专题3.5 导数的综合应用（举一反三复习讲义）
【全国通用】
命题规律
分析
1、导数的综合应用
导数是高中数学的重要内容，导数的综合应用是高考必考的重点、热
点内容，从近几年的高考情况来看，高考中常涉及的问题有：导数中的不
等式恒（能）成立问题、利用导数证明不等式、导数中的函数零点（方程
根）问题等，这些问题体现了分类讨论、转化与化归等数学思想，此类问
题在选择、填空、解答题中都有考查，但主要以解答题为主，而在解答题
中进行考查时试题综合性强，难度较大，需要灵活求解，二轮复习时要加
强对这方面内容的训练.
高考真题
统计
考点
2023 年
2024 年
2025 年
导数的综合
应用
新课标I 卷：第19
题，12 分
新课标Ⅱ卷：第22
题，12 分
新课标I 卷：第18
题，17 分
新课标Ⅱ卷：第11
题，6 分
全国一卷：第19
题，17 分
全国二卷：第18
题，17 分
全国甲卷（文数）：
第20 题，12 分
全国甲卷（理数）：
第21 题，12 分
全国乙卷（文数）：
第8 题，4 分
全国甲卷（文数）：
第20 题，12 分
全国甲卷（理数）：
第21 题，12 分
2026 年
命题预测
预测在2026 年全国卷高考数学中，导数的综合应用的相关问题的考情
将继续维持稳定态势。预测在选择题、填空题中考查概率较低，主要考查
函数零点、不等式恒（能）成立问题，难度中档。大概率在解答题中考
查，不等式恒（能）成立问题、利用导数证明不等式、函数零点（方程
根）问题依旧是考查核心，都有可能考查，此时试题综合性较强，试题难
度较大。
知识点
1
导数中的函数零点问题的解题策略
1．函数零点（个数）问题的的求解方法
(1)构造函数法：构造函数g(x)，利用导数研究g(x)的性质，结合g(x)的图象，判断函数零点的个数.
(2)函数零点存在定理：利用零点存在定理，先判断函数在某区间有零点，再结合图象与性质确定函数有多
少个零点.
(3)数形结合法：函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，数形结合，根据图象的几何直观求解.
2．导数中的含参函数零点（个数）问题
利用导数研究含参函数的零点（个数）问题主要有两种方法：
(1)利用导数研究函数f(x)的最值，转化为f(x)图象与x 轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决.
(2)分离参变量，即由f(x)=0 分离参变量，得a=g(x)，研究y=a 与y= g(x)图象的交点问题.
3．与函数零点有关的参数范围问题的解题策略
与函数零点（方程的根）有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊
点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.也可分离出参数，转化为两函数图象的交点情况.
知识点
2
不等式恒（能）成立问题的解题策略
1．不等式恒（能）成立问题的求解方法
解决不等式恒（能）成立问题主要有两种方法：
(1)分离参数法解决恒（能）成立问题
①分离变量：根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，
构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，进而解决问题．
②
恒成立
；
恒成立
；
能成立
；
能成立
.
(2)分类讨论法解决恒（能）成立问题
分类讨论法解决恒（能）成立问题，首先要将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分
类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内
的函数值不满足题意即可.
2．双变量的恒（能）成立问题的求解方法
“双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价变换，常见的等价变
换有：
对于某一区间I，
(1)
.
(2)
.
(3)
.
知识点
3
导数中的不等式证明的解题策略
1．导数中的不等式证明的解题策略
(1)一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处的
函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)在
(a，b)上单调递减即可.
(2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题．
2．移项构造函数证明不等式
待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”或“右
减
左
”的函数，利用导教
研究其单调性等相关函数性质证明不等式.
3．分拆函数法证明不等式
(1)若直接求导后导数式比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递
的中间量，达到证明的目标.在证明过程中，等价转化是关键，此处g(x)min≥f(x)max恒成立，从而f(x)≤g(x)
恒成立.
(2)等价变形的目的是求导后简单地找到极值点，一般地，
与lnx 要分离，常构造
与lnx，
与
的
积、商形式.便于求导后找到极值点.
4．放缩后构造函数证明不等式
某
些不等式，直接构造函数不易求其最值，可以适当地利用熟知的函数不等式
，
等进行放缩，有利于简化后续导数式的求解或函数值正负的判断；也可以利用局部函数的有界性进行
放缩，然后再构造函数进行证明.
