专题2.7 函数图象与函数零点问题（举一反三复习讲义）
【全国通用】
命题规律
分析
1、函数图象与函数零点问题
从近几年的高考情况来看，函数图象问题主要以考查函数图象的识别
与变换为重点和热点，也可能考查利用函数图象研究函数性质、解不等式
等问题，一般以单选题的形式出现，难度不大。
函数的零点问题是高考常考的重点和热点内容，从近几年的高考情况
来看，一般以选择题与填空题的形式出现，此时主要考查零点所在的区
间、函数图象交点问题以及函数零点个数问题等，难度较易或中档；有时
候也会与导数结合在解答题中考查，主要结合函数图象研究函数的零点或
方程的根的分布、个数问题等，此时难度偏大，一般出现在压轴题位置。
考点
2023 年
2024 年
2025 年
高考真题
统计
函数的图
象
全国甲卷（文数）：
第8 题，5 分
全国甲卷（理数）：
第7 题，5 分
北京卷：第4 题，4 分
天津卷：第3 题，5 分
函数的零
点
新课标I 卷：第15
题，5 分
新课标Ⅱ卷：第6 题，
5 分
全国甲卷（文数）：
第16 题，5 分
天津卷：第7 题，5 分
上海卷：第21 题，18
分
2026 年
命题预测
预测在2026 年全国卷高考数学中，函数的零点问题的考情将继续维持
稳定态势。函数的零点问题依旧以单选题的形式考查，分值为5 分，主要考
查函数图象的识别、函数图象的变换，常借助函数的性质：如单调性、奇
偶性研究函数图象，难度不大。
预测函数的零点问题仍是2026 年高考数学的高频核心考点，大概率以
选择题、填空题的形式考查，可能融入类周期、分段函数等创新情境，分
值为5 分；也有可能在解答题与导数结合考查，侧重零点个数问题及求参问
题。整体难度中等偏上，主要涉及数形结合与分类讨论思想。
知识点
1 函数的图象的作法与识别
1．作函数图象的一般方法
(1)描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可 根据这些函数的特征描出图
象的关键点直接作出.
(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，
并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
2．函数图象识别的解题思路
(1)抓住函数的性质，定性分析：
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
③从周期性，判断图象的循环往复；
④从函数的奇偶性，判断图象的对称性.
(2)利用函数的零点、极值点判断.
(3)抓住函数的
特征
，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.
知识点
2 函数图象的应用及其解题策略
1．利用函数的图象研究函数的性质
对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借
助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.
2．利用函数的图象解决方程和不等式的求解问题的解题策略
利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题，如判断方程是否有解，有多少个解.数形结合是常用的思
想方法.不等式的求解可转化为两函数的上下关系问题.
知识点
3 函数的零点问题
1．确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若
有，则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.
(2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)=
g(x) - h(x)，作出y=g(x)和y=h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点.
2．函数零点个数的判断方法
函数零点个数的判定有下列几种方法：
(1)直接
法
：直接求零点，令f(x)=0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点.
(2)零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数
的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.
(3)图象法：画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同
的零点.
(4)性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函
数，则只需解决在一个周期内的零点的个数.
3．已知函数零点求参数的方法
(1)已知函数的零点求参数的一般方法
①直接法：直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数；
②数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟
悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；
③分离参数
法
：分离参数，转化为求函数的最值问题来求解.
(2)已知函数零点个数求参数范围的方法
已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出
两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围.
知识点
4 嵌套函数的零点问题
1．嵌套函数的零点问题的解题策略
函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解
套”，设中间函数为t，通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解.
【题型1 函数图象的画法与图象变换】
【例1】（2025 高三·全国·专题练习）将函数f (x)=|−x
2+1)+2
向左、向下分别平移2 个、3 个单位长度，
所得图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】（2025·四川南充·二模）已知函数f (x)= 3
x
，则函数y = f (x−1)+1的图象（ ）
A．关于点(1,1)对称
B．关于点(−1,1)对称
C．关于点(−1,0)对称
D．关于点(1,0)对称
【变式1-2】（2025·陕西西安·二模）设函数f ( x)=|2 x)−|x +1).
(1)在坐标系中画出函数f ( x)的图象；
(2)若f ( x)≥4−|a−2)对任意x∈R恒成立，求a的取值范围.
