第06讲机械能守恒讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）（新高考通用）-教师版_高考一二三轮复习_物理_2026年-物理高考二轮复习

第06 讲 机械能守恒定律
目     录
思维导图.................................................................................................................................................................1
高考分析.................................................................................................................................................................1
学习目标.................................................................................................................................................................2
知识要点.................................................................................................................................................................2
解题策略.................................................................................................................................................................7
题型归纳.................................................................................................................................................................7
题型01：物体的机械能计算...........................................................................................................................7
题型02：判断系统机械能是否守恒...............................................................................................................10
单个物体机械能守恒.....................................................................................................................................23
题型03: 机械守恒在直线运动中的应用........................................................................................................23
题型04：机械能守恒定律在平抛运动中的应用.............................................................................................25
题型05：机械能守恒定律在圆周运动中的应用............................................................................................31
连接体的机械能守恒问题..............................................................................................................................50
题型06：用细绳连接的系统机械能守恒问题.................................................................................................50
题型07：用杆连接的系统机械能守恒问题....................................................................................................68
题型08：弹簧类问题机械能转化的问题........................................................................................................88
非质点类机械能守恒问题............................................................................................................................127
题型09：“链条”类问题...........................................................................................................................127
题型10：“液柱”类问题...........................................................................................................................134
题型11：“过山车”类问题.......................................................................................................................135
题型12：能量守恒定律与传送带结合.........................................................................................................136
题型13: 天体运动中机械能的变化.............................................................................................................140
题型14：利用能量守恒解决实际问题.........................................................................................................143
巩固提升.............................................................................................................................................................146
一、考情总览
1. 地位：力学核心考点，高考必考，常与牛
运
定律、
周运
、平抛
顿
动
圆
动
/
平抛、
力、复合
合考
。
类
电场
场结
查
2. 
型：
（定性判断、
像分析）
题
选择题
图
+ 
算
（
合
用，
计
题综
应
压轴/次
常
）。
压轴
见
3. 分
：
 
值选择题4–6 分，
算
 
计
题8–14 分，
分占比高。
总
4. 
度：中等偏上，重点在守恒条件判断、系
取、多
程能量
化。
难
统选
过
转
二、命题趋势
1. 
合化：与
周运
、
、
量、功能关系
合，
多
程分析。
综
圆
动电场动
结
强调
过
2. 模型化：
典模型（
球、杆球、
簧、
接体）反复出
，
式考
。
经
绳
弹
连
现变
查
3. 能力
向：重守恒条件辨析、状
取、几何关系与能量关系
立。
导
态选
联
4. 
新点：
合生活
创
结
/科技情境（
山
、
射装置、
星
化模型）。
过
车弹
卫
变轨简
1. 能快速判断
个
单
/系
是否
足机械能守恒。
统
满
2. 熟
写出三种守恒表达式，
范列方程。
练
规
3. 掌握绳/杆
周、
接体、
簧三大模型的守恒解法。
圆
连
弹
4. 能在多
程中分段
过
/整体
用守恒或
能定理。
选
动
5. 会从
像中提取初末状
、做功信息，
合守恒求解。
图
态
结
知识点一：机械能守恒定律
1．内容：在只有重力或
力做功的物体系
内，
能与
能可以互相
化，而
的机械能保持不
。
弹
统
动
势
转
总
变
2．常用的三种表达式
(1)守恒式：E1＝E2 或Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2。E1、E2 分
表示系
初末状
的
机械能。
别
统
态时
总
(2)
化式：
转
ΔEk＝－ΔEp 或ΔEk 增＝ΔEp 减。表示系
能的减少量等于
能的增加量。
统势
动
(3)
移式：
转
ΔEA＝－ΔEB 或ΔEA 增＝ΔEB 减。表示系
只有
统
A、B 两物体
，
时A 增加的机械能等于B 减少的机
械能。
机械能守恒定律的表达式
表达
角度
表达式
例子
意义
守恒
点
观
E2=E1
Ek1+EP1= Ek2+EP2
初位置的机械能等于末位
置的机械能
化
转
点
观
ΔEP=-ΔEk
重力
能的增加量（或减少
势
量）等于
能的减少量（或
动
增加量）
移
转
点
观
ΔEA=-ΔEB
--
两个物体
成的系
，一个
组
统
物体机械能的减少量（或增
加量）等于另一个物体机械
能的增加量（或减少量）
3．
机械能守恒定律的理解
对
(1)只受重力或
力作用，系
的机械能守恒。
弹
统
(2)除受重力或
力之外，
受其他力，但其他力不做功，只有重力或系
内的
力做功，系
机械能守恒。
弹
还
统
弹
统
(3)除受重力或
力之外，
受其他力，但其他力所做功的代数和
零，系
机械能守恒。
弹
还
为
统
(4)系
跟外界没有
生机械能的
，系
内、外也没有机械能与其他形式的能
生
化。
统
发
传递
统
发
转
知识点二：机械能守恒的判断
一：机械能是否守恒的三种判断方法
1.利用机械能的定
判断：若物体
能、
能之和不
，
机械能守恒．
义
动
势
变则
2.利用做功判断：若物体或系
只有重力
统
(或
簧的
力
弹
弹
)做功，
受其他力，但其他力不做功
虽
(或做功代数和为
0)，
机械能守恒．
则
3.利用能量
化判断：若物体或系
与外界没有能量交
，物体或系
也没有机械能与其他形式能的
化，
机
转
统
换
统
转
则
械能守恒．
二：判断机械能是否守恒的方法
解
详
1． 研究
象不同，
果不同
对
结
：如图8-5-16 所示，小球在
直平面内下降的
程中，
竖
过
以小球
研究
象（
上
为
对
实际
是小球和地球
成的系
），机械能不守恒
组
统
 ，因
于小球，只有重力是系
内的力，而
力是系
外的力，
为对
统
弹
统
弹
力做
功，小球的机械能减少，所以不守恒；
于小球和
簧
成的系
，重力和
力都是系
内的力，系
负
对
弹
组
统
弹
统
统
内的力做功只能引起能量形式的
化，不改
机械能的多少，在下降的
程中，小球的一部分重力
能
化
转
变
过
势
转
为
簧的
性
能，但小球和
簧
成的系
的机械能守恒。所以
弹
弹
势
弹
组
统
在小球下降的
程中，
小球
个系
，机械
过
对
这
统
能不守恒，
小球和
簧
成的系
机械能守恒
对
弹
组
统
 。
2． 
“系
内”只有重力或
力做功机械能守恒的理解
对
统
弹
：不能理解成只有重力和
力做功
机械能守恒，而
弹
时
应
理解成
 
 “系
内”只有重力或
力做功机械能守恒
统
弹
 
 ，重力和
力必
是“系
内”的重力和
力
弹
须
统
弹
 
  。如图8-5-17 所
示，
于下降的小球，确
是
对
实
只有重力和
力做功
弹
，但小球的机械能不守恒，
是因
力不是系
（小球）内
这
为弹
统
部的力，而是系
外部的力，系
外部的
力做功将改
系
的机械能。当以小球和
簧作
一个系
来研究
统
统
弹
变
统
弹
为
统
，重力和
力就是系
内的力了，
时
弹
统
系
内部的重力和
力做功只会引起
能和
能的
化，不会改
能量
统
弹
动
势
转
变总
（机械能）的多少，所以机械能守恒 。
于物体的重力
能，是“物体和地球
成的系
”共有的，“
于物体
对
势
组
统
对
 
   A   ”的重力
能，
是指“
于物体
势
实际
对
 
 A  
与地球
成的系
”的重力
能
组
统
势
 。
3． 根据“
能和
能的和”是否
化判断
动
势
变
：因为物体的机械能等于
能与
能的和
动
势
，所以可以通
能与
能
过动
势
的和是否
化来判断机械能是否
化以及怎
化
变
变
样变
。
4． 根据“系
以外的力做功”判断
统
：系
以外的力做正功，系
机械能增加，外力做多少正功，机械能增加多
统
统
8
5
16


图
8
5
17


图
少；系
以外的力做
功，系
机械能减少，外力做多少
功，机械能减少多少；系
以外的力不做功或做功的
统
负
统
负
统
代数和为
 
 0  ，系
的机械能不
统
变
 
 。
5． 根据“有没有机械能
失的条件”判断
损
：如图8-5-18 所示，在水平面上随
簧振
的物
，以
簧和物
弹
动
块
弹
块为
研究
象，如果水平面光滑，就没有机械能
失的理由，即系
的机械能守恒。如果水平面粗糙，
由于摩擦
对
损
统
则
生
，机械能将
化
能，机械能减少。
热
转
为热
根据
信息分析有没有机械能
失的条件，从而判断机械能是否
题设
损
守恒 。
知识点三:系统之外的力做功与机械能变化的关系
1． 系
之外的
统
力做正功
：如
时
图8-5-12 所示，以地面
零重力
能位置，物体由
为
势
A 位置下降到B 位置，物体的初
速度为v1，方向
直向下，当物体只受重力，下降高度
竖
h
，物体的速度
时
为v2；当
物体同
施加一个做正功
给
时
的力（
直向下的力），物体达到
竖
B 位置的速度大小为v3，分析两种情况下物体在B 位置的机械能及其
化如
变
下：
条件
只受重力mg 作
用时
受做正功的力
还
F 作
用
外力做功与机械能改
量
变
的关系
由A 到B
运用
能
动
定理
系
以外的力
统
F 做的正功
：
为
机械能的增量
：
为
：
结论系
以外的力做正功
统
，机械能增加，增加量等
时
于外力做的功
物体在B
点的
能
动
物体在B
点的重力
能
势
物体在B
点的机械
能
2． 系
之外的
统
力做
功
：如
负
时
图8-5-13 所示，以地面
零重力
能位置，物体由
为
势
A 位置下降到B 位置，物体的初
速度为v1，方向
直向下，当物体只受重力，下降高度
竖
h
，物体的速度
时
为v2；当
物体同
施加一个做
功
给
时
负
的力（
直向上的力），物体达到
竖
B 位置的速度大小为v3，分析两种情况下物体在B 位置的机械能及其
化如
变
下：
条件
只受重力mg 作
用时
受做
功的力
还
负
F 作
用
外力做功与机械能改
量
变
的关系
由A 到B
运用
能
动
系
以外的力
统
F 做的
功
负
mg
h
1v
2v
mg
F
1v
3v
1h
A
B
8
5
12


图
mg
F
1v
3v
mg
h
1v
2v
1h
A
B
8
5
13


图
8
5
18


图
定理
：
为
，克服摩擦力
做功为Fh。
机械能的增量
：
为
（实
上机械能是减少了
际
Fh）
：
结论系
以外的力做
功
统
负
，机械能减少，减少量等
时
于克服外力做的功
物体在B
点的
能
动
物体在B
点的重力
能
势
物体在B
点的机械
能
3． 系
之外的
统
力做功的代数和为0
：
时
如图8-5-14 所示，被
直向上抛出的物体上升
，受到
直向上且始
等于摩擦力的力
竖
时
竖
终
系
以外的力不做功或做功的代数和
统
为
 
 0   ，系
的机械能不
统
变
 
 。
知识点三：单个物体的机械能守恒
1．表达式
2．一般步骤
知识点四：多物体组成的系统机械能守恒的应用
1．
接的物体系
模型
轻绳连
统
常见
情景
模型
提醒
①分清两物体是速度大小相等，
是沿
方向的分速度大小相等。
还
绳
②用好两物体的位移大小关系或
直方向高度
化的关系。
竖
变
③
于
个物体，一般
上的力要做功，机械能不守恒；但
于
接的系
，机械能
对
单
绳
对
绳连
统
可能守恒。
则
2．
杆
接的物体系
模型
轻
连
统
常见
情景
h
F
f
F
mg
8
5
14


图
模型
特点
①平
两物体
速度相等，
两物体角速度相等。
动时
线
转动时
②杆
物体的作用力并不
是沿杆的方向，杆能
物体做功，
个物体机械能不守
对
总
对
单
恒。
③
于杆和球
成的系
，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力
系
做功，
系
对
组
统
对
统
则
机械能守恒。
统
3．
簧
接的物体系
模型
轻弹
连
统
模型
特点
由
簧
接的物体系
，一般既有重力做功又有
簧
力做功，
系
内物体的
轻弹
连
统
弹
弹
这时
统
能、重力
能和
簧的
性
能相互
化，而
的机械能守恒。
动
势
弹
弹
势
转
总
两点
提醒
①
同一
簧，
性
能的大小完全由
簧的形
量决定，无
簧伸
是
。
对
弹
弹
势
弹
变
论弹
长还
压缩
②
簧两端物体把
簧拉伸至最
弹
弹
长(或
至最短
压缩
)
，两端的物体具有相同的速度，
时
性
能最大。
弹
势
常
的机械能守恒模型
见
物理情景
示
图
研究
象
对
解释
抛体运动（包括竖
直上抛、
直下
竖
抛、斜上抛和平
抛）
物体
忽略一切摩擦，物体的重力
能和
势
能之
相互
化，但二者的和保
动
间
转
持不
，机械能守恒。
变
小球在
直平面
竖
内的摆动
小球
不做功，只有重力做功，机械
细线
能守恒
水平面光滑，
簧
弹
和物
相互作用
块
物块
机械能不守恒
物
和
簧
块
弹
能和
性
能相互
化，机械能
动
弹
势
转
守恒
小球、
簧在
直
弹
竖
平面内摆动
小球
于
对
小球 ，除重力外，
力也做
弹
功，机械能不守恒
小球和
簧
弹
于
对
小球和
簧
成的系
弹
组
统，机械
能守恒
小球、
簧在
直
弹
竖
方向的相互作用
小球
于
对
小球 ，除重力外，
力也做
弹
功，机械能不守恒
小球和
簧
弹
于
对
小球和
簧
成的系
弹
组
统，机械
能守恒
A 与B
、
间
B 与地
面
均光滑，
间
A 物
体沿斜面下滑
A
于
对
A，除重力外，
力也做功，机
弹
械能不守恒
A 和B
于
对
A 和B
成的系
，
组
统
A 的重力
能
化
势
转
为A 和B 的
能，机械能
动
守恒
忽略一切摩擦和
的重力，
轮
A 物体
上升，B 物体下降
A（或B）
于
对
A 或B，除重力外，
有拉力
还
做功，机械能不守恒
A 和B
于
对
A 和B
成的系
，机械能守
组
统
恒
基本解
步
题
骤
1. 一
守恒条件：看是否只有重力
审
/系
内
力做功。
统
弹
2. 二
系
与零
能面：
先
系
守恒，减少未知力。
选
统
势
优
选
统
3. 三定初末状
：明确初末位置、速度、高度
态
/形
量。
变
4. 四列方程：守恒方程 + 几何关系 + 运
学
动
/向心力公式
立。
联
5. 五注意：
①速度关
（
接体）
联连
②
性
能表达式
弹
势
③
周运
向心力指向
心
圆
动
圆
④多
程中是否有能量
失（有摩擦
不用守恒，改用
能定理）
过
损
则
动
A
B
B
A
h
题型01：物体的机械能计算
【典型例题1】如
甲所示，“回回炮”是一种大型抛石机。将石
放在
臂一端的石袋中，在短臂端挂上重物。
射
图
块
长
发
前将
臂端往下拉至地面，然后突然松开，石袋中的石
最高点
就被抛出。
将其
化
乙所示的模型、将一
长
块过
时
现
简
为图
量
质
、可
点的石
装在
视为质
块
长
的
臂末端的石袋中，初始
臂与水平面的
角
长
时长
夹
为30°，松开后
臂
至
直位置
，石
被水平抛出，落在水平地面上，
得石
落地点与
长
转
竖
时
块
测
块
点的水平距离为30m，以地面
零
为
势
能面，不
空气阻力，取重力加速度大小
计
，下列
法正确的是（　　）
说
A．石
被水平抛出
的重力
能
块
时
势
为
B．石
被水平抛出
的
能
块
时
动
为
C．石
被水平抛出
的机械能
块
时
为
D．石
着地
重力的功率
块
时
为
【答案】C
【
解】
详
A．石
被水平抛出
的高度
块
时
为
重力
能
势
为
故A
；
错误
B．石
被水平抛出后做平抛运
，
直方向有
块
动竖
水平方向有
立解得
联
石
被水平抛出
的
能
块
时
动
为
故B
；
错误
C．石
被水平抛出
的机械能
块
时
为
故C 正确；
D．根据
，可得石
着地
直分速度
块
时竖
为
石
着地
重力的功率
块
时
为
故D
。
错误
故选C。
【变式训练1-1】2023 年8 月3 日，在成都第31 届世界大学生夏季运
会田径
目男子三
跳
决
中，中国某运
动
项
级
远
赛
以
动员
的成
得冠
。不
空气阻力，
运
，下列
法正确的是（　　）
绩夺
军
计
对该
动员
说
A．在助跑
程中，一定做匀加速直
运
过
线
动
B．在起跳的
程中，地面
其做的功等于其机械能的增加量
过
对
C．在下落
程中，
于失重状
过
处
态
D．在最高点
的速度
零
时
为
【答案】C
【
解】
详
A．
运
在助跑
程中，不一定做匀加速直
运
，
该
动员
过
线
动选项A
；
错误
B．
运
在起跳的
程中，地面
其做的功
该
动员
过
对
为0，选项B
；
错误
C．
运
在下落
程中，加速度方向
直向下，
于失重状
，
该
动员
过
竖
处
态选项C 正确；
D．
运
在最高点
有水平速度，
其速度不
零，
该
动员
时还
则
为
选项D
。
错误
故选C。
【变式训练1-2】（多选）如
甲所示，北宋
了一种古代运
装
，名
“
”，因其
精妙，灵活方便。”其原
图
记载
输
备
为绞车
设计
理如
乙所示，将一根
削成同心而半径不同的两部分，其中
图
圆轴
a，b 两点分
是大小
上的两点，其上
以
别
辘轳边缘
绕
索，
下加一
滑
，滑
下挂上重物，人
把手
其
旋
便可
松将重物吊起，
在起吊
程中，下列
绳
绳
动
轮
轮
转动
带动
轴
转
轻
则
过
说
法正确的是（　　）
A．a 点的向心加速度大于b 点的向心加速度
B．人
把手做的功等于重物机械能的增加量
对
C．滑
重物做的功等于重物机械能的增加量
轮对
D．若把手
滑
也会逆
顺时针转动则
轮
时针转动
【答案】AC
【
解】
详
A．根据
可知，a 的半径大于b 的半径，由于两点是同
，角速度相同，故
轴转动
a 的向心加速度大于b 点的向心加速度，故A 正
确；
B．由能量守恒可知，人
把手做功除了
化
重物的机械能外，
有
滑
的机械能，
的
能及摩擦生
等，因
对
转
为
还
动
轮
轮轴
动
热
此人
把手做的功大于重物机械能的增加量，故
对
B
；
错误
C．由功能关系可知滑
重物做的功等于重物机械能的增加量，故
轮对
C 正确；
D．若把手
大
上
收
，滑
左
的
向上，小
上
放松，滑
右
的
向下，故滑
会
顺时针转动则
轴
绕绳
紧
轮
侧
绳
轴
绕绳
轮
侧
绳
轮
顺时针
，故
转动
D
。
错误
故选AC。
【变式训练1-3】如
所示，
图
长为10cm 的
系着一
量
轻绳
质
为1kg 的小球（小球可
点），在光滑的水平桌面上以
视为质
20rad/s 的角速度做匀速
周运
。已知桌面离地的高度
圆
动
为
，g 取
。
（1）求
子
小球的拉力大小。
绳
对
（2）若以地面
零
能面，
小球在桌面上运
的机械能
多少？
为
势
则
动时
为
【答案】（1）40N；（2）6.5J
【
解】（
详
1）
子的拉力
绳
F 提供向心力，
有
则
解得
（2）物体在桌面上运
的机械能
动时
又
解得
题型02：判断系统机械能是否守恒
【典型例题1】下列
法正确的是（　　）
说
A．做匀速直
运
的物体，机械能一定守恒
线
动
  B．做曲
运
的物体，机械能可能守恒
线
动
C．物体所受的合力
零，机械能一定守恒
为
  D．物体所受的合力不
零
，机械能一定不守恒
为
时
【答案】B
【
解】
详
A．机械能守恒的条件是只有重力做功，如果物体
直向上做匀速运
，向上的外力做正功，机械能增加，
竖
动
A 错
；
误
B．做平抛运
的物体，只有重力做功，机械能守恒，
动
B 正确；
C．
直方向的匀速运
，合外力
零，物体
能保持不
，而
能
生
化，机械能不守恒，
竖
动
为
动
变
势
发
变
C
；
错误
D．做自由落体运
的物体，只有重力做功，机械能守恒，
动
D
。
错误
故选B。
【典型例题2】下
例中，判断正确的是（
图实
    ）
A．甲
中冰晶五
被匀速吊起的
程中机械能守恒
图
环
过
B．乙
中物体在外力
图
F 作用下沿光滑斜面加速下滑的
程中机械能守恒
过
C．丙
中不
任何阻力，
接的物体
图
计
轻绳连
A、B
成的系
运
程中机械能守恒
组
统
动过
D．丁
中小球在光滑水平面上以一定的初速度
簧的
程中，小球的机械能守恒
图
压缩弹
过
【答案】C
【
解】
详
A．甲
中冰晶五
被匀速吊起的
程中，拉力做功不
零，机械能不守恒，
图
环
过
为
A
；
错误
B．由于外力F 做功不
零，物体机械能不守恒，
为
B
；
错误
C．物体A、B
成的系
运
程中重力做功，
子拉力
两物体做功之和
零，机械能守恒，
组
统
动过
绳
对
为
C 正确；
D．丁
中小球在光滑水平面上以一定的初速度
簧的
程中，
簧的
力
小球做
功，小球的机械能不守恒
图
压缩弹
过
弹
弹
对
负
，
D
。
错误
故选C。
【典型例题3】如
所示，小球从高
下落到
直放置的
簧上，
簧一直保持
直，空气阻力不
，那么小球从
图
处
竖
轻弹
弹
竖
计
接触
簧开始到将
簧
到最短的
程中，下列
法中正确的是
弹
弹
压缩
过
说
(　　)
A．小球的
能一直减小
动
B．小球的机械能守恒
C．克服
力做功大于重力做功
弹
D．最大
性
能等于小球减少的
能
弹
势
动
【答案】　C
【解析】　小球开始下落
，只受重力作用做加速运
，当与
簧接触
，受到
簧
力作用，开始
簧
量小，因
时
动
弹
时
弹
弹
时弹
压缩
此重力大于
力，速度增大，随着
簧
量的增加，
力增大，当重力等于
力
，速度最大，然后
簧
被
弹
弹
压缩
弹
弹
时
弹
继续
压缩，
力大于重力，小球开始做减速运
，所以整个
程中小球加速后减速，根据
弹
动
过
Ek＝mv2，
能先增大然后减小，故
动
A 错
；在向下运
的
程中，小球受到的
力
它做
功，小球的机械能不守恒，故
误
动
过
弹
对
负
B
；在向下运
程中，重力
错误
动过
势
能减小，最
小球的速度
零，
能减小，
簧的
量增大，
性
能增大，根据能量守恒定律，最大
性
能等于
终
为
动
弹
压缩
弹
势
弹
势
小球减少的
能和减小的重力
能之和，即克服
力做功大于重力做功，故
动
势
弹
D
，
错误C 正确．
【典型例题4】如
所示，完整的撑杆跳高
程可以
化成三个
段：持杆助跑、撑杆起跳上升、越杆下落
图
过
简
阶
(下
落
人杆分离
时
)，最后落在
上速度减
零．不
空气阻力，
软垫
为
计
则
(　　)
A．运
在整个跳高
程中机械能守恒 
动员
过
B．运
在撑杆起跳上升
程中机械能守恒
动员
过
C．在撑杆起跳上升
程中，杆的
性
能
化
运
的重力
能且
性
能减少量小于运
的重力
能增加量
过
弹
势
转
为
动员
势
弹
势
动员
势
D．运
落在
上
做减速运
，
于超重状
动员
软垫
时
动处
态
【答案】CD
【解析】运
持杆助跑
段运
杆做功，机械能不守恒，最后从落在
上到速度减
零的
程中阻力做功，机
动员
阶
动员对
软垫
为
过
械能也不守恒，故A
；运
在撑杆起跳上升
程中，杆从开始形
到杆恢复原状，先是运
部分
能
化
错误
动员
过
变
动员
动
转
为
重力
能和杆的
性
能，后是
性
能和运
的
能
化
重力
能，使用杆的
程中，运
与杆
成的系
势
弹
势
弹
势
动员
动
转
为
势
过
动员
组
统
机械能守恒，运
的机械能不守恒，故
动员
B
；在撑杆起跳上升
程中，运
的
能和杆的
性
能
化
运
错误
过
动员
动
弹
势
转
为
动
的重力
能，所以杆的
性
能减少量一定小于运
的重力
能增加量，故
员
势
弹
势
动员
势
C 正确；运
落在
上
做减速
动员
软垫
时
运
，加速度的方向向上，因而运
于超重状
，故
动
动员处
态
D 正确．
【典型例题5】(多选)如
所示，将一个内外
均光滑的半
形槽置于光滑的水平面上，槽的左
有一固定的
直
图
侧
圆
侧
竖
墙
壁(不与槽粘连)．
一小球自左端槽口
现让
A 点的正上方由静止开始下落，从A 点与半
形槽相切
入槽内，
下列
圆
进
则
说
法正确的是(　　)
A．小球在半
形槽内运
的全
程中，只有重力
它做功
圆
动
过
对
B．小球从A 点向半
形槽的最低点运
的
程中，小球的机械能守恒
圆
动
过
C．小球从A 点
最低点向右
最高点运
的
程中，小球与半
形槽
成的系
经
侧
动
过
圆
组
统机械能守恒
D．小球从下落到从右
离开半
形槽的
程中，机械能守恒
侧
圆
过
【答案】　BC
【解析】　当小球从半
形槽的最低点运
到半
形槽右
的
程中小球
半
形槽的力使半
形槽向右运
，半
圆
动
圆
侧
过
对
圆
圆
动
圆
形槽
小球的支持力
小球做
功，小球的机械能不守恒，
对
对
负
A、D
；小球从
错误
A 点向半
形槽的最低点运
的
程
圆
动
过
中，半
形槽静止，
只有重力做功，小球的机械能守恒，
圆
则
B 正确；小球从A 点
最低点向右
最高点运
的
程中，
经
侧
动
过
小球与半
形槽
成的系
只有重力做功，机械能守恒，
圆
组
统
C 正确．
【变式训练2-1】下列运
程中，机械能守恒的是（　　）
动过
A．跳
运
在空中匀速下落
程
伞
动员
过
B．不
空气阻力，抛出的在空中运
计
动标枪
C．不
空气阻力，随摩天
做匀速
周运
的小孩
计
轮
圆
动
D．一个
于
状
的
簧把小球
出去
程，小球的机械能
处
压缩
态
弹
弹
过
【解答】解：A、运
匀速下降，重力
能减小，
能不
，故机械能减小，故
动员
势
动
变
A
；
错误
B、不
空气阻力，
于抛出的在空中运
，只有重力做功，其机械能守恒，故
计
对
动标枪
B 正确；
C、不
空气阻力，随摩天
做匀速
周运
的小孩，
能不
，重力
能不断
化，
其机械能不守恒，故
计
轮
圆
动
动
变
势
变
则
C
；
错误
D、
于
状
的
簧把小球
出去
程，
簧
小球做正功，根据功能关系得知，小球的机械能增加，故
处
压缩
态
弹
弹
过
弹
对
D
。
错误
故
：
选B。
【变式训练2-2】关于机械能守恒的条件，下列
法正确的是（　　）
说
A．做匀速直
运
的物体，机械能一定守恒
线
动
B．做加速度大小为g 的匀加速直
运
的物体，机械能一定守恒
线
动
C．做平抛运
的物体，机械能一定守恒
动
D．在
直平面内做
周运
的物体，机械能一定守恒
竖
圆
动
【解答】解：A、做匀速直
运
的物体，
能的不
，但重力
能可能
化，如在
直方向上做匀速直
运
的物体，
线
动
动
变
势
变
竖
线
动
所以机械能不一定守恒，故A
；
错误
B、若物体沿
直向上方向做加速度大小
竖
为g 的匀加速直
运
，除重力以外，
有其它力
物体做功，其机械能不
线
动
还
对
守恒，故B
；
错误
C、做平抛运
的物体，只有重力做功，机械能一定守恒，故
动
C 正确；
D、在
直平面内做
周运
的物体，机械能不一定守恒，如
直平面内的匀速
周运
，故
竖
圆
动
竖
圆
动
D
。
错误
故
：
选C。
【变式训练2-3】如
所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是（　　）
图
  
A．甲
中，物体
图
A 将
簧
的
程中，
弹
压缩
过
A 机械能守恒
B．乙
中，
图
A 置于光滑水平面，物体B 沿光滑斜面下滑，物体B 机械能守恒
C．丙
中，不
任何阻力
图
计
时A 加速下落，B 加速上升
程中，
子拉力分
过
绳
别对A 和B 做功，所以A、B
成的系
机
组
统
械能守恒
D．丁
中，小球沿水平面做匀速
运
，小球的机械能守恒
图
圆锥摆
动时
【答案】D
【
解】
详
A．甲
中，物体
图
A 将
簧
的
程中，重力和
簧
力做功，系
机械能守恒，
簧的
性
能增加，故
弹
压缩
过
弹
弹
统
弹
弹
势
A
机械能减少，故A
；
错误
B．乙
中，
图
A 置于光滑水平面，物体B 沿光滑斜面下滑，物体A 将向右运
，故物体
动
B
物体
对
A 的
力
物体
弹
对
A 做功，
物体A 的
能增加，物体
动
B 机械能减少，故B
；
错误
C．丙
中，不
任何阻力
图
计
时A 加速下落，B 加速上升
程中，
过
A、B
成的系
只有重力做功，所以
组
统
A、B
成的系
组
统
机械能守恒，故C
；
错误
D．丁
中，小球沿水平面做匀速
运
，小球的
能和重力
能均不
，小球的机械能守恒，故
图
圆锥摆
动时
动
势
变
D 正确。故选
D。
【变式训练2-4】北京时间2023 年6 月4 日6 时33 分，神舟十五号
人
船返回
在
着
成功着
，神舟十
载
飞
舱
东风
陆场
陆
五号
人
行任
取得
成功。如
所示是神舟十五号
人
船返回
返回地面
的情境，打开降落
后的一段
载
飞
务
圆满
图
载
飞
舱
时
伞
内，整个装置先减速后匀速下降，在
段
内关于返回
的
法正确的是（　　）
时间
这
时间
舱
说
  
