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专题 立体几何中压轴小题归纳
近三年：
立体几何压轴小题常考的类型如下
1.截面问题（绝对主流，年年压轴）
2.最值问题（函数建模，综合性强）
3.动点问题（常与截面、最值结合）
4.翻折问题（2023 热，2024 降温）
5.轨迹问题（抽象度高，低频考查）
核心特征：截面题载体：90%为正方体/正三棱柱；考查方向：静态→动态→最值演变；难度位置：多选压
轴/填空压轴
预测2026 年：
1.动态截面最值（面积/周长函数建模）
2.多动点约束问题（两点以上联动）
3.截面平分体积的条件探究
重在几何直观+代数工具结合，备考需熟模型、强运算、重转化。
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题型01 球的截面问题
解｜题｜策｜略
这类问题通常涉及球心到截面的距离、截面圆的半径和球的半径之间的关系。核心是构建一个直角三角
形模型，并利用空间几何关系进行计算。主要利用两个性质：①球的任何截面是圆面；②球心和截面
（不过球心）圆心的连线垂直于截面；
主要考察的类型包括角度问题、截面面积最值范围、周长等。
1．（2025·河南·模拟预测）已知球
是正三棱锥
的外接球，
，过点
作球
的截面，若截面面积为
，则直线
与该截面所成的角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】作
平面
，垂足为
，由正三棱锥性质求出
及外接球的半径
，进而求得
，利
用球的截面性质求解.
【详解】如图，作
平面
，垂足为
，则
是正三角形
的中心，
因为
，
，
所以
，则
，
因为
，取
的中点
，所以
，
，
设正三棱锥外接球的半径为
，则
，得
，
所以
，故
，
设过点
的球
的截面圆的半径为，圆心为，
为截面圆上一点，
，则
，
所以
，则
，
所以
与该截面所成角为
，故
，
，即
与该截面所成角为
.
故选：C.
2．（2025·云南昭通·模拟预测）已知球
的半径为3，正方体
所有顶点均在球面上，点
是棱
的中点，过点
作球
的截面，则所得截面面积的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据正方体对角线长就是球的直径求出正方体的棱长，结合当
与截面垂直时，截面圆的半径
最小，此时截面圆面积最小，进而可得答案．
【详解】设正方体棱长为
，则正方体对角线长就是球的直径
，
球心O 是正方体对角线中点，
由正方体对角线公式
，解得
．
因为点
是棱
的中点，当
与截面垂直时，截面圆的半径最小，此时截面圆面积最小．
因为
，
，勾股定理
，解得
，
设截面圆半径为
，则
，
所以截面面积
，
故选：C．
3．（2025·江苏·模拟预测）已知正三棱锥
的侧棱长为
，
为线段
上一点，
，
．设三棱锥
外接球为球
，过
点作球
的截面
，则截面
面积的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】 如图以点
为原点，
的平行线为
轴，
为
轴，建立空间直角坐标系，由
，利用坐标运算求得正三棱锥底面边长和高，从而可得外接球半径，又过
点作球
的截面
，
当
时，截面
面积的最小，可得解.
【详解】如图在正三棱锥
中，
平面
，且
为
的中心，
为中线，
如图以点
为原点，
的平行线为
轴，
为
轴，建立空间直角坐标系，
设
，则
所以
，
由于
，所以
，则
，
所以
，
因为
，则
解得
，
设
，则
，则
，得
，
所以
，
过
点作球
的截面
，当
时，截面
面积的最小，
，所以截面圆半径为
，
则面积为
.
故选：B
4．（2025·广东·模拟预测）在棱长为2 的正方体
中，
分别为
的中点，过直
线
的平面截该正方体的内切球
，所得截面圆的面积的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设
是线段
的中点，则
，利用勾股定理求出
，进而求出
，找出当
垂直于
过
的平面时，截得该正方体的内切球所得截面圆的面积最小，再利用弦长公式和面积公式即可求得结
果.
【详解】设
是线段
的中点，则
，
由勾股定理
，
球心
到
距离为
，
当
垂直于过
的平面时，截得该正方体的内切球所得截面圆的面积最小，
被球截得的弦长为
，
此时圆的半径就是
，面积为
.
故选：A.
题型02 正方体的截面
解｜题｜策｜略
1、正方体的截面有三角形（包括等边三角形），四边形（正方形、矩形、梯形、平行四边形、棱
形），五边形，六边形（正方体过各棱中点截得的六边形是面积最大的截面）
2、如果条件只给出截面的一部分，需要补全截面，根据两个原则，1、延长相交 2、做平行线
1．（2025·广东佛山·模拟预测）如图，在正方体
中，点
分别为棱
的
中点，过点
作正方体的截面，则截面的形状为（ ）
A．六边形
B．五边形
C．四边形
D．三角形
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，求平面
的法向量，取
的中点
，
的中点
，
的中点
，
证明
都在平面
内，由此可得结论.
【详解】因为多面体
正方体，所以
，
，
，
如图：以点
为原点，
为
轴的正方向建立空间直角坐标系，
设
，则
，
，
，
所以
，
，
设平面
的法向量为
，
则
，取
，则
，
，
所以
为平面
的一个法向量，
取
的中点
，
的中点
，
的中点
，
可得
，
，
，
所以
，
，
，
因为
，
，
，
所以点
都在平面
内，
连接
，
所以过点
的正方体的截面为六边形
，
故选：A.
2．（2025·全国·模拟预测）正方体
的棱长为4，点M 在棱
上，平面ACM 把正方体
分成两个几何体，其中一个几何体的体积为14，则平面ACM 截正方体
所得的截面周长为（ ）
A．
B．
C．
D．15
【答案】A
【分析】设平面
与棱
交于点
，则
，设
，由棱台的体积求得
，进而可求
得截面周长.
【详解】设平面
与棱
交于点
，则
，几何体
是三棱台，
由题意知该三棱台体积为14．设
，则
，
解得
，平面
截正方体
所得的截面为等腰梯形
，
，
，
，所以截面
的周长为
.
故选：A．
3．（2025·浙江·三模）在棱长为
的正方体
中，
、
分别为
、
的中点，过直
线
的平面
截该正方体所得截面
，则当平面
与平面
的所成角为最小时，截面
的面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】以点
为坐标原点，
、
、
所在直线分别为
、
、
轴建立空间直角坐标系，设平面
交直线
于点
，利用空间向量法可求出平面
与平面
的所成角为最小时
的值，求出
此时二面角余弦值的最大值，然后利用射影面积法可求出截面
的面积.