知识点
4
导数中的双变量问题的解题策略
1．转化为同源函数解决双变量问题
此类问题一般是给出含有x1，x2，f(x1)，f(x2)的不等式，若能通过变形，把不等式两边转化为结构形式相同
的代数式，即转化为同源函数，可利用该函数单调性求解.
2．整体代换解决双变量问题
(1)解此类题的关键是利用代入消元法消去参数a，得到仅含有x1，x2的式子.
(2)与极值点x1，x2有关的双变量问题：一般是根据x1，x2是方程f'(x)=0 的两个根，确定x1，x2的关系,再通
过消元转化为只含有x1或x2的关系式，再构造函数解题，即把所给条件转化为x1，x2的齐次式，然后转化
为关于
的函数，把
看作一个变量进行整体代换，从而把二元函数转化为一元函数来解决问题.
3．构造函数解决双变量问题的答题模板
第一步：分析题意，探究两变量的关系；
第二步：合二为一，变为单变量不等式；
第三步：构造函数；
第四步：判断新函数的单调性或求新函数的最值，进而解决问题；
第五步：反思回顾解题过程，规范解题步骤.
知识点
5
导数在解决实际问题中的应用
1．导数在解决实际问题中的应用
(1)利用导数解决实际问题时，常常涉及用料最省、成本
( 费用
) 最低
、利润最大、效率最高等问题，求解时
需要分析问题中各个变量之间的关系，抓主元，找主线，把“问题情境"翻译为数学语言，抽象成数学问
题，再选择合适的数学方法求解，最后经过检验得到实际问题的解.
(2)解决优化问题的方法并不单一，运用导数求最值是解决这类问题的有效方法，有时与判别式、基本不等
式及二次函数的性质等结合，多举并用，达到最佳效果.
(3)利用导数解决实际问题的一般步骤
【题型1 导数中的函数零点（方程根）问题】
【例1】（2025·湖南郴州·模拟预测）已知f (x)=me
mx−ln x (m≥0)，若f (x)有两个零点，则实数m 的取
值范围为（ ）
A．(0, 1
e)
B．(0, 1
e
2)
C．(
1
e ,+∞)
D．[
1
e
2 ,+∞)
【变式1-1】（2025·安徽·模拟预测）函数f (x)= xe
x−e
x−1的零点个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【变式1-2】（2025·贵州六盘水·模拟预测）已知函数f (x)=e
x(2 x +1)
x
.
(1)求函数f (x)在x =1处的切线方程；
(2)函数g(x)= f (x)−m有两个零点，求实数m的取值范围.
【变式1-3】（2025·河北·模拟预测）已知函数f (x)= x
2
e
x −a x
3+ x
2−m(a,m∈R), x =2是函数f (x)的一个
极值点．
(1)求函数f (x)的单调区间；
(2)若函数f (x)有三个零点x1, x2, x3，且x1< x2< x3．
求实数
①
m的取值范围；
求证：
②
x1+ x2+ x3>2．
【题型2 利用导数研究不等式恒成立问题】
【例2】（2025·全国·模拟预测）若对任意x∈[e,+∞)，满足e
−m
x
2 ln x−m
x
3 ≥0恒成立，则实数m的取值
范围是（ ）
A．(−∞,e)
B．(−∞,e
2)
C．[e
2,+ ∞)
D．[e,+ ∞)
【变式2-1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知函数f (x)=(ln x−mx)(x + 1
x −m−1)，若f (x)≤0在
(0,+∞)上恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）
A．(0, 1
e)
B．[
1
e
2 ,1)
C．[1,e)
D．[
1
e ,1)
【变式2-2】（2025·广东汕尾·一模）已知f (x)=2ax−(2a+1)ln x−1
x
在x =2处有极小值.
(1)求a的值；
(2)设g(x)= f (x)−m，若g(x)≤0在[
1
2 ,e
2)上恒成立，求m的取值范围（e≈2.718，是自然对数的底数）.
