第05 讲 抛物线的阿基米德三角形
目
录
高考分析................................................................................................................................................................ 1
学习目标................................................................................................................................................................ 2
知识要点................................................................................................................................................................ 2
解题策略................................................................................................................................................................ 8
题型归纳................................................................................................................................................................ 9
题型01：定点问题.................................................................................................................................................9
题型02：定直线问题...........................................................................................................................................14
题型03：定值问题..............................................................................................................................................19
题型04：参数问题..............................................................................................................................................22
题型05：面积问题..............................................................................................................................................25
题型06：点坐标..................................................................................................................................................30
题型07：证明.....................................................................................................................................................34
题型08：阿基米德三角形的综合应用..................................................................................................................39
一. 考查位置
高考
曲
大
（第
圆锥
线
题
20/21
）高
二
模型，常在抛物
大
、
填
出
；新高考全国卷、地方卷每
题
频
级结论
线
题压轴选
压轴
现
年1–2 次直接/
接考
。
间
查
二. 命题特点
1.不直接考定
，常
藏在切
、弦中点、面
、定点定
、最
中
义
隐
线
积
值
值
2.核心
：两条切
围绕
线+一条弦构成阿基米德三角形
3.常
合：
达定理、中点、斜率、面
、定点、最
、参数范
结
韦
积
值
围
4.
度：中档偏
，属于
曲
提分关
点，掌握
可大幅
化
算
难
难
圆锥
线
键
结论
简
计
三. 高频考法
1.
明：
点与弦中点
平行于抛物
称
证
顶
连线
线对
轴
2.求：阿基米德三角形面
、最小面
积
积
3.定点：切
交点恒
定点
线
过
4.定
：斜率
、向量数量
、面
比例定
值
积
积
积
值
5.最
：面
最
、距离最
值
积
值
值
1. 准确
抛物
阿基米德三角形
构：
识别
线
结
抛物
弦
线
AB，过A、B 分
作切
交于
别
线
P，
三角形
则
PAB 即
阿基米德三角形
为
2. 熟
并会推
记
导5 大核心性
，不硬背，理解来源
质
3. 能在大
中
范使用
（可直接用，也可
明）
题
规
结论
简单证
4. 掌握通法+二
两套解
路径，大
先通法，
填直接秒
级结论
题
题优
选
杀
5. 熟
解决：面
、定点、定
、最
四
高
型
练
积
值
值
类
频题
6. 能快速构造模型，将复
抛物
切
化
阿基米德三角形模型
杂
线
线问题转
为
知识点一：圆锥曲线的切线方程
曲
方程
圆锥
线
曲
上一点
线
的切
方程
处
线
圆
x
2+ y
2+ Dx + Ey + F =0
( 其中D
2+ E
2−4 F >0)
x0 x + y0 y + D x0+ x
2
+ E y0+ y
2
+ F =0
椭圆
x2
a2 + y2
b2 =1 ( a>b>0 )
x0 x
a2 + y0 y
b2 =1
y
2
a
2 + x
2
b
2 =1(a>b>0)
y0 y
a
2 + x0 x
b
2 =1
双曲线
x2
a2−y2
b2 =1 ( a>0 , b>0 )
x0 x
a2 −y0 y
b2 =1
y
2
a
2 −x
2
b
2 =1(a>0,b>0)
y0 y
a
2 −x0 x
b
2 =1
抛物线
y
2= 2 px( p>0)
y0 y=p ( x+x0)
y
2=−2 px( p>0)
y0 y =−p( x + x0)
x
2= 2 py( p>0)
x0 x = p( y + y0)
y
2=−2 px( p>0)
x0 x =−p( y + y0)
知识点二：抛物线阿基米德三角形
一、定义
抛物
的弦与两端点的切
成的三角形叫做阿基米德三角形。
线
线围
二、切线方程
法
证
1：
抛物
设
线
上一点
的切
方程
：
线
为
，代入
，整理
得
，由
，得
因为抛物
上一点
的切
线
处
线是唯一的，
关于
的一元二次方程
有两个相等的
数根，
实
所求的切
方程
线
为
，即
，又
，
抛物
过
线
上一点
的切
方程
：
线
为
。
法
证
2：
数法：
导
，
数的几何意
得所求切
的斜率
甴导
义
线
为
所求的切
方程
线
为
，即
，又
，
抛物
过
线
上一点
的切
方
线
程
：
为
。
三、性质
1.抛物线与弦之间所围成区域的面积（图二中的阴影部分）为阿基米德三角形面积的
。
2.阿基米德三角形底边（弦AB）上的中线平行于抛物线的轴。
明：
证
设
,M
弦
为
AB 的中点，则过A 的切
方程
线
为
，过B 的切
方程
线
为
，
，
立方程
联
解得两切
交点
线
，又
，
3、QM 的中点P 在抛物线上，且P 处的切线与AB 平行.
明：
证
设
，弦AB 的中点
，则
入抛物
带
线
足方程，所以
满
点P 在抛物
上，
线
4、若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内的定点C则另一顶点Q的轨迹为一条直线
。
明：
证
设
抛物
内的定点，弦
为
线
AB 的
定点
过
C，
，
满
足
，
，
5、若直线 l 与抛物线没有公共点，以 l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点 (若直线l方程为:
ax +by +c =0,则定点的坐标为 C(
c
a ,−bp
a ).
明：由性
证
质4 的
明可知：点
证
Q 的
迹方程
直
轨
为
线
，与
表示同一条直
，其中
线
是
弦AB
的定点，所以
经过
可得：弦AB 所在的直
定点
线过
C(
c
a ,−bp
a ).
6、抛物线以C 点为中点的弦平行于Q 点的轨迹．
明：由性
证
质4 的
明可知：点
证
Q 的
迹方程
直
轨
为
线
，其中
弦
为
AB 的
的定点
经过
．∵点C 又
弦
为
AB 的中点，
，而弦AB 所在的直
方程斜率
线
由点差法可得
，又∵直线AB 与
Q 的
迹方程不重合，故可知两
轨
线平行．
7、底边为 a 的阿基米德三角形的面积最大值为 a
3
8 p
.
明：
证
设
，弦AB 的中点
，
，
点Q 到AB 的距离
8、
|AF)⋅|BF)=|QF)
2.
明：
证
，
．
所以|AF)⋅|BF)=|QF)
2.
8、抛物线上任取一点I(不与 A ,B 重合), 过I作抛物线切线交QA ,QB于S ,T,连接 AI ,BI, 则
△ABI的面积是△QST 面积的2 倍
明：由阿基米德重要
：抛物
与弦之
所
成
证
结论
线
间
围
曲面区域的面
阿基米德三角形面
的三分之二可知：
积为
积
的面
是弦
积
AB 与抛物
成的
线围
曲面面
减去弦
积
和弦
与抛物
成的
线围
曲面面
，即
积
所以△ABI的面
是
积
△QST 面
的
积
2 倍
9、在阿基米德三角形中, ∠QFA =∠QFB
10、若阿基米德三角形的底边过焦点, 顶点Q的轨迹为准线,反之，若阿基米德三角形的顶点 Q在准线上,则底边一定过
焦点。
明：因
证
为点Q 的
迹方程
直
轨
为
线
，且
反之，若Q 的
迹方程
轨
为
，因
弦
为
AB
得定点
过
为
，所
以弦AB
焦点。
过
11、若阿基米德三角形的底边过焦点,则顶角为直角，且阿基米德三角形的面积最小值为 p
2
明：
证
，所以
12、在抛物线上任意取一点
,（不与A、B 重合），过
做抛物线的切线交QA、QB、于S、T 两点，则三角形QST 的
重心在准线上。
明：
证
知识点三：椭圆中的阿基米德三角形
设
椭
圆
C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的
弦
为
AB , 过A ，B两点做椭圆切线，交于Q 点，称△ABQ
阿基米德三角形
为
,
有
则
:
性
质1: 弦 AB
着定点
绕
P(m,0) 转动时,
其所
点
则
对顶
Q 落在直
线x = a
2
m
上.
