解析几何与平面向量中的重要考查形式，在选择题，填空题和解答题中亦常出现，考查内
容、频率、题型灵活，难度中等及以上，核心是挖掘题目中的隐藏条件，构建出圆的方程。
2、从近几年高考命题来看，隐圆问题常作为综合题的突破口，其本身很少直接以“求圆的方程”为题目
设问，而是作为已知条件或解题的关键步骤，融入到动点轨迹、最值问题、范围问题中。 隐圆内容常通
过向量、斜率、几何性质、复数等多种形式进行考查，解题的关键在于识别出题目中满足圆定义的几何条
件，并转化为代数方程。
预测2026 年：
隐圆问题将继续作为高考数学中的一项重要能力和热点，命题形式将更加灵活与隐蔽。它可能继续与向量
（如数量积定值）、斜率（如夹角定值）、距离（如到定点距离为定值或到两定点距离平方和为定值）、
平面几何性质（如直径所对圆周角为直角）及最值问题深度结合。考生需熟练掌握常见的隐圆模型，提升
从复杂条件中抽象出圆模型的能力。
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题型01 从圆的定义及性质得隐圆
解｜题｜策｜略
1.到定点距离为定值：圆的定义。
2.直径所对圆周角为直角：若动点P 满足PA⊥PB（A, B 为定点），则P 点的轨迹是以AB 为直径的圆
（剔除A, B 两点）。
3.到两定点距离平方和为定值：若动点P 满足PA² + PB² = k（定值），则P 点轨迹是以AB 中点为中心的
一个圆。
1．（2025·安徽合肥·模拟预测）长度为2 的线段AB 的两个端点分别在x 轴及y 轴上运动，则线段AB 的中
点到直线
距离的最大值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．3
【答案】D
【知识点】轨迹问题——圆、求点到直线的距离、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）
【分析】确定
的中点的轨迹方程为圆，结合圆心到直线的距离即可求解.
【详解】设
，
由题意可得：
，
设
的中点坐标为
，则
，
所以
，即线段
的中点的轨迹是以
为圆心，1 为半径的圆，
圆心
到
的距离为：
，
所以线段
的中点到直线
距离的最大值为
，
故选：D
2．（多选）（2025·广西·三模）在平面直角坐标系
中，曲线
上任意一点到点
的距离等于1，
若直线
与曲线
交于不同的两点
，
，则（ ）
A．当
时，
B．线段
中点的轨迹长度为
C．
的取值范围为
D．
【答案】ABD
【知识点】用定义求向量的数量积、轨迹问题——圆、由直线与圆的位置关系求参数
【分析】求圆心
到直线
的距离，运算求解即可判断A；分析可知点M 的轨迹是以OC 为直
径的圆圆C 内部部分，即可判断B；根据数量积可得
，进而可判断C；分析可得
，即可判断D．
【详解】由题意，曲线
为圆
，如图：
对于选项A，圆
的圆心坐标为
，半径为
，
若直线
，圆心C 到直线的距离为
，
则
，故A 正确；
对于选项B，如图线段
中点M 满足
，
所以M 的轨迹是以OC 为直径的圆圆C 内部部分，
所以线段
中点的轨迹长度为
，故B 正确；
对于选项C，
，因为点A，B 不重合，所以
，故C 错
误；
对于选项D，
，
故D 正确.
故选：ABD
3．（2025·湖北·二模）在长方体
中，
，点
是平面
内的动点，
且
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】空间垂直的转化、定点到圆上点的最值（范围）、立体几何中的轨迹问题
【分析】先确定点
所在的截面圆，通过面面垂直找到球心到截面的距离，进而求出截面圆半径，再结合
点
与截面圆的位置关系求出
的最大值.
【详解】如图，连接AC，由
，得
，
由
可知
点在以AC 的中点
为球心，
为半径的球面上．
而
又在平面
内，故
为平面
与球
的截面圆上的动点.
