专题2.5 幂函数与指、对数函数（举一反三专项训练）
【全国通用】
目录
第一部分 题型专
练
【题型1 指数的运算】..............................................................................................................................................1
【题型2 对数的运算】..............................................................................................................................................2
【题型3 幂函数的图象与性质】..............................................................................................................................4
【题型4 指数、对数函数的定义域与值域问题】.................................................................................................6
【题型5 指数、对数函数的图象问题】..................................................................................................................7
【题型6 指数、对数函数的单调性问题】..............................................................................................................9
【题型7 指对幂数比较大小】................................................................................................................................11
【题型8 解不等式问题】........................................................................................................................................13
【题型9 指数函数与对数函数的综合应用】.......................................................................................................15
第二部分 分层突破
A 组 基础跟踪练
B 组 培优提升练
【题型1 指数的运算】
1．（25-26 高一上·江苏淮安·月考）若2
m=5,4
n=3，则4
n+m的值是（ ）
A．45
B．75
C．2
D．4
【答案】B
【解题思路】根据指数运算求得正确答案.
【解答过程】4
n+m= 4
n×4
m= 4
n×(2
m)
2=3×5
2=75.
故选：B.
2．（25-26 高一上·宁夏石嘴山·月考）下列结论中，正确的是（ ）
A．若a>0，则a
4
3 ⋅a
3
4 =a
B．若m
2=2，则m= ❑√2
C．若a+a
−1=3，则a
1
2 +a
−1
2 = ❑√5
D．
4√(2−π)
4=2−π
【答案】C
【解题思路】A选项根据指数运算的公式即可判断；B选项根据平方根的定义即可判断；C选项根据指数，
利用完全平方公式即可计算出结果；D选项根据平方开根号必须加绝对值，再利用正负取绝对值即可判断.
【解答过程】对于A：利用指数运算的公式：a>0，则a
4
3 ⋅a
3
4 =a
25
12 ≠a，故A错误；
对于B：m
2=2，m=± ❑√2，故B错误；
对于C：a+a
−1=3，所以a>0,a
−1>0,a
1
2 >0,a
−1
2 >0, a+a
−1=(a
1
2 +a
−1
2)
2
−2=3，化简得(a
1
2 +a
−1
2)
2
=5
，所以a
1
2 +a
−1
2 = ❑√5，故C正确；
对于D：因为2−π<0，所以
4√(2−π)
4=|2−π)=π−2，故D错误.
故选：C.
3．（2025·上海宝山·二模）将❑√a
2❑√a（其中a>0）化为有理数指数幂的形式为
.
【答案】a
5
4
【解题思路】直接利用根式与分数指数幂的运算法则化简求解即可
【解答过程】❑√a
2❑√a=
❑√a
2⋅a
1
2 =
❑√a
5
2 =a
5
4
故答案为：a
5
4.
4．（2025·重庆九龙坡·三模）已知 3
x =2,4
y =3 ，则 xy =
.
【答案】1
2
【解题思路】由指数的运算性质即可得解.
【解答过程】由题意3
x =(4
y)
x = 4
xy =2= 4
1
2，所以xy = 1
2.
故答案为：1
2.
【题型2 对数的运算】
5．（2025·北京大兴·三模）已知2
a=3,log25=b，则2
a−b的值为（ ）
A．15
B．5
3
C．3
5
D．−2
【答案】C
【解题思路】结合指数与对数的转化及指数运算性质即可求解.
【解答过程】因为log25=b，所以2
b=5，
又2
a=3，所以2
a−b= 2
a
2
b = 3
5.
故选：C.
6．（2025·贵州黔东南·三模）在人工智能芯片的性能测试中，若芯片处理数据的错误率E 与芯片的运算速
度v（单位：TOPS）满足函数关系E =0.006+0.2⋅lg(
v
384 +1)，则当芯片处理数据的运算速度为
128TOPS时，芯片处理数据的错误率约为（参考数据：lg2≈0.301,lg3≈0.477）（ ）
A．0.030
B．0.031
C．0.032
D．0.033
【答案】B
【解题思路】由E =0.006+0.2⋅lg(
v
384 +1)，代入数据即可求解.
【解答过程】当v =128，
则E =0.006+0.2⋅lg(
128
384 +1)=0.006+0.2lg 4
3 =0.006+0.2(2lg2−lg3)
=0.006+0.2(2×0.301−0.477)=0.031.
故选：B.
7．（2025·北京·二模）设a=lg2,b=lg3，则lg15=（ ）
A．(1−a)b
B．1−a+b
C．(1+a)b
D．1+a−b
【答案】B
【解题思路】根据题意，利用对数的运算性质，即可求解.
【解答过程】由a=lg2,b=lg3，可得lg15=lg3+lg5=lg3+(1−lg2)=1−a+b.
故选：B.
8．（2025·浙江绍兴·三模）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了
解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为lg E = 4.8+1.5 M．
2011 年3 月11 日，日本东北部海域发生里氏9.0 级地震，它所释放出来的能量是2008 年5 月12 日我国汶
川发生里氏8.0 级地震的多少倍（精确到1）?（ ）（注：❑√2≈1.414，❑√10≈3.162）
A．30
B．31
C．32
D．33
【答案】C
【解题思路】设里氏9.0 级和8.0 级地震的能量分别是E1和E2，根据条件算出lg E1
E2
的值，然后可得答案.
【解答过程】设里氏9.0 级和8.0 级地震的能量分别是E1和E2，
由题意：lg E1= 4.8+1.5×9.0，lg E2= 4.8+1.5× 8.0.
于是lg E1
E2
=lg E1−lg E2=(4.8+1.5×9.0)−(4.8+1.5×8.0)=1.5，
所以E1
E2
=10
1.5=10
3
2 =
❑√10
3=10 ❑√10≈10×3.162=31.62≈32.
故选：C.
【题型3 幂函数的图象与性质】
9．（2025·广东广州·模拟预测）若幂函数f (x)=(m
2−m−1) x
2m−3在(0,+ ∞)上单调递增，则实数m的值为
（ ）
A．2
B．1
C．−1
D．−2
【答案】A
【解题思路】根据条件，利用幂函数的定义和性质，即可求出结果.
【解答过程】因为幂函数f (x)=(m
2−m−1) x
2m−3在(0,+∞)上是增函数，
所以{
m
2−m−1=1
2m−3>0 )，解得m=2.
故选：A.
10．（2025·四川南充·二模）已知函数f (x)的图象如图所示，则f (x)的解析式可能是（ ）
A．y = x
1
2
B．y = x
−1
2
C．y = x
3
D．y = x
1
3
【答案】D
【解题思路】根据幂函数的性质一一判断即可.
【解答过程】对于A：函数y = x
1
2 = ❑√x的定义域为[0,+ ∞)，显然不符合题意，故A 错误；
对于B：函数y = x
−1
2 = 1
❑√x
的定义域为(0,+ ∞)，显然不符合题意，故B 错误；
对于C：函数y = x
3的定义域为R，又y = x
3为奇函数，
但是y = x
3在(0,+ ∞)上函数是下凸递增，故不符合题意，故C 错误；
对于D：y = x
1
3 =
3√x定义域为R，又y = x
1
3为奇函数，
且y = x
1
3在(0,+∞)上函数是上凸递增，故D 正确.