A．打开降落
之后，返回
仍
于失重状
伞
舱
处
态
B．匀速下降
段，返回
的机械能守恒
阶
舱
C．匀速下降
段，返回
机械能的减少量等于重力
船做的功
阶
舱
对飞
D．减速下降
段，返回
能的减少量等于阻力
船做的功
阶
舱动
对飞
【答案】C
【解析】A．打开降落
后，返回
减速下降
，加速度方向向上，
于超重状
，故
伞
舱
时
处
态
A
；
错误
B．匀速下降
段，返回
的
能不
，重力
能减小，因此机械能减小，故
阶
舱
动
变
势
B
；
错误
C．匀速下降
段，返回
机械能的减少量等于
船克服阻力做功的大小，而重力与阻力的大小相同，所以返回
机
阶
舱
飞
舱
械能的减少量等于返回
重力所做的功，故
舱
C 正确；
D．减速下降
段，由
能定理可知，返回
能的减少量等于返回
所受合力做功的大小，故
阶
动
舱动
舱
D
。
错误
故选C。
【变式训练2-5】如
所示，
图
P、Q 两球
量相等，开始两球静止，将
质
P 上方的
断，在
细绳烧
Q 落地之前，下列
法正
说
确的是(不
空气阻力
计
)(　　)
A．在任一
刻，两球
能相等
时
动
                      B．在任一
刻，两球加速度相等
时
C．在任一
刻，系
能与重力
能之和保持不
时
统动
势
变    D．在任一
刻，系
机械能是不
的
时
统
变
【答案】D
【解析】
断后，由于
簧
于伸
状
，通
细绳烧
弹
处
长
态
过对P、Q 两球受力分析可知aP>aQ，在任一
刻，两球的
能不一
时
动
定相等，选项A、B
；系
内有
力做功，
性
能
生
化，系
的
能与重力
能之和
生
化，
错误
统
弹
弹
势
发
变
统
动
势
发
变
选项C
；
错误
Q 落地前，两球及
簧
成的系
只有重力和
簧的
力做功，整个系
的机械能守恒，
弹
组
统
弹
弹
统
选项D 正确．
【变式训练2-6】如
床运
示意
。
图为蹦
动
图A
运
到达的最高点，
为
动员
B
运
下落
程中
接触
床
的位置，
为
动员
过
刚
蹦
时
C
运
到达的最低点。运
自
为
动员
动员
A 落至C 的
程中，下列
法正确的是（　　）
过
说
A．B 至C，
床
力
运
做
功，运
机械能增加
蹦
弹
对
动员
负
动员
B．A 至B，运
加速运
；
动员
动B 至C，运
减速运
动员
动
C．A 至C，只有重力和
床
力做功，运
机械能守恒
蹦
弹
动员
D．运
在
动员
C 点，速度
零，加速度不
零
为
为
【答案】D
【
解】
详
A．B 至C，
床
力
运
做
功，运
机械能减小，
蹦
弹
对
动员
负
动员
选项A
；
错误
B．A 至B，运
加速运
；
动员
动B 至C，重力先大于
力，加速度向下，后重力小于
力，加速度向上，即运
先加速后
弹
弹
动员
减速运
，
动选项B
；
错误
C．A 至C，只有重力和
床
力做功，运
与
床系
的机械能守恒，运
的机械能减小，
蹦
弹
动员
蹦
统
动员
选项C
；
错误
D．运
在
动员
C 点，速度
零，
力大于重力，
加速度不
零，
为
弹
则
为
选项D 正确。
故选D。
【变式训练2-7】忽略空气阻力，下列物体运
程中
足机械能守恒的是（
动过
满
   ）
A．
梯匀速下降
电
B．运
乘着降落
匀速下降
动员
伞
C．物体在
直平面内做匀速
周运
竖
圆
动
D．物体沿光滑斜面加速下滑
【答案】D
【
解】
详
A．
梯匀速下降，
能不
，重力
能减小，机械能减小，
电
动
变
势
A 不
足机械能守恒定律；
满
B．运
乘着降落
匀速下降，
能不
，重力
能减小，机械能减小，
动员
伞
动
变
势
B 不
足机械能守恒定律；
满
C．物体在
直平面内做匀速
周运
，
能不
，重力
能
化，机械能
化，
竖
圆
动动
变
势
变
变
C 不
足机械能守恒定律；
满
D．物体沿光滑斜面加速下滑，只有重力做功，物体的机械能守恒，D
足机械能守恒定律。
满
故选D。
【变式训练2-8】重
皇冠大扶梯是全国最
、
洲第二
的坡地
扶梯，它
接着两路口和菜园
，
扶梯在
庆
长亚
长
电动
连
坝电动
一段
直斜坡上
持匀速运行。如
，某行人站立于扶梯上，正随扶梯匀速上行，不
空气阻力，扶梯台面水平。下列
长
维
图
计
法正确的是（　　）
说
A．行人受到平行于台面向前的摩擦力
B．行人受到台面的支持力大于行人受到的重力
C．行人受到的合力
零
为
D．行人的机械能守恒
【答案】C
【
解】
详
CD．人沿斜坡方向随
梯做匀速直
运
，所受合力
零，但机械能不守恒，因
能不
，重力
能增大，
电
线
动
为
为动
变
势
所以机械能增大，故C 正确，D
；
错误
AB．因
人站立的
梯台面水平，所以匀速运
中不受摩擦力，也没有加速度，行人受到台面的支持力等于行人受到
为
电
动
的重力，故AB
。
错误
故选C。
【变式训练2-9】木
静止挂在
子下端，一子
以水平速度射入木
并留在其中，再与木
一起共同
到一定高
块
绳
弹
块
块
摆
度如
所示，从子
开始射入到共同上
到最大高度的
程中，下列
法正确的是
图
弹
摆
过
说
(　　)
A．子
的机械能守恒                  
弹
B．木
的机械能守恒
块
C．子
和木
机械能守恒            
弹
块总
D．子
和木
上
程中机械能守恒
弹
块
摆过
【答案】D.
【解析】子
射入木
程，系
中摩擦力做
功，机械能减少；而共同上
程，系
只有重力做功，机械能守恒．
弹
块过
统
负
摆过
统
综
上所述，整个
程机械能减少，减少部分等于克服摩擦力做功
生的
量．
过
产
热
【变式训练2-10】如
所示，一根不可伸
的
跨
光滑
定滑
，
两端各系一小物
图
长
轻绳
过
轻质
轮
绳
块A 和B。其中
，
未知，滑
下
距地面
轮
缘
。开始B 物
离地面高
块
，用手托住B 物
使
子
好拉直，
块
绳
刚
然后由静止
放
释
B 物
，
块A 物
上升至
块
高
速度恰
零，重力加速度大小
时
为
取
。下列
法中正确的是（　　）
说
A．对A、B 两物
及地球
成的系
，整个
程中机械能守恒
块
组
统
过
B．
C．B
落地
，速度大小
刚
时
为
D．B 落地前，
中
力大小
绳
张
为30N
【答案】C
【
解】
详
A．对A、B 两物
及地球
成的系
，在
块
组
统
B 落地前，机械能才守恒，A
；
错误
BC．B
落地
刚
时A
上升做
直上抛运
，此
继续
竖
动
时
又
所以
对
、B 由牛
第二定律有
顿
解得
B 错误C 正确；
D．隔离A 由牛
第二定律有
顿
解得
D
。故
错误
选C。
【变式训练2-11】跳
运
由高空沿
直方向落下，
伞
动员
竖
刻开启降落
，
时
伞
刻开始做匀速直
运
直到
时
线
动
刻
时
落地，速度
感器
此
程中运
的
传
记录
过
动员
像如
所示，下列关于跳
运
及降落
的
法正确的是（　　）
图
图
伞
动员
伞
说
A．
内，他
于超重状
时间
们处
态
B．
内，他
受到的空气阻力逐
增大
时间
们
渐
C．
刻，他
所受重力的功率最大
时
们
D．
内，他
的机械能守恒
时间
们
【答案】C
【
解】
详
A．由
可知，
图
内，他
加速下降，具有
直向下的加速度，
于失重状
。故
时间
们
竖
处
态
A
；
错误
B．同理，
内，他
减速下降，由牛
第二定律可知
时间
们
顿
加速度越来越小，受到的空气阻力逐
减小。故
渐
B
。
错误
C．根据
可知，
刻速度最大，
他
所受重力的功率最大。故
时
则
们
C 正确；
D．由
可知，
图
内，他
匀速下降
机械能不守恒。故
时间
们
则
D
。故
错误
选C。
【变式训练2-12】（多
）如
所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是（　　）
选
图
A．甲
中，物体
图
A 将
簧
的
程中，
弹
压缩
过
A 机械能守恒
B．乙
中，
图
A 置于光滑水平面，物体B 沿光滑斜面下滑，物体B 机械能守恒
C．丙
中，不
任何阻力
图
计
时A 加速下落，B 加速上升
程中，
过
A、B 机械能守恒
D．丁
中，小球沿水平面做匀速
运
，小球的机械能守恒
图
圆锥摆
动时
【解答】解：A、在物体A
簧的
程中，
簧和物体
压缩弹
过
弹
A
成的系
，只有重力和
力做功，系
机械能守恒。
于
组
统
弹
统
对
A，由于
性
能增加，
弹
势
则A 的机械能减小。故A
。
错误
B、物块B 沿A 下滑的
程中，
过
A 向后退，A、B
成的系
，只有重力做功，机械能守恒，
于
组
统
对
B，机械能不守恒。故B
。
错误
C、对A、B
成的系
，不
空气阻力，只有重力做功，
组
统
计
A、B
成的系
机械能守恒。故
组
统
C 正确。
D、小球在做
的
程中，重力
能和
能都不
，机械能守恒。故
圆锥摆
过
势
动
变
D 正确。
故
：
选CD。
【变式训练2-13】(多选)一
极运
身系
性
极
从水面上方的高台下落，到最低点
距水面
有数米距离．
蹦
动员
弹
蹦
绳
时
还
假定空气阻力可忽略，运
可
点，下列
法正确的是
动员
视为质
说
(　　)
A．运
到达最低点前重力
能始
减小
动员
势
终
B．
极
后的下落
程中，
力做
功，
性
能增加
蹦
绳张紧
过
弹
负
弹
势
C．
极
程中，运
、地球和
极
所
成的系
机械能守恒
蹦
过
动员
蹦
绳
组
统
D．
极
程中，重力
能的改
量与重力
能零点的
取有关
蹦
过
势
变
势
选
【答案】ABC
【解析】在运
到达最低点前，运
一直向下运
，根据重力
能的定
可知重力
能始
减小，故
动员
动员
动
势
义
势
终
选项A 正确；
极
后的下落
程中，
力方向向上，而运
向下运
，所以
力做
功，
性
能增加，故
蹦
绳张紧
过
弹
动员
动
弹
负
弹
势
选项B 正确；对
于运
、地球和
极
所
成的系
，
极
程中只有重力和
力做功，所以系
机械能守恒，故
动员
蹦
绳
组
统蹦
过
弹
统
选项C 正确；重
力做功是重力
能
化的量度，即
势
转
WG＝－ΔEp，而
极
程中重力做功与重力
能零点的
取无关，所以重力
能
蹦
过
势
选
势
的改
量与重力
能零点的
取无关，故
变
势
选
选项D
．
错误
【变式训练2-14】（多选）如
所示，一
角
图
倾
为
的足
斜面体固定在水平地面上，
量
够长
质
为
的
木
长
板
沿着斜面以速度
匀速下滑，
把
量
现
质
为
的铁块
无初速度放在
木板
长
的左端，
最
铁块
终
恰好没有从
木板上滑下。已知
长
与
之
、
间
与斜面之
的
摩擦因数均
间
动
为
，最大静摩擦力等于滑
摩擦力，取
动
重力加速度
，
下列判断正确的是（　　）
则
A．
摩擦因数
动
B．铁块
和
木板
长
共速后的速度大小为
C．
木板的
度
长
长
为
D．从
放上
木板到
和
木板共速的
程中，
铁块
长
铁块
长
过
铁块
和
木板
长
构成的系
量守恒，机械能不守恒
统动
【答案】CD
【
解】
详
A．未放置
，木板
铁块时
B 沿着斜面匀速下滑，根据平衡条件有
解得
故A
；
错误
B．铁块A 放B 上后，对A 受力分析，
加速度大小
设
为
，根据牛
第二定律得
顿
解得
方向沿斜面向下，对B 受力分析，设B 的加速度大小为
，根据牛
第二定律得
顿
解得
方向沿斜面向上，
和
木板共速
设铁块
长
时间为，则
得
和
木板共速后，速度大小
则铁块
长
故B
；
错误
C．
最
恰好没有从
木板上滑下，
木板的
度
铁块
终
长
则长
长
故C 正确；
D．铁块
与
木板
长
B 构成的系
沿斜面方向合外力等于
统
，根据
量守恒的条件分析，
足
量守恒定律，但由于
动
满
动
滑
摩擦力作用会
生
量，故系
机械能不守恒，故
动
产
热
统
D 正确；
故选CD。
【变式训练2-15】（多选）
是中国古代常
的取水
施，某次研学活
中，一种用
机
的
引
了同学
辘轳
见
设
动
电动
驱动
辘轳
发
的
趣。如
甲所示
种
的工作原理
化
，已知
的半径
们
兴
图
为该
辘轳
简
图
辘轳
为r=0.2m，
机以恒定
出功率将
量
电动
输
质
为
m=3kg 的水桶由静止开始
直向上提起，提起
程中
的角速度随
化的
像如
乙所示。忽略
的
竖
过
辘轳转动
时间变
图
图
辘轳
量以及所有摩擦阻力，取重力加速度
质
g=10m/s2，下列
法正确的是（
说
    ）
A．
机的
出功率
电动
输
P=30W
B．0~4s 内水桶上升的高度为3.95m
C．0~4s 内井
水桶的拉力逐
增大
绳对
渐
D．4s~6s 内水桶的机械能守恒
【答案】AB
【
解】
详
A．水桶被提起的最大速度为
机的
出功率
电动
输
为
故A 正确；
B．0~4s 内，根据
能定理有
动
0~4s 内水桶上升的高度为
故B 正确；
C．0~4s 内根据牛
第二定律有
顿
0~4s 内，
的角速度逐
增大，
井
水桶的拉力逐
减小，故
辘轳转动
渐
则
绳对
渐
C
；
错误
D．4s~6s 内水桶向上做匀速直
运
，速度不
，高度升高，重力
能增大，
线
动
变
势
4s~6s 内水桶的机械能增大，故D 错误。
故选AB。
【变式训练2-16】（多选）2023 年9 月22 日全国滑翔
定点
决
落幕。某运
在滑翔
作用下
直匀
伞
联赛总
赛圆满
动员
伞
竖
速下降，
滑翔
的
构
化示意
如
所示，滑翔
该
伞
结
简
图
图
伞为4
引
构，同
引
分支
角都
级牵
绳结
级牵
绳
夹
为
，同
引
级牵
中的拉力大小都相等。已知运
与装
的
量
绳
动员
备
总质
为m，重力加速度为g，取
，不
运
计
和装
受到的空气作用力及滑翔
与
引
的重力。
（　　）
动员
备
伞
牵
绳
则
A．匀速下降
程，滑翔系
机械能守恒
过
统
B．在这4
引
中，第
级牵
绳
1
引
承受的拉力最大
级牵
绳
C．第3
引
中每根承受的拉力大小
级牵
绳
为
D．若
短每
子的
度，匀速下落
第
缩
级绳
长
时
2
引
承受的拉力将增大
级牵
绳
【答案】BD
【
解】
详
A．匀速下降
程中，系
的
能不
，重力
能减小，故机械能减小，所以
过
统
动
变
势
A
；
错误
B．设1
子拉力
级绳
为F1，二
子拉力
级绳
为F2，以此
推。
类
则
以此
推。
类
则
所以第1
引
承受的拉力最大，故
级牵
绳
B 正确；
C．根据以上公式，可得
故C
；
错误
D．若
短每
子的
度，
同
引
分支
角会
大，匀速下落
第
缩
级绳
长
则
级牵
绳
夹
变
时
2
引
承受的拉力将增大，故
级牵
绳
D 正确。
故选BD。
【变式训练2-17】(多选)如
，
簧
立在地面上，正上方有一
球，从
图轻弹
竖
钢
A
自由下落，落到
处
B
开始与
簧接
处时
弹
触，此
向下
簧．小球运
到
时
压缩弹
动
C
，
簧
小球的
力与小球的重力平衡．小球运
到
处时弹
对
弹
动
D
，
处时
到达最低点．不
空气阻力，以下描述正确的有      
计
(　　)
A．小球由A 向B 运
的
程中，
于完全失重状
，小球的机械能减少
动
过
处
态
B．小球由B 向C 运
的
程中，
于失重状
，小球的机械能减少
动
过
处
态
C．小球由B 向C 运
的
程中，
于超重状
，小球的
能增加
动
过
处
态
动
D．小球由C 向D 运
的
程中，
于超重状
，小球的机械能减少
动
过
处
态
【答案】　BD
【解析】小球由A 向B 运
的
程中，做自由落体运
，加速度等于
直向下的重力加速度
动
过
动
竖
g，
于完全失重状
，此
处
态
程中只有重力做功，小球的机械能守恒，
过
A
；小球由
错误
B 向C 运
的
程中，重力大于
簧的
力，加速度向下，
动
过
弹
弹
小球
于失重状
，小球和
簧
成的系
机械能守恒，
簧的
性
能增加，小球的机械能减少，由于小球向下加
处
态
弹
组
统
弹
弹
势
速运
，小球的
能
是增大的，
动
动
还
B 正确，C
；小球由
错误
C 向D 运
的
程中，
簧的
力大于小球的重力，加速度
动
过
弹
弹
方向向上，
于超重状
，
簧
被
，
性
能
增大，小球的机械能
减小，
处
态弹
继续
压缩弹
势
继续
继续
D 正确．
【变式训练2-18】（多
）一
极运
身系
性
极
从水面上方的高台下落，到最低点
距水面
有数米距离。
选
蹦
动员
弹
蹦
绳
时
还
假定空气阻力可忽略，运
可
点，下列
法正确的是（　　）
动员
视为质
说
A．运
到达最低点前重力
能始
减小
动员
势
终
B．
极
后的下落
程中，
力
运
做
功，
性
能增加
蹦
绳张紧
过
弹
对
动员
负
弹
势
C．
极
程中，运
的机械能守恒
蹦
过
动员
D．
极
后的下落
程中，运
的
能一直减小
蹦
绳张紧
过
动员
动
【解答】解：A、在运
的
程中，运
一直下降，
重力
能一直减小，故
动
过
动员
则
势
A 正确；
B、
极
后的下落
程中，
力与运
方向相反，
力做
功，
性
能增加，故
蹦
绳张紧
过
弹
动
弹
负
弹
势
B 正确；
C、
极
程中，运
受
子拉力做功，机械能不守恒，故
蹦
过
动员
绳
C
；
错误
D、运
到达最低点前的下落
程中，速度先增大后减小，
能先增大后减小，故
动员
过
则动
D
。
错误
故
：
选AB。
【变式训练2-19】（多
）如
所示，
度系数
选
图
劲
为k 的
簧，一端系在
直放置的半径
轻质弹
竖
为R 的
点
圆环顶
P，另一端
系一
量
质
为m 的小球，小球穿在
上做无摩擦的运
。
开始
小球置于
圆环
动设
时
A 点，
簧
于自然状
，当小球运
到
弹
处
态
动
最低点
速率
时
为v，
恰好没有
力。下列分析中正确的是（　　）
对圆环
压
A．小球过B 点
，
簧的
力
时弹
弹
为mg+mv
2
R
B．小球过B 点
，
簧的
力
时弹
弹
为mg+m v
2
2 R
C．从A 到B 的
程中，小球的机械能守恒
过
D．从A 到B 的
程中，小球的机械能减少
过
【解答】解：AB、小球过B 点
，
恰好没有
力，
小球不受
的
力，由
簧的
力与重力的合力提供向心
时对圆环
压
则
圆环
弹
弹
弹
力，此
心
时圆
为P，小球做
周运
的半径
圆
动
为2R,故有：
  F﹣mg＝m v
2
2 R
，解得 F＝mg+m v
2
2 R
，故A
，
错误B 正确。
CD、
小球来
，由于
簧
小球做
功，所以小球的机械能不守恒，小球的部分机械能
化
了
簧的
性
能，
对
说
弹
对
负
转
为
弹
弹
势
而使小球的机械能减少，故C
，
错误D 正确。
故
：
选BD。
单个物体机械能守恒
题型03:机械守恒在直线运动中的应用
【典型例题1】2023 年5 月7 日，在加拿大
行的世界泳
跳水世界杯蒙特利
站
利落幕，中国跳水“梦之
”
举
联
尔
顺
队实
包
全部
现
揽
9 枚金牌的壮
，以
举
9 金1
的成
位列
牌榜第一。如
所示，某
量
银
绩
奖
图
质
为m 的运
（可
点）从
动员
视为质
距离水面高度为h 的跳台以初速度v0斜向上起跳，最
落水中。重力加速度大小
终
为g，不
空气阻力，以跳台所在水
计
平面
重力
能的参考平面，
（　　）
为
势
则
A．运
在空中运
的机械能先减小后增大
动员
动时
B．运
入水
的
能
动员
时
动
为1
2 m v0
2+mgh
C．运
入水
的机械能
动员
时
为1
2 mv0
2−mgh
D．运
入水
的重力
能
动员
时
势
为mgh
【解答】解：A、不
空气阻力，运
在空中运
只有重力做功，其机械能守恒，故
计
动员
动时
A
；
错误
B、以跳台所在水平面
重力
能的参考平面，根据机械能守恒定律得
为
势
1
2 mv0
2=Ek﹣mgh
解得运
入水
的
能
：
动员
时
动
为Ek = 1
2 m v0
2+mgh，故B 正确；
C、以跳台所在水平面
重力
能的参考平面，
运
的机械能
为
势
则
动员
为1
2 mv0
2，由于机械能守恒，所以运
入水
的
动员
时
机械能也为1
2 mv0
2，故C
；
错误
D、以跳台所在水平面
重力
能的参考平面，运
入水
的重力
能
为
势
动员
时
势
为﹣mgh，故D
。
错误
故
：
选B。
【变式训练3-1】（多选）把甲、乙两球从水平地面上以相同的初
能同
向空中抛出，不
空气阻力，两球的
能
动
时
计
动
随高度h
化的关系如
所示，它
所到达的最大高度相同，以地面
零
能面。下列
法正确的是（　　）
变
图
们
为
势
说
A．甲球的初速度比乙球小
B．甲球
量比乙球小
质
C．在抛出后的同一
刻，甲球重力
能比乙球小
时
势
D．两球速度大小相同
，乙球比甲球高
时
【答案】AD
【
解】
详
A．由
可知，当两球达到最大高度
，甲球
能
零，甲球
直上抛运
，而乙球在最大高度
能不
零
图
时
动
为
为竖
动
时动
为
，
可知乙球
斜上抛运
；
甲球有
为
动对
解得
乙球初速度与
直方向的
角
设
竖
夹
为
，
有
则
由于
可得
故A 正确；
B．两球初
能相等，根据
能表达式
动
动
由于甲球的初速度比乙球小，可知甲球
量比乙球大，故
质
B
；
错误
C．由A
分析可知
选项
在
直方向上，同一
刻，两球离地面高度相同，甲球
量大于乙球
量，
甲球重力
能比乙球大，故
竖
时
质
质
则
势
C
；
错误
D．根据机械能守恒，
甲球有
对
乙球有
对
当
，两式相减可得
整理得
由于
，可得
故D 正确。
故选AD。
【变式训练3-2】（多选）如
所示
高空滑索运
，游客利用
通
滑
吊沿
斜滑索下滑。假
某段下
图
为
动
轻绳
过轻质
环悬
倾
设
滑
程中游客、滑
和
整体匀速下滑，速度大小
过
环
轻绳为
为v，整体重力为G，不
空气阻力，在
段下滑
程中下列
计
这
过
说
法正确的是（    ）
A．游客的机械能守恒
B．
保持
直
轻绳
竖
C．整体重力
能的减少量大于系
能的增加量
势
统动
D．重力的功率为
【答案】BC
【
解】
详
A．匀速下滑
程中，
能保持不
，重力
能减小，因此机械能减少，
过
动
变
势
A
；
错误
B．由于游客匀速下滑，人受到重力与
子拉力平衡，因此
沿
直方向，
绳
轻绳
竖
B 正确；
C．由于
能保持不
，而重力
能减小，因此整体重力
能的减少量大于系
能的增加量，
动
变
势
势
统动
C 正确；
D．由于游客沿
斜滑索下滑，因此重力的功率
倾
D
。
错误
故选BC。
题型04：机械能守恒定律在平抛运动中的应用
【典例例题1】一同学将
球水平推出，不
空气阻力和
的影响，
球在平抛运
程中（
铅
计
转动
铅
动过
    ）
A．机械能一直增加
B．加速度保持不变
C．速度大小保持不变
D．被推出后瞬
能最大
间动
【答案】B
【
解】
详
A．
球做平抛运
，
受重力，故机械能守恒，
铅
动仅
A
；
错误
B．
球的加速度恒
重力加速度保持不
，
铅
为
变B 正确；
CD．
球做平抛运
，水平方向速度不
，
直方向做匀加速直
运
，根据运
的合成可知
球速度
大，
能
铅
动
变竖
线
动
动
铅
变
则动
越来越大，CD
。
错误
故选B。
【典例例题2】如
所示，在高
图
1.5 m 的光滑平台上有一个
量
质
为2 kg 的小球被一
拴在
上，球与
之
有
细线
墙
墙
间
一根被
的
簧．当
断
，小球被
出，小球落地
的速度方向与水平方向成
压缩
轻质弹
烧
细线时
弹
时
60°角，
簧
则弹
被
具有的
性
能
压缩时
弹
势
为(g 取10 m/s2)
(　　)
A．10 J　　　　　　　　　 B．15 J            C．20 J                      D．25 J
【答案】A
【解析】由h＝gt2和vy＝gt 得：vy＝ m/s，
落地
，
时tan 60°＝可得：v0＝＝ m/s，
由机械能守恒得：Ep＝mv，
可求得：Ep＝10 J，故A 正确．
【典例例题3】如
，位于
直平面内的光滑
道由四分之一
弧
图
竖
轨
圆
ab 和抛物线bc
成，
弧半径
组
圆
Oa 水平，b 点为
抛物
点．已知
线顶
h＝2 m，s＝ m．取重力加速度大小g＝10 m/s2.
(1)一小
套在
道上从
环
轨
a 点由静止滑下，当其在bc 段
道运
，与
道之
无相互作用力，求
弧
道的半径；
轨
动时
轨
间
圆
轨
(2)若
从
环
b 点由静止因微小
而开始滑下，求
到达
扰动
环
c 点
速度的水平分量的大小．
时
【答案】(1)0.25 m　(2) m/s
【解析】(1)
到
设环
b 点
速度
时
为vb，
弧
道半径
圆
轨
为r，小
从
环
a 到b 由机械能守恒有
mgr＝mv
①
与
环
bc 段
道
无相互作用力，从
轨
间
b 到c
做平抛运
环
动
h＝gt2
②
s＝vbt
③
立可得
联
r＝
④
代入数据得r＝0.25 m.
(2)
从
环
b 点由静止下滑至c 点
程中机械能守恒，
到
过
设
c 点
速度
时
为vc，则
mgh＝mv
⑤
在bc 段两次
程中
沿同一
迹运
，
同一点
速度方向相同
过
环
轨
动经过
时
在
设环
c 点
速度与水平方向
的
角
时
间
夹
为θ，
做平抛运
则环
动时
tan θ＝
⑥
vy＝gt
⑦
立②③⑥⑦式可得
联
tan θ＝2
⑧
从
则环
b 点由静止开始滑到c 点
速度的水平分量
时
vcx为vcx＝vccos θ ⑨
立⑤⑧⑨三式可得
联
vcx＝ m/s.
【变式训练4-1】取水平地面
重力
能零点．一物
从某一高度水平抛出，在抛出点其
能与重力
能恰好相
为
势
块
动
势
等．不
空气阻力，
物
落地
的速度方向与水平方向的
角
计
该
块
时
夹
为
(　　)
A.                B.             C.           D.
【答案】B
【解析】
物体水平抛出的初速度
设
为v0，抛出
的高度
时
为h，则mv＝mgh，则v0＝.物体落地的
直速度
竖
vy＝，
落地
则
速度方向与水平方向的
角
时
夹
tan θ＝＝＝1，则θ＝，选项B 正确．
【变式训练4-2】如
所示，将一
量
图
质
为m 的石
从离地面
块
h 高
以初速度
处
斜向上抛出，初速度与水平方向的夹
角为
。若空气阻力可忽略，
减小石
落地
的速度，下列措施可行的是（　　）
为
块
时
A．
减小
仅
m
B．
减小
仅
C．
增大
仅
D．
增大
仅
h
【答案】B
【
解】若空气阻力可忽略，石
运
程机械能守恒，
有
详
块
动过
则
整理得
可知小石
落地
的速度与初速度大小、离地面高度有关，减小初速度或离地面高度，小石
落地
的速度减小。
块
时
块
时
故选B。
【变式训练4-3】如
甲所示
某排球运
球
将排球
出
的情形，球从
出到直接落到
方
地的整个运
图
为
动员发
时
击
时
击
对
场
程速率随
化的
律如
乙所示，
中所
物理量均已知，重力加速度大小
动过
时间变
规
图
图
标
为g，不
空气阻力，
下列判
计
则
断正确的是（　　）
A．排球从
出运
到最高点的
击
动
时间为
B．排球运
程中离地的最大高度
动过
为
C．排球从
出点到落地点的位移
击
为
D．排球从
出到落地
程中的速度
化量大小
击
过
变
为
【答案】B
【
解】
详
A．
球运
到最高点
刻
设
动
对应时
为
，水平方向速度为
，由速度的分解可知
在
直方向
竖
解得
故A
；
错误
B．排球从最高点到落地，根据机械能守恒有
解得最大高度
故B 正确；
C．排球从
出点到落地点的水平位移
击
为
故C
；
错误
D．排球从
出到落地
程中的速度
化量大小
击
过
变
为
故D
。故
错误
选B。
【变式训练4-4】
球运
做定点投
，
球从同一位置投出，且初速度大小相等，第
篮
动员
篮训练篮
1 次投
球直接
篮篮
进篮
筐，第2 次
球在
板上反
后
筐，
球反
前后垂直
板方向分速度等大反向，平行于
板方向分速度不
，
篮
篮
弹
进
篮
弹
篮
篮
变轨
迹如
所示，忽略空气阻力和
球撞
板的
，关于两次投
法正确的是（　　）
图
篮
击篮
时间
篮说
A．两次投
，
球从离手到
筐的
相同
篮篮
进
时间
B．
球第
篮
1 次上升的最大高度比第2 次的大
C．
球
篮
经过a 点
，第
时
1 次的
能比第
动
2 次的大
D．
球两次
筐
，在
直方向分速度相同
篮
进
时
竖
【答案】B
【
解】
详
B．第2 次
球在
板上反
后
筐，
球反
前后垂直
板方向分速度等大，若没有
板，
球水平位移
篮
篮
弹
进
篮
弹
篮
篮
篮
较
大，又由于两次初速度大小相等，所以第2 次
球水平初速度
大，
直分速度
小，
球第
篮
较
竖
较
篮
1 次上升的最大高度比
第2 次的大，故B 正确；
A．
直方向上，根据
竖
第1 次
球从离手到
筐的
大，故
篮
进
时间较
A
；
错误
C．初
能相等，
球
动
篮
经过a 点
，重力
能相等，根据机械能守恒，第
时
势
1 次的
能等于第
动
2 次的
能，故
动
C
；
错误
D．
球两次
筐
，水平方向分速度不同，在
直方向分速度不同，故
篮
进
时
竖
D
。
错误
故选B。
【变式训练4-5】如
所示，一可
点的小石
从屋
的
图
视为质
块
顶
A 点由静止
下，沿直
匀加速到屋檐上的
滚
线
B 点后做
抛体运
，落到水平地面上的
动
C 点。已知屋
到地面的高度
顶
为5.92m，屋檐到地面的高度为2.72m，
与水平方向
的
角
夹
为
，不
一切阻力，取重力加速度大小
计
，下列
法正确的是（　　）
说
A．小石
离开屋檐
的速度大小
块
时
为
B．小石
从
块
A 点运
到
动
B 点的时间为1.2s
C．小石
从
块
B 点运
到
动
C 点的时间为0.5s
D．B、C 两点
的水平距离
间
为
【答案】D
【
解】
详
A．根据机械能守恒定律有
解得
故A
；
错误
B．小石
从
块
A 点运
到
动
B 点的加速度大小
从A 点运
到
动
B 点的时间
故B
；
错误
C．小石
在
块
B 点的水平分速度
直分速度
竖
有
则
解得
故C
；
错误
D．依
意，
题
B、C 两点
的水平距离
间
故D 正确。
故选D。
【变式训练4-6】如
所示，小球
图
a、b 的
量分
是
质
别
m 和2m，a 从
角
倾
为30°的光滑固定斜面的
端无初速下滑，
顶
b
从斜面等高
以初速度
处
v0平抛，比较a、b 落地的运
程有（
动过
    ）
A．所用的
相同
时间
B．a、b 都做匀
速运
变
动
C．落地前的速度相同
D．速度的
化量相同
变
【答案】B
【
解】
详
AD．设a、b 所
的高度
处
为h，a 沿斜面做匀加速直
运
，加速度
线
动
为
根据位移公式有
立解得
联
b 做平抛运
，落地的
动
时间为
故A
；
错误a、b 运
程中
动过
速度的
化量
变
为
，
速度的
化量不相同，故
变
D
。
错误
B．a、b 运
程中加速度都不
，所以
动过
变
a、b 都做匀
速运
，故
变
动
B 正确；
C．a、b 运
程中，机械能守恒，
有
动过
则
，
可得
故C
；
错误
故选B。
【变式训练4-7】
球是一
融合力量、平衡和技巧的
技运
。如
，某运
在
中两手握着
球上
的把
链
项
竞
动
图
动员
训练
链
铁链
手
球旋
。
球旋
到离地高
带动链
转链
转
的A 点脱手，脱手
速度大小
时
为
，方向与水平面成θ 角斜向
上
出。
球落地
速度与水平而
角
飞
链
时
夹
为β，且
（θ、β 未知），不
空气阻力和
的影响，
计
铁链
。求：
（1）
球落地
速度的大小；
链
时
（2）
球脱手后在空中运
的
；
链
动
时间
（3）
球脱手点
链
A 与落地点
的水平距离。
间
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【
解】（
详
1）
球脱手后做斜上抛运
，根据机械能守恒定律
链
动
解得
（2）
球脱手后做斜上抛运
，
运
链
动设
动时间为，抛出点和落地点水平速度相等，即
在抛出点
直方向上的分速度大小
竖
为
在落地点
直方向上的分速度大小
竖
为
解得
（3）
球在水平方向上做匀速直
运
，
球脱手点
链
线
动链
A 与落地点
的水平距离
间
解得
题型05：机械能守恒定律在圆周运动中的应用
【典例例题1】固定于
直平面内的光滑大
上套有一个小
，小
从大
端
竖
圆环
环
环
圆环顶
P 点由静止开始自由下滑，在
下滑
程中，小
的速率正比于（　　）
过
环
A．它下降的高度
B．它减少的重力
能
势
C．它到P 点的距离
D．它滑
的弧
过
长
【答案】C
【解析】如
所示
图
下降的高度
设圆环
为，
的半径
圆环
为
，它到P 点的距离为
，根据机械能守恒定律得
由几何关系可得
，
立可得
联
可得
在下滑
程中，小
的速率正比于它到
过
环
P 点的距离。
故选C。
【典例例题2】如
所示，
量
图
质
为m 的小球用
接，
子另一端固定在光滑固定斜面上的
轻质细绳连
绳
O 点，斜面
角
倾
为θ，且tanθ= 3
4
，重力加速度为g。将小球拉至与O 点等高的位置由静止
放，在此后的运
程中，
子拉力的
释
动过
绳
最大
（　　）
值为
A．1.8mg
B．2mg
C．2.25mg
D．3mg
【解答】解：设细绳长为L，重力沿斜面向下分力为mgsinθ，小球从与O 点等高位置运
到最低点，由机械能守恒
动
定律得
mgLsinθ= 1
2 mv
2
小球
最低点
子拉力最大，
经过
时绳
设为Tm，根据牛
第二定律得
顿
T m−mgsinθ =m v
2
L
 
立可得：
联
Tm＝3mgsinθ
由
意可得：
题
sinθ = 3
5
，代入上式可得：Tm＝1.8mg，故A 正确，BCD
。
错误
故
：
选A。
【典例例题3】（多选）如
所示，半径
图
为R 外表面光滑的
柱体固定放置在水平地面上，
圆
O 是
心，
圆
AC、BD 分
是
别
直直径、水平直径，在柱面上的
竖
P 点与地面之
搭一个斜面，斜面正好与
柱面相切于
间
圆
P 点。一
量
质
为m 的小滑块
（
点）从
柱体面上的
视为质
圆
A 点
得一个水平初速度，滑
沿着柱面下滑到
获
块
P
好与柱面之
没有
力，滑
从
时刚
间
弹
块
P 离开柱面后沿着斜面运
到地面上的
动
Q 点，已知
，物
与斜面
的
摩擦因数
块
间
动
为
 ，
，重力加速度为g，下列
法正确的是（　　）
说
A．A、P 两点的高度差为
B．滑
在
块
A 点
得初速度后的瞬
，
获
间A 点
滑
的支持力
对
块
为
C．滑
在
块
P 点的速度为
D．滑
运
到
块
动
Q 点
的速度
时
为
【答案】BD
【
解】
详
A．由几何关系可得A、P 两点的高度差为
A
；
错误
BC．
滑
在
设
块
A 点
得的初速度
获
为
，运
到
动
P 点
的速度
时
为
，A 点
滑
的支持力
对
块
为
，滑
从
块
A 到P 由机械
能守恒定律可得
当滑
运
到
块刚
动
P 点
，柱面
滑
的支持力
好
时
对
块
刚
为0，把重力分
沿着
别
OP 和垂直OP 分解，由向心力的公式可得
合解得
综
B 正确、C
；
错误
D．P、Q 两点
的高度差
间
为
P、Q 两点
的距离
间
为
滑
从
块
P 运
到
动
Q 点，由
能定理可得
动
合解得
综
D 正确。故选BD。
【点睛】
直平面内的
周运
与斜面
的
合，考
周运
的相关知
、机械能守恒、
能定理等知
，重点考
竖
圆
动
问题
综
查圆
动
识
动
识
物理
念和科学思
等核心素养。
查
观
维
【典例例题4】如
所示，在
直平面内有一固定光滑
道，其中
图
竖
轨
AB 是为R 的水平直
道，
轨
BCD 是
心
圆
为O、半径为R 的
弧
道，两
道相切于
圆
轨
轨
B 点．在外力作用下，一小球从A 点由静止开始
做匀加速直
运
，到达
线
动
B 点
撤除外力．已知小球
好能沿
道
最高点
时
刚
圆轨
经过
C，重力加速度大小为g
求：
(1)小球在AB 段运
的加速度的大小；
动
(2)小球从D 点运
到
动
A 点所用的
．
时间
【答案】　(1)g　(2)(－) 
【解析】　(1)
小球在
设
C 点的速度大小为vC，根据牛
第二定律有
顿
mg＝m ①
小球从B 点到C 点机械能守恒，设B 点
小球的速度
处
为vB，有mv＝mv＋2mgR ②
小球在AB 段由静止开始做匀加速运
，
加速度大小
动设
为a，由运
学公式有
动
v＝2aR ③
由①②③式得a＝g.④
(2)
小球在
设
D
的速度
处
为vD，下落到A 点
的速度
时
为v，根据机械能守恒有mv＝mv＋mgR ⑤
mv＝mv2 ⑥
从
设
D 点到A 点所用的时间为t，由运
学公式得
动
gt＝v－vD ⑦
由③④⑤⑥⑦式得t＝(－) .
【典例例题5】如
所示，在
直平面内有由
图
竖
弧
圆
AB 和
弧
圆
BC
成的光滑固定
道，两者在最低点
组
轨
B 平滑
接．
连
AB 弧的半径为R，BC 弧的半径为.一小球在A 点正上方与A 相距
由静止开始自由下落，
处
经A 点沿
弧
道运
．
圆
轨
动
(1)求小球在B、A 两点的
能之比；
动
(2)通
算判断小球能否沿
道运
到
过计
轨
动
C 点．
【答案】　(1)5∶1　(2)能，理由
解析
见
【解析】　(1)
小球的
量
设
质
为m，小球在A 点的
能
动
为EkA，由机械能守恒得
EkA＝mg·①
小球在
设
B 点的
能
动
为EkB，同理有
EkB＝mg·②
由①②式得＝5 ③
(2)若小球能沿
道运
到
轨
动
C 点，小球在C 点所受
道的正
力
轨
压
FN
足
应满
FN≥0 ④
小球在
设
C 点的速度大小为vC，由牛
第二定律和向心加速度公式有
顿
FN＋mg＝m ⑤
由④⑤式得vC≥
全程由机械能守恒定律得
对
mg·＝mvC′2 ⑦
则vC′＝
vC 的最小
恰好等于
值
vC′，即小球恰好可以沿
道运
到
轨
动
C 点．
【变式训练5-1】一小球以一定的初速度从
示位置
入光滑的
道，小球先
入
道
图
进
轨
进
圆轨
1，再
入
道
进
圆轨
2，圆轨
道1 的半径为R，
道
圆轨
2 的半径是
道
轨
1 的1.8 倍，小球的
量
质
为m，若小球恰好能通
道
过轨
2 的最高点B，
小球
则
在
道
轨
1 上经过A
道的
力
处时对轨
压
为(　　)
A．2mg　　               B．3mg              C．4mg             D．5mg
【答案】C
【解析】小球恰好能通
道
过轨
2 的最高点B
，有
时
mg＝m，小球在
道
轨
1 上经过A
，有
处时
F＋mg＝m，根据机械能
守恒定律，有1.6mgR＋mv＝mv，解得F＝4mg，由牛
第三定律可知，小球
道的
力
顿
对轨
压
F′＝F＝4mg，选项C 正
确．
【变式训练5-2】某同学利用模
件研究小球从半径
拟软
为R 的半
弧面
端以不同速率水平抛出，已知重力加速度
圆
顶
为g，不
一切阻力，小球沿
弧面运
的
弧
的
心角
计
圆
动
圆
对应
圆
θ 与抛出速率的平方v2的关系，下列
像可能正确的是
图
（　　）
  
A．
  
B．
  
C．
  
D．
  
【答案】D
【解析】小球沿
弧面运
的
弧
的
心角
圆
动
圆
对应
圆
θ
恰好离开弧面，
此
小球的速度
时
设
时
为v1，根据牛
第二定律得
顿
小球从抛出到离开弧面，根据机械能守恒定律得
解得
故选D。
【变式训练5-3】如
所示，一
磁性
道固定在
直平面内，
道半径
图
强
圆轨
竖
轨
为R，A、B 两点分
道的最高点与最
别为轨
低点，
量
质
为m 的小球沿
道外
做完整的
周运
，球始
受大小恒
轨
侧
圆
动
终
为F、方向始
指向
心
终
圆
O 的磁性引力，不计
摩擦和空气阻力，重力加速度为g。
（　　）
则
A．球在A 点的最小速度为❑√gR
B．运
程中球的机械能不守恒
动过
C．球从A 运
到
动
B
程中，受到的
力逐
增大
过
弹
渐
D．F 的最小值为5mg
【解答】解：ABD、
点要能做完整的
周运
，在
质
圆
动
B 点不脱
即可，当
轨
vA＝0，到达B
速度最小。
处
从A 点到B 点，只有重力做功，机械能守恒，有：mg•2R= 1
2 m vB
2
点在
质
B 点
，由牛
第二定律得：
时
顿
FB﹣mg﹣FN＝mvB
2
R
解得在B 点
点受到的磁性引力大小：
时质
FB＝5mg+FN
当FN＝0
，磁性力最小，
时
则F 的最小值为Fmin＝5mg
故AB
，
错误D 正确；
C、
点能完成
周运
，
点在
质
圆
动质
A 点：根据牛
第二定律有
顿
F+mg﹣F'N= mv A
2
R
点从
质
A 点到B 点
程，根据机械能守恒定律有
过
mg•2R= 1
2 mvB
2 −1
2 mv A
2
点在
质
B 点
，由牛
第二定律得：
时
顿
FB﹣mg﹣FN＝mvB
2
R
立解得：
联
F'N﹣FN＝6mg
即球在A 点的
力大于
弹
B 点的
力
弹
故C
；
错误
故
：
选D。
【变式训练5-4】如
所示，由光滑
管
成的
道固定在
直平面内，
图
细
组
轨
竖
AB 段和BC 段是半
径为R 的四分之一
弧，
圆
CD 段
平滑的弯管．一小球从管口
为
D
由静止
放，最后能
从
处
释
够
A 端水平抛出
落到地面上．关于管口D 距离地面的高度必
足的条件
须满
(　　)
A．等于2R         B．大于2R         C．大于2R 且小于R         D．大于R
【答案】B
【解析】由机械能守恒定律得mg(H－2R)＝mv，因
管可以提供支持力，所以到达
细
A 点的速度大于零即可，即vA＝＞
0，解得H＞2R，故选B.
【变式训练5-5】如
所示，
直
道
图
竖
轨
MA 与四分之一
弧
道
圆
轨
ABC 平滑
接且在同一
直面内，
弧
道
心
对
竖
圆
轨
圆
为
O，OC
直，
连线竖
OB
与
直方向
角
连线
竖
夹
为
，
靠
紧
MA 的一
簧下端固定在水平面上，
簧上放有一
轻质弹
弹
质
量为
的小球，
用外力将小球向下
慢
至
现
缓
压
P 点后无初速
放，小球恰能运
到
释
动
C 点。已知PA 高度差为
0.8m，
弧
道半径
圆
轨
为1.0m，不
道摩擦和空气阻力，小球的半径
小于
弧
道的半径，
簧与小球不拴接，重
计轨
远
圆
轨
弹
力加速度g 取
（
，
），
（　　）
则
A．小球离开
簧
速度最大
弹
时
B．
放小球
，
簧
性
能
刚释
时弹
弹
势
为36J
C．若小球
量改
质
为5.5kg，仍从P 点
放小球后，小球能沿
道返回
释
轨
P 点
D．若小球
量改
质
为2.3kg，仍从P 点
放小球后，小球将从
释
B 点离开
弧
道
圆
轨
【答案】D
【
解】
详
A．小球上升到
簧
力大小等于重力
，小球速度最大，故
弹
弹
时
A
；
错误
B．小球恰能过C 点，
有
则
可得
所以
簧的最大
性
能
弹
弹
势
为
故B
；
错误
C．小球
量
质
为
，小球肯定到不了
时
C 点，而最大
性
能
弹
势
小球到达A 点
有速度，即能
入
弧
道，所以小球将在
弧
道
时还
进
圆
轨
圆
轨
A、C 之
某点离开
弧
道做斜上抛运
，
间
圆
轨
动
不能沿
道返回
轨
P 点，故C
；
错误
D．
小球
量
设
质
为
恰好从
时
B 点离开，
在
则
B 点有
解得
根据机械能守恒定律可得
解得
故D 正确。故选D。
【变式训练5-6】一般的曲
运
可以分成很多小段，每小段都可以看成
周运
的一部分，即把整条曲
用一系
线
动
圆
动
线
列不同半径的小
弧来代替，如
圆
图3 甲所示，曲
上
线
A 点的曲率
定
：通
圆
义为
过A 点和曲
上
线
紧邻A 点两
的两点作
侧
一个
，在极限情况下，
个
叫作
圆
这
圆
A 点的曲率
，其半径叫作
圆
A 点的曲率半径。
将一物体沿着与水平面成
现
α 角的
方向以某一速度从地面抛出，如
乙所示，其
迹最高点
图
轨
P 离地面的高度为h，曲率半径为，忽略空气阻力，则tan α
的值为(　　)
A. 
 B. 
C．2  
D．4
【答案】　C
【解析】　在P 点
，重力恰好作
向心力，
足
时
为
满
mg＝m，又由
意可知
题
R＝，
立可解得
联
vP＝，vP 即
物体抛出
速
为
时
度的水平分量，
物体抛出
速度的
直分量
设
时
竖
为vy，抛出
的速度
时
为v，由机械能守恒定律可得mv2＝mgh＋mv，又
v2＝v＋v，
立可得
联
vy＝，物体抛出
速度
时
v 与水平面所成α 角
足
满
tan α＝，代入数据可得tan α＝2，C 正确。
【变式训练5-7】如图1，在
直平面内固定一光滑的半
形
道
竖
圆
轨
，半径为
，小球以一定的初速度从最低
点A 冲上
道，
轨
图2 是小球在半
形
道上从
圆
轨
A 运
到
动
的
程中，其速度平方与其
高度的关系
像。已知小
过
对应
图
球在最高点
受到
道的作用力
轨
为
，空气阻力不
，
计
点为
道中点，重力加速度
轨
取
，下列
法
说
错
的是（　　）
误
  
A．最高点
小球所受的合外力
直向下
时
竖
B．图2 中
C．小球在B 点受到
道作用力
轨
为
D．小球
量
质
为
【答案】C
【
解】
详
A．在最高点，小球所受合外力提供向心力，故方向
直向下，
竖
A 正确，不符合
意；
题
D．由图2 可得在最高点，小球的速度
，由牛
第二定律
顿
可解得小球的
量
质
故D 正确，不符合
意；
题
B．小球从A 运
到
动
的
程中，由机械能守恒定律
过
解得
故B 正确，不符合
意；
题
C．小球从A 运
到
动
B 的
程中，由机械能守恒定律
过
解得
小球在B 点受到
道作用力
轨
为
故C
，符合
意。
错误
题
故选C。
【变式训练5-8】如
甲，
图
O 点
的固定
点，将力
感器接在
球与
为单摆
悬
传
摆
O 点之
。
将
球拉到
间现
摆
A 点，
放
球
释
摆
，
球将在
直面内的
摆
竖
A、C 之
来回
，其中
间
摆动
B 点
运
中的最低位置。
乙表示
球的拉力大小
为
动
图
细线对摆
F 随时间
t
化的曲
，
中
变
线图
球从
为摆
A 点开始运
的
刻，
动
时
g 取10
，
球的
量是（　　）
则摆
质
  
A．0.05kg
B．0.10kg
C．0.18kg
D．0.21kg
【答案】B
【
解】在
详
A 点
在B 点
从A 到B
另周期
立可得
联
故选B。
【变式训练5-9】（多选）如
，一根
图
长为L 的
杆一端固定在光滑
上，另一端固定一
量
轻
铰链
质
为m 的小球（可视为质
点），开始
，
杆位于
直方向，受
微
后由静止开始向左自由
，小球与
杆始
在同一
直平面内运
，
时轻
竖
轻
扰动
转动
轻
终
竖
动
在某
刻
杆与
直方向的
角
时
轻
竖
夹
记为α，取重力加速度为g，关于
程中小球的以下
法正确的是（　　）
转动过
说
A．
直分速度先增大后减小
竖
B．重力的最大功率为
C．水平分速度最大值为
D．当
，
杆
小球有沿杆方向向下的拉力
时轻
对
【答案】BD
【
解】
详
A．小球受杆沿杆方向的支持力或拉力作用，
直向下的重力作用，
程中，杆
小球不做功，重力一直做
竖
转动过
对
正功，
直方向速度一直增加，故
竖
A
；
错误
B．杆
小球不做功，重力
小球做正功，当
对
对
，由机械能守恒定律有
时
解得
重力的最大功率为
故B 正确；
C．杆
小球的作用力由支持力逐
拉力，
在水平方向
向左的推力逐
对
渐变为
则
为
渐变为0，再
向右的拉力，杆
小球
变为
对
无作用力
水平方向速度最大，此
小球做
周运
需要的向心力
时
时
圆
动
为
由机械能守恒定律可得
解得
，
所以
故C
；
错误
D．当
，小球已越
速度最大位置，此
杆
小球有沿杆方向向下的拉力，故
时
过
时轻
对
D 正确。故选BD。
【变式训练5-10】如
，光滑水平面
图
AB 与
直面内的粗糙半
形
在
竖
圆
导轨
B 点相接，
半径
导轨
为R。一个
量
质
为m 的
物体将
簧
至
弹
压缩
A 点后由静止
放，在
力作用下物体
得某一向右速度后脱离
簧，它
释
弹
获
弹
经过B 点的速度为v1，之
后沿半
形
运
，到达
圆
导轨
动
C 点的速度为v2，重力加速度为g。
（1）求
簧
至
弹
压缩
A 点
的
性
能。
时
弹
势
（2）物体经过C 点
的
力。
时对导轨
弹
（3）求物体沿半
形
运
程中阻力所做的功。
圆
导轨
动过
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【
解】（
详
1）由能量守恒可知，
簧的
性
能
化
物体的
能，所以
簧
至
弹
弹
势
转
为
动
弹
压缩
A 点
的
性
能
时
弹
势
为
（2）物体经过C 点
，根据牛
第二定律
时
顿
根据牛
第三定律，物体
顿
经过C 点
的
力
时对导轨
弹
为
（3）
物体，
对
B→C，由
能定理有解得
动
解得物体沿半
形
运
程中阻力所做的功
圆
导轨
动过
为
【变式训练5-11】如
所示，
方形物
放置在光滑水平地面上，两
直
板（
面光滑）
在物
的两
并固定在
图
长
块
竖
挡
侧
夹
块
侧
地面上，
把足
的
硬杆
直固定在物
上，一根不可伸
的
现
够长
轻质
竖
块
长
长为L 的
一端固定在杆的上端
轻质细线
O 点，另
一端与
量
质
为m 的小球（
点）相
，把小球拉到
视为质
连
O 点等高
，
好拉直，
使小球
得
直向下的初速度
处细线刚
现
获
竖
，
使小球能在
直平面内做完整的
周运
，当小球到达最高点
，物
地面的
力恰好
竖
圆
动
时
块对
压
为0，且此
小球的加速度
时
大小为9g。已知小球在运
的
程中与杆不
生碰撞，重力加速度
动
过
发
为g，忽略空气的阻力。
（1）求物
的
量以及小球
得的
直向下的初速度大小；
块
质
获
竖
（2）若小球运
一周到达
动
O 点的等高点
，立即撤掉两
板，物
一直在光滑的水平面上运
，求当小球再次到达
时
侧挡
块
动
最低点
物
的速度大小及
的拉力大小。
时
块
细线
【答案】（1）
，
；（2）
，
【
解】
详
（1）
物
的
量
设
块
质
为M，小球在最高点
由牛
第二定律可得
时
顿
物
由二力平衡可得
对
块
解得
小球的初速度大小
设
为
，小球在最高点速度的大小为v
由向心加速度的定
可得
义
由机械能守恒定律得
解得
（2）若小球运
一周到达
动
O 点的等高点
，立即撤出两
板，当小球再次到达最低点
，
小球与物
的速度大小
时
侧挡
时设
块
分别为
，
的拉力大小
细线
为F，由机械能守恒定律可得
两物体
成的系
在水平方向
量守恒且
组
统
动
为0，
有
则
解得
由向心力的公式以及牛
第二定律可得
顿
解得
【变式训练5-12】如
所示，不可伸
的
下方
挂一可
点的小球，另一端固定在
图
长
轻质细线
悬
视为质
点小球的
量
质
为
，
的
度
细线
长
为
，在
挂点的
直
上距
挂点
过悬
竖
线
悬
的距离为
（
处
）的
点有一个固定的
子，当小球
钉
摆
，
会受到
子的阻
，当
动时细线
钉
挡
一定而
取不同
，阻
后小球的运
情况将不同，
将小球拉到位于
直
值时
挡
动
现
竖
线
的左方（
球的高度不超
摆
过
点）然后放手，令其自由
，重力加速度
摆动
为
。
（1）将
拉至水平后
放，若
细线
释
，求当小球运
到
子右
与
直方向
角
动
钉
侧细线
竖
夹
为
（
）
，
承
时细线
受的拉力；
（2）如果
被
子阻
后，小球恰能
中
子，
求
细线
钉
挡
够击
钉
试
的最小
。
值
【答案】（1）
；（2）
【
解】（
详
1）根据机械能守恒，可得
承受的拉力
设细线
为F，由牛
第二定律可得
顿
立，解得
联
（2）
受阻后在一段
内小球做
周运
，
在
段
内任一
刻的速度
细线
时间
圆
动设
这
时间
时
为v，如
所示
图
用表示此
与重力方向之
的
角，
有
时细线
间
夹
则
运
程中机械能守恒，令
动过
表示
在起始位置
与
直方向的
角，取
摆线
时
竖
夹
O 点
能零点，
有关系
为势
则
小球受阻后，如果后来
球能
中
子，
必定在某位置
开始松弛，此
摆
击
钉
则
时摆线
时T＝0
此后小球
在重力作用下作斜抛运
。
在
位置
球速度
仅
动设
该
时摆
，
与
直
的
角
摆线
竖
线
夹
，
有
则
立，可得
联
要求作斜抛运
的小球
中
子，
足下列关系
动
击
钉
则应满
，
解得
可知
立，解得
联
式中越大，
越小，x 越小，最大值为
，由此可求得x 的最小
足
值满
解得
【变式训练5-13】如
，
量
图质
为
的匀
凹槽放在光滑水平地面上，凹槽内有一个半
形的光滑
道，
的半
质
椭圆
轨
椭圆
和半短
分
长轴
轴
别为
和
，
水平，短
直．
量
长轴
轴竖
质
为
的小球，初始
刻从
道
的右端点由静止开始
时
椭圆轨
长轴
下滑．以初始
刻
中心的位置
坐
原点，在
直平面内建立固定于地面的直角坐
系
时
椭圆
为
标
竖
标
，
位于
椭圆长轴
轴
上。整个
程凹槽不翻
，重力加速度
过
转
为
。
（1）在平面直角坐
系
标
中，求出小球运
的
迹方程；
动
轨
（2）固定凹槽，在y
左
适当位置
凹槽
行适当切割保留剩余部分（如
所示）并在切割位点接上一个
角
轴
侧
对
进
图
倾
为30°
的足
斜面。在保
小球
出
速度与水平方向
角大于
够长
证
飞
时
夹
30°情况下，求：
①切割位点横坐标为-x0
，小球
出的速度
时
飞
v0；
②小球落在斜面最
点
的切割位点的横坐
。
远
时
标
【答案】（1）
；（2）①
；②
【
解】（
详
1）
某
刻，小球水平向左移
的位移大小
设
时
动
x1，凹槽水平向右移
的位移大小
动
为x2，此
小球的坐
（
时
标为x，
y），由于小球与凹槽
成的系
在水平方向
足
量守恒，利用人船模型可知
组
统
满
动
而
利用
方程可知
椭圆
立解得小球运
的
迹方程
联
动
轨
（2）①
切割点横坐
设
标为-x0，
坐
纵
标为-y0，则
根据机械能守恒
可得
②抛射方向如
所示
图
 
