文档文本内容
第01 讲 抛物线的定义方程性质
目
录
思维导图.........................................................................................................................................................2
高考分析.........................................................................................................................................................2
学习目标.........................................................................................................................................................2
知识要点.........................................................................................................................................................2
解题策略.........................................................................................................................................................7
题型归纳.........................................................................................................................................................8
题型01：抛物线的定义理解...........................................................................................................................8
题型02：抛物线定义的应用...........................................................................................................................9
题型03：根据定义或性质求抛物线的标准方程.............................................................................................13
题型04：特定系数法求抛物线的标准方程....................................................................................................17
题型05：动点轨迹法....................................................................................................................................18
题型06：抛物线的简单几何性质.................................................................................................................. 22
题型07：根据抛物线的方程求参数...............................................................................................................25
题型08：抛物线的焦半径公式......................................................................................................................27
题型09：抛物线对称性................................................................................................................................ 34
题型10：抛物线最值问题.............................................................................................................................35
题型11：抛物线中的范围.............................................................................................................................40
题型12：抛物线的实际应用......................................................................................................................... 41
1. 高
考点：定
用、
准方程求法、焦点
频
义应
标
/准线/焦半径，
填空必考。
选择
2. 解答
常
合直
考
弦
、定点、最
、范
，
度中等。
题
结
线
查
长
值
围难
3.
重数形
合、
化思想，多与向量、不等式
合。
侧
结
转
综
1. 熟
抛物
定
、四种
准方程及
焦点、准
。
记
线
义
标
对应
线
2. 熟
运用定
抛物
上点到焦点
练
义实现
线
/准
距离互化。
线
3. 掌握基本几何性
，能快速求解焦半径、弦
、最
。
质
长
值
4. 会
立直
与抛物
方程，
理交点、
达定理相关
。
联
线
线
处
韦
问题
知识点一：抛物线的定义
1、定义：我
把平面内与一个定点
们
和一条定直线( 不
点
经过
)的距离相等的点的
迹叫做抛物
．
轨
线
2、焦点：定点F 抛物
的焦点
线
.
3、准线：直线l 叫做抛物
的准
线
线.
4、集合表示：
.
5、注意事项：
（1）定点F 不在定直线l 上，否
点
则动
M 的
迹不是抛物
，而是
点
轨
线
过
F 垂直于直线l 的一条直
．
线
（2）抛物
的定
中指明了抛物
上的点到焦点的距离与到准
的距离的等价性，故二者可相互
化，
也是利用抛
线
义
线
线
转
这
物
定
解
的
．
线
义
题
实质
知识点二：抛物线的标准方程
1、标准方程的推导
如
，以
图
过F 且垂直于的直线为x
，垂足
轴
为K．以F，K 的中点O
坐
原点建立直角坐
系
为
标
标
．
设
（
），那么焦点F 的坐标为
，准线l 的方程为
．
点
设
是抛物
上任意一点，点
线
M 到l 的距离为d．由抛物
的定
，抛物
就是集合
线
义
线
，
将上式两
平方并化
，得
边
简
．①
方程①叫抛物
的
准方程，它表示的抛物
的焦点在
线
标
线
x
的正半
上，坐
是
轴
轴
标
它的准
方程是
线
．
2、抛物线标准方程的四种形式：
根据抛物
焦点所在半
的不同可得抛物
方程的的四种形式
线
轴
线
准方程
标
形
图
焦点坐标
准
方程
线
参数方程
的
参数方程为
（参数
）
3.知识点诠释：
①只有当抛物
的
点是原点，
称
是坐
，才能得到抛物
的
准方程；
线
顶
对
轴
标轴时
线
标
②抛物
的焦点在
准方程中一次
的坐
上，且开口方向与一次
的系数的正
一致，比如抛物
线
标
项对应
标轴
项
负
线
的一次项为
，故其焦点在
上，且开口向
方向（向下）
轴
负
③抛物
准方程中一次
的系数是焦点的
坐
的
线标
项
对应
标
4 倍，比如抛物线
的一次项
的系数为
，故其焦点坐
是
标
．
一般情况归纳：
方程
象的开口方向
图
焦点
准线
开口向右
时
开口向左
时
开口向上
时
开口向下
时
④从方程形式看，求抛物
的
准方程
需确定一次
系数．用待定系数法求抛物
的
准方程
，首先根据已
线
标
仅
项
线
标
时
知条件确定抛物
的
准方程的
型（一般需
合
形依据焦点的位置或开口方向定型），然后求一次
的系
线
标
类
结
图
项
数，否
，
展开相
的
．
则应
应
讨论
⑤在求抛物
方程
，由于
准方程有四种形式，易混淆，可先根据
目的条件作出草
，确定方程的形式，再
线
时
标
题
图
求参数
，若不能确定是哪一种形式的
准方程，
写出四种形式的
准方程来，不要
漏某一种情况．
标
应
标
遗
6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（
法）
（1）
焦点为
，准线为
（2）
焦点为
，准线为
如
，即
，焦点为
，准
方程
线
为
知识点三：抛物线的几何性质
准方程
标
象
图
焦点
准
方程
线
范围
点
顶
原点
称
对
轴
轴
轴
通径
通
抛物
的焦点且垂直于
称
的直
被抛物
所截得的
段叫做抛物
的通径．
过
线
对
轴
线
线
线
线
刻画了抛物
开口的大小，
线
越大，开口越
；
值
宽
越小，开口越窄．
值
设
抛物
上一点
为
线
焦半径
焦点
设过
的直
与抛物
交于
线
线
两点
焦点弦
离心率
x
y
O
F
M
P
x
y
O
F
M
P
x
y
O
F
M
P
x
y
O
F
M
P
知识点四：求抛物线标准方程的方法
1、直接法：直接利用
中已知条件确定焦参数
题
；
2、待定系数法：先
出抛物
的方程，再根据
中条件，确定焦参数
设
线
题
.当焦点位置不确定
，
分
或
抛物
时应
类讨论
设
线
方程为
或
；
注意：（1）已知焦点坐
或准
方程可确定抛物
准方程的形式；
标
线
线标
（2）已知抛物
某点不能确定抛物
准方程的形式，需根据四种抛物
的
形及开口方向确定。
线过
线标
线
图
知识点五：二级结论
1、点
与抛物线
的关系
（1）
在抛物
内（含焦点）
线
．
（2）
在抛物
上
线
．
（3）
在抛物
外
线
．
2、
的几何意义
焦点
为
到准线的距离，即焦准距，
越大，抛物
开口越大．
线
3、焦点弦
若
抛物
为
线
的焦点弦，
，
，
有以下
：
则
结论
（1）
．
（2）
．
（3）焦点弦
公式
长
1：
，
，当
，焦点弦取最小
时
值
，即所有焦点弦
中通径最短，其
度
长
为
．
焦点弦
公式
长
2：
（
直
为
线
与
称
的
角）．
对
轴
夹
（4）
的面
公式：
积
（
直
为
线
与
称
的
角）．
对
轴
夹
α
N
M
B
A
F
O
y
x
（5）
；
（6）以弦
直径的
与准
相切，以
为
圆
线
或者
直径的
与
为
圆
相切；
轴
（7）
焦点弦端点的两条切
互相垂直且交点在准
上；
过
线
线
（8）
三点共
，
线
三点共线．
直线与抛物线的位置关系
1、直线与抛物线的位置关系有三种情况：
相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）.
2、以抛物线
与直
的位置关系
例：
线
为
（1）直线的斜率
不存在，设直线方程为
，
若
，直
与抛物
有两个交点；
线
线
若
，直
与抛物
有一个交点，且交点既是原点又是切点；
线
线
若
，直
与抛物
没有交点
线
线
.
（2）直线的斜率
存在.
直
设
线
，抛物线
，
直
与抛物
的交点的个数等于方程
线
线
组
，的解的个数，
即二次方程
（或
）解的个数.
①若
，
当
则
，直
与抛物
相交，有两个公共点；
时
线
线
当
，直
与抛物
相切，有个公共点；
时
线
线
当
，直
与抛物
相离，无公共点
时
线
线
.
②若
，
直
则
线
与抛物线
相交，有一个公共点.