故选：D.
11．（2025 高一·上海·专题练习）已知幂函数f (x)=(m
2−m−5) x
2−m，且f (1)>f (3)，若f (2a)>f (a
2−3)
，则实数a的取值范围是（ ）
A．(−∞,−❑√3)∪(3,+∞)
B．(−∞,−1)∪(3,+∞)
C．(−∞,−1)∪(0,❑√3)∪(3,+∞)
D．(−❑√3,−1)∪(0,❑√3)∪(3,+∞)
【答案】D
【解题思路】通过幂函数定义解出m，再通过f (1)>f (3)判定出m=3，根据单调性再解f (2a)>f (a
2−3)即
可.
【解答过程】由f (x)=(m
2−m−5) x
2−m为幂函数可知：
m
2−m−5=1⇒m=−2或3，
又f (1)>f (3)，故f (x)在(0,+ ∞)单调递减，故m=3，
所以f (x)= x
−1，
则f (2a)>f (a
2−3)⇒{
2a<a
2−3
2a>0 )或{
2a>0
a
2−3<0)或{
2a<a
2−3
a
2−3<0 )，
解得a>3或0<a<❑√3或−❑√3<a<−1，
实数a的取值范围是(−❑√3,−1)∪(0,❑√3)∪(3,+∞).
故选：D.
12．（25-26 高一上·重庆璧山·期中）已知幂函数f (x)=(m
2−5m+5) x
m−2是R上的偶函数，且函数
g(x)= f (x)−(2a−6) x在区间[1,3)上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．(−∞,4)
B．(−∞,4¿∪)6,+ ∞¿¿
C．[6,+∞)
D．[ 4,6]
【答案】C
【解题思路】根据幂函数的定义和奇偶性确定函数解析式f ( x)= x
2，再利用二次函数的单调性即可求得实
数a的取值范围.
【解答过程】因f (x)=(m
2−5m+5) x
m−2是幂函数，则m
2−5m+5=1，解得m=1或m= 4，
当m=1时，f ( x)= x
−1，其定义域为{x| x≠0}，且为奇函数，故舍去；
当m= 4时，f ( x)= x
2是R上的偶函数，符合题意.
则g( x)= x
2−(2a−6)x =[ x−(a−3)]
2−(a−3)
2，其图象对称轴为直线x =a−3，
由该函数在区间[1,3)上单调递减，可得a−3≥3，解得a≥6.
故选：C.
【题型4 指数、对数函数的定义域与值域问题】
13．（24-25 高一上·河南·月考）函数f (x)=
❑√8−2
x的定义域为 （ ）
A．R
B．(0,3)
C．(−∞,3)
D．(−∞,3)
【答案】C
【解题思路】根据被开方式大于等于0 求解定义域，并结合指数函数单调性解不等式.
【解答过程】根据题意，函数f (x)=
❑√8−2
x，
则函数8−2
x≥0，即2
x≤8=2
3，
所以x ≤3.
故选：C.
14．（25-26 高三上·重庆·开学考试）函数f (x)=2
x
2−x−3
4的值域为（ ）
A．(0,2)
B．[2,+∞)
C．(0, 1
2)
D．[
1
2 ,+∞)
【答案】D
【解题思路】令t = x
2−x−3
4 ，求出t ≥−1，继而结合指数函数的单调性，即可求得答案.
【解答过程】令t = x
2−x−3
4 ，则t =(x−1
2)
2
−1≥−1，当x = 1
2时取等号，
又y =2
t为R 上的单调递增函数，故y =2
t≥2
−1= 1
2，即f (x)=2
x
2−x−3
4 ≥1
2
，
故函数f (x)=2
x
2−x−3
4的值域为[
1
2 ,+ ∞)，
故选：D.
15．（2025·安徽合肥·一模）已知函数y = f (2 x)的定义域为[−1,2)，则函数g(x)= f (2−x)
lg(x−1) 的定义域为
（ ）
A．(1,2)
B．(1,4)
C．(1,2)∪(2,4)
D．(2,4)
【答案】C
【解题思路】求出f (x)的定义域，根据函数有意义，结合抽象函数定义域的求法和对数函数的定义域，可
得出关于x的不等式组，解不等式组即可求出答案.
【解答过程】由y = f (2 x)的定义域为[−1,2)，得y = f (x)的定义域为[−2,4).
所以{
−2≤2−x ≤4
x−1>0
lg(x−1)≠0
⇒1< x<2)
或2< x ≤4，
综上，g(x)的定义域为(1,2)∪(2,4).
故选：C.
16．（2025·海南·模拟预测）若函数f (x)={
x +1, x ≤0,
loga(x +2), x>0)的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A．(1,2)
B．[2,+∞)
C．（0，1）
D．(0,1)∪(1,2)
【答案】B
【解题思路】先求出当x ≤0时，f ( x)的值域为(−∞,1)，分析出要使f ( x)的值域为R，必须让x>0时，
f ( x)的值域取到[1,+∞)的所有值，然后分a>1和0<a<1两种情况分别求出f ( x)的值域即可得解.
【解答过程】当x ≤0时，f ( x)= x +1的值域为(−∞,1)，
所以要使f ( x)的值域为R，当x>0时，
f ( x)= loga(x +2)的值域需取到[1,+∞)的所有值.
若a>1，则f ( x)= loga(x +2), x>0的值域为(loga2,+∞)，
所以只须loga2≤1，解得a≥2，
所以当a∈(1,2)时，f ( x)的值域为R；
若0<a<1，则f ( x)= loga(x +2), x>0的值域为(−∞,loga2)，
此时f ( x)的值域不可能取到[1,+∞)的所有值，
综上，实数a的取值范围是[2,+ ∞).
故选：B.
【题型5 指数、对数函数的图象问题】
17．（2025·山东·模拟预测）函数f (x)=(|x
2−5)−5)ln(4−x
2)的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解题思路】采用排除法进行判断，先根据函数的奇偶性进行排除，再结合特殊点的函数值进行选择.
【解答过程】首先：f (−x)=(|(−x)
2−5)−5)ln[4−(−x)
2) =(|x
2−5)−5)ln(4−x
2)= f (x)，
所以函数f (x)为偶函数，图象关于y轴对称，故排除CD.
又f (1)=−ln3<0，故排除B.
故选：A.
18．（2025·广东广州·模拟预测）函数f ( x)= ln(
❑√x
2+1+ x)
e
x+e
−x
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解题思路】先判断出f ( x)为奇函数，排除BD；再根据当x趋向于+ ∞时，f ( x)趋向于0，C 错误，A 正
确.
【解答过程】❑√x
2+1+ x>0恒成立，故f ( x)= ln(❑√x
2+1+ x)
e
x+e
−x
的定义域为R，
f (−x)= ln(❑√x
2+1−x)
e
−x+e
x
= ln(❑√x
2+1+ x)
−1
e
x+e
−x
=−ln(❑√x
2+1+ x)
e
x+e
−x
=−f (x)，
故f ( x)为奇函数，BD 错误；
当x趋向于+ ∞时，y =e
x+e
−x的增长速度远大于y = ln(❑√x
2+1+ x)的速度，
故f ( x)= ln(❑√x
2+1+ x)
e
x+e
−x
趋向于0，C 错误，A 正确.
