专题3.2 导数的概念及其意义与运算（举一反三专项训练）
【全国通用】
目录
第一部分 题型专
练
【题型1 导数的定义及其应用】..............................................................................................................................1
【题型2 导数的运算】..............................................................................................................................................3
【题型3 求曲线切线的斜率（倾斜角）】..............................................................................................................5
【题型4 求曲线的切线方程】..................................................................................................................................6
【题型5 与切线有关的参数问题】..........................................................................................................................7
【题型6 切线的条数问题】......................................................................................................................................9
【题型7 两条切线平行、垂直、公切线问题】....................................................................................................11
【题型8 与切线有关的最值问题】........................................................................................................................14
第二部分 分层突破
A 组 基础跟踪练
B 组 培优提升练
【题型1 导数的定义及其应用】
1．（25-26 高二上·江苏泰州·月考）设函数f (x)在x =1处存在导数为1，则lim
Δx→0
f (1+2Δ x)−f (1)
3Δ x
=（
）
A．1
3
B．1
2
C．2
D．2
3
【答案】D
【解题思路】利用导数的定义直接求得.
【解答过程】由题意可知f
′ (1)=1，
lim
Δx→0
f (1+2Δ x)−f (1)
3Δ x
= 2
3 lim
Δx→0
f (1+2Δ x)−f (1)
2Δ x
= 2
3 f
' (1)= 2
3
.
故选：D.
2．（25-26 高二上·宁夏石嘴山·月考）已知某质点的位移函数为s(t )=t
3−3t
2+3，则当t =1s时，该质点
的瞬时速度为（ ）
A．-3m/s
B．3m/s
C．-4m/s
D．1m/s
【答案】A
【解题思路】利用导数求出s
′ (1)的值，即可得出答案.
【解答过程】因为s(t )=t
3−3t
2+3，则s
′ (t )=3t
2−6t，故s
′ (1)=3−6=−3.
当t =1s时，该质点的瞬时速度为−3 m/s.
故选：A.
3．（24-25 高二下·浙江杭州·期中）已知函数f ( x)的导函数为f
′( x)，且
lim
Δ x→0 f (3+ Δ x)−f (3)
Δ x
= 4，则
f
′(3)=（ ）
A．2
B．1
C．8
D．4
【答案】D
【解题思路】利用导数的定义求解即可.
【解答过程】由导数的定义得f
′(3)=
lim
Δ x→0 f (3+ Δ x)−f (3)
Δ x
= 4，故D 正确.
故选：D.
4．（25-26 高二上·江苏·期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经
济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量W 与时间t的关系如下图所示.
下列叙述中正确的是（ ）
A．在[0，t3)这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0
B．在[t1，t2)这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率
C．甲水库在t2时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在t2时刻蓄水量的瞬时变化率
D．乙水库在t1时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在t2时刻蓄水量的瞬时变化率
【答案】D
【解题思路】根据题意，利用瞬时变化率与平均变化率，结合图象分析判断，即可求解.
【解答过程】对A：由图可知，在[0，t3)这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于0，
乙水库的蓄水量的平均变化率大于0，所以A 错误；
对B：由图可知，在[t1，t2)这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于0，乙水库蓄水量的平均变化率
大于0，
故甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率，所以B 错误；
对C：由图可知，甲水库在t2时刻蓄水量的瞬时变化率小于0，
乙水库在t2时刻蓄水量的瞬时变化率大于0，
故甲水库在t2时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在t2时刻蓄水量的瞬时变化率，所以C 错误；
对D：由图可知，乙水库在t1时刻蓄水量上升比在t2时刻蓄水量上升快，
故乙水库在t1时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在t2时刻蓄水量的瞬时变化率，所以D 正确.
故选：D.
【题型2 导数的运算】
5．（2025·湖北·一模）已知函数f (x)=e
x−f
′ (1) x，则（ ）
A．f (1)=−e
2
B．f
′ (1)=−e
2
C．f (2)=e
2−e
D．f
′ (2)=e
2−e
【答案】C
【解题思路】先对f (x)求导，再令x =1求得f
′ (x)，进而得到f (x)与f
′ (x)，再依次求f (1),f (2),f
′ (2)即可
得解.
【解答过程】因为f (x)=e
x−f
′ (1) x，所以f
′ (x)=e
x−f
′ (1)，
则f
′ (1)=e
1−f
′ (1)，得f
′ (1)=e
2，故B 错误；
所以f (x)=e
x−e
2 x，f
′ (x)=e
x−e
2，
则f (1)=e
1−e
2 ×1=e
2，f (2)=e
2−e
2 ×2=e
2−e，
f
′ (2)=e
2−e
2，故AD 错误，C 正确.
故选：C.
6．（2025·河北沧州·模拟预测）定义在R上的函数f (x)其导函数为f
′ (x)，若f (x +1)为偶函数，则（ ）
A．f
′ (1)=0
B．f
′ (−1)=0
C．f (1)=0
D．f (−1)=0
【答案】A
【解题思路】结合偶函数性质与求导法则可得f
′ (x +1)=−f
′ (−x +1)，再令x =0代入上式即可得.
【解答过程】因为f (x +1)为偶函数，则f (x +1)= f (−x +1)，
两边同时求导得f
′ (x +1)=−f
′ (−x +1)，
将x =0代入上式得，f
′ (1)=−f
′ (1)，得f
′ (1)=0．
故选：A.
7．（2025·山东潍坊·模拟预测）已知函数f (x)及其导函数f
′ (x)的定义域均为(0,+ ∞)，
f (x
2+1)= f
2( x)+ f
2(1)+ x
2，且f (1)=1，f
′(1)= 1
2，则f
′(5)=（ ）
A．9
4
B．11
4
C．13
4
D．15
4
【答案】C
【解题思路】先应用赋值法计算f (2)，再结合复合函数求导得出 f
′ (2)= 3
2，最后赋值计算即可.
【解答过程】因为f (x
2+1)= f
2( x)+ f
2(1)+ x
2，且f (1)=1，令x =1，得f (2)= f
2(1)+ f
2(1)+1=3.
对f (x
2+1)= f
2( x)+ f
2(1)+ x
2两边同时求导，得2 x f
'(x
2+1)=2f
'( x)f ( x)+2 x，即
x f
'(x
2+1)= f
'( x)f ( x)+ x.
令x =1，得f
' (2)= f
'(1)f (1)+1= 1
2 +1= 3
2.
令x =2，得2f
' (5)= f
'(2)f (2)+2= 3
2 ·3+2= 13
2 ，故f
' (5)= 13
4 .
故选：C.
8．（2025·湖北·模拟预测）已知函数f (x)和它的导函数f
′ (x)的定义域均为R，且f (x +2)+ f (−x)=2，
f
′ (x +2)为奇函数．若f (0)=0，则∑
i=1
2025
f (i)=（ ）
A．1
B．2
C．2025
D．2026
【答案】C
【解题思路】根据虚拟函数的对称性，可知函数f (x)关于(1,1)中心对称，f
′ (2)=0，得出函数的规律，分
别求出x为整数是函数的值，求出前2025 项的和即可.