5、抛物线中的点差法
已知直线
与
交于
两点，中点
将
两点代入抛物
方程，
线
，
，即
．
结论①：在抛物
中，弦中点
线
与斜率
的关系式
：
为
；
结论②：抛物
上一点
线
的切
方程
：
处
线
为
，斜率（存在
）
时
；
结论③：过抛物
外一
线
点
引抛物
的两条切
，切点弦的方程
：
线
线
为
．
结论④弦
公式：
长
结论⑤直线AB 的方程为
结论⑥
段
线
AB 的垂直平分
方程
线
为
1. 遇焦点/距离
先用定
，化曲
直求最
、
迹。
优
义
为
值轨
2. 先定位开口方向，再
准方程，待定系数求参数。
设对应标
3. 焦点弦
：活用焦半径公式、焦点弦
化
算。
问题
结论简
计
4. 直
与抛物
立：
点
，巧用
达定理，注意判
式、斜率不存在情况。
线
线联
设
设线
韦
别
5. 最
：几何法（定
）
先，其次函数法。
值问题
义优
题型01：抛物线的定义理解
【典型例题1】
点
动
足方程
满
，
点
则
M 的
迹是（
轨
）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
【答案】D
【解析】由
得
，
等式左
表示点
边
和点
的距离，等式的右
表示点
边
到直线
的距离，
整个等式表示的意
是点
义
到点
的距离和到直线
的距离相等，
且点
不在直线
上，所以其
迹
抛物
轨
为
线.
【典型例题2】抛物线
上的一点M 到焦点的距离为1，
点
则
M 的
坐
是（
纵
标
）
A．
B．
C．
D．0
【答案】B
【解析】设
，由抛物
方程
线
化为
，得焦点
，准线
，
由抛物
定
可得
线
义
，解得
.
【典型例题3】抛物线
的焦点为
，点P 是抛物
上任意一点，
线
则
的最小
（
值为 ）
A．1
B．2
C．4
D．8
【答案】A
【分析】根据抛物
的定
求得正确答案
线
义
.
【
解】抛物
详
线
的焦点为
，准线为
，
根据抛物
的定
可知，抛物
上的点到焦点的距离等于到准
的距离，
线
义
线
线
所以
的最小
也即是
值
到准
的距离的最小
，
线
值
当
与原点重合
，
时
到准
的距离最小
线
为，
也即是
的最小值为.
故
：
选A
【典型例题4】已知圆
：
与定直线：
，动圆
与圆
外切且与直线相切，记动圆
的圆
心
的
迹
曲
轨
为
线
，
曲
则
线
的方程为 .
【答案】
【解析】设
，动圆
与圆
外切且与直线相切，
有
则
，化
得
简
.
【变式训练1-1】函数
的
域是（
值
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-2】若抛物线
上的点P 到直线
的距离等于4，
点
则
P 到焦点F 的距离
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练1-3】抛物线
的焦点到准
的距离是（
线
）.
A．
B．
C．2 D．4
【变式训练1-4】抛物线
的焦点到准
的距离是（
线
）.
A．
B．
C．2 D．4
【变式训练1-5】（多选）已知抛物线
的焦点为
坐
原点，点
为
标
在抛物线
上，若
，
（
则 ）
A．
B．
C．
D．
的坐标为
【变式训练1-6】在平面坐
系中，
点
标
动
P 和点
足
满
，
点
则动
的
迹方程
轨
为 ．
【变式训练1-7】
抛物
过
线
的焦点
作直线，交抛物
于点
线
，若点
的横坐标为3，则
等于 ．
【变式训练1-8】抛物线
上与焦点的距离等于3 的点的坐
是
标
．
题型02：抛物线定义的应用
抛物
“焦准”互化：
线
1.
遇到抛物
，涉及到
线
“焦点（或者到点距离） + 距离”，
思考“焦准”互化。
则
2.
抛物
上任意一点
线
P 到焦点 F 的距离 = 到准
线l 的距离：∣PF∣=d(P,l)
就是焦准互化。
这
3.看到焦点就想准
，看到距离
线
就想
化，
转
涉及到焦半径就
坐
，焦点弦
变
标
用坐
公式或者极坐
角度公式
标
标
。
【典型例题1】已知抛物线
的焦点为
，点
在抛物
上，且
线
，则
点到
的距离
（
轴
为 ）
A．
B．
C．2
D．1
【答案】B
【分析】根据抛物
定
求解即可
线
义
.
【
解】由
意得，
详
题
，抛物线
中
，
所以
，所以所求距离为
.
故
：
选B
【典型例题2】已知抛物线C：
的
点
顶
为O，
点
经过
，且F
抛物
为
线C 的焦点，若
，则p＝（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】C
【
解】因
点
详
为
在抛物
上，
线
，
所以
，所以
，
所以
，所以
，解得
.
故
：
选C
【典型例题3】
抛物
设
线
的焦点为
，准线为，
抛物
上的一点
过
线
作的垂
，垂足
线
为
，若
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由
意可得
题
的
斜角
倾
为
，
而可得
进
，
算即可
计
.
【
解】作出示意
如
所示：
详
图
图
抛物
的性
，可得
则
线
质
，又
，
所以可得
的
斜角
倾
为
，
可得
则
，
从而
.
故
：
选C.
【典型例题4】（多选）已知抛物线
的焦点为
坐
原点，点
为
标
在抛物线
上，若
，
（
则 ）
A．
B．
C．
D．
的坐标为
【答案】ABC
【分析】根据
意，利用抛物
的定
，求得点
题
线
义
的坐
，
合
，逐
判定，即可求解
标结
选项
项
.
【
解】由抛物
详
线
，可得
，
因
点
为
在抛物线
上，且
，
根据抛物
的定
，可得
线
义
，解得
，
又因为
，所以
，即
，
则
.
故
：
选ABC.
【典型例题5】已知F 是抛物线
的焦点，点M 在抛物
上，且
线
，则
的面积为 ．
【答案】
【分析】
出点
设
的坐
，根据
定条件及抛物
定
建立方程，求出点
标
给
线
义
的
坐
即可
纵
标
.
【
解】抛物
详
线
的焦点
，设
，则
，
由
，得
，则
，
整理得
，解得
或
，
当
，
时
，不符合
意；当
题
，
时
，符合
意，
题
所以
的面积为
.
故答案
：
为
【变式训练2-1】已知
抛物
为
线C：
上一点，点A 到C 的焦点的距离为4，到
的距离
轴
为2，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6
【变式训练2-2】已知抛物线
的焦点为
，点
在
上．若
到直线
的距离为3，则
（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【变式训练2-3】已知抛物线
的焦点为
，准线为，与
平行的直
与
轴
线
l 和抛物线C 分
交于
别
两
点，且直线
的
斜角
倾
为
，则
（ ）
A．
B．
C．6
D．4
【变式训练2-4】已知抛物线
的焦点为F，准线为l，与y
平行的直
与
轴
线
l 和抛物线E 分
交于
别
A，B 两点，
且
，则
（ ）
A．
B．
C．6
D．4
【变式训练2-5】已知抛物线
：
的焦点为
，点
为
上一点，
为
靠近点
的三等分点，若
，
则
点的
坐
（
纵
标为 ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【变式训练2-6】已知抛物线
的焦点为
，准线为．过
的直
与
线
交于
两点，过
作
的垂
，垂足分
线
别为
．若四
形
边
的周
等于
长
，
直
则
线
的斜率
（
为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-7】
点
设
抛物
为
线C：
上任意一点，P
直
为
线：
上一
点，
动
则
的最小
（
值为 ）
A．3
B．
C．2
D．
【变式训练2-8】已知抛物线
的焦点为
，
为
上的
点，点
动
，则
取最小
，直
值时
线
的斜率
（
为
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-9】已知
，向量
足
满
，抛物线
的焦点为F，点P 在抛物
上，
线
则
的最小
（
值为 ）
A．4
B．
C．3
D．
【变式训练2-10】已知抛物线C：
的焦点为F，
点
过
作直线l；
的垂
，垂足
线
为
B，点P 是抛物线C 上的
点，
动
则
的最小
（
值为 ）
A．
B．
C．14
D．
【变式训练2-11】（多选）已知点
在焦点为
的抛物线
上，其中
是
各
均不
零的数列且
项
为
．若
，
（
则 ）
A．
B．数列
等差数列
为
C．
D．
【变式训练2-12】已知抛物线
上一点
到焦点的距离是
点到
该
x
距离的
轴
2 倍，则
．
【变式训练2-13】若抛物线
上的两点A，B 到焦点的距离之和是5，
段
则线
AB 的中点的横坐
是
标
．
【变式训练2-14】已知
物
拋
线
的焦点为
，点
在
上且位于第一象限，
点
过
作直
垂直于
线
的准线，
垂足为
，若直线
的
斜角
倾
为
，则
.