故选：A.
19．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图所示的函数图象对应的函数解析式可能为（ ）
A．f (x)=ln(❑√x
2+1+ x)
B．f (x)=ln(❑√x
2+1−x)
C．f (x)=ln
❑√x
2+1+ x
D．f (x)=ln
❑√x
2+1−x
【答案】B
【解题思路】应用函数对称性判断C，D，再根据x>0时，f (x)>0排除A.
【解答过程】由图可知函数图象关于原点对称，所以该函数为奇函数，
f (x)=ln
❑√x
2+1+ x中，f (2)=ln ❑√5+2,f (−2)=ln ❑√5−2，−f (2)，f (−2)不相等，所以C 选项错误；
f (x)=ln
❑√x
2+1−x中，f (2)=ln ❑√5−2,f (−2)=ln ❑√5+2，−f (2)，f (−2)不相等，所以D 选项错误；
对于f (x)=ln(❑√x
2+1)+ x)，当x>0时，f (x)>0，与图象不符，故排除A.
故选：B.
20．（2025·甘肃·一模）函数y =(2
x+2
−x)⋅ln|x)的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解题思路】采用排除法，根据函数奇偶性可排除D，根据−1< x<1且x≠0时f (x)<0，可排除A，C.
【解答过程】记f (x)=(2
x+2
−x)⋅ln|x)，函数的定义域是{x∣x≠0)，
f (−x)=(2
−x+2
x)ln|x)= f (x)，所以函数f (x)为偶函数，其图像关于y轴对称，故D 错误；
当−1< x<1且x≠0时，2
x+2
−x>0，ln|x)<0，即f (x)<0，图像在x轴下方，故A，C 错误．
故选：B.
【题型6 指数、对数函数的单调性问题】
21．（2025·江西·模拟预测）函数f (x)=3x
2−2|x)的一个单调递减区间为（ ）
A．(−∞,0)
B．(−1,0)
C．(0,1)
D．(1,+∞)
【答案】C
【解题思路】利用指数型复合函数的单调性即可得出答案.
【解答过程】令t = x
2−2|x)，则y =3
t，
由复合函数的单调性可知：
f (x)的单调递减区间为函数t = x
2−2|x)的单调递减区间，
又函数t(−x)=(−x)
2−2|−x)=t( x)，
即函数t( x)为偶函数，
结合图象，如图所示，
可知函数t = x
2−2|x)的单调递减区间为(−∞,−1)和(0,1)，
即f (x)的单调递减区间为(−∞,−1)和(0,1)．
故选：C．
22．（2025·广东·模拟预测）已知函数y = ln(x
2−2ax−3a
2)在区间[1,+∞)上单调递增，则实数a的取值
范围是（ ）
A．(−∞, 1
3)
B．(−∞,1)
C．(−1, 1
3)
D．(−1,0)∪(0, 1
3)
【答案】C
【解题思路】由复合函数的单调性得到g(x)= x
2−2ax−3a
2在[1,+∞)上单调递增，列出不等式组，解之
即得参数范围.
【解答过程】因为f (x)= ln x在(0,+ ∞)上单调递增，由函数y = ln(x
2−2ax−3a
2)在[1,+ ∞)上单调递增，
可得g(x)= x
2−2ax−3a
2在[1,+∞)上单调递增且g(x)>0恒成立，
{
a≤1
g(1)=1−2a−3a
2>0)，解得−1<a< 1
3，
即实数a的取值范围是(−1, 1
3).
故选：C.
23．（2025·辽宁·一模）若函数f (x)=3
−2 x
2+ax在区间(1,4)内单调递减，则a的取值范围是（ ）
A．(−∞,4)
B．[4,16)
C．(16,+∞)
D．[16,+∞)
【答案】A
【解题思路】利用“同增异减”判断复合函数的单调性，从而求参数的取值范围.
【解答过程】设f (u)=3
u，u=−2 x
2+ax，则f (u)=3
u在(−∞,+∞)上单调递增.
因为f (x)=3
−2 x
2+ax在区间(1,4)内单调递减，所以函数u=−2 x
2+ax在区间(1,4)内单调递减，
结合二次函数的图象和性质，可得：a
4 ≤1，解得a≤4.
故选：A.
24．（2025·天津·模拟预测）已知函数f ( x)= loga x + log(a+1)x(a>0 且a≠1)在(0,+∞)上单调递增，则
a 的取值范围为（ ）
A．(0,
❑√5−1
2 )∪(1,+ ∞)
B．(
❑√5−1
2
,1)∪(1,+∞)
C．(
❑√5−1
2
,1)
D．(1,+ ∞)
【答案】A
【解题思路】分a>1和0<a<1两类讨论，结合换底公式及对数函数的单调性、对数的运算性质可得关于a
的不等式即可求解.
【解答过程】当a>1时，根据对数函数的性质可知：函数f ( x)= loga x + log(a+1)x(a>0 且a≠1)在
(0,+∞)上单调递增，符合题意；
当0<a<1时，由换底公式可得f ( x)= loga x + log(a+1)x = lg x
lga +
lg x
lg(a+1) =[
1
lga +
1
lg(a+1))lg x
= lga+lg(a+1)
lgalg(a+1) lg x =
lg(a
2+a)
lgalg(a+1) lg x，
因为函数f ( x)= loga x + log(a+1)x在(0,+∞)上单调递增，且函数y =lg x在(0,+∞)上单调递增，所以
lg(a
2+a)
lgalg(a+1) >0.
又0<a<1，所以lga<0，lg(a+1)>0，所以lg(a
2+a)<0，所以a
2+a<1，即a
2+a−1<0，解得
0<a<
❑√5−1
2
.
综上，a 的取值范围为(0,
❑√5−1
2 )∪(1,+ ∞).
故选：A.
【题型7 指对幂数比较大小】
25．（2025·天津红桥·模拟预测）设a=e
−1，b= ln 1
2，c = log23，则（ ）
A．c<a<b
B．b<a<c
C．c<b<a
D．a<c<b
【答案】B
【解题思路】利用对数函数和指数函数单调性确定各数与特殊值0，1 的关系，分析即得解
【解答过程】由0<a=e
−1<e
0=1，b= ln 1
2 <ln1=0，c = log23>log22=1，
所以b<a<c.
故选：B.
26．（2025·山东泰安·模拟预测）a=0.3
0.7,b=0.7
0.3,c = log0.70.3，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．c>b>a
B．c>a>b
C．a>b>c
D．a>c>b
【答案】A
【解题思路】根据对数函数与指数函数的图象与性质，分别求得a,b,c的取值范围，即可求解.
【解答过程】由幂函数y = x
0.7为增函数，得a=0.3
0.7<0.7
0.7；
由指数函数y =0.7
x为减函数，得0.7
0.7<b=0.7
0.3<0.7
0=1；
由对数函数y = log0.7 x为减函数，得c = log0.70.3>log0.70.7=1.
所以c>b>a.
故选：A.