【变式1-3】（2025·河南·模拟预测）已知f (x)=(a x
2+ x +1)e
x．
(1)若a=0，
（i）过点P(m,0)作曲线y = f (x)的两条切线，求m的取值范围；
（ii）求不等式ef (x)≥x
2+3 x +2的解集；
（iii）在图中画出函数f (x)的大致图象．（参考数据：−e−2≈−0.135）
(2)若f (x)在区间(−3,−1)内存在极小值点，求a的取值范围．
【题型2 函数图象的识别】
【例2】（2025·陕西咸阳·一模）函数f ( x)= 3
x−3
−x
2|x)
的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-1】（2025·四川成都·模拟预测）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[−8,8)上的大致图象，
则该函数可能是（ ）
A．f (x)= x
4sin x
e
x+e
−x
B．f (x)= x
4(sin x−x)
e
x+e
−x
C．f (x)= x
4cos x
e
x+e
−x
D．f (x)= x
4(cos x−x)
e
x+e
−x
【变式2-2】（2025·安徽合肥·模拟预测）函数f ( x)=(|4−x
2)−4)ln(4−x
2)的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-3】（2025·江西·三模）函数f (x)= x +(e
x−e
−x)cos x的部分图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型3 函数图象的应用】
【例3】（2025·四川成都·一模）已知定义在R上的奇函数f ( x)在[0,+∞)上的图象如图所示，则不等式
( x−❑√3)f ( x)>0的解集为（ ）
A．(−3,0)∪(❑√3,3)
B．(−3,0)∪(0,3)
C．(−∞,−3)∪(0,3)
D．(−∞,−3)∪(❑√3,3)
【变式3-1】（25-26 高一上·广东潮州·月考）已知函数y = f (x)的定义域为[−1,5)，其图象如图所示，则下
列说法中错误的是（ ）
A．f (x)的单调递减区间为(0,2)
B．f (x)的最大值为3
C．f (x)的最小值为−1
D．f (x)的单调递增区间为(−1,0)∪(2,5)
【变式3-2】（2025·安徽淮北·二模）函数f (x)=a x
3+b x
2+cx +d的图像如图所示，则（ ）
A．a<0
B．b<0
C．c<0
D．d <0
【变式3-3】（25-26 高一上·云南红河·期中）已知函数f ( x)和g( x)的大致图象如图所示，则f (g( x))>0
的解集为（ ）
A．(0,2)
B．(−2,0)
C．(−2,2)
D．(−∞,−2)∪(2,+∞)
【题型4 函数零点所在区间的判断】
【例4】（2025·湖北十堰·模拟预测）函数f ( x)= x + ln x−4的零点所在的区间是（ ）
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
【变式4-1】（2025·河北沧州·二模）函数f (x)=2
x+ ln x−1的零点所在的区间为（ ）
A．(0, 1
2)
B．(
1
2 ,1)
C．(1, 3
2)
D．(
3
2 ,2)
【变式4-2】（2025·云南昭通·一模）若函数f ( x)=e
x+ ln x，满足f (a)f (b)f (c)>0(0<a<b<c)．若函
数f ( x)存在零点x0，则（ ）
A．x0<b
B．x0>b
C．x0<c
D．x0>c
【变式4-3】（2025·安徽·一模）已知点(
1
2 , 1
8)在幂函数f (x)= x
α的图象上，则函数h(x)= f (x)+lg x−18
的零点所在区间为（ ）
A．(1.5,2)
B．(2,2.5)
C．(2.5,3)
D．(3,3.5)
【题型5 求函数的零点或零点个数】
【例5】（2025·广西河池·三模）函数f (x)={
x−10, x ≥0,
x−1
x , x<0 )
的零点个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式5-1】（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数f ( x)= ln x，则函数y = f (f ( x))的零点为（ ）
A．1
B．0
C．e
D．❑√e
【变式5-2】（2025·广东·模拟预测）函数f ( x)=e
x+ x|2 x +3|的零点个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【变式5-3】（2025·贵州毕节·一模）已知函数f ( x)={
−x
2−2 x +3, x ≤0
|ln x), x>0
)
，则函数
y =[f ( x))