【变式训练2-15】已知抛物线C：
的焦点为F，点P 在C 上且位于第一象限，
点
过
P 作直
垂直于
线
C 的准
，
线
垂足为A，若直线AF 的
斜角
倾
为
，则
.
【变式训练2-16】抛物线
焦点为
，准
上有点
线
是抛物
上一点，
线
等
三
为
边
角形，则
点坐标为 ．
题型03：根据定义或性质求抛物线的标准方程
【典型例题1】点
到抛物线
的准
的距离
线
为6，那么抛物
的
准方程是（
线
标
）
A．
B．
或
C．
或
D．
【答案】C
【分析】由抛物
的准
方程
线
线
,分
求参数
类讨论
的值.
【
解】当
详
，抛物
开口向上，准
方程
时
线
线
，
点
到准
的距离
线
为
，解得
，
所以抛物
方程
线
为
；
当
，抛物
开口向下，准
方程
时
线
线
，
点
到准
的距离
线
为
，解得
或
（舍去），
所以抛物
方程
线
为
．
所以抛物
的方程
线
为
或
．
【典型例题2】已知抛物线
，若斜率为
的直
点
线经过
与
交于
两点，且
，则
的准
方程
（
线
为 ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知
点】根据抛物
方程求焦点或准
、与抛物
焦点弦有关的几何性
、直
与抛物
交点相关
识
线
线
线
质
线
线
问题
【分析】由
意可得直
题
线
的方程，
立直
方程与抛物
方程，消去
联
线
线
得
.
根据
达定理及焦点弦公式，即可求解出
韦
的
与抛物
的准
方程
值
线
线
.
【
解】由
意可得，直
详
题
线
的方程为
，
代入
得，
.
则
，设
，
，
则
.
根据抛物
的定
可知，
线
义
4，所以
，
故抛物线
的准
方程
线
为
.
故
：
选B.
【典型例题3】以坐
原点
焦点，直
标
为
线
准
的抛物
的方程
（
为
线
线
为 ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】不妨
点
设
抛物
上一点，由抛物
的定
可得出
为
线
线
义
，化
可得出抛物
的方程
简
线
.
【
解】不妨
点
详
设
抛物
上一点，
为
线
由
意可知，点
题
到原点的距离等于点
到直线
的距离，所以
，
化
得出
简
，即抛物
的方程
线
为
.
故
：
选B.
【典型例题4】求适合下列条件的抛物
的
准方程：
线
标
(1)
点在原点，准
方程
顶
线
为
；
(2)
点在原点，且
点
顶
过
；
(3)
点在原点，
称
顶
对
轴为x
，焦点在直
轴
线
上；
(4)焦点在x
上，且抛物
上一点
轴
线
到焦点的距离为5.
【答案】(1)
(2)
或
(3)
(4)
【
解】（
详
1）由
意
点在原点，准
方程
题
顶
线
为
，
可知抛物
焦点在
线
y
半
上，且
轴负
轴
，
故抛物
准方程
线标
为
；
（2）由
意
点在原点，且
点
题
顶
过
，
抛物
焦点可能在
则
线
y
正半
或
轴
轴
x
半
上，
轴负
轴
抛物
准方程
则设
线标
为
或
，
分
将
别
代入，求得
，
故抛物
准方程
线标
为
或
；
（3）由于直线
与x
的交点
轴
为
，
由
意可知抛物
焦点
题
线
为
，则
，
故抛物
准方程
线标
为
；
（4）由
意抛物
焦点在
题
线
x
上，且抛物
上一点
轴
线
到焦点的距离为5，
抛物
方程
则设
线
为
，焦点为
，准线为
，
故
，
故抛物
准方程
线标
为
.
【变式训练3-1】若点
在以原点
点
为顶
x
称
的抛物
轴为对
轴
线C 上，则C 的方程
（
为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-2】已知抛物线
的
点
原点，
称
是
顶
为
对
轴
，与直
轴
线
相交所得
段的
线
长为12，则
的
准方
标
程
（
为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-3】已知抛物
以
线
圆
的
心
焦点，
其
准方程
（
圆
为
则
标
为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-4】已知点
抛物
为
线
：
的焦点，点
在抛物线
上，且
，
抛物
则
线
的方程
（
为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-5】已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F 作斜率为1 的直线l 交抛物线C 于A、B 两点，若
段
线
AB 中点的
坐
纵
标为3，
抛物
则
线C 的方程是（ ）
A．y2＝3x
B．y2＝4x
C．y2＝6x
D．y2＝8x
【变式训练3-6】抛物线
的
点
坐
原点，焦点在
顶
为
标
上，直
轴
线
交
于
，
两点，
的准
交
线
于点
轴
，
若
，则
的方程
（
为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-7】已知抛物线
的焦点为
，点
在抛物
上，点
线
到点
的距离与到直线
的距离相等，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式训练3-8】已知
坐
原点，
为
标
抛物
为
线
的焦点，点
，点
在
上，
，且
的面积为
，则
的准
方程
（
线
为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-9】已知抛物线
的焦点为F，第一象限的点
在抛物
上，且
线
．若
，
抛物
则
线C 的准
方程
（
线
为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-10】
抛物
设
线
（
）的准
与直
线
线
的距离为3，
抛物
的
准方程
则
线
标
为 ．
【变式训练3-11】已知抛物线
的焦点为
，第一象限的
、
两点在抛物
上，且
足
线
满
，
.若
段
线
中点的
坐
纵
标为4，
抛物
的方程
则
线
为 .
【变式训练3-12】《九章算
》是我国古代内容极
丰富的数学著作，第九章“勾股”
述了勾股定理及一些
用，将
术
为
讲
应
直角三角形的斜
称
“弦”，短直角
称
“勾”，
直角
称
“股”，
点
边
为
边
为
长
边
为
设
F 是抛物线
的焦点．l 是该
抛物
的准
，
抛物
上一点
线
线过
线
A 作准
的垂
线
线AB，垂足为B，射线AF 交准线l 于点C，若
的“勾”
，“股”
，
抛物
的方程
则
线
为__．
【变式训练3-13】求适合下列条件的抛物
的
准方程和准
方程：
线
标
线
(1)抛物
的焦点到准
的距离是
线
线
3，而且焦点在
的正半
上；
轴
轴
(2)抛物
的焦点是
线
.
题型04：特定系数法求抛物线的标准方程
【典型例题1】已知抛物线C 的
点
坐
原点，
称
坐
，若
顶
为
标
对
轴为
标轴
C 恰
（
过﹣2，1），(1，1
4 )，（﹣2，﹣2）三点中
的两点，则C 的方程
为 ．
【分析】根据
意，得到抛物
题
线C
（
经过﹣2，1）与(1，1
4 )两点，
抛物
设
线C 的方程为x
2＝2py（p＞0），
立方程
，求
联
组
得p＝2，即可得到C 的方程．【解答】解：因
点（
为
﹣2，1）和（﹣2，﹣2）不关于坐
称，所以抛物
不可能
（
标轴对
线
过﹣2，
1）和（﹣2，﹣2）两点，
因为(1，1
4 )在第一象限，（﹣2，﹣2）在第三象限，
即抛物线C 不可能同时过(1，1
4 )和（﹣2，﹣2）两点，
所以抛物线C
（
经过﹣2，1）与(1，1
4 )两点，
抛物
设
线C 的方程为x
2＝2py（p＞0），则{
(−2)
2=2 p
1
2=2 p× 1
4)
，解得p＝2，
则C 的方程为x
2＝4y．
故答案
：
为x
2＝4y．
【典型例题2】已知抛物线
，点
关于直线
的
称点
对
在
上，
抛
则
物线
的方程
（
为 ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设
，根据
称关系求出点
对
坐
，代入抛物
方程即可求出
标
线
，从而得到抛物
方程
值
线
.