斜抛的初速度
设
为
 从切割点
出后，将运
分解到沿着斜面方向和垂直于斜面方向，
运
的
飞
动
则
动
时间
落到斜面上的点到抛出点的距离
立解得
联
整理
式可得
该
然当
显
，抛射的最
，可得
时
远
此时
而
立解得
联
【变式训练5-14】如
所示，在同一
直平面内，一
簧一端固定，另一自由端恰好与水平
图
竖
轻质弹
线AB 平
，静止放
齐
于
角
倾
为53°的光滑斜面上。一长为L＝9cm 的
一端固定在
轻质细绳
O 点，另一端系一
量
质
为m＝1kg 的小球，将细
拉至水平，使小球在位置
绳
C 由静止
放，小球到达最低点
释
D
，
好被拉断。之后小球在运
程中恰好沿斜
时细绳刚
动过
面方向将
簧
，最大
量
弹
压缩
压缩
为x＝5cm。（g＝10m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6）求：
（1）
受到的拉力的最大
；
细绳
值
（2）D 点到水平线AB 的高度h；
（3）
簧所
得的最大
性
能
弹
获
弹
势
Ep。
【解答】解：（1）小球由C 到D，由机械能守恒定律得：mgL= 1
2
mv1
2
 解得：v1= ❑√2 gL⋯①
在D 点，由牛
第二定律得：
顿
F﹣mg＝mv1
2
L ⋯②
由①②解得：F＝30 N
由牛
第三定律知
所能承受的最大拉力
 
顿
细绳
为30 N。
（2）由D 到A，小球做平抛运
，
得  
动则
vy2＝2gh…③
由 tan53°= v y
v1
⋯④
立解得
联
h＝0.16m
（3）小球从C 点到将
簧
至最短的
程中，小球与
簧系
的机械能守恒，即：
弹
压缩
过
弹
统
Ep＝mg（L+h+xsin 53°）
代入数据得：Ep＝2.9 J。
答：（1）
受到的拉力的最大
细绳
值为30 N。
（2）D 点到水平线AB 的高度h 为0.16m。
（3）
簧所
得的最大
性
能
弹
获
弹
势
Ep 为2.9 J
【变式训练5-15】如
甲所示，
直平面内的光滑
道由
斜直
道
图
竖
轨
倾
轨
AB 和
道
圆轨
BCD
成，
组
AB 和BCD 相切于B
点，CD
是
道
直方向的直径（
连线
圆轨
竖
C、D
道的最低点和最高点），已知∠
为圆轨
BOC＝30˚．可
点的小滑
从
视为质
块
道
轨
AB 上高H
的某点由静止滑下，用力
感器
出滑
道最高点
处
传
测
块经过圆轨
D
道的
力
时对轨
压
为F，并得到如
乙
图
所示的
力
压
F 与高度H 的关系
象，取
图
g＝10m/s2．求：
（1）滑
的
量和
道的半径；
块
质
圆轨
（2）是否存在某个H
，使得滑
最高点
值
块经过
D 后能直接落到直
道
轨
AB 上与
心等高的点。若存在，
求出
圆
请
H 值
若不存在，
明理由。
请说
【解答】解：（1）滑
从
块
A 运
到
动
D 的
程，由机械能守恒得：
过
mg（H﹣2R）= 1
2
mvD2
  F+mg= m v D
2
R
得：F= 2mg( H −2 R)
R
−mg
取点（0.50m，0）和（1.00m，5.0N）代入上式解得：m＝0.1kg，R＝0.2m
（2）假
滑
最高点
设
块经过
D 后能直接落到直
道
轨
AB 上与
心等高的
圆
E 点（如
所示）
图
从D 到E
程滑
做平抛运
，
有：
过
块
动则
 OE=
R
sin30°
 x＝OE＝vDPt
 R= 1
2
gt2
得到：vD＝2m/s
而滑块过D 点的
界速度
：
临
为
 vDL= ❑√gR = ❑√2m/s
由于：vD＞vDL 所以存在一个H
，使得滑
最高点
值
块经过
D 后能直接落到直
道
轨
AB 上与
心等高的点
圆
mg（H﹣2R）= 1
2
mvD2
得到：H＝0.6m
答：（1）滑
的
量
块
质
为0.1kg，
道的半径
圆轨
为0.2m。
（2）存在H
，使得滑
最高点
值
块经过
D 后能直接落到直
道
轨
AB 上与
心等高的点，
圆
H 值为0.6m。
【变式训练5-16】如
所示，
直平面内的
图
竖
3
4
弧形光滑
道半径
圆
轨
为R，A 端与
心
圆
O 等高，AD
与水平方向成
为
45°角的斜面．B 端在O 的正上方．一个小球在A 点正上方由静止开始
放，自由下落至
释
A 点后
入
形
道并恰能
进
圆
轨
到达B 点，求：
（1）
放点距
释
A 点的
直高度；
竖
（2）小球落到斜面上C 点
的速度大小和方向．
时
【解答】解：（1）小球恰能到达B 点，在B 点由重力提供向心力，
有：
则
mg＝mv
2
R
得：v= ❑√gR
小球的
放点距
设
释
A 点高度为h，小球从开始下落到B 点，由机械能守恒定律，得：
mg（h﹣R）= 1
2
mv2；
得：h＝1.5R
（2）小球离开B 点后做平抛运
，小球落到
动
C 点
有：
时
tan45°= y
x =
1
2 gt
2
vt
=gt
2v
解得：t＝2❑√
R
g
小球落在斜面上C 点
直分速度
：
时竖
为vy＝gt＝2❑√gR
小球落到C 点得速度大小：vC=
❑√v
2+ v y
2 = ❑√5 gR
小球落到C 点
，
速度与水平方向
角
时设
夹
为ϕ：tanϕ= v y
v =2
 
则ϕ＝arctan2．
答：（1）
放点距
释
A 点的
直高度是
竖
1.5R；
（2）小球落到斜面上C 点
的速度大小
时
为❑√5 gR，方向与水平方向
角的
夹
arctan2．
【变式训练5-17】如
所示，
角
图
倾
为37°的斜面与一
直光滑
道相切于
竖
圆轨
A 点，
道半径
轨
R＝1 m，将滑
由
块
B 点
无初速度
放，滑
恰能运
到
周的
释
块
动
圆
C 点，OC 水平，OD
直，
竖
xAB＝2 m，滑
可
点，取
块
视为质
g＝10 m/s2，sin 
37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
(1)滑
在斜面上运
的
；
块
动
时间
(2)若滑
能从
块
D 点抛出，滑
仍从斜面上无初速度
放，
放点至少
距
块
释
释
应
A 点多
．
远
【答案】　(1)1 s　(2)5.75 m
【解析】　(1)
滑
到达
设
块
A 点的速度为vA，从A 到C
程机械能守恒有
过
mv＝mgRcos 37°
从B 到A
程，滑
做匀加速直
运
，由匀
速直
运
律可知
过
块
线
动
变
线
动规
v＝2axAB
vA＝at
立各式解得
联
a＝4 m/s2，t＝1 s
(2)
滑
能从
设
块
D 点抛出的最小速度为vD，在D 点，由重力提供向心力，有mg＝m
从A 到D 由机械能守恒有
mvA′2＝mgR(1＋cos 37°)＋mv
vA′2＝2ax′
立各式解得
联
x′＝5.75 m.
连接体的机械能守恒问题
题型06：用细绳连接的系统机械能守恒问题
【典型例题1】如
所示一个半径
图
为r
量均匀的
套在光滑固定的水平
上，一根
，两端分
质
圆盘
转轴
轻绳绕过圆盘
别连
接着物块A 和B，A 放在地面上，B 用手托着，A、B 均
于静止，此
处
时B 离地面的高度为7r，
两
的
沿
直方
圆盘
边
轻绳
竖
向伸直，A 和
的
量均
圆盘
质
为m，B 的
量
质
为2m，快速撤去手，在物块B 向下运
的
程中。
子始
与
没有相
动
过
绳
终
圆盘
滑
，已知
的
能
对
动
圆盘转动
动
为EkC= 1
4 mr
2ω
2，其中ω
的角速度，
物
为圆盘转动
则
块A 上升到最高点
离地面的
时
高度
（
为   ）（A 上升
程中未与
相碰）
过
圆盘
A．7r
B．8r
C．9r
D．10r
【答案】C
【
解】
详
设B
落地
速度
刚
时
为v，
根据机械能守恒有
则
，2mg×7r =mg×7r + 1
2 ×3mv
2+ 1
4 mv
2
解得，v =2❑√gr
当物块B 落地后，A
能上升的高度
还
h= v
2
2g =2r
因此A 上升到最高点离地面的高度为9r。
故选C。
【典型例题2】如
所示，可
点的小球
图
视为质
A、B 用不可伸
的
接，跨
固定在地面上半径
长
细软轻线连
过
为R 的光滑
柱，
圆
A 的
量
质
为B 的两倍。当B 位于地面
，
时A 恰与
柱
心等高。将
圆
轴
A 由静止
放，
释
B 上升的最大高度是(　　)
A.2R 
 B. 
C. 
 D.
【答案】C
【解析】设A、B 的
量分
质
别为2m、m，当A 落到地面，B 恰运
到与
柱
心等高
，以
动
圆
轴
处
A、B 整体
研究
象，机械
为
对
能守恒，故有2mgR－mgR＝(2m＋m)v2，当A 落地后，B 球以速度v
直上抛，到达最高点
上升的高度
竖
时
为h′＝，
故B 上升的
高度
总
为R＋h′＝R，选项C 正确。
【典型例题3】如
所示，在
直平面内固定一半径
图
竖
为R 的光滑大
，
上套有
量均
圆环环
质
为m 的A、B 两个小球，两
球
用
间
长为❑√2 R的
接。已知重力加速度
轻细线连
为g，初始时A 位于
最高点。先用手控制
圆环
A 球使A、B 两球均静
止，然后松开手
放两小球，
下列
法正确的是（　　）
释
则
说
A．
放前后瞬
，大
释
间
圆环对B 球的
力大小之比
弹
为2：1
B．
放后到
释
B 球运
到最低点的
程中
子一直是
的
动
过
绳
绷紧
C．
放后瞬
释
间B 球的瞬
加速度
时
为g
D．
放后
释
A、B 两球运
的速度大小始
相等
动
终
【解答】解：AC、静止
，
小球
时对
B 受力分析，
子的
力
设绳
弹
为T1，圆环对B 球的
力
弹
为N1，如
所示。
图
由平衡条件得：
直方向有  
竖
mg＝T1sin45°
水平方向有 N1＝T1cos45°
解得：N1＝mg
放
，
子的
力
释
时设绳
弹
为T2，圆环对B 球的
力
弹
为N2。
小球
对
A，由牛
第二定律有
顿
T2sin45°＝maA
小球
对
B，由牛
第二定律有
顿
直方向有  
竖
mg﹣T2cos45°＝maB
水平方向有  T2sin45°﹣N2＝0
又有：aA＝aB
立解得：
联
N 2= 1
2 mg，aA =aB= 1
2 g
放前后瞬
，大
则释
间
圆环对B 球的
力大小之比
弹
为N 1
N 2
= 2
1
，故A 正确，C
；
错误
BD、开始一段
内，
时间
A 球在B 球的拉
下，随
动
B 球一起运
。当
动
A、B
成
直状
，
拉力开始
零，
间细线
竖
态时细线
为
子开始松弛，
绳
A、B 两球运
的速度大小不相等，故
动
BD
。
错误
故
：
选A。
【典型例题4】如
所示，一
通
光滑的
定滑
与套在光滑水平杆上的小物
图
轻绳
过
轻质
轮
块A
接，另一端与小球
连
B 连
接．系
由静止
放后，物
统
释
块A
示位置
向右运
的速度大小
经过图
时
动
为
，小球B 的速度大小为
，
与杆的
角
轻绳
夹
为
（
）。
（　　）
则
A．
B．
示
刻，小球
图
时
B
于失重状
处
态
C．由静止
放到
示
刻的
程中，
中拉力一直
释
图
时
过
绳
对A 不做功
D．
示
刻，
物
图
时
轻绳对
块A 和小球B 做功的功率大小相等
【答案】AD
【
解】
详
A．物块A 的运
合运
，将物
动为
动
块A 的速度分解
沿
子方向和垂直于
子的方向，在沿
子方向的分速度
为
绳
绳
绳
等于小球B 的速度，即有
故A 正确；
B．运
程中，没有摩擦，系
机械能守恒，系
重力
能
化
两者
能，当
动过
统
统
势
转
为
动
，
时B 球的速度
零，故
为
B 球
向下先加速后减速，B 球先失重后超重，无法判断
示
刻
图
时
B 球的状
，故
态
B
；
错误
C．由静止
放到
示
刻的
程中，
中拉力与
释
图
时
过
绳
A 的位移一直成
角，做正功，故
锐
C
；
错误
D．系
机械能守恒，
物
统
轻绳对
块A 和小球B 的拉力大小相等，沿
子的速度大小相等，
两者拉力做功的功
绳
则轻绳对
率大小相等，故D 正确。
故选AD。
【典型例题5】
所示，将
量
图
质
为2m 的重物
挂在
的一端，
的另一端系一
量
悬
轻绳
轻绳
质
为m 的小
，小
套在
直
环
环
竖
固定的光滑直杆上，光滑定滑
与直杆的距离
轮
为d，已知A 点与定滑
等高，
轮
A、B 两点
的距离
间
为d。
将小
从
现
环
A
点由静止
放，下列
法正确的是（
释
说
   ）
    
A．小
到达
环
B 点
，重物上升的高度
时
为
B．小
在下滑
程中的机械能先增大后减小
环
过
C．小
在
环
B 点的速度与重物上升的速度大小之比为1：
D．小
下滑的最大距离
环
为
【答案】AD
【
解】
详
A．当小
到达
环
B 点
，虚
度
时
线长
为
，
重物上升的高度
则
为
，A 正确；
B．小
在下降
程中，重力做功，杆
小
的
力不做功，
子的拉力一直做
功，
小
的机械能减少，
环
过
对
环
弹
绳
负
则
环
B
；
错误
C．根据
意，沿
子方向的速度大小相等，将小
速度沿
子方向与垂直于
子方向正交分解
足
题
绳
环
绳
绳
应满
v 环cosθ = v 物
即
C
；
错误
D．当小
的速度
零
，小
下滑有最大距离，
根据系
机械能守恒有
环
为
时
环
则
统
解得
D 正确。
故选AD。
【变式训练6-1】如
所示，
角
图
倾
为30°的光滑斜面固定在水平地面上，
量均
质
为m 的物体A、B 通
滑
过轻绳轻质
轮
接，
斜部分与斜面平行，重力加速度
连
轻绳倾
为g，从静止
放
释
A 到B 落地前（　　）
A．A 的
能增加量是
动
B 的4 倍
B．B 的重力
能
化量是
势
变
A 的2 倍
C．B 的加速度为
g
D．
中的拉力
轻绳
为
mg
【答案】C
【解析】A．根据滑
的
装，可知物体
轮
组
B 下落的速度是物体A 的速度的2 倍，又因
两个物体的
量相等，根据
能
为
质
动
的表达式
可知，所以B 的
能增加量是
动
A 的4 倍，A
；
错误
B．
物体
设
B 下降的高度为h，
物体
则
A 上滑的距离为0.5h，A 上升的高度为
根据重力
能的表达式
势
可知，所以B 的重力
能
化量是
势
变
A 的4 倍，B
；
错误
CD．相同
内物体
时间
B 的位移
物体
为
A 的位移的2 倍，所以物体B 的加速度是A 的2 倍，
子上的拉力
设绳
为F，
物
对
体B，有
物体
对
A，有
立解得
联
C 正确，D
。故
错误
选D。
【变式训练6-2】如
所示，
图
B 物体的
量是
质
A 物体
量的一半，不
所有摩擦，
质
计
A 物体从离地面高H
由静止开始
处
下落，以地面
参考面，当物体
为
A 的
能与其
能相等
，物体
动
势
时
A 距地面的高度
（
程中
为设该过
B 未与滑
相碰）
轮
（　　）
A．0.4H
B．0.2H
C．0.8H
D．1
3
H
【解答】解：对A、B 两物体
成的系
，只有重力做功，系
机械能守恒。
组
统
统
B 的重力
能不
，所以
势
变
A 重力
能的减小
势
量等于系
能的增加量。有：
统动
mAg（H﹣h）= 1
2
（mA+mB）v2
又物体A 的
能与其
能相等，即：
动
势
mAgh= 1
2
mAv2
 mA＝2mB
立上面三式得：
联
mAg（H﹣h）= 1
2
mAgh
得：h＝0.4H．故A 正确，B、C、D
。
错误
故
：
选A。
【变式训练6-3】如
，一直角
图
边长为R 的光滑等腰直角三角形与半径为R 的光滑
柱的一部分无
相接，固定在
圆
缝
水平桌面上。
量分
质
别为2m 和m 的物体A 和小球B 通
一根不可伸
的
相
，小球
过
长
细线
连
B（
点）恰好位于桌
视为质
面上。已知重力加速度为g。从静止
放小球
释
B，在运
到
柱
点的
程中（　　）
动
圆
顶
过
A．物体A 的机械能守恒
B．当小球B 到达
柱
点
，物体
圆
顶
时
A 的速度大小为❑√
2
3 πgR
C．
的
力
小球
绳
张
对
B 所做的功为mgR( π +8
6
)
D．
的
力
物体
绳
张
对
A 所做的功为2
3 mgR
【解答】解：A．在运
到
柱
点的
程中，物体
动
圆
顶
过
B 的
能和重力
能均增大，
动
势
B 机械能增大，系
机械能守恒，故
统
A
的机械能减少，故A
；
错误
B．根据机械能守恒定律2mg( R+ π
4 R)−mgR = 1
2 (m+2m)v
2
解得v = ❑√
2
3 gR(1+ π
2 ) 
故B
；
错误
C．根据功和能的关系
W B=mgR+ 1
2 mv
2，解得WB=mgR( π +8
6
)
的
力
小球 
绳
张
对
B 所做的功为mgR( π +8
6
)，故C 正确；
D．根据机械能守恒定律，
的
力
物体 
绳
张
对
A 做功W A =−mgR( π +8
6
)
故D
。
错误
故
：
选C。
【变式训练6-4】如
所示，将
量
图
质
为2m 的重物
挂在
的一端，
的另一端系一
量
悬
轻绳
轻绳
质
为m 的
，
套在
直
环环
竖
固定的光滑直杆上，光滑的
小定滑
与直杆的距离
轻
轮
为d，杆上的A 点与定滑
等高，杆上的
轮
B 点在A 点下方距离为
d
。
将
从
处现
环
A
由静止
放，不
一切摩擦阻力，下列
法正确的是（　　）
处
释
计
说
A．
从
环
A 下降到B 的
程中机械能增加
过
B．
到达
环
B
，重物上升的高度
处时
为❑√2d
C．
到达
环
B
，
的速度大小等于重物的速度大小
处时环
D．
能下降的最大高度
环
为4
3 d
【解答】解：A、
于
和重物
成的系
，由于只有重力做功，故系
的机械能守恒。重物上升
程中
能、重力
能
对
环
组
统
统
过
动
势
均增大，即重物体的机械能增大，可知
从
环
A 下降到B 的
程中机械能减小，故
过
A
；
错误
B、
到达
环
B
，重物上升的高度
处时
为h=
d
sin 45° −d =(❑√2−1)d，故B
；
错误
C、
沿
子方向的分速度大小等于重物的速度大小，
到达
环
绳
环
B
，
处时θ＝45°，将
的速度分解，如
所示
环
图
可得：v 环cosθ＝v 物，解得：v环= ❑√2v物，故C
；
错误
D、
下降的最大高度
设环
为H，此
和重力的
能均
零，由系
机械能守恒可得
时环
动
为
统
mgH =2mg(
❑√H
2+d
2−d)，解
得：H = 4
3 d，故D 正确。
故
：
选D。
【变式训练6-5】如
所示，物体
图
A 的
量
质
为M，圆环B 的
量
质
为mA、B 通
子
过绳
连
接在一起，
套在光滑的
直杆上，开始
，
与定滑
之
的
子
于水平状
，
度
圆环
竖
时圆环
轮
间
绳
处
态长
l＝4 m，现
从静止开始
放
，不
定滑
和空气的阻力，重力加速度
释
圆环
计
轮
g 取10 m/s2，若
下降
圆环
h＝3 m
的速度
时
v
＝5 m/s，则A 和B 的
量关系
质
为
(　　)
A.＝　             B.＝                C.＝                  D.＝
【答案】　A
【解析】　
下降
圆环
3 m
的速度可以沿
方向和垂直
方向
行分解，故可得
时
绳
绳
进
vA＝vcos θ，又由几何关系可知cos 
θ＝，解得vA＝3 m/s.当
下降的高度
圆环
h＝3 m
，由几何关系可知，物体
时
A 上升的高度h′＝－l＝1 m．将A、B
看作一个系
，
系
只有重力做功，机械能守恒，
由机械能守恒定律可得
统则该
统
则
mgh－Mgh′＝mv2＋Mv，代入数
据求解可得＝，选项A 正确．
【变式训练6-6】如
所示，一
性
一端系于
图
轻弹
绳
A 点，另一端与
量
质
为m、套在光滑
直固定杆上
竖
B 点的小球相连，
此时A、B 在同一水平
上，且
性
原
恰好等于
线
弹
绳
长
A、B
距
间
L。
将小球从
现
B 点由静止
放，当小球下落至
释
C 点时
能最大，
动
AC 与水平方向的
角
夹
为
。已知
性
的
力与伸
量遵循胡克定律，已知
性
的
性
能
轻弹
绳
弹
长
弹
绳
弹
势
为
，式中x
性
的伸
量，
小球的最大
能
（　　）
为弹
绳
长
则
动
为
  
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】小球下落
程先加速后减速，当加速度
过
为0
速度最大，
能最大，此
有
时
动
时
解得
由能量守恒定律得
解得
故选A。
【变式训练6-7】运
了
腰部力量，在腰部拴上
然后沿着斜面下滑，运
的
化模型如
所示，与水平
动员为
锻炼
轻绳
动
简
图
方向成
角的光滑斜面固定放置，
量均
质
为m 的运
与重物用跨
光滑定滑
的
接。运
从斜面
动员
过
轮
轻质细绳连
动员
的某
由静止开始下滑，当运
到
与斜面垂直的
处
动
绳
A 点
速度大小
时
，当运
到
动
B 点
，
与斜面的
角
时绳
夹
为
。已知A、B 两点之
的距离
间
为L，重力加速度为g，运
在运
程中一直未离开斜面，
一直
于伸直状
，
动员
动过
绳
处
态
运
与重物（均可
点）始
在同一
直面内运
，
动员
视为质
终
竖
动
。运
到达
动员
B 点
，其速度的大小
时
（　　）
为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【
解】
详
设
距
间
为
，运
从
动员
A 点到B 点，重力
能的减少量
势
为
重物上升的高度
物体重力
能的增加量
则
势
为
系
重力
能的减少量
则
统总
势
为
运
在
动员
B 点
，把
时
分
沿着
和垂直
分解，沿着
子方向的分速度
别
绳
绳
绳
为
重物的速度等于
速，
有
绳
则
运
从
动员
A 点到B 点，人与重物
成的系
机械能守恒，根据机械能守恒定律可得
组
统
代入初速度
，可得
故选A。
【变式训练6-8】如
所示，
量
图
质
为m 的小球甲固定在
簧上，
簧固定在水平面上，小球甲和
簧套在一
轻弹
轻弹
轻弹
竖
直固定的光滑杆上，小球甲和
量
质
为4m 的物体乙用跨
光滑定滑
的
接。初始
，用手托住物体乙，使
过
轮
轻绳连
时
轻绳
好伸直且
上拉力
零，此
，
接小球甲和定滑
之
的
与水平方向的
角
刚
绳
为
时连
轮
间
轻绳
夹
为
，
将物体乙由静止
现
放，
一段
后小球甲运
到
释
经过
时间
动
N 点，ON 水平， ON=d 且小球在M、N 两点
簧的
力大小相等。已知重力
时弹
弹
加速度为g，sin 53°=0.8，cos 53°=0.6.
下列
法正确的是（　　）
则
说
A．
簧的
度系数
弹
劲
为
B．小球甲运
到
动
N 点
的速度大小
时
为
C．在小球甲由M 点运
到
动
N 点的
程中，小球甲和物体乙的机械能之和先减小后增大
过
D．在小球甲由M 点运
到
动
N 点的
程中，物体乙重力的瞬
功率一直增大
过
时
【答案】B
【
解】
详
A.小球甲在M、N 两点
簧的
力大小相等，
由胡克定律可知小球甲在
时弹
弹
则
M 点
簧的
量等于在
时弹
压缩
N 点
的伸
量，由几何关系知
时
长
小球甲位于
则
M 点
簧的
量
时弹
压缩
为
在
对
M 点的小球甲由力的平衡条件可知
解得
故A
；
错误
B.
小球甲运
到
设
动
N 点
的速度大小
时
为v，此
物体乙的速度
零，在小球甲由
时
为
M 点运
到
动
N 点的
程中，由小球
过
甲、物体乙和
簧
成的系
机械能守恒，
可得
轻弹
组
统
则
解得
故B 正确；
C.在小球甲由M 点运
到
动
N 点的
程中，
簧的
力
小球甲先做正功后做
功，
小球甲和物体乙的机械能之和
过
弹
弹
对
负
则
先增大后减小，故C
；
错误
D.由于小球甲在M 点
及运
到
时
动
N 点
物体乙的速度均
零，物体乙重力的瞬
功率均
零，所以在小球甲由
时
为
时
为
M 点
运
到
动
N 点的
程中，物体乙重力的瞬
功率先增大后减小，故
过
时
D
。
错误
故选B。
【变式训练6-9】如
所示，物体甲、乙
量分
图
质
别为0.3kg 和0.5kg，用
接跨在一个光滑定滑
两
，用手将甲
轻绳连
轮
侧
按在地面上，乙距地面5m。放开物体甲，不
一切摩擦阻力和空气阻力，下列
法正确的是（
计
说
     ）（取g=10m/s2）
A．乙物体落地的速度为10m/s
B．甲上升到最高点
离地面
时
6.25m
C．从
放到乙落地
，
甲做的功
释
时绳对
为18.75J
D．从
放到乙落地
，
乙做的功
释
时绳对
为18.75J
【答案】BC
【
解】
详
A．根据机械能守恒定律得
解得
 A
；
错误
B．根据机械能守恒定律得
 解得
 
甲上升到最高点
离地面
时
 B 正确；
C．从
放到乙落地
，
甲做的功
释
时绳对
为
 C 正确；
D．根据
能定理得
动
 
解得
 D
。
错误
故选BC。
【变式训练6-10】有一
直放置的“
竖
T”形架，表面光滑，滑块A、B 分
套在水平杆与
直杆上，
别
竖
A、B 用一根不可伸
的
相
，
长
轻细绳
连A、B
量相等，且可看做
点，如
所示，开始
水平伸直，
质
质
图
时细绳
A、B 静止。由静止
放
释
B 后，已知
当
与
直方向的
角
细绳
竖
夹
为60°
，滑
时
块B 沿着
直杆下滑的速度
竖
为v，
接
则连
A、B 的
（　　）
绳长为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【
解】如
所示
详
图
将A、B 的速度分解
沿
的方向和垂直与
的方向，两物体沿
子的方向速度大小相等，
有
为
绳
绳
绳
则
解得
B 减小的重力
能全部
化
势
转
为A 和B 的
能，由于
动
A、B
成的系
只有重力做功，所以系
机械能守恒，有
组
统
统
解得
绳长
故选D。
【变式训练6-11】(多选) 如
所示，光滑固定的
直杆上套有小物
 
图
竖
块a，
不可伸
的
通
大小可忽略的定滑
接物
 
长
轻质细绳
过
轮连
块a 和小物
 
块b，虚
 
线cd 水平．
由静止
放两物
，物
现
释
块
块 
a 从
示位置上升，并恰好能到达
图
c
．在此
程中，若不
摩擦和空气阻力，下列
法正确的是
处
过
计
说
(　　)
A．物
 
块a 到达 c 点
加速度
零
时
为
B．
拉力
物
 
绳
对
块a 做的功等于物
 
块a 重力
能的增加量
势
C．
拉力
物
 
绳
对
块b 先做
功后做正功
负
D．
拉力
物
 
绳
对
块b 做的功在数
上等于物
 
值
块b 机械能的减少量
【答案】BD 
【解析】：当a 物
到达
块
c
，由受力分析可知：水平方向受力平衡，
直方向只受重力作用，所以根据牛
第二定律
处时
竖
顿
得知，a 物
的加速度
块
a＝g，故A
；从
错误
a 到c，a 的
能
化量
零，根据功能关系可知，
拉力
物
动
变
为
绳
对
块a 做的功
等于物块a 的重力
能的增加量，故
势
B 正确；物块a 上升到与滑
等高前，
轮
b 下降，
的拉力
绳
对b 做
功，故
负
C
；
错误
从a 到c，b 的
能
化量
零，根据功能关系：除重力以
其他力做的功等于机械能的
化量，故
拉力
动
变
为
为
变
绳
对b 做的功
在数
上等于
值
b 机械能的减少量，故D 正确．
【变式训练6-12】（多选）如
所示，一
无摩擦的两个
小定滑
图
轻绳绕过
轻质
轮
，一端和
量
质
为m 的小球连
接，另一端与套在光滑固定直杆上
量也
质
为m 的小物
接，直杆与两定滑
在同一
直面内，与水平面的
角
块连
轮
竖
夹
θ=53°，直杆上O 点与两定滑
均在同一高度，
轮
O 点到定滑轮
的距离为L，直杆上D 点到
点的距离也为L，重力
加速度为g，直杆足
，小球运
程中不会与其他物体相碰。
将小物
从
够长
动过
现
块
O 点由静止
放，下列
法正确的是
释
说
（　　）
A．小物
放
，
中的
力大小
块刚释
时轻绳
张
为mg
B．小球运
到最低点
，小物
加速度的大小
动
时
块
为
C．小物
下滑至
块
D 点
，小物
与小球的速度大小之比
时
块
为5：3
D．小物
下滑至
块
D 点
，小物
的速度大小
时
块
为
【答案】BCD
【
解】
详
A．小物
放
，小物
将加速下滑，加速度向下，小球
于失重状
，
小球的拉力小于球的重力
块刚释
时
块
处
态则轻绳对
mg，故A
；
错误
B．当拉物
的
子与直杆垂直
，小球下降的距离最大，
小物
受力分析，由牛
第二定律
块
绳
时
对
块
顿
解得此
小物
加速度的大小
时
块
为
故B 正确；
C．
小物
在
设
块
D
的速度大小
处
为v，此
小球的速度大小
时
为
，将小物
的速度分解
沿
子方向和垂直
子方向，
块
为
绳
绳
如
所示
图
沿
子方向的分速度等于小球的速度，即
绳
故小物
在
块
D
的速度与小球的速度之比
处
为
故C 正确；
D．
小物
和小球
成的系
根据机械能守恒定律，有
对
块
组
统
其中
解得此
小物
的速度大小
时
块
为
故D 正确。故选BCD。
【变式训练6-13】（多选）如
所示，有两条位于同一
直平面内的光滑水平
道，相距
图
竖
轨
为，
道上有两个物体
轨
和B，
量均
质
为
，它
通
一根
定滑
们
过
绕过
轮
的不可伸
的
相
接。在
道
的
子与
道成
长
轻绳
连
轨
间
绳
轨
角的瞬间，
物体
在下面的
道上的运
速率
轨
动
为。此
子
时绳
段的中点
有一与
相
静止的小水滴
处
绳
对
与
子分离。
绳
设绳长
大于滑
直径，不
与滑
的摩擦，下列
法正确的是（　　）
远
轮
计轻绳
轮间
说
  
A．位于
示位置
物体
图
时
B 的速度大小为
B．小水滴
与
子分离的瞬
做平
运
绳
间
拋
动
C．在之后的运
程中当
动过
轻绳
与水平
道成
轨
角
，物体
时
B 的
能
动
为
D．小水滴
脱离
子
速度的大小
绳
时
为
【答案】AC
【
解】
详
A．将物体B 的速度分解到沿
和垂直于
方向如
甲所示，在
道
的
子与
道成
绳
绳
图
轨
间
绳
轨
角的瞬
，有
间
；
；
故A 正确；
D．
子
绳
段一方面向
点以速度收
，另一方面
缩
绕
点逆
，在
道
的
子与
道成
时针转动
轨
间
绳
轨
角的瞬
，其
间
角速度
，
点既有沿
子斜向下的速度
绳
，又有垂直于
子斜向上的
的
速度
绳
转动
线
，P 点的合速度即小水滴
的速度为
故D
；
错误
B．
点沿
的分速度与物体
绳
B 沿
的分速度相同，垂直于
的分速度小于物体
绳
绳
B 垂直于
的分速度，物体
绳
B 的合速
度水平向左，
小水滴
则
的合速度斜向左下，如
乙所示，故水滴做斜抛运
，故
图
动
B
；
错误
C．当轻绳
与水平
道成
轨
角
，物体
时
B 沿
方向的分速度
绳
为0，物体
的速度为0，物体运
程中，物体
动过
AB
成的系
机械能守恒，从
示位置到
组
统
题图
轻绳
与水平
道成
轨
角
，根据机械能守恒定律得
时
解得
故C 正确。
    
故选AC。
【变式训练6-14】（多选）如
所示，半径
图
为
的四分之一光滑
弧
道
圆
轨
固定在
直平面内，
竖
点
心。
为圆
点右
相距
侧
固定一个光滑定滑
处
轮
。
量
质
为
的小
静止在
弧
道底端
圆环
圆
轨
点，
用一根
系在小
上
现
细线
圆环
，
另一端跨
定滑
系上
量
过
轮
质
为
的重物，使
伸直。将重物由静止
放，小
沿
弧
道上滑，运
到
细线
释
圆环
圆
轨
动
点时
速度恰好
零。
（　　）
变为
则
  
A．
、
的
量之比
质
为
B．重物
放瞬
于超重状
释
间处
态
C．小
到达
圆环
点后
能返回
还
点
D．小
的速度在任意
刻都不可能与重物速度大小相等
圆环
时
【答案】AC
【
解】
详
A．由几何关系可知
，
。在运
程中，
和重物
成的系
，根据机械能守恒定律可知
动过
对环
组
统
解得
故A
正确；
项
B．重物物
放瞬
，加速度向下，
子的拉力小于重物重力，
于失重状
，故
释
间
绳
处
态
B
；
项错误
C．小
由
圆环
点开始运
，到达
动
点
速度恰好
零，然后小
从
时
为
圆环
P 点向Q 点运
，由于系
机械能守恒，所以
动
统
小
能再次回到
圆环
点，故C
正确；
项
D．如
所示
图
  
当
运
到
圆环
动
点
，
与
弧相切，
速度沿
弧切
方向，
速度大小与重物速度大小相等，故
时细线
圆
圆环
圆
线
圆环
D 项错误。
故选AC。
【变式训练6-15】如
，
角
图倾
为30°的斜面固定在水平地面上，一
两个光滑的
滑
接着固定点
轻绳绕过
轻质
轮连
P 和
物块B，两滑
之
的
始
与斜面平行，物
轮
间
轻绳
终
块A 与
滑
接。已知
动
轮连
A、B 的
量均
质
为1kg，A 与斜面
的
摩擦
间
动
因数为
，A 与斜面
的最大静摩擦力等于滑
摩擦力，重力加速度大小取
间
动
10m/s2。将A、B 由静止
放，求：
释
（1）物体A、B
放瞬
，
上的拉力大小；
释
间轻绳
（2）物块B 下降2m
（
时B 未落地）的速度大小；
（3）物块B 下降2m
，
时A 的机械能增加量。
【答案】（1）6N；（2）4m/s；（3）7J
【
解】（
详
1）物体A、B
放瞬
，
的拉力
释
间设轻绳
为T，
物体
对
A，根据牛
第二定律有
顿
物体
对
B，根据牛
第二定律有
顿
由
可得
题图
所以
（2）根据系
能量守恒有
统
解得
（3）
拉力
绳
对A 做功为
摩擦力
物
对
块A 做功为
由功能关系得A 的机械能增加量为
【变式训练6-16】长为
的
一端固定在
轻绳
点，一端与
量
质
为
的小球相
，小球在
直平面内运
，始
受到
连
竖
动
终
大小
、方向水平向右的恒力作用。如
甲所示，第一次将小球拉到
图
点，
好水平拉直，由静止
放小球
轻绳刚
释
，
小球运
到最低点
动
；如
乙所示，第二次将小球拉到
图
点，
好水平拉直，由静止
放小球，小球最
做往复
轻绳刚
释
终
运
，
子
的
程中，沿
子方向的速度在极短的
内迅速减小到零，且
子不会被拉断。重力加速度大小
动设绳
张紧
过
绳
时间
绳
为
，不
空气阻力。求：
计
（1）第一次小球运
到最低点
子中的拉力大小
动
时绳
；
（2）第二次
放小球
子
程中，机械能的
失
释
绳
张紧过
损
；
（3）小球做往复运
到达右
最高点
，
与
动
侧
时细绳
之
的
角。
间
夹
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【
解】（
详
1）
第一次小球从
设
放，运
到
释
动
速度
时
为
，根据
能定理有
动
在最低点
，根据牛
第二定律，有
顿
解得
（2）第二次
放小球，小球受到水平向右的恒力
释
，以及
直向下的重力作用，由于
竖
，
小球从
则
点沿
的方向做匀加速直
运
，到
连线
线
动
点
子
，
小球到
时绳
张紧设
点
，速度大小
时
为
，根据
能定理有
动
此
，速度方向与水平方向的
角
时
夹
，由
意，有
题
解得
（3）
小球做往返运
，运
到达右
最高点（速度
零）
，
与
直方向的
角
设
动
动
侧
为
时细绳
竖
夹
为
后，小球的速度
细绳张紧
为
从最低点到右
最高点的
程中，根据
能定理有
侧
过
动
解得：
【变式训练6-17】如
所示，左
一个半径
图
侧为
为R 的半球形的碗固定在水平桌面上，碗口水平，O 点
球心，碗的内
为
表面及碗口光滑．右
是一个固定光滑斜面，斜面足
，
角
侧
够长倾
θ＝30°．一根不可伸
、不
量的
跨在碗口及
长
计质
细绳
光滑斜面
端的光滑定滑
两端上，
的两端分
系有可
点的小球
顶
轮
线
别
视为质
m1和m2．开始时m1恰在碗口水平直径右
端A
，
处m2在斜面上且距离斜面
端足
，此
接两球的
与斜面平行且恰好伸直，将
顶
够远
时连
细绳
m1和m2由静止
放．
释
则
（1）若m1＝m2，通
算判断小球
过计
m1能否运
到半球形碗的最低点
动
B；
（2）若m1＝2m2，当m1运
到
心
动
圆
O 的正下方B 点
突然断开，不
断开瞬
的能量
失．求小球
时细绳
计细绳
间
损
m1沿
碗的内
上升的最大高度．
侧
【解答】解：（1）
重力加速度
设
为g，假
小球
设
m1 能到达最低点B
且达到最低点
时
时m1、m2 速度大小分别为v1、v2，
由运
合成与分解得：
动
v1= ❑√2v2⋯①
对m1、m2 系
由功能关系得：
统
m1gR−m2 gR = 1
2 m1v1
2+ 1
2 m2v2
2⋯②
h= ❑√2 Rsin30°⋯③
所以m1gR−m2 gR = 1
2 m1v1
2+ 1
2 m2v2
2＞0，故能到达最低点B．
（2）当m1＝2m2
，由①②③
立求解得：
时
联
v1= ❑√
8−2❑√2
5
gR⋯④
断后
设细绳
m1 上升的高度为h，对m1 由机械能守恒定律得：1
2 m1v1
2=m1
❑gh⋯⑤
立④⑤得：
联
h= 4−❑√2
5
R．
答：（1）若m1＝m2，通
算可得小球
过计
m1 能运
到半球形碗的最低点
动
B；
（2）若m1＝2m2，当m1 运
到
心
动
圆
O 的正下方B 点
突然断开，不
断开瞬
的能量
失．小球
时细绳
计细绳
间
损
m1 沿碗
的内
上升的最大高度是
侧
4−❑√2
5
R
【变式训练6-18】打
机是基建常用工具。某种
易打
机模型如
所示，重物
桩
简
桩
图
A、B 和C 通
不可伸
的
过
长
轻质长绳
跨
两个光滑的等高小定滑
接，
过
轮连
C 与滑
等高（
中
位置）
，
轮
图
实线
时C 到两定滑
的距离均
轮
为L。重物A 和B 的质
量均为m，系
可以在如
虚
位置保持静止，此
接
统
图
线
时连
C 的
与水平方向的
角
绳
夹
为60°。某次打
，用外力将
桩时
C
拉到
中
位置，然后由静止
放。
图
实线
释
设C 的下落速度为
，与正下方
量
时
质
为2m 的静止桩D 正碰，碰撞时间
极短，碰撞后C 的速度
零，
为
D
直向下运
竖
动
距离后静止（不考虑C、D 再次相碰）。A、B、C、D 均可
点。
视为质
（1）求C 的
量；
质
（2）若D 在运
程中受到的阻力
动过
F 可
恒力，求
视为
F 的大小；
（3）撤掉桩D，将C 再次拉到
中
位置，然后由静止
放，求
图
实线
释
A、B、C 的
能最大
总动
时C 的
能。
动
【答案】  （1）
；（2）6.5mg；（3）
【解析】（1）系
在如
虚
位置保持静止，以
统
图
线
C
研究
象，根据平衡条件可知
为
对
解得
（2）CD 碰后C 的速度
零，
碰撞后
为
设
D 的速度v，根据
量守恒定律可知
动
解得
CD 碰撞后D 向下运动
 距离后停止，根据
能定理可知
动
解得F=6.5mg
（3）
某
刻
设
时
C 向下运
的速度
动
为v′，AB 向上运
的速度
动
为v，
中虚
与
直方向的
角
图
线
竖
夹
为α，根据机械能守恒
定律可知
令
上式求
数可得
对
导
当
解得
时
即
此时
于是有
解得
此时C 的最大
能
动
为
题型07：用杆连接的系统机械能守恒问题
【典型例题1】如
所示，一根
杆
图
轻
长为
，中点A 和右端点B 各固定一个小球，
，左端O
光滑水平
为
转
．开始
杆静止在水平位置，
放后将向下
至
直，在此
程中以下
法正确的是（　　）
轴
时
释
摆动
竖
过
说
  
