第02 讲 导数的运算
目
录
思维导图...................................................................................................................................................2
高考分析...................................................................................................................................................2
学习目标...................................................................................................................................................2
知识要点...................................................................................................................................................3
解题策略...................................................................................................................................................7
题型归纳...................................................................................................................................................8
题型01：求基本初等函数的导数...............................................................................................................8
题型02：求函数的四则运算的导数.........................................................................................................12
题型03：特殊函数的导函数....................................................................................................................23
题型04：求某点处的导数值....................................................................................................................24
题型05：求复合函数的导数....................................................................................................................28
题型06：利用导数求函数式中的参数......................................................................................................36
题型07：解析式中含f '( x0)的导数问题.................................................................................................37
题型07：求切线方程..............................................................................................................................39
（一）利用导数求在某点处的切线方程.............................................................................................39
（二）利用导数求过点处的切线方程................................................................................................41
（三）利用导数公式求切点坐标.......................................................................................................43
（四）切线的平行、垂直问题...........................................................................................................47
（五）曲线切线的斜率、倾斜角问题................................................................................................53
（六）公切线问题............................................................................................................................57
（七）切线条数问题.........................................................................................................................62
（八）已知切线求参数范围..............................................................................................................64
题型08：根据导数的几何意义求参数的值...............................................................................................65
题型09：导数及其几何意义的综合应用..................................................................................................66
题型10：利用切线求距离最值................................................................................................................68
巩固提升................................................................................................................................................. 71
1. 考
率：
数的运算是
数板
的基
，在高考中每年必考，既会
独以
、填空
形式出
（分
查频
导
导
块
础
单
选择题
题
现
值
5 分），也会融合在
数的几何意
、
性、极
最
等解答
中
行
合考
。
导
义单调
值
值
题
进
综
查
2. 考
重点：
查
①基本初等函数的
数公式（
函数、指数函数、
数函数、三角函数、常数函数）的直接
用。
导
幂
对
应
②
数的四
运算法
（和差
商），尤其是
、商法
的
形
用。
导
则
则
积
积
则
变
应
①复合函数的求
法
（“
式法
”），
是高考的核心
点，常
合指数、
数、三角函数的复合形式考
导
则
链
则
这
难
结
对
。
查
④与
数的几何意
（求切
斜率、切
方程）
合的
合
型，是高
考点。
导
义
线
线
结
综
题
频
3. 命
：近年来高考
数运算的考
更注重“
性
合”，不再局限于
的求
算，而是要求在复
题趋势
对导
查
隐
综
单纯
导计
函数（如含参数、分段函数、抽象函数）求
的基
上，
合
性、极
等
行分析，
运算的准确性
杂
导
础
结
单调
值
问题进
对
和
范性要求
高。
规
较
1. 基
目
础
标
①熟
并能准确默写基本初等函数的
数公式，无混淆、无
漏。
记
导
遗
②掌握
数的四
运算法
，能熟
和、差、
、商形式的函数求
。
导
则
则
练对
积
导
③理解复合函数的
构特征，会用“
式法
”
复合函数（一次复合）求
。
结
链
则对简单
导
2.
目
进阶
标
①能
复
复合函数（多次复合，如
对
杂
y=\ln(\sin x^2)）分步求
，明确每一步的内
、外
函数。
导
层
层
② 掌握分段函数在分段点
的
数求法（利用
数定
），以及非分段点
的常
求
方法。
处
导
导
义
处
规
导
③能
合
数的几何意
，通
求
解决切
斜率、切
方程相关
。
结
导
义
过
导
线
线
问题
3. 核心目标
①形成“先分析函数
构 →
合适求
法
→
范运算 →
果”的求
思
流程，确保运算
结
选择
导
则
规
检验结
导
维
零失
。
误
②能在含参数函数的求
中，准确区分“参数”与“
量”，避免运算
。
导
变
错误
知识点一：基本初等函数的导数
基本初等函数
导数
特别地
常数函数
（
为常数）
，
幂函数
（
为有理数）
，
指数函数
对数函数
正弦函数
余弦函数
要点诠释：
1.
常数函数的导数为0，即
（
为常数）
，其几何意义是曲线
（
为常数）在任意点
处的切线平行于x 轴.
2.
有理数幂函数的导数等于幂指数
与自变量的（
－1）次幂的乘积，即
.
3.
在数学中，“
”表示以（=2.71828
）为底数的对数；“
”表示以10 为底数的常用对数.
常
函数的
数
见幂
导
原函数
函数
导
f(x)＝c(c
常数
为
)
f′(x)＝0
f(x)＝x
f′(x)＝1
f(x)＝x2
f′(x)＝2x
f(x)＝x3
f′(x)＝3x2
f(x)＝
f′(x)＝
f(x)＝
f′(x)＝
知识点二：和、差、积、商的导数
函数和差
商的求
法
：
积
导
则
（1）和差
的求
法
积
导
则:
[cf(x)]′＝cf′(x)；
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
（2）商的倒数与商的求
法
导
则:
(f (x)≠0)；
2
( )
'( )
( )
'( )
( )
'
( )
( )
f x
f
x
g x
g x
f x
g x
g
x
(g(x)≠0)．
(3)其它
：
结论[af (x)±bg(x)]′＝af ′(x)±bg′(x)．
要点诠释：
1. 上述法则
也可以
：
简记为
（ⅰ）和（或差）的
数：
导
，
推广：
．
（ⅱ）
的
数：
积
导
，
特
地：
别
（c
常数）．
为
（ⅲ）商的
数：
导
，
两函数商的求
法
的特例
导
则
，
当
，
时
．
是一个函数倒数的求
法
．
这
导
则
2．两函数
与商求
公式的
明
积
导
说
（1）
比：
类
，
（v≠0），注意差异，加以区分．
（2）注意：
且
（v≠0）．
3．求
运算的技巧
导
在求
数中，有些函数
然表面形式上
函数的商或
，但在求
前利用代数或三角恒等
形可将函数
导
虽
为
积
导
变
先化
（可能化去了商或
），然后
行求
，可避免使用
、商的求
法
，减少运算量．
简
积
进
导
积
导
则
4 .f
'(a)
是一个数
实际
f
'(a)代表函数
在
的
数
；
处
导
值[f (a)]
'
是函数值
的
数，且
导
[f (a)]' =0.
5.(| x|)' =
x
| x| =| x|
x
多用乘法求
运算
导
连乘积形式
先展开化为多项式的形式，再求导
导数的加法法则
导数的减法法则
导数的乘法法则
导数的除法法则
公式形式
观察函数的结构特征，先化为整式函数或
较为简单的分式函数，再求导
对数形式
先化为和、差的形式，再求导
根式形式
先化为分数指数幂的形式，再求导
三角形式
先利用三角函数公式转化为和或差的形
式，再求导
含待定系数
如含f'（a），a，b 等的形式，先将待定系
数看成常数，再求导
知识点三：复合函数的导数
1.复合函数的概念
于函数
对
，令
，则
是中
量
间变
的函数，
是自
量
变
的函数，
函数
则
是自
量
变
的复合函数.
例如：函数
是由
和
复合而成的.
2.复合函数的导数
函数
设
在点
可
，
处
导
，函数
在点
的
点
处
对应
也可
，
处
导
，
复
则
合函数
在点
可
，并且
处
导
，或写作
3.复合函数求导一般步骤
S1：分
：将复合函数
层
分出内
、外
层
层.
S2：各
求
：
内
层
导对
层
，外层
分
求
，得到
别
导
，
.
S3：求
并回代：求出两
数的
积
导
积
，然后将
用
替
，即可得到
换
的
数
导
.
要点诠释： 1. 整个
程可
分
——求
——回代，熟
以后，可以省略中
程。若遇多重复合，可以相
过
简记为
层
导
练
间过
应
地多次用中
量。
间变
2.
中
量是复合函数求
的关
。求
需要
住中
量，逐
求
，不
漏。求
后，要
选择
间变
导
键
导时
记
间变
层
导
遗
导
把中
量
成自
量的函数。
间变
转换
变
同一个
可有多种不同的求
方法，若能化
的式子，
先化
，再求
。
问题
导
简
则
简
导
注意:
函数
设
在点
有
数
处
导
，函数
在点
点
处对应
有
数
处
导
，则
复合函数
在点
有
数，且
处
导
，或些写作
.
①
；
②
；
③
；
④
；
⑤
.
知识点四：导数的几何意义
1.