【变式2-3】（2025·青海·模拟预测）已知函数f ( x)=2ln x−ax．
(1)若a=1，求曲线y = f ( x)在x =1处的切线方程；
(2)讨论f ( x)的单调性；
(3)若a>0，f ( x)≤e
ax−x
2恒成立，求a的取值范围．
【题型3 利用导数研究能成立问题】
【例3】（2025·四川成都·一模）若存在x>0使得不等式ae
x+1−x ≤1
x ln x
a
成立，则正实数a的取值范围
为（ ）
A．(0,1)
B．[e,+ ∞)
C．(0, 1
e)
D．(0,e]
【变式3-1】（2025·辽宁大连·三模）已知f (x)= xe
ax−ln x−ax，若存在x0∈R，使得f (x0)=1，则实数
a的取值范围是（ ）
A．(−∞, 1
e)
B．[−1
e ,+ ∞)
C．(−1
e ,0)
D．(0, 1
e)
【变式3-2】（2025·安徽合肥·一模）已知函数f (x)=e
x(2 x−1)
x−1
, g(x)= xln x−e
x−x
2+ax +1.
(1)求f (x)的单调区间；
(2)若对于任意x1∈(−1
2 ,1)，总存在x2∈[1,+ ∞)，使得f (x1)≤g(x2)，求a的取值范围.
【变式3-3】（2025·陕西榆林·模拟预测）已知函数f (x)= x−aln x，g(x)=−1+a
x
(a∈R)．
(1)若a=1，求函数f (x)的最小值；
(2)设函数h(x)= f (x)−g(x)，讨论函数h(x)的单调区间；
(3)若在区间[1,e)上存在一点x0
，使得f (x0)≤g(x0)成立，求a的取值范围．
【题型4 利用导数证明不等式】
【例4】（2025·广东·模拟预测）已知函数f ( x)=ax +1−(ax +1)e
−x，a∈R.
(1)当a=1时，求曲线y = f ( x)在x =0处的切线方程；
(2)当a≥1时，证明：f ( x)≥x；
(3)当a≤0时，证明：f ( x)≤x(1−ax).
【变式4-1】（2025·陕西汉中·一模）（1）已知函数f (x)=e
2 x−(x +1)e
x+ x
2
2
，求f (x)在(0,+ ∞)上的单调
区间；
（2）若k ≥1
e
，证明：k e
2 x≥1+ln2 x．
【变式4-2】（2025·河北沧州·模拟预测）已知函数f (x)= tan x (1−2cos x)+ x ,(0≤x<π
2 ).
(1)求f (x)的最小值；
(2)证明：f (x)≤2tan x；
(3)若f (x)≥2ln (x +1)+ax + tan x，求实数a的取值范围.
【变式4-3】（2025·四川眉山·模拟预测）已知函数f (x)=ln x +a x
2−3 x +2，且曲线y = f (x)在x =2处的
切线与直线2 x +3 y −3=0垂直.
(1)求a的值；
(2)求f (x)的极值；
(3)若f (x1)= f (x2)= f (x3)，且x1< x2< x3
，证明：2 x3+ x2−x1<3.
【题型5 利用导数研究双变量问题】
【例5】（2025·湖南·模拟预测）已知函数f ( x)= 1
2 x
2−x +aln x + 11
32
．
(1)讨论f ( x)的单调性；
(2)已知f ( x)存在两个极值点x1, x2，若x1< x2，且x2≥3
4
，求f (x1)+ f (x2)的最小值．
【变式5-1】（2025·全国·模拟预测）已知函数f (x)=ax−ln x
x
，a>0．
(1)若f (x)存在零点，求a 的取值范围；
(2)若x1
，x2
为f (x)的零点，且x1< x2
，证明：a(x1+ x2)
2>2．
【变式5-2】（2025·安徽合肥·一模）已知函数f ( x)= ln x−a( x−1
x )，其中a>0.
(1)讨论f ( x)的单调性；
(2)若函数f ( x)有两个极值点x1，x2( x1< x2)，证明：f ( x1)+ f ( x2)+ f ( x1+ x2)>ln2−3
4 .