A．A、B 两球的机械能都守恒
B．A、B 两球的机械能不守恒，但它
成的系
机械能守恒
们组
统
C．
一
程
这
过
O、A
杆
间轻
对
球做正功
D．
一
程
这
过
A、B
杆
间轻
对
球做正功
【答案】B
【解析】AB．两小球及
杆
成的系
的机械能守恒，
到
直
角速度
轻
组
统
设摆
竖
时
为
，
，
有
则
解得
即A 的
能
动
为
B 的
能
动
为
可知A 球的机械能减少，B 球的机械能增加，故A
，
错误B 正确；
CD．由于A、B 两球
成的系
机械能守恒，
下
的
程
组
统
则
摆
过
O、A
杆的
力沿杆方向不做功；由于
间轻
弹
A 球的机械能减
少，则A、B 之
杆
间轻
对A 球做
功，故
负
CD
。
错误
故选B。
【典型例题2】如
所示，
直平面内固定两根足
的
杆
图
竖
够长
细
L1、L2，两杆不接触，且两杆
的距离忽略不
．两个小
间
计
球a、b(
点
视为质
)
量均
质
为m，a 球套在
直杆
竖
L1上，b 球套在水平杆L2上，a、b 通
用
度
过铰链
长
为l 的
性
杆
刚
轻
L 连
接，将a 球从
示位置
图
(
杆与
轻
L2杆
角
夹
为45°)由静止
放，不
一切摩擦，已知重力加速度
释
计
为g.在此后的运
程
动过
中，下列
法中正确的是
说
(　　)
A．a 球和b 球所
成的系
机械能不守恒
组
统
          B．b 球的速度
零
，
为
时a 球的加速度大小
零
为
C．b 球的最大速度为
                D．a 球的最大速度为
【答案】C
【解析】a 球和b 球
成的系
没有外力做功，只有
组
统
a 球和b 球的
能和重力
能相互
，因此
动
势
转换
a 球和b 球所
成的
组
系
机械能守恒，
统
A
；
杆
错误设轻
L 和水平杆L2的
角
夹
为θ，由运
关
可知
动
联
vbcos θ＝vasin θ，则vb＝vatan θ，可知
当b 球的速度
零
，
杆
为
时轻
L
于水平位置且与杆
处
L2平行，
此
则
时a 球在
直方向只受重力
竖
mg，因此a 球的加速度
大小为g，B
；当杆
错误
L 和杆L1第一次平行
，
时a 球运
到最下方，
动
b 球运
到
动
L1和L2交点位置，b 球的速度达到最大，
此时a 球的速度为0，因此由系
机械能守恒有
统
mg(l＋l)＝mv，解得vb＝
，C 正确；当
杆
轻
L 和杆L2第
一次平行
，由运
的关
可知此
时
动
联
时b 球的速度
零，由系
机械能守恒有
为
统
mg·l＝mv，解得va＝，此时a 球具有向下
的加速度g，故此时a 球的速度不是最大，a 球将
向下做加速度减小的加速运
，到加速度
继续
动
为0
速度达到最大，
时
D
．
错误
【典型例题3】内壁光滑的
形凹槽半径
环
为R，固定在
直平面内，一根
度
竖
长
为R 的
杆，一端固定有
量
轻
质
为2m 的
小球A，另一端固定有
量
质
为m 的小球B，将两小球放入凹槽内，小球A 位于水平直径
，如
所示，已知重力加速
处
图
度为g，
系
由静止
放到
该
统
释
B 球滑到与
心
圆
O 等高位置，下列
法正确的是（　　）
说
A．在某一位置A 球的
速度大于
线
B 球的
速度
线
B．A 球重力
能的减少量等于
势
B 球重力
能的增加量
势
C．B 球滑到与
心
圆
O 等高位置
的
速度大小
时
线
为
D．
杆
轻
对B 球做的功为
【答案】D
【
解】
详
A．A 和B 两球都在凹槽上运
，如
所示
动
图
假
某一
刻
设
时
A 和B 的
速度分
线
别为vA 和vB，根据几何关系，可知两
速度方向与杆的
角相等，可
线
夹
设为θ，
有
则
vAcosθ=vBcosθ，因此vA=vB，故A
；
错误
B．从初始位置到B 球滑到与O 等高位置，
杆及
轻
A 球和B 球
成的系
的重力
能减少，由公式
组
统
势
Ep=mgh 可知，A
球重力
能的减少量大于
势
B 球重力
能的增加量，故
势
B
；
错误
C．设B 球滑到与O 等高位置
，两球的
速度大小
时
线
为v，
杆、
对轻
A 球和B 球
成的系
，根据系
机械能守恒有
组
统
统
，解得
，故C
；
错误
D．由静止
放到
释
B 球滑到与O 等高位置的
程中，
杆
过
设轻
对B 球做的功为W，
有
则
，解得
，故D 正确。
【典型例题4】正三角形滑块ABC 放置于水平面上，
杆一端与固定在水平面上的
接，另一端固定一小球，已
轻
铰链连
知
接
到小球球心的距离
铰链连
处
为
，小球和滑
的
量都
块
质
为
。如
所示，将小球与滑
的
图
块
斜面接触，在水平
面上反复移
滑
，直到
杆与斜面
动
块
轻
平行，然后由静止
放滑
，重力加速度
释
块
为
，不
一切摩擦。
在小球和
计
则
滑
的相互作用
程中，下列
法正确的是（　　）
块
过
说
A．滑
的速度先增大后减小
块
B．小球的速度一直增大
C．当
杆与水平面的
角
轻
夹
为
，小球的
能
时
动
为
D．从
放小球到
杆与水平面的
角
释
轻
夹
为
的
程中，小球
滑
做功
过
对
块
为
【答案】BD
【
解】
详
A．小球在与滑
相互作用的
程中，始
斜面体的
块
过
终对
BC 面存在
力，斜面体受到的合力作用水平向左，
滑
压
对
一直做正功，所以滑
的速度一直增加，故
块
块
A
；
错误
B．
某
刻
杆与水平面的
角
设
时
轻
夹
为
，
小球的速度沿
两个方向
行分解如
所示
对
这
进
图
小球参与了沿水平面向左的运
和沿滑
斜面向下的运
，三角形滑
的速度与小球在水平方向的分速度
动
块
动
块
相等，
在小球与滑
相互作用的
程中，
杆与水平面的
角
块
过
轻
夹
减小，而
的小球水平方向的分速度一直增大，由于小球
对应
的合速度
的角度始
对应
终为
不
，可知小球的速度一直增大，故
变
B 正确；
C．
杆与水平面的
角
轻
夹
为
，
小球速度
时设
为v，滑
速度
块
为
，由系
机械能守恒可得
统
根据速度合成与分解，可得
可得小球
能
动
为
故C
；
错误
D．根据
能定理可得，小球
滑
做功等于滑
增加的
能，可求得小球
滑
做功
动
对
块
块
动
对
块
为
故D 正确。
故选BD。
【典型例题5】如
，一
图
长为L 的
杆一端固定在光滑
上，另一端固定
量
轻
铰链
质
为m 的小球。开始
，
杆位于
直
时轻
竖
方向，之后受
微
后向左自由
。某
刻
杆与
直方向的
角
轻
扰动
转动
时
轻
竖
夹
记为
，取重力加速度为g，关于
程中
转动过
小球的以下
法正确的是（　　）
说
  
A．
直速度先增大后减小
竖
B．重力的最大功率为
C．当
，小球只受重力作用
时
D．水平方向上速度最大值为
【答案】BCD
【
解】
详
A．小球受杆沿杆方向的支持力或拉力作用，
直向下的重力作用，
程中，重力一直做正功，
直方向速
竖
转动过
竖
度一直增加，故A
；
错误
B．杆
小球不做功，重力
小球做正功，当
对
对
，有
时
解得
重力的最大功率为
故B 正确；
C．当
，由机械能守恒可得
时
解得
此
小球做
周运
需要的向心力
时
圆
动
为
重力沿杆方向的分力为
杆
小球无作用力，小球只受重力作用，故
则
对
C 正确；
D．杆
小球的作用力由支持力逐
拉力，
在水平方向
向左的推力逐
对
渐变为
则
为
渐变为0，再
向右的拉力；杆
小球
变为
对
无作用力
水平方向速度速度最大，
时
为
故D 正确。
故选BCD。
【变式训练7-1】如
所示，一根
直
杆两端分
固定小球
图
长
轻
别
A 和B，A 球、B 球
量分
质
别为2m、m，两球半径忽略不
，杆的
度
计
长
为l。将两球套在“L”形的光滑杆上，A 球套在水平杆上，B 球套在
直杆上，开始
竖
A、B 两球在同一
直
竖
上。
振
小球
线
轻轻
动
B，使小球A 在水平面上由静止开始向右滑
。当小球
动
B 沿
下滑距离
墙
为0.5l
，下列
法正确
时
说
的是（　　）
A．小球A 的速度为
B．小球B 的速度为
C．小球B 沿
下滑
墙
0.5l
程中，杆
过
对A 做功
D．小球B 沿
下滑
墙
0.5l
程中，
过
A 球增加的
能等于
动
B 球减少的重力
能
势
【答案】A
【
解】
详
AB．当小球B 沿
下滑距离
墙
为0.5l
，
时A 向右移
的距离
动
为
此
杆与水平方向的
角
时细
夹
为30°；
系
由机械能守恒定律可知
对
统
其中
解得
选项A 正确，B
；
错误
C．小球B 沿
下滑
墙
0.5l
程中，杆
过
对A 做功
选项C
；
错误
D．由能量关系可知，小球B 沿
下滑
墙
0.5l
程中，
过
B 球减少的重力
能等于
势
AB 两球增加的
能之和，
动
选项D
。
错误
故选A。
【变式训练7-2】如
所示，半径
图
为，
量不
的均匀
直放置，可以
心
质
计
圆盘竖
绕过圆
且与
面垂直的水平光滑固
盘
定
，在
面的最右
固定了一个
量
轴转动
盘
边边缘处
质
为
的小球A，在
心
圆
的正下方离
点
固定了一个
量
处
质
为
的小球B。
从静止开始
放
其自由
，重力加速度大小
现
释
圆盘让
转动
为
，下列
法正确的是（　　）
说
A．小球A 在最低点
的速度
时
为0
B．小球B 上升的最大高度为
C．小球A 的最大速度为
D．小球B
程中的最大
能
转动过
动
为
【答案】B
【
解】
详
A．因为A、B 两球的角速度相同，根据
可知同一
刻小球
时
A 的速度
是
总
B 的两倍；小球A 在最低点
，
此
时设
时A 的速度为
，B 的速度为
，根据系
机
统
械能守恒可得
又
立可得
联
故A
；
错误
B．设B 球上升到最大高度
与水平方向的
角
时
夹
为
，此
两球的速度均
零，根据系
机械能守恒有
时
为
统
解得
则B 球上升到最大高度为
故B 正确；
CD．从静止开始
放
，
某一
刻，小球
释
圆盘设
时
A 与
心
圆
O 的
与水平方向的
角
连线
夹
为
，此
小球
时
A 下降的高度为
小球B 上升的高度为
此
小球
设
时
A 的速度为
，小球B 的速度为
，根据系
机械能守恒可得
统
又
立可得
联
其中
可知B 的最大速度为
则A 的最大速度为
小球B
程中的最大
能
转动过
动
为
故CD
。故
错误
选B。
【变式训练7-3】如
所示，
图
A、B、C
三个可
点的小球，
为
视为质
A 球固定在光滑水平面上，A 与B、B 与C
均通
间
过长
为L 的
杆和
光滑
相
，初始
轻
轻质
铰链
连
时A、B、C 构成的系
受外力作用在
直平面内静止，
统
竖
A、C
距
间
为L。撤去外
力，当
时C 球
能最大，重力加速度
动
为g，
（　　）
则
  
A．撤去外力的瞬
，
间B 的加速度为0
B．B 下降
程中，
过
C 一直向左加速
C．C
能最大
，
动
时B、C 速度大小之比
D．B 速度最大值为
【答案】C
【解析】A．撤去外力瞬
，
间B 所受合外力不再
零，
为
则B 的加速度不
零，故
为
A
；
错误
BD．由
已知，当
题
时C 球
能最大，即
动
C 球速度最大，分析可知，当B 球落地
，
时B 球的速度达到最大值，
此
因
时
为C 球被杆限制的原因，杆的水平方向的速度
零，
可知
为
则
C 球的速度减
零，因此可得
为
B 下降
程中，
过
C 先
向左加速，后向左减速；而B、C
成的系
机械能守恒，当
组
统
B 落地
，
时B 的重力
能全部
化成了
势
转
B 的
能，根据机
动
械能守恒有
解得B 球速度的最大值为
故BD
；
错误
C．当
时C 球
能最大，而
动
B 球在下降
程中做
周运
，此
过
圆
动
时B 球的速度恰好沿着B、C
杆的方向，而
间
C 球的速度水平向左，根据
接体的关
速度，可知
连
联
BC 球的沿着杆速度一致，
有
则
即
故C 正确；故选C。
【变式训练7-4】如
所示，小滑
图
块P、Q 的
量均
质
为m，P 套在固定光滑
直杆上，
竖
Q 放在光滑水平面上。P、Q
通
间
用
过铰链
长为L 的
杆
接，
杆与
直杆的
角
轻
连
轻
竖
夹
为α，一水平
簧左端与
轻弹
Q 相
，右端固定在
直杆上。当
连
竖
α＝
30°
，
簧
于原
，
时弹
处
长P 由静止
放，下降到最低点
释
时α 变为60°，整个运
程中，
动过
P、Q 始
在同一
直平面内，
终
竖
簧在
性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度
弹
弹
为g。则P 下降
程中（　　）
过
A．P、Q
成的系
机械能守恒
组
统
B．
簧
性
能最大
弹
弹
势
值为
❑√3−1
2
mgL
C．
直杆
滑
竖
对
块P 的
力始
大于
簧
力
弹
终
弹
弹
D．滑块P 的
能达到最大
，
动
时Q 受到地面的支持力大于2mg
【解答】解：A、P 下降
程中，
簧
过
弹
对Q 要做功，所以P、Q
成的系
机械能不守恒，故
组
统
A
；
错误
B、
于
对
P、Q、
簧
成的系
，由于只有重力和
簧的
力做功，所以
系
机械能守恒，根据机械能守恒定律知
弹
组
统
弹
弹
该
统
簧
性
能的最大
：
弹
弹
势
值为E p=mgL(cos30°−cos60°)= (❑√3−1)mgL
2
，故B 正确；
C、因Q 向左先加速运
后减速运
，
动
动Q 的合力方向先向左后向右，P 在水平方向合力
零，以
为
P、Q 整体
研究
象
为
对
，
其水平方向的合力先向左后向右，因此
直杆的
力先大于
簧
力，后小于
簧
力，故
竖
弹
弹
弹
弹
弹
C
；
错误
D、P 由静止
放，开始向下做加速度逐
减小的加速运
，当加速度
零
，
释
渐
动
为
时P 的速度达到最大，此
滑
时
块P 的
能
动
最大，对P、Q
成的系
整体受力分析，在
直方向受力平衡，可得
组
统
竖
Q 受到地面的支持力等于2mg，故D
。
错误
故
：
选B。
【变式训练7-5】如
所示，可
点的小球
图
视为质
A 和B 用一根长为0.2 m 的
杆相
，两球
量均
轻
连
质
为1 kg，开始时
两小球置于光滑的水平面上，并
两小球一个大小
给
为2 m/s，方向水平向左的初速度，
一段
，两小球滑上一
经过
时间
个
角
倾
为30°的光滑斜面，不
球与斜面碰撞
的机械能
失，重力加速度
计
时
损
g 取10 m/s2，在两小球的速度减小
零
为
的
程中，下列判断正确的是
过
(　　)
A．杆
小球
对
A 做
功           
负
B．小球A 的机械能守恒
C．杆
小球
对
B 做正功           D．小球B 速度
零
距水平面的高度
为
时
为0.15 m
【答案】D
【解析】由于两小球
成的系
机械能守恒，
两小球的速度减
零
，
组
统
设
为
时B 小球上升的高度为h，
由机械能守恒定律
则
可得mgh＋mg(h＋Lsin 30°)＝·2mv，其中L
杆的
度，
为轻
长
v0
两小球的初速度，代入数据解得
为
h＝0.15 m，选项
D 正确；在A 球沿斜面上升
程中，
杆
过
设
对A 球做的功为W，
由
能定理可得－
则
动
mg(h＋Lsin 30°)＋W＝0－mv，代
入数据解得W＝0.5 J，选项A、B
；
杆
小球
错误设
对
B 做的功为W′，
小球
对
B，由
能定理可知－
动
mgh＋W′＝0－
mv，代入数据解得W′＝－0.5 J，选项C
．
错误
【变式训练7-6】（多选)如
所示，滑
图
块a、b 的
量均
质
为m，a 套在固定
直杆上与光滑水平地面相
竖
距h，b 放在地面上．a、b 通
用
性
杆
接，由静止开始运
．不
摩擦，
过铰链
刚
轻
连
动
计
a、b 可
点，重
视为质
力加速度大小为g.
             
则
(　　)
A．a 落地前，
杆
轻
对b 一直做正功                     B．a 落地
速度大小
时
为
C．a 下落
程中，其加速度大小始
不大于
过
终
g
D．a 落地前，当a 的机械能最小
，
时b
地面的
力大小
对
压
为mg
【答案】　BD
【解析】　由于
性杆不伸
，滑
刚
缩
块a、b 沿杆方向的分速度相等，滑块a 落地
，速度方向
直向下，故此
滑
时
竖
时
块b 的
速度
零，可
滑
为
见
块b 由静止开始先做加速运
后做减速运
，
滑
动
动对
块b 受力分析，可知杆
滑
对
块b 先做正功，后做
功，
负
选项A
；因系
机械能守恒，
杆
滑
错误
统
则
对
块a 先做
功，后做正功，做
功
，滑
负
负
时
块a 的加速度小于g，做正
功
，滑
时
块a 的加速度大于g，选项C
；杆
滑
错误
对
块a 的
力
好
零
，
弹
刚
为
时a 的机械能最小，此
滑
时对
块b 受力分析，
可知地面对b 的支持力
好等于
刚
mg，根据牛
第三定律，
顿
b
地面的
力大小
对
压
为mg，选项D 正确；由机械能守恒定
律，可得mgh＝mv2，即v＝，选项B 正确．
【变式训练7-7】（多选)
是生活中常
的运
形式。如
甲所示，
摆动
见
动
图
长为L 的
杆一端
光滑的
，另一端固
轻
绕
轴转动
定
量
质
为m 的小球1。如
乙所示，
图
长为
的
杆一端
光滑的
，中点
和另一端分
固定
量均
轻
绕
轴转动
处
别
质
为m 的小
球2、3。三个小球均可
点，两杆均从水平位置由静止
放，忽略空气阻力。下列
法正确的是（　　）
视为质
释
说
  
A．1、2 运
到各自最低点
的
能相等
动
时
动
B．1、2 运
到各自最低点
的向心加速度大小之比
动
时
为5：3
C．在2 运
到最低点的
程中，
杆
动
过
轻
对2 做正功
D．在3 运
到最低点的
程中，
杆
动
过
轻
对3 做的功为
【答案】BD
【
解】
详
A．对1 由机械能守恒定律可得
对2、3
成的系
由机械能守恒定律可得
组
统
由同
律可得
轴转动规
合解得
综
 故A
；
错误
B．根据
1 在A 点的向心加速度
2 在B 点的向心加速度
合可得
综
故B 正确；
C．在2 运
到最低点的
程中，
动
过
对2 由
能定理可得
动
合解得
杆
综
轻
对2 做的功为
故C
；
错误
D．在3 运
到最低点的
程中，
杆
动
过
轻
对2、3 做的功的代数和为0，
杆
则轻
对3 做的功为
故D 正确。故选BD。
【变式训练7-8】（多选)
代科学的
展揭示了无序性也是世界构成的一个本
要素。意大利物理学家
治
现
发
质
乔
·帕里西
了从原子到行星尺度的物理系
中无序和
落
的相互影响，深刻揭示了无序体系中的
藏
称性，荣
了
发现
统
涨
间
隐
对
获
诺
物理学
。如
所示是力学中的一个无序系
模型，
量均
贝尔
奖
图
统
质
为1kg 的小球M、N 用两根
度均
长
为
的轻质
杆
细
a、b
接，
杆
连
细
a 的一端可
固定点
绕
O 自由
，
杆
转动细
b 可
小球
绕
M 自由
。开始
两球与
转动
时
O 点在同一高度，
静止
放两球，并开始
，两球在
直面内做无序运
；
释
计时
竖
动t＝2s
，
杆
时细
a 与
直方向的
角
竖
夹
为
，小球N 恰
好到达与O 点等高
且速度方向水平向右。重力加速度
处
，不
一切摩擦和空气阻力，下列
法正确的是（
计
说
 
）
A．t＝2s
，两小球速度大小相等
时
B．t＝2s
，
时N 球的速度大小为1.5m/s
C．此运
程中，
杆
动过
细
b 对N 球做功1J
D．此运
程中，
动过
a、b 两杆对M 球做功之和
－
为
1.125J
【答案】BD
【
解】
详
A．
杆
细
a 的一端可
固定点
绕
O 自由
，
转动则M 的速度方向始
与杆
终
a 垂直，设t＝2s
，
时M、N 的速度大小分
别为
、
，如
所示
图
当N 速度方向水平向右
，根据关
速度可知
时
联
可得
故A
；
错误
B．根据机械能守恒定律有
解得
，方向向右下方，与水平方向的
角
夹
为
，方向水平向右故B 正确；
C．对N 由
能定理有
动
解得
故C
；
错误
D．对M 球根据
能定理有
动
解得
故D 正确。
故选BD。
【变式训练7-9】（多选)如
所示，不
量的
杆两端分
通
固定有可
点的小球
图
计质
细
别
过铰链
视为质
A、B，
量均
质
为
m，杆的
度
长
为l。开始时A、B 均靠在光滑
直
面上并
于静止状
，
竖
墙
处
态A 在光滑水平地面上。当有
微
后，可能
轻
扰动
A 球开始沿水平面向右滑
，
动B 球随之下降，也可能B 球先向右运
。两球始
在同一
直平面内运
，
杆与水平
动
终
竖
动细
方向的
角
夹
为
（
），重力加速度大小为g。下列
法正确的是（　　）
说
A．不管A 先向右运
是
动还
B 先向右运
，当
动
，
时A 和B 的
能都达到最大
动
B．不管A 先向右运
是
动还
B 先向右运
，当
动
，都会离开
直
面
时
竖
墙
C．A 先向右运
，
动时A 球的机械能先增大后减小
D．B 先向右运
，
动时B 球的机械能先增大后减小
【答案】BC
【解析】B．若A 先向右运
，假
小球
动时
设
B 能一直沿着
面向下运
，
杆与水平方向的
角
墙
动设细
夹
为
，两小球的速
时
度大小分别为
、
，根据
接体关
速度之
的关系可得
连
联
间
即
由
能定理有
则
动
整理
合数学知
可得
结
识
当
 
取等号，
明小球
时
说
A 的
能先增大后减小，即杆中先存在
的内力，之后出
拉伸的内力，故此后
动
挤压
现
B
会离开
面，直至
墙
B 落地，B 的重力始终对AB
成的系
做正功，因此
组
统
B 的
能始
增大；
动
终
若B 先向右运
，当杆与水平方向成
动时
角
，球
时
B 的速度大小为v，根据机械能守恒定律有 
解得
于小球
对
B，由牛
第二定律有
顿
 由上两式解得
当
 时
，即此时A 离开
面，此后
墙
AB 及杆
成的系
机械能守恒，
组
统
B 的
能
增大，但
动
继续
B 的机械能
减小，一部分机械能
化成了
转
A 的
能，故
动
B 正确；
A．根据以上分析可知，B 的
能一直在增大，直至落地
能达到最大，故
动
时动
A
；
错误
C．根据以上分析可知，杆对A 的作用力对A 先做正功后做
功，故
负
A 球的机械能先增大后减小，故C 正确；
D．根据以上分析可知，当B 先向右运
，
动时B 球机械能先不
后减小，故
变
D
。
错误
故选BC。
【变式训练7-10】（多选)如
所示，滑
图
块a、b 的
量均
质
为m，a 套在固定
直杆上，与光滑水平地面相距
竖
h，b 放在
地面上。a、b 通
用
性
杆
接，由静止开始运
。不
摩擦，
过铰链
刚
轻
连
动
计
a、b 可
点，重力加速度大小
视为质
为g。则(　　)
A．a 落地前，
杆
轻
对b 一直做正功
B．a 落地
速度大小
时
为
C．a 下落
程中，其加速度大小始
不大于
过
终
g
D．a 落地前，当a 的机械能最小
，
时b
地面的
力大小
对
压
为mg
【答案】BD 
【解析】由
意知，系
机械能守恒，
某
刻
题
统
设
时
a、b 的速度分别为va、vb，此
杆与
直杆的
角
时轻
竖
夹
为θ，分
将
别
va、
vb 分解，如
所示。
图
因
杆不可伸
，所以沿
杆的分速度
为轻
长
轻
v∥与v′∥是相等的，即vacos θ＝vbsin θ。当a 滑至地面时θ＝90°，此
时vb＝0，由系
机械能守恒得
统
mgh＝mv，解得va＝，选项B 正确；由于b 初、末速度均
零，运
程中其
能先
为
动过
动
增大后减小，即
杆
轻
对b 先做正功后做
功，
负
选项A
；
杆
错误轻
对b 的作用先是推力后是拉力，对a
先是阻力后是
则
力，即
动
a 的加速度在受到
杆的向下的拉力作用
大于
轻
时
g，选项C
；
错误b 的
能最大
，
杆
动
时轻
对a、b 的作用力为
零，此时a 的机械能最小，b 只受重力和支持力，所以b
地面的
力大小
对
压
为mg，选项D 正确。
【变式训练7-11】（多选)如
所示，一
杆可
光滑固定
。在
直平面内自由
，杆的两端固定有小球
图
轻
绕
转轴
竖
转动
A 和
B(可看作
点
质
)，A、B 的
量分
质
别为2m 和m，到转轴O 的距离分别为2L 和L，重力加速度为g。
将
杆从水平位置
现
轻
由静止
放，
杆开始
释
轻
绕O
自由
，当球
轴
转动
A 到达最低点
，下列
法正确的是（　　）
时
说
A．球B 的速度大小为
B．球A 的速度大小为
C．杆
球
对
A 的拉力大小为
D．杆
球
对
A 做的功为
【答案】BC
【
解】
详
AB．
于
对
A、B 两球及
杆
成的系
，由于只有重力做功，
系
的机械能守恒，取
杆原来的水平面
零
轻
组
统
则
统
轻
为
能参考面，可得
势
由
，可知
解得
，
故A
，
错误B 正确；
C．当球A 到达最低点
，由牛
第二定律得
时
顿
解得杆
球
对
A 的拉力大小为
故C 正确；
D．对A 由
能定理得
动
解得杆
球
对
A 做的功为
故D
。故
错误
选BC。
【变式训练7-12】（多选)如
所示，两个
量相等的小球
图
质
a、b 通
用
过铰链
长为
的
性
杆
接，
刚
轻
连
a 套在
直
竖
杆M 上，b 套在水平杆N 上，最初
性
杆与
杆
刚
轻
细
M 的
角
夹
为45°。两根足
的
杆
够长
细
M、N 不接触（a、b 球均可越
过O 点），且两杆
的距离忽略不
，将两小球从
示位置由静止
放，不
一切摩擦。下列
法中正确的是（　　）
间
计
图
释
计
说
A．a、b 球
成系
机械能守恒
组
统
B．a 球的最大速度为
C．b 球的最大速度为
D．a 球从初位置下降到最低点的
程中，
接杆
过
连
对a 球的
力先做
功，后做正功
弹
负
【答案】AC
【
解】
详
A．a 球和b 球所
成的系
中重力做功使重力
能与
能相互
化，不改
的机械能，
杆
组
统
势
动
转
变总
轻
对a、b 做功使
机械能在a、b
相互
移同
不改
的机械能，
系
机械能守恒，
间
转
样
变总
则
统
A 正确；
B．当a 球运
到
动
O 点时b 球速度
零且高度不
，
为
变b 球机械能等于最初位置
的机械能，由于系
机械能守恒，
时
统
a 球
此
的机械能与最初位置
的机械能同
也相等，由
时
时
样
可得
但此
不是最大速度，
了
时
过
O 点后a 球的重力大于杆向上的分力会
向下加速直到杆向上的分力与重力大小相等
继续
速度达到最大，
时
B
；
错误
C．当a 球运
到最低点
动
时a 球的机械能最小，b 球的机械能最大，
能最大，
动
a 球的机械能全部
化
转
为b 球的
能，
动
根据
b 球的最大速度
C 正确；
D．a 球从初位置下降到O 点的
程中，
过
b 的速度先增大后减小，
明杆
说
对b 球先做正功后做
功，
杆
负
则
对a 球先做负
功后做正功，a 球从O 到最低点
程中，
过
a 球速度先增大后减小，开始a 球的重力大于
杆拉力的
直分量
轻
竖
a 球加速
运
，后来
动
a 球的重力小于
杆拉力的
直分量
轻
竖
a 球减速运
，来到最低点
速度减
动
时
为0，杆对a 球做
功，即
负
a 球从
初位置下降到最低点的
程中，
接杆
过
连
对a 球的
力先做
功后做正功，再做
功，
弹
负
负
D
。
错误
故选AC。
【变式训练7-13】（多选)半径为R 的光滑
直放置，
上套有两个
量分
圆环竖
环
质
别为m 和
的小球A 和B。A、B
两球之
用一
间
长为
的
杆相
，如
所示。开始
，
轻
连
图
时A、B 两球都静止，且A 球在
的最高点，
将
圆环
现
A、B 两球由
静止
放，
下列
法正确的是（　　）
释
则
说
  
A．A、B 和
杆
成的系
在运
程中机械能守恒
轻
组
统
动过
B．B 球到达最低点
的速度大小
时
为
C．B 球到达最低点的
程中，杆
过
对A 球做
功
负
D．B 球在
右
区域内能达到的最高点位置高于
心
圆环
侧
圆环圆
【答案】ABD
【
解】
详
A．球A、B 和
杆
成的系
只有
能和
能
的相互
化，系
机械能守恒，
轻
组
统
动
势
间
转
统
A 正确；
B．
放后
释
B 球到达最低点的
程中，由机械能守恒定律，有
过
因为A、B 均做半径相同的
周运
且角速度相等，可得
圆
动
解得
，B 正确；
C．B 球到达最低点的
程中，
杆
过
设轻
对A 球做的功为
，对A 球
用
能定理可得
应
动
又
解得
，C
；
错误
D．设B 球到达右
最高点
，
侧
时OB 与
直方向之
的
角
竖
间
夹
为θ，如
所示
图
  
取
的
心
圆环
圆
O 所在的水平面
参考平面，由系
机械能守恒可得
为
统
代入数据可得
所以B 球在
右
区域内达到最高点
，高于
心
圆环
侧
时
圆
O 的高度
，D 正确。
故选ABD。
【变式训练7-14】（多选)如
所示
图
,
的一端系一
量
轻绳
质
为m 的金属环,另一端
定滑
挂一
量
绕过
轮悬
质
为5m 的重
物。金属
套在固定的
直光滑直杆上
环
竖
,定滑
与
直杆之
的距离
轮
竖
间
OQ=d,金属
从
中
环
图
P 点由静止
放
释
,OP 与直杆
之
的
角
间
夹
θ=37°,不
一切摩擦
计
,重力加速度为g,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,则(　　)
A.金属
从
环
P 上升到Q 的
程中
过
,重物所受重力的瞬
功率一直增大
时
B.金属
从
环
P 上升到Q 的
程中
过
,
子拉力
重物做的功
绳
对
为-10
3
mgd
C.金属
在
环
Q 点的速度大小为2❑√gd
D.若金属
最高能上升到
环
N 点,则ON 与直杆之
的
角
间
夹
α=53°
【答案】BCD　
【解析】
开始
刚
,重物的速度
零
为
,重物所受重力的瞬
功率
零
时
为
,当
上升到
环
Q 时,由于
的速度向上与
垂直
环
绳
,重物的
速度
零
为
,此
重物所受重力的瞬
功率
零
时
时
为
,故金属
从
环
P 上升到Q 的
程中
过
,重物所受重力的瞬
功率先增大后减
时
小,A 错误;金属
从
环
P 上升到Q 的
程中
过
,
重物由
能定理可得
对
动
W+5mg
d
sinθ -d =0,解得
子拉力
重物做的功
绳
对
为W=-10
3 mgd,B 正确;
金属
在
设
环
Q 点的速度大小为v,
和重物整体
对环
,由机械能守恒定律可得5mg
d
sinθ -d
=mg· d
tanθ + 1
2
mv2,解得v=2❑√gd,C 正确;若金属
最高能上升到
环
N 点,
在整个
程中
则
过
,
和重物整体
对环
,由机械能守
恒定律可得5mg
d
sinθ −
d
sin α
=mg
d
tanθ +
d
tan α
,解得ON 与直杆之
的
角
间
夹
α=53°,D 正确。
【变式训练7-15】（多选)如
所示，两根
度均
图
长
为L 的
杆，一端用
量
轻质细
质
为m 的球形（
球
视为铰链
a）
相
铰链
连，
两杆另一端分
安装
量
别
质
为m 和2m 的小球b、c。开始
两杆并
，
直放置在光滑水平地面上，
球在上，从静
时
拢竖
铰链
止
放，
释
b、c 两球开始向两
滑
，两杆始
保持同一
直面内。已知三球本身的大小、
边
动
终
竖
a 小球碰地面的能量
失以
损
及一切阻力均可忽略，重力加速度为g。下列
法正确的是（　　）
说
A．a、b、c 三小球
成的系
机械能守恒
组
统
B．a、b、c 三小球
成的系
量守恒
组
统动
C．a 小球碰地面
速度
时
为
D．当两杆
角
夹
为
，
时b、c 两球的速度之比为
【答案】ACD
【
解】
详
AC．
球
铰链
a 与桌面相碰
，三球的水平速度均
零，只有
球
时
为
铰链
a 具有
直向下的速度
竖
。a、b、c 三小球组
成的系
机械能守恒，
有
统
则
解得a 小球碰地面
速度
时
为
故AC 正确；
BD．在
球下落
程中，
球
铰链
过
铰链
a
直方向有加速度，
竖
b、c 两球
直方向没有加速度，可知
竖
a、b、c 三小球
成的系
组
直方向
量不守恒；
统竖
动
a、b、c 三小球
成的系
水平方向不受力，故
组
统
a、b、c 三小球
成的系
水平方向
量守恒
组
统
动
，
当两杆
角
夹
为
，如
所示
时
图
根据系
水平方向
量守恒可得
统
动
，a、b、c 三小球
成的系
机械能守恒，
有
组
统
则
因杆
性，每杆上、下两端小球沿杆
方向的速度分量
相同，当
刚
长
应
两杆
角
夹
为
，有
时
；
立以上各式可解得
联
；
；
；
故当两杆
角
夹
为
，
时b、c 两球的速度之
比为
故B
，
错误D 正确。故选ACD。
【变式训练7-16】如
所示，固定的
斜
道
角
图
倾
轨
倾
，其底端与
直平面内半径
竖
为R 的
弧
道相切、相
接
圆
轨
连
，
位置P
弧
道的最低点。
量分
为圆
轨
质
别为2m、m 的小球A、B 用长
的
杆通
相
，
轻
过轻质铰链
连A 套在
斜
倾
轨
道上，B 套在固定的
直
道上，
直
道
弧
道的
心
竖
轨
竖
轨
过圆
轨
圆
O。现A 受到一沿
斜
道向上的推力
于静止状
，
倾
轨
处
态
此
杆与
斜
道垂直，撤去推力后，
时轻
倾
轨
A 由静止沿
斜
道、
弧
道运
。假
在运
程中
杆和
直
道不
倾
轨
圆
轨
动
设
动过
轻
竖
轨
会碰撞，不
一切摩擦，重力加速度
计
为g。
（1）求推力的大小F；
（2）求A 运
至
动
P 点
的速度大小
时
；
（3）A 运
至
动
P 点
，
道
时轨
对A
生方向
直向上、大小
产
竖
为
的
力，求此
弹
时B 的加速度大小
。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【
解】（
详
1）在有推力
，小球
于静止状
，即合力
零。由平衡推
有
时
处
态
为
论
（2）
小球
设
A 初始位置距离水平面高度为
由几何关系有
解得
小
设
环B 初始位置距离水平面高度为
，有几何关系有
解得
运
程中系
机械能守恒，由机械能守恒定律有
动过
统
，
解得
（3）以小环B
研究
象，由牛
第二定律有
为
对
顿
以小球A
研究
象，由牛
第二定律有
为
对
顿
解得
【变式训练7-17】如
所示，
图
A、B 两小球分
固定在一
性
杆的两端，两球球心
相距
别
刚
轻
间
L＝1.0 m，两球
量分
质
别
为mA＝4.0 kg，mB＝1.0 kg，杆上距A 球球心0.40 m
有一水平
处
轴O，杆可
无摩擦
绕轴
转动，
先使杆保持水平，
现
然后从静止
放。当杆
到
直位置，
：
释
转
竖
则
(1)两球的速度各是多少？
(2)
程中杆
转动过
对A 球做功
多少？
为
(
算中重力加速度的数
计
值g 取10 m/s2)
【答案】(1) m/s　 m/s　(2)－9.6 J
【解析】(1)对A、B
成的系
，在
程中机械能守恒
组
统
转动过
mAgLA＝mBgLB＋mAv＋mBv
其中vA∶vB＝ωLA∶ωLB＝LA∶LB
代入数据得vA＝ m/s，
vB＝ m/s。
(2)对A 球
用
能定理
应
动
mAgLA＋W＝mAv，解得W＝－9.6 J。
题型08：弹簧类问题机械能转化的问题
【典型例题1】如
所示，
直放置的
簧一端固定于水平地面，
量
图
竖
轻弹
质
的小球在
簧正上方某
由静止
轻弹
处
下落，同
受到一个
直向上的恒定阻力。以小球开始下落的位置
原点，
直向下
时
竖
为
竖
为x
正方向，取地面
重力
轴
为
势
能零
能参考面，在小球下落至最低点的
程中，小球重力
能
势
过
势
EP、
簧的
性
能
弹
弹
势
E 弹随小球位移
化的关系
变
图线
分
如
甲、乙所示，
簧始
在
性限度范
内，取重力加速度
别
图
弹
终
弹
围
g=10m/s2，
（　　）
则
A．根据甲
可知小球下落的初始位置距地面的高度
图
为0.6m
B．根据乙
可知
簧的最大
量
图
弹
压缩
为0.6m
C．根据甲
和乙
可知，小球在最低点
的重力
能
图
图
时
势
为5.2J
D．小球下落到最低点
程受到的阻力大小
过
为2N
【答案】D
【
解】
详
A．根据甲
可知，开始下落
图
时
解得
h0=1m
即小球下落的初始位置距地面的高度为1m，故A
；
错误
B．根据乙
可知
簧的最大
量
图
弹
压缩
为0.6m-0.5m=0.1m，故B
；
错误
C．根据甲
和乙
可知，由能量关系可知
图
图
初始状
小球的重力
能
态
势
为EP0=10J，小球在最低点
的重力
能
时
势
为
Ep1=10J-6J=4J
故C
；
错误
D．小球在最低点
的
力
能
时
弹
势
为E 弹=4.8J，由能量关系
解得小球下落到最低点
程受到的阻力大小
过
为
f=2N
故D 正确。
故选D。
【典型例题2】如
所示，一
簧一端固定在
图
轻质弹
点，另一端与小球相
。小球套在
直固定、粗
均匀的粗糙杆
连
竖
细
上，
与杆垂直，小球在
点
，
簧
于自然伸
状
，
时弹
处
长
态
两点与
点的距离相等，最大静摩擦力等于滑动
摩擦力．小球从
点静止
放，在运
程中，
簧始
在
性限度内，下列
法正确的是（
释
动过
弹
终
弹
说
    ）
A．小球运
到
动
点
速度最大
时
B．小球运
到
动
点
的速度是运
到
时
动
点速度的
倍
C．从
点到
点的运
程中，小球受到的摩擦力先
大再
小
动过
变
变
D．从
点到
点和从
点到
点的运
程中，小球受到的摩擦力做功相同
动过
【答案】D
【
解】
详
A．滑
摩擦力
动
逐
减小，加速度
零
速度最大，小球运
到
渐
为
时
动
点
加速度不
零，故
时
为
A
；
错误
B．小球从
点向
点运
程，
簧与
直方向
角
动过
设弹
竖
夹
为
，
簧的拉力
弹
为
逐
减小，支持力
渐
为
逐
减小，摩擦力小球从
渐
到
根据功能关系
从
到
根据功能关系
故B
；
错误 
C．从
点到
点的运
程中，小球受到的摩擦力先
小再
大，故
动过
变
变
C
；
错误
D．根据
称性可知在任意关于
对
点
称的点摩擦力大小相等，因此由
称性可知
对
对
到
和
到
摩擦力做功大小
相等，故D 正确。
故选D。
【典型例题3】如
所示，
簧一端
接在固定斜面底端的
板上，另一端与物
图
轻质弹
连
挡
块A
接，物
连
块A 静止在斜面上，
簧恰好
于原
，
弹
处
长A 与斜面
摩擦因数
间动
μ = tanθ，t = 0
刻
时
给A 一沿斜面向下的瞬
冲量，物
时
块A 在运动过
程中，加速度a、
能
动
Ek、
性
能
弹
势
Ep与路程s 及运动时间t 的
化关系可能正确的是（
变
   ）
  
