专题3.1 导数的概念及其意义与运算（举一反三复习讲义）
【全国通用】
命题规律
分析
1、导数的概念及其意义与运算
导数是高考数学的必考内容，导数的概念及其意义、导数的运算是高考
常考的重点、热点内容，从近几年的高考情况来看，一般以选择题、填空
题的形式考察导数的几何意义、求曲线的切线方程，试题难度属中低档；
导数的几何意义也可能会作为解答题中导数大题的一问进行考查，重点考
查切线方程求解，复习时要加强这方面的训练。
高考真题
统计
考点
2023 年
2024 年
2025 年
导数的概
念及其意
义与运算
全国甲卷（文数）：
第8 题，5 分
全国乙卷（文数）：
第20 题，12 分
新课标I 卷：第13
题，5 分
新课标Ⅱ卷：第16
题，15 分
全国一卷：第12 题，5
分
北京卷：第20 题，15
分
全国乙卷（理数）：
第21 题，12 分
全国甲卷（文数）：
第7 题，5 分
全国甲卷（理数）：
第6 题，5 分
天津卷：第20 题，16
分
2026 年
命题预测
预测在2026 年全国卷高考数学中，对导数的几何意义的考查不会有大
的变化。导数的几何意义大概率依旧以单选题或填空题的形式考查，分值
为5 分，主要考查切线方程的求解、切线的参数问题等，切线问题聚焦“再
一点的切线方程”与“过一点的切线方程”，难度不大；也有可能会在解
答题中与函数的单调性、极值、最值以及零点等内容结合考查，此时综合
性强，试题难度较大。
知识点
1
导数的运算的方法技巧
1．导数的运算的方法技巧
(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.
(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
2．复合函数的求导法则
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为
=
，即y 对x 的导数等于y 对u
的导数与u 对x 的导数的乘积.
3．求复合函数导数的步骤
第一步：分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数；
第二步：分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数；
第三步：相乘：把上述求导的结果相乘；
第四步：变量回代：把中间变量代回.
知识点
2
切线问题及其解题策略
1．求曲线“在”某点的切线方程的解题策略：
(1)求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率；
(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'(x0)(x-x0).
2．求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：
(1)设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)；
(2)利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)；
(3)将已知条件代入②中的切线方程求解.
3．与切线有关的参数问题的解题策略：
(1)处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数：
①切点处的导数是切线的斜率；
②切点在切线上，故满足切线方程；
③切点在曲线上，故满足曲线方程.
(2)利用导数的几何意义求参数问题时，注意利用数形结合，化归与转化的思想方法.
4．公切线问题的解题思路
求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把
两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切
可用判别式法.
【题型1 导数的定义及其应用】
【例1】（2025·甘肃白银·三模）如果质点按规律s(t )=2t
2−t（距离单位：m，时间单位：s）运动，则质
点在2s 末的瞬时速度为（ ）
A．8 m/s
B．7m/s
C．6 m/s
D．5 m/s
【变式1-1】（2025·江苏盐城·三模）若f ( x)= ln 2−x
e
x ，则lim
Δ x→0 f (1+ Δ x)−f (1)
Δ x
=
（ ）
A．0
B．2
C．－2
D．－4
【变式1-2】（2025·天津·一模）已知Δ x>0,若函数y = x
2在x0到x0+ Δ x之间的平均变化率为k1，在
x0−Δ x到x0的平均变化为k2，则k1与k2的大小关系是 .(填k1>k2，k1 <k2或不确定)
【变式1-3】（2025·上海虹口·一模）2024 年10 月30 日“神舟十九号”载人飞船发射成功，标志着中国空
间站建设进入新阶段．在飞船竖直升空过程中，某位记者用照相机在同一位置以同一姿势连续拍照两次．
已知“神舟十九号”飞船船体实际长度为H，且在照片上飞船船体长度为h，比较两张照片，相对于照片
中的同一固定参照物飞船上升了m．假设该记者连按拍照键间的反应时间为t，并忽略相机曝光时长，若用
平均速度估算瞬时速度，则拍照时飞船的瞬时速度为 ．（用含有H、h、m、t 的式子表示）
【题型2 导数的运算】
【例2】（2025·河北·模拟预测）若函数f ( x)=3
x与函数g( x)的图象关于直线y = x对称，则g
′(1)=（ ）
A．1
3
B．1
C．ln3
D．1
ln3
【变式2-1】（2025·陕西安康·三模）已知函数f (x)及其导函数f
′ (x)的定义域均为R，若f
′ (x)为奇函数，
f (x +1)+ x为偶函数，则f
′ (101)=（ ）
A．−101
B．101
C．0
D．−1
【变式2-2】（2025·四川巴中·模拟预测）已知f (x)是定义在R上的偶函数，且函数f
′ (x)+e
−x也是偶函数，
其中f
′ (x)表示函数f (x)的导函数，则f
′ (x)=（ ）
A．e
x−e
−x
2
B．e
x+e
−x
2
C．e
x−e
−x
D．e
x+e
−x
【变式2-3】（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数f (x)是定义在R上的可导函数，且f (x)满足
f (2−x)= f (x)，f (x +2)=−f (x)，当x∈[0,1)时，f (x)=2❑√x，则f
′(
1011
2 )=（ ）
A．❑√2
B．−❑√2
C．
❑√2
2
D．−
❑√2
2
【题型3 求曲线切线的斜率（倾斜角）】
【例3】（2025·福建厦门·一模）已知直线l与曲线y = x
3−x在原点处相切，则l的倾斜角为（ ）
A．π
6
B．π
4
C．3π
4
D．5π
6
【变式3-1】（2025 高二上·全国·专题练习）已知函数f (x)的图象如图所示，下列数值的排序正确的是
（ ）
A．0<f
′ (2)<f
′ (3)<f (3)−f (2)
B．0<f (3)−f (2)<f
′ (2)<f
′ (3)
C．0<f
′ (3)<f
′ (2)<f (3)−f (2)
D．0<f
′ (3)<f (3)−f (2)<f
′ (2)
【变式3-2】（2025·上海浦东新·三模）曲线f ( x)= 1
3 x
3−x
2的图象上有一动点，则在此动点处切线的斜率
的取值范围为
.