【解答过程】∵f (x +2)+ f (−x)=2，∴f (x +2)=2−f (−x)，即f (x)关于(1,1)中心对称，
∵f
′ (x +2)为奇函数，且定义域为R,
∴f
′ (x +2)关于(0,0)所中心对称，根据换元法则有f
′( x)关于(2,0)中心对称，
则f ( x)关于直线x =2轴对称，则有f ( x)= f (4−x)，
可知{
f ( x +2)+ f (−x)=2
f (−x)= f (4 + x) ),作差得f ( x +2)+ f ( x + 4)=2，换元得f ( x)+ f ( x +2)=2
再作差[ f ( x +2)+ f ( x + 4)]−[ f ( x)+ f ( x +2)]=0，化简得f ( x + 4)−f ( x)=0，
即f ( x + 4)= f ( x)，函数f ( x)周期为4.
当x =−1时，f (1)+ f (1)=2，解得f (1)=1，
当x =0时，f (2)+ f (0)=2，解得f (2)=2，
由f (x +2)+ f (−x)=2，可知f (3)+ f (−1)=2，结合f (3)= f (−1)
可知f (3)=1，又f (4)= f (0)=0，
故∑
i=1
2025
f (i)=（1+2+1+0）×506+ f (2025)=2024+1=2025，
故选：C.
【题型3 求曲线切线的斜率（倾斜角）】
9．（2025·甘肃金昌·模拟预测）函数f (x)=e
x ln x在x =1处的切线斜率为（ ）
A．0
B．1
C．e
D．e+1
【答案】C
【解题思路】求出导函数，令x =1即可求得斜率.
【解答过程】f
′ (x)=e
x ln x +e
x⋅1
x ，故f
′ (1)=e.
故选：C.
10．（2025·河南信阳·三模）动点P 在函数y = ln(4−x)−ln x的图像上，以P 为切点的切线的倾斜角取值
范围是（ ）
A．[0,π
4 )
B．[0,π
4 )∪[
3π
4 ,π)
C．¿
D．[
3π
4 ,π)
【答案】C
【解题思路】求出定义域，求导，结合基本不等式得到y
′≤−1，求出以P 为切点的切线的倾斜角取值范
围.
【解答过程】令{
x>0
4−x>0)，解得0< x<4，故y = ln(4−x)−ln x的定义域为(0,4)，
y
′ =−
1
4−x −1
x =
−4
(4−x) x ≤
−4
(
4−x + x
2
)
2 =−1
，当且仅当4−x = x，即x =2时，等号成立，
故y
′≤−1，故以P 为切点的切线的倾斜角取值范围是(
π
2 , 3π
4 ).
故选：C.
11．（2025·江苏宿迁·三模）曲线y =2
x在点(0,1)处的切线的斜率是
.
【答案】ln2
【解题思路】求导即可求解.
【解答过程】由y =2
x可得y
′ =2
x ln2，
故当x =0时，y
′ =2
0ln 2= ln 2，
故y =2
x在点(0,1)处的切线的斜率为ln2，
故答案为：ln2.
12．（2025·上海金山·一模）已知f (x)= x
2+ x，则曲线y = f (x)在点(0,f (0))处切线的倾斜角是
.
【答案】π
4
【解题思路】对函数y = f (x)求导，求出在点(0,f (0))处的切线斜率，进而得出倾斜角.
【解答过程】因为f (x)= x
2+ x，所以f
' (x)=2 x +1，则f
' (0)=1
所以曲线y = f (x)在点(0,f (0))处的切线斜率为1，所以斜线的倾斜角为：π
4 .
故答案为：π
4 .
【题型4 求曲线的切线方程】
13．（2025·湖南长沙·二模）曲线y = x +e
x在点(0,1)处的切线方程为（ ）
A．3 x−y +1=0
B．3 x + y −1=0
C．2 x + y −1=0
D．2 x−y +1=0
【答案】D
【解题思路】先求导函数f
′ (x)=1+e
x，得到斜率为k =2 ，再利用点斜式写出切线方程化简即可.
【解答过程】求导函数得到f
′ (x)=1+e
x，则切线斜率为k = f
′ (0)=1+e
0=2 ，
所以曲线y = x +e
x在点(0,1)处的切线方程为y −1=2(x−0)，即2 x−y +1=0；
故选：D.
14．（2025·四川绵阳·一模）曲线f (x)= ln x−x在点(1,f (1))处的切线方程为（ ）
A．x + y =0
B．x + y −1=0
C．y −1=0
D．y +1=0
【答案】D
【解题思路】对函数求导，应用导数的几何意义求切线方程.
【解答过程】由题设f
′ (x)= 1
x −1，则f
′ (1)=0，而f (1)=−1，
所以曲线在点(1,f (1))处的切线方程为y +1=0×( x−1)，即y +1=0.
故选：D.
15．（25-26 高三上·广东广州·月考）已知函数f ( x)满足f ( x)+2f (1−x)= 3
x ，则f ( x)在点( 1
2 ,2)处的切
线方程为（ ）
A．4 x + y −4 =0
B．12 x−y −4 =0
C．2 x−2 y +3=0
D．12 x + y −4 =0
【答案】B
【解题思路】根据给定条件，利用复合函数求导法则及导数的几何意义求出切线方程.
【解答过程】由f ( x)+2f (1−x)= 3
x ，得f ( 1
2 )+2f ( 1
2 )=6，解得f ( 1
2 )=2，
即点( 1
2 ,2)在函数y = f ( x)的图象上，求导得f
′( x)−2f
′(1−x)=−3
x
2，
令x = 1
2，则f
′( 1
2 )=12，
所以f ( x)在点( 1
2 ,2)处的切线方程为y −2=12( x−1
2 )，即12 x−y −4 =0.
故选：B.
16．（2025·安徽·二模）已知f (x)为奇函数，当x<0时，f (x)= x +sin x +1，则曲线y = f (x)在x =π
2 处的
切线方程是（ ）
A．x + y −π −2=0
B．x + y −2=0
C．x−y +2=0
D．x−y =0
【答案】D
【解题思路】根据奇函数定义可得当x>0时，函数f (x)的解析式，求导，结合导数的几何意义求切线方程.
【解答过程】因为f (x)为奇函数，当x<0时，f (x)= x +sin x +1，
当x>0时，可得f (x)=−f (−x)=−[(−x)+sin (−x)+1)= x +sin x −1，
则f
′ (x)=1+cos x，可得f(
π
2 )=π
2 ，f
′(
π
2 )=1，
所以曲线y = f (x)在x =π
2 处的切线方程是y −π
2 =1×(x−π
2)，即x−y =0.
故选：D.
【题型5 与切线有关的参数问题】
17．（2025·海南儋州·模拟预测）若直线y =kx是函数y = x ln x +1的图象的一条切线，则实数k 的值为
（ ）
A．1
B．−1
C．e
D．1
e
【答案】A
【解题思路】可设切点坐标( x0,k x0)，切点坐标满足函数方程，且有f
′(x0)=k．解方程组可得k 的值；
【解答过程】∵f (x)= x ln x +1，∴f
′ (x)= ln x +1( x>0)，
设切点坐标为( x0,k x0)，则{
ln x0+1=k
x0ln x0+1=k x0)，
消去k，得x0=1，所以k =1.