【详解】以点
为坐标原点，
、
、
所在直线分别为
、
、
轴建立如下图所示的空间直角坐
标系，
则
、
，设平面
交直线
于点
，
则
，
，
设平面
的一个法向量为
，则
，
取
，可得
，
易知平面
的一个法向量为
，
设平面
与平面
的所成角为
，
，
当且仅当
时，
取最大值
，此时平面
与平面
所成角最小，
则
，
设平面
交棱
于点
，
，
因为
，则
，解得
，即点
，
结合图形可知，平面
分别交棱
、
于点
、
，
先证明射影面积法：设点
在平面
内的射影点为
，如下图所示：
过点
在平面
内作
，连接
，
因为
平面
，
平面
，所以
，
因为
，
，
、
平面
，故
平面
，
因为
平面
，所以
，
故
为锐二面角
的平面角，
在
中，
，
推广到其他多边形的面积也成立，
本题中，
，
设截面
的面积为，由射影面积法可得
，
故
.
故选：B.
4．（多选）（2025·云南昆明·一模）在长方体
中，底面
是边长为
的正方形，
，点
是
的中点，点
是
上的动点（含端点），则下列说法正确的是（ ）
A．异面直线
与
所成角的余弦值为
B．当
时，过点
、
、
的截面是梯形
C．当点
运动到某点时，过点
、
、
的截面是五边形
D．当
时，过点
、
、
的截面是矩形
【答案】ABC
【分析】由异面直线所成角的定义结合余弦定理可判断A 选项；推导出
，可判断B 选项；取
，利用面面平行的性质找出截面，可判断C 选项；利用面面平行的性质找出截面，可判断D 选项.
【详解】对于A 选项，连接
、
，如下图所示：
因为
且
，所以，四边形
为平行四边形，
所以，
，
所以，
与
所成的角为
或其补角，
在
中，
，同理可得
，
，
由余弦定理可得
，
所以，异面直线
与
所成角的余弦值为
，A 对；
对于B 选项，连接
、
、
，
当
时，
为
的中点，
因为
、
分别为
、
的中点，则
，且
，
因为
且
，所以，四边形
为平行四边形，
所以，
，且
，所以，
且
，
所以，
、
、
、
四点共面，
所以，当
时，过点
、
、
的截面是梯形，B 对；
对于C 选项，当
时，设平面
交直线
于点
，
因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
平面
，所以，
，
因为
，由等角定理结合图形可知，
，
则
，即
，可得
，
设平面
交直线
于点
，
因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
平面
，则
，
因为
，由等角定理结合图形可得
，
所以，
，则
，
且
，所以，
，
故当
时，过点
、
、
的截面是五边形，C 对；
对于D 选项，当
时，点
与点
重合，设平面
交棱
于点
，连接
，
因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
平面
，所以，
，
因为
，由等角定理结合图形可知，
，
即
，所以，
，所以，
，
则点
为
的中点，
由勾股定理可得
，
同理可得
，
，则四边形
为平行四边形，
因为
，所以，
，
所以，
不是直角，故四边形
不是矩形，
因此，当
时，过点
、
、
的截面不是矩形，D 错.
故选：ABC.
【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直
线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；
（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是
，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面
直线所成的角．
5．（多选）（2025·贵州六盘水·模拟预测）在直四棱柱
中，
，
，点
，
在以线段
为直径的圆
上运动，且
，
，
三点共线，点
，
分别是线段
，
的中点，
则下列说法中正确的是（ ）
A．平面
平面
B．当四棱柱
的体积最大时，
C．当
时，过
的平面截该四棱柱的外接球所得截面面积的最小值为
D．当
时，过点
，
，
的平面截该四棱柱所得的截面周长为
【答案】ABD
【分析】对A：借助线面垂直判定定理先证
平面
，再借助面面垂直判定定理即可得；对B：
利用基本不等式可得
时，四棱柱
的体积最大时，则可建立适当空间直角坐标
系求证；对C：求出球心到直线
的距离后借助垂径定理计算即可得；对D：作出所需平面计算周长即
可得.
【详解】对A：由直四棱柱性质可得
，由
为直径，则
，
又
，
、
平面
，故
平面
，
又
平面
，故平面
平面
，故A 正确；
对B：由
，则
，
则
，
当且仅当
时，等号成立，
即四棱柱
的体积最大时，
，同理
，
则此时四棱柱
为正方体，
则可以
为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
有
、
、
、
、
，
则
，
，有
，
故
，故B 正确；
对C：当
时，则由B 可得此时四棱柱
为正方体，
有
、
，则
，
由正方体性质可得该正方体的外接球球心为
，设为
，
则
，外接球半径为
.
则点
到直线
的距离
，
又该截面面积取最小时，点
到该截面的距离为
，
则
，故C 错误；
对D：取
中点
，连接
、
、
、
、
，
则
且
，又
，故
，
故
、
、
、
四点共面，即所求截面为四边形
，
则截面周长为
，故D 正确.
故选：ABD
题型03 动点中的平行与垂直
解｜题｜策｜略
1、利用“平行”条件的核心转化
常用转化方式：
转化为“确定平面”：若要证明或找到一点P使AP // 平面α，一个有效思路是构造一个包含AP
且与α平行的平面β。那么P必须位于平面β与已知几何体（如棱、面）的交线上。
转化为“线线平行”链：利用公理4（平行传递性）或中位线定理。例如，要在线段上找点P使
AP // 平面α，可尝试在平面内找一条与AP平行的固定直线，从而将线面平行转化为线线平行，P
的位置由这组平行线决定。
2、利用“垂直”条件的核心转化
常用转化方式：
转化为“线面垂直”：a ⊥ b 且 a ⊥ c，b ∩ c = O⇒a ⊥ 平面(b, c)。这是将分
散的线线垂直集中到一个平面（垂面）上的强大工具。要确定一点使某线垂直于一个平面，常需该线同
时垂直于平面内两条相交直线，这往往能给出两个约束条件。
转化为“三垂线定理及其逆定理”：这是处理斜线在平面上投影垂直问题的利器。如果问题涉及“斜
线”与“面内直线”垂直，立即考虑三垂线定理。这常常能将一个空间垂直问题，转化为平面内的垂直
问题。
转化为“平面垂直的判定”：若要证平面α ⊥ 平面β，需在α内找一条线垂直于β。这有时能引导
我们去寻找或构造这条关键的垂线，而这条线的端点可能就是动点。
1．（多选）（2025·四川绵阳·模拟预测）正方体
棱长为2，
为
中点，
为平面
上的动点（在四边形
内部及其边界）且满足
平面
，则下列正确的是（ ）
A．动点F 的轨迹长度为
B．三棱锥
的体积范围为
C．三棱锥
的体积为定值
D．当三棱锥
的体积最小时，其外接球的表面积为
【答案】BCD
【分析】根据题意利用面面平行判定定理可证明平面
平面
，可得出动点
的轨迹为线段
，此时长度为
，即A 错误；由棱锥体积公式计算可知三棱锥
的体积范围为
，可得B
正确，结合A 中分析可知点
到平面
的距离为定值，可判断C 正确，确定点
的位置后找出外接球
球心位置，列方程求出外接球半径可得D 正确.