其中, 当 P 点
左
为
(右) 焦点时, Q 点位于左 (右) 准
上
线
.
性
质2: 直
线AQ , PQ ,BQ 的斜率成等差数列, 即 k PQ=k AQ+ k BQ.
性
质3: 当 P 点
焦点
为
时, PQ⊥AB.
知识点四：双曲线中的阿基米德三角形
双
曲
设
线
C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a,b>0)
的
弦
为
AB ,过A ，B两点做双曲线切线，交于Q 点，称△ABQ
阿基米德三角形
为
,
有
则
:
性
质1: 弦 AB
者定点
绕
P(m,0) 转动时,
其所
点
则
对顶
Q 落在直
线x = a
2
m
上.
其中, 当 P 点
左
为
(右) 焦点时, Q 点位于左 (右) 准
上
线
.
性
质2: 直
线AQ , PQ ,BQ 的斜率成等差数列, 即 k PQ=k AQ+ k BQ.
性
质3: 当 P 点
焦点
为
时, PQ⊥AB.
概念混淆：
将任意弦与切
构成的三角形当作阿基米德三角形，忽略核心条件 ——
误
线
弦的中点与抛物
点
平行于
线顶
连线
对
称轴，或切
需与抛物
相切于弦的端点。
线
线
切
方程失
线
误：求切
方程
，
抛物
切
公式（如
线
时记错
线
线
在点
切
处
线为
，或代入点坐标时
符号出
。
错
面
公式
用
积
误
：阿基米德三角形面
与弦
、抛物
参数
积
长
线
p 相关，易混淆
普通三角形面
公式，忽略
为
积
面
与弦到焦点距
积
离的关联，或
算
漏参数
计
时遗
p 的系数。
性
推
漏
质
论遗
：忽略 “阿基米德三角形的外接
抛物
焦点”“切
交点
迹与抛物
的
偶关系” 等推
，
致解
圆过
线
线
轨
线
对
论导
题时
无法利用
含条件
化
算。
隐
简
计
策略一：通用解题四步法（大题必用）
1.
点
设
设线
设A(x1,y1),B(x2,y2)，直线AB:x=my+n（抛物
先
横截式，减少
算）
线优
设
计
2.
立抛物
联
线
立
联
y
2=2px 与直
，得
达：
线
韦
y1+y2,y1 y2
3. 求切
交点
线
P
抛物
切
方程：
线
线
yy0=p(x+x0)
立两条切
，解得
联
线
P 坐标
4. 用性
求解目
质
标
①平行
称
：直接用
对
轴
y P=y M
②面
：
积
③定点/定
：用
达化
值
韦
简
④最
：
化
量函数求范
值转
为单变
围
策略二：二级结论秒杀法（选填、大题快速验算）
策略三：避坑提醒
1. 大
不能只写
，必
推
切
交点或
立
程
题
结论
须简单
导
线
联
过
2. 开口向左/上/下抛物
，性
形式略有
化，
先
一用
线
质
变
优
统
y
2=2px
3. 面
公式
先用
坐
差，
算
于横坐
积
优
纵
标
计
远简单
标
题型01：定点问题
【典型例题1】已知曲线C：y=
，D
直
为
线y=
上的
点，
动
过D 作C 的两条切
，切点分
线
别为A，B.
（1）
明：直
证
线AB
定点：
过
（2）若以E(0，
)
心的
与直
为圆
圆
线AB 相切，且切点
段
为线
AB 的中点，求四
形
边
ADBE 的面积.
解析：（1）设
,
,则
．又因为
，所以
.
故
，整理得
.设
，同理得
.
,
都
足直
方程
满
线
.于是直线
点
过
，而两个不同的点确定一条直
，所以直
线
线
方程为
.即
，
当
等式恒成立．所以直
时
线
恒
定点
过
.
（2）由（1）得直线
的方程为
.由
，可得
，
于是
.设
分
点
别为
到直线
的距离，则
.因此，四
形
边
ADBE 的面积
.设M
段
为线
AB 的中
点，则
，
由于
，而
，
与向量
平行，所以
，解得
或
.当
，
时
；当
时
，因此，四
形
边
的面积为
或
.
【典型例题2】抛物
的弦与弦的端点
的两条切
形成的三角形称
阿基米德三角形，由抛物
的三条切
成的三角
线
处
线
为
线
线围
形称
抛物
的切
三角形
为
线
线
.已知抛物线
的焦点为
，直线
点
过
，过
下方的一点
轴
作
的两条切线
，且
分
交
别
于点
轴
，交于点
.
(1)若
阿基米德三角形，求
为
；
(2)
明：切
三角形
证
线
的外接
定点；
圆过
(3)求
面
的最小
积
值.
【答案】(1)
(2)
明
解析
证
见
(3)
【分析】（1）通
求出抛物
方程和切
斜率，利用斜率乘
判断两切
垂直得出角度；
过
线
线
积
线
（2）先求出切
方程，
而得到
线
进
、
坐
，再根据外接
性
明
定点；
标
圆
质证
过
（3）通
立直
与抛物
方程求出
过联
线
线
、
坐
，
而表示出
标进
的面
，再求其最小
积
值.
【
解】（
详
1）由
意得
题
，则
，
所以抛物线
的方程为
，
因为
阿基米德三角形，
为
所以
分
与抛物
别
线
切于点
，
不妨
点
设
在
左
，
轴
侧则
.
由
，得
，
则
，
所以
的斜率为
的斜案为1，
所以
，
所以
.
（2）由（1）可知抛物线
，
设
分
与抛物
别
线
切于点
，
由（1）可知直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，
所以直线
的方程为
.即
直线
的方程为
，即
，
所以
.
设
外接
的
心
圆
圆
为
，
心
则圆
在
段
线
的垂直平分
上，
线
所以
，
则圆
的半径为
，
所以圆
的方程为
，
又点
在圆
上，
所以
，
即
，所以
，
所以
整理得
，
即
，
令
，得
，
所以
的外接
定点
圆过
.
（3）由（2）可得
的方程为
的方程为
，
又直线
，
所以
，
所以
，
由（2）可得
，
所以点
到直线
的距离为
，
所以
令
，
由
，
得
，当
等号成立，
时
所以
令
，
则
令
，得
；
令
，得
，
所以
在
上
减，在
单调递
上
增，
单调递
所以
，
此时
或
，
所以
面
的最小
积
值为
.
【点睛】方法点睛：利用
数的几何意
可求得切
的斜率，表示切
方程，
立方程可表示点
导
义
线
线
联
的坐
；通
标
过设
，由
，得
，当
等号成立，把三角形
时
的面
表示
关于
积
为
t 的函数，利用函数的
性求解最小
单调
值.
【变式训练1-1】抛物线
:
，
为
的焦点，
抛物
外一点
过
线
作抛物线
的两条切
，
线
，
是切点.
(1)若点
的
坐
纵
标为
，求
：直
证
线
恒
定点；
过
(2)若|
|＝
，求
面
的最大
积
值;
(3)
明：
证
|
|·|
|=
.
【变式训练1-2】抛物
的弦与弦的端点
的两条切
形成的三角形称
阿基米德三角形，由抛物
的三条切
成的三
线
处
线
为
线
线围
角形称
抛物
的切
三角形．已知抛物
为
线
线
线
的焦点为F，直线
点
过
F，过x
下方的一点
轴
P 作C
的两条切线
和
，且
，
分
交
别
x
于点
轴
A，B，交l 于点M，N．
(1)求抛物线C 的
准方程；
标
(2)若△PMN
阿基米德三角形，求∠
为
MPN；
(3)
明：切
三角形
证
线
PAB 的外接
定点．
圆过
【变式训练1-3】在
，
之
部分上的任意一点，抛物
间
线
在点
的切
分
交
处
线
别
，
于点
，
.
(1)若
，
明：直
证
线
点
经过
；
(2)若分别记
，
的面积为
，
，求
的值.
【变式训练1-4】已知以
点
动
心的
为圆
与直线：
相切，与定圆
：
相外切.