取CD 的中点E，AB 的中点
的中点
，连接
，
则由长方体的性质得
平面
且三角形
为直角三角形，
而
平面
，所以平面
平面EFG，
作
于
，因平面
平面
，
平面
，故
平面
，故
为截面圆的圆心.
又
，
故截面圆的半径为
，
即点
在以
为圆心，
为半径的圆上，
而
既在球面上，又在平面
内，故
在截面圆上，
故
的最大值即为截面圆的直径
，则
的最大值为
．
故选：D．
4．（2025·辽宁锦州·二模）设直线
与x 轴交于点A，圆
，过l 上一点P 作圆O 的两
条切线
，
，C，D 为切点，
中点为M，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、轨迹问题——圆、由直线与圆的位置关系求参数
【分析】根据题意，求出
方程，根据
，求出
的运动轨迹为
为圆心，
为半径的圆，
进而得到圆外点到圆上点距离的最大值，最小值得到答案.
【详解】
因为直线
与x 轴交于点A，所以
，
因为
为上一点，所以
，
设
，
，
则
，得直线
的方程为
，故
同理得
的方程为
，
，
故直线
的方程为
，
因为
为
中点，所以
，
所以
方程为
，即
，
联立
，
消得
，
所以
为
为圆心，
为半径的圆，
其中点
到圆心
的距离为
，
所以
，
，
所以
的取值范围是
，
故选：A.
5．（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系
中，已知圆
，点
，
若圆
上存在点
，满足
，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】轨迹问题——圆、由圆的位置关系确定参数或范围
【分析】设点
坐标，然后表示出
和
，建立方程后得到点
的轨迹方程，由两个圆存在公共点，
得到圆与圆的位置关系，从而得到圆心距和半径的关系，求出的取值范围.
【详解】设
，则
，
.
因为
，所以
，
即
，所以点
的轨迹是以
为圆心，以1 为半径的圆
.
又因为点
在圆
上，所以圆
与圆
有公共点，所以
，
即
，解得
.
故选：B.
题型02 从直线斜率关系得隐圆
解｜题｜策｜略
斜率乘积为-1：与两定点连线斜率之积为-1 的点的轨迹为是圆（注意斜率不存在的情况）
1．（2025·河南信阳·模拟预测）若直线
，
，设与
的交点为P，
O 为坐标原点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】轨迹问题——圆、直线过定点问题、定点到圆上点的最值（范围）
【分析】根据直线的交点，再结合两点距离公式列式应用值域求解范围.
【详解】直线
，过定点
,
，过定点
,
因为
，所以与
垂直，
所以与
的交点P 的轨迹是以
为圆心，以
为半径的圆，
因为
，
所以
，
所以
.
故选：C.
2．（2025·湖北·三模）已知直线
与
相交于点P，点Q 在圆
上，则（ ）．
A．
有最大值
B．
有最大值
C．
有最小值
D．
有最小值
【答案】A
【知识点】轨迹问题——圆、判断圆与圆的位置关系
【分析】先求出两直线所过的定点，进而确定交点
的位置，再结合圆的性质求出
的最值.
【详解】对于直线
，可变形为
.
令
，解得
，所以直线恒过定点
.
对于直线
，可变形为
.
令
，解得
，所以直线
恒过定点
.
因为
，所以
，已知
，
，则中点坐标为
.
，所以半径
.
则点
的轨迹是以AB 为直径的圆的一部分，故点P 的轨迹为
，
已知圆
的圆心
，半径
，则圆心
与点
轨迹圆的圆心
的距离为
.
的最大值为圆心加上两圆半径，即
.
由于轨迹不包含点
，故不存在最小值.
故选：A．
3．（2025·河北·模拟预测）已知直线
，直线
，若与
的交点为
，且
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．
C．3
D．
【答案】A
【知识点】轨迹问题——圆、直线过定点问题、定点到圆上点的最值（范围）
【分析】通过直线方程求出两条直线所过的定点，再根据两直线垂直的条件判断两直线垂直，进而确定点
的轨迹，最后结合点
的位置求出
的最小值.