【详解】对于A，取
的中点
的中点为
，连
，过
作
交
于
，
连
，如下图所示：
因为
为
中点，由正方体性质可知
，因此可得
四点共面；
由
可知
为
的中点，
又因为
平面
，
平面
，
所以
平面
；
又
的中点为
，所以
，
又
平面
，
平面
，
所以
平面
；
因为
，
平面
，
所以可得平面
平面
，
又因为需满足
平面
，且
为平面
上的动点，
所以动点
的轨迹为线段
，此时长度为
，即A 错误；
对于B，显然三棱锥
的顶点
到底面
的距离为
，
所以当
的面积最小时，体积最小，其面积最大时，体积最大；
又因为
，所以当
在
时，点
到
的距离最小为1，
此时体积最小，即
的最小值为
，
当
在
时，点
到
的距离最大为2，
此时体积最大，即
的最大为
；
因此三棱锥
的体积范围为
，即B 正确；
对于C，由于
，所以点
到平面
的距离等于点
到平面
的距离，为定值；
又因为底面
的面积为定值，所以三棱锥
的体积为定值，
即
不变，可得C 正确；
对于D，当三棱锥
的体积最小时，根据B 中分析可知此时
与
重合，
即求
的外接球的半径即可，
设外接球的球心为
，半径为
的外接圆圆心为
，半径为
为
中点，
如下图所示：
则
，在直角梯形
和直角三角形
中，
易知
，
所以可得
，解得
；
所以外接球表面积为
，
因此当三棱锥
的体积最小时，其外接球的表面积为
，可得D 正确.
故选：BCD
2．（多选）（2025·广东佛山·一模）在正三棱柱
中，
，
为
中点，点
是线段
上的动点，则（ ）
A．
B．有且仅有一个点
，使得
C．有且仅有一个点
，使得
D．有且仅有一个点
，使得平面
平面
【答案】AD
【分析】根据线线平行、线线垂直、面面平行的判定逐项判定即可.
【详解】对于选项A：
因为正三棱柱
，所以
平面
，
因为
平面
，所以
，
因为
平面
，
所以
平面
，又
平面
，
所以
，所以A 正确；
对于选项B：
如图建立空间直角坐标系，设
，
，则
.
则
，要使得
，
那么
，无解，所以不存在点
使得
，所以B 错误；
对于选项C：
，要使得
，
那么
，所以
，解得
或
，
所以存在两个点
使得
，所以C 错误；
对于选项D：
，所以
，
设平面
的法向量为
，则
.
得到
，令
，则
，所以
.
，
设平面
的法向量为
，则
.
得到
，令
，则
，所以
，
要使得两平面平行，则
，解得
，
所以有且仅有一个点
使得平面
平面
，所以D 正确.
故选：AD.
3．（多选）（2025·全国·模拟预测）在棱长为1 的正方体
中，
为棱
的中点，
为正
方形
内一动点（含边界），
是线段
上的两个动点，且
，
是
的中点，则下列
说法中不正确的是（ ）
A．三棱锥
的体积为定值
B．在线段
上存在一点
，使得
平面
C．存在
点，使得
平面
D．若
，那么
点的轨迹长度为
【答案】C
【分析】对于A 由
即可判断，对于B 当点
为
的中点时，即证
即可判断，对
于C 建立空间直角坐标系，设
，求平面
的法向量
，利用向量法得
，即
存在
，使得
，求出
即可判断，对于D 利用勾股定理确定点
的轨迹，计算轨迹长度即可
判断.
【详解】三棱锥
的体积
，点
到直线
距离为
，而且
，则
面
积为定值，
又点
到平面
的距离为1，因此三棱锥
的体积为定值，故A 正确．
当点
为
的中点时，连接
，由
是
的中点，所以
，
所以四边形
为平行四边形，所以
，又
平面
，
平面
，
所以
平面
，又
平面
，则平面
即平面
，
所以
平面
，故B 正确．
以
为原点，
所在直线分别为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系，
则
，
，
，
设
，
．
设
是平面
的一个法向量，则
，取
，则
．
若
平面
，则
，所以存在
，使得
，则
，解得
，
因此正方形
内（含边界）不存在点
，使得
平面
，故C 错误．
因为
平面
平面
，
，
所以
，则
点轨迹是以
为圆心，
为半径的圆弧，圆心角是
，
所以
点的轨迹长度为
，故D 正确．
故选：C．
4．（多选）（2025·内蒙古呼和浩特·一模）在正方体
中，棱长为1，已知点
，
分别是
线段
上的动点（不含端点）.下列说法正确的有（ ）
A．存在无数条直线
与直线
平行
B．
与
不可能垂直
C．二面角
不可能为定值
D．点
到任意直线
的距离都不可能小于
【答案】AD
【分析】利用线面垂直的判定性质判断A；利用线面平行的性质分析判断B；利用二面角的定义判断C；
求出点
到平面
的距离判断D.
【详解】对于A，由
，
平面
，
平面
，得
平面
，
则过
的平面与平面
相交，交直线
分别于点
，必有
，
因此有无数条直线
与直线
平行，A 正确；
对于B，在正方体
中，
，由
平面
，
平面
，
得
，而
平面
，则
平面
，
又
平面
，因此
，B 错误；
对于C，由
，得平面
即为平面
，平面
即为平面
，
因此二面角
即为二面角
，而二面角
为定值，
则二面角
为定值，C 错误；
对于D，由选项B 知，
平面
，点
到平面
的距离为
，
而
平面
，因此点
到任意直线
的距离都不可能小于
，D 正确.
故选：AD
5．（多选）（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，正方体
的棱长为
分别为棱
的中点，
为线段
上的动点，则（ ）
A．
平面
B．
C．
平面
D．
的最小值为
【答案】ABD
【分析】根据正方体性质及线面、面面平行的判定易得面
面
、
面
，即可判定
AB；假设
平面
，则
一定成立，结合题设判断C；求出
判断D.
【详解】对于A，
，
，
平面
，
产面
，则
平面
，
同理
平面
，而
平面
，则平面
平面
，
而
平面
，又
平面
，A 正确；
对于B，由
平面
，
平面
，得
，又
，
平面
，则
平面
，
而
平面
，所以
，B 正确；
对于C，若
平面
，而
平面
，则
，
而Q 为直角三角形
的斜边
上的动点，不可能恒有
，C 错误；
对于D，正方体
的体对角线
，
互相平分，
而
，当且仅当
为
中点时取等号，
的最小值为
，D 正确.