A．
  
B．
  
C．
    
D．
    
【答案】B
【解析】以
簧恰好
于原
的位置
坐
原点且取向下
正，
物
弹
处
长
为
标
为
则记
块A 运
的位移
动
为x，
滑
则
块A 下滑
程中有
过
x 
= s，上滑
程中
过
s = 2s0－x，故加速度a、
能
动
Ek、
性
能
弹
势
Ep 与路程s 的关系
与关于位移
图线
x 的关系
形状
图线
相同。
AB．由于
开始
物
刚
时
块A 静止在斜面上，
簧恰好
于原
，
弹
处
长A 与斜面
摩擦因数
间动
μ = tanθ，
物
则
块A 下滑
程
过
中有
kx = ma
物
则
块A 下滑
程中
过
a—x
是一条
原点的直
，当
图线
过
线
A 下滑的到最低点后上滑
程中有
过
kx－2mgsinθ = ma
则A 上滑
程中
过
a—x
是一条下
的直
，且最大加速度要比上滑的最大加速度要小，但物
图线应
倾
线
块A 不是做匀
速
变
直
运
，
线
动则a 与t 的关系不可能是直
，
线A
、
错误B 正确；
C．根据以上分析可知，滑
下滑
程中重力和摩擦力抵消，
滑
的合外力
力，根据
能定理有
块
过
则
块
为弹
动
下滑
程中
则
过
Ek—x
是一条开口向下的抛物
，当滑
上滑
程有
图线应该
线
块
过
上滑
程中
则
过
Ek—x
也
是一条开口向下的抛物
，但根据牛
第二定律可知上滑
程中在到达
图线
应该
线
顿
过
x = 0（即路
程2s0）前某位置有A 的合外力
零，此位置
能最大，此后
为
动
A 就开始做减速运
，
能将减小，
动动
C
；
错误
D．物体A 下滑
程中
过
Ep 与下滑位移x 的关系为
物
则
块A 下滑
程中
过
Ep—x
是一条开口向上的抛物
，当滑
上滑
程有
图线应该
线
块
过
物
则
块A 上滑
程中
过
Ep—x
是一条开口向下的抛物
，
图线应该
线D
。
错误
故选B。
【典型例题5】（多选）如
所示，一个
簧下端固定在足
的光滑斜面的最底端，
簧上端放上物
图
轻质弹
够长
弹
块A，A 与
簧不拴接。
弹
对A 施加沿斜面向下的力使
簧
于
状
，撤去外力
放物
弹
处
压缩
态
释
块A，A 沿斜面向上运
到最大位移
动
过
程中，以下
法正确的是（　　）
说
A．物块A 的
能先增大后减小
动
B．物块A 的机械能保持不变
C．
簧的
性
能与物
弹
弹
势
块A 的
能之和一直减小
动
D．物块A 从
放到离开
簧
程中加速度一直减小
释
弹
过
【答案】AC
【
解】
详
A．物块A 的速度从零增大到最大再减速到零，故
能先增大后减小，故
动
A 正确；
B．
簧
物
做正功，故物
弹
对
块
块A 的机械能增加，故B
；
错误
C．
簧与物
成的系
机械能守恒，物
弹
块组
统
块A 的重力
能一直增加，
簧的
性
能与物
势
弹
弹
势
块A 的
能之和一直减小
动
，
故C 正确；
D．物块A 从
放到离开
簧
程中，
簧形
量一直减小，先开始加速度向上，一直到平衡位置，根据牛
第二定
释
弹
过
弹
变
顿
律
知加速度减小，之后，加速度向下，根据牛
第二定律
顿
知加速度增加，故D
。
错误
故选AC。
【典型例题5】（多选）2023 年10 月3 日，中国
手
浪宇在男子个人比
中
中国
床
再添一金。如
甲所示，
选
严
赛
为
蹦
队
图
在
运会
床
目比
中，当
浪宇下落到离地面高
亚
蹦
项
赛
严
开始
，其
能
处时
计时
动
与离地高度h 的关系如
乙所示．
图
在
段
像
直
，其余部分
曲
，若
浪宇的
量
阶
图
为
线
为
线
严
质
为m，重力加速度为g，不
空气阻力和一切摩擦。下
计
列
法正确的是（　　）
说
A．整个
程中
浪宇与
床
成的系
机械能守恒
过
严
蹦
组
统
B．
浪宇
于
严
处
高度
，他开始接触
床
时
蹦
C．
浪宇
于
严
处
高度
，
床的
性
能
时蹦
弹
势
为
D．从
浪宇接触
床直至
床被
至最低点的
程中，其加速度先增大后减小
严
蹦
蹦
压缩
过
【答案】AC
【
解】
详
A．整个
程中
浪宇与
床
成的系
只有重力和
力做功，机械能守恒，故
过
严
蹦
组
统
弹
A 正确；
B．从
浪宇下落到离地面高
严
开始
，接触
床前
处
计时
蹦
像
直
，故
图
为
线
高度
，
浪宇开始接触
床，
时严
蹦
故B
；
错误
C．从
到
，
能不
，根据系
机械能守恒可知，减小的重力
能
化
床的
性
能，
床的
性
动
变
统
势
转
为蹦
弹
势
则蹦
弹
能
势
为
故C 正确；
D．从
浪宇接触
床直至
床被
至最低点的
程中，
浪宇受到
直向下的重力和
直向上的
力，
力从零
严
蹦
蹦
压缩
过
严
竖
竖
弹
弹
开始不断增大，
力先小于重力，后大于重力，合力先减小后增大，
加速度先减小后增大，故
弹
则
D
。
错误
故选AC。
【典型例题6】（多选）如
所示，足
的光滑斜面固定在水平面上，
簧与
图
够长
轻质弹
A、B 物
相
，
块
连A、C 物
由跨
块
过
光滑小滑
的
接。初始
刻，
轮
轻绳连
时
C 在外力作用下静止，
中恰好无拉力，
绳
B 放置在水平面上，A 静止。
撤去外力
现
，
物块C 沿斜面向下运
，当
动
C 运
到最低点
，
动
时B
地面的
力
好
零。已知
对
压
刚
为
A、B 的
量均
质
为m，
簧始
于
弹
终处
弹
性限度内，
上述
程中
则
过
(　　)
A．C 的
量
质
mC可能小于m                  B．C 的速度最大
，
时A 的加速度
零
为
C．C 的速度最大
，
簧
性
能最小
时弹
弹
势
       D．A、B、C 系
的机械能先
大后
小
统
变
变
【答案】BCD 
【解析】
簧原来的
量
弹
压缩
x1＝，当C 运
到最低点
，
动
时B
地面的
力
好
零，
簧的拉力等于
对
压
刚
为
弹
B 的重力，
簧
则弹
此
的伸
量
时
长
为x2＝，则x1＝x2，
簧初、末状
的
性
能相等，根据
弹
态
弹
势
A、B、C 和
簧构成的系
机械能守恒，
弹
统
则
有mCgsin α·＝mg·，α 是斜面的
角，解得
倾
mCsin α＝m，sin α<1，所以mC>m，故A
；
错误C 速度最大
，加速度
时
零，
有
子拉力
为
则
绳
FT＝mCgsin α＝mg，因此A 的加速度
零，此
簧的
力
零，
簧
性
能最小，故
为
时弹
弹
为
弹
弹
势
B、C
正确；由于A、B、C 和
簧构成的系
机械能守恒，而
簧先由
恢复原
再拉伸，所以
性
能先减小后增加，
弹
统
弹
压缩
长
弹
势
故A、B、C 系
的机械能先
大后
小，故
统
变
变
D 正确。
【变式训练8-1】如
所示，
角
图
倾
为θ = 30°的斜面体c 固定在水平地面上，
量
质
为M = 2m 的物体b 置于光滑的
斜面上，通
跨
光滑的定滑
与
量
过细绳
过
轮
质
为m 的物体a
接，
接
连
连
b 的一段
与斜面平行，
接
细绳
连
a 的一段细绳
直，
竖
a
接在
直固定在地面的
簧上，用手托住物体
连
竖
弹
b 使物体a 和b 保持静止不
，此
伸直且拉力
零，
动
时细绳
为
簧的
量
弹
压缩
为x0。
在松开手，在物体
现
b 下滑2x0距离
，
下列
法中正确的是（
时则
说
   ）
  
A．物体a 与
簧
成的系
机械能守恒
弹
组
统
B．物体b 的重力
能减少
势
mgx0
C．
物体
细绳对
a 做的功为2mgx0
D．物体b 的速度大小为
【答案】C
【解析】A．
拉力
绳
对a 物体做正功，物体a 与
簧
成的系
机械能增加，故
弹
组
统
A
；
错误
B．2x0 是下滑距离，物体b 重力
能减少
势
Mgx0= 2mgx0，故B
；
错误
D．
簧的
量和伸
量相等，所以
性
能不
。由能量守恒定律得，物体
弹
压缩
长
弹
势
变
a 和物体b 的
能和等于
动
解得v = 0 故D
；
错误
C．由功能关系可知，拉力做的功等于物体a 与
簧
成的系
机械能增加量，物体
弹
组
统
a 的
能
动
为0，
拉力做的功等于
则
2mgx0，故C 正确。
故选C。
【变式训练8-2】如
，光滑水平地面上有一小
，一
簧的一端与
的
板相
，另一端与滑
相
，滑
与
图
车
轻弹
车厢
挡
连
块
连
块
的水平底板
有摩擦。用力向右推
使
簧
，撤去推力
滑
在
底板上有相
滑
。在地面参考系
车厢
间
动车厢
弹
压缩
时
块
车厢
对
动
（可
性系）中，从撤去推力开始，小
、
簧和滑
成的系
（　　）
视为惯
车弹
块组
统
A．
量守恒，机械能守恒
动
B．
量守恒，机械能不守恒
动
C．
量不守恒，机械能守恒
动
D．
量不守恒，机械能不守恒
动
【答案】B
【
解】因
滑
与
水平底板
有摩擦，且撤去推力后滑
在
底板上有相
滑
，即摩擦力做功，而水平地面
详
为
块
车厢
间
块
车厢
对
动
是光滑的；以小
、
簧和滑
成的系
，根据
量守恒和机械能守恒的条件可知撤去推力后
系
量守恒，机
车弹
块组
统
动
该
统动
械能不守恒。
故选B。
【变式训练8-3】如
所示，在
角
图
倾
为37°的粗糙且足
的斜面底端，一
量
够长
质
为
可
点的滑
一
视为质
块压缩
轻
簧并
定，滑
与
簧不拴
。
弹
锁
块
弹
连
刻解除
定，
算机通
感器描
出滑
的
时
锁
计
过传
绘
块
像，其中
图
Ob 段
曲
，
为
线
bc 段
直
，已知物
在
为
线
块
0-0.2s 内运
的位移
动
为0.8m，取
，
下列
法正确的
则
说
是（    ）
A．滑
速度最大
，滑
与
簧脱离
块
时
块
弹
B．滑
在
块
0.2s
机械能最大
时
C．滑
与斜面
的
摩擦因数
块
间
动
为
D．
刻
簧的
性
能
时
弹
弹
势
为32J
【答案】D
【
解】
详
A．当滑
速度最大
，
足
块
时满
此
力不
零，滑
与
簧
没有脱离，
时弹
为
块
弹
还
选项A
；
错误
B．滑
机械能增量等于
力做功与摩擦力做功的代数和，开始
力大于摩擦力，此
程中
力功大于摩擦力功，滑
块
弹
时弹
过
弹
的机械能增加；最后
段
力小于摩擦力，
力功小于摩擦力功，此
程中滑
的机械能减小，
滑
在
块
阶
弹
弹
过
块
则
块
0.2s 时弹
力
零，此
滑
的机械能不是最大，
为
时
块
选项B
；
错误
C．滑
脱离
簧后向上减速运
的加速度
块
弹
动
根据牛
第二定律
顿
解得滑
与斜面
的
摩擦因数
块
间
动
为
选项C
；
错误
D．由能量关系可知，
刻
簧的
性
能
时
弹
弹
势
为
选项D 正确。
故选D。
【变式训练8-4】如
所示，
簧一端固定在
图
轻质弹
O
，另一端与
量
处
质
为m 的物
相
，物
套在光滑
直固定杆上
块
连
块
竖
．
开始
物
于
时
块处
A
且
簧
于原
．
将物
从
处
弹
处
长现
块
A
由静止
放，物
处
释
块经过B
簧与杆垂直，
处时弹
经过C
簧
处时弹
再次
于原
，到达
处
长
D
速度
零．已知
处时
为
OB 之
的距离
间
为L，∠AOB＝30°，∠BOD＝60°.
簧始
在
性限度之内
弹
终
弹
，
重力加速度为g.在物
下滑的整个
程中，下列
法正确的是
块
过
说
(　　)
A．物
在由
块
A
下滑至
处
C
的
程中机械能守恒
处
过
B．物
在
块
B
的速度
处
为
C．物
在
块
B
簧的
性
能最大
处时弹
弹
势
D．物
在
块
D
簧的
性
能
处时弹
弹
势
为mgL
【答案】　D
【解析】　物
在由
块
A
下滑至
处
C
的
程中，物
受到
簧的
力做功，物
的机械能不守恒，但是物
和
簧
成
处
过
块
弹
弹
块
块
弹
组
的系
机械能守恒，
统
A
；物
由
错误
块
A
下滑至
处
C
的
程中，若只是重力
能
化
能，
处
过
势
转
为动
则mgLtan 30°＝mv2，
可知物
在
块
B
的速度
，但
有一部分重力
能
化
性
能，所以物
在
处
为
还
势
转
为弹
势
块
B
的速度小于，
处
B
；物
由
错误
块
B 处
下滑至D
的
程中，物
和
簧
成的系
机械能守恒，
能减小，重力
能减小，所以
性
能增加，故
处
过
块
弹
组
统
动
势
弹
势
D 处弹
簧的
性
能大于
弹
势
B
簧的
性
能，
处弹
弹
势
C
；物
由
错误
块
A
下滑至
处
D
的
程中，物
的重力
能
化
簧的
处
过
块
势
转
为弹
弹
性
能，
势
则mg(Ltan 30°＋Ltan 60°)＝EpD，可得EpD＝mgL，D 正确．
【变式训练8-5】如
所示，
簧的一端与固定的
直板
图
轻质弹
竖
P 拴接，另一端与物体A 相
，物体
连
A 置于光滑水平桌
面上（桌面足
大），
够
A 右端
接一
，
光滑的定滑
与物体
连
细线细线绕过
轮
B 相
。开始
托住
连
时
B，让A
于静止且
恰
处
细线
好伸直，然后由静止
放
释
B，直至B
得最大速度。下列有关
程的分析中正确的是（　　）
获
该过
A．B 物体受到
的拉力保持不
细线
变
B．B 物体机械能的减少量等于
簧
性
能的增加量
弹
弹
势
C．A 物体
能的增量小于
动
B 物体所受重力对B 做的功与
簧
力
弹
弹
对A 做的功之和
D．A 物体与
簧所
成的系
机械能的增加量等于
弹
组
统
B 物体所受重力对B 做的功
【解答】解：A、以A、B
成的系
研究
象，根据牛
第二定律可得：
组
统为
对
顿
mBg﹣kx＝（mA+mB）a，从开始到B 速度达到
最大的
程中，
簧的伸
量
过
弹
长
x 逐
增加，
渐
则B 加速度逐
减小；
渐
对B 根据牛
第二定律可得：
顿
mBg﹣T＝mBa，可知在
此
程
子上拉力逐
增大，是
力，故
过
绳
渐
变
A
；
错误
B、整个系
中，根据功能关系可知，
统
B 减小的机械能
化
转
为A 的机械能以及
簧的
性
能，故
弹
弹
势
B 物体机械能的减少
量大于
簧
性
能的增加量，故
弹
弹
势
B
；
错误
C、根据
能定理可知，
动
A 物体
能的增量等于
簧
力和
子上拉力
动
弹
弹
绳
对A 所做功的代数和，由于
子的拉力小于
绳
B
所受重力，因此A 物体
能的增量小于
动
B 物体所受重力对B 做的功与
簧
力
弹
弹
对A 做的功之和，故C 正确；
D、根据机械能守恒定律可知，A 物体与
簧所
成的系
机械能的增加量等于
弹
组
统
B 物体机械能的减少量，也就是等于B
物体克服
拉力做的功，不等于
细绳
B 物体所受重力对B 做的功，故D
。
错误
故
：
选C。
【变式训练8-6】如
所示，足
的光滑斜面
角
图
够长
倾
为30°，
量
质
为m 的甲球与
量
质
为2m 的乙球被固定在斜面上
的
板
住，甲、乙
用
簧
接，系
于静止状
。已知重力加速度
挡
挡
间
轻弹
连
统处
态
为g，突然撤去
板，下列
法正确的是
挡
说
（　　）
A．撤去
板瞬
，甲的加速度大小
零
挡
间
为
B．撤去
板瞬
，乙的加速度大小
挡
间
为g
C．下滑
程中，甲球的机械能守恒
过
D．下滑
程中，甲、乙两球
成的系
机械能守恒
过
组
统
【解答】解：AB、撤去
板瞬
，
簧的
力不
，甲的受力情况不
，合力仍
零，所以甲的加速度
零。
挡
间弹
弹
变
变
为
为
乙，根据牛
第二定律有：
对
顿
3mg＝2ma，解得乙的加速度大小：a＝1.5g，故A 正确，B
；
错误
CD、下滑
程中，甲、乙两球及
簧
成的系
只有
簧的
力做功，所以系
机械能守恒，
甲球，由于
簧
力
过
弹
组
统
弹
弹
统
对
弹
弹
对
甲做功，甲的机械能不守恒，甲、乙两球
成的系
机械能也不守恒，故
组
统
CD
。
错误
故
：
选A。
【变式训练8-7】如
，一
有
直
板的足
的
台固定在地面上，台面水平且光滑。
量均
图
侧
竖
挡
够长
实验
质
为
的甲、
乙两小球用一根
度系数
劲
为
的
簧拴接在一起，小球乙与
直
板接触（不固定），用力推
小球甲
轻质弹
竖
挡
压
使
簧
，
簧
量
弹
压缩弹
压缩
为
定小球甲。
解除
小球甲的
定，同
小球甲施加一个水平向左的外力
时锁
现
对
锁
时给
F，使小球甲由静止开始向左以
的加速度做匀加速直
运
，当小球乙
要离开
直
板
撤掉外力
线
动
刚
竖
挡
时
F。有
关甲、乙两小球的运
情况的判断，下列
法正确的是（　　）
动
说
  
A．外力F 的最大值为
B．
簧
定
性
能
弹
锁
时弹
势
为
C．小球乙
离开
板瞬
小球甲的速度大小
刚
挡
间
为
D．外力F
小球甲做的功
对
为
【答案】C
【解析】A．解除
小球甲的
定，
小球甲施加外力的
程，根据牛
第二定律有
对
锁
给
过
顿
当
外力
时
F 最大，为
故A
；
错误
B．
簧
定
，
力做功
弹
锁
时弹
为
根据功能关系，
性
能
弹
势
为
故B
；
错误
C．根据
力学公式
动
解得
故C 正确；
D．解除
小球甲的
定，
小球甲施加外力的
程，由
能定理得
对
锁
给
过
动
解得
故D
。故
错误
选C。
【变式训练8-8】已知汽
在平直路面上由静止启
，阻力恒定，最
达到最大速度
车
动
终
后以
定功率匀速行
，
额
驶ab、
cd 平行于v
，
轴bc 反向延
原点
长线过
O，汽
量
车质
为M，已知M、
、
、
，下列
法不正确的是（　　）
说
  
A．汽
定功率
车额
为
B．汽
从
车
b 到c
程作
加速运
过
变
动
C．汽
匀加速运
持
的
车
动
续
时间为
D．汽
从
车
a 到b
程克服阻力做功
过
【答案】C
【解析】A．根据
可得
汽
定功率
象的斜率，有
车额
为图
故A 正确；
B．汽
从
车
b 到c
程中功率保持不
，随着汽
速度的增大，
引力减小，根据牛
第二定律有
过
变
车
牵
顿
可知随着
引力的减小，汽
的加速度减小，故汽
从
牵
车
车
b 到c
程作
加速运
，故
过
变
动
B 正确；
C．汽
所受的阻力
车
为
由于
定功率等于
象斜率有
额
图
即
汽
从
车
a 到b，根据牛
第二定律有
顿
汽
从
车
a 到b 匀加速运
持
的
动
续
时间为
故C
；
错误
D．汽
从
车
a 到b
程的位移
过
汽
从
车
a 到b
程克服阻力做功
过
故D 正确。
本
不正确的，故
题选
选C。
【变式训练8-9】如
所示，一
角
直角的“
图
顶
为
  ”形光滑
杆
直放置。
量均
细
竖
质
为
的两金属
套在
杆上，高
环
细
度相同，用一
度系数
劲
为
的
簧相
，此
簧
原
轻质弹
连
时弹
为
长
。两金属
同
由静止
放，运
程中
簧的伸
环
时
释
动过
弹
长
在
性限度内，且
簧始
保持水平，已知
簧的
度
弹
弹
终
弹
长
为
，
性
能
时弹
势
为
，重力加速度为
，下列
法正
说
确的是（　　）
  
A．金属
在最高点与最低点加速度大小相等
环
B．左
金属
下滑
程机械能守恒
边
环
过
C．
簧的最大拉力
弹
为
D．金属
的最大速度
环
为
【答案】A
【解析】B．左
金属
下滑
程，除重力以外，
簧的
力
它做功；故
金属
而言，下滑
程中机械能不守恒；故
边
环
过
弹
弹
对
对
环
过
B
；
错误
C．金属
下降
环
达到最低
，速度减小
时
为，形
量最大
变
为
，根据机械能守恒定律有
解得
簧的最大伸
量
弹
长
簧的最大拉力
弹
为
故C
；
错误
A．在最高点
金属
只受重力和支持力作用，此
重力沿杆方向的分力提供加速度，有
时
环
时
在最低点，可知
根据牛
第二定律可知
顿
解得
则
金属
在最高点与最低点加速度大小相等，故
环
A 正确；
D．当金属
的加速度
环
为
，速度最大，金属
受力如
所示：
时
环
图
  
金属
受到重力、杆的
力和
簧的
力，沿杆方向加速度
环
弹
弹
弹
为，即合力为，有
又
解得形
量
变
根据几何知
，两个小球下降的高度
识
为
系
只有重力，
力做功，
两个金属
和
簧根据机械能守恒，有
对
统
弹
对
环
弹
解得
故D
。
错误
故选A。
【变式训练8-10】将
度系数
劲
为k 的
簧
后
定，在
簧上放置一
量
轻弹
压缩
锁
弹
质
为m 的小物
，物
离地面高度
块
块
为
，
如
甲。
解除
簧
定，物
被
起
直向上运
程中，其
能
图
现
弹
锁
块
弹
竖
动过
动
随离地高度h
化的关系
像如
乙，其中
变
图
图
到
的
像
直
，其余部分均
曲
，
间
图
为
线
为
线
像的最高点。不
空气阻力，重力加速度
对应图
计
为g，
（　　）
则
A．
簧原
弹
长为
B．物
离地高度
块
为
，物
的机械能最大
时
块
C．物
从离地高
块
上升到
程中，重力做功
过
D．物
脱离
簧后向上运
程中重力
能增量小于
块
弹
动过
势
【答案】C
【
解】
详
A．由乙
可知，物
上升至高度
图
块
h3
，
能最大，
此
簧
力与重力平衡，所以
簧
于
状
，故
时动
则
时弹
弹
弹
处
压缩
态
A
；
错误
B．由乙
可知，物
离地高度
图
块
为
，物
只受重力作用，加速度
时
块
为g，
簧的
力
零，故此
性
能最小，
物
弹
弹
为
时弹
势
则
的机械能最大，故
块
B
；
错误
C．物
在
块
h4
，加速度
时
为g，在h2 和h4
的
能相同，根据
簧振子运
的
称性可知，在
处
动
弹
动
对
h2
的加速度也
处
为g，
根据牛
第二定律得
则
顿
解得
所以小物
从高度
块
h2 上升到h4，上升高度为
物
从离地高
则
块
上升到
程中，重力做功
过
为
故C 正确；
D．物
从离地高
块
上升到
程中，合力大于
过
mg，
能的增加量大于
则动
，而物
从离地高
块
上升到
程中，合力等于
过
mg，
能的减少量等于
则动
，由乙
可知，物
从
图
块
上升到
程中的
能
化量与从
过
动
变
离地高
上升到
程中的
能
化量相等，故
过
动
变
，故物
脱离
簧后向上运
程中重力
块
弹
动过
能增量大于
势
，故D
。
错误
故选C。
【变式训练8-11】如
所示，
图
长为L 的水平固定
木板
长
AB，C 为AB 的中点，AC 段光滑，CB 段粗糙，一原长为
的
簧一端
在
木板左端的
板上，另一端
一物
，开始
将物
拉至
木板的右端点，由静止
放物
，物
轻弹
连
长
挡
连
块
时
块
长
释
块
块
在
簧
力的作用下向左滑
，已知物
与
木板
弹
弹
动
块
长
CB 段
的
摩擦因数
间
动
为
，物
的
量
块
质
为m，
簧的
度系数
弹
劲
为
k，且
，物
第一次到达
块
C 点
，物
的速度大小
时
块
为v0，
簧的
性
能
这时弹
弹
势
为E0，不
物
的大小，重力加
计
块
速度为g，
下列
法
的是（　　）
则
说
错误
A．物
不可能会停在
块
CB 段上某处
B．物
最
会做往复运
块
终
动
C．
簧开始具有的最大
性
能
弹
弹
势
为
D．整个
程中物
克服摩擦做的功
过
块
为
【答案】D
【
解】
详
A．由于
设BC 段
簧形
量
弹
变
为x，
得
由此，物
不可能停在
块
BC 段，A 正确；
B．只要物
滑上
块
BC 段，就要克服摩擦力做功，物
的机械能就减小，所以物
最
会在
块
块
终
AC 往返运
，
动B 正确；
C．物
从开始运
，到第一次运
到
块
动
动
C
程中，根据能量守恒定律得
过
C 正确；
D．物
第一次到达
块
C，物
的速度大小
块
为
，物
最
会在
块
终
AC 段做往返运
，到达
动
C 点的速度为0，可知物
克服摩
块
擦做的功最大为
D
。
错误
本
的，故
题选择错误
选D。
【变式训练8-12】
量
质
为m 的物
与
簧上端
接，
簧的下端固定在档板上，
块
弹
连
弹
O 点是
簧
于原
状
上端的
弹
处
长
态时
位置，物
静止
位于
块
时
A 点。斜面上另外有B、C、D 三点，
，其中BD 段粗糙，其余部分光滑，
物
与斜面
块
BD 段
的
摩擦因数
间
动
为
，重力加速度为g，物
静止在
块
A 点
簧的
性
能
时弹
弹
势
为E，用外力将物
拉到
块
D 点由静止
放，第一次
释
经过O 点
的速度大小
时
为v，已知
簧始
在
性限度内，
下列
法正确的是（　　）
弹
终
弹
则
说
A．物
最
在
块
终
A、B 之
做
运
间
简谐
动
B．物
在
块
D 点
的
性
能
时
弹
势
为
C．物
运
的全
程中因摩擦
生的
量
块
动
过
产
热
为
D．物
从
块
D 点向下运
到
动
A 点的
程中，最大加速度大小
过
为
【答案】C
【
解】
详
D．物
静止在
块
A 点
，由平衡条件有
时
物
从
块
D 点向下运
到
动
A 点的
程中，在
过
BD 段
摩擦因数
动
为
，则
即，物
在
块
BD 段所受的合力等于
簧的
力，分析知物
在
弹
弹
块
D 点
的合力最大，加速度最大，
时
设为
，根据牛
第二
顿
定律
立解得 
联
故D
；
错误
A．物
在
块
BD 段上运
，要克服摩擦力做功，系
的机械能不断减少，系
的平衡位置在
动时
统
统
A 点，设A 点沿斜面向下
为
的点
处
为
,
最
物
在
则
终
块
E、B 之
做
运
，故
间
简谐
动
A
；
错误
B．
物
在
设
块
D 点
的
性
能
时
弹
势
为Ep，从D 到O，由能量守恒定律得
根据在BD 段
摩擦因数
动
为
，则
立解得
联
故B
；
错误
C．最
物
在
终
块
E、B 之
做
运
，
全
程，运用能量守恒定律得
间
简谐
动对
过
由于
，所以物
位于
块
B 点和A 点
，
簧的
性
能相等，均
时弹
弹
势
为E，
立解得，全
程中因摩擦
生的
联
过
产
热
量为
故C 正确。故选C。
【变式训练8-13】如
所示，
角
图
倾
为θ 的光滑斜面，沿斜面放置的
簧一端固定在斜面底端，另一端
接物体
轻弹
连
A，
静止
，
簧被
了
时弹
压缩
l。
量与
质
A 相同的物体B 从
簧原
位置由静止
放，
弹
长
释
A 与B
生完全非
性碰撞
发
弹
(但不粘连)，
碰撞
极短，
时间
A、B
点，重力加速度
视为质
为g，
簧的
性
能
弹
弹
势
（x
簧的形
量），
下列
法正确的
为弹
变
则
说
是（    ）
A．碰后瞬
两物体的速度大小
间
为
B．碰后两物体一起向下运
的最大位移
动
为2l
C．两物体反
向上运
，
弹
动B 能再次回到
放点
释
D．碰后两物体一定不能分离
【答案】D
【
解】
详
A．B 下落，即将与A 碰撞
有
时
A、B 碰撞
量守恒，
有
动
则
得
选项A 正确；
B．A、B 碰撞后一起向下运
至最低点，位移
动
设x，根据能量守恒得
A 原来静止
足
满
解之得
选项B
；
错误
CD．A、B 分开
界条件
加速度相等，
临
为
A、B 之
的
力
零，
间
弹
为
对B 分析可得
得
碰后至再次返回到碰撞位置，速度大小不
，方向反向。假
不分离，向上运
位移
变
设
动
为x1，
有
则
此
整体受力可得
时
得
碰后两物体一定不分离且不能再次回到
放点，
释
C
，
错误D 正确。
故选D。
【变式训练8-14】如
所示，两端开口的
管
直固定在水平地面上，内有两只可
点的小球
图
圆
竖
视为质
A、B，
量均
质
为
m，它
用
度系数
们
劲
为k、原长为L0的
簧相
，用外力将
轻质弹
连
A、B 提至管中某
并
于静止状
，此
处
处
态
时B 距离地面
高度为h.
管管径略大于小球的直径，且不
小球与
管
的摩擦
设圆
计
圆
间
.重力加速度为g（　　）
  
A．此
外力
时
F 的大小为2mg
B．此时A 距离地面的高度L0+
C．求撤去外力瞬
物
间
块A 的加速度大小为3g
D．撤去外力后，由于阻力作用，A、B 和
簧
成的系
最
静止于水平地面上
弹
组
统
终
.求此
程中系
失的机械能
过
统损
mg
【答案】A
【解析】A．
系
用物体平衡条件得
对
统应
F=2mg
小球
对
B 由物体平衡条件得
簧
力
弹
弹
FN=mg 故A 正确；
B．由胡克定律得F=kx
簧的伸
量
弹
长
x=
则A 距离地面的高度hA=h+L0+
故B
；
错误
C．撤去外力F 的瞬
，
间A 所受的合力大小为FA 合=2mgA 的加速度大小aA=2g 故C
；
错误
D．由
意可知，
开始
簧的伸
量和最
静止
簧的
量是相等的，即初
簧的
性
能相等
题
刚
时弹
长
终
时弹
压缩
终态时弹
弹
势
.根据
能量
化和守恒得系
失的机械能
转
统损
|ΔE|=|ΔEpA+ΔEpB|
代入数据得
|ΔE|=mgh+mg(h+
)=2mg(h+
)故D
；
错误
故选A。
【变式训练8-15】如
所示，
簧下端与光滑固定斜面底端栓接，上端
接物
图
轻质弹
连
块B，物块A 通
跨
光滑定
过细线
过
滑
与物
轮
块B
接，已知斜面
角
连
倾
为
，物块B 的
量
质
为
不
，物
变
块A 的
量可以改
，
簧的原
质
变弹
长为
，
物块A、B 以及滑
大小忽略不
。初始
在外力作用下，
簧
于原
，
好
，物
轮
计
时
弹
处
长细线刚
绷紧
块A、B
于等高位置。挂
处
不同
量的物
质
块A，撤去外力，
物
让
块A、B 自由运
；当
动
，物
时
块A 能
上升的最大高度
够
为
；当
，物
时
块A 能
下降的最大高度
够
为
：当
，物
时
块A 下降
速度可能
（　　）
时
为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【
解】当
详
，由能量守恒可得
时
当
，由能量守恒可得
时
解得
当
，由能量守恒可得
时
解得
根据
意有
题
立可得
联
故选A。
【变式训练8-16】如
所示，
一端
接穿在
直光滑杆上的物体
图
轻绳
连
竖
A，另一端通
定滑
接放在光滑斜面上的
过
轮连
物体B，斜面固定。斜面上放置一
簧，
簧下端固定在斜面底端的
板上，上端与物体
轻质弹
弹
挡
B
接，物体
连
A 在离滑轮
最近的O 点
簧恰好
于原
。物体
时弹
处
长
A 从a 点静止
放
释
经过O 点运
到
动
b 点，Oa 与Ob
度相等，不
一切摩擦
长
计
力和空气阻力。下列
法正确的是（　　）
说
A．在物体A 从a 点运
到
动
O 点的
程中，物体
过
A 的机械能不变
B．在物体A 从a 点运
到
动
O 点的
程中，物体
过
A 和物体B 机械能之和不变
C．物体A 从a 点到b 点，物体A 机械能的减少量等于物体B
能增加量
动
D．物体A 在b 点
，速度
零
时
为
【解答】解：A．在物体A 从a 点运
到
动
O 点的
程中，除重力以外
受到
子拉力做正功，物体
过
还
绳
A 的机械能不守恒，故
A
；
错误
B．在物体A 从a 点运
到
动
O 点的
程中，物体
过
A 和物体B
成的系
外
受到
簧
力做功，系
机械能不守恒，
组
统额
还
弹
弹
统
故B
；
错误
C．物体A 从a 点到b 点，
簧的
力
物体
弹
弹
对
B 先做做功，然后做
功，
簧的形
量相同，
力
物体
负
弹
变
弹
对
B 做功的代数
和
零，系
的机械能守恒；根据机械能守恒定律，物体
为
统
A 机械能的减少量等于物体B
能增加量，故
动
C 正确；
D．物体A 从a 点到b 点
程，根据能量守恒可知，物体
过
A 减小的重力
能
化
物体
势
转
为
A 和物体B 的
能，因此物体
动
A
在b 点
，速度不
零，故
时
为
D
。
错误
故
：
选C。
【变式训练8-17】如
所示，
图
A、B 两小球由
定滑
的
相
，
绕过轻质
轮
细线
连A 放在固定的光滑斜面上，B、C 两小球在竖
直方向上通
度系数
过劲
为k 的
簧相
，
轻质弹
连C 球放在水平地面上．
用手控制住
现
A，并使
拉直但无拉力作
细线刚刚
用，并保
滑
左
直、右
与斜面平行．已知
证
轮
侧细线竖
侧细线
A 的
量
质
为4m，B、C 的
量均
质
为m，重力加速度为g，细
与滑
之
的摩擦不
，开始
整个系
于静止状
．
放
线
轮
间
计
时
统处
态释
A 后，A 沿斜面下滑至速度最大时C 恰好离开地面．
下列
法正确的是
说
(　　)
A．斜面
角
倾
α＝60°                     B．A
得的最大速度
获
为2g
C．C
离开地面
，
刚
时B 的加速度最大
D．从
放
释
A 到C
离开地面的
程中，
刚
过
A、B 两小球
成的系
机械能守恒
组
统
【答案】B
【解析】C
离开地面
，
刚
时对C 有kx2＝mg，此时B 有最大速度，即aB＝aC＝0，则对B 有FT－kx2－mg＝0，对A 有
4mgsin α－FT＝0，由以上方程
立可解得
联
sin α＝，α＝30°，故A
；初始系
静止，且
上无拉力，
错误
统
线
对B 有kx1＝
mg，可知x1＝x2＝，
从
放
则
释
A 至C
离开地面
，
性
能
化量
零，由机械能守恒定律得
刚
时弹
势
变
为
4mg(x1＋x2)sin α
＝mg(x1＋x2)＋(4m＋m)vBm2，由以上方程
立可解得
联
vBm＝2g，所以A
得的最大速度
获
为2g，故B 正确；对B 球进
行受力分析可知，
放
刚释
A
，
时B 所受合力最大，此时B 具有最大加速度，故C
；从
放
错误
释
A 到C
离开地面的
程
刚
过
中，A、B、C 及
簧
成的系
机械能守恒，故
弹
组
统
D
．
错误
【变式训练8-18】如
所示，固定的
直光滑
杆上套有
量
图
竖
长
质
为m 的小
，
与水平状
的
簧一端
接
圆环圆环
态
轻质弹
连
，
簧的另一端
接在
上，且
于原
状
．
由静止开始下滑，已知
簧原
弹
连
墙
处
长
态现让圆环
弹
长为L，
下滑到最大距离
圆环
时弹
簧的
度
长
变为2L(未超
性限度
过弹
)，
在
下滑到最大距离的
程中
则
圆环
过
(　　)
A．
的机械能守恒                  
圆环
B．
簧
性
能
化了
弹
弹
势
变
mgL
C．
下滑到最大距离
，所受合力
零 
圆环
时
为
D．
重力
能与
簧
性
能之和保持不
圆环
势
弹
弹
势
变
【答案】B
【解析】
沿杆下滑的
程中，
与
簧
成的系
能、
性
能、重力
能之和守恒，
圆环
过
圆环
弹
组
统动
弹
势
势
选项A、D
；
簧
错误弹
长
度为2L
，
下落的高度
时圆环
h＝L，根据机械能守恒定律，
簧的
性
能增加了
弹
弹
势
ΔEp＝mgh＝mgL，选项B 正确；圆
放后，
向下先做加速运
，后做减速运
，当速度最大
，合力
零，下滑到最大距离
，具有向上的加速度
环释
圆环
动
动
时
为
时
，
合力不
零，
为
选项C
．
错误
【变式训练8-19】（多选）运
了
腰部力量，在腰部拴上
然后沿着斜面下滑，运
的
化模型如
所
动员为
练习
轻绳
动
简
图
示，
角
倾
为
的光滑斜面固定放置，
量
质
为m 运
与
量
动员
质
为m 的重物通
接，
跨
天花板上的两
过轻质细绳连
细绳
过
个定滑
，运
从斜面上的某点由静止开始下滑，当运
到
轮
动员
动
A 点
速度大小
时
为
，且此
与斜面垂直
时细绳
，
当运
到
动
B 点
，
与斜面的
角
时细绳
夹
为
，已知A、B 两点之
的距离
间
为L，重力加速度为g，运
在运
的
程中
动员
动
过
一直未离开斜面，
一直
于伸直状
，不
与滑
之
的摩擦，运
与重物（均
点）
在同一
直面
细绳
处
态
计细绳
轮
间
动员
视为质
总
竖
内运
，下列
法正确的是（
动
说
    ）
A．运
在
动员
A 点
，重物的速度大小
时
为
B．运
从
动员
A 点运
到
动
B 点，重物重力
能的增加量
势
为
C．运
从
动员
A 点运
到
动
B 点，系
重力
能的增加量
统总
势
为
D．运
在
动员
B 点
，其速度大小
时
为
【答案】BD
【
解】
详
A．
运
的速度
设
动员
为
，
与斜面
角
绳
夹
为α，
沿
方向的分速度即重物的速度
则
绳
为
垂直
方向的分速度
绳
为
可知到A 点
，
与斜面垂直，所以运
在
时细绳
动员
A 点
，重物的速度大小
零，故
时
为
A
；
错误
B．运
从
动员
A 点运
到
动
B 点，重物重力
能的增加量
势
为
故B 正确；
C．运
从
动员
A 点运
到
动
B 点，运
的重力
能减少
动员
势
所以系
重力
能的增加量
统总
势
为
即减少了
，故C
；
错误
D．根据系
机械能守恒可知，系
减少的重力
能等于系
增加的
能，有
统
统
势
统
动
可得运
在
动员
B 点
，其速度大小
时
为
故D 正确。
故选BD。
【变式训练8-20】（多选）如
所示，一根
簧一端固定在
图
轻弹
O 点，另一端固定一个
有孔的小球，小球套在固定
带
的
直光滑杆上，小球位于
中的
竖
图
A 点
，
簧
于原
，
将小球从
时弹
处
长现
A 点由静止
放，小球向下运
，
与
释
动经过
A 点关
于B 点
称的
对
C 点后，小球能运
到最低点
动
D 点，OB 垂直于杆，
下列
正确的是
则
结论
(　　)
A．小球从A 点运
到
动
D 点的
程中，其最大加速度一定大于重力加速度
过
g
B．小球从B 点运
到
动
C 点的
程，小球的重力
能和
簧的
性
能之和可能增大
过
势
弹
弹
势
C．小球运
到
动
C 点
，重力
其做功的功率最大
时
对
D．小球在D
点
簧的
性
能一定最大
时弹
弹
势
【答案】AD
【解析】在B 点
，小球的加速度
时
为g，在BC
簧
于
状
，小球在
直方向除受重力外
有
簧
力沿
直方
间弹
处
压缩
态
竖
还
弹
弹
竖
向向下的分力，所以小球从A 点运
到
动
D 点的
程中，其最大加速度一定大于重力加速度
过
g，故A 正确；由机械能守
恒可知，小球从B 点运
到
动
C 点的
程，小球做加速运
，即
能增大，所以小球的重力
能和
簧的
性
能之和
过
动
动
势
弹
弹
势
一定减小，故B
；小球运
到
错误
动
C 点
，由于
簧的
力
零，合力
重力
时
弹
弹
为
为
G，所以小球从C 点往下
会加速一段，
还
所以小球在C 点的速度不是最大，即重力的功率不是最大，故C
；
错误D 点
小球运
的最低点，即速度
零，
簧形
为
动
为
弹
量最大，所以小球在
变
D 点
簧的
性
能最大，故
时弹
弹
势
D 正确．
【变式训练8-21】（多选））如
所示，一
簧一端固定在
图
轻弹
O 点，另一端系一小球，将小球从与
点
悬
O 在同一水平
面且使
簧保持原
的
弹
长
A 点静止
放，
小球自由
下，不
空气阻力，在小球由
释
让
摆
计
A 点
向最低点
摆
B 的
程中，下列
过
法正确的是
说
(　   　)
A．小球的机械能守恒                        B．小球的机械能减少
C．小球的重力
能与
簧的
性
能之和不
  