（Ⅰ）求
心
动圆圆
的
迹方程
轨
；
（Ⅱ）
曲
过
线
上位于
两
的点
轴
侧
、
（
不与
垂直）分
作直
轴
别
线的垂
，垂足
线
记为
、
，直线交
轴
于点
，记
、
、
的面
分
积
别为
、
、
，且
，
明：直
证
线
定点
过
.
【变式训练1-5】抛物
的弦与弦的端点
的两条切
形成的三角形称
阿基米德三角形，由抛物
的三条切
成的三
线
处
线
为
线
线围
角形称
抛物
的切
三角形
为
线
线
.已知抛物线C：
的焦点为F，直线l：
点
过
F，过x
下方的一点
轴
P 作C
的两条切线
，
，且
，
分
交
别
x
于点
轴
A，B，交l 于点M，N.
(1)若
阿基米德三角形，求
为
；
(2)
明：切
三角形
证
线
的外接
定点
圆过
.
题型02：定直线问题
【典型例题1】阿基米德（公元前287 年—公元前212 年）是古希腊
大的物理学家、数学家、天文学家，不
在物理学方面
伟
仅
献巨大，
享有“数学之神”的称号．抛物
上任意两点
贡
还
线
，
的切
交于点
处
线
，称
“阿基米德三角形”，当
段
为
线
抛物
焦点
经过
线
，
时
具有以下特征：（1）
点必在抛物
的准
上；（
线
线
2）
直角三角形，且
为
；（3）
．已知
抛物
过
线
焦点的直线与抛物
交于
线
，
两点，
点
过
，
的切
交于点
处
线
，若点
的横坐标
为
，
直
则
线
的方程
（
为 ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据“阿基米德三角形”的性
直接可得点
质
的坐
，
而得解
标进
.
【
解】抛物
详
线
的焦点
的坐标为
，准
方程
线
为
，
由
意知，
题
“阿基米德三角形”，可得
为
点必在抛物
的准
上，
线
线
所以点
，直线
的斜率为
，
又因为
，所以直线
的斜率为
，
所以直线
的方程为
，即
,
故
：
选C．
【典型例题2】已知点
是抛物线
的
点，
顶
，
是
上的两个
点，且
动
.
（1）判断点
是否在直线
上？
明理由；
说
（2）
点
设
是△
的外接
的
心，点
圆
圆
到
的距离
轴
为
，点
，求
的最大值.
【答案】（1）不在，
明
解；（
证
见详
2）
【分析】
（1）假
直
方程
设
线
，并于抛物
方程
立，
合
达定理，
算
线
联
结
韦
计
，可得
，然后
可得
果
验证
结
.
（2）分
算
段
别计
线
中垂
的方程，然后
立，根据（
线
联
1）的条件可得点
的
迹方程
轨
，然后可得焦点
，结
合抛物
定
可得
线
义
，
算可得
果
计
结
.
【
解】
详
（1）
直
方程
设
线
，
根据
意可知直
斜率一定存在，
题
线
则
则
由
所以
将
代入上式
化
可得
简
，所以
直
方程
则
线
为
，
所以直
定点
线过
，
所以可知点
不在直
上
线
.
（2）设
段
线
的中点为
段
线
的中点为
直
则
线
的斜率为
，
直线
的斜率为
可知
段
线
的中垂
的方程
线
为
由
，所以上式化简为
即
段
线
的中垂
的方程
线
为
同理可得：
段
线
的中垂
的方程
线
为
则
由（1）可知：
所以
即
，所以点
迹方程
轨
为
焦点为
，
所以
当
三点共
，
线时
有最大
所以
【点睛】
本
考
直
于抛物
的
合
用，第（
题
查
线
线
综
应
1）
中
点在于
算
问
难
计
处
，第（2）
中关
在于得到点
问
键
的
迹方程，直
与
轨
线
圆
曲
的
合常常要
立方程，
合
达定理，属
锥
线
综
联
结
韦
难题.
【典型例题3】已知
点
动
在
上方，且到定点
轴
距离比到
的距离大
轴
.
（1）求
点
动
的
迹
轨
的方程；
（2）
点
过
的直线与曲线
交于
，
两点，点
，
分
异于原点
别
，在曲线
的
，
两点
的切
分
处
线
别为
，
，且
与
交于点
，求
：
证
在定直
上
线
.
【答案】（1）
；（2）
明
解析
证
见
【分析】
（1）设
，由到定点
距离比到
的距离大
轴
，可得
，化
可得点
简
的
迹
轨
的方程；
（2）由
意可知，直
题
线的斜率存在且不为，
直
设
线的方程为
与
立，
联
设
，
，可得
，
的
，又
值
，所以
，可得切线
的方程，同理可得切线
的方程，求出交点坐
，可得其在定直
上
标
线
.
【
解】
详
解：（1）设
，
有
则
，化
得
简
，
故
迹
轨
的方程为
.
（2）由
意可知，直
题
线的斜率存在且不为，
直
设
线的方程为
与
立得
联
，
设
，
，
则
，
，
又
，所以
，
所以切线
的方程为
，
即
，
同理切线
的方程为
立得
联
，
.
两式消去
得
，
当
，
时
，
，
所以交点
的
迹
直
轨
为
线
，去掉
点.
因而交点
在定直
上
线
.
【点睛】
本
主要考
迹方程的求法，直
与抛物
的位置关系等知
，考
学生的
合
算能力，属于
题
查轨
线
线
识
查
综
计
难题.
【变式训练2-1】抛物
上任意两点
线
，
的切
交于点
处
线
，称
“阿基米德三角形”，当
段
为
线
抛物
的焦
经过
线
点
，
时
具有以下特征：
①
点必在抛物
的准
上；②
线
线
．
若
抛物
经过
线
的焦点的一条弦为
，“阿基米德三角形”为
，且点
的
坐
纵
标为4，
直
则
线
的方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-2】
抛物
过
线
内一点
任意作弦
，分别过
作抛物
的切
，两条切
交于点
线
线
线
，求
：点
证
在定直
上．
线
【变式训练2-3】抛物
的弦与在弦两端点
的切
所
成的三角形被称
线
处
线
围
为阿基米德三角形
于抛物
对
线
出如下三个条件：
给
①焦点为
②准线为
③与直线
相交所得弦长为．
(1)从以上三个条件中
一个，求抛物
选择
线
的方程
(2)已知
是
中抛物
的
线
阿基米德三角形，点
是抛物线
在弦
两端点
的两条切
的交点，若直
处
线
线
经
点
过
，
判断点
试
是否在一条定直
上
线
如果是，求出定直
方程
线
如果不是，
明理由．
请说
【变式训练2-4】已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），直线l 交C 于A，B 两点，且A，B 两点与原点不重合，点M（1，2）
段
为线
AB 的中点．
（1）若直线l 的斜率为1，求抛物线C 的方程；
（2）分别过A，B 两点作抛物线C 的切
，若两条切
交于点
线
线
S，
明点
证
S 在一条定直
上．
线
【变式训练2-5】已知抛物线
的焦点为
，
点
过
的直
分
交抛物
于
线
别
线
两点．
（1）若以
直径的
的方程
为
圆
为
，求抛物线
的
准方程；
标
（2）
点
过
分
作抛物
的切
别
线
线
，
明：
证
的交点在定直
上．
线
【变式训练2-6】已知点
是抛物线
的
点，
顶
，
是
上的两个
点，且
动
.
（1）判断点
是否在直线
上？
明理由；
说
（2）
点
设
是△
的外接
的
心，求点
圆
圆
的
迹方程
轨
.
题型03：定值问题
【典型例题1】已知以
焦点的抛物
为
线C 的
点
原点，点
顶
为
P 是抛物线C 的准
上任意一点，
点
线
过
P 作抛物线C
的两条切线PA，PB，其中A，B
切点，
直
为
设
线PA，PB 的斜率分
是
别
和
.
(1)求抛物线C 的
准方程及其准
方程
标
线
.
(2)求
：
证
定
为
值.