27．（2025·天津武清·模拟预测）已知定义在R 上的函数f (x)= x⋅e|x)，a= f (log3
❑√5)，b=−f(log3
1
2)
，c = f (ln3)，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．c>b>a
B．b>c>a
C．a>b>c
D．c>a>b
【答案】D
【解题思路】根据函数的解析式，求得函数为奇函数，化简b= f (log32)，再结合函数的单调性，即可求
解.
【解答过程】f (x)= x⋅e|x)，定义域为R，关于原点对称，
且f (−x)=−x⋅e|−x)=−x⋅e|x)=−f (x)，所以函数f (x)= x⋅e|x)为奇函数，
所以b=−f(log3
1
2)= f(−log3
1
2)= f (log32)，
又f (x)= x⋅e
x, x>0，
任取x1, x2∈(0,+ ∞)，且0< x1< x2，则0<e
x1<e
x2，则f (x1)<f (x2)，
故f (x)在(0,+ ∞)上单调递增，
又由对数函数的单调性可得log32<log3
❑√5<1<ln3，
所以f (log32)<f (log3
❑√5)<f (ln3)，即c>a>b.
故选：D.
28．（2025·辽宁·三模）已知4
a=6,6
b= 4 ,c = ln 2，则下列结论正确的是（ ）
A．a
c<b
c
B．c
a>c
b
C．logca>logcb
D．logac<logbc
【答案】D
【解题思路】将指数式化为对数式，然后判断a,b,c的范围，结合对数函数、指数函数的单调性判断即可.
【解答过程】∵4
a=6，6
b= 4，∴a= log46,b= log64，
∵1= log4 4<log46<log416=2，0= log61<log64<log66=1，0= ln1<ln2<lne =1，
∴a∈(1,2),b∈(0,1),c∈(0,1)，所以a>b，
对于A，∵y = x
c ,c∈(0,1)在(0,+∞)单调递增，∴a
c>b
c ，故A 错误；
对于B，∵y =c
x ,c∈(0,1) 在R上单调递减，∴c
a<c
b ，故B 错误；
对于C，∵y = logc x ,c∈(0,1) 在(0,+∞)单调递减，∴logc a<logc b ，故C 错误；
对于D，∵y = loga x ,a∈(1,2)在(0,+∞)单调递增，∴loga c<loga 1=0 ,
又∵y = logb x ,b∈(0,1)在(0,+ ∞)单调递减，∴logb c>logb 1=0 ,
∴loga c<logb c，故D 正确.
故选：D.
【题型8 解不等式问题】
29．（2025·山东济南·一模）已知函数f (x)={
e
−x−1, x ≤0,
1−e
x , x>0,)则f (2 x)+ f (x−3)>0的解集是（ ）
A．(−∞,1)
B．(1,+∞)
C．(−∞,−3)
D．(−3,+ ∞)
【答案】A
【解题思路】先判断函数为奇函数，再根据函数单调性解抽象不等式即可.
【解答过程】当x>0时，f (x)=1−e
x，−x<0，f (−x)=e−(−x)−1=e
x−1=−f (x)；
当x<0时，f (x)=e
−x−1，−x>0，f (−x)=1−e
−x=−f (x)；
且当x =0时，f (x)=0，
所以f (x)为奇函数，
易知f (x)为R上的递减函数，
则f (2 x)+ f (x−3)>0⇔f (2 x)>−f (x−3)= f (3−x)⇒2 x<3−x⇒x<1，
所以原不等式的解集为(−∞,1).
故选：A.
30．（2025·广东茂名·二模）已知函数f (x)={
−x
2−2ax +1, x<1
loga x +2a, x ≥1
(a>0,a≠1))，若f (x)≤3
2，则a的取值
范围是（ ）
A．(0, 3
4)
B．(0,
❑√2
2 )
C．[
❑√2
2 , 3
4)
D．[
3
4 ,1)
【答案】B
【解题思路】先讨论当x<1时，不等式转化为x
2+2ax + 1
2 ≥0，确定函数y = x
2+2ax + 1
2在x<1时的单调
性得最值即可得此时a的取值范围，再根据此范围确定当x ≥1时，函数f (x)= loga x +2a的单调性，从而得
最值得a的取值范围，综合可得结论.
【解答过程】当x<1时，不等式f (x)≤3
2为−x
2−2ax +1≤3
2，即x
2+2ax + 1
2 ≥0，
因为a>0,a≠1，所以函数y = x
2+2ax + 1
2在(−∞,−a)上单调递减，在(−a,1)上单调递增，
所以ymin=(x
2+2ax + 1
2)min
=−a
2+ 1
2 ≥0，所以0<a≤
❑√2
2 ；
由于0<a≤
❑√2
2 ，则当x ≥1时，函数f (x)= loga x +2a在[1,+∞)上单调递减，
所以f (x)max= f (1)= loga1+2a=2a≤3
2，解得0<a≤3
4 ，所以0<a≤
❑√2
2 ；
综上，a的取值范围是(0,
❑√2
2 ).
故选：B.
31．（2025·湖北荆门·模拟预测）已知函数f ( x)=
2
3
x+1
−x
3+2，则不等式f (m
2)+ f (m−2)<6的解集为
（ ）
A．(−1,2)
B．(−∞,−1)∪(2,+∞)
C．(−2,−1)
D．(−∞,−2)∪(1,+ ∞)
【答案】D
【解题思路】由题意可得f (−x)+ f (x)=6，且f ( x)在R 上为减函数，将不等式化简为f (m−2)<f (−m
2)
，再由f ( x)的单调性可得m−2>−m
2，解不等式即可得出答案.
【解答过程】f ( x)=
2
3
x+1
−x
3+2=(
2
3
x+1
−1)−x
3+3= 1−3
x
3
x+1
−x
3+3,
设g(x)= 1−3
x
3
x+1
−x
3，g(x)的定义域为R，
g(−x)= 1−3
−x
3
−x+1
−(−x)
3= 3
x−1
1+3
x + x
3=−g(x)，所以g(x)为奇函数，
则f (−x)+ f (x)= g(−x)+3+ g(x)+3=6，
又因为y =
2
3
x+1
, y =−x
3+2在R 上均为减函数，
所以f ( x)在R 上为减函数，
由f (m
2)+ f (m−2)<6可得f (m
2)+ f (m−2)<f (m
2)+ f (−m
2)，
即f (m−2)<f (−m
2)，所以m−2>−m
2，
解得：m>1或m<−2.
故选：D.
32．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数f (x)={
|2
x−1), x ≤0,
log3(x +1), x>0,)则不等式f (x)≤1的解集为（ ）
A．[0,2)
B．[0,1)
C．(−∞,2)
D．(−∞,1)
【答案】C
【解题思路】分x ≤0和x>0两种情况，解不等式，得到不等式解集.
【解答过程】由题意可知当x ≤0时，0<2
x≤1,故f (x)=1−2
x<1，满足题意；
当x>0时，令log3(x +1)≤1，即0< x +1≤3，解得−1< x ≤2，所以0< x ≤2.
综上，x ≤2.
故选：C.