【变式5-3】（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数f (x)=ln x−1
2 x + m
x
(m∈R)，记F (x)=2f (x)+ x．
(1)讨论函数F (x)的单调性；
(2)已知m>0，对任意x>0，存在a>0，使得m
a −f (a)≤F (x)，求实数m的取值范围；
(3)已知0< x1< x2
，且F (x1)= F (x2)，求证：x1 x2>m
2．
【题型6 导数中的极值偏移问题】
【例6】（2025·云南·模拟预测）已知函数f (x)=axln x (a≠0)．
(1)若a=2，求曲线y = f (x)在x =1处的切线方程；
(2)讨论f (x)的单调性；
(3)若a=2, x1< x2
，且f (x1)+ f (x2)+2= x1
2+ x2
2，证明：x1+ x2>2．
【变式6-1】（2025·广东佛山·模拟预测）已知函数f (x)=e
x+ 1
2 x
2−x．
(1)设h(x)= f
′ (x)，求h(x)的零点并判断f (x)的单调性；
(2)若f (x1)= f (x2)，且x1< x2
，证明：
（i）x1+ x2<0；
（ii）e
x1+e
x2>2．
【变式6-2】（2025·上海杨浦·模拟预测）设函数y = f (x)的定义域为D，在D上仅有一个极值点x0，方程
f (x)=0在D上仅有两解，分别为x1、x2，且x1< x0< x2．若x1+ x2
2
> x0，则称函数y = f (x)在D上的极值
点左偏移；若x1+ x2
2
< x0，则称函数y = f (x)在D上的极值点右偏移．
(1)设f (x)= x
2−1, D = R，判断函数y = f (x)在D上的极值点是否左偏移或右偏移，并说明理由；
(2)设m>0且m≠1，f (x)= x
3−m x
2−x +m，D =(0,+∞)，求证：函数y = f (x)在D上的极值点右偏移；
(3)设a∈R，f (x)=ln x−ax，D =(0,+∞)，求证：当0<a<e
−1时，函数y = f (x)在D上的极值点左偏
移．
【变式6-3】（2025·青海海南·模拟预测）已知函数f (x)=ln x−m x
2+lnm,m>0．
(1)讨论函数f (x)的单调性．
(2)假设存在正实数x1, x2(x1≠x2)，满足f (x1)=e
x1
m −m x1
2,f (x2)=e
x2
m −m x2
2．
（i）求实数m的取值范围；
（ii）证明：x1+ x2>2．
【题型7 导数在实际问题中的应用】
【例7】（2025·陕西·模拟预测）将一个体积为36π的铁球切割成一个正三棱锥的机床零件，则该零件体
积的最大值为（ ）
A．8 ❑√2
B．8 ❑√3
C．4 ❑√2
D．4 ❑√3
【变式7-1】（2025·辽宁辽阳·一模）已知球O的半径为R，则在球O的内接圆锥中，体积最大的圆锥的底
面半径为（ ）
A．2❑√2
3
R
B．1
3 R
C．
❑√3
3 R
D．2❑√3
3
R
【变式7-2】（2025·上海宝山·二模）某分公司经销一产品，每件产品的成本为5 元，且每件产品需向总公
司交2 元的管理费，预计每件产品的售价为x元（8≤x ≤11）时，一年的销售量为（12−x ）
2万件，则
每件产品售价为 元时，该分公司一年的利润达到最大值.（结果精确到1 元）
【变式7-3】（2025·上海·模拟预测）如下图所示，甲工厂位于一直线河岸的岸边A 处，乙工厂与甲工厂在
河的同侧，且位于离河岸40km 的B 处，河岸边D 处与A 处相距50km（其中BD⊥AD），两家工厂要在
此岸边建一个供水站C，从供水站到甲工厂和乙工厂的水管费用分别为每千米3a 元和5a 元，问供水站C
建在岸边距离A 处
km 才能使水管费用最省？
【题型8 导数中的新定义问题】
【例8】（2025·江苏·三模）已知函数y = f (x)在闭区间[a,b)上连续，在开区间(a,b)内可导，则(a,b)内至
少存在一个点x0∈(a,b)，使得f (b)−f (a)= f
′(x0)(b−a)，其中x = x0
称为函数y = f (x)在闭区间[a,b)上
的“中值点”.则函数f (x)= x
3−2 x在区间[−1,1)上的“中值点”的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【变式8-1】（2025·江西南昌·一模）我们约定：若两个函数的极值点个数相同，并且图象从左到右看，极
大值点和极小值点分布的顺序相同，则称这两个函数的图象“相似”．已知f (x)=e
x−1
2 e x
2+(x−1)
2，
则下列给出的函数其图象与y = f (x)的图象“相似”的是（ ）
A．y = x
2
B．y =−x
2
C．y = x
3−3 x
D．y =−x
3+3 x
【变式8-2】（2025·湖北武汉·一模）已知函数f (x)的导函数为f
′ (x)，若f
′ (x)在区间D上单调递增，则称
f (x)为区间D上的凹函数；若f
′ (x)在区间D上单调递减，则称f (x)为区间D上的凸函数.已知函数
f (x)= x
e
x + λln(x +1).
