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压轴题突破练 2
1．(2022·衡水中学模拟)设函数f(x)＝ax2－ln x，其中a>.
(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调区间；
(2)设f(x)的最小值为g(a)，证明：函数g(a)在a∈上没有零点．
(1)解 当a＝2时，
f(x)＝2x2－ln x(x>0)，
f′(x)＝4x－＝，
令f′(x)>0，得x>，
令f′(x)<0，得00)，
得f′(x)＝2ax－＝，
令f′(x)>0，得x>，
令f′(x)<0，得0，所以ln 2a>0，
所以g(a)>0，
所以函数g(a)在a∈上没有零点．
2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为8，且点M在C上．
(1)求C的方程；
(2)若直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OM平分(O为坐标原点)，求△AOB面
积的最大值．
解 (1)依题意可知解得
故C的方程为＋＝1.
(2)易得直线OM的方程为y＝－x，
设A，B，R为AB的中点，其中y＝－x，
0 0
因为A，B在椭圆上，所以
两式相减可得k ＝＝－×＝－×＝.
AB
可设直线l的方程为y＝x＋m，
联立整理得16x2＋10mx＋5m2－20＝0，
则Δ＝300m2－64>0，
解得－8