【详解】可变形为
由
可得
，则恒过定点
，
同理可得
恒过定点
，且有
，则
，
此时
的轨迹是以
为直径的圆：
（除去点
）．
因
，由图知，当点
在线段
上时，
的值最小，其最小值为
.
故选：A．
4．（2025·贵州黔东南·一模）设直线：
，
：
．若存在定圆Q，使得这两条直线与圆Q 都相切，则圆Q 上一点到点
的距离的最大值为（ ）
A．2
B．
C．3
D．
【答案】B
【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、定点到圆上点的最值（范围）、求点到直线的距离
【分析】先化简直线和
的方程，表示出点
到直线的距离以及点
到直线
的距离，结合点
为定点，
且
，即可得到定圆Q 的圆心为
，半径为1，进而求解即可.
【详解】由：
，
得
，
由
：
，
得
，
设
，则点
到直线的距离为
，
点
到直线
的距离为
，
要使点
为定点，且
，则
，
即
，此时定圆Q 的圆心为
，半径为1，
所以圆Q 上一点到点
的距离的最大值为
.
故选：B.
题型03 从向量关系得隐圆
解｜题｜策｜略
1.向量的数量积为定值：若A ,B为定点，且PA
→
⋅PB
→
= λ,则P的轨迹为圆
2.向量平方和为定值：若A ，B为定点，P 满足P A
2+ P B
2= λ,则P 的轨迹为圆
3.向量模长为定值：利用向量的几何性质，向量模长或者加减运算后模长为定值，可以构造圆，建系解
决问题。
1．（2025·湖南益阳·模拟预测）在
中，
为
的中点，
为平面
内一点，且
，则（ ）
A．
的最大值为
B．
的最大值为
C．
的最大值为
D．
的最大值为
【答案】A
【知识点】向量与几何最值、定点到圆上点的最值（范围）、数量积的坐标表示
【分析】以
为坐标原点，
，
所在直线为
轴，建立平面直角坐标系，
为以
为圆心，
半径为
圆上一点，根据向量运算的几何意义逐选项判断即可.
【详解】
以
为坐标原点，
，
所在直线为
轴，建立平面直角坐标系，
所以
，设
，
所以
，
因为
，
所以
，即
，即
，
所以
为以
为圆心，半径为
圆上一点，
对于A，
，所以
，几何意义为
到原点的距离，
所以
的最大值为
到原点的距离的最大值，
最大值为原点到圆心
距离加上半径，即
，故A 正确；
对于B，
，
，几何意义为
到
的距离，
所以
的最大值为
到
的距离的最大值，
最大值为
到圆心
距离加上半径，即
，故B 错误；
对于C，
，令
，即
，
即
，当
与圆相切时有最值，即
，
解得
，所以
的最大值为，即
的最大值为5，故C 错误；
对于D，
，因为
为以
为圆心，半径为
圆上一点，
所以
的最大值为
，所以
的最大值为
，故D 错误，
故选：A.
2．（2025·云南昆明·模拟预测）已知
，
是单位向量，
，
的夹角为
，若向量满足
，
则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】向量模的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示、定点到圆上点的最值（范围）
【分析】在平面直角坐标系内，利用向量的坐标表示及运算，结合向量模的坐标表示求出的终点的轨迹，
进而求出最大值.
【详解】
，且
，
的夹角为
，
在平面直角坐标系中，令
，设
，
则
，由
，得
，
因此点
的轨迹是以
为圆心，以为半径的圆，
所以
的最大值为
.