故选：ABD
题型04 动点与向量关系
解｜题｜策｜略
若动点P满足条件⃗AP = λ⃗AC + μ⃗AE (λ , μ∈[0，1])，根据λ , μ来判断P点所在位置。这里将空间向量
同立体几何结合考察。
1．（2025·重庆·三模）已知长方体
中，
，
，E 为
的中点.若长
方体表面上的动点P 满足⃗AP = λ⃗AC + μ⃗AE (λ , μ∈R)，则动点P 的轨迹围成面积为（ ）
A．24
B．18
C．
D．12
【答案】A
【分析】由
，知点P 的轨迹是平面ACE 与长方体表面相交线围成的图形，利用面面平行的
知识作出点P 的轨迹，再根据长方体的结构特征与梯形的知识计算即得答案.
【详解】由
知，点P 的轨迹是平面ACE 与长方体表面相交线围成的图形，
取
的中点F，连接EF，则有
，
又
，所以EFCA 为等腰梯形，
，由此可算出其高
，
所以等腰梯形EFCA 的面积
.
故选：A.
2．（2025·上海松江·二模）在正三棱柱
中，
，动点
满足
，
，则下列几何体体积为定值的是（ ）
A．四棱锥
B．四棱锥
C．三棱锥
D．三棱锥
【答案】D
【分析】根据题设
在
上运动，结合棱柱的结构特征及线面平行的性质判断各棱锥的体积是否为定值
即可.
【详解】对于正三棱柱
，且
，
，
则
在
上运动，
所以
到平面
、平面
、平面
的距离均是变化的，棱锥底面积都是定值，故A、B、C
不符合条件，
由
，
平面
，
平面
，则
//平面
，
所以P 到平面
的距离为定值，且底面
的面积是定值，
所以三棱锥
的体积为定值，D 符合，
故选：D
3．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，棱长为2 的正方体．
中，点P 是棱
的中点，动
点M 满足
，其中
，则下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则直线
与直线
所成角的最小值为
C．若
且．
，则点
的轨迹长为
D．若动点M 在平面
上的投影为点
与平面
所成角与二面角
大小相等，
则直线
与点N 的轨迹相切
【答案】ACD
【分析】如图建系，空间向量计算判断A，根据异面直线所成角结合值域判断B，应用两点间距离计算判
断C，应用二面角定义结合直线和抛物线联立求解判断D.
【详解】以
为坐标原点，
所在直线为坐标轴建立如图1 所示的空间直角坐标系，
则
，
，
所以
，
所以
，即
，
所以
，又
，
所以
，
当
时，
，所以
，所以
，故A 正确；
点
为
的中点，其坐标为
，点
的坐标为
，
向量
，向量
，
设直线PM 与直线BC 所成的角为
，
又因为
，当
时，
，
即直线PM 与直线BC 所成角的最小值为
，故B 错误；
由
知
，
设点
为
，则
，化简得
，
是以点
为圆心，
为半径的圆，
如图2 所示，又因为
，故点
的轨迹为圆心角为
的圆弧，轨迹长度为
，故C 正确；
如图3，过点
作
于点
，
连接GN，NC，MG，MC，则MC 与平面
所成角为
是二面角
的平面角，
故
，易证
，
则
，由抛物线的定义可知点
的轨迹是以点
为焦点，直线
为准线的抛物线，
如图4，以BC 的中点
建立平面直角坐标系xOy，
则点
的轨迹方程为
，直线
为
，
联立
得
，则直线
与点
的轨迹相切，故D 正确．
故选：ACD.
4．（多选）（2025·江西上饶·一模）在棱长为2 的正方体
中，点
满足
，
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．当
时，
B．当
时，三棱锥
的体积为定值
C．当
时，
的最小值为
D．当
，
时，若点
为四边形
（含边界）内一动点，且
，则点
的轨迹长度为
【答案】ABD
【分析】当
时，点
的轨迹为线段
，证明
平面
即可判断选项A 正确；
当
时，点
的轨迹为线段
，由
平面
，得出三棱锥
的体积为定值，所以选
项B 正确；
当
时，点
的轨迹为线段
，将三角形
旋转至平面
内，由余弦定理可得选项C 错
误；
当
，
时，点
为
的中点，由
，可得点
的轨迹为以
为圆心，
为半径的
圆，
所以选项D 正确.
【详解】对于A，如图所示，当
时，点
的轨迹为线段
，连接
、
，可得
，
，
所以
平面
，所以
，同理可证得
，所以
平面
，所以
，
所以选项A 正确；
对于B，如图所示，取
、
的中点
、
，当
时，
点
的轨迹为线段
，
，
，
因为
平面
，所以
到平面
的距离
，
所以三棱锥
的体积为定值，所以选项B 正确；
对于C，如图所示，当
时，点
的轨迹为线段
，将三角形
旋转至平面
内，
可知
，
由余弦定理可得
，
所以选项C 错误；
对于D，如图所示，当
，
时，点
为
的中点，
，
，
所以
，即点
的轨迹为以
为圆心，
为半径的
圆，所以点
的轨迹长度为
，
所以选项D 正确.
故选：ABD.
【点睛】本题考查空间几何体的线面关系、体积、轨迹等知识，考查空间想象能力与运算求解能力，考查
直观想象、逻辑推理和数学运算核心素养.
5．（多选）（2025·云南红河·模拟预测）如图，棱长为2 的正方体
中，
分别是棱
，
棱
的中点，动点
满足
，其中
，则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥
体积为
B．若
，则
C．若
，则直线
与直线
所成角的最小值为
D．若动点
在三棱锥
外接球的表面上，则点
的轨迹长度为
【答案】ABD
【分析】对于A，利用等体积转换易求得三棱锥体积；对于B，C，通过建系，求得相关点和相关向量的
坐标，利用向量垂直的坐标式计算即可判断，利用向量夹角的坐标公式计算即可推得；对于D，先根据题
意求得三棱锥
外接球的半径，再判断点
的轨迹为平面
截三棱锥
外接球的截面
圆，求其周长即得.
【详解】对于A，因点
在平面
中，则
到平面
的距离为2，
故
，故A 正确；
对于B，以
为坐标原点，
所在直线为
轴建立空间直角坐标系
.
则
，
，
，
，
，
所以
，
所以
，即
，
所以
，又
，
，
所以
，
故
，即
，故B 正确；
对于C，点
为
的中点，坐标为
，点
的坐标为
，
向量
，向量
，
设直线
与直线
所成的角为
，则
，
，
又因为
，
为增函数，故当
时，
，
则直线
与直线
所成角的最小值为
，故C 错误；
对于D，因为三棱锥
即为三棱锥
，又底面
是直角三角形，
过
的中点
作
平面
，
是三棱锥
外接球的球心，
因为
平面
，所以
，又
，
所以三棱锥
外接球的半径
，
因为点
在平面
内，又在三棱锥
外接球的表面上，
所以
的轨迹是平面
截三棱锥
外接球的截面圆，
又易得
到平面
的距离为1，所以截面圆的半径为
，
所以点
的轨迹周长为截面圆周长为
，故D 正确.