平均变化率的几何意义——曲线的割线
函数
的平均
化率
变
的几何意
是表示
接函数
义
连
像上两点割
图
线
的斜率。
如
所示，函数
图
的平均
化率
变
的几何意
是：直
义
线AB 的斜率。
事
上，
实
。
一种表述：
换
曲
上一点
线
及其附近一点
，
点
经过
、
作曲
的割
线
线
，
有
则
。
要点诠释：根据平均
化率的几何意
，可求解有关曲
割
的斜率。
变
义
线
线
2.导数的几何意义——曲线的切线
定
：如右
，当点
义
图
沿曲
无限接近于点
线
，
即
，割
时
线
的极限位置直线
叫做曲
在点
线
的切
。
处
线
T
也就是：当
，割
时
线
斜率的极限，就是切
的斜率。
线
即：
。
要点诠释：（1）曲
上一点切
的斜率
只与
点的位置有关。
线
线
值
该
（2）切
斜率的本
———函数在
线
质
的
数。
处
导
（3）曲
的切
的斜率的符号可以刻画函数的增减性。
线
线
①若曲线
在点
的
数不存在，但有切
，
切
与
处
导
线则
线
垂直。
轴
②
，切
与
线
正向
角
角，
轴
夹
为锐
瞬
增；
时递
，切
与
线
正向
角
角，
轴
夹
为钝
瞬
减；
时递
，切
与
线
零度角，瞬
无增减。
轴
时
（4）曲
的切
可能和曲
有多个公共点；
线
线
线
什么要用割
的极限位置来定
切
，而不
“与曲
只有一个公共点的直
为
线
义
线
说
线
线
叫做切
？”
线
去我
定
的切
就是“与
有且只有一个公共点的直
”，
个定
符合
过
们
义圆
线
圆
线
这
义
、
等一
曲
，那么，能否
任何曲
圆椭圆
类
线
对
线C 都用“与C 有且只有一个公共点”来定
义C 的切
呢？如
线
图1-1-2-1 的曲线C 是我
熟知的正弦曲
们
线y=sin x 的一部分，直
线
2
然与曲
显
线C 有唯一公共点M，但我
不能
直
们
说
线
2与曲线C 相切；而直线
1尽
管与曲线C 有不止一个公共点，但我
可以
直
们
说
线
1是曲线C 在点N
的切
。
处
线
曲线的切线
（1）用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤：
①求出切点(x0,f (x0))的坐标;
②求出函数y=f ( x)在点x0
的
数
处
导
f
'( x0)
③得切
方程
线
y−f ( x0)=f
'( x)( x−x0)
（2）在点
处的切线与过点（x0，y0）的切线的区别。
在点
的切
是
明点
处
线
说
此切
的切点；而
点（
为
线
过
x0，y0）的切
，
切
是
点
线则强调
线
过
（x0，y0），此点可以是切点，也可以不是切点。因此在求
点（
过
x0，y0）的切
方程
，先
判断点（
线
时
应
x0，y0）是否
曲
为
线
上的点，若是
第一
解法，若不同
必
先在曲
上取一切点
则为
类
则
须
线
，求
此切点的切
方程
过
线
，再将点（x0，y0）代入，求得切点
的坐
，
而求
点（
标进
过
x0，y0）的切
方程。
线
求曲线“在”与“过”某点的切线
1、求曲
“在”某点
的切
方程步
线
处
线
骤
第一步（求斜率）：求出曲
在点
线
切
的斜率
处
线
f '( x0)
第二步（写方程）：用点斜式
第三步（
形式）：将点斜式
成一般式。
变
变
2、求曲
“
”某点
的切
方程步
线过
处
线
骤
第一步：
切点
设
为
；
第二步：求出函数
在点
的
数
处
导
；
第三步：利用Q 在曲
上和
线
，解出
及
；
第四步：根据直
的点斜式方程，得切
方程
线
线
为
．
1. 公式与法
用策略
则应
①
法：求
前先判断函数
型（基本初等函数、四
运算
合函数、复合函数），再
公式或法
归类
导
类
则
组
对应选择
。
则
②分步拆解法：
于复合函数，遵循“由外到内”的原
分步求
。
对
则
导
③化
先法：
于含分式、根式的函数，先化
（如将分式拆分
整式和分式的和、根式化
函数形
简优
对
简
为
为幂
式）再求
，减少运算量。
导
2. 易
点
避策略
错
规
①警惕商法
的符号
：
则
错误
②复合函数求
不
漏中
量：多次复合
，每一
都要求
并相乘。
导
遗
间变
时
层
导
③区分参数与
量：
变
题型01：求基本初等函数的导数
【典型例题1】若函数
的
函数
偶函数，
导
为
则
的解析式可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】函数奇偶性的定
与判断、基本初等函数的
数公式
义
导
根据
意，求出每个函数的
函数，
而判断答案
题
导
进
.
对A，
，
奇函数；
为
对B，
，
奇函数；
为
对C，
，
偶函数；
为
对D，
，既不是奇函数也不是偶函数.
故
：
选C.
【典型例题2】（多选）下列
正确的是（
选项
）
A．
，则
B．
，则
C．
，则
D．
，则
【答案】ABD
【解析】基本初等函数的
数公式、求某点
的
数
导
处
导
值
利用基本初等函数的
数公式逐
判断，可得出合适的
导
项
选项.
于
对
A
，若
选项
，则
，A
；
对
于
对
B
，若
选项
，则
，故
，B
；
对
于
对
C
，若
选项
，则
，C
；
错
于
对
D
，若
选项
，则
，D 对.
故
：
选ABD.
【变式训练1-1】
函数
设
，则
（ ）
A．0
B．1
C．
D．
【答案】B
【解析】由
意可得
题
，得
，
，所以
．
故
：
选B
【变式训练1-2】下列
数运算正确的是（
导
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】基本初等函数的
数公式
导
利用基本初等函数的
数即可得解
导
.
于
对
A，
，故A
；
错误
于
对
B，
，故B
；
错误
于
对
C，
，故C 正确；
于
对
D，
，故D 错误.
故
：
选C.
【变式训练1-3】（多
）下列求
运算
选
导
错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】
于
对
A，
，A
，故
错误
A
足
意；
满
题
于
对
B，
，B
，故
错误
B
足
意；
满
题
于
对
C，
，C 正确，故C 不
足
意；
满
题
于
对
D，
，D
，故
错误
D
足
意
满
题
.
故
：
选ABD.
【变式训练1-4】(多选)下列
正确的是（
结论
）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】ACD
【解析】
于
对
A，因为
是常数函数，所以
，故A 正确；
于
对
B，
，故B
；
错误
于
对
C，
，故C 正确；
于
对
D，
，则
，故D 正确.
故
：
选ACD.
【变式训练1-5】（多选）下列求
运算正确的是（
导
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】
数的乘除法、
数的加减法、基本初等函数的
数公式
导
导
导
利用基本初等函数的
数公式可判断
导
AC
；利用
数的四
运算可判断
选项
导
则
BD 选项.
于
对
A
，
选项
，A
；
错
于
对
B
，
选项
，B
；
对
于
对
C
，
选项
，C
；
对
于
对
D
，
选项
，D 错.
故
：
选BC.
【变式训练1-6】已知函数
及其
数
导
，若存在
使得
称
则
是
的一个“巧
点”，
值
出下列四个函数：（
给
1）
；（2）
；（3）
；（4）
；
其中没有“巧
点”的函数是（
值
）
A．（1）
B．（2）
C．（3）
D．（4）
【答案】A
【解析】根据
意利用“巧
点”的定
及方程解的情况判断即可
题
值
义
.2.（24-25 高三上·上海松江·期中）曲线
在点
的切
方程是 ．
处
线
直接求
得
导
，代入
求得斜率即可.
由
，则
，所以
，
所以在点(0,1)
的切
方程
处
线
为
，即
．
故答案
：
为
【变式训练1-7】函数
的
数
导
.
【答案】
【解析】利用
数运算求得正确答案
导
.
由于
，
所以
.
故答案
：
为
【变式训练1-8】函数
在
的切
方程
处
线
为
【答案】
【解析】求
，根据切点和
数的几何意
得到切
斜率，由点斜式写出方程
导
导
义
线
.
，则
，于是在
的切
斜率
处
线
为
，故切
方程
：
线
为
，
即
.
故答案
：
为
【变式训练1-9】求下列函数的
数
导
.
(1)
； (2)
； (3)
； (4)
； (5)
.
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【解析】（1）由
函数的
数公式有
幂
导
；
（2）由
函数的
数公式有
幂
导
；
（3）由
函数的
数公式有
幂
导
；
（4）由指数函数的
数公式有
导
；
（5）由
数函数的
数公式有
对
导
.
于
对
，
，不存在“巧
点”；
值
于
对
，
，令
可得
或
，有“巧
点”；
值
于
对
，
，令
，
因为
与
的
象有一个公共点，所以
图
有解，有“巧
点”；
值
于
对
，
，令
，可知
是
的一个解，有“巧
点”
值
.
故
：
选A
题型02：求函数的四则运算的导数
【典型例题1】函数
的
函数
导
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
.
故
：
选B
【典型例题2】已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，
所以
，
则
，
故
：
选C.
【典型例题3】多
）下列求
运算正确的有（
选
导
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】
于
对
A，
；
于
对
B，
，故A 错B
，
对
于
对
C，
，故C
；
对
于
对
D，
，故D
，
对
故
：
选BCD.
【典型例题4】无
我
函数
论
们对
求多少次
数，
果仍然是它本身；
就像我
在生活中无
遇到多少
导
结
这
们
论
艰难
阻，都要不忘初心，
持自我，按照自己制定的目
，
勇前行！已知函数
险
坚
标奋
，
它的
函数
则
导
【答案】
【解析】根据
数的乘法法
，
算即可得出答案
导
则计
.
根据
数的乘法运算法
，
导
则
可知
，
所以，
.
故答案
：
为
.
【典型例题5】求下列函数的
数：
导
(1)
；
(2)
；
(3)
．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）
（2）
（3）
【变式训练1-1】若函数
足
满
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．
【答案】D
【解析】由
，得
，
易知
奇函数，所以
为
，
所以
．
故
：
选D
【变式训练1-2】函数
的
函数
（
导
为 ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
数的运算法
、基本初等函数的
数公式
导
则
导
借助
数的运算法
算即可得
导
则计
.
.
故
：
选B.
【变式训练1-3】函数
的
函数
（
导
为 ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
数的运算法
、基本初等函数的
数公式
导
则
导
借助
数的运算法
算即可得
导
则计
.
.
故
：
选B.
【变式训练1-4】若曲线
在点
的切
与直
处
线
线
垂直，
数
则实
（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】B
【解析】利用
数的几何意
，求出切
斜率，再借助垂直关系求出
导
义
线
值.
函数
，求
得
导
，
因此曲
在点
线
的切
斜率
处
线
为
，
而切
与直
线
线
垂直，所以
.
故
：
选B
【变式训练1-5】若曲线
在点
的切
与直
处
线
线
垂直，
数
则实
（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】B
【解析】利用
数的几何意
，求出切
斜率，再借助垂直关系求出
导
义
线
值.
函数
，求
得
导
，
因此曲
在点
线
的切
斜率
处
线
为
，
而切
与直
线
线
垂直，所以
.
故
：
选B
【变式训练1-6】已知
，则
．
【答案】
【解析】由
数四
运算法
即可求解
导
则
则
.
.
故答案
：
为
.
【变式训练1-7】函数
的
数
导
．
【答案】
【解析】根据
数
算公式直接
算即可
导
计
计
.
函数
的
数
导
为
，
函数
的
数
导
为
，
根据
数加法运算公式，函数
导
的
数
导
.
故答案
：
为
.
【变式训练1-8】已知一罐汽水放入冰箱后的温度
（
位：
单
）与时间（
位：
单
h）
足函数关系
满
，则
大约经过 分
，温度的瞬
化率
钟
时变
为
（精确到1 分
）
钟
【答案】104
【解析】利用
数的几何意
算即可
导
义计
.
易知
，则
，
则
分钟.
故答案
：
为104
【变式训练1-9】某
启
的位移
赛车
动时
（米）和时间（秒）的关系
足
满
，则
的
时赛车
瞬
速度是
时
（米/秒）．
【答案】90
【解析】根据
数的物理意
求解即可
导
义
.
由
数的物理意
可得
点在第
导
义
该质
秒
的瞬
速度即函数
时
时
在
的
数
，
时
导
值
因为
所以
，
所以
，
所以
点在第
质
3 秒
的瞬
速度
时
时
为
（米/秒）．
故答案
：
为90．
【变式训练1-10】已知函数
，则
.