故选：A.
18．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知函数f (x)=a( x−a)
2(x−2a)，若曲线y = f (x)在点(2a,0)处的切
线方程为y = x +m，则m的值为（ ）
A．−1
B．1
C．−2
D．2
【答案】C
【解题思路】先求出f
′ (x)，接着由f
′ (2a)=1求出参数a 得切点代入切线方程即可求解.
【解答过程】因为f (x)=a( x −a)
2(x −2a)=a x
3−4 a
2 x
2+5a
3 x −2a
4，
所以f
′ (x)=3a x
2−8a
2 x +5a
3，
所以由题意得f
′ (2a)=12a
3−16a
3+5a
3=a
3=1⇒a=1，
所以切点(2,0)，所以0=2+m⇒m=−2.
故选：C.
19．（2025·河北沧州·模拟预测）若曲线y = x
3+2 x在点(1,3)处的切线也与曲线y = x
2+ x +m相切，则m=
（ ）
A．4
B．−2
C．−4
D．2
【答案】D
【解题思路】先求曲线y = x
3+2 x的切线方程，并联立切线与曲线y = x
2+ x +m方程，由Δ=0即可求.
【解答过程】由y = x
3+2 x，得y
′ =3 x
2+2，
所以y
′|x =1=3+2=5，
则曲线y = x
3+2 x在点(1,3)处的切线方程为y −3=5(x−1)即y =5 x−2.
联立{
y =5 x−2
y = x
2+ x +m)，整理得x
2−4 x +m+2=0，
因为切线与曲线y = x
2+ x +m相切，
所以Δ=16−4 (m+2)=0，解得m=2.
故选：D.
20．（2025·新疆·模拟预测）已知函数f (x)=ax−b
x 图象过点(1, 1
2)且在该点处的切线的斜率为1，则
a+2b=（ ）
A．1
B．3
4
C．1
2
D．5
4
【答案】D
【解题思路】根据f (1)= 1
2和f
′ (1)=1求出a,b即可求解.
【解答过程】依题意有f
′ (x)=a+ b
x
2，∴f
′ (1)=a+b=1，
又f (1)= 1
2，即a−b= 1
2，
∴a= 3
4 ，b= 1
4 ，∴a+2b= 5
4 .
故选：D.
【题型6 切线的条数问题】
21．（2025·河南·模拟预测）过原点且与曲线y = x sin x相切的直线有（ ）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
【答案】C
【解题思路】先求出导函数，再设切点，根据导函数得出切线斜率再应用两点求斜率计算求参进而得出切
线即可.
【解答过程】设切点(x0, x0sin x0)，因为曲线y = xsin x，所以y
' =sin x + xcos x，
所以
x0sin x0
x0
=sin x0+ x0cos x0，所以x0cos x0=0，
所以x0=0或cos x0=0，
当x0=0时，所以k =0，所以切线方程为y −0=0(x−0)，即y =0；
当x0=π
2 时，所以k =1，所以切线方程为y −0=1(x−0)，即y = x；
当x0=−π
2 时，所以k =−1，所以切线方程为y −0=−1(x−0)，即y =−x；
所以切线有3 条.
故选：C.
22．（2025 高三·全国·专题练习）函数y = x
3−3 x过点(1,−2)的切线条数为（ ）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
【答案】B
【解题思路】讨论当点(1,−2)为切点时与当点(1,−2)不是切点时，利用导数的几何意义即可求解．
【解答过程】由函数f (x)= x
3−3 x，则f
′ (x)=3 x
2−3，
当点(1,−2)为切点时，则f
′ (1)=0，即切线的斜率k =0，
所以切线的方程为y =−2，
当点(1,−2)不是切点时，设切点P(m,m
3−3m)，则k =3m
2−3= m
3−3m+2
m−1
，
即(m−1)
2(3m+3)=(m−1)
2(m+2)，即(m−1)
2(2m+1)=0，
解得m=−1
2或m=1（舍去），所以k =−9
4
所以切线的方程为y +2=−9
4
(x−1)，即9 x + 4 y −1=0．
综上，函数y = x
3−3 x过点(1,−2)的切线条数为2 条.
故选：B.
23．（24-25 高二下·山东青岛·期中）过点P(1, −1)作曲线y = x
3−x的切线，不同的切线条数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【解题思路】设切点坐标，由斜率构造等式求解即可.
【解答过程】由题意设切点坐标(x0, x0
3−x0)，
y
′ =3 x
2−1，
切线斜率：3 x0
2−1= x0
3−x0+1
x0−1
，x0≠1，
化简可得：2 x0
3−3 x0
2=0，
解得：x0=0或x0= 3
2，
所以满足条件的切点有两个，对应切线有2 条，
故选：C.
24．（2025·河南·模拟预测）已知f ( x)=2 x
3+(a−2)x
2−3 x是奇函数，则过点P(−1,2)向曲线y = f ( x)
可作的切线条数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．不确定
【答案】C
【解题思路】根据给定条件，求出a，再求出函数f ( x)的导数，设出切点坐标，借助导数的几何意义列出
方程求解作答.
【解答过程】因函数f ( x)是奇函数，则由f (−x)+ f ( x)=0得2(a−2)x
2=0恒成立，则a=2，
即有f ( x)=2 x
3−3 x，f
′( x)=6 x
2−3，
设过点P(−1,2)向曲线y = f ( x)所作切线与曲线y = f ( x)相切的切点为Q( x0,2 x0
3−3 x0)，
而点P(−1,2)不在曲线y = f ( x)上，则6 x0
2−3= 2 x0
3−3 x0−2
x0+1
，整理得4 x0
3+6 x0
2−1=0，
即(2 x0+1)(2 x0
2+2 x0−1)=0，解得x0=−1
2或x0= −1± ❑√3
2
，即符合条件的切点有3 个，
所以过点P(−1,2)向曲线y = f ( x)可作的切线条数是3.
故选：C.
【题型7 两条切线平行、垂直、公切线问题】
25．（2025·湖南·三模）若直线y =kx +1（k 为常数）是曲线y = ln x +1和曲线y =ae
x+1的公切线，则实
数a 的值为（ ）
A．1
e
B．1
e
2
C．1
D．e
【答案】B
【解题思路】解法一：先对f ( x)= ln x +1求导得f
′( x)= 1
x ，设与直线y =kx +1切点为( x1,ln x1+1)，写出
切线方程，根据直线y =kx +1得到关于x1和k的方程组，求出k.
再对g( x)=ae
x+1求导，设其与直线y = 1
e x +1切点为( x0,ae
x0+1)，根据导数等于切线斜率以及切点在
切线上列方程，求出a.
解法二：设两条曲线的切点分别为P( x1, y1)，Q( x2, y2)，分别根据切点在曲线上、在切线上以及切线斜
率列出方程组，求解得到x1，k，再同理求出x2，进而得到a.
