文档文本内容
专项 02 立体几何
内容导航
【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测
【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式
【实战刷题·冲高分】精选高考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分
根据近五年北京卷考情，立体几何是必考大题，分值约13-17分．
命题趋势：立体几何考查重点明确，聚焦于空间几何体的体积、面积计算以及空间角（特别是二面
角）的求解，整体难度稳定但强调综合应用。
2026年预测：预计2026年将延续以柱、锥为载体，重点考查利用空间向量求解二面角或线面角。
备考核心：备考中应强化空间向量法的熟练度，特别是准确求解法向量并计算空间角，这是解答题的
拿分关键。同时，要回归几何法的基本方法，对几何法解决角度跟距离问题也要掌握。
题型01 立体几何中证明平行关系
析典例 · 建模型
1．（2026高三·北京·专题练习）如图，正三角形 和平行四边形 在同一个平面内，AB，DE的
中点分别为F，G.将 沿直线AB翻折到 ，设CE的中点为H.求证：平面 平面 .研考点 · 通技法
在立体几何中证明平行关系有以下方法：
1、遇到中点，看能不能构造中位线，证明线线平行
2、从题目中的平行线出发，看能不能构造平行四边形。
3、过直线构造一个平面，找到两平面的交线，证明直线与交线平行。
4、从面面平行从而得到线面平行，所以构造两条与已知平面平行的直线。
破类题 · 提能力
1．（2026高三·北京·专题练习）如图，在四棱锥 中，四边形 为正方形，G，F分别是线
段 ， 的中点.求证： 平面 .
2．（2026高三·北京·专题练习）如图，在矩形 中， ，点 分别是边 的中点，
点 分别在线段 上移动（不含端点），且 ，将四边形 沿 翻折至四边形
，使得二面角 的大小为 .求证： 平面 .
题型02 立体几何中证明垂直关系析典例 · 建模型
1．（2026高三·北京·专题练习）在 中， ， ， ， ， 分别是 ， 上
的点，满足 ，且 .将 沿 折起到 的位置，使 ，如图所示.求证：平
面 平面 .
研考点 · 通技法
立体几何证明垂直的常用方法：
①利用线面垂直的性质：如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线。
②利用三垂线定理及其逆定理
三垂线定理：平面内的一条直线，如果与一条斜线在平面内的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直。
三垂线逆定理：平面内的一条直线，如果与一条斜线垂直，那么它也与这条斜线在平面内的射影垂直。
③利用面面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平
面。
④利用异面直线垂直的定义：两条异面直线所成的角是90°，则这两条异面直线垂直。
⑤利用空间向量：若两条直线的方向向量的数量积为零，则这两条直线垂直（适用于相交、平行、异面直
线）。
破类题 · 提能力
1．（2026高三·北京·专题练习）如图，边长为2的正方形 所在的平面与平面 垂直，且
.证明：平面 平面 .2．（2026高三·北京·专题练习）如图，在四棱锥 中，底面 为长方形， 底面 ，
，E为线段 的中点，F为线段 上的动点.求证：平面 平面 .
题型03 立体几何中求线面角
析典例 · 建模型
1．（2026·北京平谷·一模）如图，在三棱台 中，四边形 为直角梯形， ，平
面 平面 ， 为 的中点， ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成的角的正弦值．
研考点 · 通技法
求线面角的方法
（1）定义法：能直接找到P点在α平面的射影B点，能计算出|PB|或者|AB|，则线面角的正弦或余弦
可求。
（2）体积法：如果没法直接找到P点在α平面的射影B点，则可以看看题目条件中是否有跟体积有关的信
息，通过体积求出P点到α平面的高度h，则线面角的正弦可求。
（3）向量法：设直线 的方向向量为⃗n，平面 的法向量为⃗n，直线与平面所成的角为 ， 与 的角为 ，则有
|⃗a⋅⃗n|
sinθ=|cosϕ|= ．
|⃗a||⃗n|
注意：线面角的范围为[0°,90°
]
破类题 · 提能力
1．（2025·北京·模拟预测）在如图所示的多面体中， ，四边形 为矩形， ，
.
(1)求证： 平面 ；
(2) ，平面 平面 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
2．（2025·北京大兴·三模）如图，在三棱柱 中， 是边长为2的正三角形，且
．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求直线 与平面 所成角的正弦值．
条件①：平面 平面 ；
条件②：三棱柱 的体积为 ；条件③：三棱锥 是正四面体．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
题型04 立体几何中求二面角
析典例 · 建模型
1．（2026·北京密云·一模）如图，在三棱柱 中， 平面 ，
分别为 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值.