【答案】
【解析】求
，再求
导
值.
，
.
故答案
：
为
【变式训练1-11】无
我
函数
论
们对
求多少次
数，
果仍然是它本身；
就像我
在生活中无
遇到多少
导
结
这
们
论
阻，都要不忘初心，
持自我，按照自己制定的目
，
勇前行！已知函数
艰难险
坚
标奋
，
它的
函数
则
导
【答案】
【解析】根据
数的乘法法
，
算即可得出答案
导
则计
.
根据
数的乘法运算法
，
导
则
可知
，
所以，
.
故答案
：
为
.
【变式训练1-12】设
，函数
在
的切
方程
处
线
为
，则
.
【答案】
/2.75
【解析】求解
函数，
算
导
计
的
数
，再由切
方程得切
的斜率，由
数的几何意
列式求解出
处
导
值
线
线
导
义
的
，
值
再根据函数解析式求解切点坐
，并代入切
方程即可求解出
标
线
的
，从而
算出
值
计
的值.
由
得
，
因
函数
为
在
的切
方程
处
线
为
，
所以
，
所以
，
所以
，
当
，
时
，即切点为
，
将
代入
得
，
所以
.
故答案
：
为
【变式训练1-13】设
表示
在
的
数
， 已知
处
导
值
，则
【答案】
/
【解析】先
函数求
，然后将
对
导
代入
函数可求出
导
.
由
，得
，
令
，则
，解得
，
故答案
：
为
【变式训练1-14】
函数
设
的
函数
导
为
，且
，则
．
【答案】
【解析】求
，将
导
代入
函数可得
导
，然后可得.
因为
所以
，整理得
所以
所以
.
故答案
：
为
【变式训练1-15】已知
，则
=______________.
【答案】
【解析】
.
【变式训练1-16】已知
，则
=______________.
【答案】
【解析】
【变式训练1-17】已知
，则
．
【答案】
【解析】由
数四
运算法
即可求解
导
则
则
.
.
故答案
：
为
.
【变式训练1-18】函数
的
数
导
．
【答案】
【解析】根据
数
算公式直接
算即可
导
计
计
.
函数
的
数
导
为
，
函数
的
数
导
为
，
根据
数加法运算公式，函数
导
的
数
导
.
故答案
：
为
.
【变式训练1-19】设
，函数
在
的切
方程
处
线
为
，则
.
【答案】
/2.75
【解析】求解
函数，
算
导
计
的
数
，再由切
方程得切
的斜率，由
数的几何意
列式求解出
处
导
值
线
线
导
义
的
，
值
再根据函数解析式求解切点坐
，并代入切
方程即可求解出
标
线
的
，从而
算出
值
计
的值.
由
得
，
因
函数
为
在
的切
方程
处
线
为
，
所以
，
所以
，
所以
，
当
，
时
，即切点为
，
将
代入
得
，
所以
.
故答案
：
为
【变式训练1-20】求下列函数的
数：
导
(1)
；
(2)
；
(3)
．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】基本初等函数的
数公式、
数的乘除法
导
导
（1）根据函数的商的
数公式可求
的
数
导
对应
导
.
（2）根据函数的商的
数公式可求
的
数
导
对应
导
.
（3）根据函数的商的
数公式可求
的
数
导
对应
导
.
（1）
.
（2）
.
（3）
.
【变式训练1-21】求下列函数的
数：
导
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
；
(5)
；
(6)
；
(7)
.
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
【解析】（1）解：由已知可得
.
（2）解：由已知可得
.
（3）解：由已知可得
.
（4）解：由已知可得
.
（5）解：由已知可得
.
（6）解：由已知可得
.
（7）解：由已知可得
.
【变式训练1-21】求下列函数的
数
导
.
(1)
；
(2)
；
(3)
：
【答案】(1)
(2)
；(3)
【解析】（1）解：因为
，
所以
；
（2）解：因为
，
所以
；
（3）解：因为
，
所以
.
【变式训练1-22】求下列函数的
数：
导
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
；
(5)
；
(6)
；
(7)
.
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
【解析】（1）解：由已知可得
.
（2）解：由已知可得
.
（3）解：由已知可得
.
（4）解：由已知可得
.
（5）解：由已知可得
.
（6）解：由已知可得
.
（7）解：由已知可得
.
【变式训练1-23】求下列函数的
数：
导
(1)
；
(2)
；
(3)
．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】基本初等函数的
数公式、
数的乘除法
导
导
（1）根据函数的商的
数公式可求
的
数
导
对应
导
.
（2）根据函数的商的
数公式可求
的
数
导
对应
导
.
（3）根据函数的商的
数公式可求
的
数
导
对应
导
.
（1）
.
（2）
.
（3）
.
【变式训练1-24】求下列函数的
数：
导
(1)
；
(2)
；
(3)
．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）
（2）
（3）
题型03：特殊函数的导函数
【典型例题】设
，则
等
于（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【
解
析
】
因
为
，
所
以
所以
故选
.
【变式训练3-1】设
，
“
则
”是“
”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】
函数
设
.当
，
时
；又
，所以
（当且
当
仅
时
），所以
是
上的增函数.故选
题型04：求某点处的导数值
【典型例题1】
函数
设
足
满
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】B
【解析】
数定
中极限的
算
导
义
简单计
根据
数的定
及极限的运算性
算可得
导
义
质计
.
，
故
：
选B
【典型例题2】已知
，则
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．
【答案】C
【解析】
数的运算法
、求某点
的
数
导
则
处
导
值
【分析】先求出
数
导
，再代入求
即可．
值
由
，则
，所以
．
故
：
选C．
【典型例题3】无
我
函数
论
们对
求多少次
数，
果仍然是它本身；
就像我
在生活中无
遇到多少
导
结
这
们
论
艰难
阻，都要不忘初心，
持自我，按照自己制定的目
，
勇前行！已知函数
险
坚
标奋
，则
.
【答案】
【解析】根据函数的求
公式
算，
入即可
导
计
带
.
函数
，
.
故答案
：
为
【变式训练4-1】已知函数
的
数
导
为
，若
，则
（ ）
A．26
B．12
C．8
D．2
【答案】D
【解析】求某点
的
数
、
数的运算法
、基本初等函数的
数公式
处
导
值导
则
导
根据
意求出
函数
题
导
，
而可得
进
，
，即可得解.
∵
，
∴
，
所以
，解得
，
∴
，
∴
.
故
：
选D.
【变式训练4-2】已知函数
的
函数
导
为
，且
足
满
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．0
【答案】C
【解析】已知函数
的
函数
导
为
，利用求
公式
导
对
行求
，再把
进
导
代入，即可求解．
函数
的
函数
导
为
，且
足
满
，
，把
代入
可得
，
解得
．
故
：
选C．
【变式训练4-3】已知函数
及其
函数
导
定
域均
义
为
，
足
满
，且
奇函数，
为
记
，其
函数
导
为
，则
（ ）
A．0
B．1
C．
D．2
【答案】D
【解析】求某点
的
数
、
数的运算法
、函数
称性的
用、函数周期性的
用
处
导
值导
则
对
应
应
根据函数
足的关系式求
可得
满
导
关于
称，且
对
关于
称，利用
称
和
称中心
对
对
轴
对
可得
的周期为6，可求得
果
结
.
因为
，两
同
求
可得：
边
时
导
，
又g(x)= f
′ (x)，即
，可得
关于
称，
对
对
两
同
求
可得
边
时
导
，则
关于
称；
对
又
奇函数，
为
则
，求
可得
导
，
所以
关于
称，同
对
时
，则
关于(2,0)
称，
对
由
关于
称得，
对
，
由
关于
称得，
对
，
故
，可得
，
所以
，故
的周期为6；
同理
的周期也为6，
因此
，
由
可知，令
可得
；
由
关于(2,0)
称，可得
对
；
所以
故
：
选D.
【变式训练4-4】已知
，则
．
【答案】
【解析】求
后代入
算即可；
导
计
由
意得
题
，所以
.
故答案
：
为
.
【变式训练4-5】若
，则
．
【答案】
【解析】求
可得
导
，代入
算，即可求解
计
.
因为
，则
.
故答案
：
为
【变式训练4-6】已知函数
，则
.
【答案】
【解析】先求
，再令
导
即可.
，
所以
.
故答案
：
为
.
【变式训练4-7】已知函数
，则
．
【答案】8
【解析】根据函数在某点
的
数的定
求解。
处
导
义
根据
意，
题
，则
，又
．
故答案
：
为8
【变式训练4-8】已知函数
，则
.
【答案】
/
【解析】在等式
两
求
，再令
边
导
，即可得出
的值.
因为
，则
，
所以，
，故
.
故答案
：
为
.
【变式训练4-9】已知函数
的
数
导
为
，若
，则
．
【答案】
【解析】求出函数的
函数，令
导
，解得即可.
因为
，
则
，令
可得
解得
.
故答案
：
为
【变式训练4-10】若函数
足
满
，则
.
【答案】
【解析】求
可得
导
，令
运算求解即可.
因为
，可得
，
令
，可得
，解得
.
故答案
：
为
.
【变式训练4-11】已知函数
的
函数
导
为
，且
，则
的
象在
图
的切
方程
处
线
为 ．
【答案】
【解析】
定的函数求
，并求出参数
，再利用
数的几何意
求出切
方程作答
对给
导
值
导
义
线
.
函数
，求
得：
导
，则
，解得
，
因此
，
，则
，
所以所求切
方程
线
为
，即
.
故答案
：
为
题型05：求复合函数的导数
【典型例题1】下列求
算正确的是（
导计
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
数的运算法
及复合函数的求
公式依次分析
，
合可得答案．
导
则
导
选项综
于
对
A，
，A
；
错误
于
对
B，
，B 正确；
于
对
C，
，C
；
错误
于
对
D，
，D
．
错误
故
：
选B．
【典型例题2】（多选）下列
数运算正确的是（
导
）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】
复合函数的
数、
数的运算法
、基本初等函数的
数公式
简单
导
导
则
导
利用基本函数和复合函数的求
法
求解即可
导
则
.
选项A，
，故A 正确；
选项B，
，故B
；
错误
选项C，
，故C 正确；
选项D，
，故D 错误.
故
：
选AC.
【典型例题3】（多选）下列
数运算正确的是（
导
）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】
复合函数的
数、
数的运算法
、基本初等函数的
数公式
简单
导
导
则
导
利用基本函数和复合函数的求
法
求解即可
导
则
.