【
解】
详
设
，由于点
关于直线
的
称点
对
为
，
所以
，解得
，
由于点
在
上，所以
，解得
或
，
由于
，所以
，
抛物
方程
则
线
为
故
：
选D
【变式训练4-1】若点
在以原点
点
为顶
x
称
的抛物
轴为对
轴
线C 上，则C 的方程
（
为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-2】边长为1 的等边
，O
坐
原点，
为
标
x
，以
轴
O
点且
为顶
过
的抛物
方程是（
线
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-3】已知抛物
的
点是原点，
称
坐
，并且
点
线
顶
对
轴为
标轴
经过
，
抛物
的
准方程
则该
线
标
为
．
【变式训练4-4】
（1）求焦点坐
分
标
别为
且
点
经过
的
的
准方程；
椭圆
标
（2）求
点
过
的抛物
的
准方程．
线
标
题型05：动点轨迹法
【典型例题1】点M 到点F（﹣4，0）的距离比它到直线l：x﹣6＝0 的距离小2，
点
则
M 的
迹方程
（ ）
轨
为
A．y2＝16x
B．y2＝﹣16x
C．y2＝24x
D．y2＝﹣24x
【分析】由
意得，点
题
M 到直线x＝4 的距离和它到点（﹣4，0）的距离相等，故点M 的
迹是以点（
轨
﹣4，0）
焦点，以
为
直线x＝4
准
的抛物
．
为
线
线
【解答】解：∵点M 到点F（﹣4，0）的距离比它到直线l：x﹣6＝0 的距离小2，
∴点M 到直线x＝4 的距离和它到点（﹣4，0）的距离相等．
根据抛物
的定
可得点
线
义
M 的
迹是以点（
轨
﹣4，0）
焦点，以直
为
线x＝4
准
的抛物
．
为
线
线
可
抛物
的方程
设
线
为y2＝﹣2px（p＞0），
由−p
2 =−4 得p＝8，所以其方程为y2＝﹣16x．
故
：
选B．
【典型例题2】若
与
动圆
圆
相外切，且与直线x=2 相切，
心的
迹方程是（
则动圆圆
轨
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据
，
合抛物
定
确定
题设结
线
义
的
迹，
而写出
方程
轨
进
对应
.
【
解】
详
设圆
的
心
圆
，
心
动圆圆
的
，半径为，
作
直线
垂足，
为
圆
与
相切，故圆
到直线
的距离
，又
，
因此
到
与直线
的距离相等，
则
的
迹：焦点
轨
为
，准线
，
点
顶
为
且开口向左的抛物
，
线
所以
，方程为
.
故
：
选A
【典型例题3】已知
分别为
内角
的
，若
对边
，
，
点
动
足
满
的
大小与
的大小相等，则
的最小
（
值为 ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】C
【分析】根据降
公式
合余弦定理可得
幂
结
，根据面
可得
积
，可知点
在抛物
上，
合抛物
的
线
结
线
性
分析求解
质
.
【
解】因
详
为
，
整理可得
，则
，可知
等
三角形．
为
边
点
设
到直线
的距离为
，则
，可得
，
如
，
点
图过
作
，垂足为
，则
，
点
过
作
，垂足为
，可知点
在以
焦点，
为
所在直
准
的抛物
上，
线为
线
线
可知当点
抛物
点（即
为
线顶
为
的中点）
，
时
取得最小
，此
值
时
，
所以
的最小值为
．故
：
选C.
【典型例题4】已知点P 是曲线
上任意一点，
，
接
连
PA 并延
至
长
Q，使得
，求
点
动
Q 的
迹方程．
轨
【答案】
【分析】
点
设动
Q 的坐标
，点P 坐标
，利用
，求出
、
代入曲
方程可得答案
线
.
【
解】
点
详
设动
Q 的坐标
，点P 坐标
，
，
因为
，所以
，
，
可得
，
，
代入
得
，整理得
，
所以
点
动
Q 的
迹方程
轨
为
．
【典型例题5】平面直角坐
系
标
中，抛物线
，
为
的焦点，
，
为
上的两个不重合的
点，使得
动
段
线
的一个三等分点
位于
段
线
上（含端点），记
段
为线
的另一个三等分点.求点
的
迹方程
轨
.
【答案】
【分析】设
，
，由三等分点关系可得
，根据
的位置特征可设
，
，
从而可得
的坐
（用
标
表示），故可求点
的
迹方程
轨
.
【
解】
详
解：设
，
.不妨设
，则
.
易知
.由于点
位于
段
线
上，故
，
.
可设
，
，则
，
.此
有
时
，
且由
，
不重合知
，所以
.
设
，则
，
，有
.
注意到
，故点
的
迹方程
轨
为
.
【变式训练5-1】
点
动
P（x，y）到点F（3，0）的距离比它到直线x+2＝0 的距离大1，
点
则动
P 的
迹是（ ）
轨
A．椭圆
B．双曲线
C．双曲
的一支
线
D．抛物线
【变式训练5-2】已知
抛物
过
线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F 作斜率为2❑√2的直线l，l 与C 的一个交点A 位于第四象限，
且l 与C 的准
交于点
线
B，若|BF|＝8，则|AF|＝（ ）
A．5
2
B．2
C．7
3
D．3
【变式训练5-3】设圆
与y
交于
轴
A，B 两点（A 在B 的上方），过B 作圆O 的切线l，若
点
动
P 到A 的距
离等于P 到l 的距离，
点
则动
P 的
迹方程
（
轨
为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-4】在平面直角坐
系
标
中，
，
一点
记
到直线
的距离为
，已知
，记
的
迹
轨
为
，
下列命
的
（）
则
题错误
为
A．当
，
时
是两条直线
B．当
，
时
是圆
C．当
，
时
是抛物线
D．当
，
时
不存在
【变式训练5-5】已知
心在
圆
上移
的
轴
动
圆经过
，且与
，
轴
分
交于
轴
别
两个
点，
动
过
分
作
别
，
轴
的垂
，两条垂
的交点
轴
线
线
记为
，
点
则
的
迹
（
轨
为 ）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
【变式训练5-6】已知点P 在正方体
的表面上，P 到三个平面
、
、
中的两个
平面的距离相等，且P 到剩下一个平面的距离与P 到此正方体的中心的距离相等，
足条件的点
则满
P 的个数
（
为 ）
A．4
B．6
C．8
D．10
【变式训练5-7】已知点
足
满
，
，则
的最小
（
值为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-8】在平面直角坐
系
标
中，到
的距离与到点
轴
的距离相等的点的
迹方程
轨
为 ．
【变式训练5-9】已知点
，直线
，两个
均
动圆
过A 且与l 相切，若
心分
圆
别为
､
，则
的
迹方程
轨
为 ；若
点
动
M
足
满
，则M 的
迹方程
轨
为 .
【变式训练5-10】
（1）已知抛物
定点在原点，
称
坐
，焦点在直
线
对
轴为
标轴
线x－y＋2＝0 上，
抛物
方程
则
线
为 .
（2）
点
动圆过
(1，0)，且与直线x＝－1 相切，
的
心的
迹方程
则动圆
圆
轨
为 .
【变式训练5-11】已知点
足
满
，则
的最小值为________
【变式训练5-12】已知点
，
在
上，且
轴
，则
外心的
迹
轨
的方程 ；
【变式训练5-13】已知曲线
和定点
，点
曲
为
线
上任意一点，若
，当点
在曲线
上运
，求点
动时
的
迹方程．
轨
【变式训练5-14】已知点F(0，2)，
点
过
且与y
垂直的直
轴
线为，
，交
轴
于点N，直线垂直平分
FN，交
于点M．
点
则
M 的
迹方程
轨
为 ．
【变式训练5-15】已知点
到定点
的距离比它到
的距离大
轴
，则
，点
的
迹点
轨
的方程为 ．
【变式训练5-16】如
，
抛物
图设
线
的焦点为F，不
焦点的直
上有三个不同的点
经过
线
A，B，C，其中点A，B 在
抛物
上，点
该
线
C 在y
上，若
轴
，
，则
_____
【变式训练5-17】已知A，B 两点的坐
分
是
标
别
，
，直线AM，BM 相交于点M，且直线AM 的斜率与直线
BM 的斜率的差是
(1)求点M 的
迹方程
轨
;
(2)若
点
经过
的直线l 与点M 的
迹相交于
轨
C，D 两点，
，O
坐
原点，求
段
为
标
线
CD 的长.