【解答过程】解法一：令f (x)= ln x +1，x∈(0,+ ∞)，则f
′ (x)= 1
x ，
设直线y =kx +1与y = ln x +1的切点为(x1,ln x1+1)，
则切线方程为y −ln x1−1= 1
x1
(x−x1)，即y = 1
x1
x + ln x1，
又因为y =kx +1，所以{
1
x1
=k
ln x1=1)
，解得x1=e，k = 1
e ，所以切线方程为y = 1
e x +1，
令g(x)=ae
x+1，则g
′ (x)=ae
x，
设直线y = 1
e x +1与y =ae
x+1的切点为(x0,ae
x0+1)，所以g
′(x0)=ae
x0= 1
e
，
①
又因为切点(x0,ae
x0+1)在直线y = 1
e x +1上，所以ae
x0+1= 1
e x0+1，即ae
x0= 1
e x0
，
②
由
和
可得
①
②
x0=1，所以ae= 1
e ，解得a= 1
e
2 ．
解法二：设切点分别为P(x1, y1)，Q(x2, y2)，
{
y1=k x1+1
y1= ln x1+1
1
x1
=k )
⇒ln x1=k x1=1．∴x1=e，k = 1
e ．
同理{
y2=k x2+1,
y2=ae
x2+1,
ae
x2=k )
⇒ae
x2=k x2=k．∴x2=1，∴k =ae= 1
e ，∴a= 1
e
2 ．
故选：B．
26．（2025·山东菏泽·一模）曲线y =|ln (x +1))在A(x1, y1)，B(x2, y2)两点处的切线互相垂直，则
1
x1
+ 1
x2
的值为（）
A．−1
B．0
C．1
D．e
【答案】A
【解题思路】根据对数的运算性质化简函数的解析式，结合导数的几何意义，互相垂直的两直线的斜率的
关系分类讨论进行求解即可．
【解答过程】由y =|ln( x +1)|=¿，
不妨设x1< x2，两切线的斜率分别为k1,k2，
当0≤x1< x2时，则有k1=
1
x1+1 ,k2=
1
x2+1，此时k1k2=
1
( x1+1)( x2+1) >0，显然k1k2≠−1，
因此l1⊥l2不成立，不符合题意；
当−1< x1< x2<0时，则有k1=−
1
x1+1 ,k2=−
1
x2+1，此时k1k2=
1
( x1+1)( x2+1) >0，显然k1k2≠−1，
因此l1⊥l2不成立，不符合题意；
当−1< x1<0≤x2，则有k1=−
1
x1+1 ,k2=
1
x2+1，
此时k1k2=−1⇒x1 x2+ x1+ x2=0，变形得1
x1
+ 1
x2
=−1．
故选：A.
27．（2025·福建福州·三模）曲线y =e
x−1与y = ln x +1的一条公切线的方程为 .（只需写出其
中一条公切线的方程）
【答案】e x−y −1=0或x−y =0（写出其中一条即可）
【解题思路】分别设切点(m,e
m−1)，(n,ln n+1)，根据导数的几何意义写出对应切线方程，再利用公切
线斜率和截距相等形成方程组，解出方程组即可求出公切线方程；
【解答过程】设f (x)=e
x−1，g(x)= ln x +1，设公切线与f (x)相切于点(m,e
m−1)，与g(x)相切于点
(n,ln n+1)，
因为f ' (x)=e
x，g' (x)= 1
x ，则公切线斜率k =e
m= 1
n，
所以公切线方程为y −e
m+1=e
m(x−m)或y −ln n−1= 1
n
(x−n)，
整理得y =e
m x−(m−1)e
m−1或y = 1
n x + ln n，
所以¿，即¿.
所以(m−1)e
m+1−m=(m−1)(e
m−1)=0，解得m=1或m=0，
所以公切线方程为e x−y −1=0或x−y =0.
故答案为：e x−y −1=0或x−y =0.（写出其中一条即可）
28．（2025·四川成都·模拟预测）已知函数y = ❑√x的图象与函数y =aln x的图象在公共点处有相同的切
线，则公共点坐标为
.
【答案】(e
2,e)
【解题思路】设公共点为( x0, y0)，由
1
2❑√x0
= a
x0
，可得x0= 4 a
2(a>0)，进而利用导数可得
{
x0= 4 a
2
aln x0= ❑√x0)，求解即可.
【解答过程】函数y =a ln x的定义域为(0,+∞)，可得f
′( x)= a
x ，由g
′( x)=
1
2❑√x ，
设曲线f ( x)=a ln x与曲线g( x)= ❑√x的公共点为( x0, y0)，
由于在公共点处有共同的切线，所以
1
2❑√x0
= a
x0
，所以x0= 4 a
2(a>0)，
由f ( x0)= g( x0)，可得a ln x0= ❑√x0，联立可得{
x0= 4 a
2
a ln x0= ❑√x0)，
解得x0=e
2，所以y0=e，所以公共点坐标为(e
2,e).
故答案为：(e
2,e).
【题型8 与切线有关的最值问题】
29．（2025·江苏南京·二模）已知y =(x −a)
2+(x ln x −a+3)
2(a∈R)，则y的最小值为（ ）
A．2
B．1
C．
❑√2
2
D．1
2
【答案】A
【解题思路】先设点P(x , xln x)及点Q (a,a−3)，应用两点间距离，再应用导函数计算得出切线斜率得
出切点，最后应用点到直线距离计算求解.
【解答过程】设点P(x , xln x)是函数f (x)= xln x图象上的点，点Q (a,a−3)是直线l: y = x−3上的点，
则|PQ)=
❑√(x−a)
2+(x ln x−a+3)
2，所以y =|PQ)
2，
因为f
′ (x)= ln x +1，设函数f (x)在点M (x0, y0)处的切线l1与直线l平行，
则f
′(x0)= ln x0+1=1，解得xo=1，则点M (1,0)，
所以|PQ)的最小值为点M (1,0)到直线l的距离d =|1−0−3)
❑√2
= ❑√2，
所以y =(x−a)
2+(x ln x−a+3)
2的最小值为2，
故选：A.
30．（2025·广东佛山·一模）若直线y = x +a与曲线y =ln(x +b)相切，则a
2+b
2的最小值为（ ）
A．1
2
B．1
C．3
2
D．2
【答案】A
【解题思路】通过设切点，利用导数的几何意义列出等式，再利用二次函数的性质求其最小值.
【解答过程】设直线y = x +a与曲线y = ln( x +b)的切点为( x0, y0).
对y = ln( x +b)求导，根据(lnu)
′ = 1
u u
′，可得y
′ =
1
x +b.
因为直线y = x +a的斜率为1，由导数的几何意义可知，
在切点处
1
x0+b =1，即x0=1−b.
又因为切点( x0, y0)既在直线上又在曲线上，
所以y0= x0+a且y0= ln( x0+b)，即ln( x0+b)= x0+a.
将x0=1−b代入ln( x0+b)= x0+a可得：ln(1−b+b)=1−b+a，即a=b−1.
将a=b−1代入a
2+b
2可得：
a
2+b
2=(b−1)
2+b
2=2b
2−2b+1=2(b−1
2)
2
+ 1
2，
所以当b= 1
2，a=−1
2时，a
2+b
2取得最小值为1
2.
故选：A.