研考点 · 通技法
二面角的求法
（1）定义法：如果能直接过棱l上一点，找到与棱l垂直的两条线，则直接找到了二面角。目标：找与棱l
垂直的两条线
（2）三垂线法：当无法直接找到与棱l垂直的两条线时，我们可以考虑构造我们的二面角。首先从平面α
找一点P点，过P点作平面β的垂线PA（注意在作这个垂线的时候，通常先找与平面β垂直的平面，在平面
上作垂线），然后过A或者P作棱的垂线交于B点，连接成直角三角形PAB，即可求二面角的平面角。
（3）垂面法: 若题目条件中能找到棱l垂直的平面，则找出该平面与α，β的交线即可。若题目中有与棱l
垂直的直线，如图如果AP与棱l垂直，则可以构造出与棱l垂直的平面，即可求出二面角的平面角。
（4）射影面积法：已知平面β内的△ABP在平面α的投影为△A'B'P'，则平面α和平面β所成的二面角
S
的平面角大小为θ，则cos θ= △A'B'P'
S
△ABP
（5）补形法：当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的
交线（称为补形），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．补形常用的两种方式：延长相交、作平行线。
⃗a⋅⃗b
（6）向量法：若⃗a,⃗b分别为面α，β的法向量，cos⟨⃗a,b⟩= 则二面角的平面角为⃗a,⃗b的夹角或它们
|⃗a|⋅ |⃗b|
的补角。
注意：二面角的范围为[0°,180°
]
破类题 · 提能力
1．（2026·北京延庆·一模）如图，在四棱锥 中，底面 是一个等腰梯形， ，
， ，M为 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)若 平面 ．
（ⅰ）求证： 平面 ；
（ⅱ）求二面角 的余弦值．
2．（2025·北京海淀·三模）在四棱锥 中，四边形 为边长为4的正方形， ．从条件
①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知．
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 所成角的余弦值．
条件①，平面 平面 ；
条件②： ；条件③， ．
题型05 立体几何中求距离
析典例 · 建模型
1．（2025·北京石景山·一模）如图，在四棱锥 中， 平面 ， ，且 ，
， ， ， ， 为 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值；
(3)点 在线段 上，直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求点 到平面 的距离.
研考点 · 通技法
求点到平面的距离的方法：
（1）体积法：可根据体积、底面积可求出点到平面的距离，使用的时候通常可涉及到体积的转换。
（2）向量法：A为平面α外一点， ⃗n为平面α的法向量，过A作平面α的斜线AB及垂线AH．
⃗|AB⋅⃗n| |⃗AB⋅⃗n|
|⃗AH|=|⃗AB|⋅sinθ=|⃗AB|⋅|cos<⃗AB,⃗n>|=|⃗AB| ⇒d=
|⃗AB|⋅|⃗n| |⃗n|
破类题 · 提能力
1．（2026·湖北黄冈·一模）如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， ， ，
平面 ，点 ， 分别在棱 ， 上，且 ．(1)求证： ；
(2)若 ， 与平面 所成的角为60°，点 关于平面 的对称点为 ，求点 到平面 的
距离．
2．（2026·江苏·一模）如图，在三棱锥 中， 是边长为2的等边三角形， 为 的中点，
， ， .
(1)证明： ；
(2)若点 在棱 上，二面角 的正切值为 ，求点 到平面 的距离.
题型06 立体几何中求线段长度
析典例 · 建模型
1．（2025·北京海淀·二模）如图1，五边形 中，
．将三角形 沿 翻折，使得平面 平面 ，
如图2．(1)求证： 平面 ；
(2)记直线 与平面 所成角为 ．若 ，求 的长．
研考点 · 通技法
已知线面角、二面角、距离等，求线段的长度。可设线段长度，再根据题目条件建系，列出线段相关的方
程求取线段长度。
破类题 · 提能力
1．（2025·北京东城·一模）如图，在几何体 中，四边形 为平行四边形，平面 平面
.
(1)证明： 平面 ；
(2)已知点 到平面 的距离为 ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求 的长.
条件①： ；
条件②： .
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.2．（2025·北京房山·一模）如图，在长方体 中， 为 的中点， 与平
面 交于点 .
(1)求证： 为 的中点；
(2)若二面角 的余弦值为 ，求 的长度.
