文档文本内容
专题 隐圆与阿氏圆
近三年：
1、隐圆问题是解析几何与平面向量中的重要考查形式，在选择题，填空题和解答题中亦常出现，考查内
容、频率、题型灵活，难度中等及以上，核心是挖掘题目中的隐藏条件，构建出圆的方程。
2、从近几年高考命题来看，隐圆问题常作为综合题的突破口，其本身很少直接以“求圆的方程”为题目
设问，而是作为已知条件或解题的关键步骤，融入到动点轨迹、最值问题、范围问题中。 隐圆内容常通
过向量、斜率、几何性质、复数等多种形式进行考查，解题的关键在于识别出题目中满足圆定义的几何条
件，并转化为代数方程。
预测2026 年：
隐圆问题将继续作为高考数学中的一项重要能力和热点，命题形式将更加灵活与隐蔽。它可能继续与向量
（如数量积定值）、斜率（如夹角定值）、距离（如到定点距离为定值或到两定点距离平方和为定值）、
平面几何性质（如直径所对圆周角为直角）及最值问题深度结合。考生需熟练掌握常见的隐圆模型，提升
从复杂条件中抽象出圆模型的能力。
内容导航
热点解读
题型突破
限时训练
热点内容解读
深度剖析 解读热点：分析解读热点考查内容，精准预测命题方向。
热点题型突破
逐一剖析 解题归纳：对热点的各类题型逐一突破，归纳解题方法与技巧。
热点限时训练
模拟实战 巩固提升：限时完成题目训练，提升解题能力。
题型01 从圆的定义及性质得隐圆
解｜题｜策｜略
1.到定点距离为定值：圆的定义。
2.直径所对圆周角为直角：若动点P 满足PA⊥PB（A, B 为定点），则P 点的轨迹是以AB 为直径的圆
（剔除A, B 两点）。
3.到两定点距离平方和为定值：若动点P 满足PA² + PB² = k（定值），则P 点轨迹是以AB 中点为中心的
一个圆。
1．（2025·安徽合肥·模拟预测）长度为2 的线段AB 的两个端点分别在x 轴及y 轴上运动，则线段AB 的中
点到直线
距离的最大值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．3
2．（多选）（2025·广西·三模）在平面直角坐标系
中，曲线
上任意一点到点
的距离等于1，
若直线
与曲线
交于不同的两点
，
，则（ ）
A．当
时，
B．线段
中点的轨迹长度为
C．
的取值范围为
D．
3．（2025·湖北·二模）在长方体
中，
，点
是平面
内的动点，
且
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·辽宁锦州·二模）设直线
与x 轴交于点A，圆
，过l 上一点P 作圆O 的两
条切线
，
，C，D 为切点，
中点为M，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系
中，已知圆
，点
，
若圆
上存在点
，满足
，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型02 从直线斜率关系得隐圆
解｜题｜策｜略
斜率乘积为-1：与两定点连线斜率之积为-1 的点的轨迹为是圆（注意斜率不存在的情况）
1．（2025·河南信阳·模拟预测）若直线
，
，设与
的交点为P，
O 为坐标原点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·湖北·三模）已知直线
与
相交于点P，点Q 在圆
上，则（ ）．
A．
有最大值
B．
有最大值
C．
有最小值
D．
有最小值
3．（2025·河北·模拟预测）已知直线
，直线
，若与
的交点为
，且
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．
C．3
D．
4．（2025·贵州黔东南·一模）设直线：
，
：
．若存在定圆Q，使得这两条直线与圆Q 都相切，则圆Q 上一点到点
的距离的最大值为（ ）
A．2
B．
C．3
D．
题型03 从向量关系得隐圆
解｜题｜策｜略
1.向量的数量积为定值：若A ,B为定点，且PA
→
⋅PB
→
= λ,则P的轨迹为圆
2.向量平方和为定值：若A ，B为定点，P 满足P A
2+ P B
2= λ,则P 的轨迹为圆
3.向量模长为定值：利用向量的几何性质，向量模长或者加减运算后模长为定值，可以构造圆，建系解
决问题。
1．（2025·湖南益阳·模拟预测）在
中，
为
的中点，
为平面
内一点，且
，则（ ）
A．
的最大值为
B．
的最大值为
C．
的最大值为
D．
的最大值为
2．（2025·云南昆明·模拟预测）已知
，
是单位向量，
，
的夹角为
，若向量满足
，
则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·海南·模拟预测）已知点
，若圆
上存在点
满足
，则实数
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（多选）（2025·湖北武汉·三模）已知圆
，直线与圆
交于
，
两点，
点
为圆
上异于
，
的任意一点，若
，
，则（ ）
A．
B．
面积的最大值为
C．直线的方程为
D．满足到直线的距离为
的点
有且仅有3 个
5．（2025·北京·模拟预测）已知平面向量
满足
且
，
则
的最大值为 .