31．（24-25 高二下·河北秦皇岛·期末）已知m>0，n>0，直线y = x
e +m+1与曲线y =ln x−n+2相切，
则4
m + 1
n的最小值是（ ）
A．16
B．12
C．10
D．9
【答案】D
【解题思路】由y =ln x−n+2得y
′ = 1
x
，由切线方程y = x
e +m+1可得切点横坐标为x =e，进而可得
m+n=1，根据基本不等式可得4
m + 1
n
的最小值为9.
【解答过程】由y =ln x−n+2得y
′ = 1
x ，
由直线y = x
e +m+1与曲线y =ln x−n+2相切可得1
x = 1
e ，得x =e，
故e
e +m+1=lne−n+2，得m+n=1，又m>0，n>0，
故4
m + 1
n =(
4
m + 1
n)(m+n)=5+ 4 n
m + m
n ≥5+2❑√
4 n
m × m
n =9，
当且仅当4 n
m = m
n ，即m= 2
3 ,n= 1
3时等号成立，
故选：D.
32．（24-25 高二上·江苏南京·期末）实数x1、x2、y1、y2满足：x1
2−ln x1−y1=0，x2−y2−4 =0，则
(x1−x2)
2+( y1−y2)
2的最小值为（ ）
A．❑√2
B．2❑√2
C．2
D．8
【答案】D
【解题思路】由两点坐标表示距离公式可知(x1−x2)
2+( y1−y2)
2的最小值转化为y = x
2−ln x (x>0)上的点
与x−y −4 =0上的点的距离的平方的最小值，利用导数的几何意义和点到直线的距离公式计算即可求解.
【解答过程】由x1
2−ln x1−y1=0，得y1= x1
2−ln x1，又x2− y2−4 =0，
所以，(x1−x2)
2+( y1−y2)
2的最小值转化为
y = x
2−ln x (x>0)上的点P(x1, y1)与x−y −4 =0上的点Q(x2, y2)的距离的平方的最小值，
由y = x
2−ln x，得y
′ =2 x−1
x ，
与x−y −4 =0平行的直线的斜率为1，
由2 x−1
x =1，解得x =1或x =−1
2（舍），可得切点为(1,1)，
切点到直线x−y −4 =0的距离的平方，即为(x1−x2)
2+ ( y1−y2)
2的最小值，
所以，(x1−x2)
2+( y1−y2)
2的最小值为(
|−4)
❑√1+1)
2
=8．
故选：D.
A 组 基础跟踪练
一、单选题
1．（2025·湖北·一模）下列求导运算正确的是（ ）
A．(sin a)
′ =cosa(a 为常数)
B．(sin 2 x)
′ =2cos2 x
C．(3
x)
′ =3
x log3e
D．(❑√x +1)
′ =
2
❑√x +1
【答案】B
【解题思路】根据求导公式和简单复合函数的求导，依次计算即可判断选项.
【解答过程】A：因为a 为常数，所以(sin a)
′ =0，故A 错误；
B：(sin 2 x)
′ =cos2 x ⋅(2 x)
′ =2cos2 x，故B 正确；
C：(3
x)
′ =3
x ln3，故C 错误；
D：(❑√x +1)
′ =[( x +1)
1
2 ]
′ = 1
2 ( x +1)
−1
2 ⋅( x +1)
′ =
1
2❑√x +1
，故D 错误.
故选：B.
2．（2025·广东江门·模拟预测）曲线y =−e
x+5 x +2在点(0,1)处的切线方程为（ ）
A．4 x−y +1=0
B．4 x−y −1=0
C．5 x−y +1=0
D．5 x−y −1=0
【答案】A
【解题思路】求函数y =−e
x+5 x +2的导函数，再求导函数在x =0时的值，结合导数的几何意义求切线斜
率，利用点斜式求切线方程．
【解答过程】因为y =−e
x+5 x +2，所以y
′ =−e
x+5，故y
'|x =0=−e
0+5= 4，
所以曲线y =−e
x+5 x +2在点(0,1)处的切线斜率k = 4，
故曲线y =−e
x+5 x +2在点(0,1)处的切线方程为y −1= 4 x，即4 x−y +1=0，
故选：A.
3．（2025·云南昆明·模拟预测）若函数f (x)=a x
3+ f
′ (1)e
x+ x为奇函数，则a=（ ）
A．−1
B．−1
3
C．2
3
D．3
2
【答案】B
【解题思路】根据题意结合奇函数的定义可得f
′ (1)=0，求导代入x =1运算求解即可.
【解答过程】因为f (x)=a x
3+ f
′ (1)e
x+ x是奇函数，
则f (x)+ f (−x)=[a x
3+ f
′ (1)e
x+ x)+[−a x
3+ f
′ (1)e
−x−x)=0，
可得f
′ (1)(e
x+e
−x)=0，即f
′ (1)=0，
则f (x)=a x
3+ x，f
′ (x)=3a x
2+1，
可得f
′ (1)=3a+1=0，解得a=−1
3.
故选：B.
4．（2025·广东广州·模拟预测）若直线y = x +a与曲线y =e
x +b相切，则（ ）
A．a+b=−1
B．a+b=1
C．a−b=−1
D．a−b=1
【答案】D
【解题思路】根据导数的几何意义（切线斜率）和切点同时在直线与曲线上列方程求解即可．
【解答过程】设切点为(x , y)，曲线y =e
x +b在切点处的斜率为y
′ =e
x +b，直线y = x +a在切点处的斜率为
1，切点处两者斜率相等，
所以e
x +b=1，得x +b=0，即切点横坐标x =−b，
又因为切点同时在直线与曲线上，纵坐标相等，所以e
−b+b=a−b，也即a−b=1．
故选：D．
5．（2025·甘肃白银·三模）若函数f (x)的导函数f
′ (x)为偶函数，则f (x)的解析式可以为（ ）
A．f (x)=cos x
B．f (x)= x
3+ x
2
C．f (x)= x
4+ 1
x
D．f (x)= x
3+2 x−3
【答案】D
【解题思路】逐一判断各选项中导函数f
′ (x)的奇偶性即可.
【解答过程】对于选项A，f
′ (x)=−sin x为奇函数，A 错误；
对于选项B，f
′ (x)=3 x
2+2 x为非奇非偶函数，B 错误；
对于选项C，f
′ (x)= 4 x
3−1
x
2，且f
′ (1)=3，f
′ (−1)=−5，f
′ (−1)≠f
′ (1)，
则f
′ (x)不是偶函数，C 错误；
对于选项D，f
′ (x)=3 x
2+2为偶函数，D 正确.
故选：D.
6．（2025·河南·模拟预测）曲线y =e
x−1与y = x
2的公切线的条数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【解题思路】设出切点，即可根据点斜式求解直线方程，根据公切线列方程得4(x1−1)=e
x1−1，令
x1−1=t，构造f (t )= 4 t −e
t，由导数求解方程根的个数即可求解.
