文档文本内容
第06 讲 裂项相消专题
目 录
思维导图.................................................................................................................................................2
高考分析.................................................................................................................................................2
学习目标.................................................................................................................................................2
知识要点.................................................................................................................................................3
解题策略.................................................................................................................................................6
题型归纳.................................................................................................................................................7
题型01：分式型裂项.......................................................................................................................7
题型02：根式型裂项.......................................................................................................................8
题型03：指数型裂项.....................................................................................................................11
题型04：对数型裂项.....................................................................................................................12
题型05：三角函数型裂项..............................................................................................................14
题型06：复杂裂项型——分离常数型............................................................................................15
题型07：复杂裂项型——分子裂差法............................................................................................16
题型08：复杂裂项型——指数裂项法............................................................................................17
题型09：复杂裂项型——等差指数仿写法.....................................................................................18
题型10：正负型——等差裂和型...................................................................................................19
题型11：正负型——等差裂差型...................................................................................................20
题型12：正负型——指数裂和型...................................................................................................22
巩固提升...............................................................................................................................................23
最新模拟新模考真题.............................................................................................................................27
裂项相消是高考数列求和核心方法，常考解答题（17 题，10 分左右），难度中等，偶见选择/填空；
重点考通项裂项、求和、不等式证明，核心是掌握常见裂项模型与等价性校验。
一、高考定位与命题趋势
1. 核心地位：数列求和三大方法（分组、裂项、错位相减）之一，高频考点，近5 年新高考卷多次在
解答题第17 题考查，分值10 分，难度中等，区分度好。
2.题型分布：以解答题为主（求通项+裂项求和/不等式证明）；小题多为基础裂项或放缩，难度中低，
常考分式型、根式型、指数型。
3. 命题趋势：与递推求通项、不等式证明、函数综合结合，强调裂项等价性与消项完整性，近年更侧
重裂项放缩证明数列不等式。
一、 知识目标
1. 准确理解裂项相消法的核心原理：将数列通项拆分为两项之差的形式，通过累加抵消中间项，仅保
留首尾有限项完成求和。
2. 熟记高考高频裂项模型，包括分式型、根式型、指数型、对数型等，并能灵活变形应用。
3. 掌握裂项相消法与数列通项求解、不等式证明的关联逻辑，明确该方法在数列综合题中的应用场景
二、 能力目标
1. 基础运算能力：能根据通项特征选择合适的裂项模型，完成等价裂项，精准计算前n 项和，避免系
数错漏、消项不彻底等问题。
2. 综合应用能力：结合递推公式、S_n 与a_n 的关系求出数列通项，再运用裂项相消法解决求和问题；
能通过裂项放缩证明数列不等式，把控放缩幅度。
3. 题型辨析能力：快速判断题目是否适合用裂项相消法，区分其与分组求和、错位相减等数列求和方
法的适用条件。
三、 应试目标
1. 面对高考数列解答题（如第17 题）中裂项相消相关考点，能在规定时间内规范书写解题步骤，确
保满分或高分。
2. 攻克选择、填空题中的基础裂项求和或放缩小题，提高解题速度与正确率。
3. 应对高考命题趋势，能处理裂项相消与函数、不等式结合的综合题型，提升应试得分能力。
裂项相消法的八种类型
类型1：等差型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
（13）
n+2
n(n+1) ⋅1
2
n = 2(n+1)−n
n(n+1)
⋅1
2
n =
1
n⋅2
n−1 −
1
(n+1)2
n
（14）
1
n(n+1)(n+2) = 1
2 [
1
n(n+1) −
1
(n+1)(n+2) ]
（15）
(2n)
2
(2n−1)(2n+1) =1+ 1
2 (
1
2n−1 −
1
2n+1 )
类型2：根式型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
类型3：指数型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
，设
，易得
，
于是
（7）
类型4：对数型
类型5：幂型
（1）
（2）
（3）
类型6：三角型
（1）
（2）
（3）
（4）
，
则
类型7：通项裂项为“ ”型
，本类模型典型标志在通项中含有
乘以一个分式.