故选：D
3．（2025·海南·模拟预测）已知点
，若圆
上存在点
满足
，则实数
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】轨迹问题——圆、由圆的位置关系确定参数或范围
【分析】由题意可知，圆心
，半径
，则
，
，其
中
为坐标原点，可得
，可知点
的轨迹为以
圆心，半径
的圆，设为圆
，由题意
可知：圆
与圆
有公共点，则
，求实数
的最大值．
【详解】由题意可知：圆
的圆心
，半径
，
则
，
，其中
为坐标原点，
可得
，
则
，可知点
的轨迹为以
圆心，半径
的圆，
设为圆
，由题意可知：圆
与圆
有公共点，
则
，即
，
解得
，
所以实数
的最大值为
．
故选：A．
4．（多选）（2025·湖北武汉·三模）已知圆
，直线与圆
交于
，
两点，
点
为圆
上异于
，
的任意一点，若
，
，则（ ）
A．
B．
面积的最大值为
C．直线的方程为
D．满足到直线的距离为
的点
有且仅有3 个
【答案】BD
【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、由直线与圆的位置关系求参数、圆内接三角形的
面积
【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式求解判断A；利用圆的性质求出面积最大值判断B；求出直线
方程判断C；利用直线与圆的位置关系判断D.
【详解】对于A，依题意，
，
则
，而
，解得
，A 错误；
对于B，
，圆心
到直线
距离
，
因此点
到直线
距离的最大值为
，
面积的最大值为
，B 正确；
对于C，由
，得
，直线的斜率
，
设直线的方程为
，则
，解得
，由
，
得
，即
，因此
，直线的方程为
，C 错误；
对于D，由圆
半径为
，圆心
到直线
距离为
，
得圆
上到直线
距离为
的点有且仅有3 个，因此符合条件的点
有且仅有3 个，D 正确.
故选：BD
5．（2025·北京·模拟预测）已知平面向量
满足
且
，
则
的最大值为 .
【答案】
【知识点】数量积的运算律、轨迹问题——圆、数量积的坐标表示、求点到直线的距离
【分析】先根据已知条件求出向量
与
的夹角，再通过建立平面直角坐标系，将向量坐标化，然后根据
得到点
的轨迹方程，最后根据向量数量积的坐标运算求出
的最大值.涉及的知识点
有向量的数量积公式、向量夹角公式、向量数量积的坐标运算以及圆的方程.
【详解】设向量
与
的夹角为
，
.根据向量数量积公式，
已知
，
，
，可得：
解得
，所以
.
不妨设
，
，
.
，
.
因为
，所以
.
展开可得
，配方得
.
这表明点
的轨迹是以
为圆心，
为半径的圆.
.设
，即
.
根据点到直线的距离公式，圆心
到直线
的距离
.
因为点
在圆上，所以圆心到直线的距离
（为圆的半径），即
.
则
，即
.
解不等式可得
.
所以
的最大值为
，即
的最大值为
.
故答案为：
.
题型04 从复数得隐圆
解｜题｜策｜略
利用复数的几何意义，以及复数模、辐角的几何含义，将代数条件转化为几何轨迹。
1.利用模的几何意义 | z - z₀| = r，可以表示以点 z0为圆心，r为半径的圆
2. 若方程为∣z - z1∣= λ∣z - z2∣( λ>0, λ≠1)，则点的轨迹是圆（阿波罗尼斯圆）
1．（2025·广东广州·模拟预测）复数
满足
，则
的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、与复数模相关的轨迹（图形）问题
【分析】根据复数的模的几何意义可得复数
在复平面内的轨迹为以点
为圆心，以为半径的圆即可
求解.
【详解】设复数
，则对应点的坐标为
，
所以
所以复数
对应的点
到
的距离为，
故复数
在复平面内的轨迹为以点
为圆心，以为半径的圆，
故当点
运动到与
轴的交点，且向上的位置时，此时
最大，最大值为
故选：C
2．（2025·安徽安庆·模拟预测）若复数z 满足
（为虚数单位），则
的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题
【分析】根据复数的几何意义判断可得出结果.