势
弹
弹
势
变
D．小球和
簧
成的系
机械能守恒
弹
组
统
【答案】BD
【解析】小球由A 点下
到
摆
B 点的
程中，
簧被拉
，
簧的
力
小球做了
功，所以小球的机械能减少，故
过
弹
长弹
弹
对
负
选项
A
，
错误B 正确；在此
程中，由于只有重力和
簧的
力做功，所以小球与
簧
成的系
机械能守恒，即小球减少
过
弹
弹
弹
组
统
的重力
能等于小球
得的
能与
簧增加的
性
能之和，故
势
获
动
弹
弹
势
选项C
，
错误D 正确。
【变式训练8-22】（多选）如
所示，
量均
图
质
为3.0kg 的物体A、B 用一
簧
接静止置于水平地面上，
簧的
轻质弹
连
弹
度系数
劲
为k=600N/m，不可伸
的
着物体
长
轻绳连
B 和C，C 套在光滑的
直固定杆上，滑
与杆之
的水平距离
竖
轮
间
为
0.4m，
左端沿
直方向。
用手托住
轻绳
竖
现
C 使其静止于M 点，
好水平伸直但无
力作用；从静止
放物体
轻绳刚
弹
释
C，当
C 运
到
动
N 点
，物体
时
A 恰好离开地面但不
上升。物体都
点，
继续
视为质
g 取10m/s2，不
一切摩擦，
计
B 与滑
之
的
轮
间
足
，
簧始
在
性限度内。
下列
法正确的是（　　）
轻绳
够长弹
终
弹
则
说
A．物体C 的
量
质
为1.0kg
B．在物体C 从M 点运
到
动
N 点
程中，物体
过
C 的机械能先增大后减少
C．在物体C 从M 点运
到
动
N 点
程中，物体
过
B 的
能先增大后减少
动
D．物体C 在M 点
簧的
性
能等于物体
时弹
弹
势
C 在N 点
簧的
性
能
时弹
弹
势
【答案】ACD
【
解】
详
D．开始时B 静止，对B 根据平衡条件有
解得
簧
量
弹
压缩
物体C 运
到
动
N 点
恰好能使
时
A 离开地面但不
上升，
继续
则
解得
簧拉伸量
弹
物体C 在M 点和在N 点
簧的形
量相同，所以
性
能相等，
弹
变
弹
势
D 正确；
B．在物体C 从M 点运
到
动
N 点
程中，
拉力
物体
过
轻绳
对
C 一直做
功，物体
负
C 的机械能一直减小，B
；
错误
C．在物体C 从M 点运
到
动
N 点
程中
过
B 受合力方向先向上再向下，所以先向上做加速运
又向上做减速运
，物体
动
动
B 的
能先增大后减少，
动
C 正确；
A．物体C 从M 点运
到
动
N 点
程中物体
过
B 上升的高度为
此
滑
右端
时
轮
绳长为0.5m，根据勾股定理得物体C 下降的高度为
初末位置
簧形
量相同，
簧的
性
能没有
生
化，根据机械能守恒定律得
弹
变
则弹
弹
势
发
变
解得
A 正确。
故选ACD。
【变式训练8-23】（多选）如
，两个
量均
图
质
为m 的小球M、N 通
杆
接，
过轻质细
连
M 套在固定的
直杆上，
竖
N 放在
水平地面上。一
簧水平放置，左端固定在杆上，右端与
轻质弹
N 相
。
簧始
在
性限度内，不
一切摩擦，重力加
连弹
终
弹
计
速度大小为g。当
簧
于原
状
，
弹
处
长
态时M 到地面的距离为h，将M 由此
静止
放，在小球
处
释
M 向下运
至与地面接
动
触的
程中，下列
法正确的是（
过
说
    ）
A．小球M
放的瞬
，地面
小球
释
间
对
N 的支持力大于2mg
B．小球N 的速度先增大后减小
C．当小球N 的速度最大
，小球
时
M 的加速度大小等于g
D．若小球M 落地
的速度大小
时
为v，此
簧的
性
能
时弹
弹
势
为
【答案】BD
【
解】
详
A．把小球M、N 作
整体，小球
放瞬
，因
小球
为
释
间
为
M 有
直向下的加速度，小球
竖
M、N 系
于失重状
，
统处
态
所以地面对N 的支持力小于2mg，故A
；
错误
B．小球M
放的瞬
，小球
释
间
N 的速度为0，当小球M 落地
，
杆水平，小球
时轻质
M 没有沿
杆的分速度，所以小球
轻质
N 的速度为0，故小球N 的速度先增大后减小，故B 正确；
C．当小球N 的速度最大
，
簧
于伸
状
，
杆
小球
时弹
处
长
态细
对
N 的水平推力等于
簧的拉力，
杆
小球
弹
细
对
M 有向上的
推力，所以小球M 的加速度大小小于g，故C
；
错误
D．整个系
机械能守恒，
有
统
则
此
簧的
性
能
则
时弹
弹
势
故D 正确。
故选BD。
【变式训练8-24】（多选）如
所示，
量
图
质
为m 的
套在足
光滑
直杆上，
量
圆环
够长
竖
质
为
的木
放在
角
块
倾
为
的足
光滑固定斜面上，
与木
用足
的
通
光滑定滑
接，
中滑
与木
的
够长
圆环
块
够长
轻质细线
过
轮连
图
轮
块间
细
与斜面平行，滑
上端与
线
轮
a 位置等高且水平距离为L，
从
现让圆环
a 位置由静止
放运
到
释
动
b 位置。已知a、b 两位
置的高度差也为L，不
空气阻力，重力加速度
计
g。下列判断正确的是（　　）
  
A．
下降的
程中，
减少的重力
能等于木
增加的机械能
圆环
过
圆环
势
块
B．当
到达
圆环
b 位置
，其速度大小
时
为
C．当
到达
圆环
b 位置
，
与木
瞬
速度比
时圆环
块
时
为
D．
能下降的最大距离
圆环
为
【答案】BD
【
解】
详
A．
下降到
圆环
b 位置的
程中，
与木
成的系
机械能守恒，
减少的机械能等于木
增加的机械
过
圆环
块组
统
圆环
块
能，故A
；
错误
BC．根据机械能守恒定律有
其中
根据几何关系可知
解得
故B 正确，C
；
错误
D．
下降到最低位置
有
圆环
时
根据几何关系
故D 正确；
故选BD。
【变式训练8-25】（多选）如
所示，
图
A、B 两物
由
定滑
的
相
，
块
绕过轻质
轮
细线
连A 放在固定的光滑斜面上，B 和物
块C 在
直方向上通
度系数
竖
过劲
为k 的
簧相
，
轻质弹
连C 放在水平地面上．
用手控制住
现
A，并使
拉直但无
细线刚刚
拉力作用，并保
滑
左
直、右
与斜面平行．已知
证
轮
侧细线竖
侧细线
A 的
量
质
为5m，B、C 的
量均
质
为m，重力加速度为
g，
与滑
之
的摩擦不
，开始
整个系
于静止状
．
放
细线
轮
间
计
时
统处
态释
A 后，A 沿斜面下滑至速度最大时C 恰好离开地
面．下列
法正确的是
说
(　　)
A．C
离开地面
，
刚
时B 的加速度
零
为
B．从
放
释
A 到C
离开地面的
程中，
刚
过
A、B
成的系
机械能先增加后减小
组
统
C．
簧恢复原
瞬
，
中的拉力大小
弹
长
间细线
为
D．A 的最大速度为g
【答案】　ABD
【解析】　当C
离开地面
，
刚
时A 的速度最大，B 的速度也最大，此时B 的加速度
零，故
为
A 正确；从
放
释
A 到C
离开
刚
地面的
程中，
过
A、B、C 以及
簧
成的系
只有重力和
力做功，故
弹
组
统
弹
A、B、C 及
簧
成的系
机械能守恒，因
簧
弹
组
统
弹
的
性
能先减小后增加，
弹
势
C 的机械能不
，可知
变
A、B
成的系
机械能先增加后减小，故
组
统
B 正确；当A、B 的速度最
大
，
时C 恰好离开地面，
簧的
力
弹
弹
F
恰好等于
弹
C 的重力mg，即F
＝
弹
mg，
斜面
角
设
倾
为α，对A、B 整体，沿细线
方向
行受力分析可知
进
F
＋
弹
mg＝5mgsin α，当
簧恢复原
，
簧的
力
零，
弹
长时弹
弹
为
对A、B 整体，根据牛
第二定
顿
律有5mgsin α－mg＝6ma，隔离A，根据牛
第二定律有
顿
5mgsin α－FT＝5ma，
立解得
联
FT＝mg，故C
；根据
错误
F
＋
弹
mg＝5mgsin α，得sin α＝，
放
释
A 之前，
簧
于
状
，
弹
处
压缩
态对B
行受力分析，可得
簧
量
进
弹
压缩
为x1＝，释
放A 后速度最大瞬
，
间对C
行受力分析可得
簧的伸
量
进
弹
长
为x2＝，从
放
释
A 到AB 整体的速度最大，对AB 整体，由
于
簧的形
量相等，
力做功
零，根据机械能守恒有
弹
变
弹
为
5mg(x1＋x2)sin α－mg(x1＋x2)＝(m＋5m)vm2，
立解得
联
vm＝g，故D 正确．
【变式训练8-26】（多选）如
甲所示，将一
度系数
图
劲
为k 的
簧
后
定，在
簧上放置一
量
轻弹
压缩
锁
弹
质
为m 的小物
，小物
距离地面高度
块
块
为h1。将
簧的
定解除后，小物
被
起，其
能
弹
锁
块
弹
动
Ek与离地高度h 的关系如
乙所示，其
图
中h4到h5
的
象
直
，其余部分均
曲
，
间
图
为
线
为
线h3
象的最高点，重力加速度
对应图
为g，不
空气阻力。下列
法正
计
说
确的是（　　）
A．小物
上升至高度
块
h3
，
簧形
量
时弹
变
为0
B．小物
上升至高度
块
h5
，加速度
时
为g
C．解除
定前，
簧的
性
能
锁
弹
弹
势
为mgh5
D．小物
从高度
块
h2上升到h4，
簧的
性
能减少了
弹
弹
势
2m
2 g
2
k
【解答】解：A、小物
上升至高度
块
h3
，
能最大，速度最大，加速度
零，
时动
为
则mg＝kx，
簧形
量
弹
变
为x= mg
k ，故A 错
；
误
B、小物
上升至高度
块
h5
，小物
只受重力，加速度
时
块
为g，故B 正确；
C、
解除
定前，
簧的
性
能
设
锁
弹
弹
势
为EP。小物
从高度
块
h1 上升到h5，根据小物
与
簧
成的系
机械能守恒得：
块
弹
组
统
EP＝mgh5﹣mgh1，故C
；
错误
D、小物
从高度
块
h2 上升到h4，小物体
能的
化量
零，根据小物体和
簧
成的系
机械能守恒可得：
簧的
动
变
为
弹
组
统
弹
弹
性
能的减少等于小物体重力
能的增加。
势
势
小物
上升到
块
h4
，
簧恢复原
，小物
的加速度
时弹
长
块
为g，方向
直向下，由于小物
做
运
，根据
称性可知，
竖
块
简谐
动
对
小物
上升到
块
h2
，小物
的加速度
时
块
为g，方向
直
竖
向上，
此
簧的
量
设
时弹
压缩
为x′，由牛
第二定律得：
顿
kx′﹣mg＝ma＝mg，得x′= 2mg
k
，此
簧的
性
能
时弹
弹
势
为
EP′= 1
2 kx '
2= 1
2
k（2mg
k
）2= 2m
2 g
2
k
，故小物
从高度
块
h2 上升到h4，
簧的
性
能减少了
弹
弹
势
2m
2 g
2
k
，故D 正确。
故
：
选BD。
【变式训练8-27】（多选）如
所示，物体
图
A、B 通
及
簧
接在
滑
两
，物体
过细绳
轻质弹
连
轻
轮
侧
A、B 的
量分
质
别为
2m、m．开始
伸直，用手托着物体
时细绳
A 使
簧
于原
且
弹
处
长
A 与地面的距离为h，物体B 静止在地面上．放手后物体
A 下落，与地面即将接触
速度大小
时
为v，此
物体
时
B
地面恰好无
力，不
一切摩擦及空气阻力，重力加速度大小
对
压
计
为g，
下列
法中正确的是（　　）
则
说
A．物体A 下落
程中，物体
过
A 和
簧
成的系
机械能守恒
弹
组
统
B．
簧的
度系数
弹
劲
为2mg
h
C．物体A 着地
的加速度大小
时
为g
2
D．物体A 着地
簧的
性
能
时弹
弹
势
为mgh−1
2
mv2
【解答】解：A、由
知道，物体
题
A 下落
程中，
过
B 一直静止不
。
于物体
动对
A 和
簧
成的系
，只有重力和
力做功，
弹
组
统
弹
物体
则
A 和
簧
成的系
机械能守恒。故
弹
组
统
A 正确。
B、物体B
地面的
力恰好
零，故
簧的拉力
 
对
压
为
弹
为T＝mg，开始
簧
于原
，由胡克定律知：
时弹
处
长
T＝kh，得
簧的
弹
劲
度系数
 
为k= mg
h
，故B
。
错误
C、物体A 着地
，
时细绳对A 的拉力也等于mg，对A，根据牛
第二定律得 
顿
2mg﹣mg＝2ma，得 a= g
2
，故C 正确。
D、物体A 与
簧系
机械能守恒，有：
弹
统
2mgh＝Ep 弹+ 1
2 ×2mv2
故：Ep
＝
弹
2mgh﹣mv2，故D
；
错误
故
：
选AC。
【变式训练8-28】（多选）如
所示，滑
图
块2 套在光滑的
直杆上并通
光滑定滑
接物
竖
过细绳绕过
轮连
块1，物块1 又
与一
簧
接在一起，
簧另一端固定在地面上。开始
用手托住滑
轻质弹
连
轻质弹
时
块2，使
子
好伸直
于水平位置但
绳
刚
处
无
力，此
簧的
量
张
时弹
压缩
为d。
将滑
现
块2 从A
由静止
放，
处
释
经过B
的速度最大，到达
处
C
的速度
零，此
物
处
为
时
块1
没有到达滑
位置。已知滑
与杆的水平距离
还
轮
轮
为3d，AC
距离
间
为4d，不
滑
量、大小及摩擦。下列关于滑
计
轮质
块2 在AC
下滑
的
法中，正确的是（　　）
间
时
说
  
A．滑块2 下滑
程中，加速度一直减小
过
B．滑块2 经过B
的加速度等于零
处时
C．物块1 和滑块2 的
量之比
质
为2：1
D．除A、C 两点外，滑块1 的速度大小始
小于滑
终
块2 的速度大小
【答案】BCD
【
解】
详
AB．滑块2 下滑
程中，
子拉力增大，合力先减小后反向增大，在
过
绳
B
速度最大，加速度
零，
加速度先减
处
为
则
小后反向增大，故A
，
错误B 正确；
C．当A 下滑到C 点
，物体
时
2 上升的高度为
当物体
则
2 到达C
簧伸
的
度
时弹
长
长
为d，
此
簧的
性
能等于物体
时弹
弹
势
1 静止
的
性
能，
于
时
弹
势
对
A 与B 及
簧
成的系
，由机械能守恒定律
有
弹
组
统
应
解得
，C 正确；
D．除A、C 两点外，滑块l 的速度只是滑块2 沿
方向的分速度，所以滑
绳
块1 的速度大小始
小于滑
终
块2 的速度大小，
D 正确。故选BCD。
【变式训练8-29】（多选）如
，
簧一端与垂直固定在斜面上的板
图轻质弹
C 相
，另一端与物体
连
A 相
。物体
连
A 置
于光滑固定斜面上，斜面的
角
倾
。A 上端
接一
，
光滑的定滑
与物体
连
轻质细线细线绕过
轮
B 相
且始
与斜面
连
终
平行。开始
托住
时
B，A 静止且
恰好伸直，然后由静止
放
细线
释
B。已知物体A、B 的
量均
质
为m，
簧的
度系数
弹
劲
为k，
当地重力加速度为g，B 始
未与地面接触。从
放
终
释
B 到B 第一次下落至最低点的
程中，下列
法正确的是（　　）。
过
说
A．
放物体
刚释
B
，物体
时
A 受到
的拉力大小
细线
为
B．物体A 到最高点
，
时A 所受合力大小为
C．物体B 下落至最低点
，
时A 和
簧
成系
的机械能最大
弹
组
统
D．物体A 的最大速度为
【答案】ACD
【
解】
详
A．
放物体
刚释
B
，以
时
A、B
成的系
研究
象，有
组
统为
对
解得
对B 研究
解得
故物体A 受到
的拉力大小
细线
为
，故A 正确；
BC．
于
对
A、B 物体以及
簧
成的系
，只有
簧的
力和重力做功，系
机械能守恒，
弹
组
统
弹
弹
统
B 减小的机械能
化
转
为A 的
机械能以及
簧的
性
能，故当
弹
弹
势
B 下落至最低点
，
时A 和
簧
成系
的机械能最大，且此
弹
组
统
时A 上升到最高位置，
根据
称性可知
对
B
生的加速度大小也
产
为
故对B 受力分析，根据牛
第二定律可知
顿
解得
故AB 整体研究，可得
解得
对A 研究，A 受到
簧拉力、重力和
弹
子的拉力，
绳
则
故B
，
错误C 正确；
D．手拖住物块B
，物
时
块A 静止，
此
簧的
量
设
时弹
压缩
为
，
物
对
块A 根据平衡条件可得
解得
当物体A 上升
程中，当
过
A 和B 整体的加速度为0
速度达到最大
时
值
，此时细线对A 的拉力大小刚
好等于
，
此
簧的伸
量
设
时弹
长
为
，则
解得
所以此
簧的
性
能与初始位置
时弹
弹
势
相同，
时
对A、B 和
簧
成的系
，根据机械能守恒定律得
弹
组
统
解得
故D 正确。故选ACD。
【变式训练8-30】某同学
了解某型号无人机着
簧
冲器的作用，
了如
所示的装置。将两小木
为
陆时弹
缓
设计
图
块A、B
与
簧
在一起，
直放置在水平桌面上，初始
它
于静止状
。他利用
装置
行以下两步操作：第一步，用
轻弹
连
竖
时
们处
态
该
进
外力将A
慢
直下
一段距离后，撤去外力，
缓
竖
压
发现A 上下运
，
动B
好不离开地面。第二步，将一
量
刚
质
为m 的橡皮
泥在A 正上方某
自由落下，与
处
A 碰撞（
极短），并附在
时间
A 上一起向下运
，此后，木
动
块B 能
离开地面。已知木
够
块A、B 的
量均
质
为m，
簧
度系数
弹
劲
为k、原长为l0，重力加速度为g。求：
（1）木块A、B
于静止状
，
簧的
度
处
态时弹
长
l1；
（2）第一步操作中，外力
木
对
块A 做的功W；
（3）第二步操作中，橡皮泥自由下落的距离h
足的条件。
应满
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【
解】（
详
1）木块A 静止
，由胡克定律可得
簧的
量
时
弹
压缩
为
簧的
度
弹
实际长
为
解得
（2）因为B
好不离开地面，
有
刚
则
可得A 在最高点
，
簧伸
时弹
长
所以A 木
从开始到运
的最高点的
程中
簧
块
动
过
弹
对A 做的
功
零，由
能定理得
总
为
动
解得
（3）
橡皮泥自由下落，由机械能守恒定律可得
对
橡皮泥与A 碰撞，由
量守恒定律可得
动
橡皮泥与
对
A 从一起运
到最高点，由能量守恒得
动
解得
【变式训练8-31】如
所示，某同学利用
送
和橡皮筋
了一个自
弓，
想的原理如下：
机
足
的
图
传
带
设计
动弹
设
电
带动
够长
水平
送
以一个
快的速度
，
量
轻质
传
带
较
顺时针转动质
为m 的物
与橡皮筋的一端
接，橡皮筋的另一端固定。初始
块
连
时，
物
静止放在
送
上，橡皮筋恰好伸直，物
在摩擦力的作用下开始向右运
。当物
运
到最右端（速度
零）
块
传
带
块
动
块
动
为
时，
送
会与物
自
分离，从而使物
在橡皮筋作用下被向左“
射”出去。已知物
与
送
的滑
摩擦力
传
带
块
动
块
弹
块
传
带
动
为f，最
大静摩擦力等于滑
摩擦力，橡皮筋的
度系数
动
劲
为k，
性
能可表示
弹
势
为
，其中x
伸
量。
定物
初始位置
为
长
规
块
坐
原点，水平向右
正方向。
为
标
为
（1）若
送
速度很大，物
向右运
程中始
受到滑
摩擦力，求物
运
程中的最大速度
传
带
块
动过
终
动
块
动过
；
（2）
机
电
A 只能使
送
以
传
带
的速度匀速
，求物
开始与
送
共速的位置，以及向右运
的最
距离；
转动
块
传
带
动
远
（3）
机
电
B 的
出功率恒定
输
为P，忽略
机与
送
的阻力，且
电
传
带轮轴间
，已知物
向右运
程中的最大速度
块
动过
为
，从静止到达到最大速度的时间为
，物
与
送
相
静止的
块
传
带
对
时间为
，求物
加速
程中的摩擦生
以及物
块
过
热
第二次与
送
开始相
滑
的坐
。
块
传
带
对
动时
标
【答案】（1）
；（2）
，
；（3）
，
【
解】（
详
1）物
的平衡位置
，有
块
时
可得
运
程中物
速度在平衡位置
最大，
有
动过
块
处
则
解得
（2）当物
加速到
块
后，和
送
保持共速，此
静摩擦力，直到
传
带
时为
，重新开始相
滑
，物
开始减速
处
对
动
块
直到被
射；
物
速度到
弹
设
块
的位置为
，
有
则
解得
物
向右运
的最右位置
设
块
动
为
，从
至
程，根据功能关系可得
过
解得
（3）由于
可知物
先从静止加速至
块
，然后与
送
相
静止，
在
传
带
对
设
达到最大速度，
有
处
则
从静止到最大速度，根据系
能量守恒可得
统
解得
之后开始减速，当速度减到
第二次与
送
相
滑
，
相
静止的起点、
点坐
分
时
传
带
对
动设
对
终
标
别为
、
，
相
静止
对
对
程由能量守恒可得
过
其中
解得
【变式训练8-32】如
所示装置，两根光滑
杆与
直方向
角都是
图
细
竖
夹
θ，上面套有两个
量
质
为m 的小球，小球之
用
间
度系数
劲
为k 的
簧相
。静止
，两小球静止在
弹
连
时
A、B
，当整个装置
中心
处
绕
轴线
慢加速旋
，当角速度
缓
转
为ω
，不再加速，保持
定，此
两小球
于
时
稳
时
处
C、D 位置，且此
簧中
力与小球静止在
时弹
弹
A、B
的
力大小相等，
处时
弹
试
求：
（1）小球静止在A、B 位置
簧的
力大小
时弹
弹
F；
（2）
定在
稳
C、D 位置
簧的
度
时弹
长
LCD；
（3）整个
程中
杆
簧小球系
做的功
过
细
对弹
统
W。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【
解】（
详
1）小球静止在A、B 位置
，根据平衡条件
时
簧的
力大小
弹
弹
为
（2）
定在
稳
C、D 位置
，
小球受力分析，重力、支持力、
簧
力的合力提供小球做
周运
的向心力，
直方向有
时对
弹
弹
圆
动
竖
水平方向有
两小球
于
处
C、D 位置，且此
簧中
力与小球静止在
时弹
弹
A、B
的
力大小相等，
处时
弹
则
解得
（3）小球
定在
稳
C、D 位置
，
速度
时线
为
簧原
设弹
长为
，根据胡克定律有
根据几何关系有
小球
定在
稳
C、D 位置
，上升的高度
时
为
因初、末状
簧的形
量相同，
簧
力
小球做功
零，故
杆
两小球所做
功
态弹
变
弹
弹
对
为
细
对
总
【变式训练8-33】如
所示，
角
图
倾
为53°的足
的光滑斜面固定在水平地面上，
度系数
够长
劲
为k、
直放置的
簧
竖
轻弹
两端拴接着A、B 物
，跨
滑
的
拴接着
块
过轻
轮
轻绳
A、C 物
。开始
块
时C 物
在平行斜面方向的外力（
中未画出）作用
块
图
下
于静止状
，
恰好
直且无
力。
撤去外力，
处
态绳
绷
张
现
C 物
沿斜面向下运
。已知
块
动
A、B 物
的
量均
块
质
为m，C 物
的
块
量
质
为2.5m，重力加速度大小为g，忽略一切摩擦，取sin53°＝0.8，cos53°＝0.6.求：
（1）C 物
于静止状
所加外力
块处
态时
F 的大小；
（2）从撤去外力瞬
到
间
C 物
的速度第一次达到最大的
程中
块
过
C 物
的位移大小；
块
（3）C 物
的速度第一次达到最大
的速度大小。
块
时
【解答】解：（1）物块C
于静止状
受力平衡，外力沿斜面方向上，
有
处
态时
则
F＝2.5mgsin53°＝2.5mg×0.8＝2mg
（2）
开始，
无
力，
刚
绳
张
A 物
在
簧上，
簧的
力
块压
弹
则弹
弹
为F1＝mg
开始
簧的
量
时弹
压缩
x1= F1
k = mg
k
 
C 物
的速度第一次达到最大
加速度
块
时
为0，
此
的拉力
设
时绳
为T，则
T＝2.5mgsin53°＝2.5mg×0.8＝2mg
此时A 物
加速度也
块
为0，
此
簧
力
设
时弹
弹
为F2，对A 物
，由平衡条件得
块
T＝mg+F2
解得：F2＝mg
此
簧的拉伸量
时弹
为x2= F2
k = mg
k
 
在此
程中
簧的
化量
过
弹
变
Δx = x1+ x2= 2mg
k
 
从撤去外力瞬
到
间
C 物
的速度第一次达到最大的
程中
块
过
C 物
的位移大小
块
为xC = Δx = 2mg
k
 
（3）设C 物
的速度第一次达到最大
的速度大小
块
时
为v，此时A 物
速度也
块
为v。
由于F2＝mg，所以C 物
的速度第一次达到最大
，
块
时B 物
没有运
。
块
动
从开始到C 物
的速度第一次达到最大
，
性
能不
，根据
块
时弹
势
变
C、A 以及
簧构成的系
机械能守恒得
弹
统
2.5mgxCsin53°﹣mgxC= 1
2 m v
2+ 1
2 ×2.5m v
2
解得：v =
❑√
8m g
2
7 k
【变式训练8-34】如
所示，光滑水平
道
图
轨
AB 与光滑半
形
道
圆
轨
BC 在B 点相切
接，半
道半径
连
圆轨
为R，
道
轨
AB、
BC 在同一
直平面内．一
量
竖
质
为m 的物
在
块
A
簧，并由静止
放，物
恰好能通
半
道的最高点
处压缩弹
释
块
过
圆轨
C.已
知物
在到达
块
B 点之前已
与
簧分离，重力加速度
经
弹
为g.求：
(1)物
由
块
C 点平抛出去后在水平
道上的落点到
轨
B 点的距离；
(2)物
在
块
B 点
半
道的
力大小；
时对
圆轨
压
(3)物
在
块
A 点
簧的
性
能．
时弹
弹
势
【答案】　(1)2R　(2)6mg　(3)mgR
【解析】　(1)因
物
恰好能通
为
块
过C 点，
有：
则
mg＝m
x＝vCt，2R＝gt2
解得x＝2R
即物
在水平
道上的落点到
块
轨
B 点的距离为2R；
(2)物
由
块
B 到C
程中机械能守恒，
过
有
则
mv＝2mgR＋mv
物
在
设
块
B 点
受到的半
道的支持力
时
圆轨
为FN，
有：
则
FN－mg＝m，
解得FN＝6mg
由牛
第三定律可知，物
在
顿
块
B 点
半
道的
力大小
时对
圆轨
压
FN′＝FN＝6mg.
(3)由机械能守恒定律可知，物
在
块
A 点
簧的
性
能
时弹
弹
势
为
Ep＝2mgR＋mv，解得Ep＝mgR.
【变式训练8-35】如
所示，
图
A、B 两小球由
定滑
的
相
，
绕过轻质
轮
细线
连A 放在固定的光滑斜面上，B、C 两小球在竖
直方向上通
度系数
过劲
为k 的
簧相
，
轻质弹
连C 放在水平地面上。
用手控制住
现
A，并使
拉直但无拉力作用，
细线刚刚
同
保
滑
左
直、右
与斜面平行。已知
时
证
轮
侧细线竖
侧细线
A 的
量
质
为4m，B、C 的
量均
质
为m，重力加速度为g，细线
与滑
之
的摩擦不
。开始
整个系
于静止状
；
放
轮
间
计
时
统处
态释
A 后，A 沿斜面下滑至速度最大
，
时C 恰好离开地面，在
此
程中，求：
过
（1）斜面的
角
倾
α；
（2）
簧恢复原
，
中的拉力大小
弹
长时细线
F0；
（3）A 沿斜面下滑的速度最大值vm。
【解答】解：（1）A 速度最大
，加速度
零，
时
为
对A 有：4mgsinα＝F，
此时B 的加速度也
零，
为
C 恰好高开地面，对B、C 整体受力分析知：F＝2mg，
解得sina= 1
2
，即a＝30°。
（2）
当
簧恢复原
，
设
弹
长时A 沿斜面向下运
的加速度大小
动
为a，
对A 有：4mgsina﹣F0＝4ma，
对B 有：F0﹣mg＝ma，
解得：F0= 6
5 mg。
（3）一开始
簧
于
状
，有：
弹
处
压缩
态
mg＝k•△x1，
量：
压缩
△x1= mg
k
，
C 恰好离开地面
，
簧
于伸
状
，有
时弹
处
长
态
mg＝k•△x2，
伸
量△
长
x2= mg
k
，
因而初末状
簧的
性
能相等，
整个系
从
放
态弹
弹
势
对
统
释
A 球至C 恰好离开地面的
程，根据机械能守恒定律有：
过
4mgsina•（△x1+△x2）﹣mg•（△x1+△x2）= 1
2
（4m+m）v m
2
解得vm=
❑√
4 m g
2
5k
=2g❑√
m
5k
。
答：（1）斜面的
角
倾
α 为30°；
（2）
簧恢复原
，
中的拉力大小
弹
长时细线
F0 为6
5 mg；
（3）A 沿斜面下滑的速度最大值vm 为2g❑√
m
5k
。
【变式训练8-36】如
，
角
图倾
为
的固定光滑斜面上有一
簧，
簧下端固定在斜面的
板上，上端
接小滑
轻弹
弹
挡
连
块
a，当a 静止在P
簧的
性
能
处时弹
弹
势
为
。小滑块b 从斜面上与a 相距
由静止
放，
处
释
b 与a 瞬
碰撞后粘在一起
间
向下运
。从碰后起，
动
经过时间，
簧恰好恢复原
且两滑
速度
零。已知
弹
长
块
为
b 的
量
质
为
，a 的
量
质
为
，重力加
速度大小为
，求：
（1）b 与a 碰后瞬
两者的速度大小；
间
（2）
内
时间
a 对b 做的功；
（3）
内
簧
板的冲量大小。
时间
弹
对挡
【答案】  （1）
；（2）
或
；（3）
【解析】（1）
滑
设
块b
到达
刚
a
的速度大小
处
为
，由机械能守恒定律得
b 与a 碰撞后瞬
的速度大小
间
为
，由
量守恒定律得
动
解得
（2）
小滑
设
块a 静止
，
簧的
量
时弹
压缩
为
，两滑
从
块
P
到
簧恰好恢复原
程中，
处
弹
长过
由系
机械能守恒定律可得
统
设
内
时间
a 对b 做的功为
，对b 由
能定理可得
动
解得
另：
簧的
度系数
设弹
劲
为
，当a 静止
，
簧
量
时弹
压缩
为
，有
簧的
性
能可由
簧
力做功推算得
弹
弹
势
弹
弹
由系
机械能守恒定律可得
统
立解得
联
设
内
时间
a 对b 做的功为
，由
能定理可得
动
解得
（3）设
内
簧
时间
弹
对ab 整体的冲量为
，以沿斜面向上
正方向，由
量定理可得
为
动
内
簧
板的冲量大小
时间
弹
对挡
解得
【变式训练8-37】如
所示，粗
均匀的光滑直杆
直固定在地面上，一根
簧套在杆上，下端与地面
接，上端
图
细
竖
轻弹
连
接
孔的
量
连
带
质
为m 的小球B 并
于静止状
，
量
处
态质
为m 的小球A 套在杆上，在B 球上方某一高度
由静止
放，
处
释
两球碰撞后粘在一起．当A、B 一起上升到最高点
，
时A、B 的加速度大小为
，g
重力加速度，
簧的形
在
为
弹
变总
弹
性限度内，已知
簧的
性
能表达式
弹
弹
势
为
，其中k
簧的
度系数、
为弹
劲
x
簧的形
量，
为弹
变
A，B 两球均可视
点。求：
为质
（1）小球A 开始
放的位置离
释
B 球的距离；
（2）两球碰撞后，
簧具有的最大
性
能及两球运
程中的最大速度；
弹
弹
势
动过
（3）若将A 球
成
换
C 球，C 球从A 球开始静止的位置由静止
放，
释
C、B
生
性碰撞，碰撞后立即取走
发
弹
C 球，此后B 球
上升的最大高度与A、B 一起上升的最大高度相同，则C 球的
量多大。
质
【答案】  （1）
；（2）
，
；（3）
【解析】（1）开始
，
簧的
量
时弹
压缩
当A、B 一起上升到最高点
，
簧的伸
量
时设弹
长
为
，根据牛
第二定律
顿
解得
开始
设
时A、B
的距离
间
为h，根据机械能守恒
设A、B 碰撞后一瞬
，
间A、B 共同速度大小为
，根据
量守恒有
动
从碰后一瞬
到上升到最高点，根据机械能守恒有
间
解得
（2）两球碰撞后，两球运
到最低点
簧的
性
能最大，
从碰撞
束至两球运
到最低点，
小球向下运
的
动
时弹
弹
势
则
结
动
设
动
距离为
，根据机械能守恒
得到
解得
簧具有的最大
性
能
则弹
弹
势
当两球的速度最大
，
簧的
量
时弹
压缩
根据机械能守恒定律有
解得
（3）设C 球的
量
质
为M，根据
量守恒
动
根据机械能守恒
解得
根据
意有
题
解得
非质点类机械能守恒问题
题型09：“链条”类问题
【典型例题1】如
所示，
图
长为L 的均匀
条放在光滑水平桌面上，且使
度的
链
长
垂在桌
，松手后
条从静止开始沿
边
链
桌
下滑，
条滑至
离开桌
的速度大小
边
则链
刚刚
边时
为(重力加速度大小为g)(　　)
A. 
 B.
C. 
 D.4
【答案】C
【解析】由机械能守恒定律ΔEp 减＝ΔEk 增，即mg·L+mg·L＝mv2，所以v＝。选项C 正确。
【典型例题2】如
所示，一条
图
长为L 的均匀金属
条，有一半
度在光滑
斜木板上，木板
角
链
长
倾
倾
为30°，木板
度是
长
2L，另一半沿
直方向下垂在空中，左
水平桌面足
且光滑，当
条从静止
放后，下列
法正确的是（　　）
竖
侧
够长
链
释
说
A．
条沿斜面向下滑
链
动
B．
条沿斜面向上滑
链
动
C．
条全部离开斜面瞬
速度
链
间
为
D．
条全部离开斜面瞬
速度
链
间
为
【答案】BD
【
解】
详
AB．因垂在空中的一半
条的重量大于在光滑
斜木板上的一半
条的重力下滑分力，即
链
倾
链
可知，
条沿斜面上滑，
链
选项B 正确，A
；
错误
CD．由机械能守恒定律可知
解得
选项C
，
错误D 正确。故选BD。
【变式训练9-1】如
所示，有一条
图
长为L＝1.5m 的均匀金属
条，有
链
3
4
L 在光滑的足
高的斜面上，另
够
1
4
L
直下垂
竖
在空中，在外力作用下静止不
。斜面
端
动
顶
P 是一个很小的光滑
弧，斜面
角
圆
倾
为37°。忽略空气阻力，g 取10m/s2，
sin37°＝0.6。当撤去外力后
条滑
，
条
好全部越
链
动则链
刚
过P
的速率
（　　）
时
为
A．3m/s
B．❑√3m/s
C．1m/s
D．
❑√3
2
m/s
【解答】解：
条的
量
设链
质
为m，
条在斜面上的部分沿斜面向下的分力
则链
为3
4 mgsin37° = 3
4 mg× 3
5 =0.45mg，斜
面左
条部分的重力
侧链
为1
4 mg＜0.45mg，所以
条沿着斜面下滑，
链
以P 点所在平面
零
能面，
条初始状
的机械能
为
势
链
态
E = E p+ Ek =−1
4 mg× L
8 −3
4 mg× 3
8 L×sin37°+0
条全部下滑出后，
条的机械能
链
链
E' = Ek' + E p' = 1
2 mv
2+(−mg× L
2 ×sin37°)
条下滑
程，只有重力做功，所以
条初末状
机械能守恒，
有
链
过
链
态
则
E＝E′
代入数据可得：v = ❑√3m/ s，故ACD
，
错误B 正确。
故
：
选B。
【变式训练9-2】如
所示，匀
量
图
质铁链质
为m，
度
长
为L，
使其
现
L
2
放在
角
倾
为30°的光滑斜面上，其余部分
直下
竖
垂。若由静止
放使
自由运
，
下滑至整条
好全部离开斜面
，
的速度
（　　）
释
铁链
动则铁链
铁链刚
时铁链
为
A．❑√
5 gL
8
B．❑√
3 gL
4
C．❑√
3 gL
8
D．❑√
7 gL
8
【解答】解：把
分成两个部分，下一半
重心下落的高度
铁链
铁链
为
h1= L
2 
上一半
重心下落的高度
铁链
为
h2= L
4 + L
4 sin30° = 3
8 L 
整条
从
放到
好全部离开斜面的
程中，由机械能守恒定律知
重力
能的减少等于
能的增加，
对
铁链
刚释
刚
过
铁链
势
动
则
1
2 mgh1+ 1
2 mgh2= 1
2 m v
2 
解得：v = ❑√
7 gL
8
，故ABC
，
错误D 正确。
故
：
选D。
【变式训练9-3】如
所示，
图
总长为l 的光滑匀
跨
一个光滑的
小滑
，开始
底端
，当略有
其一
质铁链
过
轻
轮
时
对齐
扰动时
端下落，
开始滑
，当
脱离滑
瞬
，
速度
铁链
动
铁链
轮
间铁链
为(　　)
A．              B．           C．
      D．2
【答案】B 
【解析】
从开始到脱离滑
的
程中，
条重心下降的高度
铁链
轮
过
链
为l，
条下落
程，由机械能守恒定律，得
链
过
mg·＝
mv2，
算得出
计
v＝，故B 正确，A、C、D
。
错误
【变式训练9-4】一根
量
质
为m、长为L 的均匀
条一半放在光滑的水平桌面上，另一半
在桌
，桌面足
高，如
链
悬
边
够
图
甲所示。若将一个
量
质
为m 的小球分
拴在
条右端和左端，如
乙、
丙所示。
束
条的
板光滑，三种情况均
别
链
图
图
约
链
挡
由静止
放，当整根
条
离开桌面
，关于它
的速度关系，下列判断正确的是
释
链
刚
时
们
(　　)
A．v 甲＝v 乙＝v 丙　　　　　　
B．v 甲<v 乙<v 丙
C．v 丙>v 甲>v 乙 
D．v 乙>v 甲>v 丙
【答案】：　D
【解析】：　三种情况下所研究的系
机械能守恒，由－
统
ΔEp＝ΔEk 得，
于甲：
对
mg×＋mg×＝mv，v 甲＝；
于乙：
对
mg×＋mg×＋mg×
＝×2mv，v 乙＝ ；
于丙：
对
mg×＋mg×＝×2mv，v 丙＝ ，故v 乙>v 甲>v 丙，D
。
对
【变式训练9-5】如
，一
量
图
质
为m，
度
长
为l 的均匀柔软细绳PQ
直
挂。用外力将
的下端
竖
悬
绳
Q
慢地
直向上拉
缓
竖
起至M 点，M 点与
的上端
绳
P 相距
1
3l 。重力加速度大小为g。在此
程中，外力做的功
过
为
A．1
9 mgl 
B．1
6 mgl
C．1
3 mgl
D．1
2 mgl
【答案】A
【解析】将
的下端
绳
Q
慢地
直向上拉起至
缓
竖
M 点，PM 段
的机械能不
，
绳
变MQ 段
的机械能的增加量
绳
为
2
1
2
1
1
(
)
(
)
3
6
3
3
9
E
mg
l
mg
l
mgl