类型8：裂项相消与放缩法、导数的结合
例1：已知数列{an}满足a1=0，an+1=an+
1
n(n+1) +1
（1)证明数列{an+ 1
n}是等差数列。并求数列
na
的通项公式
（2）设数列{
an
n }的前n 项和为Sn，证明：Sn< n
2
n+1
解：（1）. an+1=an+ 1
n −
1
(n+1) +1
(an+1+
1
n+1)−(an+ 1
n)=1
∴数列{an+ 1
n}是以1 为首项，1 为公差的等差数列
所以an+ 1
n =n
即an=n−1
n
（2）.∵an=n−1
n，an
n =1−1
n
2
数列{
an
n }的前n 项和Sn=n-(
1
1
2 + 1
2
2 +⋯+ 1
n
2)
∵1
n
2 >
1
n(n+1) = 1
n −
1
(n+1)
∴
Sn=n-(
1
1
2 + 1
2
2 +⋯+ 1
n
2)<n-
(
1
1×2 +
1
2×3 +⋯+
1
n×(n+1))=n−(1−1
2 + 1
2 −1
3 +⋯+ 1
n −
1
n+1)=n−1+
1
n+1 = n
2
n+1
所以Sn< n
2
n+1
1. 核心原理
把数列的通项 a_n 拆成两项之差的形式 a_n = b_n - b_{n+1}（或 a_n = b_{n-1}-b_n），累加时
中间项相互抵消，最终剩余首末若干项求和。
2. 解题步骤
① 判断特征：数列通项为分式或根式形式，且分母为若干项的乘积/和差，可尝试裂项。
② 精准裂项：根据通项结构匹配裂项模型，提取系数，确保变形等价。
③ 逐项抵消：写出前 n 项和 ，展开后观察抵消规律，明确剩余项（注意首项、末项的保留情况）。
④ 化简结果：对剩余项合并计算，整理出最简表达式。
题型01：分式型裂项
【典型例题】记数列{an}的前n 项和为Sn，对任意n∈N
*，有Sn=(n+1)(an−n)．
(1)证明：{an}为等差数列；
(2)求数列{
1
anan+1}的前n 项和．
【答案】(1)证明见解析；(2)
n
4 (n+1)
【解析】（1）根据Sn=(n+1)(an−n)，令n=1得到a1=2，令n≥2最终得到an−an−1=2，结合等差数
列定义即可证明；
（2）根据等差数列定义得到an=2n，结合裂项相消法求和即可.
（1）因为Sn=(n+1)(an−n)，
所以当n=1时，a1= S1=2(a1−1)，所以a1=2，
当n≥2时，Sn−1=n(an−1−n+1)，
两式相减得Sn−Sn−1=(n+1)(an−n)−n(an−1−n+1)，
即an=(n+1)an−n
2−n−nan−1+n
2−n，
即nan−nan−1=2n，
因为n≥2，所以an−an−1=2为常数，
所以{an}是首项为2，公差为2 的等差数列
（2）由（1）知，an=2+2(n−1)=2n，
所以
1
anan+1
=
1
4 n(n+1) = 1
4(
1
n −
1
n+1)，
所以数列{
1
anan+1}的前n 项和为1
4(1−1
2 + 1
2 +…−
1
n+1)= 1
4(1−
1
n+1)=
n
4 (n+1)
.
【变式训练1-1】已知在等差数列{an}中，a1+a5=18，a6=15．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{
1
(2n+1)an}的前n项和Sn．
【变式训练1-2】已知等差数列{an}满足a2= 4，2a4−a5=7，等比数列{bn}满足b3= 4，
b4+b5=8(b1+b2)．
(1)求{an}与{bn}的通项公式；
(2)若bn>0，设cn=
3
anan+1
+bn，求{cn}的前n项和Sn．
【变式训练1-3】记Sn为数列{an}的前n项和．
(1)从下面两个条件中选一个，证明：数列{an}是等差数列；
①数列{
Sn
n }是等差数列；②Sn= n(an+1)
2
(n∈N
*)
(2)若数列{an}为等差数列，且a1=1，a3=5，求数列{
n
(n+2)Sn}的前n项和T n．
【变式训练1-4】已知数列{an}是公差为d的等差数列，且a1=1，若16 和26 分别是{an}中的项.
(1)当d取最大值时，求通项an；
(2)在（1）的条件下，求数列{
1
(5n+1)an}的前n 项和Sn.
题型02：根式型裂项
【典型例题1】已知等比数列{an}的前n项和为Sn,an+1= Sn+2(n∈N
*).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个等差数列，记插入的这n个数之和为T n，若不等式
(−1)
n λ<2−3n
T n
对一切n∈N
*恒成立，求实数λ的取值范围；
(3)记bn=
1
log2an
2 ，求证：b1−b2
❑√b1
+ b2−b3
❑√b2
+⋯+ bn−bn+1
❑√bn
<❑√2(n∈N
*).
【答案】(1)an=2
n；(2)(−1, 3
2)；(3)详见解析.
【解析】（1）根据an和Sn的关系即可求解；（2）根据等差数列前n项和公式求出T n代入化简即可解决；
（3）求出bn−bn+1
❑√bn
，进行适当放缩后用裂项相消求和解决.
（1）设等比数列{an}的公比为q，
当n=1时，有a2=a1+2，则a1q =a1+2 ①
当n≥2时，¿，两式相减可得：an+1−an= Sn−Sn−1=an，
整理得an+1=2an，可知q =2，代入①可得a1=2，
所以等比数列{an}的通项公式为an=2
n（n∈N
*）.