【详解】设
，若
满足
，即
，
所以
，即
，
则点
在以
为圆心，1 为半径的圆上，易知原点在圆外，
又圆心到坐标原点的距离为
，所以
的最大值为
，
故选： C．
3．（多选）（2025·辽宁·模拟预测）设复数
在复平面内对应的点为
，则下列选项正确的有（ ）
A．若
，则
的最大值为6
B．若
，则点
的轨迹为椭圆
C．若
，则点
的轨迹为椭圆
D．若
，则点
轨迹的长度为
【答案】ACD
【知识点】椭圆定义及辨析、轨迹问题——圆、定点到圆上点的最值（范围）、与复数模相关的轨迹（图
形）问题
【分析】利用复数的几何意义，结合各选项中的条件逐项分析判断.
【详解】在复平面内，设点
，复数
所对应点
，
对于A，
两点的距离
表示
两点的距离，又
，
则点
的轨迹是以
为圆心，1 为半径的圆，
表示
两点的距离，
则
的最大值为
，A 正确；
对于B，
表示
两点的距离，
表示
两点的距离，
由
，则点
的轨迹为线段
，B 错误；
对于C，
，则点
的轨迹是以
为左，右焦点，长轴长为4 的椭圆，C 正确；
对于D，
，即
或
，由
表示以
为圆心，1 为半径的圆，
同理
表示以
为圆心，2 为半径的圆，点
轨迹的长度为
，D 正确.
故选：ACD
4．（多选）（2025·广东汕头·一模）已知复数
，
（x,
），则下列结论正确的是
（ ）
A．方程
表示的z 在复平面内对应点的轨迹是圆
B．方程
表示的z 在复平面内对应点的轨迹是椭圆
C．方程
表示的z 在复平面内对应点的轨迹是双曲线
D．方程
表示的z 在复平面内对应点的轨迹是直线
【答案】AD
【知识点】轨迹问题——圆、椭圆定义及辨析、双曲线定义的理解、与复数模相关的轨迹（图形）问题
【分析】根据复数的几何意义逐个选项判断即可.
【详解】根据复数的几何表示知：
对A，方程表示到定点
的距离等于2 的动点轨迹，即圆，A 正确；
对B，方程表示到定点
与
距离的和为2 的动点轨迹，而
与
的距离也为2，所以z 在复平
面内对应点的轨迹为线段，B 错误；
对C，方程表示到定点
与
的距离的差为1 的动点轨迹，即双曲线的一支，C 错误；
对D，方程表示到定点
与
的距离相等的动点轨迹，即线段的中垂线，D 正确．
故选：AD
题型05 阿氏圆
解｜题｜策｜略
定义： 在平面上，到两定点距离之比为定值（常数 λ，且 λ>0,λ≠1）的点的轨迹是一个圆，这个圆
被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆。
1、 当题目中出现 “PA = λ · PB” 或 “PA / PB = λ” （λ≠1）这类条件时，应立
即联想到动点P 的轨迹是阿氏圆。
2 、题目若给出∠P的角分线分得AB的比例为定值λ，这里根据角分线原理，也可以得出
PA = λ · PB的结论，从而得到阿氏圆。
1．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知在平面直角坐标系
中，
，
，动点
满足
，点
为抛物线
上一动点且
在抛物线准线上的投影为
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】抛物线定义的理解、轨迹问题——圆、定点到圆上点的最值（范围）
【分析】根据题意，求得点
的轨迹为以
为圆心，半径为
的圆，再由抛物线得到
，
转化为
，结合图象，得到当且仅当
四点共线时，
取得最小值，求得
，即可求解.
【详解】因为
，
，且动点
满足
，
设
，可得
，整理得
，
所以点
的轨迹为以
为圆心，半径为
的圆，
由抛物线
，可得且准线方程为
，
又因为点
在抛物线的准线方程为
的投影为
，
因为抛物线上的点到焦点
的距离等于到准线
的距离相等，所以
，
所以
，
当且仅当
四点共线时，
取得最小值，且
，
所以
.
即
的最小值为
.
故选：B.