选项A，
，故A 正确；
选项B，
，故B
；
错误
选项C，
，故C 正确；
选项D，
，故D 错误.
故
：
选AC.
【典型例题4】函数
的
数
导
为 ．
【答案】
【解析】因
：
为
．
故答案
：
为
【典型例题5】函数
的
函数
导
为 ．
【答案】
【解析】根据复合函数的
函数运算求解
导
.
由
意可知：
题
，
所以
.
故答案
：
为
.
【变式训练5-1】已知函数
的
函数是
导
，且
，
数
则实
a 的
（
值为 ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】B
【解析】
，则
，解得
．
故
：
选B.
【变式训练5-2】已知某函数的
数
导
为
，
个函数可能是（
则这
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
于
对
A，函数
可以看作
和
的复合函数，
∴
，符合
意；
题
于
对
B，
，∴
，不符合
意；
题
于
对
C，
可以看作
和
的复合函数，
∴
，不符合
意；
题
于
对
D，
，∴
，不符合
意．
题
故
：
选A.
【变式训练5-3】已知直线
与曲线
相切，则
的
（
值为 ）
A．
B．
C．2
D．1
【答案】D
【解析】已知切
（斜率）求参数
线
切点坐
设
标为
，求导
，从而有斜率
，再由点
在曲
上求解
线
.
解：
切点坐
设
标为
，
因为
，所以
，
所以切
的斜率
线
，
又
，即
，解得
，
所以由
，得
.
故
：
选D.
【变式训练5-4】（多选）下列求
正确的是（
导
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】
复合函数的
数、
数的运算法
简单
导
导
则
由基本初等函数的
数与
数的运算法
算即可
导
导
则计
.
，
，
，
.
故
：
选BC.
【变式训练5-5】（多选）下列
数运算正确的有（ ）
导
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】
数的乘除法、
复合函数的
数、
数的运算法
、基本初等函数的
数公式
导
简单
导
导
则
导
利用初等函数以及复合函数求
公式逐
求
即可
导
项
导
.
选项A，
，故A
；
错误
选项B，
，故B 正确；
选项C，
，故C 正确；
选项D，
，故D
，
错误
故
：
选BC.
【变式训练5-6】（多选）下列求
正确的是（
导
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】
复合函数的
数、
数的运算法
简单
导
导
则
由基本初等函数的
数与
数的运算法
算即可
导
导
则计
.
，
，
，
.
故
：
选BC.
【变式训练5-7】（多选）下列
数运算正确的有（ ）
导
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】
数的乘除法、
复合函数的
数、
数的运算法
、基本初等函数的
数公式
导
简单
导
导
则
导
利用初等函数以及复合函数求
公式逐
求
即可
导
项
导
.
选项A，
，故A
；
错误
选项B，
，故B 正确；
选项C，
，故C 正确；
选项D，
，故D
，
错误
故
：
选BC.
【变式训练5-8】已知函数
，则
.
【答案】
【解析】函数
，求
得
导
，
所以
.
故答案
：
为
【变式训练5-9】
于
对
，且
函数的求
，可以使用下面的方式
行：
这类
导
进
第一步：
；
第二步：
；
第三步：
；
第四步：
.
根据框内的信息，函数
的
数
导
．
【答案】
【解析】因为
，故可得
，
所以
，即
，
所以
.
故答案
：
为
.
【变式训练5-10】已知
，则
．
【答案】
【解析】根据
复合函数的求
法
算可得
简单
导
则计
.
因为
，则
.
故答案
：
为
【变式训练5-11】已知函数
，
足
满
，
它的
函数
则
导
（
注明定
域）
请
义
.
【答案】
【解析】根据复合函数的
数运算法
求解
导
则
.
由
可知，函数
题
的定
域
义
为
，
，
故答案为:
.
【变式训练5-12】
函数
设
，则
.
【答案】
【解析】由复合函数的
数公式即可求得答案
导
.
因为
，所以
，
故答案
：
为
.
【变式训练5-13】已知函数
，
函数
则
的
函数
导
.
【答案】
【解析】根据基本初等函数以及复合函数的求
法
，即可得出答案
导
则
.
由已知可得，
.
故答案
：
为
.
【变式训练5-14】已知函数
，则
.
【答案】
【解析】先求
，然后再求
导
.
由
数的运算可知，
导
，
.
故答案
：
为
【变式训练5-15】已知函数
，
函数
像在点
则该
图
的切
的
斜角的大小是
处
线
倾
．
【答案】
【解析】先求
，再由
数的几何意
可得
导
导
义
，再
合
斜角的范
求解即可
结
倾
围
.
因为
，所以
，
则
，
直
的
斜角
设
线
倾
为
，则
，
又
，所以
，
故答案
：
为
.
【变式训练5-16】求下列函数的
数：
导
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【解析】直接利用求
公式
算得到答案
导
计
.
（1）
，
（2）
，
.
【变式训练5-17】某个
簧振子在振
程中的位移
弹
动过
（
位：
单
）与时间（
位：
单
）
足关系
满
，其中
.
(1)求
的
数；
导
(2)
算
计
，并解
它的
意
释
实际
义.
【答案】(1)
(2)
，
意
解析
实际
义见
【解析】（1）利用复合函数的求
法
即可得解；
导
则
（2）将
代入（1）中
数，再利用
数的意
解
即可
导
导
义
释
.
（1）因为
，
令
，则
可以看作
和
的复合函数，
根据复合函数的求
法
，有
导
则
.
（2）由（1）得
，
它表示当
，
簧振子振
的瞬
速度
时弹
动
时
为
．
题型06：利用导数求函数式中的参数
【典型例题】已知
，若
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
数的乘除法
导
根据
数的运算求
函数，由
导
导
解方程，即可求得
的值.
，
因为
，所以
，
解得
.
故
：
选B.
【变式训练6-1】已知函数
在区间
上的平均
化率
变
为4，则m 的值为 ．
【答案】3
【解析】平均
化率
变
由平均
化率的概念求解即可
变
.
，所以
，解得
．
故答案
：
为3.
【变式训练6-2】已知
，
，且
，则
.
【答案】
【解析】已知某点
的
数
求参数或自
量、基本初等函数的
数公式
处
导
值
变
导
定函数求
，再求出在
对给
导
3
的
数
即得
处
导
值
.
由
，求
得
导
，则
，由
，求
得
导
，
所以
.
故答案
：
为
【变式训练6-3】已知函数
，若
，则
.
【答案】
/
【解析】已知某点
的
数
求参数或自
量、
数的运算法
处
导
值
变
导
则
利用
数的运算法
及求
公式求出
数，再由
定的
数
求出
导
则
导
导
给
导
值
.
函数
，求
得
导
，
于是
，所以
.
故答案
：
为
题型07：解析式中含 f ′ (x0)的导数问题
【典型例题1】已知函数
，则
（ ）
A．6
B．3
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
所以
，
所以
，即
，
所以
，
所以
，
故
：
选D
【典型例题2】已知函数
的
数
导
为
，且
，则
（ ）
A．
B．
1
C．1
D．e
【答案】B
【解析】由
，得
，
当
，
时
，解得
，
所以
，则
.
故
：
选B
【变式训练7-1】已知函数
，则
（ ）
A．6
B．3
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
所以
，
令
，得
，
∴
，
所以
，故
故
：
选D.
【变式训练7-2】已知
是函数
的
函数，若
导
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．3
【答案】B
【解析】因为
，所以
.
令
，得
，所以
，
所以
，则
.
故
：
选B．
【变式训练7-3】已知函数
，则
的
（
值为 ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】D
【解析】
，则
，解得
.
故
：
选D.
【变式训练7-4】若f (x) = 2xf '(1) + x2 ，则f '(0)等于 ( )
A ．2 B ．0 C ．-2
D ．-4
【变式训练7-5】已知函数f(x) = x
x2 + x -1 ，f '( x)
是f (x ) 的
函数，
导
则f (1) + f, (2) =
．
【变式训练7-6】已知函数 f '( x) = x3 - f '(1)x2 + 2 ，则f (2) = ( )
10
A ． 一2 B ． C ．6
D ．14 3
【答案】
D
【解析】因为f (x) = 2xf,(1) + x
2 ，所以f,(x) = 2f,(1) + 2x
所以f,(1) = 2f,(1) + 2 ，得f, (1)
= - 2 所以f,(x) = -4 + 2x ，所以f,
(0) = -4 故选：D
【答案】
24
【解析】因为f (x) = x3 +
x2 + x -1，所以f, (x ) = 3x 2 +
x +1 ，所以f, (1) = 4 +
，即f, (1) = 8 ，
故f (1) + f,(2) = 3 + 21
【变式训练7-7】已知函数f (x) = f '(−1)x3 + x2 - x ，则 f '(−1) 的值为 ．
题型07：求切线方程
（一）利用导数求在某点处的切线方程
【典型例题1】曲线
在点
的切
方程
处
线
为 .
【答案】
【解析】由
求
得：
导
f '( x)=
1
3√(3 x−1)
2，
依
意，
题
，
故曲线
在点
的切
方程
处
线
为
，即
.
故答案
：
为
.
【典型例题2】曲线
在
的切
方程
处
线
为 .
【答案】
【解析】
，则
，
，
故所求切
方程
线
为
，即
.
故答案
：
为
【变式训练7-1-1】函数
的
象在点
图
的切
方程
处
线
为 ．
【答案】
【答案】
C
【解析】 f,(x) = 3x
2 - 2f,(1)x ，则f,(1) = 3 - 2f,(1) → f,(1)
= 1，则f(x) = x
3 - x
2 + 2 ， f(2) = 2
3 - 2
2 + 2 = 6
故选：C
【答案】
【解析】 ∵
f (x) = f '(−1)x
3 + x
2 - x
， ∴ f '( x)
= 3f, (-1)x
2 + 2x -1 ，
故答案为： .
【解析】∵
，
∴
，
∴
，
又
，
故所求切
的方程
线
为
，即
．
答案：
【变式训练7-1-2】函数
在点
的切
方程
处
线
为 ．
【答案】
【解析】因为
，所以切点坐标为
，
又
，
切
的斜率
则
线
，
由直
的点斜式方程可得
线
，即
，
所以切
方程
线
为
.
故答案
：
为
【变式训练7-1-3】已知函数
．
(1)求曲线
在点
的切
方程；
处
线
(2)求曲线
在点
的切
与两坐
成的三角形的面
．
处
线
标轴围
积
【答案】(1)
；
(2)
.
【解析】（1）由
，
题设
，则
，又
，
所以
的切
方程
处
线
为
，整理得
.