【题型9 指数函数与对数函数的综合应用】
33．（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数f (x)= log2(4
x+1)−x−1，则f (2 x−1)<f (x−3)的解集为
（ ）
A．(−2, 4
3)
B．(−4
3 ,+∞)
C．(−∞,−2)∪(
4
3 ,+ ∞)
D．(−∞,−2)∪(−4
3 ,+∞)
【答案】A
【解题思路】根据对数的运算性质，可得f (x)= log2(2
x+ 1
2
x)−1，进而根据奇偶性的定义可判断f (x)为偶
函数，根据对勾函数的单调性以及复合函数单调性原则可得f (x)的单调性，即可求解.
【解答过程】f (x)= log2(4
x+1)−x−1= log2(4
x+1)−log22
x−1= log2(
4
x+1
2
x )−1= log2(2
x+ 1
2
x)−1，
由于f (−x)= log2(2
−x+ 1
2
−x)−1= log2(2
x+ 1
2
x)−1= f (x)，
故f (x)为偶函数，
当x>0时，2
x>1,则y =2
x+ 1
2
x 在(0,+ ∞)单调递增，因此f (x)在(0,+∞)单调递增，
因此f (x)在(−∞,0)单调递减，
由f (2 x−1)<f (x−3)可得|2 x−1)<|x−3)，解得−2< x< 4
3 ，
故选：A.
34．（2025·河北·模拟预测）已知函数f (x)={
a−2
−x , x ≤0
ln(x +1), x>0)是R上的增函数，且关于x的不等式
f (a+ x
2)≥f (x)恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．[0, 1
4)
B．[−1
4 ,1)
C．[−1
4 , 1
4)
D．[
1
4 ,1)
【答案】D
【解题思路】根据分段函数的单调性可得出a≤1，再由函数f (x)的单调性可得出a+ x
2≥x，结合参变量分
离法可得出实数a的取值范围.
【解答过程】因为函数g(x)=a−2
−x(x ≤0)与h(x)=ln(x +1)(x>0)均是增函数，
所以，函数y = f (x)是R上的增函数只需满足g(0)≤h(0)，即a−1≤0，解得a≤1，
由f (a+ x
2)≥f (x)得a+ x
2≥x，即a≥−(x−1
2)
2
+ 1
4 恒成立，
所以，当x = 1
2时，函数y =−(x−1
2)
2
+ 1
4 取得最大值1
4 ，所以，a≥1
4 ，即a∈[
1
4 ,1)，
因此，实数a的取值范围是[
1
4 ,1).
故选：D.
35．（25-26 高一上·北京·月考）已知a∈R，函数f (x)=log2(
1
x +a).
(1)当a=−1时，求不等式f (x)+1<0的解集；
(2)若a=1，若F (x)= f (2
x)+log2(2
x+1)，x∈[−1,3)时，求函数y = F (x)的最值；
(3)当a≠3且a≠4时，关于x的方程f (x)−log2[(a−4) x +2a−5)=0的解集中恰好有一个元素，请直接写
出a的取值范围.
【答案】(1)(
2
3 ,1)
(2)最小值为2，最大值为−3+ 4 log23
(3)(1,2)
【解题思路】（1）根据对数函数的单调性解不等式即可；
（2）利用对数运算化简函数y = F (x)的解析式，再由对勾函数的单调性和复合函数的单调性判断方法求函
数y = F (x)的值域，进而得最小值；
（3）利用对数运算将问题转化为方程1
x +a=(a−4) x +2a−5>0有唯一解，化简成一元二次方程，根据
一元二次方程的根使得对数有意义列不等式，求解即可.
【解答过程】（1）依题意，由a=−1，f (x)+1<0，得log2(
1
x −1)<−1，
则0< 1
x −1< 1
2，即0< 1−x
x
< 1
2
解得2
3 < x<1，
所以不等式f (x)+1<0的解集为(
2
3 ,1).
（2）由题意知F (x)= log2(
1
2
x +1)+ log2(2
x+1)= log2
(1+2
x)
2
2
x
= log2(2
x+ 1
2
x +2)，
令t =2
x，x∈[−1,3)，得t ∈[
1
2 ,8)，
设函数g(t )=t + 1
t +2，t ∈[
1
2 ,8)，
所以g(t )在(
1
2 ,1)上单调递减，在(1,8)上单调递增，
且g(
1
2)= 9
2，g(1)= 4，g(8)= 81
8 ，
因此g(t )∈[4 , 81
8 )，
所以(2
x+ 1
2
x +2)∈[4 , 81
8 )，
则log2(2
x+ 1
2
x +2)∈[log24 ,log2
81
8 )=[2,−3+ 4 log23)，
所以函数y = F (x)的最小值为2，最大值为−3+ 4 log23；
（3）由log2(
1
x +a)= log2[(a−4) x +2a−5)，
得1
x +a=(a−4) x +2a−5>0①，
化简得(a−4) x
2+(a−5) x−1=0②，
当a≠3且a≠4时，方程②的解为x1=
1
a−4 ，x2=−1，
若x2=−1是方程①的解，则−1+a>0，解得a>1；
若x1=
1
a−4 是方程①的解，则2a−4>0，解得a>2；
由题意，方程①的解集中恰好有一个元素，所以1<a≤2.
因此，a的取值范围为(1,2).
36．（25-26 高一上·广东·月考）已知函数f (x)=loga(2
x−1)+loga(8−2
x)(a>0,a≠1)，函数
g(x)= 9
x+b
3
x
是R上的偶函数.
(1)求函数f (x)的定义域；
(2)求b的值，并求函数g(x)的最小值；
(3)若∀x1∈[1,2)，∀x2∈R，f (x1)≤g(x2)恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)(0,3)
(2)b=1；2
(3)(0,1)∪[2❑√3,+ ∞)
【解题思路】（1）根据对数函数的真数大于零列不等式组得1<2
x<8，然后解指数函数不等式即可求解定
义域；
（2）利用偶函数的概念列式求得b=1，然后利用基本不等式求解g(x)的最小值；
（3）由题意f (x)max≤g(x)min，由（2）可知f (x)max≤2，然后利用指数函数单调性及二次函数性质求得
h(x)=−(2
x)
2+9⋅2
x−8的值域，进而按照a>1和0<a<1分类讨论，利用对数函数单调性求得f (x)的最大
值，列不等式即可求解.