【变式3-3】（25-26 高三上·湖南长沙·月考）函数 f (x)=cos x + ❑√3 x的图象在x =π处的切线的倾斜角为
.
【题型4 求曲线的切线方程】
【例4】（2025·四川成都·一模）函数f (x)= x +sin x的图象在点(
π
2 ,f(
π
2 ))
处的切线方程为（ ）
A．x + y −π−1=0
B．x + y −1=0
C．x−y +1=0
D．x−y =0
【变式4-1】（2025·江西景德镇·一模）过点A(0,1)且与曲线f ( x)= x
3+2 x −1相切的直线方程是（ ）
A．y =5 x +1
B．y =2 x +1
C．y = x +1
D．y =−2 x +1
【变式4-2】（2025·陕西西安·三模）已知函数f (x)=(ax +1)e
x．
(1)当a=1时，求曲线y = f (x)在点(0,f (0))处的切线方程；
(2)若当x ≥0时，f (x)≥1恒成立，求a的取值范围．
【变式4-3】（2025·北京大兴·三模）已知函数f (x)=ln(1+ x)+2cos x.
(1)求曲线y = f (x)在(0,f (0))处的切线方程；
(2)若x∈(−1,1)，求曲线y = f (x)与曲线y =
1
❑√1+ x
的交点个数.
【题型5 与切线有关的参数问题】
【例5】（2025·安徽·一模）若直线y = x
e +a与曲线y =ln x +1相切，则实数a的值为（ ）
A．0
B．1
C．1
e
D．e
【变式5-1】（2025·山东聊城·模拟预测）若曲线y = x
2+5在x =2处的切线与曲线y = ln x +3 x +t（t为常
数）相切，则t =（ ）
A．3
B．0
C．2
D．1
【变式5-2】（2025·福建厦门·三模）已知曲线y = x +ln x在点(1,1)处的切线与曲线y = x
2−2 x−a相切，
则a=
．
【变式5-3】（2025·吉林长春·三模）已知函数f (x)= x ln x，g(x)=a x
2−x．若经过点A (1,0)存在一条直
线l 与曲线y = f (x)和y = g(x)都相切，则a=
．
【题型6 切线的条数问题】
【例6】（2025·全国·一模）函数f ( x)= 4 x sin x cos x过原点的切线条数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式6-1】（2025·全国·模拟预测）若曲线y =(1−x)e
x有两条过点A (a,0)的切线，则a的取值范围是
（ ）
A．(−∞,−1)∪(3,+∞)
B．(−3,1)
C．(−∞,−3)
D．(−∞,−3)∪(1,+ ∞)
【变式6-2】（24-25 高三上·河北承德·开学考试）过点(2,0)可作曲线f (x)= x
3−3 x−2的切线条数为
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．0
【变式6-3】（2025·全国·模拟预测）若过点(m,n)可作函数y =2 x + 1
x
(x>0)图象的两条切线，则必有
（ ）
A．0<2m+ 1
m <n
B．0<n<2m
C．2m<n<2m+ 1
m
D．n<2m
【题型7 两条切线平行、垂直、公切线问题】
【例7】（2025·陕西汉中·一模）若直线y =tx −2(t ∈R)是曲线y = ln x与曲线y =e
x−b(b∈R)的公切
线，则b=（ ）
A．1
B．2
C．e
D．1
e
【变式7-1】（2025·福建·模拟预测）已知直线y =kx +b既是曲线y = ln x的切线，也是曲线y =−ln(−x)
的切线，则（ ）
A．k = 1
e
，b=0
B．k =1，b=0
C．k = 1
e
，b=−1
D．k =1，b=−1
【变式7-2】（2025·山东·一模）已知f (x)=e
x（e为自然对数的底数），g( x)= ln x +2，请写出f ( x)与
g( x)的一条公切线方程 ．
【变式7-3】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）设a≠0，若曲线f (x)=aln(x−1)在点(2,f (2))处的切线也是
曲线g(x)=e
ax−2的切线，则a=
．
【题型8 与切线有关的最值问题】
【例8】（2025·河南驻马店·模拟预测）已知点P为曲线y = x + 9
x
上的动点，则点P到直线x + y =0的距离
的最小值为（ ）
A．3 ❑√2
B．6
C．9 ❑√2
2
D．9
【变式8-1】（2025·陕西汉中·模拟预测）已知A(x1, y1),B(x2, y2)为曲线y =e
x上两个不同的点，曲线
y =e
x在点A ,B处的切线相交于点C (x0, y0)，且这两条切线的斜率之积为1，则x0+1
y0
−y2
4
的最小值为
（ ）
A．ln2
2
B．
❑√2
2
C．e
D．ln2
4
【变式8-2】（2025·山东济南·模拟预测）若曲线y =e
x−a(a>0)在x =0处的切线也是曲线
y = ln( x +b)(b>0)的切线，则1
a + 1
b
的最小值为
.