，由功能关系可知，在此
程中，外力做的功
过
1
9
W
mgl

，故选A。
【变式训练9-6】如
所示，
图
总长为L，
量分布均匀的
放在高度
质
铁链
为H 的光滑桌面上，有
度
长
为a 的一段下垂，
，重力加速度为g，
接触地面
速度
（　　）
则铁链刚
时
为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【
解】
位
度的
量
详
设铁链单
长
质
为m，
地面
零
能面，由机械能守恒定律可得
设
为
势
解得
故ABC
，
错误D 正确。
故选D。
【变式训练9-7】如
所示，有一条柔
的
量
图
软
质
为
、长为
的均匀
条，开始
条的
链
时链
在水平桌面上，而
长
长
垂于桌外，用外力使
条静止。不
一切摩擦，桌子足
高。下列
法中正确的是（　　）
链
计
够
说
A．若自由
放
条，
条
离开桌面
的速度
释
链
则链
刚
时
B．若自由
放
条，
条
离开桌面
的速度
释
链
则链
刚
时
C．若要把
条全部拉回桌面上，至少要
条做功
链
对链
D．若要把
条全部拉回桌面上，至少要
条做功
链
对链
【答案】BD
【
解】
详
AB．若自由
放
条，以桌面
零重力
能参考平面，根据机械能守恒可得
释
链
为
势
解得
条
离开桌面
的速度
链
刚
时
为
B 正确，A
；
错误
CD．若要把
条全部拉回桌面上，至少要
条做的功等于垂于桌外
链
对链
条增加的重力
能，
有
链
势
则
D 正确，C
。
错误
故选BD。
【变式训练9-8】如
所示，
量分布均匀的
，静止放在半径
图
质
铁链
的光滑半球体上方。
一个微小的
给铁链
扰
使之向右沿球面下滑，当
的端点
动
铁链
B 滑至C
其速度大小
处时
为
。已知
，以OC 所在平面
参
为
考平面，取
。
下列
法中正确的是（　　）
则
说
A．
下滑
程中靠近
铁链
过
B 端的一小段
机械能守恒
铁链
B．
在初始位置
其重心高度
铁链
时
C．
的端点
铁链
A 滑至C 点
其重心下降
时
2.8m
D．
的端点
铁链
A 滑至C
速度大小
处时
为
【答案】C
【解析】A．
下滑
程中靠近
铁链
过
B 端的一小段
受到上
拉
的拉力，
拉力做
功，故机械能不守恒，故
铁链
边
链
该
负
A
；
错误
B．根据几何关系可知，
度
铁链长
为
全部
在球体上
，
量分布均匀且形状
，
其重心在几何中心且重心在
铁链
贴
时质
规则则
的角平分
上，故
在
线
铁链
初始位置
其重心与
心
度等于端点
时
圆
连线长
B 滑至C
其重心与
心
度，均
处时
圆
连线长
设为h，根据机械能守恒有
代入数据解得
故B
；
错误
C．
的端点
铁链
A 滑至C 点
，其重心在参考平面下方
时
，
的端点
处则铁链
A 滑至C 点
其重心下降
时
故C 正确；
D．
的端点
铁链
A 滑至C
程，根据机械能守恒有
处过
解得
故D
。
错误
故选C。
【变式训练9-9】如
所示，
图
AB
光滑的水平面，
为
BC 是
角
倾
为α 的足
的光滑斜面，斜面体固定不
。
够长
动AB、BC 间
用一小段光滑
弧
道相
。一条
圆
轨
连
长为L 的均匀柔
条开始
静置在
软链
时
ABC 面上，其一端D 至B 的距离为L－a。
自
现
由
放
条，
：
释
链
则
(1)
条下滑
程中，系
的机械能是否守恒？
述理由；
链
过
统
简
(2)
条的
链
D 端滑到B 点
，
条的速率
多大？
时链
为
【答案】(1)机械能守恒，理由
解析
见
  (2)
【解析】(1)
条在下滑
程中机械能守恒，因
斜面
链
过
为
BC 和水平面AB 均光滑，
条下滑
只有重力做功，符合机械能守
链
时
恒的条件。
(2)
条
量
设链
质
为m，可以
始、末状
的重力
能
化是由
认为
态
势
变
L－a 段下降引起的，如
所示。
图
部分高度减少量
该
h＝sin α＝sin α
部分的
量
该
质
为m′＝(L－a)
由机械能守恒定律可得m′gh＝mv2
解得v＝。
题型10：“液柱”类问题
【典型例题】如
所示，粗
均匀，两端开口的
图
细
U 形管内装有同种液体，开始
两
液面高度差
时
边
为h，管中液柱总长
度为4h，后来
液体自由流
，当两液面高度相等
，右
液面下降的速度
让
动
时
侧
为(重力加速度大小为g)(　　 )
A. 
 B.
C. 
 D.
【答案】A
【解析】当两液面高度相等
，减少的重力
能
化
全部液体的
能，根据机械能守恒定律得
时
势
转
为
动
mg·h＝mv2，解得v
＝，选项A 正确。
【变式训练10-1】横截面积为S 的U 形
筒
直放在水平面上，筒内装水，底部
圆
竖
阀门K 关
两
水面高度分
闭时
侧
别为
h1和h2，如
所示。已知水的密度
图
为ρ，重力加速度大小为g，不
水与筒壁
的摩擦阻力。
把
接两筒的
计
间
现
连
阀门K打
开，最后两筒水面高度相等，
程中（
则该过
        ）
A．水柱的重力做正功
B．大气
力
水柱做
功
压
对
负
C．水柱的机械能守恒
D．当两筒水面高度相等
，水柱的
能是
时
动
ρgS（h1-h2）2
【答案】ACD
【
解】
详
B．从把
接两筒的
打开到两筒水面高度相等的
程中，大气
力
左筒水柱做正功，
右筒水柱做
功，
连
阀门
过
压
对
对
负
抵消
零，故
为
B
。
错
ACD．水柱的机械能守恒，重力做功等于重力
能的减少量，等于水柱增加的
能，等效于把左筒高
势
动
的水柱移至
右筒，重心下降
，重力所做正功WG=
ρgS
=
ρgS（h1-h2）2，A、C、D 正确。
故选ACD。
题型11： “过山车”类问题
【典型例题】如
所示，露天
中
山
是由
多
完全相同的
成，
山
先沿水平
道行
，然后滑上
图
娱乐场
过
车
许
节
车厢组
过
车
轨
驶
一固定的半径为R 的空中
形
道，若
山
全
圆
轨
过
车
长为
，R
大于一
的
度和高度，
使整个
山
远
节车厢
长
为
过
车
安全通
固定的
形
道，那么
山
在运行到
形
道前的速度至少
（
的距离不
，忽略一切摩擦）（　　）
过
圆
轨
过
车
圆
轨
为车厢间
计
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【
解】当
山
入
道后，
能逐
向
能
化，
速逐
减小，当
占
形
道
速度最小，
此
的速度
详
过
车进
轨
动
渐
势
转
车
渐
车厢
满圆
轨
时
设
时
为v，
山
的
量
过
车
质
为M，
形
道上那部分
山
的
量
圆
轨
过
车
质
由机械能守恒定律可得
又因
形
道
部
足
圆
轨
顶
车厢应满
立解得
联
故选C。
【变式训练11-1】如
所示，固定在地面的斜面体上开有凹槽，槽内
挨放置六个半径均
图
紧
为r 的
相同小球，各球
号如
．斜面与水平
道
编
图
轨
OA 平滑
接，
连
OA
度
长
为6r.
将六个小球由静止同
放，小
现
时释
球离开A 点后均做平抛运
，不
一切摩擦．
在各小球运
程中，下列
法正确的是
动
计
则
动过
说
(　　)
A．球1 的机械能守恒                        B．球6 在OA 段机械能增大
C．球6 的水平射程最小                      D．六个球落地点各不相同
【答案】BC
【解析】当所有球都在斜面上运
机械能守恒，当有球在水平面上运
，后面球要
前面的球做功，小球机械能不
动时
动时
对
守恒，选项A
；球
错误
6 在OA 段由于球5 的推力
其做正功，其机械能增大，
对
选项B 正确；由于球6 离开A 点的速度
最小，所以其水平射程最小，选项C 正确；当1、2、3 小球均在OA 段
，三球的速度相同，故从
时
A 点抛出后，三球落地
点也相同，选项D
．
错误
题型12：能量守恒定律与传送带结合
【典型例题1】如
所示，以恒定速率
图
逆
运行的
送
与水平面
的
角
时针
传
带
间
夹
为
，
距
转轴间
。工作人
将
量
员
质
为
的小包裹
放上
送
的
端。已知小包裹与
送
的
摩擦因数
轻
传
带
顶
传
带间
动
为
，最大静摩擦力等于滑
摩擦力，重力
动
加速度为
。
送
端
零
能面，
描述小包裹的机械能随其位移的
化关系可能正确的是（　　）
设传
带顶
为
势
则
变
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【
解】除重力以外的其他力做的功等于小包裹机械能的
化量。小包裹从放上
送
到与
送
速度相同的
程中，
详
变
传
带
传
带
过
沿着
送
向下的滑
摩擦力
传
带
动
小包裹做正功，小包裹的机械能随位移均匀增大，
像斜率大小
对
图
为
。当小包裹的速度与
送
速度相同后，分两种情况：第一种，
传
带
大，小包裹与
送
一起匀速运行，
较
传
带
传
送
小包裹的摩擦力
沿着
送
向上的静摩擦力，且静摩擦力
带对
为
传
带
静摩擦力
小包裹做
功，小包裹的机械能随位移均匀减小，
像斜率大小
该
对
负
图
为
，小于第一
段的斜率大小
阶
；
第二种
小，小包裹
做加速运
，
送
小包裹的摩擦力
沿着
送
向上的滑
摩擦力，且有
较
继续
动传
带对
为
传
带
动
滑
摩擦力
小包裹做
功，小包裹的机械能随位移均匀减小，
像斜率大小
该
动
对
负
图
为
，与第一
段斜率大小
阶
相等，故ABD
，
错误C 正确。
故选C。
【变式训练12-1】（多选）如
所示，
量
图
质
为m 的滑
在水平向右的外力
块
F 作用下由静止开始沿水平面运
，运
动
动过
程中外力F 随位移x 的
化
足
变
满
，已知滑
与桌面
的滑
摩擦因数
块
间
动
（g
重力加速度），下列
为
说
法正确的是（　　）
A．滑
向右运
的最大位移
块
动
为
B．滑
最
能回到出
点
块
终
发
C．滑
运
的最大速度
块
动
为
D．从开始运
到物
最
静止，物
与水平桌面因摩擦
生的
量
动
块
终
块
产
热
为
【答案】CD
【
解】
详
AB．由
可做出
题
像，当
图
，由
时
代入得
其
像如
所示
图
图
滑
摩擦力
动
为
若滑
向右运
的最大位移
拉力
块
动
则
做功与摩擦力
做功相等，通
分析知，当
过
，拉力做功，属于
力做功，
时
变
由
像知，
成面
代表拉力
图
围
积
做功为
此
滑
摩擦力
时
动
做功为
可知
则
明拉力
说
未减为0 之前，物体已
停止运
，滑
不能回到出
点，由
像
经
动
块
发
图
面
表示做功，
最大位移
积
设
为
，
则
代入得
故AB
；
错误
C．当
，滑
运
的速度最大，
此
位移
时
块
动
设
时
为
，则
代入得
此
拉力
设
时
做功为
，滑
摩擦力
动
做功为
，由
能定理知
动
代入得
故C 正确；
D．从开始运
到物
最
静止，物
与水平桌面因摩擦
生的
量
动
块
终
块
产
热
为
故D 正确。故选CD。
【变式训练12-2】如
所示，
送
与水平面之
的
角
图
传
带
间
夹
为θ=30°，其上A、B 两点
的距离
间
为l=5m，
送
在
机
传
带
电动
的
下以
带动
v=1m/s 的速度匀速运
。
将一
量
动现
质
为m=10kg 的小物体（可
点）
放在
送
上的
视为质
轻
传
带
A 点，已知小物
体与
送
之
的
摩擦因数
传
带
间
动
μ=
，在
送
将小物体从
传
带
A 点
送到
传
B 点的
程中，求：（
过
g 取10m/s2）
（1）
送
小物体做的功；
传
带对
（2）
机多
出的能量。
电动
输
【答案】（1）255J；（2）270J
【
解】
详
（1）小物体
开始运
，根据牛
第二定律有
刚
动时
顿
解得小物体上升的加速度为
当小物体的速度为v=1m/s
，小物体的位移
时
为
之后小物体以v=1m/s 的速度做匀速运
到达
动
B 点，由功能关系得
（2）根据速度
关系可得
时间
相
位移
对
为
摩擦
生的
量
产
热
为
机做的功等于小物体的机械能增加量和小物体与
送
因摩擦
生的
量
电动
传
带间
产
热
Q 之和，故
机机多
出的能量
电动
输
为
【变式训练12-3】（多选）如
所示，一物体沿光滑弧形
道滑下后
入足
的水平
送
，
送
以速度
图
轨
进
够长
传
带传
带
v 沿图
示方向匀速运
，滑
离开
送
速度等于
送
速度。关于
送
物体的做功
动
块
传
带时
传
带
传
带对
W 以及物体与
送
摩擦生
传
带
热
Q，下列
法正确的有（　　）
说
A．其他条件不
，
增加物体开始滑下的高度，
变仅
W 可能与前述情况相等
B．若物体滑到
送
上的速度大于
送
的速度，其他条件不
，
增加物体开始滑下的高度，
传
带
传
带
变仅
Q 一定比前述情
况大
C．物
出
高度一定，
增大
送
速度，
块
发
仅
传
带
W 可能与前述情况相等
D．物
出
高度一定，
增大
送
速度，
块
发
仅
传
带
Q 可能与前述情况相等
【答案】BD
【
解】
详
A．滑
离开
送
速度等于
送
速度，即滑
离开
送
前已
与
送
共速。其他条件不
，
增加物
块
传
带时
传
带
块
传
带
经
传
带
变仅
体开始滑下的高度，滑
滑上
送
的初速度一定
生
化，
滑
在
送
上的
能
化会
生改
，
送
物
块
传
带
发
变
则
块
传
带
动
变
发
变传
带对
体的做功W 改
。
变A
；
错误
B．若物体滑到
送
上的速度大于
送
的速度，
滑
在
送
上做减速运
，根据
传
带
传
带
则
块
传
带
动
，
得
又
增加物体开始滑下的高度，滑
在
送
上的初速度
仅
块
传
带
大，相
位移
大，摩擦生
变
对
变
热Q
大，
变
B 正确；
C．物
出
高度一定，
滑
在
送
上的初速度
块
发
则
块
传
带
不
，
增大
送
速度，滑
的
能
化量改
，
变仅
传
带
块
动
变
变则W 一定改
，
变C
；
错误
D．物
出
高度一定，
增大
送
速度。滑
的初速度小于
送
速度和滑
初速度大于
送
速度，
两种情况
块
发
仅
传
带
块
传
带
块
传
带
这
滑
和
送
的相
位移大小可能相等，即摩擦生
可能相等，
块
传
带
对
热
D 正确。
故选BD。
题型13:天体运动中机械能的变化
【典型例题】神舟十三号与空
站天和核心
，分离
程
化如
所示，脱离前天和核心
于半径
间
舱
过
简
图
舱处
为
的
道Ⅰ
圆轨
上，从Р 点脱离后神舟十三号
船沿
道Ⅱ返回半径
飞
椭圆轨
为
的近地
道Ⅲ上，然后再多次
整
道，
行
圆轨
调
轨
绕
5 圈后
利着落在
着落
顺
东风
场.已知
道Ⅱ与
道Ⅰ、Ⅲ两
道相切于
轨
轨
圆轨
P、Q 点两点且恰好
的
两端点，引力常
对应椭圆
长轴
量为G，地球
量
质
为M，
下列
法正确的是（
则
说
    ）
A．
船从
飞
Р 点运
至
动
Q 点的最短时间为
B．
船在
道Ⅲ上的向心加速度小于在
道
飞
轨
轨
I 上的向心加速度
C．
船在
道Ⅰ上的机械能等于在
道Ⅲ上的机械能
飞
轨
轨
D．
船在
道Ⅰ与地心
和在
道Ⅲ与地心
在相同
内
的面
相等
飞
轨
连线
轨
连线
时间
扫过
积
【答案】A
【
解】
详
A．根据开普勒第三定律可得
于Ⅰ
道上的
星，有
对
轨
卫
所以
立解得
联
故A 正确；
B．根据万有引力提供向心力，有
可得
所以
道半径越大，向心加速度越小，所以
船在
道Ⅲ上的向心加速度大于在
道Ⅰ上的向心加速度，故
轨
飞
轨
轨
B
；
错误
C．
船由
道Ⅰ运
到
道Ⅲ需要在
道相切的位置
飞
轨
动
轨
轨
P 和Q 点点火减速，做近心运
，所以在点火
程中外力
动
过
对飞
船做
功，所以
船的机械能减小，即
船在
道Ⅰ上的机械能大于在
道Ⅲ上的机械能，故
负
飞
飞
轨
轨
C
；
错误
D．根据开普勒第二定律可知，
船在同一
道上运行
，
船与地心的
在相同
内
的面
相等，故
飞
轨
时飞
连线
时间
扫过
积
D 错误。
故选A。
【变式训练13-1】
技
是航天器入
程中的重要一
。
航行中的
程
复
，
方便研究我
将
变轨
术
轨过
环实际
变轨过
较为
杂为
们
航天器的
程
化
如
所示的模型：①将航天器
射到近地
道
变轨过
简
为
图
发
圆轨
1 上；②在A 点点火加速使航天器沿椭圆轨
道2 运行，
道
轨
1 和
道
轨
2 相切于A 点，A、B 分
道
别为轨
2 的近地点与
地点，地球的中心位于
的一个焦点；③在
远
椭圆
地点
远
B 再次点火加速，航天器沿
道
圆轨
3 运行，
道
轨
2 和
道
轨
3 相切于B 点。忽略地球自
的影响，已知地球表面重
转
力加速度为g，
道
轨
1 半径
地球半径
为
R，
道
轨
3 半径为4R，
面
椭圆
积为
，a
半
，
为椭圆
长轴b
半短
。
为椭圆
轴
以下
法正确的是（
则
说
    ）
A．航天器在
道
轨
2 上运行的周期为
B．航天器在
道
轨
1 和
道
轨
3 上的速度之比为
C．航天器在
道
轨
2 上经过B 点的速度大于
道
轨
1 上的速度
D．航天器在
道
轨
2 上经过A 点机械能大于
道
轨
2 上经过B 点的机械能
【答案】A
【
解】
详
A．航天器在
道
轨
2 上运行的周期跟半径为
的
星周期相等，有
卫
又
解得
故A 正确；
B．根据万有引力提供向心力，可得
，
解得
故B
；
错误
C．在
道
轨
2 上经过
点加速可以
入
道
进
轨
3，所以航天器在
道
轨
2 上经过B 点的速度小于
道
轨
3 的速度，根据
可知航天器在
道
轨
3 的速度小于
道
轨
1 的速度，由此可知航天器在
道
轨
2 上经过B 点的速度小于
道
轨
1 上的速度。故
C
；
错误
D．航天器在
道
轨
2 上运行
，只有万有引力做功，机械能守恒，所以航天器在
道
时
轨
2 上经过A 点机械能等于
道
轨
2 上
经过B 点的机械能。故D
。
错误
故选A。
【变式训练13-2】（多选）奥陌陌是人
的第一个来自太阳系之外的星
物体。它于
类发现
际
2017 年被
到。由于其
观测
飞
行
迹几乎垂直于太阳系中行星的
道平面，天文学家
很快就确定它来自太阳系之外。奥陌陌的
行
迹如
所示
轨
轨
们
飞
轨
图
，
其中N 点是奥陌陌
行
迹中距离太阳最近的点，
飞
轨
P 点
地球
太阳运行
道上的一点，且
为
绕
轨
N 点离太阳的距离比P 点
离太阳的距离更近。若在太阳系内只考
太阳引力作用，
下列
法正确的是（　　）
虑
则
说
A．奥陌陌从Q 点
向
飞
N 点的
程中，速度逐
增大
过
渐
B．奥陌陌在N 点的速度可能小于第一宇宙速度7.9km/s
C．奥陌陌在N 点的速度一定小于第三宇宙速度16.7km/s
D．奥陌陌在N 点的加速度大于地球在P 点的加速度
【答案】AD
【
解】
详
A．奥陌陌从Q 点
向
飞
N 点的
程中，万有引力做正功，速度逐
增大，故
过
渐
A 正确；
BC．奥陌陌是人
的第一个来自太阳系之外的星
物体，故奥陌陌在
类发现
际
N 点的速度必
等于或大于第三宇宙速度
须
16.7km/s，故BC
；
错误
D．根据牛
第二定律有
顿
解得
其中M
太阳的
量，
为
质
r
天体离太阳的距离，可知，奥陌陌在
为
N 点的加速度大于地球在P 点的加速度，故D 正确。
故选AD。
题型14：利用能量守恒解决实际问题
【典型例题】如
所示
某景
泉的
射装置
构示意
。它由
直
水管和均匀分布在同一水平面上的
图
为
观喷
喷
结
图
竖
进
16 个喷
嘴
成，
嘴与
水管中心的距离均
组
喷
进
为
，离水面的高度
。水
位于
水管口
，启
后，水
从水池
泵
进
处
动
泵
吸水，并将水
到
嘴
向水平方向
出，水在水池面上的落点与
水管中心的水平距离
压
喷
处
喷
进
为
。水
的效率
泵
为
，每个
嘴出水口每秒出水量
喷
为
，重力加速度g 取
，忽略水在管道和空中运
的机械能
动时
损
失。
下列正确的是（　　）
则
A．空中水柱的水的
量
质
为0.5kg
B．水
入的功率
泵输
340W
C．水
在
泵
1h 内消耗的
能
电
0.425 度
D．在水从
嘴
出到落至水面的
内，水
水做的功是
喷
喷
时间
泵对
320J
【答案】C
【
解】
详
A．水从
嘴水平
出，做平抛运
，由平抛运
的
律知
喷
喷
动
动
规
，
解得
，v=2m/s
所以空中水柱的水的
量
质
为
选项A
；
错误
BC．水
外做功，
化
水的机械能，因
每个
嘴出水口每秒出水量
泵对
转
为
为
喷
为
，所以16 个
嘴的
量
喷
总质
为
水
的
出功率
则
泵
输
为
根据
，
水
的
入功率是
则
泵
输
水泵1h 内消耗的
能
电
为
故水
在水
泵
泵1h 内消耗的
能
电
为0.425 度，故B
，
错误C 正确；
D．在水从
嘴
出到落至水面的
内，水
水做的功
喷
喷
时间
泵对
选项D
。
错误
故选C。
【变式训练14-1】（多选）
甲中
直放置的
簧一端固定在
洞
室中的水平面上，以此水平面
重力
能
图
竖
轻质弹
风
实验
为
势
的零
能面，
量
势
质
为0.1kg 的小球在
簧正上方某
由静止下落，同
受到一个
直向上恒定的
力。以小球开始下
弹
处
时
竖
风
落的位置
原点
为
O，
直向下
竖
为x
正方向，在小球下落的
程中，小球重力
能随其位移
化关系如
乙中的
轴
过
势
变
图
图线
①，
簧
性
能随小球位移
化关系如
乙中的
②，
簧始
在
性限度内，
度系数
弹
弹
势
变
图
图线
弹
终
弹
劲
为108N/m，重力加速度
g 取
。
下列
法正确的是（　　）
则
说
A．
簧原
弹
长为0.5m
B．小球
接触
簧
的
能
刚
弹
时
动
为0.45J
C．小球下落
程中所受
力
过
风
为0.2N
D．小球的最大加速度大小为
【答案】BD
【
解】
详
A．取地面
零
能参考面，根据
像可知小球初状
的重力
能
为
势
图
态
势
为
乙中的
②表示
簧的
性
能随小球位移
化的关系，由此可知小球下落
图
图线
弹
弹
势
变
开始接触
簧；
簧的
弹
则弹
原长为
故A
；
错误
C．由
乙可知小球速度减
图
为0
小球下落
时
根据功能关系有
解得
故C
；
错误
B．小球
接触
簧
，小球下落了
刚
弹
时
，
根据
能定理有
则
动
解得
故B 正确；
D．
簧
量最大
，
性
能最大
弹
压缩
时弹
势
 
度系数
则劲
加速度
故D 正确。
故选BD。
【变式训练14-2】如
所示，雪道与水平冰面在
图
B
平滑地
接。小明乘雪橇从雪道上离冰面高度
处
连
的A
由
处
静止开始下滑，经B
后沿水平冰面滑至
处
C
停止。已知小明与雪橇的
量
处
总质
，用速度
感器
得雪橇在
传
测
B
的速度大小
处
，不
空气阻力和
接
能量
失，小明和雪橇可
点。
计
连
处
损
视为质
g 取
，以水平冰面
参
为
考平面，求：
（1）小明与雪橇在A
的
重力
能
处时
总
势
；
（2）在B
小明与雪橇的
能
处时
总动
；
（3）从A
滑到
处
B
小明与雪橇
失的机械能
处
损
。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【
解】（
详
1）小明与雪橇在A
的
重力
能
处时
总
势
（2）在B
小明与雪橇的
能
处时
总动
（3）从A
滑到
处
B
小明与雪橇
失的机械能
处
损
一、单选题
1.如
所示，斜劈劈尖
着
直
壁静止于水平面上，
将一小球从
示位置静止
放，不
一切摩擦，
在小球从
图
顶
竖
墙
现
图
释
计
则
放到落至地面的
程中，下列
法正确的是
释
过
说
(　　)
A．斜劈
小球的
力不做功       
对
弹
B．斜劈与小球
成的系
机械能守恒
组
统
C．斜劈的机械能守恒             D．小球重力
能减少量等于斜劈
能的增加量
势
动
【答案】B
【解析】不
一切摩擦，小球下滑
，小球和斜劈
成的系
只有小球的重力做功，小球重力
能减少量等于斜劈和小
计
时
组
统
势
球的
能增加量，系
机械能守恒，
动
统
B 正确，C、D
；斜劈
小球的
力与小球位移
角大于
错误
对
弹
间夹
90°，故
力做
功，
弹
负
A
．
错误
2.在同一位置以相同的速率把三个小球分
沿水平、斜向上、斜向下方向抛出，不
空气阻力，
落在同一水平地面
别
计
则
的速度大小
时
(　　)
A．一
大    
样
B．水平抛的最大        C．斜向上抛的最大     D．斜向下抛的最大
【答案】A.
【解析】不
空气阻力的抛体运
，机械能守恒．故以相同的速率向不同的方向抛出落至同一水平地面
，物体速度的
计
动
时
大小相等，故只有选项A 正确．
3.某踢出的足球在空中运
迹如
所示，足球
点，空气阻力不
．用
动轨
图
视为质
计
v、E、
Ek、P 分
表示足球的速率、机械能、
能和重力的瞬
功率大小，用
别
动
时
t 表示足球在空中的运
，下列
象中可能
动时间
图
正确的是
(　　)
   
【答案】D
【解析】足球做斜上抛运
，机械能守恒，重力
能先增加后减小，故
能先减小后增加，速度先减小后增加，
动
势
动
A、B 项错
；以初始位置
零
能面，踢出
直方向速度
误
为
势
时竖
为vy，则Ek＝E－Ep＝E－mgh＝E－mgvyt＋mg2t2，C
；速度的
项错误
水平分量不
，
直分量先均匀减小到零，后反向均匀增大，故根据
变竖
P＝Gv 可知，重力的功率先均匀减小后均匀增加，
D
正确．
项
4.如
所示，光滑
道由
图
轨
AB、BCDE 两段
管平滑
接
成，其中
细圆
连
组
AB 段水平，
BCDE 段
半径
为
为R 的四分之三
弧，
心
圆
圆
O 及D 点与AB 等高，整个
道固定在
直平面内，
有一
量
轨
竖
现
质
为m、初速
度v0＝的光滑小球水平
入
管
进
圆
AB，
小球
道交接
无能量
失，
管孔径
小于
设
经过轨
处
损
圆
远
R，则(小球直径略小于圆
管内径)(　　)
A．小球到达C 点
的速度大小
时
vC＝
B．小球能通过E 点且抛出后恰好落至B 点
C．无
小球的初速度
论
v0
多少，小球到达
为
E 点
的速度都不能
零
时
为
D．若将DE
道拆除，
小球能上升的最大高度与
轨
则
D 点相距2R
【答案】B
【解析】
小球从
对
A 点至C 点
程，由机械能守恒有
过
mv＋mgR＝mv，解得vC＝，选项A
；
小球从
错误对
A 点至E 点的过
程，由机械能守恒有mv＝mv＋mgR，解得vE＝，小球从B 点抛出后，由平抛运
律有
动规
x＝vEt，R＝gt2，解得x＝R，则
小球恰好落至B 点，选项B 正确；因
管内壁可提供支持力，所以小球到达
为圆
B 点
的速度可以
零，
时
为
选项C
；若
错误
将DE
道拆除，
小球能上升的最大高度
轨
设
为h，由机械能守恒可知mv＝mgh，解得h＝R，选项D
．
错误
5.一物
沿
角
块
倾
为
的斜坡向上滑
，当物
的初速度
动
块
为
，上升的最大高度
时
为
，如
所示。当物
的初速度
图
块
为
，上升的最大高度
时
记为。重力加速度为
，
物
与斜坡
的
摩擦因数
则
块
间
动
和分
（
别为    ）
A．
和
B．
和
C．
和
D．
和
【答案】D
【
解】当物
上滑的初速度
详
块
为
，根据
能定理，有
时
动
当上滑的初速度为
，有
时
立可得
联
故选D。
6.如
所示，在某滑雪
滑雪者从
图
场
O 点由静止沿斜面自由滑下，接着在水平面上滑至N 点停下，斜面、水平面与滑雪
板之
的
摩擦因数都
间
动
为μ＝0.1，滑雪者（包括滑雪板）的
量
质
为m＝50kg，g 取10m/s2，O、N 两点
的水平距离
间
为s
＝100m。在滑雪者经过ON 段运
的
程中，克服摩擦力做的功
（　　）
动
过
为
A．1250J
B．2500J
C．5000J
D．7500J
【答案】C
【
解】
斜面的
角
详
设
倾
为θ，
滑雪者从
则
O 到N 的运
程中克服摩擦力做的功
动过
由
可知
题图
两式
立可得
联
故选C。
7．
量
质
为1kg 的物体，放置在
摩擦因数
动
为0.2 的水平面上，在水平拉力的作用下由静止开始运
，水平拉力做的功
动
W 和物体
生的位移
发
x 之
的关系如
所示，重力加速度
间
图
为10m/s2，
下列
法正确的是（　　）
则
说
A．x=3m
速度大小
时
为
B．x=9m
速度大小
时
为
C．OA 段加速度大小为3m/s2
D．AB 段加速度大小为3m/s2
【答案】C
【
解】
详
A．
于前
对
3m
程，根据
能定理有
过
动
解得
故A
；
错误
C．在OA 段
程，根据速度位移公式有
过
2a1x=vA2
合上述解得
结
a1=3m/s2 故C 正确；
B．
于前
对
9m
程，根据
能定理有
过
动
解得
故B
；
错误
D．根据上述可知AB 段初、末速度相等，
有
则
表明
程物体所受外力的合力
该过
为0，物体做匀速直
运
，
线
动则AB 段的加速度
零，故
为
D
。
错误
故选C。
8．如
所示，在一直立的光滑管内放置一
簧，上端
图
轻质弹
O 点与管口A 的距离为2x0，一
量
质
为m 的小球从管口由静
止下落，将
簧
至最低点
弹
压缩
B，
量
压缩
为x0，不
空气阻力，
（
计
则   ）
A．
簧的最大
性
能
弹
弹
势
为3mgx0
B．小球运
的最大速度等于
动
2
C．
簧的
度系数
弹
劲
为
D．小球运
中最大加速度
动
为g
【答案】A
【
解】
详
A．小球下落到最低点
重力
能全部
化
簧的
性
能，此
性
能最大，且有
时
势
转
为弹
弹
势
时弹
势
Epmax = 3mgx0
故A 正确；
C．根据选项A 和
簧
性
能的表达式有
弹
弹
势
解得
故C
；
错误
B．当小球的重力等于
簧
力
，小球有最大速度，
有
弹
弹
时
则
mg = kx
再根据
簧和小球
成的系
机械能守恒有
弹
组
统
解得最大速度为
故B
；
错误
D．小球运
到最低点
有
动
时
kx0－mg = ma
解得
a = 5g
故D
。
错误
故选A。
9．
某
做直
运
的
图为
电动车
线
动
v-t
像。若
量和所受阻力保持不
，从
图
该车质
变
t1
刻开始汽
的功率保持不
，
时
车
变则该
（　　）
电动车
A．t1～t2
内，加速度不断减小
时间
B．0～t1
内，
引力不断增大
时间
牵
C．t1～t2
内，
引力小于阻力
时间
牵
D．t1～t2
内，平均速率等于
时间
【答案】A
【
解】
详
AC．
内
象的斜率
小，加速度不断减小，但汽
做
加速运
，
引力大于阻力，故
时间
图
变
车
变
动牵
A 正确，C 错
；
误
B．
内
斜的直
，故汽
做匀加速运
，加速度不
，合外力不
，
由牛
第二定律可知
引力不
，
时间
为倾
线
车
动
变
变则
顿
牵
变
故B
；
错误
D．
内汽
做
加速运
，根据
象的“面
”表示位移，知其位移大于匀加速直
运
的位移，
平均速率
时间
车
变
动
图
积
线
动
则
大于
，故D
；
错误
故选A。
10．如
所示，表面粗糙的“
图
”型水平
道固定在地面上，
度系数
轨
劲
为
、原长为
的
簧一端固定在
道上的
轻弹
轨
点，另一端与安装有位移、加速度
感器的滑
相
，滑
量
传
块
连
块总质
为
。以
坐
原点，水平向右
正方向建立
为
标
为
轴，
将滑
拉至坐
块
标为
的A 点由静止
放，向左最
运
到坐
释
远
动
标为
的
点，
得滑
的加速度
测
块
与坐标
的关系如图
所示，其中
截距。
滑
由
为图线纵
则
块
A 运
至
动
程中（
簧始
于
性限度内）下列描述正确的是（　　）
过
弹
终处
弹
A．
B．最大
能
动
为
C．
摩擦因数
动
D．滑
在
块
和
的
性
能
处
弹
势
【答案】B
【
解】
详
A．由
可知，当滑
运
到
图
块
动
x2 位置
，滑
的加速度
零，滑
受到水平向右的滑
摩擦力和水平向左的
时
块
为
块
动
弹
力，所以
簧
于伸
状
，而不是原
，故
弹
处
长
态
长
A
；
错误
B．加速度
零
，速度达到最大，
能最大，根据
能定理，
合
与横
所
区域的面
可得
为
时
动
动
结
图线
轴
围
积
故B 正确；
C．根据牛
第二定律得
顿
当
时
解得
摩擦因数
动
故C
；
错误
D．由能量守恒定律可得
故D
。
错误
故选B。
11.如
所示，
图
a、b 两物
量分
块质
别为m、2m，用不
量的
相
接，
挂在定滑
的两
，不
滑
量和一切
计质
细绳
连
悬
轮
侧
计
轮质
摩擦。开始
，
时a、b 两物
距离地面高度相同，用手托住物
块
块b，然后突然由静止
放，直至
释
b 物
下降高度
块
为h。已知
重力加速度为g，在此
程中，下列
法正确的是（　　）
过
说
A．物块a 的机械能守恒
B．物块b 的机械能减少了mgh
C．物块b 重力
能的减少量等于
拉力
它所做的功
势
细绳
对
D．物块a 机械能的增加量等于b 机械能的减少量
【答案】D
【
解】
详
A．物体a 加速上升，
能和重力
能均增加，故机械能增加，故
动
势
A
；
错误
B．物体a、b 构成的系
机械能守恒，有
统
解得
物体b
能增加量
动
为
重力
能减小
势
2mgh，故物体b 机械能减小
，故B
。
错误
C．物体b 重力
能的减小量等于克服重力做的功，物体
势
b 加速下降，失重，拉力小于重力，故拉力的功小于重力
能
势
的减小量；故C
；
错误
D．不
滑
量和一切摩擦，
计
轮质
a、b
成的系
机械能守恒，所以物
组
统
块a 机械能的增加量等于b 的机械能减少量，故D
正确。
故选D。
12.有一款“跳一跳”小游
，游
要求操作者通
控制棋子脱离平台
的速度，使其能从同一水平面上的平台跳到旁
戏
戏
过
时
的另一平台上，如
所示的抛物
棋子在某次跳
程中的运
迹，
迹的最高点距平台上表面的高度
边
图
线为
跃过
动轨
轨
为h。
已知棋子的
量
质
为m，且可
点，不
空气阻力，重力加速度
视为质
计
为g。若平台上表面
零
能面，
下列
法正确的
为
势
则
说
是（　　）
A．棋子离开平台
的
能
时
动
为mgh
B．棋子从离开平台至运
到最高点的
程中，机械能增加
动
过
mgh
C．棋子离开平台后距平台上表面高度
的
能大于
时
动
D．棋子落到另一平台上
的速度等于
时
【答案】C
【
解】
详
AB．
棋子运
至最高点
的速度大小
设
动
时
为v，棋子离开平台
的
能
时
动
为Ek，棋子从离开平台至运
到最高点的
动
程中，只有重力做功，故机械能守恒，可得
过
故棋子离开平台
的
能大于
时
动
，选项AB
；
错误
C．棋子离开平台后距平台上表面高度为
由机械能守恒可得
时
可得
选项C 正确；
D．棋子落到另一平台上
的
直分速度
时
竖
为
由于
有水平分速度
还
v，故落到另一平台上
的速度大于
时
，选项D
。
错误
故选C。
13.如
所示，用一
杆将光滑的大
固定在
直平面内，将
点的小
套在大
上，小
从大
的最高
由
图
细轻
圆环
竖
视为质
环
环
环
环
处
静止滑下，
小
所在位置与大
的最高
的
与
直方向的
角
设
环
环
处
连线
竖
夹
为
，重力加速度大小为g，
此
小
的向心
则
时
环
加速度大小
（　　）
为
A．
B．
C．
D．
．【答案】B
【
解】小
从最高点滑下，由机械能守恒定律
详
圆环
解得
向心加速度
则
故选B。
14.）
量
质
为m 的木板与直立的
簧的上端相
，
簧下端固定在水平地面上，静止
簧的
量
轻质弹
连弹
时弹
压缩
为h，如
所
图
示。
将
量也
现
质
为m 的物
从距木板正上方
块
2h
静止
放，
物
与木板碰撞后粘在一起向下运
，到达最低点后
处
释
为
块
动
又向上运
，它
恰能回到
动
们
A 点。物
可
点，空气阻力、木板厚度忽略不
，已知
簧
性
能
块
视为质
计
弹
弹
势
E 与形
量
变
x 和
度系数
劲
k 之
的关系式
间
为
，重力加速度大小为g。关于
放物
到回到
释
块
A 点的
程，下列
法正确的是（
过
说
 
）
A．物
和木板碰撞后一起向下运
程中的速度一直减小
块
动过
B．整个运
程，物
、木板和
簧
成的系
机械能守恒
动过
块
弹
组
统
C．物
和木板碰撞后瞬
的共同速度
块
间
为
D．A 点距离木板初始位置的高度小于h
【答案】D
【
解】
详
A．初始
簧的
力大小等于木板的重力，当物
和木板碰后粘在一起向下运
程，合力先向下，当
簧的
弹
弹
块
动过
弹
弹
力等于重力
速度达到最大，合力向上，两物体向下做减速运
，物
和木板碰后粘在一起向下运
程中速度先增
时
动
块
动过
大后减小，故A
；
错误
B．物
和木板
生完全非
性碰撞，因此整个
程中机械能不守恒，故
块
发
弹
过
B
；
错误
C．碰撞前物
做自由落体运
，
物
与木板碰撞前的速度大小
块
动则
块
为
物
与木板碰撞
程系
内力
大于外力，系
量守恒，由
量守恒定律得
块
过
统
远
统动
动
解得
故C
；
错误
D．
量
质
为m 的木板静止
簧的
量
时弹
压缩
为h，则
mg=kh
解得
物
与木板碰撞后粘在一起向下运
，到达最低点后又向上运
，它
恰能回到
块
动
动
们
A 点，物
与木板碰撞后运
程中
块
动过
，
只有重力与
力做功，假
物体从相碰位置开始能上升的最大高度
弹
设
为H，且H＜h，由机械能守恒定律得
解得
＜h
所以假
成立，由此可知
设
A 点距离木板初始位置的高度小于h，故D 正确。
故选D。
二、多选题
1.如
所示，
直面内光滑的
图
竖
形
固定在一水平地面上，半径
圆
导轨
为R.一个
量
质
为m 的小
球从距水平地面正上方h 高
的
处
P 点由静止开始自由下落，恰好从N 点沿切
方向
入
道．不考
空
线
进
圆轨
虑
气阻力，
下列
法正确的是 
则
说
(　　)
A．适当
整高度
调
h，可使小球从
道最高点
轨
M
出后，恰好落在
道右端口
飞
轨
N 处
B．若h＝2R，
小球在
道最低点
道的
力
则
轨
对轨
压
为5mg
C．只有h 大于等于2.5R
，小球才能到达
道的最高点
时
圆轨
M
D．若h＝R，
小球能上升到
道左
离地高度
则
圆轨
侧
为R 的位置，
程重力做功
该过
为mgR
【答案】BC
【解析】若小球从M 到N 做平抛运
，
有
动则
R＝vMt，R＝gt2，可得vM＝，而球到达最高点M
速度至少
足
时
应满
mg＝
m，解得v＝，故A
；从
错误
P 点到最低点
程由机械能守恒可得
过
2mgR＝mv2，由向心力公式得FN－mg＝m，解得FN＝
5mg，由牛
第三定律可知小球
道的
力
顿
对轨
压
为5mg，故B 正确；由机械能守恒得mg(h－2R)＝mv2，代入v＝解得h＝
2.5R，故C 正确；若h＝R，
小球能上升到
道左
离地高度
则
圆轨
侧
为R 的位置，
程重力做功
该过
为0，故D
．
错误
2.如
所示，固定在
直面内的光滑
半径
图
竖
圆环
为R，
上套有
量分
圆环
质
别为m 和2m 的小球A、B(均可看做
点
质
)，且小
球A、B 用一长为2R 的
杆相
，在小球
轻质细
连
B 从最高点由静止开始沿
下滑至最低点的
程中
圆环
过
(已知重力加速度
为g)，下列
法正确的是
说
(　　)
A．A 球增加的机械能等于B 球减少的机械能       B．A 球增加的重力
能等于
势
B 球减少的重力
能
势
C．A 球的最大速度
 