故选：ABD.
题型05 翻折问题
解｜题｜策｜略
在“不变的长度”基础上，找出“新的垂直关系”，然后用平面化计算或建系法求解。
1、明确“不变”的量（根本）
这是解题的基石，翻折前后绝对不变的有：
线段的长度：折叠涉及的所有棱、边的长度不变。
线的相对位置：比如跟折线垂直的线段，结果折叠后，垂直关系还在。
2、寻找和确定“新”的量（关键）
折叠后产生的新关系，是解题的突破口：
新的垂直关系：折叠常会产生原本不存在的线线垂直或线面垂直，这是建立空间直角坐标系或构造直角
三角形的关键。
新的点的位置：折叠会使某些点（折叠点）在空间中重合，或使某点运动到新的位置，弄清这些点的最
终位置是核心。
3、选择并应用核心方法
主要有两个最实用的方法，通常结合使用：
平面化方法（首选）：
将翻折后相关的点、线，展平到同一个平面（通常是原来的平面图形）上考虑。
在这个平面图形中，利用平面几何知识（如勾股定理、余弦定理、相似三角形）直接计算折叠后产生的
空间线段长度。 “空间距离，平面来算”。
空间直角坐标系法（通用）：
当翻折产生明显的两两垂直的线段时（这是常见情况），立即以这些垂足为原点建系。
分别标出翻折前后关键点的坐标（注意翻折后某些点的某个坐标会取相反数）。
用向量法计算角度、距离、证明垂直等。
1．（2025·湖北·模拟预测）已知边长为2 的菱形
，对角线
交于点
，现将
沿对角线
翻折，得到三棱锥
.记线段
的中点分别为
，则下列结论错
误的是（ ）
A．
B．三棱锥
体积的最大值为
C．平面
截三棱锥
的截面图形可能是正方形
D．当折成的二面角
为
时，三棱锥
的外接球半径为
【答案】C
【分析】对于A，求证
平面
即可判断；对于B，找到最大体积时的位置即可由锥体体积公式计
算求解；对于C，取
中点
，截面图形即为矩形
，由题设求出
即可判断；对于D，找
到球心位置，根据勾股定理列方程组即可求解.
【详解】对于A，因为四边形
为菱形，所以
，故
，
又
，
，
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以
，故A 正确；
对于B，由A 得
平面
，因为
平面
，所以平面
平面
，
当
到平面
的距离最大时，即
平面
时三棱锥
的高最大，
由题意得，
为等边三角形，
为
中点，所以
，
所以三棱锥
体积的最大值为
，故B 正确；
对于C，取
中点
，连接
，
因为线段
的中点分别为
，
所以
，且
，
所以截面图形为平行四边形
.
由A 可知
，所以
，故四边形
为矩形，
由题意得，
， 所以
，
所以
，即四边形
不可能为正方形，故C 错误；
对于D，当二面角
为
时，由A 可得
，
所以
到平面
距离为
，
在平面
内的投影在直线
上，投影长为
，
因为
，所以
为
外接圆圆心，
所以三棱锥
外接球的球心
在过D 且与平面
垂直的直线上，如图，
设三棱锥
外接球的半径为R，
，
则
，解得
，故三棱锥
外接球的半径为
，D 正确.
故选：C.
2．（2025·安徽滁州·二模）如图，四边形
为矩形，
，
．
是等边三角形，
是等腰直角三角形，
．将
和
分别沿虚线
和
翻折，且保持平面
平
面
．当
平面
时，平面
与平面
的距离等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据线线垂直证明线面垂线，进而证明面面垂直，结合三角形相似可得距离.
【详解】
如图所示，
取
中点
，
中点
，连接
，
，
，
，
由
是等边三角形，
是等腰直角三角形，
，
则
，
，
，
又
，
，
，
，
平面
，
所以
平面
，
所以平面
平面
，平面
平面
，平面
平面
，
又
平面
，且
平面
，平面
平面
，
所以
，
又平面
平面
，且平面
平面
，平面
平面
，
所以
，
则作出平面
如图所示，
设
，
则
，
所以
，
又
，
，
则
，
由
，
所以
，
，
，
设过点
作
与
，
分别交于点
，
，
则
即为两平面间距离，
，
故选：C.
3．（多选）（2025·江苏常州·模拟预测）已知边长为2 的菱形
，且
，沿对角线
折起，
使点
不在平面
内，
为
的中点，在翻折过程中，则（ ）
A．平面
平面
B．当
时，直线
与平面
所成角的余弦值为
C．当二面角
的大小为
时，点
在三棱锥
的表面上运动，且
，则
点运动轨
迹长度为
D．当二面角
的余弦值为
，则三棱锥
的外接球的表面积为
【答案】ABD
【分析】对于A，根据线面垂直的判定定理先证明
平面
，从而得到平面
平面
；对
于B，用等体积法可求得点A 到平面
的距离，从而求得直线
与平面
所成角的正弦值，由同角
三角函数关系式可求得直线
与平面
所成角的余弦值；对于C，分析点
在三棱锥
的表面
上运动时，则
点在各个侧面的运动轨迹，并求其长度的和即可判断；对于D，根据题意列得关于三棱锥
的外接球半径的方程组，求解可得外接球半径，从而得到外接球的表面积.
【详解】由题可知，
，所以
.
由
，得
，
所以
，所以
.
折起如图2.
对于选项A，由图1 知，菱形
中，
图2 中
平面
，所以
平面
.
因为
平面
，所以平面
平面
.所以选项A 正确；
对于选项B，由题可知，
是等边三角形，
取
的中点E，连接
，则
，且
.
因为
平面
，
所以
平面
，
又
平面
，所以
.
所以
.
因为
，所以
，
所以
.
所以
.
所以
.
因为
，
所以点A 到平面
的距离为
.
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
，
所以直线
与平面
所成角的余弦值为
.故选项B 正确.
对于选项C，当二面角
的大小为
时，由选项A 可知，
.
因为
，所以
.
因为
，
所以点C 到平面
的距离为
，所以
中，
点运动轨迹为一个点；
点
在三棱锥
的侧面上运动，且
时，
点运动轨迹分别为三棱锥
的三个侧面上的三段圆弧.
中，
，所以
点运动轨迹长度为
；
中，
.所以
，
所以
，所以
点运动轨迹长度大于
；
同理
中，
，
所以
，所以
点运动轨迹长度大于
；
所以
点运动轨迹长度大于
；所以选项C 错误.
对于选项D，当二面角
的余弦值为
时，由选项A 可知，
.
所以
，所以
，
记棱
的中点为F，则
.