（2）由（1），令
，
时
；令
，
时
；
所以切
与两坐
成的三角形的面
线
标轴围
积为
.
（二）利用导数求过点处的切线方程
【典型例题1】
点
过
且与曲线
相切的直
方程是（
线
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，点
不在曲
上，
线
切点
设
为
，则
，
解得：
，得切点
，则
切
方程
：
线
为
，
故
：
选
．
【典型例题2】
点
过
作两条直
与曲
线
线
（e 是自然
数的底数）相切，切点的横坐
分
对
标
别为
，
，
则
的
（
值为 ）
A．
e
B．e
C．
3
D．3
【答案】C
【解析】由
，得
，
切点坐
设
标为
，
切
斜率
则
线
为
，所以切
方程
线
为
.
因
点
为
在切
上，所以
线
，即
，
合
意，
结
题
则
，
是上述方程的根，所以根据
达定理得
韦
.
故
：
选
.
【变式训练7-2-1】
点
过
的直线l 与曲线
相切，
直
则
线l 的斜率
（
为 ）
A．不存在
B．-1
C．3
D．3 或-1
【答案】D
【解析】解：因为
，所以
，
，
当
切点
，
为
时
；
当
不
切点
，
切点
为
时设
为
，
，
所以
，
所以切
方程
线
为
，
又切
点
线过
，
所以
，
即
，即
，
解得
或
（舍去），所以切点为
，
所以
．
上所述，直
综
线l 的斜率为3 或-1．
故
：
选D
【变式训练7-2-2】
原点可以作曲
过
线
的两条切
，
两条切
方程
（
线则这
线
为 ）
A．
和
B．
和
C．
和
D．
和
【答案】A
【解析】由
，得
偶函数，
为
故
原点作的两条切
一定关于
过
线
y
称．
轴对
当
，
时
，则
，
切点
设
为
，故
，解得
或
（舍），
所以切
斜率
线
为1，从而切
方程
线
为
．
由
称性知：另一条切
方程
对
线
为
．
故
：
选A
【变式训练7-2-3】（多
）
选设
，点
是直线
上的任意一点，
点
过
作函数
象的切
，可能作（
图
线
）
A．0 条
B．1 条
C．2 条
D．3 条
【答案】BC
【解析】设
直
上任意一点，
为
线
点
过
作
的切
，切点
线
为
，
函数
则
象在点
图
B
的切
方程
处
线
为
，
即
，
整理得，
，
解得
1 或
当
，
时
，方程
有一个
根，切
可以作
仅
实
线仅
1 条；
当
，
时
，方程
有两个不同
根，切
可以作
实
线
2 条.
故
：
选
.
（三）利用导数公式求切点坐标
【典型例题1】
曲
设
线
在点
的切
与
处
线
的交点的横坐
轴
标为
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】基本初等函数的
数公式、求在曲
上一点
的切
方程（斜率）
导
线
处
线
根据
数几何意
可求得切
方程，
而得到
导
义
线
进
，累乘即可得到
果
结
.
，
，
在点
的切
方程
：
处
线
为
，
令
得：
，
.
故
：
选D.
【典型例题2】已知
点
过
的直
与曲
线
线
相切于点
，
切点
则
的坐
（
标为 ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】求在曲
上一点
的切
方程（斜率）、求
一点的切
方程、基本初等函数的
数公式
线
处
线
过
线
导
切点坐
设
标
，利用
数求出
切点的切
方程，代入已知点求出
导
过
线
，即可求出切点
的坐标.
切点坐
设
标为
，由
，得
，
切点的切
方程
则过
线
为
，
把点
代入切
方程得，
线
，即
，
又
，所以
，则
，
切点坐
则
标为
.
故
：
选A
【变式训练7-3-1】若
点
动
P 在直线
上，
点
动
Q 在曲线
上，则|PQ|的最小
（
值为 ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】求
一点的切
方程、求平行
的距离
过
线
线间
与直
设
线
平行的直线的方程为
，当直线与曲线
相切，且点
切点
，
为
时
，
两点
的距离最小，根据
数的几何意
求出直
间
导
义
线的方程，再利用平行
的距离公式即可求得
果
线间
结
.
与直
设
线
平行的直线的方程为
，
∴当直线与曲线
相切，且点
切点
，
为
时
，
两点
的距离最小，
间
切点
设
，
，所以
，
，
，
，
点
，
直线的方程为
，
两点
距离的最小
平行
间
值为
线
和
的距离，
间
两点
距离的最小
间
值为
.
故
：
选
.
【变式训练7-3-2】已知直线
是曲线
的切
，
切点坐
（
线则
标为 ）
A．（
，-1）
B．（e，1）
C．（
，
）
D．（0，1）
【答案】B
【解析】直线
原点，
过
设
是曲线
上任意一点，
，所以在点
的曲线
的斜率为
，
所以在点
的曲线
的切
方程
线
为
，
即
，将
代入上式得
，
所以切点为
.
故
：
选B
【变式训练7-3-3】在平面直角坐
系
标
中，点A 在曲线y=lnx 上，且
曲
在点
该
线
A
的切
点（
处
线经过
-e，-1)(e
自然
数的底数），
点
为
对
则
A 的坐
是
标
____.
【答案】
.
【解析】
出切点坐
，得到切
方程，然后求解方程得到横坐
的
可得切点坐
设
标
线
标
值
标.
点
设
，则
.又
，
当
，
时
，
点A 在曲线
上的切线为
，
即
，
代入点
，得
，
即
，
考
函数
查
，当
，
时
，当
，
时
，
且
，当
，
时
增，
单调递
注意到
，故
存在唯一的
数根
实
，此时
，
故点
的坐标为
.
【变式训练7-3-4】直线
和曲线
相切，则
的值为 ，切点坐标为
．
【答案】
【解析】
直
设
线与曲线
的切点为
，则
由
意可知，
题
，解得
或
，
当
，
时
，
又点
在直线
上，将
，
.
代入得
，与已知条件矛盾，不合
意舍去．
题
当
，
时
.
将
代入直线
中，得
.
故答案
：
为
，
.
【变式训练7-3-5】曲线
在点A
的切
方程
处
线
为
，
切点
则
A 的坐标为 ．
【答案】
【解析】由
，得
，因为
，所以
，
切点
则
A 的横坐
－
标为
1，所以
，
解得
，所以A 的坐标为
．
故答案
：
为
.
【变式训练7-3-6】已知函数
，直线l
曲
为
线
的切
，且
原点，求直
线
经过
线l 的方程
及切点坐
．
标
【答案】直线l 的方程为
，切点的坐标为
【解析】
切点
设
为
，
因为
，所以
．
当Δx
于
趋
0
，
时
于
趋
，即
，
所以切
方程
线
为
，
因
切
原点，所以
为
线过
，
所以
，解得
，
所以
，故直线l 的方程为
，又
，所以切点的坐标为
．
【变式训练7-3-7】
点
过
能作曲线
的切线 条，切点坐标为
【答案】
或
【解析】
，
切点
设
为
，
切
方程
则
线
为
，
将
代入得
，
整理得
，解得
或
，
所以切
有
线
2 条，切点坐标为
或
.
故答案
：
为2；
或
.
（四）切线的平行、垂直问题
【典型例题1】曲线
在点
的切
处
线平行于直线
.
(1)求切点坐标
；
(2)求切线的方程.
【答案】(1)
；
(2)
.
【解析】
数的运算法
、求在曲
上一点
的切
方程（斜率）
导
则
线
处
线
（1）根据
数的几何意
，
合两平行
的性
行求解即可；
导
义结
线
质进
（2）
合（
结
1）的
，利用直
的点斜式方程
行求解即可
结论
线
进
.
（1）因
点
为
的切
处
线平行于直线
，
所以
点的曲
的切
的斜率
过该
线
线
，
由
，所以
，因此
，
所以切点坐
：
标为
；
（2）由直
的点斜式方程可知：
线
.
【典型例题2】已知函数
的
象
点
图
经过
，且在点A
的切
与直
处
线
线
垂直．
(1)求a，b 的
；
值
(2)求
点
经过
且与曲线
相切的切
方程．
线
【答案】(1)
(2)
或
【解析】
数的加减法、两条切
平行、垂直、重合（公切
）
、求
一点的切
方程
导
线
线问题
过
线
（1）求
，根据
意
合
数的几何意
分析列式求解；
导
题
结
导
义
（2）
切点
设
，切
斜率
线
，求直
方程并代入点
线
运算求解即可.
（1）由
，则
，
因为
的
象在点
图
的切
与直
处
线
线
垂直，
则
，解得
.
（2）由（1）可
切
与曲
设
线
线
相切于点
，
切
斜率
则
线
，
切
的方程
则
线
为
，
将点
代入方程整理得
，解得
或
．
当
，切
方程
时
线
为
．
当
，切
方程
时
线
为
．
故
点
经过
且与曲线
相切的切
方程
线
为
或
．
【变式训练7-4-1】已知
，曲线
在点
的切
处
线与直线
平行，
直
则
线的
方程
（
为 ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
数的加减法、已知切
（斜率）求参数、求在曲
上一点
的切
方程（斜率）
导
线
线
处
线
利用
数的几何意
求出点
导
义
的坐
，然后利用点斜式可得出直
标
线的方程.
因为
，其中
，则
，
直线
的斜率为
，由
，可得
，且
，即点
，
所以，直线的方程为
，即
.
故
：
选B.
【变式训练7-4-2】已知曲线y =2 x
2+1，
在曲
上找一点
试
线
，使得曲
在点
线
P
的切
平行于直
处
线
线
.
【答案】
.
【解析】求在曲
上一点
的切
方程（斜率）
线
处
线
利用
数的几何意
直接求解
导
义
.
因为
，所以
.
因
曲
在点
为
线
的切
平行于直
处
线
线
，所以
，解得：
.
所以切点坐标
，切
方程
线
为
，即
.
故P 的坐标
.
【变式训练7-4-2】已知
是曲线
上的一点.写出
曲
在点
该
线
P
的切
方程，并分
求出
处
线
别
切
斜率
线
为和切
平行于
线
x
切点
轴时
P 的坐标.