（2）由已知在an与an+1之间插入n个数，组成以an=2
n为首项的等差数列，
所以T n=
(n+2)(an+an+1)
2
−an−an+1= n(an+an+1)
2
=3n⋅2
n−1，
则(−1)
n λ<2−3n
T n
=2−2
2
n，
设cn=2−2
2
n，则{cn}是递增数列，
当n为偶数时，λ<2−2
2
n恒成立，即λ<(2−2
2
n)min
=c2= 3
2，所以λ< 3
2；
当n为奇数时，−λ<2−2
2
n恒成立，即−λ<(2−2
2
n)min
=c1=1，所以λ>−1；
综上所述，λ的取值范围是(−1, 3
2).
（3）证明：由（1）得bn=
1
log2an
2 = 1
2n ，
则有
bn−bn+1
❑√bn
=
1
❑√2n(n+1) =
❑√2
2❑√n(n+1) =
❑√2
❑√n(n+1)+ ❑√n(n+1) <
❑√2
n ❑√n+1+ ❑√n(n+1)
=
❑√2
❑√n ❑√n+1(❑√n+ ❑√n+1)
=
❑√2(❑√n+1−❑√n)
❑√n⋅❑√n+1
= ❑√2(
1
❑√n −
1
❑√n+1).
b1−b2
❑√b1
+ b2−b3
❑√b2
+⋯+ bn−bn+1
❑√bn
<❑√2[(
1
❑√1 −1
❑√2)+(
1
❑√2 −1
❑√3)+⋯+( 1
❑√n −
1
❑√n+1 )]
<❑√2(1−
1
❑√n+1)<❑√2,原不等式得证.
【典型例题2】已知正项数列{an}满足a1=1，an+1
an
= ❑√1+ 1
n
.
(1)求证：数列{an
2}为等差数列；
(2)设bn=
1
an
2an+1+anan+1
2
，求数列{bn}的前n 项和T n.
【答案】(1)证明见解析；(2)T n=1−
1
❑√n+1
【解析】（1）由题an+1
an
= ❑√
n+1
n
，利用累乘法即可求解an= ❑√n(n∈N
∗)，进而可得an
2=n(n∈N
∗)，
进而可证等差；
（2）由（1）得bn= 1
❑√n −
1
❑√n+1
，由裂项求和即可求解.
所以当n≥2时，
an=a1⋅a2
a1
⋅a3
a2
⋅a4
a3
⋅⋅⋅⋅⋅an−1
an−2
⋅an
an−1
= ❑√1× 2
1 × 3
2 × 4
3 ×⋅⋅⋅× n−1
n−2 ×
n
n−1 = ❑√n，
易知a1=1满足an= ❑√n，所以an= ❑√n(n∈N
∗).
所以an+1
2
−an
2=n+1−n=1，
所以{an
2}是首项为1，公差为1 的等差数列.
（2）由（1）可得an
2=n，
所以bn=
1
an
2an+1+anan+1
2
=
1
n ❑√n+1+ ❑√n(n+1)
=
1
❑√n(n+1)(❑√n+ ❑√n+1)
= 1
❑√n −
1
❑√n+1
.
所以T n=1−1
❑√2 + 1
❑√2 −1
❑√3 +⋅⋅⋅+ 1
❑√n −
1
❑√n+1 =1−
1
❑√n+1
.
【典型例题3】在正项数列{an}中，a1= 1
2
，2
2n⋅an
2=1+2
2n−2⋅an−1
2
(n≥2)．
(1)求an；
(2)证明：∑
i=1
n
(ai−
❑√i+1
2
i+1 )< 1
2．
【答案】(1)an=
❑√n
2
n ；(2)证明见解析
【解析】（1）由2
2n⋅an
2=1+2
2n−2⋅an−1
2
(n≥2)，可得2
2n⋅an
2−2
2n−2⋅an−1
2
=1，令bn=2
2n⋅an
2，则
bn−bn−1=1(n≥2)，可得{bn}为首项为1，公差为1 的等差数列，可得2
2n⋅an
2=1+(n−1)×1=n，进
而求解；
（2）根据裂项相消求和，进而即可得证.
（1）由2
2n⋅an
2=1+2
2n−2⋅an−1
2
(n≥2)，
得2
2n⋅an
2−2
2n−2⋅an−1
2
=1，
令bn=2
2n⋅an
2，则bn−bn−1=1(n≥2)，且b1= 4 a1
2=1，
∴{bn}为首项为1，公差为1 的等差数列，
∴2
2n⋅an
2=1+(n−1)×1=n，又an>0，∴an=
❑√n
2
n ．
（2）证明：∑
i=1
n
(ai−
❑√i+1
2
i+1 )=(
1
2 −
❑√2
2
2 )+(
❑√2
2
2 −
❑√3
2
3 )+⋯+(
❑√n
2
n −
❑√n+1
2
n+1 )= 1
2 −
❑√n+1
2
n+1 < 1
2．
【变式训练2-1】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4+a7=20，S9=27a2．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn=
2
❑√an+2+ ❑√an
，数列{bn}的前n项和为T n，证明：当n≥3时，2T n>❑√an+1．
【变式训练2-2】在①bn=
1
❑√an+ ❑√an+1
；②bn=
1
anan+1
；③bn=2
nan，这三个条件中任选一个补充在下
面横线上，并解答问题．
已知数列{an}的前n 项和Sn=nan−3
2 n
2+ 3
2 n．
(1)证明：数列{an}是等差数列；
(2)若a1=2，设___________，求数列{bn}的前n 项和T n．
【变式训练2-3】已知各项均为正数的数列
的的前项和为
，对
，有
．
（Ⅰ）求数列
的通项公式；
（Ⅱ）令
，设
的前项和为
，求证：
．
【变式训练2-4】记
为数列
的前
项和，已知
，
.