(3)求
面
的最小
积
值.
【答案】(1)
准方程
标
为
，准
方程
线
为
(2)
明
解析
证
见
(3)16
【分析】（1）根据焦点坐
求解即可；
标
（2）
切
的方程
设
线
为
，将其与抛物
方程
立，利用
达定理求解即可；
线
联
韦
（3）直线AB 的方程为
，将其与抛物
方程
立，利用
线
联
得到
且
，再利用弦
公式和两点
距
长
间
离公式求解即可.
【
解】（
详
1）由
意知抛物
题
线C 的
准方程
标
为
（
）且
，∴
，
∴抛物线C 的
准方程
标
为
，准
方程
线
为
；
（2）
明：
点
证
设
P 的坐标为
，
，
由
意知
点
题
过
P 与抛物线C 相切的直
的斜率存在且不
线
为0，
切
的斜率
设
线
为k，
切
的方程
则
线
为
，
立方程
联
组
，消去x，得
，
∴
得
（*），
又∵
、
方程（
为
*）的两根，由
达定理得
韦
定
；
为
值
（3）由
知直
题
线AB 的斜率不为0，
直
设
线AB 的方程为
，
，
，
立方程
联
组
整理得
，
，
∴
，
，
∵
，∴
，
整理得
，
代入有
，
∴
，∴
且
，
∴AB：
，故直线AB
定点
过
.
∴
，
，
∴
，
点P 到直线AB 的距离为
，
∴
，
因
函数
为
在
增，而
单调递
，
∴当
，
时
，
所以
面
的最小
积
值为
.
【变式训练3-1】已知抛物线
：
的焦点为
，准
与
线
交于点
轴
，点
在第一象限且在抛物线
上，则
当
取最大
，直
值时
线
方程
（
为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-2】阿基米德三角形由古希腊数学家阿基米德提出，有着很多重要的
用．在
曲
中，
曲
的弦与
应
圆锥
线
圆锥
线
弦的端点的两条切
所
成的三角形被叫作阿基米德三角形．已知抛物
过
线
围
线
的焦点为
，
点
顶
为
，斜率为
的直线
点
过
且与
交于
两点，若
阿基米德三角形，
为
则
．
【变式训练3-3】如
，已知抛物
图
线
的焦点为F
点
过
的直
交抛物
于
线
线
A
，B
两点，直
线AF，BF 分
与抛物
交于点
别
线
M，N ．
（Ⅰ）求
的
；
值
（Ⅱ）
直
记
线MN 的斜率为
，直线AB 的斜率为
明：
证
定
为
值
【变式训练3-4】已知抛物线
的焦点为
，点
在抛物线
上．
点
过
的直线与
及圆
依次相交于点
，如
．
图
(1)求抛物线
的
准方程；
标
(2)
明：
证
定
；
为
值
(3)过
两点分
作抛物
的切
，两条切
相交于点
别
线
线
线
，求
与
的面
之
的最小
．
积
积
值
题型04：参数问题
【典型例题1】已知
点
动
到点
的距离比它到直线
的距离小
，
点
记动
的
迹
轨
为
.
(1)求
迹
轨
的方程.
(2)已知直线
与
迹
轨
交于A，B 两点，以A，B
切点作两条切
，分
为
线
别为，
，且，
相交于点
.若
，求
.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1) 由抛物
定
即可得；
线
义
(2)
立
联
，利用
，再
合向量的数量
的坐
运算即可得解
结
积
标
.
【
解】（
详
1）由
意知
点
题
动
的
迹是以
轨
焦点，
为
准
的抛物
，
为
线
线
所以
迹
轨
的方程为
.
（2）设
，
，
立方程
联
组
得
，
则
，
.
易知，
的斜率存在，设的方程为
，
立方程
联
组
，得
.
由
，解得
，
所以的方程为
.
同理可得，
的方程为
.
由
，解得
，即点
.
因为
，
，
，且
，
所以
，即
，
化
得
简
，
因此
或
，
故
.
【变式训练4-1】阿基米德（Archimedes，公元前287 年-公元前212 年），出生于古希腊西西里
叙拉古（今意大利西西里
岛
上），
大的古希腊数学家、物理学家，与高斯、牛
并称
世界三大数学家．有一
三角形叫做
岛
伟
顿
为
类
阿基米德三角形（
抛物
过
的弦与
弦端点的两切
所
成的三角形），他利用“通近法”得到抛物
的弦与抛物
所
成的封
形的面
等于阿
线
过
线
围
线
线
围
闭图
积
基米德三角形面
的
积
（即右
中阴影部分面
等于
图
积
面
的
积
）．若抛物
方程
线
为
，且直线
与
抛物
成封
形的面
线围
闭图
积为6，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．3
【变式训练4-2】如
，已知
图
半
为
圆
上一点，
点
过
作抛物线
的两条切
，切点分
线
别为
，直线
分
与
别
交于点
轴
，记
的面积为
，
的面积为
．
(1)若
的焦点为
，且
的最小值为
，求
的
；
值
(2)若存在点
，使得
，求
的取
范
．
值
围
【变式训练4-3】已知
点
动
到点
的距离比它到直线
的距离小
，
点
记动
的
迹
轨
为
.
(1)求
迹
轨
的方程.
(2)已知直线
与
迹
轨
交于
，
两点，以
，
切点作两条切
，分
为
线
别为，
，直线，
相交于点
.若
，求
.
题型05：面积问题
【典型例题1】
点
过
的两条直
与抛物
线
线
分
相切于
别
两点,
三角形
则
的面
（ ）
积为
A．
B．3
C．27
D．
解析：抛物线
，即
，故
，设
两点的坐标为
，
有
则
，整理
得
，同理
故直线
的方程为
，由
得
，
故
，因
点
为
到直线
的距离为
，故三角形
的面积为
故
：
选
.
【典型例题2】
曲
的弦与
弦的端点的两条切
所
成的三角形叫做阿基米德三角形
圆锥
线
过
线
围
.
抛物
焦点
过
线
F 作抛物
的
线
弦，与抛物
交于
线
A、B 两点，分别过A、B 两点作抛物
的切
线
线l1，l2相交于P 点，那么阿基米德三角形PAB
足以下特性：
满
①P 点必在抛物
的准
上；②△
线
线
PAB
直角三角形，且
为
直角；③
为
PF⊥AB.已知P
抛物
为
线
的准
上一点
线
，
阿基米德三角形
则
PAB 的面
的最小
（
积
值为 ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
出直
设
线
方程，
立抛物
求得
联
线
，通过PF⊥AB 求得
，
而得到
进
为
中点，由
表示出三角形PAB 的面
，
合基本不等式求出最小
即可
积结
值
.
【
解】
详
易知，焦点
，准
方程
线
，直线
斜率必然存在，设
，
，
，
立
联
化
得
简
，
然
显
；又PF⊥AB 可得
，即
，化
得
简
，过
作
交
轴
于
点，可得
为
中点，故
，故
，当且
当
仅
取等
时
. 故三角形PAB 的面积
的最小值为4.
故
：
选C.
【典型例题3】
抛物
过
线
的焦点
作抛物
的弦，与抛物
交于
线
线
，
两点，分别过
，
两点作抛物线
的切线
，
相交于点
，
又常被称作阿基米德三角形．
的面积
的最小
（
值为 ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
出直
设
线
的方程，利用弦
公式求出弦
，求出两条切
的方程得出点
长
长
线
的坐
，利用三角形的面
公式可得
标
积
.
【
解】
详
设
，
，由
意可得直
题
线AB 的斜率不为0,
因
直
为
线AB
焦点
过
，所以
直
设
线AB 的方程
；
立
联
得
，
所以
，
由抛物
的性
可得
点
线
质
过
，
的抛物
的切
方程
：
线
线
为
，
立
联
得
，
，即
.
点
到直
的距离
线
，
当且
当
仅
取到最小
时
值.
故
：
选C.