【答案】答案
解析
见
【解析】
数的运算法
、求在曲
上一点
的切
方程（斜率）
导
则
线
处
线
先将曲
改写成函数式的形式，然后求
数，再用点斜式写出切
方程．再分
令
数等于
线
导
线
别
导
1 和
，求出
，即可
求出各自的切点坐
．
标
解：将曲
方程
线
化
函数：
转
为
，
所以
，
因为
是曲线
上的一点，
所以
，
，
所以
曲
在点
该
线
P
的切
方程
处
线
为
，
即
；
令
得
，所以当
，
时
，故切点坐标为
；
令
得
，
当
，
时
；当
，
时
，
故切点坐标为
．
【变式训练7-4-3】已知函数
在
的切
与直
处
线
线
垂直，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】已知切
（斜率）求参数、
数的运算法
线
导
则
由
意得
题
，由此求解即可.
函数
，求
得：
导
，
因为
在
的切
与直
处
线
线
垂直，
所以
在
的切
斜率
处
线
为
，解得
.
故
：
选D
【变式训练7-4-4】若曲线
在点
的切
与直
处
线
线
垂直，
数
则实
的值
为 .
【答案】
【解析】已知切
（斜率）求参数
线
根据
数的几何意
求出曲
导
义
线
在点
的切
斜率，根据直
垂直的性
，即可得出
处
线
线
质
答案.
因为
，所以
，
，
，
曲线
在点
的切
斜率
处
线
为，
又因
曲
为
线
在点
的切
与直
处
线
线
垂直，
所以
.
故答案
：
为
.
【变式训练7-4-5】曲线
点
过
的切
与直
线
线
垂直，则
.
【答案】
【解析】已知直
垂直求参数、已知切
（斜率）求参数、求
一点的切
方程
线
线
过
线
切点坐
设
标为
，根据两直
垂直利用
数的几何意
求得
线
导
义
，再由两点
斜率公式解方程
可得
间
组
果
结
.
易知直线
的斜率为
，
切
斜率
则
线
；
又
，
切点坐
设
标为
，易知
，
则
，
又点
和切点
的斜率为
；
立
联
，解得
.
故答案
：
为
【变式训练7-4-6】已知函数
．
(1)求曲线
在
的切
方程；
处
线
(2)若曲线
在
的切
与曲
处
线
线
在
的切
平行，求
处
线
的
．
值
【答案】(1)
(2)
.
【解析】（1）
，
，
，
所以曲线
在
的切
方程
处
线
为
，即
；
（2）由(1)可得：曲线
在点
的切
方程
处
线
为
，
由
，可得曲线
在
的切
斜率
处
线
为
，
由
意可得
题
，从而
.
【变式训练7-4-7】曲线
在
的切
与直
处
线
线
垂直，则
的
（
值为 ）
A．-1
B．1
C．2
D．4
【答案】B
【解析】解：令
，则
，
依
意
题
，即
，解得
；
故
：
选B
【变式训练7-4-8】若曲线
的一条切线与直线
垂直，
切
则
线的方程
（
为 ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，
∴
，
切点坐
设
标为
，
切
则
线的斜率
，
解得
，所以
，
故切线的方程为
，即
．
故
：
选A
【变式训练7-4-9】若曲线
在点
的切
与直
处
线
线
平行，则
.
【答案】
【解析】由
意知，令
题
，则
，
，
，
所以点
在曲线
上，
，
，
，
，
，
所以
，
又曲
在点
线
的切
与直
处
线
线
平行，
所以
，得
.
故答案
：
为
.
【变式训练7-4-10】已知曲线y＝
在点
的切
与直
处
线
线平行，且与的距离等于
，求直线的方程.
【答案】
或
【解析】由
数的几何意
，得曲
导
义
线y＝
在点
的切
的斜率
处
线
为
，
所以曲线y＝
在点
的切
方程
处
线
为
，即
.
直
设
线l 的方程为
，则
由
意可知，
题
，解得
或
，
所以直线的方程为
或
.
（五）曲线切线的斜率、倾斜角问题
【典型例题1】
点
过
且与曲线
相切的切
斜率不可能
（
线
为 ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】求
一点的切
方程
过
线
切点
设
，
合
数的几何意
可得切
方程，根据切
点
结
导
义
线
线过
，可得
，
而确定切
斜率
进
线
.
由
，得
，
切点
设
为
，
切
斜率
则
线
，
即切
方程
线
为
，
又切
点
线过
，
则
，
整理可得
，
解得
或
或
，
切
斜率
则
线
为
或
或
，
故
：
选D．
【典型例题2】（多选）已知点P 在曲线
上，
曲
在点
为
线
P
的切
的
斜角，
处
线
倾
则
的
可以是（
值
）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【解析】求曲
切
的斜率（
斜角）、基本（均
）不等式的
用、直
的
斜角、斜率与
斜角的
化关系
线
线
倾
值
应
线
倾
倾
变
求
，
合基本不等式求出
函数的取
范
，从而得到
斜角的取
范
导结
导
值
围
倾
值
围.
因为
，所以
．
因为
，所以
（当且
当
仅
，即
取等号），
时
所以
，所以
．
又因为
，所以
．
故
：
选CD．
【变式训练7-5-1】
点
过
的直线l 与曲线
相切，
直
则
线l 的斜率
（
为 ）
A．不存在
B．-1
C．3
D．3 或-1
【答案】D
【解析】求
一点的切
方程
过
线
分切点在
与不在
处
，利用
数的几何意
求解．
处
导
义
解：因为
，所以
，
，
当
切点
，
为
时
；
当
不
切点
，
切点
为
时设
为
，
，
所以
，
所以切
方程
线
为
，
又切
点
线过
，
所以
，
即
，即
，
解得
或
（舍去），所以切点为
，
所以
．
上所述，直
综
线l 的斜率为3 或-1．
故
：
选D
【变式训练7-5-2】函数
的
像如
所示，下列数
排序正确的是（
图
图
值
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
数（
函数）概念辨析
导
导
由
数的几何意
分析可得
导
义
f
' (1)，
和
的几何意
，
合
像可得解
义结
图
.
由函数
的
像可知，
图
当
，
时
增，
单调递
，
，
.
随着
的增大，曲
在每个点
的斜率在逐
减小，即
函数是
减的，
线
处
渐
导
单调递
.
故
：
选A.
【
式
变
训练7-5-3】点P 在曲线
上移
，
点
动设
P
切
的
斜角
处
线
倾
为
，
角
则
的范
是（
围
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】斜率与
斜角的
化关系、
数的加减法、求曲
切
的斜率（
斜角）
倾
变
导
线
线
倾
先由
数的几何意
，求出切
的斜率的范
，再求出
斜角的范
即可
导
义
线
围
倾
围
.
由
可得
，
，即
，
当
，
时
；
当
，
时
.
，
故
：
选
.
【变式训练7-5-4】若曲线
在
的切
的
斜角
处
线
倾
为
，则
.
【答案】3
【解析】求曲
切
的斜率（
斜角）、
数的运算法
、正、余弦
次式的
算
线
线
倾
导
则
齐
计
根据
数的几何意
求得
导
义
，再利用正弦与余弦的
次式
算即可
齐
计
.
因为
，
所以
，
，则
.
故答案
：
为3.
【变式训练7-5-5】
原点与曲
过
线
相切的一条切
的方程
线
为 .
【答案】
或
或
(写出其中一条即可)
【解析】根据曲线
表示抛物
的一部分，
其切
方程
线
设
线
为
，利用判
式法求解；
别
设
的切
的切点
线
为
，利用
数法求解
导
.
解：
曲
设
线
表示抛物
的一部分，
线
其切
方程
设
线
为
，代入
，
得
.由
，得
.
当
，
时
，符合
意，
题
当
，
时
，均符合
意，
题
所以切
方程
线
.
设
的切
的切点
线
为
.
由
，得
，
，
得切
方程
线
为
.
将
的坐
代入切
方程，得
标
线
，
所以
，所以切
方程
线
为
.
故答案
：
为
或
或
(写出其中一条即可)
【变式训练7-5-6】已知函数
.
(1)求曲线
在
的切
处
线的方程；
(2)求
原点
过
O 与曲线
相切的直线
的方程.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）根据切点和斜率求得切
方程
线
.
（2）
出切点坐
，根据切
斜率和
数列方程，求得切点坐
，
而求得切
方程
设
标
线
导
标进
线
.
（1）因为
，所以
.
，
，
所以曲线
在
的切
方程
处
线
为
，
即直线的方程为
.
（2）
原点的直
设过
线
与曲线
切于点
.
则
的斜率
，
所以
，整理得
，所以
，
所以
，
所以直线
的方程为
，即
.
（六）公切线问题
【典型例题1】
写出曲
试
线
与曲线
的一条公切
方程
线
.
【答案】
或
（写出一个即可）
【解析】
出切点坐
，根据切
斜率相等，建立等式，解出即可
设
标
线
.
公切
设
线与曲线
切于点
，
与曲线
切于点
.
由
，得
.由
，得
.
令
，即
，则
，
且
，
即
，
化为
，
所以
，解得
或
.
当
，
时
，
，
此
切
时
线的方程为
，即
.
当
，
时
，
，
此
切
时
线的方程为
，即
.
上可知，切
综
线的方程为
或
，写出任意一个即可.
故答案
：
为
或
，写出任意一个即可.
【典型例题2】已知曲线
在点
的切
与曲
处
线
线
相切，求
的值.
【答案】
【解析】
数的运算法
、求
一点的切
方程
导
则
过
线
求出
的
数，求得切
的斜率可得切
方程，再由切
方程与曲
方程
立，根据
导
线
线
线
线
联
得到
的值.
∵
，
，
∴曲线
在点
的切
方程
处
线
为
，即
，
又∵直线
与曲线
相切，
当
，曲
直
时
线变为
线
，与已知直
平行，
线
∴
，可得
，消去
得
，
由
得
.
【典型例题3】已知函数
的
象与函数
图
（
且
）的
象在公共点
有相同的切
，
公共点
图
处
线则
坐标为 .
【答案】
【解析】
公共点
设
为
，即可得到
，再由
数的几何意
得到
导
义
，从而求出
，即
可求出切点坐
，从而求出
标
，再求出切
方程
线
.
解：因
函数
为
与
的
象关于直
图
线
称，
对
所以
与
互
反函数，所以
为
，
则
．由
，得
，
直
设
线与函数
的
象的切点坐
图
标为
，
与函数
的
象的切点坐
图
标为
，
直
则
线的斜率
，故
，
然
显
，故
，
所以直线的
斜角
倾
为
，
故
：
选B．
【变式训练7-6-1】已知函数
与函数
存在一条
原点的公共切
，
过
线则
.
【答案】
【解析】两条切
平行、垂直、重合（公切
）
线
线问题
由
数的几何意
分
表示公切
方程，再由公切
原点得出
导
义
别
线
线过过
.