题型04 从复数得隐圆
解｜题｜策｜略
利用复数的几何意义，以及复数模、辐角的几何含义，将代数条件转化为几何轨迹。
1.利用模的几何意义 | z - z₀| = r，可以表示以点 z0为圆心，r为半径的圆
2. 若方程为∣z - z1∣= λ∣z - z2∣( λ>0, λ≠1)，则点的轨迹是圆（阿波罗尼斯圆）
1．（2025·广东广州·模拟预测）复数
满足
，则
的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．（2025·安徽安庆·模拟预测）若复数z 满足
（为虚数单位），则
的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．（多选）（2025·辽宁·模拟预测）设复数
在复平面内对应的点为
，则下列选项正确的有（ ）
A．若
，则
的最大值为6
B．若
，则点
的轨迹为椭圆
C．若
，则点
的轨迹为椭圆
D．若
，则点
轨迹的长度为
4．（多选）（2025·广东汕头·一模）已知复数
，
（x,
），则下列结论正确的是
（ ）
A．方程
表示的z 在复平面内对应点的轨迹是圆
B．方程
表示的z 在复平面内对应点的轨迹是椭圆
C．方程
表示的z 在复平面内对应点的轨迹是双曲线
D．方程
表示的z 在复平面内对应点的轨迹是直线
题型05 阿氏圆
解｜题｜策｜略
定义： 在平面上，到两定点距离之比为定值（常数 λ，且 λ>0,λ≠1）的点的轨迹是一个圆，这个圆
被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆。
1、 当题目中出现 “PA = λ · PB” 或 “PA / PB = λ” （λ≠1）这类条件时，应立
即联想到动点P 的轨迹是阿氏圆。
2 、题目若给出∠P的角分线分得AB的比例为定值λ，这里根据角分线原理，也可以得出
PA = λ · PB的结论，从而得到阿氏圆。
1．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知在平面直角坐标系
中，
，
，动点
满足
，点
为抛物线
上一动点且
在抛物线准线上的投影为
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·陕西渭南·一模）若动点
到
的距离之比为
．则点
到直线
的最
小距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·宁夏吴忠·二模）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B 的距离的比值为定值
（
）的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．若
平面内两定点A，B 间的距离为2，动点P 满足
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（多选）（2025·四川雅安·二模）已知点
，
，动点
满足
，记点
的轨迹为
曲线
，则下列说法中正确的是（ ）
A．曲线
的方程为
B．
的最大值为6
C．点
到直线
的距离的最大值为2
D．设直线
与曲线
的另一个交点为
，则
5．（2025·湖北武汉·模拟预测）在
中，
，点D 是
上的点，
平分
，
的面
积是
的面积的3 倍，当
的面积最大时，
.
（建议用时：30 分钟）
1．（2025·江西新余·模拟预测）过直线
上的任意一点
作圆
的两条切线，切点
分别为A，B，则点
到直线AB 的距离的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．
2．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知圆C：
，P 为y 轴上的一个动点（异于原点），过点P
作圆C 的两条切线，切点分别为A，B，且A，B 的中点为M，点
，则
的最大值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
3．（2025·安徽·模拟预测）已知点
，
为圆
上两点，
，点
为线段
的中
点，点
为直线
上的动点，则
的最小值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．
4.（2025·重庆·三模）已知点
动点
满足
则
(
为坐标原点)的最小值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
5．（2025·河北秦皇岛·一模）已知圆
过点
，点
在圆
上，过点
的直线与过点
的直线
互相垂直，且垂足为
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（多选）（2025·广西来宾·模拟预测）已知⊙O 的半径为1，直线PA 与⊙O 相切于点A，直线PB 与⊙O
交于B，C 两点，D 为
的中点，若
，则
的可能取值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
7．（2025·江苏南京·二模）设
，过定点
的动直线
和过定点
的动直线
交于点
，点
到直线
的距离为
，则
的取值范围为 .
8．（2025·四川资阳·一模）已知向量
，
，满足
，
，
，向量
与
的
夹角为
，则
的最小值是 .
9．（2025·吉林·三模）已知复数
满足
，复数
满足
，则
的最小值为
．
10．（2025·黑龙江·二模）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比
为定值
的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿
氏圆.已知在平面直角坐标系
中，点
，若点
是满足
的阿氏圆上的任意一点，点
为
上一动点，则
的最小值为 .