记三棱锥
的外接球球心为T，因为O 为
的中点，且
平面
，
所以T 在等腰三角形
的中线
上.
设三棱锥
的外接球的半径为R，
则
，解得
.
所以三棱锥
的外接球的表面积为
.所以选项D 正确.
故选：ABD.
4．（多选）（2025·云南·模拟预测）如图，平面图形
是等腰直角
和直角
组成，
，
分别是
和
边的中点，现将
沿着
折起，则下列
结论中正确的是（ ）
A．
B．若平面
平面
，则
C．
D．当三棱锥
体积最大时，三棱锥
的外接球半径为
【答案】BC
【分析】根据勾股定理可判断A；利用面面垂直的性质定理及勾股定理可判断B；根据线面垂直的判定定
理及性质定理可判断C；当三棱锥
体积最大时，
，利用线面垂直的判定定理及外接球半
径的求法可判断D.
【详解】对于A：由题可知
，在等腰直角三角形
中，
，故A 错误.
对于B：由题可知
，
若平面
平面
，又平面
平面
，
平面
，
，
所以
面
，又
平面
，所以
，
所以
，得到
，故B 正确.
对于C：因为
为
的中点，
，所以
.
又
是
的中点，所以
，
由
，可得
.又
平面
，
所以
平面
，又
平面
，
所以
，故C 正确.
对于D：当三棱锥
体积最大时，
，即
，
又
平面
，所以
.又
平面
，
所以
平面
.又
是以
为斜边的直角三角形，
所以三棱锥
外接球的球心在过点
且与平面
垂直的直线上，
设球心到点
的距离为
，外接球半径为
，则
，
所以
，解得
，
则三棱锥
外接球的半径为1，故D 错误.
故选：BC.
5．（多选）（2025·江苏镇江·模拟预测）已知边长为2 的菱形
，且
，沿对角线
折起，
使点
不在平面
内，
为
的中点，在翻折过程中，则（ ）
A．平面
平面
B．当平面
平面
时，异面直线
与
所成角的余弦值为
C．当二面角
为
时，点
到平面
的距离为
D．当
时，直线
与平面
所成角的余弦值为
【答案】ACD
【分析】A 利用证明面面垂直的判定定理证明两个平面垂直，BD 利用空间向量的方法求异面直线所成的
角和线面角，C 利用三棱锥转换底和高，通过体积相等求点到面的距离.
【详解】对于选项A：翻折前，
是菱形，
，
为
的中点，沿对角线
折起后，如图
（1），
，
，
，
平面
，
平面
，
平面
平面
，则A 选项正确；
对于选项B：
平面
平面
，平面
平面
，
，
平面
，
平面
，以
为原点，
所在直线为
轴建立空间直角坐标系，如图（2），
菱形
的边长为2，
，
，
为
的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，设异面直线
与
所成的角为
，则
，则B
选项错误；
对于选项C：如图（1），
，
，
是二面角
的平面角，
二面角
为
，
，
，
，
，设点
到平面
的距离为，
，
，
，
，则C 选项正确；
对于选项D：如图（3），
取
中点
，取
中点
，连
，
是等边三角形，
，
，
，
平面
，
平面
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，过
作
交
于
，
，
，
，
，
平面
，
平面
，
，又
，
平面
，过
作
，以
为原点，
为
轴建立空间直角坐标系，
，
，
，
，
，
，设
为平面
的法向量，
，
，取
，则
，
，
，
，设直线
与平面
所成的角为
，
，
，则直线
与平面
所成的角余弦值为
，
则D 选项正确.
故选：ACD.
题型06 轨迹问题
解｜题｜策｜略
将空间动态问题转化为确定约束下的静态模型，最终用几何语言描述轨迹形状（点、线、圆、球面、线
段等）。
1.找不变基准：确定一个固定点、固定直线或固定平面作为参照系。
2.翻译约束条件：把题目中“动点满足的几何条件”（如到定点距离为定值、到两定点距离相等、与定
直线/定平面成定角等）用几何语言或方程表达出来。
3.判断轨迹形状：
到定点距离为定值 → 球面。
到两定点距离相等 → 中垂面。
到定直线距离为定值 → 圆柱侧面。
到定平面距离为定值 → 一对平行平面。
与两定点连线成定角 → 一段圆弧（圆锥截面）。
与定点连线垂直于定直线 → 过定点且垂直于定直线的平面。
4.结合图形限制：轨迹常被限制在几何体（如多面体）的面、棱、内部，因此最终答案往往是完整轨迹
与几何体的交集（如球面的一部分、圆弧、线段等）。
分析动点满足的几何条件，联想基本轨迹模型，再与给定几何体取交，得出最终轨迹图形。
1．（2025·湖南·三模）如图，在四棱锥
中，底面
是边长为6 的正方形，
平面
，
点
是平面
内的动点，且满足线段
的长度是点
到
的距离的2 倍，则点
的轨迹的长度
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意点
到
的距离为
，由
，在平面
中建系，即可得点
的轨迹方
程，即可求解.
【详解】∵
平面
，
平面
，
∴
即点
到
的距离为
，
∴
，
如图平面
中以C 为原点建立平面直角坐标系，
设
，
，
，
∵
，
∴
，整理得
，
即
的轨迹是以
为圆心，半径为4 的圆上，
即点
的轨迹的长度为
，
故选：D.
2．（多选）（2025·浙江嘉兴·一模）在三棱锥
中，
，点
在平面
上
的射影为点
，直线
与平面
所成的角分别为
，则（ ）
A．点
的轨迹长度为
B．
的取值范围是
C．三棱锥
的体积的最小值是
D．当
最大时，三棱锥
的外接球的表面积为
【答案】ABD
【分析】在平面
中，建立平面直角坐标系，即可得到点
的轨迹方程，从而判断A，
记
，即可得到
的范围，从而得到
的范围，从而判断B，由锥体的体积公式代入计算，即可
判断C，由球的表面积公式代入计算，即可判断D.
【详解】
对于选项A：点
在平面
内的射影为点
，则
，
因为
，所以
，
以
所在的直线为
轴，以
的中垂线为
轴建立的平面直角坐标系，
则
，设
，因为
，
可得
，整理得
，
即
，所以
点轨迹是半径为
的圆，
所以所求轨迹的长度为
，所以A 正确；
对于选项B：当
与圆
相切时，记
，
则
，
又
，所以
，
即
，所以
，所以B 正确；
对于选项C：由
，可得
，
所以体积
，所以C 错误；
对于选项D：当
最大时，
，所以
，
所以
是顶角
的等腰三角形，
记
的外心是
，则四边形
是菱形，取
的中点
，
则点
是
的外心，
所以过点
分别作平面
的垂线，交于点
，
则点
就是三棱锥
的外接球球心.
又
，记三棱锥
的外接球半径为
，
则
，所以外接球的表面积为
，所以D 正确；
故选：ABD.