2．（2025·陕西渭南·一模）若动点
到
的距离之比为
．则点
到直线
的最
小距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】轨迹问题——圆、求点到直线的距离、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）
【分析】设动点
的坐标为
，由题意求出动点的轨迹方程，结合圆的几何性质即可求得答案.
【详解】设动点
的坐标为
，
由题意：
，即
，
代入点的坐标，可得
，
两边取平方并整理得：
，
即动点C 的轨迹为圆心为
，半径为
的圆，
因
到直线
的距离为
，
故点
到直线
的最小距离为
，
故选：D.
3．（2025·宁夏吴忠·二模）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B 的距离的比值为定值
（
）的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．若
平面内两定点A，B 间的距离为2，动点P 满足
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】轨迹问题——圆、定点到圆上点的最值（范围）
【分析】以
的中点为原点，
所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设
，
，
，
由
，可得点
的轨迹方程为
，数形结合得解.
【详解】以
的中点为原点，
所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，不妨取
，
．
设
，则
，整理得
，
所以点
的轨迹方程为
．
则
可看作圆
上的点
到原点
的距离的平方，
所以
，所以
，
即
的最大值为
，
故选：A.
4．（多选）（2025·四川雅安·二模）已知点
，
，动点
满足
，记点
的轨迹为
曲线
，则下列说法中正确的是（ ）
A．曲线
的方程为
B．
的最大值为6
C．点
到直线
的距离的最大值为2
D．设直线
与曲线
的另一个交点为
，则
【答案】ABD
【知识点】轨迹问题——圆、定点到圆上点的最值（范围）、过圆外一点的圆的切线方程
【分析】设动点
，根据题设列方程化简即可判断A；结合圆的几何性质判断BC；分直线
的斜率
不存在和存在两种情况讨论求解，进而判断即可.
【详解】对于A，设动点
，则由
，
得
，
化简得：
，即
，故A 正确；
对于B，点
的轨迹为以
为圆心，半径
的圆，
则
，所以
的最大值为
，故B 正确；
对于C，要使点
到直线
的距离最大，则直线
与圆
相切，
设此时直线
的方程为
，即
，
则
，解得
，
则直线
与圆
相切时，
直线
的方程为
，即
，
此时点
到直线
的距离为
，
则点
到直线
的距离的最大值为
，故C 错误；
对于D，当直线
的斜率不存在时，满足
；
当直线
的斜率存在时，设直线
的方程为
，设
，
联立
，得
，
则
，
则
，
所以直线
与直线
的倾斜角互补，则
，故D 正确.
故选：ABD.
5．（2025·湖北武汉·模拟预测）在
中，
，点D 是
上的点，
平分
，
的面
积是
的面积的3 倍，当
的面积最大时，
.
【答案】
/
【知识点】三角形面积公式及其应用、求三角形面积的最值或范围、轨迹问题——圆
【分析】建立平面直角坐标系，利用到角公式求出点
的轨迹为以
为圆心，半径为3 的圆，数形结
合，得到当
在点
处时，
的面积最大，结合余弦定理和同角的平方关系计算即可求解.
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则
，
由
，得
，又
，则
，
，
设
，由角平分线定理得
，
当
时，
，得
，此时
；
当
时，直线
的斜率分别为
，
则
，又
，
由到角公式得
，即
，
得
，
整理得
，即
，点
的轨迹为以
为圆心，半径为3 的圆，
因此当
在点
处时，
的面积最大，此时
，
在
中，由余弦定理得
.
故答案为：
（建议用时：30 分钟）
1．（2025·江西新余·模拟预测）过直线
上的任意一点
作圆
的两条切线，切点
分别为A，B，则点
到直线AB 的距离的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．
【答案】C
【知识点】相交圆的公共弦方程、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）
【分析】根据几何性质知M，A，B，C 四点在以MC 为直径的圆上，与圆
相减得直线AB 的方程
，又
是以原点为圆心、1 为半径的圆上的点，所求距离转化为原
点到直线AB 的距离加半径，即
，结合二次函数性质求得最值即可.