【解答过程】设y =e
x−1的切点为(x1,e
x1−1)，y = x
2的切点为(x2, x2
2)，
y
′ =(e
x−1)
′ =e
x−1，y
′ =(x
2)
′ =2 x，
所以y =e
x−1在(x1,e
x1−1)处的切线方程为y =e
x1−1(x−x1)+e
x1−1，即y =e
x1−1 x +(1−x1)e
x1−1，
y = x
2在(x2, x2
2)处的切线方程为y =2 x2(x−x2)+ x2
2，即y =2 x2 x−x2
2
故e
x1−1=2 x2且(1−x1)e
x1−1=−x2
2，
故(x1−1)e
x1−1= x2
2=(
e
x1−1
2 )
2
，即4(x1−1)=e
x1−1，
令x1−1=t，构造f (t )= 4 t −e
t，
则f
′ (t )= 4−e
t，
当t <ln 4 ,f
′ (t )>0,f (t )在区间(−∞,ln 4)单调递增，
t >ln 4 ,f
′ (t )<0,f (t )在区间(ln 4 ,+ ∞)单调递减，
故f (t )max = f (ln 4)= 4 (ln 4−1)>0，且当t →−∞,f (t )→−∞，t →+∞,f (t )→−∞，
故f (t )= 4t −e
t =0有两个不相等的实数根，
故公切线的条数为2，
故选：C.
7．（2025·福建福州·模拟预测）曲线f (x)= x
3+3 x在点(−1, f (−1))处的切线方程为（ ）
A．y + 4 =0
B．2 x−y −2=0
C．6 x−y =0
D．6 x−y +2=0
【答案】D
【解题思路】求导，根据导数的几何意义可得切线斜率与切线方程.
【解答过程】由已知f (x)= x
3+3 x，
则f
′ (x)=3 x
2+3，
即切线斜率k = f
′ (−1)=3×(−1)
2+3=6，
又f (−1)=(−1)
3+3×(−1)=−4，
所以切线方程为y −(−4)=6[x−(−1))，
即6 x−y +2=0，
故选：D.
8．（2025·河北·模拟预测）已知函数f (x)= x
3−x +1，则f (x)的图象在点(1,1)处的切线方程是（ ）
A．4 x + y −5=0
B．4 x−y −3=0
C．2 x + y −3=0
D．2 x−y −1=0
【答案】D
【解题思路】根据求导公式求出函数f ( x)的导数，再将切点的横坐标代入导数中，得到切线的斜率，最后
利用点斜式方程求出切线方程.
【解答过程】对f ( x)= x
3−x +1求导：f
′( x)=( x
3−x +1)
′ =( x
3)
′−( x)
′ +(1)
′ =3 x
2−1.
将x =1代入f
′( x)中，可得切线的斜率k = f
′(1)=3×1
2−1=2.
已知切线过点(1,1)，斜率为2，根据点斜式方程，可得切线方程为y −1=2( x−1).
将其化简为一般式： 2 x−y −1=0，
f ( x)的图象在点(1,1)处的切线方程是2 x−y −1=0.
故选：D.
9．（24-25 高二下·山东菏泽·期中）可与曲线y =e
x+1和y =e
x +1的公切线l垂直的直线方程为（ ）
A．x +e y +7 =0 B．e x + y −7=0
C．x−y +1=0
D．x + y −1=0
【答案】D
【解题思路】设l与f (x)=e
x+1和g(x)=e
x +1分别相切于(x1,e
x1+1)，(x2,e
x2+1)，利用导数的几何意义得
到方程，求出x1，即可得到切线的斜率，即可求得答案.
【解答过程】设l与f (x)=e
x+1和g(x)=e
x +1分别相切于(x1,e
x1+1)，(x2,e
x2+1)，
而f
′( x)=e
x，g
′( x)=e
x +1，
∴f
′( x1)=e
x1，g
′( x2)=e
x2+1，
{
e
x1=e
x2+1
e
x2+1−e
x1−1
x2−x1
=e
x1)
，解得{
x1=0
x2=−1)，∴f
′(0)=e
0=1，即公切线l的斜率为1，
故与l垂直的直线的斜率为−1，
所以所求直线方程可为x + y −1=0．
故选：D．
10．（2025·全国·模拟预测）已知函数f (x)及其导函数f
′ (x)的定义域均为R，记
g(x)= f
′ (x), y = f (2 x−1)+1是定义在R上的奇函数，且f (2 x +1)的一个周期为2，则（ ）
A．2 为f (x)的周期
B．f (2025)+ f (−2023)=2
C．g(−x)= g(x)
D．g(3+ x)= g(3−x)
【答案】D
【解题思路】根据函数奇偶性，得到对称性和周期性，逐个计算判断即可.
【解答过程】因为 y = f (2 x−1)+1 是定义在 R上的奇函数，
所以 f (−2 x−1)+1+ f (2 x−1)+1=0,
所以 f (−x−1)+ f ( x−1)=−2 ，
所以 f ( x) 关于 (−1,−1) 对称，且 f (−1)=−1 ，
又 f (2 x +1) 的一个周期为 2 ，
所以 f [2( x +2)+1]= f (2 x +1) ，即 f (2 x +5)= f (2 x +1) ，
所以 f ( x + 4)= f ( x) ，所以 f ( x) 的周期为 4 ，所以 A 选项错误；
因为 f (−x−1)+ f ( x−1)=−2 ，
所以 f (−x)+ f ( x−2)=−2 ，
又 f ( x) 的周期为 4 ，即f ( x−2)= f ( x +2)，
所以 f (−x)+ f ( x +2)=−2 ，
所以 f (−2023)+ f (2025)=−2 ，所以 B 选项错误；
因为 f (−x)+ f ( x +2)=−2 ，f ( x + 4)= f ( x) ，
所以 −f
′(−x)+ f
′( x +2)=0 ，f
′( x + 4)= f
′( x),
即 −g(−x)+ g( x +2)=0 ，g( x + 4)= g( x) ，
所以 −g(−x)+ g( x−2)=0 ，−g(−x)+ g( x +6)=0 ，
所以 g(−x)= g( x−2) ，g( x +3)= g(3−x) ，
所以 C 选项错误，D 选项正确．
故选：D．
二、填空题
11．（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数f (x)= x
4+a x
2+2025，若f
′ (−2)=5，则f
′ (2)= ．
【答案】−5
【解题思路】根据导函数的奇偶性，代入求值即可.
【解答过程】由f (x)= x
4+a x
2+2025，得f
′ (x)= 4 x
3+2ax，
又f
′ (−x)= 4 (−x)
3+2a(−x)=−(4 x
3+2ax)=−f
′ (x)，
所以f
′ (x)为奇函数，所以f
′ (2)=−f
′ (−2)=−5.
故答案为：−5.
12．（2025·云南·一模）已知函数f ( x)= ❑√x−ln x，则曲线y = f ( x)在点(1,f (1))处的切线方程为
．
【答案】x +2 y −3=0
【解题思路】由导数的几何意义和导数的运算公式求解即可.
【解答过程】由f ( x)= ❑√x−ln x，得f
′( x)= 1
2 x
−1
2 −1
x
，所以f
′(1)=−1
2，
又因为f (1)=1，则切点坐标为(1,1)，
故曲线y = f ( x)在点(1,f (1))处的切线方程为y −1=−1
2 ( x−1)，即x +2 y −3=0．
故答案为：x +2 y −3=0.