3．（多选）（2025·湖南·一模）如图，三棱台
中，
平面
，则（ ）
A．三棱台
的体积为
B．
平面
C．
D．若点
在侧面
上运动，且
与平面
所成角的正切值为4，则
点在侧面
上
的轨迹长度为
【答案】ABD
【分析】对于A 项，直接由棱台的体积公式求解；对于B，C 项，由线面垂直判定定理求解；对于D 项，
作
于点
，则
平面
为
与平面
所成角，得
在侧面
上的轨
迹是以
为圆心，半径为
的半圆，即可求解．
【详解】A 选项：
，
，故A 正确；
B 选项：
平面
，
平面
平面
，
又
为
的中点，
，
平面
，
平面
，故B 正确；
C 选项：由B 选项答案可知
平面
，
若
，而
平面
，
则
平面
，
，与条件矛盾，故
错误；
D 选项：如图，在平面
中，作
于点
，
由B 选项答案可知，
平面
，
，
平面
，
平面
为
与平面
所成角，
依题意
，又
，
又
．
在侧面
上的轨迹是以
为圆心，半径为
的半圆，
轨迹长度为
，故D 正确．
故选：ABD．
4．（2025·全国·模拟预测）已知正方体
的棱长为
，点
平面
，且
，
则点
的轨迹的长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设
为
的交点，利用正方体的性质及线面垂直的判定定理得
平面
，进而可得
，在平面
中建立平面直角坐标系，设
，根据条件及几何关系得
，即可求解.
【详解】如图1 所示，设
为
的交点，所以
．又
平面
平面
，
所以
．又
，
平面
，所以
平面
．
因为点
平面
，故
平面
，所以
，则
．
因为正方体的棱长为
，所以
，即
，
在平面
内建立平面直角坐标系，如图2 所示，则
．
设
，则
，
，
所以
．
又
，故
，即
，
整理得
，即
，
故点
的轨迹是半径为
的圆，所以点
的轨迹长度为
．
故选：C．
5．（多选）（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知正方体
的棱长为2，P 为平面ABCD 内一点，
点M，N，Q 分别是棱
的中点，下列说法正确的是（ ）
A．平面MNQ 与正方体各面的交线是正六边形
B．直线PM 与直线QN 是异面直线
C．三棱锥P-MNQ 体积的最大值为1
D．若P 到棱CD，
距离相等的点，则点P 的轨迹是双曲线
【答案】ACD
【分析】根据空间中的点线面的位置关系，再建立平面直角坐标系，判断点的轨迹是否是双曲线，分别判
断各选项正误，得出答案.
【详解】
如图所示，作出各边中点，在正方体中，根据三角形中位线的关系，可知
，
且截面各边长都是相等的，是正六边形，所以A 正确.
当点
在
中点上时，
与
相交，此时共面，所以B 错误.
正方体边长为2，则线段
，当正六边形边长为
时，可知其对角线
，所以
，所以
为直角三角形，可得
，
当
与点
重合时，体积最大，此时三棱锥的高为
,
此时体积为
，所以C 正确.
如图所示，过
作
于
，过
作
于
，作
于
，连接
，以
为坐标原点，
以
为
轴，建立平面直角坐标系，
设
，则
，
，当P 到棱CD，A1D1距离相等时，
，化简得
，
是双曲线轨迹，所以D 正确.
故选：ACD
题型07 最值与范围问题
解｜题｜策｜略
将变化的几何量（长度、角度、面积、体积）表示为某个变量的函数，然后通过代数或几何方法求其最
值或范围。
1. 函数法
将变化的几何量（长度、角度、面积、体积）表示为某个变量的函数，然后通过代数或几何方法求其最
值或范围。
2. 几何直观法（利用几何性质直接判断）
两点之间线段最短、点到直线垂线段最短、点到平面垂线段最短。
直线与平面平行时，直线上各点到平面的距离相等。
球面上两点间的最短路径是过大圆的劣弧。
展开图法：将立体图形表面展开为平面，化曲为直求最短路径。
1．（多选）（2025·广东江门·模拟预测）在四面体
中，
为
四面体
外接球的球心，则（ ）
A．四面体
体积的最大值为
B．
长度的取值范围是
C．
D．当直线
与
所成角为
时，四面体
外接球的表面积为
【答案】AC
【分析】当
时四面体
体积最大，求出四面体的体积最大值，即可判断A，由
结合空间向量数量积的运算性质可判断B 选项；利用空间向量数量积的运算性质可判
断C 选项；以
、
为邻边作平行四边形
，则
为矩形，分
、
两
种情况求出球
的表面积，可判断D 选项.
【详解】对于A：当
时，因为
，
，
平面
，
所以
平面
，
此时，四面体
体积最大，最大值为
，故A 正确；
对于B：
，
，
因为
为异面直线，则
，则
，
，从而
，故B 错误；
对于C：不妨取
的中点
，连接
、
、
，则
，
所以
，
同理可得
，
，
所以
，
从而
，故C 正确；
对于D：以
、
为邻边作平行四边形
，则
为矩形，
故
的各顶点都在球
的球面上，如下图所示：
则
，又因为
，
，
、
平面
，
所以
平面
，且
，
如下图所示：
圆柱
的底面圆直径为
，母线长为
，则
的中点
到圆柱底面圆上每点的距离都相等，则
为
圆柱
的外接球球心.
可将三棱锥
置于圆柱
内，使得
的外接圆为圆
，如下图所示：
因为
，故异面直线
、
所成的角为
或其补角，
当
时，
为等边三角形，则该三角形外接圆直径为
，
设球
的半径为
，则
，
此时，球
的表面积为
；
当
时，由于
，则
，
则
外接圆直径为
，则
，
此时，球
的表面积为
.
综上所述，球
的表面积为
或
，故D 错误.
故选：AC
2．（多选）（2025·河南·一模）已知正方体
的棱长为
，点
在底面
上（含边
界），且
，则下列说法正确的是（ ）
A．点
的轨迹的长度为
B．直线
与平面
所成角的正切值最大为
C．平面
截该正方体的内切球所得截面的面积为
D．若动点
在线段
上，
为
的中点，则
的最小值为
【答案】ACD
【分析】由正方体性质可得点
的轨迹是四分之一圆，可判断A 正确；易知直线
相对于平面
的
倾斜程度越大，所成角的正切值越大，计算可知B 错误；求出内切球球心到平面
的距离可判断C 正确，
利用线面垂直关系可知当
三点共线时，满足题意，可得D 正确.