公切
函数
设该
线过
、函数
的切点分别为
，
.
因为
，所以
公切
的方程
该
线
为
同理可得，
公切
的方程也可以表示
该
线
为
因
公切
原点，所以
为该
线过
，解得
.
故答案
：
为
【变式训练7-6-2】已知直线分
与曲
别
线
，
相切于点
，
，则
的
值为 .
【答案】1
【解析】由
，
，有
，
，
在点
的切
方程
处
线
为
，
在点
的切
方程
处
线
为
，
有
则
，得
，
所以
，可得
.
故答案
：
为1.
【变式训练7-6-3】已知曲线
与
的公切线为
，
数
则实
.
【答案】
【解析】由函数
，可得
，
切点坐
设
标为
，可得
，
切
方程
则
线
为
，
即
，与公切线
重合，可得
，
可得
，所以切
方程
线
为
，
于函数
对
，可得
，
切点
设
为
，则
则
，解得
.
故答案
：
为
【变式训练7-6-4】在平面直角坐
系
标
中，若
点
过
且同
与曲
时
线
，曲线
都相切的直
有
线
两条，
点
则
的坐标为 ．
【答案】
【解析】
点
设
的坐标为
，
然
两条曲
的公切
存在斜率，
显
这
线
线
设为
，
因此切
方程
线
为
，
曲
设
线
的切点为
，即
，
由
，所以
切点的切
的斜率
过该
线
为
，
有
则
，
设
的切点为
，即
，
由
，所以
切点的切
的斜率
过该
线
为
，
有
则
，
由
意可知：
题
，于是有：
，得
，或
，
当
，
有
时则
，
当
，
有
时则
，
由
可解，
.
故答案
：
为
【点睛】关
点睛：本
的关
是利用
数的几何意
求出公切
的方程
键
题
键
导
义
线
.
【变式训练7-6-5】已知函数
和
，其中a，b
常数且
为
．
(1)当
，求曲
时
线
在
的切
方程；
处
线
(2)若存在斜率为1 的直
与曲
线
线
和
都相切，求
的取
范
．
值
围
【答案】(1)
(2)
【解析】求在曲
上一点
的切
方程（斜率）、已知切
（斜率）求参数
线
处
线
线
（1）由
意
函数求
，求出切点和切
的斜率，根据点斜式求切
方程即可，
题
对
导
线
线
（2）
曲
设
线
在点
的切
斜率
处
线
为1，求
算可得
导计
；
曲
设
线
在点
的切
斜率
处
线
为1，求
算可得
导计
，再由直线
的斜率为1，可得
的关
系，由于
，则
，从而即可求出
的取
范
．
值
围
（1）当
，
时
，
当
，切点
时
为
，
，切
斜率
线
为
，
切
方程
线
为
，即
．
（2）
的定
域
义
为
的定
域
义
为
，
且
，
曲
设
线
在点
的切
斜率
处
线
为1，则
，
所以
，则
，
曲
设
线
在点
的切
斜率
处
线
为1，则
，
所以
，则
，
直线
的斜率
，
所以
，
由于
，则
，
所以
的取
范
值
围为
．
（七）切线条数问题
【典型例题】
点
过
可作曲线
的切
条数
（
线
为 ）
A．1
B．2
C．3
D．0
【答案】B
【解析】求
一点的切
方程
过
线
根据
数的几何意
，
合
点是不是切点分
行求解即可
导
义结
该
类讨论进
.
由
，
当点
是切点
，此
切
的斜率
时
时
线
为
，此
有一条切
；
时
线
当点
是不切点
，
切点
时设
为
，
切
的斜率
则
线
为
，
切
方程
：
线
为
，
切
点
该
线过
，
于是有
或
（舍去），
上所述：
点
综
过
可作曲线
的切
条数
线
为
，
故
：
选B
【变式训练7-7-1】已知
点
过
可以作曲线
的两条切
，
数
线则实
a 的取
范
是（
值
围
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】求
一点的切
方程、已知切
（斜率）求参数、
数的乘除法
过
线
线
导
先
函数求
，
切点
对
导设
，写出切
方程，将点
线
代入切
方程，得到
线
，根
据切
有两条，得到方程有两根，
合判
式即可求出
果
线
结
别
结
.
由
得
，
点
设过
的直
与曲
线
线
切于点
，
切
斜率
则
线
为
，
所以切
方程
线
为
因
切
点
为
线过
，
所以
，整理得
，
因
点
为过
的切
有两条，
线
所以方程
有两不同
根，
实
因此
，解得
或
，
即
数
实
a 的取
范
是
值
围
.
故
：
选B
【变式训练7-7-2】
函数
设
，
，曲线
有两条斜率为的切
，
线
数
则实
的取
范
是
值
围
.
【答案】
【解析】
复合函数的
数、根据二次函数零点的分布求参数的范
简单
导
围
由
可得出
，令
，则
，分析可知，函数
在
上有两个不等的零点，利用二次函数的零点分布可得出关于
数
实
的不等式
，解之即可
组
.
因为
，
则
，
令
，可得
，
可得
，
因为
，令
，则
，且函数
在
上
增，
单调递
令
，其中
，
因
曲
为
线
有两条斜率为的切
，
函数
线则
在
上有两个不等的零点，
所以，
，解得
.
因此，
数
实
的取
范
是
值
围
.
故答案
：
为
.
【变式训练7-7-3】判断曲线
在点
是否有切
，如果有，求出切
的斜率
处
线
线
.
【答案】在点
有切
处
线,切
的斜率
线
为0.
【解析】求在曲
上一点
的切
方程（斜率）
线
处
线
先判断点
在曲
上，再利用
数
线
导
.
解：当
，
时
，所以点
在曲
上
线
.
由
得
题
，所以切
的斜率
线
.
所以在点
有切
处
线,切
的斜率
线
为0.
（八）已知切线求参数范围
【典型例题】若直线y = x + 2 与曲线y = x3 + bx2 + c (b，c ∈ R ) 相切于点M (1，3) ，则c =
．
【变式训练7-8-1】已知曲线y = x3 与曲线y = ln -
x 在x = x0
的切
互相垂直，
处
线
则x0 =
．
【变式训练7-8-2】已知函数g(x ) = x3 + ax ，若曲线g(x)在x =0
的切
也与曲
处
线
线h (x )= -lnx 相切，
则a = ．
【答案】 -
【解析】 由已知g ,(x) = 3x2 + a ， g ,(0) = a ，又g (0) = 0 ，所以切
方程
线
为y = ax ，
又h,(x) = - ，设h(x) 上切点坐标为(x0, y0 ) ，
则
a ， x
， 由y0 = ax0 得ln x0 = 1 ， x0 = e ，
所以a
题型08：根据导数的几何意义求参数的值
【典型例题】已知直线
是曲线
和
的公切
，
数
线则实
a= ．
【答案】3
【解析】两条切
平行、垂直、重合（公切
）
、
复合函数的
数、
数的加减法
线
线问题简单
导
导
先
在
设
上的切点，然后求出切点和切
，然后再
在
线
设
上的切点，即可求出a 的值.
直
设
线l 与曲线
相切于点
，
【答案】
3
【解析】直线y = x + 2 与曲线y = x
3 + bx
2 + c (b，c ∈ R ) 相切于
点M (1，3) ，则1+b + c = 3 ，故b + c = 2 ．
又y ' = 3x
2 + 2bx ，当x = 1 时， 3 + 2b = 1 ，所以b = -1 ，则c = 3．
【答案】
【解析】对于y = x
3 ， y,=3x
2 ；
对于y = ln -
) ， y
由于两条曲线在x = x0 (x0 > 0) 处的切线互相垂直，
所以3x
x0 - x
x
2
0 - 3x0 -1=0 ，解得x
（负根舍去）.
由
，得
，因为l 与曲线
相切，
所以
消去
，得
，解得
．
设l 与曲线
相切于点
，由
，得
，即
，
因为
是l 与曲线
的公共点，
所以
消去
，得
，即
，解得
．
故答案
：
为3.
【变式训练8-1】若一直
与曲
线
线
和曲线
相切于同一点
，则
的值为 .
【答案】
【解析】两条切
平行、垂直、重合（公切
）
、已知切
（斜率）求参数
线
线问题
线
根据
数的几何意
合条件即得
导
义结
.
切点
设
，
由
则
，得
，
由
，得
，则
解得
.
故答案
：
为e.
【变式训练8-2】已知直线
是曲线
在点
的切
方程，
处
线
则
【答案】e
【解析】求在曲
上一点
的切
方程（斜率）、
数的乘除法
线
处
线
导
利用
数的几何意
求切
方程，并写出
导
义
线
的形式确定参数，即可得
果
结
.
由
，
题设
且
，则
，
所以，切
方程
线
为
，即
，
所以
，故
.
故答案
：
为
【变式15-3】（22-23 高二下·湖南
沙
长
·
段
）若直
阶
练习
线
与曲线
相切，
数
则实
．
【答案】
【解析】已知切
（斜率）求参数、
数的加减法
线
导
切点
设
为
，利用
数的几何意
合点
导
义结
直
为
线
与曲线
的公共点，可得出关于
、
的方程
，即可解得
组
的值.
切点
设
为
，由
，得
，则
，
因
点
为
直
为
线
与曲线
的公共点，则
，
所以，
，即
，可得
，故
.
故答案
：
为
.
题型09：导数及其几何意义的综合应用
【典型例题】已知函数
的
象
点
图
过
，且
.
(1)求
，
的
；
值
(2)求曲线
在点
的切
与坐
成的三角形面
处
线
标轴围
积.
【答案】(1)
(2)
【解析】求在曲
上一点
的切
方程（斜率）、
数的加减法
线
处
线
导
（1）根据
目条件列出方程
求解；
题
组
（2）利用
数求出切
斜率，再求直
在坐
上的截距即可求三角形面
导
线
线
标轴
积.
（1）由
，得
，
由
意可得，
题
，解得
；
（2）由（1）得，
，f '( x)=3 x
2−4 x，
∴
，
，
∴曲线
在点
的切
方程
处
线
为
，即
.
取
，得
，取
，得
.
∴曲线
在点
的切
与坐
成的三角形面
处
线
标轴围
积
.
【变式训练9-1】已知曲线
在点
的切
与
处
线
圆
相切，
的半径
（
该圆
为 ）
A．
B．
C．
或
D．
或1
【答案】C
【解析】求在曲
上一点
的切
方程（斜率）、由
准方程确定
心和半径、由直
与
的位置关系求参数
线
处
线
标
圆
线
圆
求出曲线
在点
的切
方程，利用直
与
相切的几何关系即可求出
的半径．
处
线
线
圆
圆
由
，得
，
故切
的斜率
线
，
所以曲线
在点
的切
方程
处
线
为
.