为                    D．
杆
细
对A 球做的功为mgR
【答案】AD
【解析】系
机械能守恒的
可以理解
是一种机械能的
移，此
的情景就是
统
实质
为
转
题
A 球增加的机械能等于B 球减少的
机械能，A
，
对B
；根据机械能守恒定律有：
错
2mg·2R－mg·2R＝×3mv2，所以A 球的最大速度
 ，
为
C
；根据功能关系，
错
杆
细
对A 球做的功等于A 球增加的机械能，即WA＝mv2＋mg·2R＝mgR，故D
．
对
3.如
所示，
量
图
质
为m 的小滑
从离地面高
块
为h
的
处
A 点沿光滑斜面下滑并运
到半径
动
为R 的光滑
道上，然后沿
圆轨
粗糙的斜面BD 运
到
动
D
速度
好
时
刚
为0，并停于此
，
处BD 的
直高度
竖
为H，不
空气阻力，
下列
法正确的是
计
则
说
（　　）
A．小滑
在
块
A、C 两点的机械能不相等
B．小滑
从
块
B 运
到
动
D
程中，
能减少量
过
动
为mgh
C．小滑
从
块
B 运
到
动
D
程中，机械能减少量
过
为mg(h–H)
D．若改
小滑
放点的高度
变
块释
h，要使小滑
不脱离
道，
足
块
轨
应满
h≥2.5R 或h≤R
【答案】BCD
【
解】
详
A．小滑
由
块
A 运
到
动
C，只有重力做功，机械能守恒，所以小滑
在
块
A、C 两点的机械能相等，故A
；
错误
B．小滑
从
块
B 运
到
动
D
程中，根据
能定理可得
过
动
小滑
从
块
A 运
到
动
D
程中，根据
能定理
过
动
由以上两式可得
故B 正确；
C．根据功能关系，小滑
从
块
B 运
到
动
D
程中，机械能减少量
过
为
故C 正确；
D．若改
小滑
放点的高度
变
块释
h，要使小滑
不脱离
道，小滑
恰好达到
块
轨
块
C 点，或者恰好达到
心等高
，根据
圆
处
动
能定理有
在C 点，有
解得
若恰好达到
心等高
，有
圆
处
所以
上可得，若改
小滑
放点的高度
综
变
块释
h，要使小滑
不脱离
道，
足
块
轨
应满
h≥2.5R 或h≤R，故D 正确。
故选BCD。
4.如
所示，
图
a、b 两物
量分
块质
别为2m、3m，用不
量的
相
接，
挂在定滑
的两
。开始
，
计质
细绳
连
悬
轮
侧
时a、b 两物块
距离地面高度相同，用手托住物块b，然后由静止
放，直至
释
a、b 物
高度差
块间
为h，不
滑
量和一切阻力，重力
计
轮质
加速度为g。在此
程中，下列
法正确的是（　　）
过
说
A．物块a 的机械能守恒
B．物块a 速度为
C．物块b 的加速度为
D．物块b 的机械能减少了
【答案】BD
【
解】
详
A．物体a 加速上升，
能和重力
能均增加，故机械能增加，故
动
势
A
；
错误
B．a、b
高度差
间
为h，a 上升的高度与b 下降的高度均为
，物体a、b 构成的系
机械能守恒，
有
统
则
解得
故B 正确；
C．对ab 的整体，根据牛
第二定律
顿
解得物块b 的加速度为
选项C
；
错误
D．物体b
能增加量
动
为
重力
能减小
势
，故机械能减小
，故D 正确；
故选BD。
5.如
所示，固定的光滑
杆与水平面的
角
图
细
夹
为53°，
量
质
的
套在杆上，
用
通
光滑定滑
与
圆环
圆环
轻绳
过
轮
量
质
的物
相
。开始
位于
块
连
时圆环
A 位置
，
接
的
时连
圆环
轻绳
水平，
长为5m，C
杆上一点，
为
垂直于杆。
将
由静止
放，
向下运
并
现
圆环
释
圆环
动
经过C 下方某一位置B。重力加速度g 取10
，
，
，
（　　）
则圆环
A．从A 运
到
动
B 的
程中，物
的
能一直增大
过
块
动
B．从A 运
到
动
B 的
程中，
和物体的机械能守恒
过
圆环
C．到达C 位置
，
的速度
时圆环
为
D．
沿杆下滑的最低点与
圆环
A 点关于C
称
对
【答案】BC
【
解】
详
A．因为OC 垂直于杆，所以在C 点
沿着
的方向速度等于零，
物
的速度等于零，物
从
圆环
绳
则
块
块
A 运
到
动
C 的
程中，物
的
能先增大再减小，从
过
块
动
A 运
到
动
B 的
程中，物
的
能不是一直增大，
过
块
动
A
；
错误
B．根据机械能守恒定律，从A 运
到
动
B 的
程中，
和物体的机械能守恒，
过
圆环
B 正确；
C．根据机械能守恒得
解得，
到达
圆环
C 位置
，
的速度
时圆环
为
C 正确；
D．若
沿杆下滑的最低点与
圆环
A 点关于C
称，在
点
和物
的速度都等于零，物
因位置没有改
机械能没
对
该
圆环
块
块
变
有改
，而
的机械能减少了，
反机械能守恒定律，所以
沿杆下滑的最低点不可能与
变
圆环
违
圆环
A 点关于C
称，
对
D 错误。
故选BC。
6.如
所示，
量均
图
质
为m 的三个小球A、B、C 通
与两根
过铰链
长为L 的
杆相
，
轻
连A、B、C 位于
直面内且
成正三角
竖
组
形，其中A、C 置于水平地面上。
将球
现
B 由静止
放，球
释
A、C 在杆的作用下向两
滑
，三小球的运
始
在同一
侧
动
动
终
竖
直平面内，忽略一切摩擦，重力加速度大小为g。球B 由静止
放至落地的
程中，下列
法正确的是（　　）
释
过
说
A．A 的
能最大
，
动
时B 的加速度为g
B．当
，
时A 的速度为
C．B 的机械能先减小后增大
D．球B 落地的速度大小为
【答案】ABC
【
解】
详
A．A、C 两球
能始
相等，当
动
终
A 球
能最大
，
杆
力
零，此
动
时轻
弹
为
时B 球
受重力作用，加速度
仅
为g，A 正确；
B．当
，根据机械能守恒
时
A、B 两球速度关系为
立得，
联
A 球速度为
B 正确；
C．A、C 两球
能先增大后减小，由机械能守恒可知，
动
B 球机械能向减小后增大，C 正确；
D．球B 落地
没
时
A、C 两球
能
零，根据机械能守恒
动
为
得
D
。
错误
故选ABC。
7.如
所示，一根
簧与
量
图
轻质弹
质
为m 的滑块P
接后，穿在一根光滑
直杆上，
簧下端与
直杆的下端
接，一
连
竖
弹
竖
连
根
跨
定滑
将滑
轻绳
过
轮
块P 和重物Q
接起来。
中
连
图
O、B 两点等高，
段
线
OA 长为L，与水平方向的
角
夹
，重
物Q 的
量
质
，把滑
从
中
块
图
A 点由静止
放后沿
直杆上下运
，当它
释
竖
动
经过A、B 两点
，
簧
滑
的
力
时弹
对
块
弹
大小相等，不
滑
的摩擦，在滑
从
计
轮
块
A 到B 的运
程中（　　）
动过
A．滑块P 的速度一直增大
B．滑块P 在位置B 的速度
C．
滑
轻绳对
块P 做功
D．P 与Q 的机械能之和先增大后减小
【答案】BD
【
解】
详
A．由A、B 两点
簧
滑
的
力大小相等可知：
弹
对
块
弹
A 点
簧
于
状
，
弹
处
压缩
态B 点
簧
于伸
状
，
弹
处
长
态B 点P 所受合
力
直向下，
竖
则P 在越来越靠近B 点
程中必有所受合力方向
直向下的
段，
段
过
竖
阶
该阶
P 的速度减小，故A
；
错误
B． A、B 两点
，
簧
滑
的
力大小相等，即
簧的形
量相等，
簧的
性
能相等，到
时弹
对
块
弹
弹
变
弹
弹
势
B 点
，
时Q 的速度
零
为
，
系
由机械能守恒可得
则
统
解得
故B 正确；
C．由B
分析知
项
AB 两点
簧
性
能相等，即
簧
弹
弹
势
弹
对P 做功
零，所以
为
细绳对P 做的功等于P 增加的机械能，则
故C
；
错误
D．由A
分析知：从
项
A 点到B 点
程中，
簧
过
弹
对PQ 整体先做正功，后做
功，所以
负
P 与Q 的机械能先增大后减小，故
D 正确。
故选BD。
8.人
用滑道从高
向低
运送
物．如
所示，可看作
点的
物从
们
处
处
货
图
质
货
弧滑道
端
圆
顶
点静止
放，沿滑道运
到
释
动
弧末端
圆
点
速度大小
时
为
。已知
物
量
货
质
为
，滑道高度为
，且过
点的切
水平，重力加速度取
线
。关于
物从
货
点运
到
动
点的
程，下列
法正确的有（
过
说
    ）
A．重力做的功为
B．克服阻力做的功为
C．经过
点
向心加速度大小
时
为
D．经过
点
道的
力大小
时对轨
压
为
【答案】BCD
【
解】
详
A．重力做的功为
A
；
错误
B．下滑
程据
能定理可得
过
动
代入数据解得，克服阻力做的功为
B 正确；
C．经过
点
向心加速度大小
时
为
C 正确；
D．经过
点
，据牛
第二定律可得
时
顿
解得
物受到的支持力大小
货
为
据牛
第三定律可知，
物
道的
力大小
顿
货
对轨
压
为
，D 正确。
故选BCD。
9.如
所示，高速公路上汽
定速巡航（即保持汽
的速率不
）通
路面
图
车
车
变
过
abcd，其中ab 段
平直上坡路面，
为
bc 段为
水平路面，cd 段
平直下坡路面。不考
整个
程中空气阻力和摩擦阻力的大小
化。下列
法正确的是（　　）
为
虑
过
变
说
A．在ab 段汽
的
出功率逐
减小
车
输
渐
B．汽
在
车
ab 段的
出功率比
输
bc 段的大
C．在cd 段汽
的
出功率逐
减小
车
输
渐
D．汽
在
车
cd 段的
出功率比
输
bc 段的小
【答案】BD
【
解】根据
意，
空气阻力和摩擦阻力之和
详
题
设
为
，由平衡条件可得，在ab 段有
在bc 段有
在cd 段有
又有，汽
的
出功率
车
输
为
由于的大小不
，
在
变则
ab 段汽
的
出功率
车
输
在bc 段汽
的
出功率
车
输
为
在cd 段汽
的
出功率
车
输
为
可知，
、
、
均保持不
，且有
变
故选BD。
10．如
甲所示，用一
拴着一
量
图
轻质绳
质
为m 的小球，在
直平面内做
周运
（不
一切阻力），小球运
到最高点
竖
圆
动
计
动
小球的拉力
时绳对
为T，小球在最高点的速度大小为v，其
像如
乙所示，
（　　）
图
图
则
A．当地的重力加速度为
B．轻质绳长为
C．当
，
的拉力大小
时轻质绳
为
D．只要
，小球在最低点和最高点
的拉力差均
时绳
为
【答案】BD
【
解】
详
AB．设绳长为L，小球运
到最高点
，
小球受力分析，由牛
第二定律得
动
时对
顿
解得
子上的拉力
绳
由
像可得
图
斜率
解得
，
故A
，
错误B 正确；
C．当
，由
像和拉力表达式得
的拉力大小
时
图
轻质绳
为
故C
；
错误
D．当
，
的拉力大小
时轻质绳
为
当
时
当小球运
到最低点
速度
动
时
为
，根据
能定理可知
动
最低点，根据牛
第二定律得
顿
解得
故D 正确。
故选BD。
11．如
所示，半径可
的四分之一光滑
弧
道置于
直平面内，
道末端切
水平。将一小球从
道
端由静止
图
变
圆
轨
竖
轨
线
轨
顶
放。若保持
道
心位置不
，改
弧
道的半径
释
轨
圆
变
变圆
轨
不超
心离地的高度
过圆
，小球仍从
道
端由静止
放，
轨
顶
释
则
下列
法正确的是
说
（　　）
A．小球运
到
道末端
道的
力相等
动
轨
时对轨
压
B．小球落地
重力的功率相等
时
C．
道半径越大，小球落地的水平位移越大
轨
D．
道半径越大，小球落地
速度方向与
直方向
角越大
轨
时
竖
夹
【答案】AD
【
解】
详
A．小球下滑
程只有重力做功，故由机械能守恒定律可得
过
在最低点由牛
第二定律可得
顿
由牛
第三定律可得球
道的
力
顿
对轨
压
由表达式可知改
弧
道的半径
，小球运
到
道末端
道的
力相等，故
变圆
轨
时
动
轨
时对轨
压
A 正确；
B．
道低端离地高度
设轨
为，
由平抛运
律可得球落地
则
动规
时间为
落地
的
直分速度
时
竖
为
由功率的表达式可得小球落地
重力的功率
时
由表达式可知小球落地
重力的功率与其
道末端与地面的距离有关系，故重力的功率不相等，故
时
轨
B
；
错误
C．球落地的水平位移为
立以上表达式可得小球落地的水平位移
联
由表达式可知，由于球心到地面的高度一定，故由数学关系可知，当
，小球落地的水平位移最大，而不是
道半径越大，小球落地的水平位移越大，故
时
轨
C
；
错误
D．由以上表达式可知，
道半径越大，球平抛的水平速度越大，而落地
的
直分速度越小，由速度的合成可知小球
轨
时
竖
落地
速度方向与
直方向
角越大，故
时
竖
夹
D 正确。
故选AD。
三、实验题
1．如
甲所示，一位同学利用光
器等器材做“
机械能守恒定律”的
。有一直径
图
电计时
验证
实验
为d、
量
质
为m 的金属小
球由A
由静止
放，下落
程中能通
处
释
过
过A
正下方、固定于
处
B
的光
，
得
处
电门测
A、B
的距离
间
为H（
），光电
器
下小球通
光
的
计时
记录
过
电门
时间为t，当地的重力加速度为g。
：
则
（1）如
乙所示，用游
卡尺
得小球的直径
图
标
测
d=      cm。
（2）多次改
高度
变
H，重复上述
，作出
实验
随H 的
化
像如
丙所示，当
中已知量
变
图
图
图
和重力加速度g 及小
球的直径d
足以下表达式：
满
      
，可判断小球下落
程中机械能守恒。
时
过
（3）
中
能增加量
实验
发现动
是稍小于重力
能减少量
总
势
，增加下落高度后，则
将      （
填“增
选
大”“减小”或“不
”）。
变
【答案】     0.725     
     增大
【
解】（
详
1）[1]根据游
卡尺的
数
律可知，
数
标
读
规
该读
为
7 mm＋0.05×5mm=7.25 mm=0.725 cm
（2）[2]若减小的重力
能等于增加的
能
，可以
机械能守恒，
有
势
动
时
认为
则
其中
解得
（3）[3]由于
程中有阻力做功，且高度越高，阻力做功越多，故增加下落高度后，
该过
将增大。
2．如
甲所示的装置叫做阿特伍德机，是英国数学家和物理学家阿特伍德（
图
G·Atwood 1746~1807）
制的一种著名
创
力学
装置，用来研究匀
速直
运
的
律。某同学
装置加以改
后用来
机械能守恒定律，如
乙所示
实验
变
线
动
规
对该
进
验证
图
。
（1）
，
同学
行了如下操作：
实验时该
进
①将
量均
质
为M（A 的含
光片、
挡
B 的含挂
）的重物用
接后，跨放在定滑
上，
于静止状
。
量出
钩
绳连
轮
处
态测
  
 
（填“A 的上表面”、“A 的下表面”或“
光片中心”）到光
中心的
直距离
挡
电门
竖
h。
②在B 的下端挂上
量
质
为m 的物块C，
系
（重物
让
统
A、B 以及物块C）中的物体由静止开始运
，光
光片
动
电门记录挡
光的
挡
时间为Δt。
③
出
光片的
度
测
挡
宽
d，
算有关物理量，
机械能守恒定律。
计
验证
（2）如果系
（重物
统
A、B 以及物块C）的机械能守恒，
足的关系式
应满
为       （已知重力加速度为g）。
（3）引起
系
差的原因有
该实验
统误
                           （写一条即可）。
（4）
束后，
同学突
奇想：如果系
（重物
验证实验结
该
发
统
A、B 以及物块C）的机械能守恒，不断增大物块C 的
量
质
m，重
物B 的加速度a 也将不断增大，那么a 与m 之
有怎
的定量关系？
间
样
a 随m 增大会
于一个什么
？
你帮
同学
趋
值
请
该
解决：
①写出a 与m 之
的关系式：
间
                           （
要用到
还
M 和g）。
②a 的
会
于
值
趋
        。
【答案】     
光片中心     
挡
     
子有一定的
量、滑
与
子之
有摩擦、重物运
绳
质
轮
绳
间
动
受到空气阻力等     
     重力加速度g
【
解】（
详
1）[1]需要
量系
重力
能的
化量，
量出
光片中心到光
中心的
直距离。
测
统
势
变
则应该测
挡
电门
竖
（2）[2]系
的末速度
统
为
系
重力
能的减少量
则
统
势
系
能的增加量
统动
为
若系
机械能守恒，
有
统
则
（3）[3]系
机械能守恒的条件是只有重力做功，引起
系
差的原因可能有：
子有一定的
量、滑
与
子之
统
实验
统误
绳
质
轮
绳
有摩擦、重物运
受到空气阻力等。
间
动
（4）[4][5]根据牛
第二定律得，系
所受的合力
顿
统
为mg，
系
加速度
则
统
为
当m 不断增大，则a
于
趋
g。
四、解答题
1．某跳台滑雪滑道示意
如
所示，
斜滑道
图
图
倾
与光滑
弧滑道
圆
相切于
点，
段的
度
长
，与水平方
向的
角
夹
，
弧滑道的半径
圆
，C 是
弧的最低点。
量
圆
质
的运
（含装
，
点）从
动员
备视为质
A 处
由静止开始下滑，到达
点后水平
出，恰好落到水平地面上的
冲
上的
飞
缓
垫
点。已知运
在整个
程中没有任何
动员
过
助力
作，
动
点与
点的高度差
，运
滑到
动员
点
滑道的
力大小
时对
压
。不
空气阻力，取重力加
计
速度大小
，
，
。求：
（1）
点到
点的水平距离；
（2）滑板与滑道
的
摩擦因数
间
动
【答案】（1）
；（2）
【
解】（
详
1）运
在
动员
C 点
有
时
运
从
动员
点到
点的
程中做平抛运
，
有
过
动则
解得
（2）运
从
动员
B 点到C 点的
程中由
能定理有
过
动
解得
运
从
动员
A 点到B 点的
程中由
能定理有
过
动
解得
2．在离地80 m
无初速度
放一小球，小球的
量
处
释
质
为m=200g，不
空气阻力，
计
g 取10m/s2，取
放点所在水平面
释
零
能参考平面。求：
为
势
（1）在第2s 末小球的重力
能；
势
（2）3s 内重力所做的功及重力
能的
化。
势
变
【答案】（1）-40J；（2）90J，减少了90J
【
解】（
详
1）由
知，取
放点所在水平面
参考平面，
在第
题
释
为
则
2s 末小球所
的高度
处
h=-
gt2=-
×10×22m=-20m
重力
能
势
Ep=mgh=0.2×10×(-20)J=-40J
Ep 小于零
明了物体在参考平面的下方；
说
（2）在第3s 末小球所
的高度
处
h′=-
gt′2=-
×10×32m=-45m
3s 内重力做功为
W=mg（0-h′）=0.2×10×45J=90J
即小球的重力
能减少了
势
90J。
3．由于三大常
能源的短缺，新能源汽
成
当下各国研
的主方向。理
上汽
刹
抱死的情况下，刹
距离
规
车
为
发
论
车
车车轮
车
与速度的平方成正比，与
摩擦因数成反比，当摩擦因数一定
，刹
距离取决于
速。
生活中，
速一
的情况
动
时
车
车
现实
车
样
下，往往
重越重，刹
距离就越
。
探究
个
，研究小
某新能源汽
行研究，
量
车载
车
长为
这
问题
组对
车进
该车质
为
，额
定功率为
，以
定功率在水平路面上启
，受到的阻力恒
额
动
为
。保持
定功率行
额
驶时间
，速度达到最大，随即刹
（防抱死制
装置
时
车
动
ABS 启
，不考
反
），
得制
距离等于启
到最大速度距离
动
虑
应时间
测
动
动
的
倍。
得抱死
摩擦因数
查
时动
为
，
算
防抱死
刹
系
的制
力
计
发现
时
车
统
动
小于
抱死
与地面的滑
车轮
时
动
摩擦力
。由此可知，
就是
重越重刹
距离越
的原因。求：
这
车载
车
长
（1）
从启
到最大速度的
程中，汽
行
的位移大小；
该车
动
过
车
驶
（2）上述刹
程中刹
系
的制
力
车过
车
统
动
。
【答案】（1）
；（2）
【
解】（
详
1）根据
意可知，当
题
，速度最大，
合公式
时
结
，
有
则
代入数据得
从启
到最大速度，由
能定理得
动
动
代入数据得
（2）根据
意，由
能定理有
题
动
其中
代入数据得
4．弯曲
道与水平地面平滑
接，右
有一与地面等高的
送
，
送
始
以速度
轨
连
侧
传
带传
带
终
匀速
，如
甲所示
顺时针
转动
图
。
将一滑
从
道上高
块
轨
无初速
放，当
处
释
，滑
离开
送
的速度不
，当滑
从其他高度
时
块
传
带时
变
块
释
放后，离开
送
的速度大小
传
带时
与高度的
像
如
乙所示的曲
。已知滑
与
送
的
摩擦因数
图
为
图
线
块
传
带间
动
，
弯曲
道与水平地面均光滑，取重力加速度大小
轨
，求：
（1）
送
的
送速度
传
带
传
；
（2）
送
的
度
传
带
长
。
【答案】（1）
；（2）
【
解】（
详
1）（2）根据
意，
合
乙可知，当
题
结
图
，滑
始
在
送
上加速，当
时
块
终
传
带
，滑
始
在
时
块
终
送
上减速，
滑
滑上
送
的速度
传
带
设
块
传
带
为，由机械能守恒定律有
由运
学公式有
动
其中
解得
，
5．如
所示，一物体
量
图
质
m＝2kg，在
角
倾
θ＝37°的斜面上的A 点以初速度v0＝3m/s 下滑，A 点距
簧上端
板位置
弹
挡
B 点的距离AB＝4m。当物体到达B 点后将
簧
到
弹
压缩
C 点，最大
量
压缩
BC＝0.2m，然后物体又被
簧
上去，
到
弹
弹
弹
的最高位置为D 点，D 点距A 点的距离AD＝3m。
板及
簧
量不
，
挡
弹
质
计g 取10m/s2，sin37°＝0.6，求：（
果均保留三
结
位有效数字）
（1）物体与斜面
的
摩擦因数
间
动
μ；
（2）
簧的最大
性
能
弹
弹
势
Epm。
【答案】（1）0.521；（2）24.4J
【
解】（
详
1）物体从A 点到被
簧
到
弹
弹
D 点的
程中，
簧
性
能没有
生
化，机械能的减少量全部用来克服摩擦
过
弹
弹
势
发
变
力做功，即
mv02＋mgAD·sinθ＝μmgcosθ·（AB＋2BC＋BD）
代入数据解得
μ≈0.521
（2）物体由A 到C 的
程中，
能减少量
过
动
ΔEk＝
mv02
重力
能减少量
势
ΔEp＝mgsinθ·AC
摩擦
生的
量
产
热
Q＝μmgcosθ·AC
由能量守恒定律可得
簧的最大
性
能
弹
弹
势
为
Epm＝ΔEk＋ΔEp－Q≈24.4J
6.一半径为R 的半
形
直
柱面，用
不可伸
的
接的
圆
竖
圆
轻质
长
细绳连
A、B 两球
挂在
柱面
两
，
悬
圆
边缘
侧A 球
量
质
为B 球
量的
质
2 倍，
将
现
A 球从
柱
由静止
放，如
所示．已知
圆
边缘处
释
图
A 球始
不离开
柱内表面，且
足
，若不
终
圆
细绳
够长
计
一切摩擦，求：
(1)A 球沿
柱内表面滑至最低点
速度的大小；
圆
时
(2)A 球沿
柱内表面运
的最大位移．
圆
动
【答案】(1)2　(2)R
【解析】(1)设A 球沿
柱内表面滑至最低点
速度的大小
圆
时
为v，B 球的
量
质
为m，
根据机械能守恒定律有
则
2mgR－mgR＝×2mv2＋mv
由
甲可知，
图
A 球的速度v 与B 球速度vB 的关系为
vB＝v1＝vcos 45°
立解得
联
v＝2.
(2)当A 球的速度
零
，
为
时A 球沿
柱内表面运
的位移最大，
圆
动
设为x，如
乙所示，由几何关系可知
图
A 球下降的高度h
＝ 
根据机械能守恒定律有2mgh－mgx＝0
解得x＝R.
7.如
所示，
量
图
质
为m＝2 kg 的小球以初速度v0沿光滑的水平面
出后，恰好无碰撞地从
飞
A 点
入
直平面内的光
进
竖
滑
弧
道，其中
圆
轨
B 点
弧
道的最低点，
为圆
轨
C 点
弧
道的最高点，
弧
为圆
轨
圆
AB
的
心角
对应
圆
θ＝53°，
半径
圆
R＝0.5 
m．若小球离开水平面运
到
动
A 点所用时间t＝0.4 s，求：(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，g 取10 m/s2)
(1)小球沿水平面
出的初速度
飞
v0的大小．
(2)到达B 点
，小球
弧
道的
力大小．
时
对圆
轨
压
(3)小球能否通
弧
道的最高点
过圆
轨
C？
明原因．
说
【答案】(1)3 m/s　(2)136 N　(3)能，理由
解析
见
【解析】(1)小球离开水平面运
到
动
A 点的
程中做平抛运
，有
过
动
vy＝gt
根据几何关系可得tan θ＝
代入数据，解得v0＝3 m/s
(2)由
意可知，小球在
题
A 点的速度vA＝
小球从A 点运
到
动
B 点的
程，
足机械能守恒定律，有
过
满
mvA2＋mgR(1－cos θ)＝mvB2
小球运
到
设
动
B 点
受到
弧
道的支持力
时
圆
轨
为FN，根据牛
第二定律有
顿
FN－mg＝m
代入数据，解得FN＝136 N
由牛
第三定律可知，小球
弧
道的
力
顿
对圆
轨
压
FN′＝FN＝136 N
(3)假
小球能通
最高点
设
过
C，
小球从
则
B 点运
到
动
C 点的
程，
足机械能守恒定律，有
过
满
mvB2＝mg·2R＋mvC2
在C 点有F 向＝m
代入数据，解得F 向＝36 N>mg
所以小球能通
最高点
过
C.
8.如
所示，
直平面内固定着由两个半径均
图
竖
为R 的四分之一
弧构成的
管道
圆
细
ABC，
心
圆
连线O1O2水平．
簧左
轻弹
端固定在
直
板上，右端靠着
量
竖
挡
质
为m 的小球(小球的直径略小于管道内径)，长为R 的薄板DE 置于水平面上，薄
板的左端D 到管道右端C 的水平距离为R.开始
簧
于
定状
，具有一定的
性
能．解除
定，小球离开
簧
时弹
处
锁
态
弹
势
锁
弹
后
入管道，最后从
进
C 点抛出(不
一切摩擦，重力加速度
计
为g)，小球经C 点
道外
的
力大小
时对轨
侧
弹
为mg.
(1)求
簧
定
具有的
性
能
弹
锁
时
弹
势
Ep；
(2)
通
算判断小球能否落在薄板
试
过计
DE 上．
【答案】　(1)3mgR　(2)
解析
见
【解析】　(1)从解除
簧
定到小球运
到
弹
锁
动
C 点的
程，
簧和小球
成的系
机械能守恒，
小球到达
过
弹
组
统
设
C 点的速度大
小为v1，根据机械能守恒定律可得Ep＝2mgR＋mv
由
意知，小球
题
经C 点
所受的
力的大小
时
弹
为mg，方向
直向下，由牛
第二定律，
竖
顿
mg＋mg＝
立解得
联
v1＝，Ep＝3mgR.
(2)小球离开C 点后做平抛运
，
从抛出到落到水平面上的
动设
时间为t，根据平抛运
律有
动规
2R＝gt2，x＝v1t
解得x＝2R>2R
所以小球不能落在薄板DE 上．
9.如
所示，半径
图
为R 的光滑
周
道
圆
轨
AB 固定在
直平面内，
竖
O
心，
为圆
OA 与水平方向的
角
夹
为30°，OB 在
直方
竖
向．一个可
点的小球从
视为质
O 点正上方某
以某一水平初速度向右抛出，小球恰好能无碰撞地从
处
A 点
入
道
进
圆轨
内
，此后沿
道运
到达
侧
圆轨
动
B 点．已知重力加速度为g，求：(不
空气阻力
计
)
(1)小球初速度的大小；
(2)小球运
到
动
B 点
道
力的大小．
时对圆轨
压
【答案】　(1)　(2)6mg
【解析】　(1)
小球的初速度大小
设
为v0，
行
飞
时间为t，
在水平方向有
则
Rcos 30°＝v0t
在
直方向有
竖
h1＝gt2，vy＝gt
小球运
到
动
A 点
与
道无碰撞，故
时
轨
tan 30°＝
立解得
联
v0＝，h1＝R.
(2)抛出点距
道最低点的高度
轨
h＝R＋Rsin 30°＋h1
小球运
到最低点
设
动
B
速度
时
为v，
道
小球的
力大小
圆轨
对
弹
为FN，
根据机械能守恒有mgh＋mv＝mv2
根据牛
第二定律有
顿
FN－mg＝m
立解得
联
FN＝6mg
由牛
第三定律，在
顿
B 点
小球
道的
力大小
时
对圆轨
压
为FN′＝FN＝6mg.
10.如
甲所示，
直平面内的光滑
道由
斜直
道
图
竖
轨
倾
轨
AB 和
道
圆轨
BCD
成，
组
AB 和BCD 相切于B 点，CD
是
连线
圆
道
直方向的直径
轨
竖
(C、D
道的最低点和最高点
为圆轨
)，已知∠BOC＝30°.可
点的小滑
从
道
视为质
块
轨
AB 上高H 处
的某点由静止滑下，用力
感器
出小滑
道最高点
传
测
块经过圆轨
D
道的
力
时对轨
压
为F，并得到如
乙所示的
力
图
压
F 与
高度H 的关系
象，取
图
g＝10 m/s2.求：
(1)滑
的
量和
道的半径；
块
质
圆轨
(2)是否存在某个H
，使得小滑
最高点
值
块经过
D 后能直接落到直
道
轨
AB 上与
心等高的点？若存在，
求出
圆
请
H
；
值
若不存在，
明理由．
请说
【答案】　(1)0.1 kg　0.2 m　(2)存在　0.6 m
【解析】　(1)
小滑
的
量
设
块
质
为m，
道的半径
圆轨
为R
根据机械能守恒定律得mg(H－2R)＝mv，由牛顿
第三定律可知
道
小滑
的支持力
轨
对
块
F′＝F，由牛
第二定律有，
顿
F′＋mg＝
得：F＝F′＝－mg＝－5mg
取点(0.50 m,0)和(1.00 m,5.0 N)代入上式得：
m＝0.1 kg，R＝0.2 m
(2)假
小滑
最高点
设
块经过
D 后能直接落到直
道
轨
AB 上与
心等高的
圆
E 点，如
所示，
图
由几何关系可得
OE＝＝0.4 m
小滑
最高点
设
块经过
D
的速度
时
为vD′
由
意可知，小滑
从
题
块
D 点运
到
动
E 点，水平方向的位移为OE，
直方向上的位移
竖
为R，则OE＝vD′t，R＝gt2
解得vD′＝2 m/s
而小滑块过D 点的
界速度
临
vD0＝＝ m/s
由于vD′＞vD0，所以存在一个H
，使得小滑
最高点
值
块经过
D 后能直接落到直
道
轨
AB 上与
心等高的点，由机械能
圆
守恒定律得
mg(H－2R)＝mvD′2
解得H＝0.6 m.
11.如
所示，一内壁光滑的
管弯成半径
图
细
为R＝0.4 m 的半
形
道
圆
轨
CD，
直放置，其内径略大于小球的直径，水平
竖
道与
直半
道在
轨
竖
圆轨
C 点平滑
接．置于水平
道上的
簧左端与
直
壁相
，
连
轨
弹
竖
墙
连B
簧的自然状
．将一个
处为弹
态
量
质
为m＝0.8 kg 的小球放在
簧的右
后，用力水平向左推小球而
簧至
弹
侧
压缩弹
A
，然后将小球由静止
放，小球
处
释
运
到
动
C
道的
力大小
处时对轨
压
为F1＝58 N．水平
道以
轨
B
界，左
处为
侧AB 段长为x＝0.3 m，与小球
的
摩擦因
间
动
数为μ＝0.5，右侧BC 段光滑．g＝10 m/s2，求：
(1)
簧在
所
存的
性
能；
弹
压缩时
储
弹
势
(2)小球运
到
道最高
动
轨
处D 点
道的
力．
时对轨
压
【答案】：(1)11.2 J　(2)10 N，方向
直向上
竖
【解析】：(1)
小球在
对
C
，由牛
第二定律及向心力公式得
处
顿
F1－mg＝m，v1＝
＝ m/s＝5 m/s.
从A 到B 由
能定理得
动
Ep－μmgx＝mv，Ep＝mv＋μmgx＝×0.8×52 J＋0.5×0.8×10×0.3 J＝11.2 J.
(2)从C 到D，由机械能守恒定律得：
mv＝2mgR＋mv，v2＝＝ m/s＝3 m/s，
由于v2>＝2 m/s，
所以小球在D
道外壁有
力．
处对轨
压
小球在D
，由牛
第二定律及向心力公式得
处
顿
F2＋mg＝m，F2＝m＝0.8× N＝10 N.
由牛
第三定律可知，小球在
顿
D 点
道的
力大小
对轨
压
为10 N，方向
直向上．
竖
12.如
所示，滑
量
图
块质
为m，与水平地面
的
摩擦因数
间
动
为0.1，它以v0＝3  的初速度由A 点开始向B 点滑行，AB＝
5R，并滑上光滑的半径为R 的
弧
圆
BC，在C 点正上方有一离C 点高度也为R 的旋
平台，沿平台直径方向开有两个
转
离
心距离相等的小孔
轴
P、Q，孔径大于滑
的大小，旋
两孔均能达到
块
转时
C 点的正上方。求：(1)滑
运
到光滑
道
块
动
轨
B 点
道的
力大小；
时对轨
压
(2)若滑
滑
块
过C 点后穿过P 孔，求滑块过P 点后
能上升的最大高度；
还
(3)若滑
滑
块
过C 点 
后从P 孔上升又恰能从Q 孔落下，平台
的角速度
转动
ω
足什么条件？
应满
【答案】：(1)
滑
滑至
设
块
B 点
速度
时
为vB，
滑
由
对
块
A 点到B 点
用
能定理有－
应
动
μmg·5R＝mv－mv
滑
在
对
块
B 点，由牛
第二定律有
顿
N－mg＝m
解得N＝9mg
由牛
第三定律可知，滑
在
顿
块
B 点
道的
力大小
时对轨
压
为N′＝N＝9mg  方向向下
(2)滑
从
块
B 点开始运
后机械能守恒，
滑
到达
动
设
块
P
速度
处时
为vP，
则mv＝mv＋mg·2R
解得vP＝2
滑
穿
块
过P 孔后再上升机械能仍守恒，
能上升的最大高度
设
为h 
由mv＝mg·h
得到h＝2R
滑块过P 点后
能上升的最大高度
还
为2R
(3)滑
穿
块
过P 孔后再回到平台的
  
时间
t＝＝4
要想
述
程，需
足
实现题
过
满
ωt＝(2n＋1)π
ω＝(n＝0，1，2…)
13.某同学参照
山
情景
了如
所示的模型：光滑的
直
道半径
过
车
设计
图
竖
圆轨
R=2m，入口的平直
道
轨
AC 和出口的平直
道
轨
CD 均是粗糙的，
量
质
为m=2kg 的小滑
（可
点）与水平
道之
的
摩擦因数均
块
视为质
轨
间
动
为μ=0.5，滑
从
块
A 点
由静止开始受到水平拉力F=60N 的作用，在B 点撤去拉力，AB 的
度
长
为L=5m，不
空气阻力，若滑
恰好通
计
块
过圆轨
道的最高点，g=10m/s2。求：
（1）当滑
再回到
道最低点
道
它的
力大小；
块
圆轨
时圆轨
对
弹
（2）滑
沿着出口的平直
道
块
轨
CD 能滑行的最大距离；
（3）平直
道
轨
BC 段的
度。
长
【答案】（1）120N；（2）10m；（3）15m
【
解】（
详
1）滑
恰好通
最高点，滑
只受到重力，此
重力提供向心力，根据牛
第二定律可得
块
过
块
时
顿
滑
从
块
C 点到最高点
程由
能定理可得
过
动
在C 点，
滑
由牛
第二定律可知
对
块
顿
解得
（2）平直
道
轨
CD 上滑行
，由
能定理可得
时
动
解得滑行距离
（3）对AC
程由
能定理可得
过
动
解得BC
度
长
14.如
所示，
直平面内的
图
竖
弧形光滑管道半径略大于小球半径，管道中心到
弧
道
心距离
圆
圆
轨
圆
为R，A 点与
心
圆
O 等高，
水平面，
为
B 点在O 点的正下方。小球从A 点正上方由静止
放，自由下落至
释
A 点
入管道，当小球到
时进
达B 点
，管壁
小球的
力大小
小球重力大小的
时
对
弹
为
6 倍，最后小球落在
水平面上的C 点。求：
（1）小球
放点距
释
A 点的
直高度。
竖
（2）小球落点C 与A 点的水平距离。
【答案】（1）
；（2）
【
解】（
详
1）
小球到达
设
B 点的速度为
，小球到达B 点
管壁
小球的
力大小
小球重力大小的
时
对
弹
为
6 倍，有
从开始下落到B 点根据机械能守恒定律得
立解得
联
（2）
小球到达最高点
的速度
设
时
为
，落点C 与A 点的水平距离为x，从最低点到最高点由机械能守恒定律得
从最高点抛出后由平抛运
律得
动规
而
解得
15.
了研究
山
的原理，某
趣小
提出了下列
想：取一个与水平方向
角
为
过
车
兴
组
设
夹
为37°，长为
的粗糙
斜
倾
轨
道AB，通
水平
道
过
轨
与半径为
的
直
道相
，出口
水平
道
竖
圆轨
连
为
轨
，整个
道除
轨
AB 段以外都是光滑
的。其中
与
道以微小
弧相接，如
所示。一个
量
轨
圆
图
质
小物
以初速度
块
从A 点沿
斜
道
倾
轨
滑下，小物
到达
块
C 点
速度
时
。取
，
，
。
（1）求小物
到达
块
C 点
道
力的大小。
时对圆轨
压
（2）求小物
从
块
A 到B 运
程中摩擦力所做的功。
动过
（3）
了使小物
不离开
道，并从
道
为
块
轨
轨
DE 滑出，求
直
弧
道的半径
足什么条件。
竖
圆
轨
应满
【答案】（1）90N；（2）
；（3）
【
解】（
详
1）
小物
到达
设
块
C 点
受到的支持力大小
时
为
，根据牛
第二定律有，
顿
解得：
根据牛
第三定律得，小物
道
力的大小
顿
块对圆轨
压
为
（2）小物块B 到C 速度不
，从
变
A 到B 的
程中，根据
能定理有
过
动
解得
（3）
小物
入
道到达最高点
速度大小
设
块进
圆轨
时
为
，
使小物
能通
弧
道的最高点，
为
块
过圆
轨
则
，小物
从
块
道最低点到最高点的
程中，根据机械能守恒定律有
圆轨
过
当
，
立解得
时联
所以
使小物
能通
弧
道的最高点，
直
弧
道的径
足
为
块
过圆
轨
竖
圆
轨
应满
。
16.如
所示，一
度系数很大的
簧（可
簧
量
小，
开物
簧作用
可忽略不
）一端固定在
图
劲
轻弹
认为弹
压缩
较
弹
块时弹
时间
计
角
倾
为
的斜面底端，将
簧
至
弹
压缩
A 点
定，然后将一
量
锁
质
为m 的小物
靠
簧放置，物
与斜面
摩
块紧
弹
块
间动
擦因数
，解除
簧
定，物
恰能上滑至
弹
锁
块
B 点，A、B 两点的高度差为
，已知重力加速度为g。
（1）求
簧
定
具有的
性
能
弹
锁
时
弹
势
；
（2）求物
从
块
A 到B 所用的时间
与从B 返回到A 所用的时间
之比；
（3）若每当物
离开
簧后，就将
簧
到
块
弹
弹
压缩
A 点并
定，物
返回
锁
块
A 点
立刻解除
定。
斜面最高点
时
锁
设
C 与A 点的
高度差
，
通
算判断物
最
能否从
试
过计
块
终
C 点抛出？
【答案】（1）
；（2）
；（3）不可能到达C 点
【
解】（
详
1）物
受到的摩擦力
块
A 到B 的
程中由功能关系得
过
代入数据解得
（2）上升的
程中和下降的
程中物
都是受到重力、支持力和摩擦力的作用，
上升和下降
程中的加速度分
是
过
过
块
设
过
别
和
，
：
则
物
上升
摩擦力的方向向下，根据牛
第二定律可得
块
时
顿
物
下降
摩擦力的方向向上，根据牛
第二定律可得
块
时
顿
根据往返
位移大小相等，得
时
代入数据解得
（3）足
后，上升的最大高度是
够长时间
，
由功能关系，来回克服阻力做的功等于
充的
性
能，
有
则
补
弹
势
则
解得
所以物
不可能到达
块
C 点。
17．如
，
图AB 是
角
倾
为θ 的粗糙直
道，
轨
BCD 是光滑的
弧
道，
圆
轨
AB 恰好在B 点与
弧相切，
弧的半径
圆
圆
为R。一个
量
质
为m 的物体（可以看作
点）从直
道上的
质
轨
P 点由静止
放，
果它能在两
道
做往返运
。已知
释
结
轨
间
动
P 点与
弧
圆
的
心
圆
O 等高，物体与
道
轨
AB
的
摩擦因数
间
动
为μ。求：
（1）物体做往返运
的整个
程中在
动
过
AB
道上通
的
路程；
轨
过
总
（2）最
当物体通
弧
道最低点
终
过圆
轨
E
，
弧
道的
力；
时对圆
轨
压
（3）
使物体能
利到达
弧
道的最高点
为
顺
圆
轨
D，
放点距
释
B 点的距离L′
足什么条件。
应满
【答案】（1）
；（2）(3－2cosθ)mg；（3）L′ ≥ 
R
【
解】（
详
1）物体从P 点出
至最
到达
发
终
B 点速度
零的全
程，由
能定理得
为
过
动
mgRcosθ－μmgcosθ∙S = 0
解得
（2）最
物体以
终
B（
有
还
B 关于OE 的
称点）
最高点，在
弧底部做往复运
，物体从
对
为
圆
动
B 运
到
动
E 的
程，由
能定
过
动
理得
在E 点，由牛
第二定律得
顿
立解得
联
FN= (3－2cosθ)mg
物体
弧
道的
力
则
对圆
轨
压
FN′ = FN= (3－2cosθ)mg
（3）
物体
好到
设
刚
D 点，则
全
程由
能定理得
对
过
动
mgL′sinθ－μmgcosθ·L′－mgR(1＋cosθ) = 
mvD2
由以上两式得
足条件
应满
使物体能
利到达
弧
道的最高点
则为
顺
圆
轨
D，
放点距
释
B 点的距离L′
足
应满