2−5 f ( x)+6的零点个数为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【题型6 根据函数零点（方程根）个数求参数范围】
【例6】（2025·内蒙古赤峰·三模）已知函数f (x)={
x
2+ 4 x +3, x ≤0
1+log 1
3
x , x>0)
，若函数g(x)= f (x)−a恰有3 个零
点，则a的取值范围为（ ）
A．(−1,3)
B．[0,3)
C．(−1,0)
D．(3,+∞)∪{−1)
【变式6-1】（2025·陕西西安·一模）已知函数f ( x)={
10
x , x<0
lg x , x>0)
，g( x)= f ( x)+2 x−m，若g( x)有一个
零点，则m 的取值范围是（ ）
A．(−∞,1]
B．(−∞,1)
C．[1,+ ∞)
D．(1,+∞)
【变式6-2】（2025·广西柳州·模拟预测）已知函数f ( x)={
x
2+2 x−3, x ≤0
−2+ ln x , x>0 )
，若方程f ( x)=k的实数解
恰有两个，则实数k的取值范围是（ ）
A．k ≤−4
B．−4<k <−3
C．k =−4或k >−3
D．k =−4或k ≥−3
【变式6-3】（2025·山东临沂·三模）已知函数f (x)={
ln x , x>0
−x
2+2ax , x ≤0)
，若函数y = f (f (x))有8 个零点，
则实数a的取值范围为（ ）
A．a>1
B．a<0
C．−1<a<0
D．a<−1
【题型7 函数零点的大小与范围问题】
【例7】（2025·陕西西安·二模）已知函数f ( x)={
x
2+2 x−1, x ≤0
−2+|ln x), x>0)
，若函数g( x)= f ( x)−m的四个零点
从小到大排列依次为x1, x2, x3, x4，则x1+ x2+ x3+ x4的取值范围为（ ）
A．(−2,+∞)
B．(−2,1]
C．(−2,e+ 1
e)
D．(0,−2+e+ 1
e)
【变式7-1】（2025·广东广州·模拟预测）已知函数f ( x)=2 x +3
x，g( x)=2 x + log3 x，h( x)=2 x + x
3的
零点分别为a,b,c，则（ ）
A．a<c<b
B．a<b<c
C．b<c<a
D．c<b<a
【变式7-2】（2025·四川·模拟预测）已知函数f (x)={
x
1−x , x<1,
log3(x−1), x>1,)
若关于x的方程|f (x))=m（m为
实常数）有四个不同的解x1, x2, x3, x4
，且x1< x2< x3< x4
，则(
1
x1
+ 1
x2)(x3+ x4)的取值范围为（ ）
A．(8, 32
3 )
B．(8,16)
C．(8,+∞)
D．(−∞,−8)
【变式7-3】（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知函数f ( x)={
x
2+2 x +1, x ≤0
|ln x|, x>0 )
，若方程f (x)=a有四个根
x1, x2, x3, x4
，且x1< x2< x3< x4
，则下列说法错误的是（ ）
A．x1+ x2=−2
B．x3+ x4>2
C．x1 x2>4
D．0<a≤1
【题型8 嵌套函数的零点问题】
【例8】（2025·内蒙古乌兰察布·三模）已知函数f (x)={
4−x
2, x ≤0
|ln x)+2, x>0)
，若函数g(x)= f (f (x))−t恰有5
个零点，则实数t的取值范围为（ ）
A．(2,e
2)
B．(ln2+2,4)
C．(ln2+2,2ln2+2)
D．(2,4)
【变式8-1】（2025·安徽池州·二模）已知函数f (x)={
e
x+2, x ≤0
x + 1
x , x>0)
，若f
2(x)−(a+2)f (x)+2a=0有4 个
互不相同的根，则a的取值范围为（ ）
A．(2,3)
B．(2,3)
C．(3,+∞)
D．[3,+∞)
【变式8-2】（2025·陕西宝鸡·二模）已知函数f (x)={
x
2−2 x +1, x ≥0
|1−ln (−x)), x<0)
，若关于x的方程
a[f (x))
2−(2a+1)f (x)+2=0有7个不相等的实数根，则实数a的取值范围为（ ）
A．(0,1)
B．(0,1)
C．[0,1)
D．[1,+∞)
【变式8-3】（2025·甘肃武威·模拟预测）已知函数f (x)={
x
2+2 x +1,
x ≤0,
ln x ,
x>0,)
若函数
g(x)=e2f (x)−aef (x)+1恰有3 个零点，则a的取值范围为（ ）
A．(e+ 1
e ,+ ∞)
B．(2,e+ 1
e)
C．[e+ 1
e ,+ ∞)
D．[2,e+ 1
e)
【题型9 导数中的函数零点问题】
【例9】（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数f (x)= x( x −c)
2在x =1处有极小值.