【变式8-3】（2025·安徽蚌埠·二模）柯西不等式（Cauchy-SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数
学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：
(a
2+b
2)(c
2+d
2)≥(ac +bd)
2，当且仅当ad =bc时等号成立.已知a>0,b>0，直线y = x−2a与曲线
y =ln(x +b)相切，则1
a + 1
b + ❑√
1
a
2 + 1
b
2
的最小值为
.
点
导数的运算
考
一
一、单选题
1．（2024·上海·高考真题）现定义如下:当x∈(n,n+1)时(n∈N )，若f (x +1)= f
′ (x)，则称f (x)为延展
函数.已知当x∈(0,1)时，g(x)=e
x且h(x)= x
10，且g( x),h( x)均为延展函数，则以下结论（ ）
（1）存在y =kx +b(k ,b∈R ,k ,b≠0)与y = g(x)有无穷个交点
（2）存在y =kx +b(k ,b∈R,k ,b≠0)与y =h(x)有无穷个交点
A．（1）（2）都成立
B．（1）（2）都不成立
C．（1）成立（2）不成立
D．（1）不成立（2）成立.
二、解答题
2．（2025·全国一卷·高考真题）已知数列{an)中，a1=3，an+1
n = an
n+1 +
1
n(n+1).
(1)证明：数列{nan)是等差数列；
(2)给定正整数m，设函数f ( x)=a1 x +a2 x
2+⋯+am x
m，求f
′(−2)．
点
导数的
义
考
二
概念和几何意
一、单选题
1．（2024·全国甲卷·高考真题）设函数f (x)=e
x+2sin x
1+ x
2
，则曲线y = f (x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴
所围成的三角形的面积为（ ）
A．1
6
B．1
3
C．1
2
D．2
3
2．（2023·全国甲卷·高考真题）曲线y =e
x
x +1
在点(1,e
2)处的切线方程为（ ）
A．y =e
4 x
B．y =e
2 x
C．y =e
4 x +e
4
D．y =e
2 x + 3e
4
二、填空题
3．（2025·全国一卷·高考真题）若直线y =2 x +5是曲线y =e
x+ x +a的一条切线，则a=
.
4．（2024·新课标
卷
Ⅰ
·高考真题）若曲线y =e
x+ x在点(0,1)处的切线也是曲线y = ln( x +1)+a的切线，
则a=
.
三、解答题
5．（2025·天津·高考真题）已知函数f ( x)=ax−(ln x)
2
(1)a=1时，求f ( x)在点(1,f (1))处的切线方程；
(2)f ( x)有3 个零点，x1, x2, x3
且(x1< x2< x3).
（i）求a 的取值范围；
（ii）证明(ln x2−ln x1)⋅ln x3< 4 e
e−1
．
6．（2024·新课标
卷
Ⅱ
·高考真题）已知函数f ( x)=e
x−ax−a
3．
(1)当a=1时，求曲线y = f ( x)在点(1,f (1))处的切线方程；
(2)若f ( x)有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．
7．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数f (x)=(
1
x +a)ln(1+ x)．
(1)当a=−1时，求曲线y = f (x)在点(1,f (1))处的切线方程．
(2)若函数f (x)在(0,+ ∞)单调递增，求a的取值范围．
8．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数f ( x)=(
1
x +a)ln(1+ x).
(1)当a=−1时，求曲线y = f (x)在点(1,f (1))处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线y = f(
1
x)关于直线x =b对称，若存在，求a，b 的值，若不存在，说明理由.
(3)若f (x)在(0,+ ∞)存在极值，求a 的取值范围.