(1)求
的通项公式；
(2)令
，证明：
.
【变式训练2-5】已知数列
的前
项和为
.
(1)求
；
(2)求
.
题型03：指数型裂项
【典型例题】已知数列{an}的前n 项和为Sn，且2Sn=3an−1．
(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn=
3
n
(an+1)(an+1+1)
，求数列{bn}的前n 项和T n．
【答案】(1)an=3
n−1；(2)T n= 3
4 −
3
2(3
n+1)
【解析】（1）由an与Sn的关系求通项；
（2）先求出bn，再用裂项相消法求T n.
（1）由已知2Sn=3an−1①，
当n=1时，2S1=3a1−1，即2a1=3a1−1，解得a1=1，
当n≥2时，2Sn−1=3an−1−1②，
①−②得2an=3an−3an−1，即an=3an−1，
所以数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，
所以an=3
n−1；
（2）因为bn=
3
n
(an+1)(an+1+1)
=
3
n
(3
n−1+1)(3
n+1)
= 3
2 ×(
1
3
n−1+1
−
1
3
n+1
)，
所以T n= 3
2 ×(
1
1+1 −
1
3+1 +
1
3+1 −
1
3
2+1
+⋯+
1
3
n−1+1
−
1
3
n+1
)
= 3
2 ×( 1
2 −
1
3
n+1
)= 3
4 −
3
2(3
n+1)
.
【变式训练3-1】已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn=2
n+1−2(n∈N
*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn=
2
n
(an−1)(an+1−1)
，求数列{bn}的前n项和T n．
【变式训练3-2】已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn= 3
2 an−1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn=
an
Sn⋅Sn+1
，求数列{bn}的前n项和T n.
【变式训练3-3】已知Sn为数列{an}的前n项和，a1=2,Sn=an+1−3n−2．
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)设bn=
2
n
an⋅an+1
，记{bn}的前n项和为T n，证明：T n< 1
5．
【变式训练3-4】已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=3，Sn+1
Sn
= 3
n+1−1
3
n−1
，n∈N
∗.
(1)求S2，S3及{an}的通项公式；
(2)设bn=
an+1
(an−1)(an+1−1)
，数列{bn}的前n项和为T n，若T n≤λ(an−1)对任意的n∈N
∗恒成立，求λ
的最小值.
题型04：对数型裂项
【典型例题】已知{an}为等差数列，前n 项和为Sn，(n∈N
∗)，{bn}是首项为2 的等比数列，且公比大
于0，b2+b3=12，b3=a3+a5，b6= S11−2.
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)设c1=0，cn+1−cn= ln(1+ 1
n)，n∈N
∗，求cn；
(3)设dn=¿，其中k ∈N
∗.求{dn}的前2n 项和T 2n.
【答案】(1)an=n，bn=2
n；(2)cn=lnn；(3)−ln(2n+1)
4
n
.
【解析】（1）根据等差数列的通项公式、前n 项和公式，结合等比数列的通项公式进行求解即可；
（2）运用累和法，结合对数的运算性质进行求解即可；
（3）根据（1）（2）的结论，结合裂项相消法进行求解即可.
(1)设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q(q>0)，
由b2+b3=12⇒2q+2q
2=12⇒q =2，或q =−3舍去，所以bn=2⋅2
n−1=2
n；
b3=a3+a5⇒2a4=8⇒a4= 4⇒a1+3d = 4，
b6= S11−2⇒11a1+ 1
2 ×11×10d −2=64，解得：a1=d =1，即an=1+(n−1)⋅1=n，
所以有an=n，bn=2
n；
(2)因为cn+1−cn= ln(1+ 1
n)= ln n+1
n
，
所以当n≥2,n∈N
∗时，
有cn=(cn−cn−1)+(cn−1−cn−2)+⋯+(c2−c1)+c1
= ln
n
n−1 + ln n−1
n−2 +⋯+ ln 2
1 = ln
n(n−1)⋯2
(n−1)(n−2)⋯1 =lnn，显然当n=1时也适合，
即cn=lnn；
(3)由（1）（2）可知：an=n，bn=2
n，cn=lnn.