(1)求实数c的值；
(2)若函数g(x)= f (x)+a有三个不同的零点，求实数a的取值范围.
【变式9-1】（2025·湖北·模拟预测）已知函数f (x)= x (ln x−1)，h(x)=e
x，ln 2≈0.69
(1)判断g(x)= f
′ (x)+2 x
2−5 x +2在(0,+ ∞)上零点的个数并证明
(2)当x∈(0,1)，求证：f (x)+ x
h(x)
> x
3−x−1
【变式9-2】（2025·河北·模拟预测）已知函数f (x)= x
2
e
x −a x
3+ x
2−m(a,m∈R), x =2是函数f (x)的一个
极值点．
(1)求函数f (x)的单调区间；
(2)若函数f (x)有三个零点x1, x2, x3，且x1< x2< x3．
①求实数m的取值范围；
②求证：x1+ x2+ x3>2．
【变式9-3】（2025·陕西榆林·模拟预测）已知函数f (x)=|ln x)−ax.
(1)若曲线y = f (x)在x =e处的切线与在x = 1
e
处的切线相互垂直，求a的值.
(2)设x1, x2, x3(x1< x2< x3)是f (x)的三个零点.
（i）求a的取值范围；
（ii）证明：x2 x3
2 x1
3>e
2.
考点一 函数的图象问题
一、单选题
1．（2025·天津·高考真题）已知函数y = f (x)的图象如下，则f (x)的解析式可能为（ ）
A．f ( x)=
x
1−| x|
B．f ( x)=
x
| x|−1
C．f ( x)=| x|
1−x
2
D．f ( x)=| x|
x
2−1
2．（2025·北京·高考真题）为了得到函数y =9
x的图象，只需把函数y =3
x的图象上所有点的（ ）
A．横坐标变为原来的1
2
倍（纵坐标不变）B．横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变）
C．纵坐标变为原来的1
3
倍（横坐标不变）D．纵坐标变为原来的3 倍（横坐标不变）
3．（2024·全国甲卷·高考真题）函数f (x)=−x
2+(e
x−e
−x)sin x
在区间[−2.8,2.8]的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023·天津·高考真题）已知函数f (x)的部分图象如下图所示，则f (x)的解析式可能为（ ）
A．5e
x−5e
−x
x
2+2
B．5sin x
x
2+1
C．5e
x+5e
−x
x
2+2
D．5cos x
x
2+1
考点二 函数的零点问题
一、单选题
1．（2025·天津·高考真题）函数f ( x)=0.3
x−❑√x的零点所在区间是（ ）
A．(0,0.3)
B．(0.3,0.5)
C．(0.5,1)
D．(1,2)
2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当x∈[0,2π ]时，曲线y =sin x与y =2sin(3 x−π
6)的交点个数为
（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数f ( x)=a( x +1)
2−1，g( x)=cos x +2ax，当x∈(−1,1)时，
曲线y = f ( x)与y = g( x)恰有一个交点，则a=（ ）
A．−1
B．1
2
C．1
D．2
二、填空题
4．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线y = x
3−3 x
与y =−(x−1)
2+a
在(0,+∞)上有两个不同的交点，则a的
取值范围为
．
5．（2024·天津·高考真题）设a∈R，函数f (x)=2
❑√x
2−ax−|ax−2)+1
.若f (x)恰有一个零点，则a的取
值范围为
．
6．（2023·天津·高考真题）设a∈R,函数f (x)=a x
2−2 x−|x
2−ax +1),若f (x)恰有两个零点，则a的取值
范围为
．
7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数f (x)=cosωx −1(ω>0)在区间[0,2π)有且仅有3 个零点，则
ω的取值范围是
．
8．（2025·上海·高考真题）已知函数y = f ( x)的定义域为R．对于正实数a，定义集合
M a={x∣f ( x +a)= f ( x)}．
(1)若f ( x)=sin x，判断π
3
是否是M π中的元素，请说明理由；
(2)若f ( x)=¿，求a 的取值范围；
(3)若y = f ( x)是偶函数，当x∈(0,1]时，f ( x)=1−x，且对任意a∈(0,2)，均有M a⊆M 2．写出
y = f ( x)，x∈(1,2)解析式，并证明：对任意实数c，函数y = f ( x)−c在[−3,3]上至多有9 个零点．