又因为
与圆
相切，
所以
的半径
，解得
或
，
所以
的半径
圆
为
或
.
故
：
选C
【变式训练9-2】已知
，
正
数，直
为
实
线
与曲线
相切，则
的最小
是
值
.
【答案】8
【解析】已知切
（斜率）求参数、
复合函数的
数、基本不等式“
线
简单
导
1”的妙用求最值
根据
意
合
数的几何意
分析可得
题
结
导
义
，再
合基本不等式运算求解
结
.
由
意可得：
题
的
数
导
为
，
切点
设
为
，切
斜率
线
，
在
点的切
方程
则
该
线
为
，即
，
由
意可得
题
，整理得
，
则
，当且
当
仅
取等号，
时
故
的最小值为8.
故答案
：
为8.
【变式训练9-3】已知点
和点
是曲线
上的两点，且点
的横坐
是
标
，点
的
坐
是
纵
标
，求：
(1)割线
的斜率；
(2)在点
的切
方程
处
线
.
【答案】(1)
(2)
【解析】求在曲
上一点
的切
方程（斜率）、
数的加减法、已知两点求斜率
线
处
线
导
（1）求出点
、
的坐
，利用斜率公式可求得割
标
线
的斜率；
（2）求出切
的斜率，再利用点斜式可得出所求切
的方程
线
线
.
（1）解：当
，
时
，即点
，
令
，可得
，解得
，即点
，
因此，割线
的斜率为
.
（2）解：
函数
对
求
得
导
，
所以，曲线
在点
切
的斜率
处
线
为
，
所以，曲线
在点
的切
方程
处
线
为
，即
.
题型10：利用切线求距离最值
【典型例题1】
点
设
A 在直线
x - y +1 = 0 上，点 B 在函数f (x ) = ln x 的
象上
图
，则 AB 的最小
值为 .
【典型例题2】曲线f(x) = ln(x 一1)+ x +1 上的点到直线y = 2x + 4 的距离的最小值为
【答案】 ❑√5
【解析】 f(x) 的定
域
义
为(1, +∞) ，求
得
导
f,
令 f ' (x ) = 2 ，解得x = 2 ，则f (2) = 3 ，故切点坐标为(2, 3)，
故曲线f (x )上的点到直线y = 2x + 4 的距离的最小
即
切点
值
为
(2, 3) 到直线y = 2x + 4 的
距离，即为
.
【变式训练10-1】已知点 A 在函数f (x) = ex 一 2x 的
象上，点
图
B 在直线l : x + y + 3 = 0 上，则
A，B 两点之
距离的最小
间
值是 ．
【答案】
1 +
ln3
【解析】设函数f (x ) = lnx 与直线3x - y +1 = 0 平行的切线为l
则l 的斜率为
3
由 f '(x ) =
= i3 ，得x =
，所以切点为P
(
(
|
, -
ln3
)
，
则点
P 到直线l 的距离就是AB 的最小值，即
ln3 .
【变式训练10-2】已知点 P 在函数f (x ) = xex +1 的
象上，点
图
Q 在函数g
的
象上，
图
则
PQ 的最小值为 .
【解析】
由函数f (x ) = xex +1 ，求导可得： f '(x ) = (1+ x )ex ，则f, (0) = 1，
【变式训练10-3】
点
设
A 在直线❑√3x - y +1 = 0 上，点 B 在函数f (x) = ln x 的
象上
图
，则 AB 的最小
值为 .
【解析】要使得 A，B 两点之间距离最小，即直线l 与曲线y = f(x) 的切线平行
时，两平行线间的距离即为 A，B 两点之间最小的距离，
由题意可得 g' (x) = e
x 一 2 ，令f(x ) = e
x 一 2 = 一1
，解得x = 0 ．由f (0) = 1 ，所以曲线的切线方程为y 一1
= 一x ，即x + y 一1 = 0 则两直线间的距离d
，
则 A，B 两点之间的最短距离是2❑√2．
【答案】 2
在 A(0, 1) 处的切线方程为y -1 = 1 × (x - 0) ，整理可得： y = x + 1；
由函数
g
求导可得： g'
，则 g'(1) = 1，
在B(1,0) 处的切线方程为y- 0 = 1× (x -1) ，整理可得y = x - 1 ；
由直线
AB 的斜 率kAB
易知：直线 AB 分别与两条切线
垂直故答案为：
2
【变式训练10-4】若点P 是曲线y = lnx - x
2 上任意一点，
点
则
P 到直线l : x + y - 4 = 0 距离的最
小
值为( )
A．
B． s2 C．2 D． 2、i2
一、单选题
1．已知函数
，则
（ ）
A．5
B．6
C．8
D．10
【答案】B
【解析】因为
，
所以
，则
.
故
：
选B
2．已知函数
，
（
则 ）
A．
B．
【答案】
1 +
ln3
【解析】设函数f (x) = lnx 与直线❑√3x - y +1 = 0 平行的切线为l ，则l 的斜率为 3 ，
由
f '
，得x
所以切点为P
则点P 到直线l 的距离就是AB
的最小值，即
【答案】D
【解析】过点P 作曲线y = lnx - x
2 的切线，
当切线与直线l : x + y - 4 = 0 平行时，点P 到直线l : x + y - 4 = 0 距离
最小.设切点为P(x0, y0 )(x0 > 0), y, =
- 2x ，所以切线斜率为k
由题知
x0 = -1 ，解得x0 = 1 或x0 = -
（舍）， :P(1,
-1) ，此时点P 到直线l : x + y - 4 = 0 距离d
.故选：D
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，所以
，
则
，得
，故B
；
错误
所以
，
，
则
，
，
，故AD
，
错误C 正确.
故
：
选C.
3．已知函数
，
曲
则
线
在
的切
方程
（
处
线
为 ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
，
故
，
故
在
的切
方程
处
线
为
，即
.
故
：
选B
4．已知
，使得命
“曲
题
线
在点
的切
与曲
处
线
线
没有公共点”成立的一个充分
不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，所以
，
切
斜率
则
线
，
故曲线
在点(0,1)
的切
方程
处
线
为
，即
，
立
联
，得
，
因
切
为
线
与曲线
没有公共点，
所以方程
没有
数解，
实
当
，方程
时
有唯一解，不
足
意，
满
题
当
，
时
，可得
.
上所述，
综
，
由
是
的真子集，符合
意
题
.
故
：
选B.
5．已知
点
过
的直
与曲
线
线
相切于点
，
切点
则
的坐
（
标为 ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
切点坐
设
标为
，由
，得
，
切点的切
方程
则过
线
为
，
把点
代入切
方程得，
线
，即
，
又
，所以
，则
，
切点坐
则
标为
.
故
：
选A
6．已知
点
过
可以作曲线
的两条切
，
数
线则实
a 的取
范
是（
值
围
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
得
，
点
设过
的直
与曲
线
线
切于点
，
切
斜率
则
线
为
，
所以切
方程
线
为
因
切
点
为
线过
，
所以
，整理得
，
因
点
为过
的切
有两条，
线
所以方程
有两不同
根，
实
因此
，解得
或
，
即
数
实
a 的取
范
是
值
围
.
故
：
选B
二、多选题
7．下列求
果正确的是（
导结
）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】对A，
，故A 正确；
对B，
，故B
；
错误
对C，
，故C
；
错误
对D，
，故D 正确.
故
：
选AD
8．若存在
点
过
的直线l 与曲线
和
都相切，则a 的
可以是（
值
）
A．1
B．
C．
D．
【答案】AB
【解析】由
意可得，
题
，
因为
在直线l 上，当
为
的切点
，
时
则
，所以直线l 的方程为
，
又直线l 与
相切，
所以
足
满
，得
；
当
不是
的切点
，
时
切点
设
为
，
则
，
所以
，得
，
所以
，所以直线的方程为
.
由
，得
，
由
意得
题
，所以
.
上得
综
或
.
故选:AB
三、填空题
9．若曲线
在
的切
的
斜角
处
线
倾
为
，则
.
【答案】3
【解析】因为
，
所以
，
，则
.
故答案
：
为3.
10．已知定
在
义
上的函数
足
满
，
曲
则
线
在点
的切
方程
处
线
为
.
【答案】
【解析】因为
，所以
，
令
，得
，解得
，所以切
斜率
线
为2，
因为
，令
，得
，
解得
，所以切点坐标为
.
所以
在点
的切
方程
处
线
为
，即
.
故答案
：
为
.
11．已知曲线
存在两条斜率为3 的切
，
数
线则实
a 的取
范
值
围为 .
【答案】
【解析】
，依
意知
题
有两个不同的
数解，
实
即
有两个不同的
数解，
实
即
有两个不同的
数解
实
.
令
，则
，所以
有两个不同的
数解，
实
所以
与
的
象有两个交点
图
.
，
因为
，所以
，又
，故
,
故
数
实
的取
范
是
值
围
.
故答案
：
为
四、解答题
12．求下列函数的
数．
导
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】（1）设
，
，
则
．
（2）设
，
，
，
则
．
（3）设
，
，
，
则
．
（4）设
，
，
则
．
13．写出
点
过
，并且和曲线
相切的直
方程．
线
【答案】
和
【解析】当
，上式化
时
为
，
的曲
不存在，故
这样
线
，
所以曲线
化为
，其
函数
导
为
点
设过
的直
与曲
线
线
相切于点
，
切
的斜率
则
线
为
所以切
方程
线
为
由切
点
线过
，所以
，解得
或
当
，切
方程
：
时
线
为
当
，切
方程
：
时
线
为
因此，
点
过
A 有两条切
，方程分
线
别为
和
，
如
所示．
图
14．已知
与曲线
在点
相切，
处
曲
另一条切
，且
为该
线
线
．
（1）求直线
及直线
的方程；
（2）求由直线
、
和
所
成的三角形的面
．
轴
围
积
【答案】（1）
，
；（2）
【解析】（1）
直
设
线
、
的斜率分别为
、
，
函数
对
求
得
导
，则
，
所以，直线
的方程为
，即
，
直
设
线
与曲线
的切点坐标为
，则
，
因为
，则
，解得
，则
，
所以，直线
的方程为
，即
；
（2）直线
与
交于点
轴
，直线
与
交于点
轴
，
立
联
，解得
，
因此，由直线
、
和
所
成的三角形的面
轴
围
积为
.