当n=2k −1，k ∈N
∗时，d2k −1= 3 ln(2k −1)
2
2k
，
当n=2k，k ∈N
∗时，d2k =
ln 2k −1
2k +1
2
2k
，
dk −1+d2k = 3ln(2k −1)
2
2k
+
ln 2k −1
2k +1
2
2k
= 4 ln(2k −1)−ln(2k +1)
4
k
，
T 2n= 4 ln1−ln3
4
1
+ 4 ln3−ln5
4
2
+ 4 ln5−ln7
4
3
+⋯+ 4 ln(2n−1)−ln(2n+1)
4
n
=0−ln3
4
1 + ln3
4
1 −ln5
4
2 + ln5
4
2 −4 ln7
4
3
+⋯+ ln(2n−1)
4
n−1
−ln(2n+1)
4
n
=−ln(2n+1)
4
n
.
【点睛】运用裂项相消法是解题的关键.
【变式训练4-1】已知数列{an}满足a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1).
(1)证明：数列{
an
n }为等差数列：
(2)设数列{bn}满足bn= ln an+1
an
，求数列{bn}的前n项和Sn.
【变式训练4-2】已知数列{an}的首项为2，an>0且满足an
2−anan−1−2an−1
2
=0（n≥2且n∈N
*），
bn= log2an．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设cn= log2
bn+1
bn
，求{cn}的前n 项和Sn．
【变式训练4-3】已知数列{an}，{bn}，已知对于任意n∈N
∗，都有an= ❑√3
bn+1，数列{bn}是等差数列，
b1=1，且b2+5，b4+1，b6−3成等比数列．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)记cn=¿．
（ⅰ）求∑
i=1
n
2
log3c2i−1⋅log3c2i+1
；
（ⅱ）求∑
k =1
2n
ck ck +1．
【变式训练4-4】已知数列{pn}是首项为2 的等差数列，{qn}是公比为2 的等比数列，且满足p3=q2，
p7=q3．设数列{an}满足an= pn⋅qn．
(1)求{an}的通项公式；
(2)在①bn=
n
n+1 an；②bn= log4
an
n+2
；③bn= (n+3)⋅2
n
an+1an
这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并
加以解答．已知数列{bn}满足______，求{bn}的前n 项和T n．
题型05：三角函数型裂项
【典型例题】已知数列{an}中，a1=1，a2= 1
4 ，且an+1= (n−1)an
n−an
(n=2,3,4 ,⋅⋅⋅)．
(1)设bn= 1
an+1
−1(n∈N
∗)，试用bn表示bn+1，并求{bn}的通项公式；
(2)设cn=
sin3
cosbncosbn+1
(n∈N
∗)，求数列{cn}的前n项和Sn．
【答案】(1)bn+1= n+1
n
bn，bn=3n；(2)Sn=
sin3n
cos(3n+3)cos3
【解析】（1）根据提示bn= 1
an+1
−1(n∈N
∗)将条件an+1= (n−1)an
n−an
进行转化即可；
（2）根据两角差的正弦公式可将cn=
sin3
cosbncosbn+1
化为裂项式cn= sin bn+1
cosbn+1
−sin bn
cosbn
求和.
（1）1
an+1
=
n−an
(n−1)an
=
n
(n−1)an
−
1
(n−1)
，
1
an+1
−1=
n
(n−1)an
−
1
(n−1) −1=
n
(n−1)an
−
n
(n−1) =
n
(n−1)( 1
an
−1)，
所以bn=
n
n−1 bn−1，所以bn+1= n+1
n
bn，
所以bn
n = bn−1
n−1 =⋯= b1
1 =3，bn=3n.
（2）cn=
sin3
cosbncosbn+1
= sin（bn+1−bn）
cosbncosbn+1
= sin bn+1cosbn−sin bncosbn+1
cosbncosbn+1
= sin bn+1
cosbn+1
−sin bn
cosbn
，
所以Sn=cn+cn−1+⋯+c1= sin bn+1
cosbn+1
−sin bn
cosbn
+ sin bn
cosbn
−sin bn−1
cosbn−1
+⋯+ sin b2
cosb2
−sin b1
cosb1
= sin bn+1
cosbn+1
−sin b1
cosb1
= sin(3n+3)
cos(3n+3) −sin3
cos3 = sin[(3n+3)−3]
cos(3n+3)cos3 =
sin3n
cos(3n+3)cos3
.
【变式训练5-1】在数1 和100 之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数
的乘积记作T n，再令an=lgT n, n≥1.
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn= tan an⋅tan an+1，求数列{bn}的前n项和Sn.
【变式训练5-2】已知2n＋2 个数排列构成以qn(qn>1)为公比的等比数列，其中第1 个数为1，第2n＋2
个数为8，设an= log2qn．
(1)证明：数列{
1
an}是等差数列；
(2)设bn= tanπ
an
tanπ
an+1
，求数列{bn}的前100 项和S100．
【变式训练5-3】已知数列{an}中，a1=2，a2= 4，且an+2=3an+1−2an(n∈N
∗).