【变式训练5-18】已知
，点
与点
的横坐
相等，点
标
在直线
上，且
.
(1)求点
的
迹方程；
轨
(2)若
，求
的最小值.
【变式训练5-19】已知
点
动
与点
的距离与其到直线
的距离相等.
(1)求
点
动
的
迹方程；
轨
(2)求点
与点
的距离的最小
，并指出此
值
时
的坐标.
【变式训练5-20】在平面直角坐
系
标
中，
点
设
的
迹
曲
轨
为
线
.①
点
过
的
恒与
动圆
相切，
轴
为该
的直径；②点
圆
到
的距离比
到
的距离大
轴
.在①和②中
一个作
条件
选择
为
.
条件：
选择
，求曲线
的方程.
【变式训练5-21】已知直线l 平行于y
，且
轴
l 与x
的交点
轴
为
，点A 在直线l 上，
点
动
P 的
坐
与
纵
标
A 的
坐
纵
相同，且
标
，求P 点的
迹方程，并
明
迹方程的形状．
轨
说
轨
题型06：抛物线的简单几何性质
【典型例题1】下列
物
中，焦点坐
拋
线
标为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据抛物
的
准方程及焦点坐
即可求解
线
标
标
.
【
解】抛物
的
准方程
：
详
线
标
为
，焦点坐标为
，
由
意得
题
，所以
，
所以抛物
的
准方程
：
线
标
为
.
故
：
选
.
【典型例题2】
抛物
设
线
的焦点为F，已知点
在C 上，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【分析】先将点代入抛物
得出
线
，再
用抛物
定
得出
应
线
义
即可求解.
【
解】因
点
详
为
A
足
满
，又
，代入抛物
方程得
线
，
因为
，可得
，
故
：
选C．
【典型例题3】已知抛物线
上一点A 的横坐标为4，
点
则
A 到抛物
焦点的距离
（ ）
线
为
A．5
B．6
C．
D．4
【答案】A
【分析】根据
定条件，求出抛物
的准
方程，再利用定
求解
给
线
线
义
.
【
解】抛物
详
线
的准
方程
线
为
，所以点A 到抛物
焦点的距离
线
为
.
故
：
选A
【典型例题4】
抛物
设
线
的焦点为F，准线为l，P
抛物
上一点，
为
线
，A
垂足，如果直
为
线
的斜率为
，则
（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【分析】由抛物线
，求出焦点
，再
合
意求出直
结
题
线
的方程
：
为
，在求出点
及点
，从而可求解.
【
解】由抛物
详
线
，
焦点
则
，准线：
，
又因
直
为
线
的斜率为
，
直
则
线
的方程
：
为
，
因
，所以可得点
，
又
，所以
，即得点
，
则
.
故
：
选C.
【变式训练6-1】已知抛物线
的焦点为
，点
是抛物
上位于第一象限的点，若
线
，则
的面积
（ ）
为
A．1
B．
C．2
D．
【变式训练6-2】已知抛物线
：
的焦点为
，
点
过
的直线与
交于
，
两点，
下列
法正确的是
则
说
（ ）
A．焦点
到抛物线
的准
的距离
线
为8
B．
C．若
的中点的
坐
纵
标为4，则
D．若
，则
【变式训练6-3】
抛物
记
线
的焦点为
，其准
与
线
交于点
轴
，过
作直线与
分
交于
别
两点，且
，若
的面积为
，则
（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【变式训练6-4】已知抛物线
，
焦点
过
的直线与抛物
交于
线
两点（
在第一象限）且
（
坐
原点），
当
为
标
则
，
时
的面
（ ）
积为
A．
B．
C．
D．
【变式训练6-5】已知O
坐
原点，点
为
标
在抛物线C：
上，
点
过
的直
交抛物
线
线C 于
P、Q 两点：①抛物线C 的准线为
；②直线AB 与抛物线C 相切；③
；④
，以上
中正确的是（
结论
）
A．①②
B．②③
C．②④
D．③④
【变式训练6-6】下列关于抛物线
的
法正确的是（
说
）
A．焦点在x
上
轴
B．焦点到准
的距离等于
线
10
C．抛物
上横坐
线
标为1 的点到焦点的距离等于
D．由原点向
焦点的某直
作垂
，垂足坐
可能
过
线
线
标
为
【变式训练6-7】已知抛物线
：
的焦点为
，
为
上一点，下列
法正确的是（
说
）
A．
的准
方程
线
为
B．直线
与
相切
C．若
，则
的最小值为
D．若
，则
的周
的最小
长
值为11
【变式训练6-8】已知抛物线
上有一点
到准
的距离
线
为
，点
到
的距离
轴
为
，
抛物
的焦点
则
线
坐标为 ．
【变式训练6-9】如
，曲
图
线
是以原点
中心，
为
、
焦点的
的一部分，曲
为
椭圆
线
是以
焦点的抛物
为
线
的一部分，
是曲线
和
的交点且
角，若
为钝
，
．求曲线
和
的方程．
题型07：根据抛物线的方程求参数
【典型例题1】将抛物线
其
点
旋
绕
顶
顺时针
转
之后，正好与抛物线
重合，则
（ ）
A．
B．
C．-2
D．2
【答案】A
【分析】根据抛物
旋
律可得，其焦点坐
从
线
转规
标
半
旋
到
轴负
轴
转
正半
，即可得
轴
轴
.
【
解】根据
意可得抛物
详
题
线
的焦点坐标为
，
抛物线
的
准方程
标
为
，可得其焦点坐标为
，
易知
原点
旋
绕
顺时针
转
之后得到
，即可得
，
解得
.
故
：
选A
【典型例题2】已知O
坐
原点，
为
标
P 是焦点为F 的抛物线C：
（
）上一点，
，
，则
（ ）
A．1
B．
C．2
D．3
【答案】D
【分析】利用抛物
定
和
条件列出关于
线
义
题给
p 的方程，解之即可求得p 的值.
【
解】
抛物
详
设
线C 的准
与
线
x
交于点
轴
Q，
点
过
P 作准
的垂
交准
于
线
线
线
G，过F 作
，垂足为H，
∴
，
，由抛物
的定
知
线
义
，
∵
，∴
，
，
∴
，解得
．
故
：
选D．
【典型例题3】已知点
抛物
为
线
上一点，
点
过
A 作C 准
的垂
，垂足
线
线
为B．若
（O
坐
原点）的面
为
标
积为2，则
（ ）
A．
B．1
C．2
D．4
【答案】C
【分析】根据点
抛物
为
线
上一点可得
，利用三角形面
列出等式，即可求得答案
积
.
【
解】由
意点
详
题
抛物
为
线
上一点可得
，
即
，则
的面积
，
解得
，
故
：
选C
【变式训练7-1】已知等
三角形的一个
点位于抛物
边
顶
线y2＝2x 的焦点，另外两个
点在抛物
上，
个等
三角
顶
线
则这
边
形的
（ ）
边长为
A．2−❑√3
B．2± ❑√3
C．4−2❑√3
D．4±2❑√3
【变式训练7-2】已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F（1，0），点A 在抛物
上，
线
O 是坐
原点，若△
标
OFA 的面积为
❑√3，
∠
则
OFA＝（ ）
A．2π
3
B．π
3
C．5 π
6
D．π
6
【变式训练7-3】已知抛物线y2＝2px（p＞0）的
点
顶
为O，焦点为F，
点
过
F 的直
交抛物
于
线
线
A，B 两点．若|AF|＝2|
BF|，则sin∠OAF＝（ ）
A．2
9
B．
❑√6
9
C．1
3
D．
❑√3
3
【变式训练7-4】已知抛物线
上一点
，
其焦点，直
为
线
交抛物
的准
于点
线
线
.且
段
线
的中点为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练7-5】设
，
物
拋
线
上的点
到
的焦点的距离为5，点
到
的距离
轴
为3，则
的值
为 .
【变式训练7-6】若抛物线
的
点到它的准
距离
顶
线
为
，
正
数
则
实
.
【变式训练7-7】已知抛物线
：
的焦点为
，曲线
与
交于点
，
，
轴则
.
【变式训练7-8】已知点
在抛物线
上，过
作
的准
的垂
，垂足
线
线
为
，点
为
的焦点．若
，点
的横坐标为，则
.