【点睛】本
主要考
直
和抛物
的位置关系，
合
达定理求解弦
，根据点到直
的距离求出三角形的高，根据面
题
查
线
线
结
韦
长
线
积
公式的特点求出最
，
重考
数学运算的核心素养
值侧
查
.
【典型例题4】已知椭圆
且经过
，
，
，
中的三点，抛物线
，椭圆
的右焦点是抛物线
的焦点．
(1)求曲线
，
的方程；
(2)点P 是椭圆
的点，且
点
过
P 可以作抛物线
的两条切
，切点
线
为A，B，求三角形
面
的最大
．
积
值
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）根据
称性可得
上的三个点，利用待定系数法可求
的方程，从而可求抛物
的方程
对
椭圆
椭圆
线
.
（2）
点
设
，
，
，其中
，
立直
方程和抛物
方程，消元后利
联
线
线线
用判
式可得
量之
的关系，从而可得
别
诸变
间
的中点
足
满
平行于
并可用
轴
表示三角形
的面
，从而
积
可求其最大值.
【
解】（
详
1）根据
称性可得
对
，
，
在
上，
椭圆
故
，且
，故
，所以
.
椭圆
的右焦点为
，所以
即
，
故
.
（2）
点
设
，
，
，其中
，
由
可得
，
整理得到：
，
所以
，故
，
且
，故
， 同理
，
，
故
方程
为
的两个根，故
，
而
的中点
的
坐
纵
标为
，故
平行于
，
轴
故三角形
面积为
由
可得
，故
或
（舍），
故
，
故当
，有
时
.
【变式训练5-1】
曲
的弦与
弦的端点的两条切
所
成的三角形叫做阿基米德三角形，
抛物
焦点
圆锥
线
过
线
围
过
线
作抛物
的弦，与抛物
交于
线
线
，
两点，分别过
，
两点作抛物
的切
线
线
，
相交于点
，那么阿基米德三角形
足以
满
下特性：①点
必在抛物
的准
上；②
线
线
直角三角形，且
为
直角；③
为
，已知
抛物
为
线
的准
上一点，
阿基米德三角形
线
则
面
的最小
（
积
值为 ）
A．
B．
C．2
D．1
【变式训练5-2】抛物
的弦与
弦的端点的两条切
所
成的三角形常被称
阿基米德三角形．阿基米德三角形有一些
线
过
线
围
为
有趣的性
，如：若抛物
的弦
焦点，
弦的端点的两条切
的斜率之
定
．
抛物
质
线
过
则过
线
积为
值设
线
，弦AB 过
焦点，△ABQ
阿基米德三角形，
△
为
则
ABQ 的面
的最小
（
积
值为 ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-3】已知直线
与抛物线
交于A，B 点，若
，
抛物
的“阿基米德三角形”
则
线
的面
（ ）
积为
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-4】抛物
的弦与
弦的端点的两条切
所
成的三角形常被称
阿基米德三角形．阿基米德三角形有一些
线
过
线
围
为
有趣的性
，如：若抛物
的弦
焦点，
弦的端点的两条切
的交点在其准
上．
抛物
质
线
过
则过
线
线
设
线
，弦AB 过
焦点，
其阿基米德三角形，
为
则
的面
的最小
积
值为 ．
【变式训练5-5】抛物
的弦与
弦端点的两条切
所
成的三角形被称
阿基米德三角形．
抛物
线
过
线
围
为
设
线为
，弦AB
焦点，
过
阿基米德三角形，
为
则
的面
的最小
积
值为 ．
【变式训练5-6】如下
所示，
图
过圆
上任意一点
，作抛物线
的两条切线
，与抛物
相
线
切于点
，与
分
交于点
轴
别
，求四
形
边
面
的最大
．
积
值
【变式训练5-7】在平面直角坐
系
标
中，已知抛物线
的焦点
与椭圆
的一个焦点重合，
是抛物线
上位于
两
不
称的两
点，且
轴
侧
对
动
．
(1)求
：直
证
线
恒
一定点
过
，并求出
点坐
；
该
标
(2)若点
为
上一定点，且
轴
；
（ⅰ）求出
点坐
；
标
（ⅱ）
点
过
作平行于
的直
轴
线，在上任取一点
作抛物线
的两条切
，切点
线
为
，
，求
面
的最小
．
积
值
【变式训练5-8】已知抛物线
的焦点为
，且
与圆
上点的距离的最小值为
．
（1）求
；
（2）若点
在
上，
是
的两条切
，
线
是切点，求
面
的最大
．
积
值
【变式训练5-9】已知点
是抛物线
的焦点，
的两条切
交于点
线
，
，
是切点.
（1）若
，
，求直线
的方程；
（2）若点
在直线
上，记
的面积为
，
的面积为
，求
的最小
；
值
（3）
明：
证
.
题型06：点坐标
【典型例题1】已知直线
与抛物线
交于A，B 点，若
，
抛物
的“阿基米德三角形”
则
线
点
顶
的
坐
（
纵
标为 ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】确定直线
抛物
焦点，
立抛物
方程，得到根与系数的关系式，利用弦
公式可求得
过
线
联
线
长
，结
合
具有的性
，可求得答案
质
.
【
解】抛物
的焦点
详
线
为
，准
方程
线
为
，
直线
抛物
的焦点，
经过
线
由
意
题
，设
，
，
立
联
，得
，
所以
，
，
，解得
，
∴
，
当
，
时
，所以直线PF 方程
：
为
，
因为
“阿基米德三角形”，所以点
为
P 必在抛物
的准
线
线
上，
所以点
，
由抛物
称性可知，当
线对
，
时
，
故
：
选B．
【典型例题2】我
把
曲
的弦
们
圆锥
线
AB 与
弦的端点
过
A、B
的两条切
所
成的
处
线
围
（P
两切
的交点）叫做“阿基
为
线
米德三角形”．抛物
有一
特殊的“阿基米德三角形”，当
段
线
类
线
AB
抛物
的焦点
经过
线
F
，
时
具有以下性
：
质
①P 点必在抛物
的准
上；②
线
线
；③
．
已知直线l：
与抛物线
交于A、B 两点，若
，
抛物
的“阿基米德三角形”
则
线
的
点
顶
P 的坐
标为 ．
【答案】
或
【
解】
详
抛物线
的焦点
，准
方程
线
为
，
设
，
由
，得
，
由
，
所以
，
所以
，解得
或
，
当
，因
时
为
，所以
，
所以直线
的方程为
，
因为P 点必在抛物
的准
线
线
上，所以
，
所以
，所以
，
当
，因
时
为
，所以
，
所以直线
的方程为
，
因为P 点必在抛物
的准
线
线
上，所以
，
所以
，所以
，
上，
综
的
点
顶
P 的坐标为
或
.
故答案
：
为
或
【典型例题3】已知抛物线
，
点
过
的直
与抛物
线
线
交
于
两点，
抛物
设
线
在点
的切
分
处
线
别为
和
，已知
与
交于点
轴
与
交于点
轴
，设
与
的交
点为
.（公众号：凌晨
数学）
讲
（1）
明：点
证
在定直
上；
线
（2）若
面积为
，求点
的坐
；
标
（3）若
四点共
，求点
圆
的坐标.
解析：（1）设
.由
，得
，所以
方程
：
为
，整理得：
.同理，
方程
：
为
.
立得：
联
.
直
设
线
的方程为
，与抛物
方程
立得：
线
联
，故
，所以
，有
.所
以点
在定直线
上.
（2）在
的方程中，令
，得
，所以
面积
.故
，
入可得：
带
.
，解得：
或
.所以点
的坐标为
或
.
（3）抛物
焦点
线
，由
得直线
斜率
，
所以
，同理
，所以
是
外接
的直径
圆
.若点
也在
上，
该圆
则
.由
，得
直线
的方程
：
为
.又点
在定直线
上，
立两直
方程，解得点
联
线
的坐标为
.