【详解】设
，则
，
由几何性质知M，A，B，C 四点在以MC 为直径的圆上，
即该圆方程为
，即
，
与圆
相减得直线AB 的方程为
.
又
，
故
是以原点为圆心、1 为半径的圆上的点，
故点
到直线AB 的距离的最大值为原点到直线AB 的距离加半径1，
即
，
当且仅当
时等号成立，
所以点
到直线AB 的距离的最大值为
.
故选：C.
2．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知圆C：
，P 为y 轴上的一个动点（异于原点），过点P
作圆C 的两条切线，切点分别为A，B，且A，B 的中点为M，点
，则
的最大值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】C
【知识点】轨迹问题——圆、定点到圆上点的最值（范围）
【分析】由题意可知
，从而得到点
的轨迹为是以
为直径的圆（去掉A，C 两点），再根据
圆外一点到圆上距离最大值即为圆外一点与圆心距离加上半径即可求解.
【详解】如图，圆
的圆心为
，半径为
，则圆
与y 轴相切，切点为原点O，即为A，
又M 为
的中点，则
，所以点M 的轨迹是以
为直径的圆（去掉A，C 两点），
其中圆心为
，半径为1，
又
，所以
.
故选：C.
3．（2025·安徽·模拟预测）已知点
，
为圆
上两点，
，点
为线段
的中
点，点
为直线
上的动点，则
的最小值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．
【答案】A
【知识点】轨迹问题——圆、求点到直线的距离、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）
【分析】先根据垂径定理得出
，即可得出点
的轨迹为圆，则问题转化为求圆上的动点到定直线的
距离的最小值.
【详解】圆
的圆心坐标为
，半径
，
因为点
为线段
的中点，
，
则
，
所以点
的轨迹是以
为圆心，半径为
的圆，
点
在直线
上，
可得圆心
到直线
的距离
，
所以
的最小值为
.
故选：A
4.（2025·重庆·三模）已知点
动点
满足
则
(
为坐标原点)的最小值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【知识点】定点到圆上点的最值（范围）
【分析】由
得到点
的轨迹方程，再由圆心到原点的距离减去半径可得.
【详解】因为
所以点
在以
为直径的圆上，
圆的方程为
，
所以
的最小距离为圆心到原点的距离减去半径，即
.
故选：B.
5．（2025·河北秦皇岛·一模）已知圆
过点
，点
在圆
上，过点
的直线与过点
的直线
互相垂直，且垂足为
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】轨迹问题——圆、定点到圆上点的最值（范围）、求过已知三点的圆的标准方程、判断圆与圆
的位置关系
【分析】根据圆的性质求出圆
的方程，再确定点
的轨迹方程，最后根据圆的性质求出
的最大值.
【详解】设圆
的方程为
.
因为圆
过点
，
，
，将这三个点代入圆的方程可得：
由
可得：
，即
，解得
.
将
代入
可得：
解得
.把
，
代入
可得：
.
所以圆
的方程为
，圆心
，半径
.
因为直线过点
，直线
过点
，且
，所以点
的轨迹是以
为直径的圆.
的中点坐标为
，
，则半径为
.
所以点
的轨迹方程为
，圆心
，半径
.
根据圆的性质，
的最大值为圆心
与圆心
的距离加上两个圆的半径.
圆心
与圆心
的距离为
.
所以
的最大值为
.
则
的最大值为
.
故选：C.
6．（多选）（2025·广西来宾·模拟预测）已知⊙O 的半径为1，直线PA 与⊙O 相切于点A，直线PB 与⊙O
交于B，C 两点，D 为
的中点，若
，则
的可能取值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】AD
【知识点】向量与几何最值、轨迹问题——圆、数量积的坐标表示
【分析】不妨设
，
，根据图形关系求出点
的轨迹方程，利用坐标法计算
的取值范围.