【变式训练7-9】已知点
及抛物线
，若抛物
上点
线
P
足
满
，则m 的最大值为
．
题型08：抛物线的焦半径公式
若
抛物
为
线
上任意一点，则
；
＋＝
：
=
【典型例题1】已知
坐
原点，
为
标
抛物
为
线
的焦点，点
在
上，且
，则
（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
【答案】C
【分析】由抛物
定
及
线
义
得
，
而将点
进
代入抛物
方程即可得
线
.
【
解】由抛物
的定
，知
详
线
义
，又
，
，
所以
，即
，
由点
在
上，得
，
合
结
，解得
.
故
：
选C
【典型例题2】已知
抛物
为
线
的焦点，点
（异于坐
原点）在
标
上，若点
到
的距离等于
轴
其到
的距离，且
轴
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】根据抛物
的定
算求参即可
线
义计
.
【
解】由
意不妨
详
题
设
，则
，
所以
，
由抛物
的定
可知，
线
义
，解得
，
故
：
选D.
【典型例题3】
抛物
设
线
的焦点为F，过C 上一点A 作其准
的垂
，
垂足
线
线设
为B，若
，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【分析】根据抛物
的定
得
线
义
，由余弦定理可得
，则
，在
中，由
勾股定理即可求解.
【
解】由
意可知：抛物
详
题
线
的焦点
，准线为
，且
，
因为
，
所以由余弦定理得
，
即
；
由
，所以
，
；
设
准
与
为
线
的交点，
轴
，
则
，则
.
故
：
选C.
【典型例题4】已知抛物线
的焦点为
，准线为，点A，B 在上，直线AF 与抛物线
交于M，
N，
到准
的距离
线
为3，M，O，B 三点共
，若
线
，则
（ ）
A．1
B．9
C．1 或9
D．9 或18
【答案】C
【
度】
难
0.65
【知
点】抛物
定
的理解、根据抛物
方程求焦点或准
、抛物
的焦半径公式
识
线
义
线
线
线
【分析】由
意根据抛物
的定
得到
题
线
义
，根据
的位置分两种情况分
求得
别
的
坐
即可得
果
标
结
.
【
解】
详
分
点
别过
M，N 作
，垂足为
，则
由抛物
的定
，得
线
义
由
，得
，
则
，
由图1，
，
，
∵M，O，B 三点共
，∴
线
,
.
由图2，
，
，
,
，
∵M，O，B 三点共
，∴
线
上，
综
或9.
故
：
选C.
【典型例题5】已知抛物线
：
的焦点为
，
点
过
的直线与
交于
，
两点，
下列
法正确的是（ ）
则
说
A．焦点
到抛物线
的准
的距离
线
为8
B．
C．若
的中点的
坐
纵
标为4，则
D．若
，则
【答案】D
【
度】
难
0.65
【知
点】抛物
中的三角形或四
形面
、直
与抛物
交点相关
、根据
达定理求参数、根据抛物
方程
识
线
边
积问题
线
线
问题
韦
线
求焦点或准线
【分析】由抛物
方程确定焦点坐
，及准
方程可判断
线
标
线
A；通
斜率存在，或不存在两种情况
，
合焦半径公式可
过
讨论结
判断B；
合
结
B，及焦半径公式可判断C；通过
确定直线
的斜率为
，得到直线
的方程为
，
立抛物
方程求得
联
线
坐
，即可求解
标
.
【
解】抛物
详
线
的焦点为
，准线
，
，
所以焦点
到抛物线
的准
的距离
线
为4，A
；
错误
设
，
当直线
垂直于
，可得
轴
，
所以
，得
；
当直线
不垂直于
，
方程
轴设
为
，由
，得
，
则
，
，
，B
；
错误
于
对
C，
的中点的
坐
纵
标为
，则
，可得：
，
，
又
，
所以
，C
；
错误
于
对
D，
不妨
点
设
在第一象限，分
点
别过
作
垂直于准
，垂足分
线
别为
，
直线
与准
交于点
线
，准
与
线
交于点
轴
，
设
，则
，
因
，则
，得
，
则
，则
，
故直线
的斜率为
，直线
的方程为
，
与
立得
联
，
解得
，
所以
，可得：
，
所以
，D 正确；
故
：
选D
【变式训练8-1】在平面直角坐
系
标
中，已知定点
，点
在抛物线
上运
，
动则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练8-2】
抛物
设
线
的焦点为
点A 在C 上，过A 作
的准
的垂
，垂足
线
线
为B．若直线
BF 的方程为
，则
（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【变式训练8-3】已知
的
点在抛物
顶
线
上，若抛物
的焦点
线
恰好是
的重心，则
的
（
值为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练8-4】已知直线
与抛物线
相交于A，B 两点，且点
坐标为
，则
的取
范
（
值
围为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练8-5】已知抛物线
的焦点为F，准线为，点P 为C 上一点，过P 作的垂
，垂足
线
为A，若AF 的倾
斜角为
，则
（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
【变式训练8-6】已知A，B 是抛物线
（
）上不同两点，点F 是抛物
的焦点，且
线
（O
坐
原点）
为
标
的重心恰为F，若
，则
（ ）
A．8
B．
C．
D．
【变式训练8-7】设
是抛物线
的焦点，
，
是
上不同于
的
点的两点，以
顶
和
切点
为
的两条切
相交于点
线
，若
，则
（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【变式训练8-8】
点
过
且
斜角
倾
为
的直线交曲线
于
两点（点
在点
的上方），
为
的焦
点，则
（ ）
A．4
B．
C．2
D．
【变式训练8-9】已知抛物线
焦点为
，过
的直线与抛物
交于
线
两点（点
在第一象限），其准
与
线
交于点
轴
，若
段
线
的垂直平分
恰好
线
过
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【变式训练8-10】（多选）已知抛物线
：
（
）与圆
：
相交于
，
两点，线
段
恰为圆
的直径，且直线
抛物
过
线
的焦点
，又
是抛物线
焦点
过
的另一
弦，
以下
正确
动
则
结论
的是（ ）
A．
B．
C．
的周
可以
长
为14
D．当
，
时
【变式训练8-11】（多选）抛物
有如下光学性
：由其焦点射出的光
抛物
反射后，沿平行于抛物
称
线
质
线经过
线
线对
的方向射出；反之，平行于抛物
称
的入射光
抛物
反射后必
抛物
的焦点．已知抛物
轴
线对
轴
线经
线
过
线
线
的焦点
为
坐
原点，一束平行于
为
标
的光
轴
线从点
射入，
抛物
上的点
经过
线
反射后，再
抛
经
物
上另一点
线
反射后，沿直线
射出，
下列
中正确的是（
则
结论
）
A．
B．若点
，则
C．直线与
的距离最小
间
值为2
D．直线与直线
相交于点
，则
三点共线
【变式训练8-12】已知抛物线
(其中
)的焦点为
，点
在抛物
上，若
线
，
且
的最小值为
，
点
则
到抛物线
的准
的距离
线
为
【变式训练8-13】已知
抛物
为
线
：
的焦点，
，
，
为
上的三点，若
，则
.
【变式训练8-14】如
，
图
是抛物线
上的一点，
是抛物
的焦点，以
线
始
、
为
边
的角
为终边
，则
.
【变式训练8-15】已知抛物线
2
:
4
C y
x
的焦点为F.
点
过
2,0
的直线l 与抛物
分
交于
线
别
A B
,
两点，则
4
AF
BF
的最小值为 .
【变式训练8-16】已知抛物线
的焦点为
，
焦点
过
的直
交抛物
与
线
线
两点，且
，
物
的准
方程
则拋
线
线
为________.
【变式训练8-17】已知抛物线
，其焦点为
，准线为，
焦点
过
的直
交抛物
线
线
于点
、
（其中
在
上方），
轴
，
两点在抛物
的准
上的投影分
线
线
别为
，
，若
，
，则
____________.
【变式训练8-18】
直
设
线
与抛物线C：
相交于点A，B，点F
抛物
为
线C 的焦点.若
，
点
则
F 的坐标为 .
【变式训练8-19】已知抛物线
的焦点为
，
点
过
且斜率为
的直线交抛物线
于
两点，则
段
线
的长为 ．
【变式训练8-20】已知抛物线
的焦点为
，
点
过
且不与
垂直的直
与
轴
线
交于
两点，过
的
中点
作
的平行
交
轴
线
于
点，则
.