【解答过程】（1）f (x)=loga(2
x−1)+loga(8−2
x)(a>0,a≠1)，
要使函数f (x)有意义，则{
2
x−1>0
8−2
x>0)，所以1<2
x<8，所以0< x<3，
所以函数f (x)的定义域为(0,3)；
（2）因为函数g(x)= 9
x+b
3
x
是R上的偶函数，所以g(−x)= g(x)，
所以9
−x+b
3
−x
= 1+b⋅9
x
3
x
= 9
x+b
3
x
，所以9
x+b=1+b⋅9
x，所以(9
x−1)(b−1)=0，
由(9
x−1)(b−1)=0对x∈ R恒成立，所以b−1=0，所以b=1；
g(x)= 9
x+1
3
x
=3
x+ 1
3
x ≥2❑√
3
x⋅1
3
x =2，当且仅当3
x = 1
3
x 即x =0时等号成立，
所以函数g(x)的最小值为2；
（3）f (x)=loga(2
x−1)+loga(8−2
x)=loga(2
x−1)(8−2
x)
=loga[−(2
x)
2+9⋅2
x−8)，x∈[1,2)，
因为∀x1∈[1,2)，∀x2∈R，f (x1)≤g(x2)恒成立，所以f (x)max≤g(x)min，
由（2）可知函数g(x)在R上的最小值为2，所以f (x)max≤2，
记h(x)=−(2
x)
2+9⋅2
x−8=−(2
x−9
2)
2
+ 49
4 ，因为x∈[1,2)，所以2
x∈[2,4)，所以h(x)∈[6,12)，
当a>1时，f (x)=loga[−(2
x)
2+9⋅2
x−8)∈[loga6,loga12)，则loga12≤2，所以a
2≥12，所以
a≥2❑√3或a≤−2❑√3，又a>1，所以a≥2❑√3；
当0<a<1时，f (x)=loga[−(2
x)
2+9⋅2
x−8)∈[loga12,loga6)，则loga6≤2，所以a
2≤6，所以
−❑√6≤a≤❑√6，又0<a<1，所以0<a<1；
综上，实数a的取值范围为(0,1)∪[2❑√3,+∞).
A 组 基础跟踪练
一、单选题
1．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知幂函数y = f ( x)的图象经过点(4,2)，则f (3)的值为（ ）
A．1
3
B．❑√3
C．3
D．9
【答案】B
【解题思路】根据给定条件，求出幂函数的解析式，进而求出函数值.
【解答过程】设f ( x)= x
α，则2= 4
α∴a= 1
2即f ( x)= x
1
2 ,∴f (3)=3
1
2 = ❑√3，
故选：B．
2．（2025·陕西西安·模拟预测）函数y = lg(x +1)
x−1
的定义域为（ ）
A．{x|x >−1))
B．{x|x ≠1))
C．{x|x >1))
D．{x| x>−1且x≠1).
【答案】D
【解题思路】根据真数大于零，分母不为零求解.
【解答过程】由题意得，x +1>0且x−1≠0，则x>−1且x≠1，
则函数y = lg(x +1)
x−1
的定义域为{x| x>−1)且x≠1).
故选：D.
3．（2025·江西·一模）若直线y =t(0<t <1)与幂函数y = x
3，y = ❑√x，y = 1
x 的图象从左到右依次交于不
同的三点A，B，C，则|AC)=（ ）
A．1
t −t
2
B．1
t −t
3
C．1
t −
3√t
D．3√t −t
2
【答案】A
【解题思路】求得交点A ,C的横坐标，比较大小可求|AC).
【解答过程】当y =t时，由y = x
3，得x =
3√t；由y = ❑√x，得x =t
2；由y = 1
x ，得x = 1
t .
因为0<t <1，所以y =t
x是关于x的减函数.
又−1< 1
3 <2，所以1
t >
3√t >t
2，所以|AC)= 1
t −t
2.
故选：A.
4．（2025·四川内江·一模）某工厂生产的废气要经过多次过滤，若每次过滤能消除废气中2
3的污染物，要
使废气中的污染物不超过原来的1
100，则至少需要过滤的次数是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【解题思路】由题意得到污染物含量与过滤次数的关系式，根据问题列出不等式，结合指数函数单调性求
解即可.
【解答过程】设初始污染物含量为a0，过滤n次后的污染物含量为an，则an=a0⋅(
1
3)
n
，
要使废气中的污染物不超过原来的1
100，即a0⋅(
1
3)
n
≤1
100 a0，
即1
3
n ≤1
100，即3
n≥100，
由于3
n随n的增大而增大，且3
4=81<100,3
5=243>100，
则至少需要过滤的次数是5 次.
故选：D.
5．（2025·四川自贡·一模）已知a>b>1，若logab+ logba= 5
2，a
b=b
a，则ab=（ ）
A．8
B．6
C．4
D．2
【答案】A
【解题思路】根据给定条件，利用对数运算性质及指数运算求解.
【解答过程】由a>b>1，得logba>logbb=1，由logab+ logba= 5
2，得
1
logba + logba= 5
2，
则logba=2，即a=b
2，又a
b=b
a，因此(b
2)
b=b
b
2
，即b
2b=b
b
2
，解得b
2=2b,b=2，
所以ab=b
3=8.
故选：A.
6．（2025·天津·二模）已知函数y =2a x
3(a<0)，则此函数是（ ）
A．偶函数，且在区间(−∞,0)上单调递减
B．偶函数，且在区间(0,+ ∞)上单调递增
C．奇函数，且在区间(−∞,0)上单调递减
D．奇函数，且在区间(0,+ ∞)上单调递增
【答案】C
【解题思路】根据奇函数定义及幂函数单调性判断求解.
【解答过程】因为函数f (x)=2a x
3(a<0)，定义域为R，
f (−x)=2a(−x)
3=−2a x
3=−f (x)，所以f (x)是奇函数，
因为y = x
3在区间(−∞,+∞)上单调递增，a<0，所以函数f (x)=2a x
3在区间(−∞,+∞)上单调递减，
故选：C.
7．（2025·四川成都·一模）不等式4
x+|1−2
x)>11的解集为（ ）
A．{x∣x<log23)
B．{x| x>log23))
C．{x| x<log25))}
D．{x| x>log25))
【答案】B
【解题思路】令2
x =t，t >0，转化不等式为t
2+|1−t )>11，进而分0<t <1、t ≥1两种情况讨论求解即可.
【解答过程】令2
x =t，t >0，
由4
x+|1−2
x)>11，则t
2+|1−t )>11，
当0<t <1时，不等式为t
2+1−t >11，即t
2−t −10>0，
解得t < 1−❑√41
2
或t > 1+ ❑√41
2
，由于0<t <1，则不等式无解；
当t ≥1时，不等式为t
2+t −1>11，即t
2+t −12>0，
解得t <−4或t >3，由于t ≥1，则t >3，
即2
x>3=2
log23，则x>log23.
综上所述，不等式4
x+|1−2
x)>11的解集为{x| x>log23)).
故选：B.
8．（25-26 高三上·江西·期中）已知函数f (x)=ln(x−1)−ln(3−x)，则f (x)的图象（ ）
A．关于x =1对称
B．关于x =2对称
C．关于(1,0)对称
D．关于(2,0)对称
【答案】D
【解题思路】求出f (x)的定义域可判断A，C 不正确；根据f (x +2)为奇函数可判断B 不正确，D 正确.
【解答过程】由f (x)=ln(x−1)−ln(3−x)，得{
x−1>0
3−x>0)，解得1< x<3，
所以f (x)的定义域为(1,3)，故A，C 不正确；
又f (x +2)=ln(x +1)−ln(1−x)，
f (−x +2)=ln(−x +1)−ln(1+ x)=−[ln(1+ x)−ln(1−x))=−f (x +2)
所以f (x +2)为奇函数，图像关于原点对称，
则f (x)的图象关于(2,0)对称，故B 不正确，D 正确
故选：D.
二、填空题
9．（2025·上海静安·一模）已知函数f (x)={
f (x +1), x<4
(
1
3)
x
, x ≥4 )
，则f (log35)= ．
【答案】1
135
【解题思路】根据分段函数的解析式结合指、对数的运算性质求解即可.