【变式训练6-1】
曲
的弦与
弦的端点的两条切
所
成的三角形叫做阿基米德三角形
圆锥
线
过
线
围
. 在一次以“
曲
的阿
圆锥
线
基米德三角形”
主
的数学探究活
中，甲同学以如
示的抛物
为
题
动
图
线C：
的阿基米德三角形
例，
为
经
探究
：若
发现
AB
焦点的弦，
：①点
为过
则
P 在定直
上；②
线
；③
.已知△PAB
等
双曲
为
轴
线
的阿基米德三角形，AB 过Γ 的右焦点F.
(1)
探究甲同学得出的
，
比到此双曲
情境中，是否仍然成立？（
一个
行探究即可）
试
结论类
线
选择
结论进
(2)若
，弦AB 的中点为Q，
，求点P 的坐标.
（注：双曲线
的以
切点的切
方程
为
线
为
【变式训练6-2】已知抛物线
，圆
是
上异于原点的一点.
(1)设
是
上的一点，求
的最小
；
值
(2)
点
过
作
的两条切
分
交
线
别
于
两点（异于
）.若
，求点
的坐标.
【变式训练6-3】已知抛物线
的焦点为
，
，
是抛物
上的两个
点，且
线
动
，过
，
两
点分
作抛物
的切
，
其交点
别
线
线设
为
.
（1）若直线
与
，
分
交于点
轴
别
，
，且
的面积为
，求
的
；
值
（2）记
的面积为
，求
的最小
，并指出
值
最小
的点
时对应
的坐标.
【变式训练6-4】抛物线
的焦点为
，过
且垂直于
的直
交抛物
轴
线
线
于
两点，
为
原点，
的面积为2.
（1）求
物
拋
线
的方程.
（2）
直
为
线
上一个
点，
点
动
过
作
物
的切
，切点分
拋
线
线
别为
，
点
过
作
的垂
，垂足
线
为
，是否存在
数
实
，使点
在直线上移
，垂足
动时
恒
定点？若不存在，
明理由；若存在，求出
为
说
的
，并求定
值
点
的坐标.
【变式训练6-5】如
，
抛物
图设
线y
2=2 px( p>0)的焦点为F，抛物
上的点
线
A 到y
的距离等于
轴
|AF|–1.
（Ⅰ）求p 的
；
值
（Ⅱ）若直线AF 交抛物
于另一点
线
B，过B 与x
平行的直
和
轴
线
过F 与AB 垂直的直
交于点
线
N，AN 与x
交于点
轴
M.求M
的横坐
的取
范
标
值
围.
【变式训练6-6】如下
，
抛物
方程
图设
线
为
，M
直
为
线
上任意一点，过
引抛物
的切
，
线
线
切点分别为
，
．
（Ⅰ）
段
设线
的中点为
；
（ⅰ）求
：
证
平行于
；
轴
（ⅱ）已知当
点的坐标为
，
时
，求此
抛物
的方程；
时
线
（Ⅱ）是否存在点
，使得点
关于直线
的
称点
对
在抛物线
上，其中，点
足
满
（
坐
原点）．若存在，求出所有适合
意的点
为
标
题
的坐
；若不存在，
明理由．
标
请说
题型07：证明
【典型例题1】
定点
设
F(0，1)，
点
动
E
足：以
满
EF
直径的
与
为
圆
x
相切
轴
.
（1）求
点
动
E 的
迹
轨
C 的方程；
（2）设A，B 是曲线C 上的两点，若曲线C 在A，B
的切
互相垂直，求
：
处
线
证A，F，B 三点共线.
【答案】（1）x
2＝4y；（2）
明
解析
证
见
.
【分析】
（1）设E 点坐标为(x，y)，由E 到x
的距离等于
轴
即可求解.
（2）设A，B 两点的坐
分
标
别为
，
，利用
数求出曲
在
导
线
A，B
切
的斜率，从而可得
处
线
x2＝－
，再
求出
的斜率，
出
证
kAF＝kAB，即证.
【
解】
详
（1）设E 点坐标为(x，y)，则EF 中点
心，
为圆
设为E，则E 点坐标为
.
∴E 到x
的距离等于
轴
，
即
＝
，化
得
简
x2＝4y.
∴点E 的
迹
轨
C 的方程为x
2＝4y.
（2）
明：由（
证
1）知，曲线C 是以F
焦点的抛物
，其方程可化
为
线
为y＝
x2，
设A，B 两点的坐
分
标
别为
，
，
∵曲
方程
线
为y＝
x
2，∴y′＝
x，
∴曲
在
线
A，B
切
的斜率分
处
线
别为k1＝
x1，k2＝
x2，
∵k1k2＝－1，∴
x1·
x2＝－1，∴x2＝－
，
∴A，B 两点
的斜率
连线
为
k AB＝
＝－
＋
x1，
A，F 两点
的斜率
连线
为k AF＝
＝－
＋
x1＝k AB，
∴A，B，F 三点共线.
【点睛】
关
点点睛：本
考
了三点共
，可以
明直
的斜率相等，解
的关
是根据
键
题
查
线
证
线
题
键
A，B 两点的坐
求出
标
x2＝－
，考
了
查
算求解能力
计
.
【典型例题2】已知抛物线
：
的焦点
到其准
的距离
线
为.
(1)求抛物线
的方程；
(2)过F 的直
与抛物
线
线
相交于
两点，在
分
作抛物
处
别
线
的切
，两条切
的交点
线
线
为
，
明：
证
.
【答案】(1)
(2)
明
解析
证
见
【分析】（1）由抛物线
的方程可得焦点
到其准
的距离
线
为
，解得
，即可得出答案；
（2）设
，
，
，直线
方程为
，
立抛物
的方程，得关于
联
线
的一元二次方程，
合
结
韦
达定理可得
，
，利用
数的几何意
可得切
的斜率，写出切
的方程，同理可得，抛物
在点
导
义
线
线
线
的切
方程
处
线
，
立上述两切
方程，解得
联
线
，
，
算
计
，即可得出答案．
【
解】（
详
1）抛物线C 的焦点为
，准
方程
线
为
，
所以焦点F 到其准
的距离
线
为
，
因为
，解得
.
所以抛物线C 的方程为
.
（2）由
意，直
题
线AB 的斜率一定存在，
其方程
设
为
，
代入抛物
方程
线
，整理得
.
设
，
，
，
则
，
.
函数
的
数
导
为
，故抛物
在点
线
A
的切
方程
处
线
为
，化
得
简
，
同理，抛物
在点
线
B
的切
方程
处
线
为
，
立上述两切
方程，解得
联
线
，
，
因为
，
，
所以
，
所以
.
【典型例题3】已知抛物线
：
的焦点为
，平行于
的两条直
轴
线
分
交
别
于
两点，交
的准线
于
两点．
（Ⅰ）若
在
段
线
上，
是
的中点，
明
证
；
（Ⅱ）若
的面
是
积
的面
的两倍，求
积
中点的
迹方程
轨
.
【答案】（Ⅰ）
解析；（Ⅱ）
见
．
【分析】
设
的方程为
．（Ⅰ）由
在
段
线
上
，又
；
（Ⅱ）设与
的交点
轴
为
（舍去），
．
足条件的
设满
的中点为
．当
与
不垂直
轴
时
．当
与
垂直
轴
时
与
重合
所求
迹方程
轨
为
．
【
解】
详
由题设
，设
，则
，且
．
记过
两点的直线为，则的方程为
（Ⅰ）由于
在
段
线
上，故
，
记
的斜率为
的斜率为
，则
，
所以
（Ⅱ）设与
的交点
轴
为
，
则
，
由
可得
题设
，所以
（舍去），
．
足条件的
设满
的中点为
．
当
与
不垂直
，由
轴
时
可得
．
而
，所以
．
当
与
垂直
，
轴
时
与
重合，所以，所求
迹方程
轨
为
【点睛】
本
考
了
题
查
1.抛物
定
与几何性
；
线
义
质2.直
与抛物
位置关系；
线
线
3.