【详解】如图，圆
的方程为
，由于圆的对称性，不妨设
，
因
，则
，则
，
因
，则点
的轨迹为以
为直径的圆，且位于圆
内部，
中点为
，
，则以
为直径的圆方程为
，
设
，则
，则
，
又
与
的交点坐标为
，
则
，则
，
故AD 正确，BC 错误.
故选：AD
7．（2025·江苏南京·二模）设
，过定点
的动直线
和过定点
的动直线
交于点
，点
到直线
的距离为
，则
的取值范围为 .
【答案】
【知识点】轨迹问题——圆、直线过定点问题、求点到直线的距离
【分析】先分析两条直线经过的定点，得出
的坐标，根据两直线的位置关系分析可得
的运动轨迹是
挖去一点的圆，然后判断出直线
和圆相切，从而得解.
【详解】动直线
过定点
，
动直线
即
过定点
.
因为
，所以直线
与直线
垂直，
又直线
的斜率一定存在，
注意到
时，满足
，但此时直线
垂直
轴，斜率不存在，
故点
在以
为直径的圆上（去除点
），
圆心为
，半径
，
圆心
到直线
的距离为
所以圆
与直线
相切（切点不是点
），
的最小值为0；
圆的直径
，且点
到直线
的距离为
，所以
，
即
的取值范围为
.
故答案为：
8．（2025·四川资阳·一模）已知向量
，
，满足
，
，
，向量
与
的
夹角为
，则
的最小值是 .
【答案】1
【知识点】向量与几何最值、轨迹问题——圆、定点到圆上点的最值（范围）
【分析】先求出
夹角为
，设
起点为
，终点为
，画出示意图，由向量
与
的夹
角为
可得
，则点C 在
所对圆周角为
的圆弧上，求出圆心半径，利用定点到圆上点的最值
即可求解.
【详解】由题意
，
代入
，
得
，则
夹角为
，
如图所示在直角三角形
中，
，
，
令
，则
，
即为向量
与
的夹角为
，
则点C 在
所对圆周角为
的圆弧上，其圆心角为
，
如图所示，要使得
最小，显然在
下方的圆弧上，
由于
，则在
上取
，由于
，由余弦定理可得
，同理可求
，
所以点
即为圆心，半径
，
则
，此时
共线且点C 在
之间，
故
的最小值是1.
故答案为：1.
9．（2025·吉林·三模）已知复数
满足
，复数
满足
，则
的最小值为
．
【答案】
【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）
【分析】设
，
，根据条件可得复数
在复平面内对应的点的轨迹为
直线，
在复平面内对应的点的轨迹是圆，利用圆上的点到直线距离最小值的求法可得结果.
【详解】设
，由
得
，
∴
，整理得
，
∴复数
在复平面内对应的点
的轨迹为直线
.
设
，则
，
由
得，
，即
，
∴复数
在复平面内对应的点
的轨迹是以
为圆心，
为半径的圆，
∵
表示复平面内
与
所对应的点之间的距离，圆心
到直线
的距离为
，
∴
的最小值为
.
故答案为：
.
10．（2025·黑龙江·二模）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比
为定值
的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿
氏圆.已知在平面直角坐标系
中，点
，若点
是满足
的阿氏圆上的任意一点，点
为
上一动点，则
的最小值为 .
【答案】
【知识点】轨迹问题——圆、定点到圆上点的最值（范围）
【分析】利用直接法求出点
的轨迹方程，根据结论圆外一点与圆上的动点的最小距离为圆外的点到圆心
的距离与该圆的半径的差，求
的最小值即可.
【详解】设
，则
，
，
因为
，
所以
，
所以
，即
，
所以点
的轨迹为以
为圆心，
为半径的圆，
圆
的圆心为
，半径为，
又点
为
上一动点，
所以
，
当且仅当点
为线段
与圆
的交点，点
为线段
与圆
的交点时等号成立，
所以
的最小值为
.
故答案为：
.