【解答过程】因为1<log35<2，则f (log35)= f (log35+1)= f (log35+2)= f (log35+3)，
且f (log35+3)=(
1
3)
log35+3
=(3
−1)
log35+3=(3
log35+3)
−1=(3
log35⋅3
3)
−1=(5⋅27)
−1= 1
135，
所以f (log35)= 1
135
故答案为：1
135.
10．（2025·上海闵行·一模）已知a>0，b>0，化简：
3√b
3√b
13 ⋅(a2−❑√3b)
2+ ❑√3⋅b2−❑√3=
.
【答案】a
【解题思路】根据根式与分数指数幂的互化、指数运算的性质直接求解即可.
【解答过程】∵a>0,b>0，
∴
3√b
3√b
13 ⋅(a2−❑√3b)
2+ ❑√3⋅b2−❑√3= b
1
3
b
13
3
·a
(2−❑√3)(2+ ❑√3)·b
(2−❑√3)+(2+ ❑√3)=b
1
3 −13
3 ab
4=a.
故答案为：a.
11．（2025·甘肃定西·模拟预测）已知幂函数f (x)= x
a的定义域为R，其图象关于原点对称，且在(0,+∞)
上单调递增，则α的值可以是
.（写出一个即可）
【答案】3（答案不唯一）
【解题思路】根据幂函数的性质确定出α值作答.
【解答过程】举例α =3，即f (x)= x
3，其定义域为R，
又f (−x)=(−x)
3=−x
3=−f (x)，所以f (x)为奇函数，其图象关于原点对称，
且f (x)在(0,+ ∞)上单调递增，所以f (x)= x
3满足题意.
故答案为：3.（答案不唯一）
12．（2025·云南·模拟预测）马赫数是飞行器的运动速度与音速的比值．在不考虑空气阻力的前提下，某
飞行器的最大速度v（单位：m/s）与燃料的质量M（单位：kg）和飞行器（除燃料外）的质量m（单
位：kg）的函数关系是v =2900ln(1+ M
m)．已知质量为m0的飞行器所处高空的音速为580 m /s，若燃料
的质量分别为M 1和M 2时，最大速度对应的马赫数分别为1 和11，则M 2+m0
M 1+m0
=
．
【答案】e
2
【解题思路】由题意可得580=2900ln(1+ M 1
m0)，580×11=2900ln(1+ M 2
m0)，计算可求得
M 2+m0
M 1+m0
的
值.
【解答过程】依题意，580=2900ln(1+ M 1
m0)，580×11=2900ln(1+ M 2
m0)，
即0.2=ln(1+ M 1
m0)，2.2=ln(1+ M 2
m0)，
即e
0.2=1+ M 1
m0
，e
2.2=1+ M 2
m0
，则
M 2+m0
M 1+m0
=
1+ M 2
m0
1+ M 1
m0
=e
2.2
e
0.2 =e
2．
故答案为：e
2.
B 组 培优提升练
一、单选题
1．（2025·山东聊城·模拟预测）若c⋅2
a=c⋅log2b=1，则下列式子可能成立的是（ ）
A．c<b<a
B．a<b=c
C．a=b<c
D．b<c<a
【答案】B
【解题思路】根据题意，得到b>1,c>0，所以2
a= log2b= 1
c ，分别作出指数函数、对数函数和幂函数的
图象，结合图象，即可求解.
【解答过程】因为c⋅2
a=c⋅log2b=1，可得b>1,c>0，所以2
a= log2b= 1
c ，
作出函数y =2
x，y = log2 x( x>1)，y = 1
x ( x>0)，以及y =t的大致图象，
如图所示，当t取不同值时，可能得到：a<b<c ,a<b=c ,a<c<b,a=c<b,c<a<b，
可得c<b<a,a=b<c ,b<c<a均不可能成立，
只有a<b=c可能成立.
故选：B.
2．（2025·安徽·二模）已知函数f (x)=ln(x
2−2 x +2)，下列函数中为偶函数的是（ ）
A．f (x)+1
B．f (x)−1
C．f (x +1)
D．f (x−1)
【答案】C
【解题思路】求出函数的定义域，根据偶函数的定义逐项判断即可.
【解答过程】因为x
2−2 x +2=(x−1)
2+1≥1，故f (x)的定义域为R.
选项A：f (x)+1=ln(x
2−2 x +2)+1=ln[e(x
2−2 x +2))，
f (−x)+1=ln[e((−x)
2−2(−x)+2))=ln[e(x
2+2 x +2))，
f (x)+1≠f (−x)+1，所以f (x)+1不是偶函数，故A 错误；
选项B：f (x)−1=ln(x
2−2 x +2)−1=ln x
2−2 x +2
e
，f (−x)−1=ln (−x)
2−2(−x)+2
e
=ln x
2+2 x +2
e
，
f (x)−1≠f (−x)−1，所以f (x)−1不是偶函数，故B 错误；
选项C：f (x +1)=ln((x +1)
2−2(x +1)+2)=ln(x
2+1)，
f (−x +1)=ln((−x +1)
2−2(−x +1)+2)=ln(x
2+1)，
f (x +1)= f (−x +1)，所以f (x +1)为偶函数，故C 正确；
选项D：f (x −1)=ln((x −1)
2−2(x −1)+2)=ln(x
2−4 x +5)，
f (−x −1)=ln((−x −1)
2−2(−x −1)+2)=ln(x
2+ 4 x +5)，
f (x−1)≠f (−x−1)，所以f (x−1)不是偶函数，故D 错误.
故选：C.
3．（2025·广西柳州·一模）已知函数f (x)的部分图象如图所示，则f (x)的解析式可能为（ ）
A．f (x)= 2
x+2
−x
4|x)−3
B．f (x)= 2
x−2
−x
3−4|x)
C．f (x)= 2
x−2
−x
4|x)−3
D．f (x)=
x
|x)−1
【答案】C
【解题思路】利用函数f (x)在(1,+ ∞)上的值排除B, 利用奇偶性排除A, 利用函数f (x)在(1,+∞)上的单
调性排除D
【解答过程】对于A，f (x)= 2
x+2
−x
4| x|−3，定义域为(−∞,−3
4)∪(−3
4 , 3
4)∪(
3
4 ,+∞)，
又f (−x)=
2
−x+2
x
4|−x|−3 = 2
x+2
−x
4| x|−3 = f ( x)，所以f ( x)为偶函数，故A 错误；
对于B，当x>1时f (x)= 2
x−2
−x
3−4 x ，
易知2
x−2
−x>0，3−4 x<0，所以f ( x)<0，不满足，故B 错误；
对于D，当x>1时，f (x)=
x
| x|−1 =
x
x−1 =1+
1
x−1，
由反比例函数的性质可知，f (x)在(1,+ ∞)上单调递减，故D 错误；
检验选项C，f (x)= 2
x−2
−x
4|x)−3满足图中性质。
故选：C.