B 组 培优提升练
一、单选题
1．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数f (x)=ln x
x +a，曲线y = f (x)在点(1,f (1))处的切线与直线
2 x−y =0平行，则实数a的值为（ ）
A．−1
2
B．−1
4
C．1
2
D．1
【答案】A
【解题思路】求导可得f
′ (x)，结合导数的几何意义代入计算，即可得到结果.
【解答过程】由f (x)=ln x
x +a可得f
′ (x)=
1
x
(x +a)−ln x
(x +a)
2
=
1+ a
x −ln x
(x +a)
2
，
则k = f
′ (1)= 1+a
(1+a)
2 =
1
1+a，
因为曲线y = f (x)在点(1,f (1))处的切线与直线2 x−y =0平行，
且直线2 x−y =0的斜率为2，即1
1+a =2，解得a=−1
2.
故选：A.
2．（2025·山西·三模）已知函数f (x)= x
3−ax的图象上两点A(x0,f (x0))，B(
1
x0
,f(
1
x0))处的切线互相
垂直，则a的取值范围是（ ）
A．[−2,2)
B．(0,+∞)
C．[−3−❑√5,−3+ ❑√5)
D．(1,+∞)
【答案】B
【解题思路】求导，由题意可得(3 x0
2−a)(
3
x0
2 −a)=−1，可得10+a
2
3a
= x0
2+ 1
x0
2，分类讨论可求得a>0.
【解答过程】f
′ (x)=3 x
2−a，f
′(x0)=3 x0
2−a，f
′(
1
x0)= 3
x0
2 −a，
根据题意(3 x0
2−a)(
3
x0
2 −a)=−1，则有9−3a(x0
2+ 1
x0
2)+a
2=−1，
当a=0时，显然(3 x0
2−a)(
3
x0
2 −a)=−1不成立，
所以10+a
2
3a
= x0
2+ 1
x0
2，若a<0，10+a
2
3a
<0，不满足题意；
若a>0，则10+a
2
3a
≥2❑√10
3
>2恒成立，解得a>0.
故选：B．
3．（2025·河北秦皇岛·一模）已知曲线C : y =e
x+ x在点P(x0, y0)处的切线l与直线l
′: y =2 x−1平行，则l
与l
′之间的距离为（ ）
A．
❑√5
5
B．2❑√5
5
C．3 ❑√5
5
D．4 ❑√5
5
【答案】B
【解题思路】由题知l的斜率为2，由y
′ =e
x0+1=2得P(0,1)，进而可得直线l的方程为：2 x−y +1=0，进
而由平行线间的距离公式可得.
【解答过程】由题意y
′ =e
x+1，切线l的斜率为2，则e
x0+1=2，得x0=0，
故y0=e
x0+ x0=1，故切线l的方程为：y −1=2 x，即2 x−y +1=0，
直线l
′: y =2 x−1，即2 x−y −1=0，
故两直线的距离为d = |1−(−1))
❑√2
2+(−1)
2 = 2❑√5
5
，
故选：B.
4．（2025·江西·一模）已知可导函数f (x)的定义域为R，f
′ (x)是f (x)的导函数，且f (2 x−1)为偶函数
f
′ (2 x +1)为奇函数，f
′ (0)=1，则f
′ (2024)+ f
′ (2025)+ f
′ (2026)=（ ）
A．−2
B．−1
C．0
D．1
【答案】C
【解题思路】由题意可得f
′ (1−t )+ f
′ (1+t )=0，由函数奇偶性的定义得出f (−t −1)= f (t −1)，求导得出
−f
′ (−t −1)= f
′ (t −1)，进而可推出函数f
′ (x)是周期为4的周期函数，以及函数f
′ (x)的对称中心为(1,0)，
求出f
′ (1)、f
′ (0)+ f
′ (2)的值，结合函数周期性可求得f
′ (2024)+ f
′ (2025)+ f
′ (2026)的值.
【解答过程】因为函数f
′ (2 x +1)为奇函数，则f
′ (−2 x +1)=−f
′ (2 x +1)，
即f
′ (−2 x +1)+ f
′ (2 x +1)=0，令t =2 x，则f
′ (1−t )+ f
′ (1+t )=0，
所以，函数f
′ (x)的对称中心为(1,0)，且f
′ (2−t )+ f
′ (t )=0，①
在等式
中，令
①
t =1可得2f
′ (1)=0，解得f
′ (1)=0，
在等式
中，令
①
t =0可得f
′ (0)+ f
′ (2)=0,
因为函数f (2 x−1)为偶函数，则f (−2 x−1)= f (2 x−1)，
令t =2 x，可得f (−t −1)= f (t −1)，求导得−f
′ (−t −1)= f
′ (t −1)，
则f
′ (t )+ f
′ (−2−t )=0，②
由
可得
①②
f
′ (2−t )= f
′ (−2−t )，令s=−2−t，则f
′ (4 + s)= f
′ (s)，
所以，函数f
′ (x)是周期为4的周期函数，
所以，f
′ (2024)+ f
′ (2025)+ f
′ (2026)= f
′ (0)+ f
′ (1)+ f
′ (2)=0.
故选：C.
5．（2025·河南·一模）抛物线C : y
2=2 px ( p>0)在其上一点处的切线方程为y −x−1=0，点A，B 为C 上
两动点，且|AB)=6，则AB的中点M 到y 轴距离的取值范围为（ ）
A．[2,+ ∞)
B．[
9
4 ,+ ∞)
C．[3,+ ∞)
D．[
3
2 ,+ ∞)
【答案】A
【解题思路】根据抛物线的切线方程，利用求导数，设切点，求出p=2；接着设出A( x1, y1),B( x2, y2)
，表示出点M 到y 轴的距离为：d = x1+ x2
2
，利用抛物线的定义表达式，将其转化为两条焦半径的和，结
合图形易得d ≥2，故得解.
【解答过程】依题意，因切线斜率为1，故切点必在第一象限，设切点为( y0
2
2 p , y0)，由y = ❑√2 px求导可
得：y
′ =
❑√2 p
2❑√x ，
依题，
❑√2 p
2❑√x0
=1，即
❑√2 p
2
❑√
y0
2
2 p
=1
化简得y0= p，故切点为( p
2 , p)，代入y −x−1=0中，解得p=2，故
C : y
2= 4 x.
如图，设点A( x1, y1),B( x2, y2),则M ( x1+ x2
2
, y1+ y2
2
)，点M 到y 轴的距离为：
d = x1+ x2
2
= x1+1+ x2+1
2
−1=| AF |+|BF |
2
−1≥| AB|
2
−1=2,
当且仅当线段AB经过点F时，等号成立. 故AB的中点M 到y 轴距离的取值范围为[2,+∞).
故选：A.