(1)设bn=an+1−2an，证明数列{bn}是常数列；
(2)求数列{an}的通项公式，并求数列{an}的的前n项和；
(3)设cn=(sin nπ
2 +cos nπ
2 )⋅log2an，求数列{cn}的前2022 项的和.
【变式训练5-4】在正项等比数列{an}中，已知a1+a3=10，a3+a5= 40.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn= log2an，求数列{
sin1
°
cosbn
∘cos(bn−1)
∘}的前n项和Sn(n<90).
题型06：复杂裂项型——分离常数型
分离常数型
分式型，如果分子分母都是一次，或者分子二次分母一次，如果不能裂项，可以考虑通过分离常数，
吧分子次幂降下来
【典型例题】已知函数
.
(1)若
，使得
成立，求实数
的取值范围；
(2)证明：对任意的
为自然对数的底数.
【答案】(1)
；(2)证明见解析.
【解析】（1）变形不等式
，分离参数并构造函数，再求出函数的最大值即得.
（2）由（1）的信息可得
，令
，再利用不等式性质、对数运算、数
列求和推理即得.
（1）函数
，则不等式
，令
，
求导得
，当
时，
，函数
递增，当
时，
，函数
递减，因此当
时，
，依题意，
，所以实数
的取值范围是
.
（2）由（1）知，当
时，
，即当
时，
，而当
时，
，
因此
，于是
，即有
，
所以
.
【变式训练6-1】已知数列
的前n 项和为
，
，且
．
(1)求
的通项公式；
(2)设
的前n 项和为
，求
．
(3)记数列
的前n 项和为
，若
恒成立，求
的最小值．
题型07：复杂裂项型——分子裂差法
分式型分子裂差法
【典型例题】已知正项数列
的前
项和
，满足：
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)记
，设数列
的前
项和为
，求证
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由
，把
用1 代入算出首项，再用退位相减法发现其为等差数列，则数列通
项可求；
（2）由（1）可先算出
，代入
求得
通项并裂项，再求和即可证明.
（1）当
时，
，解得
．
当
时，由
①，可得
，②
①
②得：
，即
．
，
．
是以1 为首项，以2 为公差的等差数列，
数列
的通项公式
．
（2）由（1）可得
，
，
，
，
，
，
，
，
.
【变式训练7-1】设正项数列
的前
项和为
，且
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若数列
是首项为，公差为
的等差数列，求数列
的前
项和
.
题型08：复杂裂项型——指数裂项法
指数裂项法
【典型例题】设数列
的前
项和为
，已知
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若数列
满足
，数列
的前
项和为
，都有
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）首先可以根据已知得到
，其次注意到
，结合等比数列的定义即
可求解.
（2）由（1）可知
，先将数列
的通项公式裂项得
，从而可求得其前
项和为
，若
，都有
，则只需
，研究
的单调性即可得到其最
小值，从而解不等式即可求解.
（1）一方面：因为
，所以
，
所以
，即
；
另一方面：又
时，有
，即
，且
，所以此时
；
结合以上两方面以及等比数列的概念可知数列
是首先为
，公比为
的等比数列，
所以数列
的通项公式为
.
（2）由（1）可知
，又由题意
，
数列
的前
项和为
，
又
，都有
，故只需
，而
关于
单调递增，
所以
关于
单调递减，
关于
单调递增，
所以当
时，有
，
因此
，即
，解得
，
综上所述：
的取值范围为
.
【变式训练8-1】已知数列
的前
项和为
，且
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，数列
前
项和为
，求证：
．
题型09：复杂裂项型——等差指数仿写法
等差指数仿写型裂项法
【典型例题】已知数列
满足
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前n 项和
.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）利用构造法，先求得
，进而求得
.（2）利用裂项求和法求得
.
（1）由
得：
，
∵
，所以数列
是首项为4，公差为2 的等差数列，所以
，
所以
；
（2）
，所以
.
【变式训练9-1】设数列
的前
项和为
.
(1)求
的通项公式；
(2)求
；
题型10：正负型——等差裂和型
正负型：等差裂和型
【典型例题】已知等差数列
的前
项和为
，且
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)令
，求数列
的前
项和
.
(3)
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
；(2)
；(3)当
为奇数时，
；当
为偶数时，
.
【解析】（1） 设等差数列
的公差为
,根据题意求出
的值，即可得答案；
（2）由题意可得
，再采用分组求和即可得答案；
（3）由题意可得
，分
为奇数、偶数分别求解即可.
（1）解：设等差数列
的公差为
，
由
，可得
，即
，
即
，则
，解得
，
所以
；
（2）由（1）可得：
所以
（3）解：因为
，
当
为奇数时，
，所以
；
当
为偶数时，
，
.
【变式训练10-1】已知数列
的前
项和为
，满足
，
.
(1)求
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前20 项和
.