题型07 立体几何中存在性探索
析典例 · 建模型
1．（2025·北京丰台·二模）如图，在四棱柱 中，底面 与侧面 均为菱形，
平面 为 的中点， 与平面 交于点 ．
(1)求证： 为 的中点；
(2)再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，判断在线段 上是否存在点 ，使得直线
与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，求 的值；若不存在，说明理由．
条件①： ；条件②： ．
注：如果选择条件①，条件②分别解答，按第一个解答计分．
研考点 · 通技法
先判断动点的运动轨迹。根据运动轨迹选择合适的方法：
几何法：利用几何性质直接作图判断（如中垂线、角平分线、阿氏圆、定弦定角等确定轨迹）。假设点存
在，逆向推理它应该在哪些轨迹的交点上。
建系法：建立坐标系，设动点 P(x,y,z)，将运动轨迹写成方程，将题目条件转化为方程或不等式。
向量法（适合向量已知的几何条件）将长度、垂直、共线等用向量表示。
破类题 · 提能力
1．（25-26高三下·北京·开学考试）如图所示，在多面体 中， 为平面六边形，
平面 平面 ，平面 平面 ， ， ， 与
都是边长为 2 的等边三角形， ， 分别为
的中点．
(1)求证： ， 平面 ；
(2)棱 ED 上是否存在点 ，使得 与平面 成角 ？ 若存在，求 的值：若不存在，
说明理由．
2．（25-26高三上·北京石景山·期末）在如图所示的几何体中，四边形 是正方形，四边形 是
梯形， ，且 ．(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)在棱 上是否存在一点 ，使得平面 与平面 夹角的余弦值为 ？若存在，试确定点 的位
置；若不存在，说明理由．
（建议用时：60分钟）
刷模拟
1．（2026高三·北京·专题练习）如图， 是圆柱 的母线，四边形 是底面内接正方形.点 是
棱 上的动点（ 不与端点重合），且 .证明： 平面 .
2．（2025·北京顺义·一模）如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， ，
， .(1)若平面 与棱 交于点 ，且 平面 ，求证： 是 中点；
(2)若 是棱 上一点，且满足 ，当 时，求 与平面 所成角的正弦值.
3．（2025·北京昌平·二模）如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形， 与 相交于点
，平面 平面 ，点 在棱 上， ．
(1)求证： ；
(2)再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面 与平面 夹角的大小．
条件①： 平面 ；
条件②： ．
4．（2025·北京·模拟预测）如图，在三棱柱 中， ，点D,E分别
在棱 和棱 上，且 为棱 的中点．(1)求证： 平面 ；
(2)若 平面ABC，
（i）求二面角 的余弦值：
（ii）点 到平面 的距离．
5．（2026·河北张家口·一模）如图，已知斜三棱柱 中， ， ，
，点 为 的中点．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 ，点 为 的中点，求点 到平面 的距离．
6．（2026·重庆·模拟预测）如图所示，在长方体 中， ， ， ，点
在棱 上，点 在棱 上，且 .
(1)证明： ；
(2)求直线 与平面 所成角的余弦值；
(3)在棱 上是否存在点 ，使得 到平面 的距离与 到平面 的距离相等？若存在，求出 的
长；若不存在，说明理由.7．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）如图，在三棱柱 中， 平面 ， ，
， 为棱 的中点， 是 与 的交点.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若 ，
（i）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（ii）在线段 上是否存在一点 ，使 平面 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理
由.
8．（25-26高三上·北京顺义·期中）如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， ，
， 、 分别为棱 ， 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)若平面 平面 ， ；
（i）求平面 与平面 夹角的余弦值；
（ii）在棱 上是否存在点 ，使 平面 ，若存在，求出 的值，若不存在请说明理由.
9．（2026·浙江·模拟预测）如图，在多面体 中，四边形 为正方形， 平面 ，
，且 ， ， 为棱 上的点.(1)证明：平面 平面 ；
(2)若平面 与平面 的夹角的余弦值为 ，求线段 的长.
刷真题
1．（2025·北京·高考真题）如图，在四棱锥 中， 与 均为等腰直角三角形，
，E为BC的中点．
(1)若 分别为 的中点，求证： 平面PAB；
(2)若 平面ABCD， ，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值．
2．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥 中， ， ， ,点 在
上，且 ， ．(1)若 为线段 中点，求证： 平面 ．
(2)若 平面 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
3．（2023·北京·高考真题）如图，在三棱锥 中， 平面 ， ．
(1)求证： 平面PAB；
(2)求二面角 的大小．
4．（2025·全国二卷·高考真题）如图，在四边形 中， ，F为CD的中点，点E
在AB上， ， .将四边形 沿 翻折至四边形 ，使得面
与面EFCB所成的二面角为 ．
(1)证明： 平面 ；
(2)求面 与面 所成的二面角的正弦值．
5．（2025·全国一卷·高考真题）如图,在四棱锥 中， 底面 ， ．(1)证明：平面 平面 ；
(2)设 ，且点 ， ， ， 均在球 的球面上．
（i）证明：点 在平面 内；
（ⅱ）求直线 与 所成角的余弦值．