6．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数f (x)的导函数为f
′ (x)，f (x)和f
′ (x)的定义域均为R，若
f (x)−f (−x)=2 x，f
′ (x)+ f
′ (2−x)=0，f (0)=0，f (1)= 1
2，则∑
n=1
8
f (n)−∑
n=1
8
f
′ (n)=（ ）
A．−66
B．−56
C．−38
D．28
【答案】C
【解题思路】由题可得f
′ (2−x)−f
′ (−x)=−2，赋值计算可得{f
′ (n))为等差数列，可求得∑
n=1
8
f
′ (n)=−28
，由题可得f (x)−f (2−x)=0 ，化简可得f (2+ x)= f (x)−2 x，根据f (0)=0，f (1)= 1
2采用赋值计算可
得∑
n=1
8
f (n)=−66，最后计算求解即可.
【解答过程】由f (x)−f (−x)=2 x，求导得f
′ (x)+ f
′ (−x)=2，
又f
′ (x)+ f
′ (2−x)=0，所以f
′ (2−x)−f
′ (−x)=−2，
令n=−x得f
′ (2+n)−f
′ (n)=−2(n∈N
∗)，
又f
′ (0)+ f
′ (0)=2，所以f
′ (0)=1，
又f
′ (1)+ f
′ (2−1)=0，所以f
′ (1)=0，
又f
′ (2+0)−f
′ (0)=−2，所以f
′ (2)=−1.
综上，{f
′ (n))是以0为首项，−1为公差的等差数列，
所以∑
n=1
8
f
′ (n)=8×0+ 8×7
2
×(−1)=−28；
由f
′ (x)+ f
′ (2−x)=0，易得f (x)−f (2−x)=0，
又f (x)−f (−x)=2 x，所以f (2−x)−f (−x)=2 x，即f (2+ x)= f (x)−2 x，
因为f (0)=0，f (1)= 1
2，
所以f (2)= f (0)−2×0=0，f (4)= f (2)−2×2=−4，f (6)= f (4)−2×4 =−12，
f (8)= f (6)−2×6=−24，
f (3)= f (1)−2=−3
2，f (5)= f (3)−2×3=−15
2 ，f (7)= f (5)−2×5=−35
2 ，
即∑
n=1
8
f (n)= 1
2 +0−3
2 −4−15
2 −12−35
2 −24 =−66，
所以∑
n=1
8
f (n)−∑
n=1
8
f
′ (n)=−66+28=−38.
故选：C.
二、解答题
7．（2025·湖北黄冈·一模）设函数f (x)=e
2 x−2ax +bcos x +1(a，b∈R)的图象在点(0,f (0))处的切线
方程为y =−2 x +2．
(1)求a，b的值；
(2)求函数g(x)= f
' (x)−e
x的最小值．
【答案】(1)a=2，b=0
(2)−33
8
【解题思路】（1）根据导数的几何意义即可求解；
（2）利用复合函数的值域即可求解.
【解答过程】（1）∵f (x)=e
2 x−2ax +bcos x +1，∴f
' (x)=2e
2 x−2a−bsin x，
依题意知：f
′ (0)=−2=2−2a，∴a=2，
又∵f (0)=2=1+b+1∴b=0，∴a=2，b=0.
（2）∵a=2，b=0，∴f
' (x)=2e
2 x−4
∴g(x)=2e
2 x−e
x−4 =2(e
x−1
4)
2
−33
8 .
当e
x= 1
4 ，即x =−ln 4时，g(x)取得最小值，
∴g(x)最小值为−33
8 .
8．（2025·广东·模拟预测）已知函数f (x)=(x−3)e
x−1
2 a x
2+2ax +3a,a∈R．
(1)当a=1时，求曲线y = f (x)在(0,f (0))处的切线方程；
(2)若1<a<e
2
5 ，证明：函数f (x)有3 个零点；
(3)当a>1时，对任意的xn<0(n∈N
*)，满足x1+ x2+⋅⋅⋅+ xn=−1
2，证明：
f (x1)+ f (x2)+⋅⋅⋅+ f (xn)<(3n−1)(a−1)．
【答案】(1)y =0
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【解题思路】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，进而得到切线方程；
（2）通过求导分析函数单调性，结合特殊点的值确定零点个数；
（3）f (x)在(0,f (0))处的切线方程为y =(a−1)(2 x +3)，设g(x)=(a−1)(2 x +3)，利用导数证明：当
x<0时，f (x)< g(x)．进而得到f (x1)< g(x1),f (x2)<g(x2),⋅⋅⋅,f (xn)<g(xn)，证得不等式.
【解答过程】（1）当a=1时，f (x)=(x−3)e
x−1
2 x
2+2 x +3，则f
′ (x)=(x−2)e
x−x +2，
所以f (0)=0，f
′ (0)=0．因此曲线y = f (x)在(0,0)处的切线方程为y =0．
（2）f (x)的定义域是x∈R，f
′ (x)=e
x(x−2)−ax +2a=(e
x−a)(x−2)，
若1<a<e
2
5 ，令f
′ (x)=0，得x =lna或x =2，且lna<2．
当x∈(−∞,lna)时，f
′ (x)>0，f (x)单调递增：当x∈(lna,2)时，f
′ (x)<0，f (x)单调递减；
当x∈(2,+∞)时，f
′ (x)>0，f (x)单调递增；
所以f (x)在x =lna处取得极大值f (lna)= 1
2 alna(6−lna)，
在x =2处取得极小值f (2)=−e
2+5a．
因为1<a<e
2
5 ，所以f (2)=−e
2+5a<−e
2+5×e
2
5 =0，又f (3)= 9a
2 >0，
所以∃x1∈(2,3)，使得f (x1)=0，即f (x)在(2,+ ∞)上有1 个零点；
因为1<a<e
2
5 ，所以0<lna<2−ln5，则6−lna>0，所以f (lna)= 1
2 alna(6−lna)>0，
所以∃x2∈(lna,2)，使得f (x2)=0，即f (x)在(lna,2)上有1 个零点；
又f (−1)= a
2 −4
e <e
2
10 −4
e <0，
所以∃x3∈(−∞,lna)，使得f (x3)=0，即f (x)在(−∞,lna)上有1 个零点．
综上，当1<a<e
2
5 ，f (x)有3 个零点．
（3）f (x)在(0,f (0))处的切线方程为y =(a−1)(2 x +3)，
设g(x)=(a−1)(2 x +3)，
下面证明：当x<0时，f (x)<g(x)．
设h(x)= g(x)−f (x)，则h
′ (x)= g
′ (x)−f
′ (x)=−(x−2)(e
x−a)+2a−2，
设t (x)=h
′ (x)，则t
′ (x)=−(x−1)e
x+a，显然a>1，x<0时，t
′ (x)>0，所以t (x)递增，
则t (x)<t (0)=0，即h
′ (x)<0，所以h(x)递减，则h(x)>h(0)=0，
从而g(x)−f (x)>0，即f (x)<g(x)．
所以f (x1)<g(x1),f (x2)<g(x2),⋅⋅⋅,f (xn)<g(xn)，
得f (x1)+ f (x2)+⋅⋅⋅+ f (xn)<(a−1)(2 x1+3)+(a−1)(2 x2+3)+⋅⋅⋅+(a−1)(2 xn+3)
=(a−1)[2(x1+ x2+⋅⋅⋅+ xn)+3n)=(3n−1)(a−1)．
即f (x1)+ f (x2)+⋅⋅⋅+ f (xn)<(3n−1)(a−1)．