题型11：正负型——等差裂差型
正负型：等差裂差型
【典型例题1】设数列
的前
项和为
，且
.（1）求
、
、
的值；
（2）求出
及数列
的通项公式；
（3）设
，求数列
的前
项和为
.
【答案】（1）
，
，
；（2）
，
；
（3）当
为奇数，
；当
为偶数，
.
【解析】(1)
，
时，
，
时，
，解得
，
时，
，解得
，同理可得：
，
（2）由（1）可得：
，
，化为
，猜想
，
时，代入
，左边
；右边
,所以左边=右边，猜想成立，
时也成立，
时，
，
时，也成立，
；
当
时，
，又
，
数列
的通项公式为
.
（3）
，
为偶数时，数列
的前
项和为：
.
为奇数时，数列
的前
项和为：
.
综上所述，当
为奇数，
；当
为偶数，
.
【变式训练11-1】已知数列
为等差数列，数列
为正项等比数列，且满足
，
，
．
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
．
题型12：正负型——指数裂和型
正负型：等指数裂差型
【典型例题】已知等比数列
的公比
，若
，且
，
，
分别是等差数列
第1，3，5 项.
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)记
，求数列
的前
项和
；
(3)记
，求
的最大值和最小值.
【答案】(1)
，
(2)
(3)最大值为
，最小值为
【解析】（1）根据等差数列、等比数列的知识求得
.
（2）利用错位相减求和法求得
.
（3）利用裂项求和法，结合对
进行分类讨论，由此求得
的最大值和最小值.
（1）依题意，
，
，解得
，所以
，
则
，设等差数列
的公差为
，则
，
所以
.
（2）
，
，
，
两式相减得
，
.
（3）
，
，
当
为偶数时，
，令
（
为偶数），则
是单调递增数列，
最小值为
，且
.
当
为奇数是，
，令
（
为奇数），则
是单调递减数列，
最大值为
，且
.
综上所述，
的最大值为
，最小值为
.
【变式训练12-1】已知
为等比数列，且
，
成等差数列.
(1)求数列
的通项公式；
(2)当
为递增数列时，
，数列
的前
项和为
，若存在
，求
的取值范围.
练
1．设
为数列
的前n 项和，已知
．
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前n 项和
．
2．已知
为等差数列，
，记
，
分别为数列
，
的前n 项和，
，
．
(1)求
的通项公式；
(2)证明：当
时，
．
3．设
是等差数列，
是等比数列，且
．
(1)求
与
的通项公式；
(2)设
的前n 项和为
，求证：
；
(3)求
．
4．记
为数列
的前n 项和，已知
是公差为
的等差数列．
(1)求
的通项公式；
(2)证明：
．
5．已知
是公差为2 的等差数列，其前8 项和为64．
是公比大于0 的等比数列，
．
（I）求
和
的通项公式；
（II）记
，
（i）证明
是等比数列；
（ii）证明
6．设
是首项为1 的等比数列，数列
满足
．已知
，
，
成等差数列．
（1）求
和
的通项公式；
（2）记
和
分别为
和
的前n 项和．证明：
．
7．设数列{an}满足a1=3，
．
（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2nan}的前n 项和Sn．
8．设
是等差数列，
是等比数列.已知
.
（Ⅰ）求
和
的通项公式；
（Ⅱ）设数列
满足
其中
.
（i）求数列
的通项公式；
（ii）求
.
9．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，且数列{3−2Sn
an }是公比为1
3的等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn=(2n+1)3
n−1，求其前n项和T n
10．已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn= 1
3
(n+2)an，且a1=1.
(1)求证：数列{
an
n }是等差数列；
(2)求数列{
1
an}的前n项和T n.
11．在等差数列{an}中，a2= 4，其前n项和Sn满足Sn=n
2+ λn( λ∈R).
(1)求实数λ的值，并求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{ 1
Sn
+bn}是首项为λ，公比为2 λ的等比数列，求证：数列{bn}的前n项和T n<2
n.
12．已知公差为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn,a2=3，且a1,a3,2a6+3成等比数列.
(1)求an和Sn.
(2)设bn= ❑√
1
Sn Sn+1
，求数列{bn}的前n项和T n.
13．已知数列{an}的前n 项和为Sn(Sn≠0)，数列{Sn}的前n 项积为T n，且满足Sn+T n= Sn⋅T n
(n∈N
∗)．
(1)求证：{
1
Sn−1}为等差数列；
(2)记bn=
1
n
2Sn
，求数列{bn}的前2023 项的和M．
14．已知数列{an}满足a1=1, an
an+1
=1+2an．
(1)证明{
1
an}为等差数列，并{an}的通项公式；
(2)设cn= 4 n
2anan+1，求数列{cn}的前n项和T n．
15．已知数列{an}的前n项的积记为T n，且满足1
T n
= an−1
2an
.
(1)证明：数列{T n}为等差数列；
(2)设bn=
1
T nT n+1
，求数列{bn}的前n项和Sn.