题型09：抛物线对称性
【典型例题1】以
称
，
点
坐
原点，焦点与原点之
的距离
轴为对
轴顶
为
标
间
为2 的抛物
方程是（
线
）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】C
【
解】依
意
抛物
方程
详
题
设
线
为
．因
焦点与原点之
的距离
为
间
为2，所以
，所以
，所以抛
物
方程
线
为
或
．
故
：
选C．
【典型例题2】已知抛物线
上一点
到其准
及
称
的距离分
线
对
轴
别为3 和
，则
（ ）
A．2
B．2 或4
C．1 或2
D．1
【答案】B
【
解】因
抛物
详
为
线
上一点
到其准
及
称
的距离分
线
对
轴
别为3 和
，
所以
，即
，代入抛物
方程可得
线
，
整理得
，解得
或
.
故
：
选B.
【变式训练9-1】
抛物
为
线
的焦点，直线
与抛物
交于
线
两点，则
（
为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练9-2】（多选）下列四个方程所表示的曲
中既关于
线
称，又关于
轴对
称的是（
轴对
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练9-3】抛物线
上一点到准
和抛物
的
称
距离分
线
线
对
轴
别为10 和6，
点的横坐
是
则该
标
．
题型10：抛物线最值问题
“看到准
想到焦点，看到焦点想到准
”，
多抛物
均可根据定
得
捷、直
的求解．“由数想形，由形想
线
线
许
线问题
义获
简
观
数，数形
合”是灵活解
的一条捷径．
结
题
（1）抛物
上任意一点到焦点的距离等于到准
的距离，利用
一定
可以把相等
度的
段
行
化，
线
线
这
义
长
线
进
转
（2）把两条
段
度之和的
化
两点
的距离
或点到直
的距离
，即在解
中掌握“抛物
的定
及
线
长
问题转
为
间
问题
线
问题
题
线
义
其性
”，
质
（3）若求抛物
上的点到定直
（并非准
）距离的最
用参数法或切
法求解．
线
线
线
值问题
线
【典型例题1】已知抛物线
的焦点为
，
抛物
上一个
点，
为
线
动
，则
的最小值为
（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【
解】由
意可知抛物
详
题
线
的焦点坐标为
，准线的方程为
，过
作
于
，
由抛物
定
可知
线
义
，所以
，
当
则
共线时
取得最小
，所以
值
最小值为
．
故
：
选B．
【典型例题2】已知点
是抛物线
上的
点，定点
动
，则
到点
的距离与
到
的距离之和的最小
轴
（
值为 ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由抛物
焦半径公式可得
线
，
，当且
当
仅
三点共
，等
线时
号成立，从而求出距离之和的最小值.
【
解】抛物
详
线
，焦点坐标为
，准
方程
线
为
，
设
到
的距离
轴
为
，
点
过
作
⊥准线
于点
，
由抛物
焦半径公式可得
线
，
，
则
，当且
当
仅
三点共
，等号成立，
线时
其中
，所以
到点
的距离与
到
的距离之和最小
轴
值为
.
故
：
选A
【典型例题3】已知抛物线
的焦点为F，点
在C 的内部，若点B 是抛物线C 上的一个
点，
动
且
周
的最小
长
值为
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】
点
过
作准
的垂
，垂足
线
线
为
，交
于
轴
，
合
结
的周长为
，
合两点
距离公式
算可得
结
间
计
．
【
解】如
，
点
详
图过
作准
的垂
，垂足
线
线
为
，交
于
轴
， 抛物线为
，准线l 的方程为
B 到准
的距离
线
为d，
由抛物
的定
可知
则
线
义
，
所以
的周长为
，
,
,
故
：
选B．
【典型例题4】已知点
是抛物线
上一
点，点
动
在圆
上运
，
动则
与
两点
最短距离
间
为
.
【答案】
【分析】因
点
为
在
外，
圆
与
两点
最短距离是抛物
上的点到
心距离减去
的半径，
出点
间
线
圆
圆
设
坐
，写出距离
标
，
再根据二次函数性
即可求解
质
.
【
解】
抛物
详
设
线
上的点
坐标为
，
圆
的
心
圆
为
，半径
.
点
到
心
圆
的距离
.
令
，则
，
其求最小
，
对
值
根据二次函数性
，当
质
，
时
最小为
.
则
与
两点
最短距离
间
为
.
故答案
：
为
.
【变式训练10-1】在平面直角坐
系
标
中，
是以
焦点的抛物
为
线
上任意一点，
是
段
线
上的点，且
，
直
则
线
斜率的最大
（
值为 ）
A．1
B．
C．
D．
【变式训练10-2】【例2】（25-26 高二上·河南南阳·期中）已知P
抛物
为
线
上的任意一点，F
抛物
的焦点，
为
线
点
，则
的最小
（
值为 ）
A．3
B．
C．4
D．
【变式训练10-3】已知点
足
满
，则
的最小
（ ）
值为
A．2
B．
C．
D．4
【变式训练10-4】已知点
，点
在抛物线
上运
，点
动
在圆
上运
，
动则
的最小
（
值为 ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【变式训练10-5】已知不
原点的直
过
线l 与抛物线
交于A，B 两点，且
，
弦
则
的中点
到y
距离的最小
（
轴
值为 ）
A．p
B．2p
C．
D．3p
【变式训练10-6】已知在平面直角坐
系
标
中，
，
，
点
动
足
满
，点
抛物
为
线
上一
点且
动
在抛物
准
上的投影
线
线
为
，则
的最小
（
值为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练10-7】已知抛物线C：
的焦点为F，
点
过
作直线l；
的垂
，垂足
线
为
B，点P 是抛物线C 上的
点，
动
则
的最小
（
值为 ）
A．
B．
C．14
D．
【变式训练10-8】已知
抛物
过
线
的焦点
且
斜角
倾
为
的直
交
线
于
两点，
是
的中
点，点
是
上一点，若点
的
坐
纵
标为1，直线
，则
到
的准
的距离与
线
到的距离之和的最
小
（
值为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练10-9】已知
且
，若定义
，则
的最小
（
值为 ）
A．1
B．2
C．
D．
【变式训练10-10】已知抛物线y2＝4x 的焦点为F，点A（5，3），M
抛物
上一点，且
为
线
M 不在直线AF 上，则
周
的最小
（ ）
长
值为
A．10
B．11
C．12
D．13
【变式训练10-11】已知
抛物
为
线
上一个
点，
动
为圆
上一个
点，那么点
动
到点
的
距离与点
到
距离之和的最小
是（
轴
值
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练10-12】已知抛物线
，圆
，
为
上一点，
为
上一点，则
的最小值
（
为 ）
A．5
B．
C．2
D．3
【变式训练10-13】（多选）已知抛物线
的焦点为
，点
，
为
上的
点，
（
动
则 ）
A．
足
满
的点
恰有两个
B．
足
满
面积为
的点
恰有三个
C．
的最小值为3
D．
的最小值为
【变式训练10-14】已知点P 是抛物线C：y2＝4x 上任意一点，若点P 到抛物线C 的准
的距离
线
为d1，到直线m：2x﹣
y+3＝0 的距离为d2，则d1+d2的最小
是
值
_______
【变式训练10-15】设
抛物
为
线
上任意一点，若
的最小值为，则
的值为 ．
【变式训练10-16】已知抛物线
，圆
，P 为E 上一点，Q 为C 上一点，则
的最小值
为_________
【变式训练10-17】已知
是抛物线
上一点，则
的最小值为 ．
【变式训练10-18】已知点
是坐
平面内一定点， 若抛物
标
线
的焦点为
， 点
是抛物
上的一
线
点，
动
则
的最小
是
值
.
【变式训练10-19】已知抛物线
的焦点为
，
抛物
为
线
内
一点，
侧
为
上一
点，
动
的最小值为6，则
，
抛物
该
线
上一点
（非
点）
的切
顶
处
线与圆
相切，则
．
【变式训练10-20】
抛物
设
线
上一点
到直线
的距离为
，到直线
的距离为
，
则
的最小值为 .