迹求法．
轨
【变式训练7-1】已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），F
抛物
为
线C 的焦点．以F
心，
为圆
p
半径作
，与抛物
为
圆
线C 在第一象限
交点的横坐标为2．
（1）求抛物线C 的方程；
（2）直线y＝kx+1 与抛物线C 交于A，B 两点，过A，B 分
作抛物
别
线C 的切线l1，l2，
切
设
线l1，l2的交点为P，求
：△
证
PAB 为
直角三角形．
【变式训练7-2】如
，已知点
图
是
左
（不含
轴
侧
）一点，抛物
轴
线
上存在不同的两点
、
，
足
满
、
的中点均在抛物线
上.
（1）求抛物线
的焦点到准
的距离；
线
（2）设
中点为
，且
，
，
明：
证
；
（3）若
是曲线
（
）上的
点，求
动
面
的最小
积
值.
【变式训练7-3】
抛物
设
线
的焦点为F，
点
动
P 在直线
上运
，
动过P 作抛物线C 的两条切线PA、
PB，且与抛物线C 分
相切于
别
A、B 两点.
（1）求△APB 的重心G 的
迹方程
轨
.
（2）
明∠
证
PFA=∠PFB．
【变式训练7-4】抛物
的弦与
弦的端点的两条切
所
成的三角形称
阿基米德三角形
线
过
线
围
为
.已知抛物线
的焦点为
，
（
与
不关于
称）是
轴对
上两点，且
三点共
，
线
阿基米德三角
为
形，
是抛物线
在弦
两端点
的两条切
的交点
处
线
.
(1)
明：点
证
在
的准
上；
线
(2)
明：
证
；
(3)已知
坐
原点，
为
标
与弦
交于点
，求
的最小值.
（附：抛物线
以点
切点的切
方程
为
线
为
）
【变式训练7-5】
抛物
外一点
过
线
作抛物
的两条切
，切点分
线
线
别为A，B，我
称
们
抛物
的阿基米德三角形，
为
线
弦AB 与抛物
所
成的封
形称
相
的“囧
形”，且已知“囧
形”的面
恰
相
阿基米德三角形面
的三分之二
线
围
闭图
为
应
边
边
积
为
应
积
．
如
，点
图
是圆
上的
点，
动
是抛物线
的阿基米德三角形，
是抛物线
的焦
点，且
．
(1)求抛物线
的方程；
(2)利用
的
，求
中“囧
形”面
的取
范
；
题给
结论
图
边
积
值
围
(3)设
是“
形”的抛物
弧
圆边
线
上的任意一
点（异于
动
A，B 两点），过D 作抛物
的切
线
线交阿基米德三角形的两切线
边PA，PB 于M，N，
明：
证
．
题型08：阿基米德三角形的综合应用
【典型例题1】
曲
的弦与
弦的端点的两条切
所
成的三角形常被称
阿基米德三角形，其中抛物
中的阿基米
圆锥
线
过
线
围
为
线
德三角形有一些有趣的性
，如：若抛物
的弦
焦点，
弦的端点的两条切
的交点在其准
上．
抛物
质
线
过
则过
线
线
设
线
，弦
焦点
过
，
阿基米德三角形，
为
则
（
为 ）
A．
角三角形
锐
B．直角三角形
C．
角三角形
钝
D．随着点
，
位置的
化，前三种情况都有可能
变
【答案】B
【分析】
出直
设
线
的方程，
立抛物
，利用
达定理得出
联
线
韦
，再
出切
方程利用判
式
设
线
别
为0 得出切
斜率
线
关系即可判断.
【
解】
详
如
，
图设
，
，则
，
，易知直线
的斜率不为0，
直
设
线
的方程为
，
立
联
，
整理得
，则
，
．易知切
的斜率肯定不
线
为0，
点
设过
的切
方程
线
为
，
立
联
，
整理得
，
则
，即
，
点
设过
的切
方程
线
为
，同理可得
，
则
，得
，
，
两条切
的斜率之
则
线
积为
，故
是直角三角形．
故
：
选B．
【典型例题2】阿基米德（公元前287 年-公元前212 年）是古希腊
大的物理学家、数学家、天文学家，不
在物理学方面
伟
仅
献巨大，
享有“数学之神”的称号．抛物
上任意两点
贡
还
线
A，B
的切
交于点
处
线
P，称三角形PAB
“阿基米德三角形”
为
.已知
抛物线C：
的焦点为F，过A，B 两点的直
的方程
线
为
，关于“阿基米德三角形”△PAB，下列
不
结论
正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．点P 的坐标为
【答案】D
【分析】
立方程可解得
联
，则
，根据
数可得
导
，可判断
，利用
点斜式可求得两条切
方程
线
和
，
立求
联
P
，再求
，可判断
．
【
解】
立方程
详
联
，消去
得：
，解得
或
即
，则
，A 正确；
∵
，即
于
对
，切
斜率分
线
别为
∴
，即
，B 正确；
在点A 的切
方程
线
为
，即
同理可得在点B 的切
方程
线
为
立方程
联
，解得
，即P
，D 不正确；
∵
，则
，
∴
，即
，C 正确；
故
：
选D．
【典型例题3】
抛物
为
线
的弦，
，
分别过
作的抛物
的切
交于点
线
线
，
称
阿基米德三角形，弦
为
阿基米德三角形的底
为
边.若弦
焦点
过
，
下列
的是（ ）
则
结论错误
A．
B．底边
的直
方程
线
为
；
C．
是直角三角形；
D．
面
的最小
积
值为
.
【答案】D
【分析】由
数的几何意
，求得可得
导
义
A
的切
方程，得出直
处
线
线
的方程为
和
，得到
，
而可判定
进
A 正确；
点
在直线
上，
而得到底
进
边
的直
方程，可判定
线
B 正确；
直
设
线
，
立方程
，根据
联
组
，可判定C 正确；
取
的中点
，化
得到
简
的面积为
，可判定D 不正确.
【
解】如
：
详
图
依
意
题
设
，
，由方程
，可得
，则
，
由
数的几何意
知，直
导
义
线
的斜率为
，同理直线
的斜率为
，
可得A
的切
方程
：
处
线
为
，即
，
化
可得
简
，所以直线
的方程为
，
同理可得：直线BM 的方程为
，所以
，
则
，
因为
，解得
，即
，所以A 正确；
因点
在直线
上，
可得
，
，
即
在
上，
在
上，
所以底边
的直
方程
线
为
，所以B 正确；
直
设
线
，
立方程
联
组
，整理得
，
则
且
，
，
因为
，所以
，
所以
是直角三角形，所以C 正确；
取
的中点
，
接
连
，根据抛物
的定
，可得
线
义
平行
，
轴
所以
因为
，
，所以
，
，
代入可得
，
当
，
时
，所以D 不正确.
故
：
选D.
【点睛】方法点睛：与
曲
有关的最
的两种解法：
圆锥
线
值问题
（1）数形
合法：根据待求
的几何意
，充分利用平面
形的几何性
求解；
结
值
义
图
质
（2）构建函数法：先引入
量，构建以待求量
因
量的函数，再求其最
，常用基本不等式或
数法求最
（注意：有
需
变
为
变
值
导
值
时
先
元后再求最
）．
换
值
【典型例题4】
抛物
过
线
的焦点
作抛物
的弦与抛物
交于
线
线
、
两点，
为
的中点，分别过
、
两点作抛物
的切
线
线
、
相交于点
.
又常被称作阿基米德三角形.下面关于
的描述：
①
点必在抛物
的准
上；
线
线
②
；
③设
、
，则
的面积
的最小值为
；
④
；
⑤
平行于
轴.
其中正确的个数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】作出
形，
点
图
设
、
，
直
设
线
的方程为
，将直线
的方程与抛物
方程
立，列出
线
联
达定理，求出直
韦
线
、
的方程，求出点
的坐
，可判断①的正
；利用直
标
误
线
、
斜率的关系可判断②的正
；
算
误计
出
的面积
的表达式，可判断③的正
；利用直
误
线
、
的斜率关系可判断④的正
；求出直
误
线
的斜率，可判
断⑤的正误.
合可得出
综
结论.
【
解】先
明出抛物
详
证
线
在其上一点
的切
方程
处
线
为
.