(1)若f (x)在[2,3)上为凹函数，求实数λ的取值范围；
(2)已知F (x)= f (x−1)，且F (x)在(1,+ ∞)上存在零点，求实数λ的取值范围.
【变式8-3】（2025·河南许昌·模拟预测）对于函数y = f ( x)，x∈D1和y = g( x)，x∈D2，设
D1∩D2= D，若对任意的x1，x2∈D，都有|f ( x1)−f ( x2))≤|g( x1)−g( x2))
t(t >0)成立，则称函数
y = f ( x)与y = g( x)“具有性质H (t )”.
(1)判断函数f ( x)=sin x，x∈(0, π
2 )与g( x)= x是否“具有性质H (1)”，并说明理由；
(2)若函数f ( x)= 1
x
2 +2ln x−2与y = g( x)“具有性质H (1)”，且函数y = g( x)在区间(0,+∞)上存在两
个零点x1
，x2
，求证：x1
2+ x2
2>2；
(3)已知函数f ( x)= x ln x，x∈(0,1)，g( x)= x，求证：函数y = f ( x)与y = g( x)“具有性质H ( 1
2 )”.
点
导数的
应用
考
一
综合
一、单选题
1．（2023·全国乙卷·高考真题）函数f (x)= x
3+ax +2存在3 个零点，则a的取值范围是（ ）
A．(−∞,−2)
B．(−∞,−3)
C．(−4 ,−1)
D．(−3,0)
二、多选题
2．（2024·新课标
卷
Ⅱ
·高考真题）设函数f ( x)=2 x
3−3a x
2+1，则（ ）
A．当a>1时，f ( x)有三个零点
B．当a<0时，x =0是f ( x)的极大值点
C．存在a，b，使得x =b为曲线y = f ( x)的对称轴
D．存在a，使得点(1,f (1))为曲线y = f ( x)的对称中心
三、解答题
3．（2025·全国一卷·高考真题）（1）求函数f ( x)=5cos x−cos5 x在区间[0,π
4 )的最大值；
（2）给定θ∈(0,π)和a∈R，证明：存在y ∈[a−θ ,a+θ ]使得cos y ≤cosθ；
（3）设b∈R，若存在φ∈R使得5cos x−cos(5 x +φ)≤b对x∈R恒成立，求b 的最小值．
4．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数f ( x)= ln(1+ x)−x + 1
2 x
2−k x
3，其中0<k < 1
3
．
(1)证明：f ( x)在区间(0,+∞)存在唯一的极值点和唯一的零点；
(2)设x1, x2分别为f ( x)在区间(0,+ ∞)的极值点和零点.
（i）设函数g(t )= f (x1+t)−f (x1−t).证明：g(t )在区间(0, x1)单调递减；
（ii）比较2 x1与x2的大小，并证明你的结论．
5．（2024·新课标
卷
Ⅰ
·高考真题）已知函数f ( x)= ln
x
2−x +ax +b( x−1)
3
(1)若b=0，且f
′( x)≥0，求a的最小值；
(2)证明：曲线y = f ( x)是中心对称图形；
(3)若f ( x)>−2当且仅当1< x<2，求b的取值范围．
6．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数f (x)=a(x−1)−ln x +1．
(1)求f (x)的单调区间；
(2)当a≤2时，证明：当x>1时，f (x)<e
x−1恒成立．
7．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数f (x)=(1−ax)ln(1+ x)−x．
(1)当a=−2时，求f (x)的极值；
(2)当x ≥0时，f (x)≥0，求a的取值范围．
8．（2023·新课标
卷
Ⅱ
·高考真题）（1）证明：当0< x<1时，x−x
2<sin x< x；
（2）已知函数f (x)=cosax−ln(1−x
2)，若x =0是f (x)的极大值点，求a 的取值范围．
9．（2023·新课标
卷
Ⅰ
·高考真题）已知函数f (x)=a(e
x+a)−x．
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)证明：当a>0时，f (x)>2lna+ 3
2
．
10．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数f ( x)=ax−sin x
cos
3 x
, x∈(0,π
2 )
(1)当a=8时，讨论f ( x)的单调性；
(2)若f ( x)<sin 2 x恒成立，求a 的取值范围．