16．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，2Sn
an
=n+1.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记数列{log2
an+1
an }的前n项和为T n，求集合¿中元素的个数.
17．已知等差数列{an}，首项a1=1，其前n项和为Sn，点Pn(n, Sn
n )在斜率为1 的直线上．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn=
1
anan+1
,T n为数列{bn}的前n项和，求证：1
3 ≤T n< 1
2．
18．设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn= n(6+an)
2
,a4=12.
(1)求an；
(2)记bn= 1
nan
，数列{bn}的前n项和为T n，求T n.
19．已知数列{an}的首项a1=1，且满足3an+1−an=2×3
−n.
(1)求证：数列{3
n⋅an}是等差数列；
(2)若数列{bn}满足bn=9
n⋅anan+1，求数列{
1
bn}的前n项和Sn.
20．在公差不为0 的等差数列{an}中，a4=5，且a2，a3，a6成等比数列．
(1)求{an}的通项公式和前n 项和Sn；
(2)设bn=
1
anan+1
，求数列{bn}的前n 项和公式T n．
21．已知正项数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1.
(1)证明：数列{an+1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=
an+1
an⋅an+1
，求数列{bn}的前n项和T n.
22．已知数列{an},a1=1,nan+1−(n+1)an=1．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn=sin(
π
2 an+1)+cos(πan)，求数列{bn}的前2n项和T 2n
23．已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=3，且Sn+ Sn+1=2an+1−3．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)已知_________，T n是{bn}的前n项和，证明：T n< 2
3 ．
从①bn=
2⋅3
n
(an−1)(an+1−1)
，②bn=
4 n+6
n(n+1)an+1
中选取一个补充至题中并完成问题．
24．已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a2+a3=8,S6=36.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{cn}满足cn+1−cn=
1
anan+1
(n∈N
*),c1=1，求数列{cn}的通项公式.
25．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an+1
Sn
= 2
n.
(1)证明：数列{an}是等差数列；
(2)若a2+1，a3+1，a5成等比数列.从下面三个条件中选择一个，求数列{bn}的前n项和T n.（注：如果选
择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
①bn=
n
an
2an+1
2
；②bn=
1
❑√an+ ❑√an+1
；③bn=
2n+3
anan+12
n+1.
26．已知数列{an}的前n 项和为Sn，且2Sn=3
n−2n−1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn=
2⋅3
n
an+1an+2
，求数列{bn}的前n 项和T n.
27．已知数列{an}的前n 项和为Sn，且满足Sn=2an−2，等差数列{bn}中，b3=5，b5=9．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)记cn=ban，dn= cn+1
cncn+1
，求数列{dn}的前n 项和T n．
28．记等差数列{an}的前n 项和为Sn，已知a2=7，S5= 45．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn=
1
anan+1
，数列{bn}的前n 项和为T n，若T m= 2
25，求m 的值．
最新模拟新模考真题
1.已知等差数列
满足
，
.
(1)求
的通项公式；
(2)设等比数列
满足
，
，问：
与数列
的第几项相等?
(3)在（2）的条件下，设
，数列
的前
项和为
.求：当
为何值时，
的值最大?
2.已知数列
的首项为1，设
，
．
(1)若
为常数列，求
的值；
(2)若
为公比为2 的等比数列，求
的解析式；
(3)数列
能否成等差数列，使得
对一切
都成立？若能，求出数列
的通
项公式，若不能，试说明理由．
3.已知函数
．
(1)求证：函数
的图象关于点
对称；
(2)求
的值．
4.已知正项数列
的前
项和为
，且
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)在
和
之间插入1 个数
，使
，
，
成等差数列；在
和
之间插入2 个数
，
，使
，
，
，
成等差数列；
；在
和
之间插入
个数
，
，
，
，使
，
，
，
，
，
成等差数列.求
的值.
5.记
为等差数列
的前n 项和，已知
，
．
(1)求
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前n 项和
．
6.在等差数列
中，
是数列
的前n 项和，已知
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前n 项和
．
8.正项数列
满足
，且
.
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
.
9.数列
中，
，且对任意正整数m，数列
，
，
是公差为
的等差数列.
(1)依次求
，
，
，
的值；
(2)求数列
的通项公式；
(3)记
（n 为正整数），求数列
的前n 项和
.
10.已知等差数列
，其前
项和
满足
为常数.
(1)求
及
的通项公式；
(2)记数列
，求
前
项和的
.
11.已知数列
的前
项和为
，满足
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)记
，
是数列
的前
项和，若对任意的
，不等式
都成立，
求实数
的取值范围．
12.在数列
中，
且
.
(1)求
的通项公式；
(2)设
，若
的前
项和为
，证明：
.
13.记
为数列
的前
项和，且
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
．
14.已知数列
的前n 项和
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设数列
满足：
，求数列
的前2n 项和
.
15.已知数列
满足：
，
.
(1)证明：
是等比数列，并求
的通项公式；
(2)令
，求
的前n 项和
.