【变式训练10-21】已知点
是圆
上一点，抛物线
的准
与
线
交于点
轴
是抛物线
在第一象限上一点，且
，则
的最小值为 ．
【变式训练10-22】已知O
坐
原点，已知抛物
为
标
线
的焦点F 到准
的距离
线
为2，点P 在C 上，点
Q
足
满
，
直
则
线OQ 斜率的最大
是
值
．
【变式训练10-23】已知抛物线
，点A 的坐标为
，
抛物
上距离点
则
线
A 最近的点P 的坐标为
，距离
＝ ，
【变式训练10-24】已知抛物线
的焦点
为
，则
，若点
在抛物
上，点
线
，则
的最小值为 .
【变式训练10-25】已知抛物线
在第一象限内的一点
到抛物
焦点
线
的距离为3，若
抛
为
物
准
上任意一点，
当
线
线
则
的周
最小
，直
长
时
线
的斜率为 .
【变式训练10-26】已知点
分
是抛物
别
线
和圆
上的
点，点
动
到直线
的距离为
，则
的最小值为 ．
【变式训练10-27】已知
抛物
为
线
：
上的一个
点，
动
为
的焦点．
(1)当
，求
时
的坐
；
标
(2)若点
的坐标为
，求
的最小
．
值
题型11：抛物线中的范围
【典型例题1】若抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p 的取
范
是（
值
围
）
A．p＜1
B．p＞1
C．p＜2
D．p＞2
【答案】D
【
解】∵
详
设P
抛物
的任意一点，
为
线
则P 到焦点的距离等于到准
：
线x
的距离，
然当
显
P
抛物
的
点
，
为
线
顶
时P 到准
的距离取得最小
线
值
．
∴
，即p＞2．
故
：
选D．
【典型例题2】已知抛物线
和
所
成的封
曲
如
所示
围
闭
线
图
,
定点
给
,若在此封
曲
闭
线
上恰有三
不同的点
对
,
足每一
点关于点
满
对
称
对
,
数
则实
的取
范
是
值
围
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【
解】解：
然，
点
详
显
过
与
平行的直
与封
曲
的
轴
线
闭
线
两个交点关于点
称，且
两个点在同一曲
上．
对
这
线
当
称的两个点分属两段曲
，
其中一个点
对
线时设
为
，
，其中
，且
，
其关于点
则
的
称点
对
为
，
，
所以
个点在曲
这
线
上，
所以
，即
，
所以
，即
，此方程的
的解必
好有且只有两个，
须刚
当
，其
称点的横坐
好
时
对
标刚
为
，故
，
于是
，且
，
，即
，
故
：
选
．
【变式训练11-1】已知抛物线
，圆
，P 为E 上一点，Q 为C 上一点，则
的最小值为
（ ）
A．2
B．
C．
D．3
【变式训练11-2】已知点
在抛物线
上，且
焦点
为
，若
为
上的一个
点，
动
点
设
的坐标为
，则
的最小值为 .
【变式训练11-3】已知
，
，
是抛物线
：
上一点，则
的最小
是
值
．
【变式训练11-4】已知抛物线
：
，圆
：
，在抛物线
上任取一点
，向圆
作两条切线
和
，切点分别为
，
，则
的取
范
是
值
围
．
题型12：抛物线的实际应用
【典型例题1】如图1 所示，抛物面天
是指由抛物面（抛物
其
称
旋
形成的曲面）反射器和位于焦点上的照
线
线绕
对
轴
转
射器（
源，通常采用喇叭天
）
成的
反射面型天
，广泛
用于微波和
星通
等
域，具有
构
、方向性
馈
线组
单
线
应
卫
讯
领
结
简单
、工作
等特点．
强
频带宽
图2 是图1 的
截面，
轴
A，B 两点关于抛物
的
称
称，
线
对
轴对
F 是抛物
的焦点，∠
线
AFB 是
源
馈
的方向角，记为
，焦点F 到
点的距离
顶
f 与口径d 的比值
称
抛物面天
的焦径比，它直接影响天
的效率与信
为
线
线
噪比等．如果某抛物面天
源的方向角
线馈
足，
满
，
其焦径比
（
则
为 ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】建立直角坐
系，
抛物
的
准方程
：
标
设
线
标
为
，
，
，代入抛物
方程可得
线
，根据
，解得
与
的关系，即可得出
．
【
解】如
所示，建立直角坐
系，
详
图
标
抛物
的
准方程
：
设
线
标
为
，
，
，代入抛物
方程可得：
线
，解得
，
由于
，得
或
（舍）
又
，化
：
为
，
解得
或
（舍）
.
故
：
选C.
【典型例题2】神舟十三号
人
船返回
在
着
成功着
，全国人民都
我国的科技水平感到自豪
载
飞
舱
东风
陆场
陆
为
.某学校
科技小
在
算机上模
航天器
返回
组
计
拟
变轨
试验.如
，航天器按
方向运行的
迹方程
图
顺时针
轨
为
，
（即
变轨
航天器运行
迹由
抛物
）后返回的
迹是以
轨
椭圆变为
线
轨
称
，
轴为对
轴
点的抛物
的一部分（从点
为顶
线
到点
）.已知
点
观测
A 的坐标
，当航天器与点A 距离为4
，指
中心向航天器
出
指令
时
挥
发
变轨
.
(1)求航天器
点
变轨时
的坐
；
标
(2)求航天器降落点
与
点
观测
A 之
的距离
间
.
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）
出点
设
，利用
的距离和
方程可求出点
椭圆
的坐
；
标
（2）根据抛物
的点求出方程，解出降落点的坐
，可得答案
线经过
标
.
【
解】（
详
1）设
，由
意，
题
，即
，
又
，
立解得
联
或
（舍），当
，
时
，
故
的坐标为
.
（2）由
意
抛物
的方程
题
设
线
为
，
因
抛物
点
为
线经过
，
，
所以
，
，解得
，即
；
令
可得
或
（舍），即
；
所以
，
所以航天器降落点
与
点
观测
A 之
的距离
间
为3.
【变式训练12-1】如
所示，一隧道内
双行
公路，其截面由一个
方形和抛物
构成，
保
安全，要求行
图
设
线
长
线
为
证
驶车
部（
平
）与隧道
部在
直方向上高度之差至少要有
辆顶
设为
顶
顶
竖
，已知行
道
度
车
总宽
，那么
通
隧
车辆
过
道的限制高度
（
为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练12-2】（多选）上甘岭
役是抗美援朝中中国人民志愿
行的最著名的山地防御
役
战
军进
战
.在
役中，
这场战
我
使用了反斜面
地防御
军
阵
战术.反斜面是山地攻防
斗中背向
方、面向我方的一
山坡
战
敌
侧
.反斜面
地的构建，是
阵
为
了
避
方重火力
出
规
敌
输
.某反斜面
地如
所示，山脚
阵
图
，
两点和
方
地
敌
阵
点在同一条直
上，某炮
的
道
线
弹
弹
是抛物线
的一部分，其中
在直线
上，抛物
的
点
线
顶
到直线
的距离为100 米，
长为400 米，
，
，建立适当的坐
系使得抛物
标
线
的方程为
，
（
则 ）
A．
B．
的准
方程
线
为
C．
的焦点坐标为
D．
道
弹
上的点到直线
的距离的最大值为
【变式训练12-3】某
水推行
灌技
，
装在管柱
农场为节
喷
术喷头
OA 的
端
顶
A
，
出的水流在各个方向上呈抛物
处喷
线
状，如
所示
图
.
要求水流最高点
现
B 离地面5m，点B 到管柱OA 所在直
的距离
线
为4m，且水流落在地面上以O
心
为圆
，
以9m
半径的
上，求管柱
为
圆
OA 的高度.
【变式训练12-4】如
，探照灯反射
由抛物
的一部分
称
旋
而成，光源位于抛物
的焦点
，
可以保
图
镜
线
绕对
轴
转
线
处这样
出的光
反射之后平行射出
证发
线经过
.已知灯口
的直径
圆
为60cm，灯的深度为40cm.
(1)将反射
的旋
与
面的交点称
反射
的
点
镜
转轴
镜
为
镜
顶
.光源
安置在旋
上与
点相距多
的地方？
应
转轴
顶
远
(2)
了使反射的光更亮，增大反射
的面
，将灯口
的直径增大到
为
镜
积
圆
66cm，并且保持光源与
点的距离不
顶
变.求探照
灯的深度.