4．（2025·浙江宁波·一模）大气压强p=
压力
受力面积，它的单位是“帕斯卡”（Pa），它随海拔高度h
（m）的变化规律可以近似的表示为p= p0e
−kh（其中e 为自然对数的底数，p0是海平面大气压强，k为常
数）.已知宁波市海拔最高的是四明山的主峰，主峰上一处的海拔约为1018m，大气压强为90900Pa，宁波
城区一处的海拔约为4m，大气压强为101000Pa.现测得某山峰上一处的大气压强为80800Pa，请估计该处
的海拔高度（单位：m）位于以下哪个范围内？（ ）（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）
A．(2900,3200) B．(2500,2800)
C．(2000,2300)
D．
(1600,1900)
【答案】C
【解题思路】结合题意与对数的运算性质求解海拔高度，再判断范围即可.
【解答过程】设城区的压强为p1，四明山的压强为p2，
由题意得p1= p0e
−4 k =101000，p2= p0e
−1018k =90900，
两式作除法可得e
1014 k = 101000
90900 ，解得k =
ln 10
9
1014
，
对于目标点，可得p0e
−kh=80800，由已知得p0e
−4 k =101000，
两式作除法可得e
k(h−4)= 5
4 ，解得h=
ln 5
4
ln 10
9
⋅1014 + 4，
则h=
ln 5
4
ln 10
9
⋅1014 + 4 =
lg 5
4
lg 10
9
⋅1014 + 4 = lg5−lg 4
lg10−lg9 ⋅1014+ 4
= 1−lg2−2lg2
1−2lg3
⋅1014 + 4 = 1−3lg2
1−2lg3 ⋅1014 + 4
= 1−3×0.3010
1−2×0.4771 ⋅1014 + 4 ≈2152m，在(2000,2300)内，故C 正确.
故选：C.
5．（2025·上海嘉定·一模）若实数x、y、z满足1+2
x=3
y =5
z，则x、y、z的大小关系不可能是（ ）
A．x> y > z
B．y > z> x
C．y > x> z
D．x> z> y
【答案】D
【解题思路】根据给定条件，求出x , y , z的函数关系，再在同一坐标系内作出函数图象，数形结合即可判
断.
【解答过程】令1+2
x =3
y =5
z=t，得x = log2(t −1), y = log3t , z = log5t，t >1，
在同一直角坐标系内作出函数f (t )= log2(t −1),g(t )= log3t ,h(t )= log5t，t >1的图象，
则x , y , z分别是函数y
′ = f (t ), y
′ = g(t ), y
′ =h(t )，t >1的图象与直线t =a(a>1)交点的纵坐标，
设B点的横坐标为x1，C点的横坐标为x2，
观察图象得当1<a< x1时，y > z> x，
当x1<a< x2时，y > x> z，
当a> x2时，x> y > z，
所以ABC 是可能的，D 不可能.
故选：D.
6．（2025·辽宁丹东·模拟预测）已知f (x)=e
x−1+e
−x +1+ x
2−2 x +a(a∈R)，且f (2 x +3)>f (2−x)，则
x的取值范围是（ ）
A．(−1
3 ,+ ∞)
B．(−∞,−3)∪(−1
3 ,+∞)
C．(−∞,−5)∪(−1
3 ,+∞)
D．(−5,−1
3)
【答案】B
【解题思路】先判断f ( x)= f (2−x)，得到f ( x)关于x =1对称，再利用函数和的单调性得到f ( x)的单调
性，然后结合对称性解抽象函数不等式即可.
【解答过程】因为f (x)=e
x−1+e
−x +1+ x
2−2 x +a(a∈R)，
所以 f (2−x)=e
2−x−1+e1−(2−x)+(2−x)
2−2(2−x)+a=e
x−1+e
−x +1+ x
2−2 x +a，
所以f ( x)= f (2−x)，所以f ( x)的图象关于x =1对称，
又因为y1=e
x−1+e
−x +1=e
x−1+
1
e
x−1 , y2= x
2−2 x +a(a∈R)在[1,+∞)上均为单调递增函数，
所以f ( x)在[1,+ ∞)上单调递增，在(−∞,1]上单调递减，
因为f (2 x +3)>f (2−x)，结合对称性可得|2 x +3−1)>|2−x−1)，
两边平方后化简可得3 x
2+10 x +3>0，解得x>−1
3或x<−3，
所以x的取值范围是(−∞,−3)∪(−1
3 ,+ ∞).
故选：B.
二、填空题
7．（2025·陕西汉中·一模）已知函数f (x)=a(2
x−2
−x)−(4
x+ 4
−x)−8，若f (x)<0在区间(1,+∞)上恒成
立，则实数a的取值范围是 ．
【答案】(−∞,2❑√10)
【解题思路】令t =2
x−2
−x，利用换元法将函数转化为y =at −t
2−10(t > 3
2 )，再利用分离参数法求出a的
取值范围.
【解答过程】因为y =2
x为增函数，y =2
−x =(
1
2)
x
为减函数，所以y =2
x−2
−x为增函数，
当x>1时，y >2−2
−1= 3
2，令t =2
x−2
−x(t > 3
2 )，则4
x+ 4
−x =(2
x−2
−x)
2+2
所以当x>1时，f (x)=a(2
x−2
−x)−(4
x+ 4
−x)−8可转化为y =at −t
2−10(t > 3
2 )，
因为f (x)<0在区间(1,+∞)上恒成立，所以at −t
2−10<0在区间(
3
2 ,+ ∞)上恒成立，
所以a< t
2+10
t
=t + 10
t 在区间(
3
2 ,+∞)上恒成立，
又t + 10
t ≥2❑√10，当且仅当t = 10
t ，即t = ❑√10时，t + 10
t 取得最小值2❑√10，
所以a<2❑√10.
故答案为：(−∞,2❑√10).
8．（2025·上海静安·一模）设y = f (x)是定义在R上的偶函数， 对任意的x∈R， 都有f (−x)= f (x + 4)，
且当x∈[−2,0)时， f (x)=(
1
2)
x
−1.设g(x)= f (x)−loga(x +2),(a>1)，若函数y = g(x)在左开右闭区间
(−2,6)上恰有3 个不同的零点，则实数a的取值范围是 ．
【答案】(
3√4 ,2)
【解题思路】首先根据对称性，周期性画出函数f (x)在区间(−2,6)的图象，再在同一坐标系下作出函数
y = loga(x +2)的图象，由函数y = g(x)的零点个数，转化为两个函数图象的交点个数，列式求解.
【解答过程】因为f (x)是定义在R上的偶函数， 则f (−x)= f (x)， 函数f (x)图象关于y轴对称，
且f (x + 4)= f (x)， 即f (x)的周期为4.
作出函数f (x)=(
1
2)
x
−1在x∈[−2,0)上的图象，
根据f (x)的对称性及周期性， 可得出f (x)在[−2,6)上的图象，
若函数y = g(x)在左开右闭区间(−2,6)上恰有3 个不同的零点，
则在区间(−2,6)上关于x的方程f (x)−loga(x +2)=0(a>1)恰有 3 个不同的实数根，
则函数f (x)与函数y =loga(x +2)(a>1)在(−2,6)上恰有 3 个不同的交点；
所以{
loga(2+2)<3
loga(6+2)>3)，解得
3√4<a<2.
故答案为：(
3√4 ,2).