明如下：
证
由于点
在抛物线
上，则
，
立
联
，可得
，即
，
，
所以，抛物线
在其上一点
的切
方程
处
线
为
.
如下
所示：
图
设
、
，
直
设
线
的方程为
，
立
联
，消去
得
，
由
达定理可得
韦
，
，
于命
①，抛物
对
题
线
在点
的切
方程
处
线
为
，即
，
同理可知，抛物线
在点
的切
方程
处
线
为
，
立
联
，解得
，所以点
的横坐标为
，
即点
在抛物
的准
上，①正确；
线
线
于命
②，直
对
题
线
的斜率为
，直线
的斜率为
，
，
所以，
，②正确；
于命
④，当
对
题
垂直于
，由抛物
的
称性可知，点
轴时
线
对
抛物
的准
与
为
线
线
的交点，此
轴
时
；
当
不与
垂直
，直
轴
时
线
的斜率为
，
直线
的斜率为
，
，则
.
上，
综
，④正确；
于命
③，
对
题
，
，
所
以
，
，
当且
当
仅
，等号成立，③
；
时
错误
于命
⑤，当
对
题
垂直于
，由抛物
的
称性可知，点
轴时
线
对
抛物
的准
与
为
线
线
的交点，此
直
轴
时
线
与
重合
轴
，
⑤错误.
故
：
选B.
【变式训练8-1】（多
）
选抛物
的弦与
弦端点的两条切
所
成的三角形常被称
阿基米德三角形，阿基米德三角形有
线
过
线
围
为
一些有趣的性
，如：若抛物
的弦
焦点，
弦的端点的两条切
的交点在其准
上．
抛物
质
线
过
则过
线
线
设
线
，弦
焦点
过
为
的中点，
坐
原点，
为
标
其阿基米德三角形，
（
为
则 ）
A．存在点
，使得
B．任意点
，都有
C．任意点
，都有
D．
面
的最小
积
值为4
【变式训练8-2】抛物
的弦与
弦的端点的两条切
所
成的三角形叫做阿基米德三角形．已知抛物
线
过
线
围
线
，阿基
米德三角形
，弦
过
的焦点
，其中点
在第一象限，
下列
法正确的是（
则
说
）
A．点
的
坐
纵
标为
B．
的准
方程
线
为
C．若
，则
的斜率为
D．
面
的最小
积
值为16
【变式训练8-3】古希腊著名数学家阿波
尼斯（
公元前
罗
约
262 年至前190 年）与欧几里得､阿基米德
名，著有《
曲
齐
圆锥
线
》八卷．他
平面内到两个定点的距离之比
定
论
发现
为
值
的点所形成的
形是
．后来人
将
个
以他的名字命
图
圆
们
这
圆
名，称
阿波
尼斯
．已知在平面直角坐
系
为
罗
圆
标
中，
．点
足
满
，
点
设
的
迹
曲
轨
为
线
，下
列
正确的是（
结论
）
A．曲线
的方程为
B．曲线
的周长为
C．曲线
上的点到直线
的最小距离为
D．若点
抛物
为
线
上的
点，抛物
动
线
的焦点为
，则
的最小值为2
【变式训练8-4】阿基米德是
大的物理学家，更是
大的数学家，他曾
高中教材中的抛物
做
系
而深入的研究
伟
伟
经对
线
过
统
，
定
了抛物
阿基米德三角形：抛物
的弦与弦的端点
的两条切
成的三角形称
抛物
阿基米德三角形
义
线
线
处
线围
为
线
.
抛物
设
线
：
上两个不同点
横坐
分
标
别为
，
，以
切点的切
交于
为
线
点.
关于阿基米德三角形
则
的
法正
说
确的有（ ）
A．若
抛物
的焦点，
过
线
则
点一定在抛物
的准
上
线
线
B．若阿基米德三角形
正三角形，
其面
为
则
积为
C．若阿基米德三角形
直角三角形，
其面
有最小
为
则
积
值
D．一般情况下，阿基米德三角形
的面积
【变式训练8-5】若
点
过
可以作抛物
的两条切
，切点分
是
线
线
别
，
称
则
“阿基米德三角形”．已知抛物
为
线
的焦点为
，过
的直线交
于
两点，以
点的“阿基米德三角形”
为顶
为
，
（
则 ）
A．点
的横坐标为
B．
C．
D．
面
的最小
积
值为16
【变式训练8-6】抛物
的弦与
弦的端点的两条切
所
成的三角形称
阿基米德三角形
线
过
线
围
为
.
抛物
设
线
，
弦
焦点
过
其阿基米德三角形，
下列
一定成立的是（
为
则
结论
）
A．存在点
，使得
B．
C．
于任意的点
对
，必有向量
与向量
共线
D．
面
的最小
积
值为
【变式训练8-7】
曲
的弦与
弦端点的两条切
所
成的三角形叫做“阿基米德三角形”，如
圆锥
线
过
线
围
图
是抛物线
（
）的阿基米德三角形，弦
焦点
经过
，（其中
点在
点上方），
，
均垂直于准线，且
，
垂足，
下列
法正确的有（
为
则
说
）
A．以
直径的
必与准
为
圆
线相切
B．
定
为
值4
C．
点
设
，则
周
的最小
长
值为
D．若弦
的
斜角
角，
倾
为锐
则
的最小值为
【变式训练8-8】（多
）如
，
选
图
阿基米德三角形
为
.抛物线
上有两个不同的点
，
以A，B
切点的抛物
的切
为
线
线
相交于点P.
出如下
，其中正确的
（
给
结论
为 ）
A．若弦
焦点，
过
则
直角三角形且
为
B．点P 的坐
是
标
C．
的边
所在的直
方程
线
为
D．
的边
上的中
与
线
y
平行（或重合）
轴
【变式训练8-9】抛物
的弦与
弦的端点的两条切
所
成的三角形常被称
阿基米德三角形，
三角形以其深刻的背
线
过
线
围
为
该
景、丰富的性
生了无
的魅力．
抛物
质产
穷
设
线
（
），弦
焦点
过
，
其阿基米德三角形，
下列
为
则
结
一定成立的是（
论
）
A．点
在抛物线
（
）的准线
上
B．存在点
，使得
C．
D．
面
的最小
积
值为
【变式训练8-10】（多
）抛物
的弦与弦的端点
的两条切
形成的三角形称
阿基米德三角形，
三角形以其深刻的
选
线
处
线
为
该
背景､丰富的性
生了无
的魅力
质产
穷
.设
是抛物线
上两个不同的点，以
切点的切
交
为
线
于
点.若弦
点
过
，
下列
法正确的有（ ）
则
说
A．
B．若
，则
点
的切
方程
处
线
为
C．存在点
，使得
D．
面
的最小
积
值为4
【变式训练8-11】（多
）
选题．双曲
具有以下光学性
：从双曲
的一个焦点
出的光
，
双曲
反射后，反射光
的
线
质
线
发
线经
线
线
反向延
双曲
的另一个焦点．由此可得：
双曲
上任意一点的切
平分
点与两焦点
的
角．已知
长线经过
线
过
线
线
该
连线
夹
O
坐
为
原点，
标
分
双曲
别为
线
的左、右焦点，过C 右支上一点
作双曲
的切
交
线
线
x
于点
轴
，
（
则 ）
A．
B．平面上点
的最小值为
C．若
左焦点
经过
的入射光
点
线经过
A，且
，
入射光
与反射光
的
角
则
线
线
夹
为
D．
点
过
作
，垂足为H，则
【变式训练8-12】
曲
圆锥
线C 的弦AB 与
弦的端点
过
A，B 的两条切
的交点
线
P 所
成的三角形
围
PAB 叫做阿基米德三角形，
若曲线C 的方程为
，弦AB 过C 的焦点F，设
，
，
，
有
则
，
，
于
对
C
的阿基米德三角形PAB
出下列
：①点
给
结论
P 在直线
上；②
；③
；④
，其中所
有正确
的序号
结论
为 ．