【详解】对于A，根据正方体性质可得
，可知
，
故点
的轨迹是以
为圆心，1 为半径的四分之一圆，如下图所示：
则其轨迹的长度为
，故A 正确；
对于B，易知当点
位于棱
上时，直线
与平面
所成的角最大，
此时
，即直线
与平面
所成角的正切值最大为
，故B 错误；
对于C，易知内切球的半径为
，球心
位于正方体的中心，其到平面
的距离为
，
易知
，
，点
平面
的距离为
；
可得球心
到平面
的距离为
，
故截面圆的半径
满足
，则所得截面的面积为
，故C 正确；
对于D，如下图：
先固定点
，当点
在
上时，
最小，
再让点
移动，当
三点共线时，
最小，
此时
，故D 正确.
故选：ACD
3．（多选）（2025·江西·三模）如图所示，在棱长为
的正方体
中，
、
分别为
、
的中点，
为
的中点，
、
分别是线段
、
上的动点（含端点），则下列说法正确的是
（ ）
A．存在
、
使
平面
B．存在
、
使
平面
C．
的最小值为
D．
的最小值为
【答案】ABD
【分析】当点
与点
重合时，利用面面平行的性质可判断A 选项；证明出
平面
，当点
与
点
重合且
为
的中点时，可判断B 选项；过点
作关于
的对称点
，过点
作
于
点
，设
，则当
、
、
三点共线时，
最小，求解即可，可判断C 选项；连
接
，取
的中点
，推导出
，可知点
为
、
的交点时，
最小，结合勾股
定理可判断D 选项.
【详解】对于选项A，当点
与点
重合时，
平面
，
又平面
平面
，显然有
面
，故A 正确；
对于选项B，如下图所示：
因为四边形
为正方形，所以
，
因为
平面
，
平面
，所以
，
因为
，
、
平面
，故
平面
，
当点
与点
重合且
为
的中点时，
、
平面
，
又因为
，此时
平面
，故B 正确．
对于选项C，当
为
的中点时，
最小，
如图所示，过点
作关于
的对称点
，过点
作
于点
，
不妨设
，则当
、
、
三点共线时，
最小，
因为
，
，
，
此时
，
因为
，则
，
所以
，
故
，
则
，故
，
所以
，
故
，故C 错误；
对于选项D，连接
，取
的中点
，如图所示：
因为
，
，
，故
，
所以
，
因为
、
分别为
、
的中点，所以
，
又因为
，所以
，故
，
连接
交
于点
，因为
、
分别为
、
的中点，则
，
因为四边形
为正方形，所以
，故
，
因为
，故
为
的中点，
因为四边形
为正方形，故
，
因为
平面
，
平面
，所以
，
因为
，
、
平面
，故
平面
，
因为
平面
，故
，同理可证
，
在矩形
中，过点
在平面
内作
，垂足为点
，
易知四边形
为矩形，且
，
，
故
，所以
，
因为
、
平面
，当点
为
、
的交点时，
取最小值
，故D 正确.
故选：ABD.
4．（2025·全国·模拟预测）已知正方体
的棱长为3，点
在
上运动，点
在棱
上运动，
上有一点
满足
，且
，则动点
到平面
距离的最小值为 ．
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，计算证得线面垂直，得
是平面
的一个法向量．设
到平面
距离为
，根据公式计算距离，设
，结合辅助角公式计算最值．
【详解】如图所示，以
为原点，
所在直线分别为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系，
，
则
，
，
，
即
，
连接
，因为
，所以
，
则
，
，
又
，又
，
平面
，
平面
，
则
是平面
的一个法向量，
设
到平面
距离为
，则
，
由上可设
，
则
，其中
，
故动点
到平面
距离的最小值为
．
故答案为：
．
5.（多选）（2025·浙江宁波·一模）在圆台
中，
，AB，CD 分别为上、下底面的直径，
，且
，动点P、Q 分别在线段AC 和
上运动（含端点），满足
，则
（ ）
A．圆台
的体积为
B．四面体
外接球的表面积为
C．射线PQ 交圆台
侧面于点M，则PM 的最小值为
D．射线QP 交圆台
侧面于点N，则PN 的最大值为
【答案】ABD
【分析】对于A，直接由圆台的体积公式求得圆台
的体积，即可判断；对于B，求出外接球的半径，
求得表面积，即可判断；对于C，设
，利用空间向量坐标运算得到PM 关于
的函数，
利用导数可求得其最小值，即可判断；对于D，同理C 选项，得到PM 关于
的函数，利用导数可求得其
最大值，即可判断.
【详解】对于A，由已知
，故A 正确；
对于B，由对称性可知球心在
直线上，设半径为r，
则
，解得
，
故四面体
外接球的表面积为
，故B 正确；
对于C，如图圆
所在平面平行于底面，则
圆
所在平面，
如图建立空间直角坐标系，
则
，
设
，
则
，
因为
，设
，
所以
，则
，
由相似可得圆
的半径
，
，则
，
令
，
则
在
上单调递减，
所以
，则PM 的最小值为2，故C 错误；
对于D，由C，同理可得
，
令
，
则
，
当
时，
单调递增，
当
时，
单调递减，
所以
，则PN 的最大值为
，故D 正确.
故选：ABD
（建议用时：30 分钟）
1．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知E，F，G，H 分别是正方体
的棱
的
中点，
，则（ ）
A．直线
与直线
异面
B．直线
交于同一点
C．过
三点的平面截正方体所得截面图形的周长为
D．动点K 在侧面
内（含边界），且
，则动点K 的轨迹长度为
【答案】BC
【分析】根据题意画出立体图形，再依据平行直线共面、中位线性质、动点轨迹等知识逐一对每个选项进
行分析，从而选出正确选项.
【详解】A 选项，G，H 分别是
的中点，则
，又
，则
，所以
共面，所以A 错误；
B 选项，取
中点为M，延长
交于点N，连接
，如图1，因为
且
是
的中点，
所以
，且
．同理，延长
交于点T，则
，
即点N 与点T 重合，直线
交于同一点，所以B 正确；
C 选项，延长
交于点Q，连接
交
于点P，如图2，则同B 选项，易证，P 为
的中点，
所以四边形
为过点
的截面，
，
所以截面周长为
，所以C 正确；
图1
图2
D 选项，因为
平面
，所以
，即
，所以
，
因此K 的轨迹是以A 为圆心，
为半径的
圆，所以轨迹长度为
，所以D 错误.
故选：BC．
2．（多选）（2025 高三·全国·专题练习）飘带函数
的图象如图所示，已知图象上两个点A，C
关于原点对称（点
的横坐标
），过点A，C 分别作两坐标轴的垂线得到矩形ABCD，矩形与坐标轴
的交点分别记为
．将图象沿
轴折叠，得到一个
的二面角
，此时
的最小
值记作
；将图象沿
轴折叠，得到一个
的二面角
，此时
的最小值记作
．则下列
结论正确的是（ ）
A．
B．若
，当图象沿
轴折叠时，
C．
D．若
，当图象沿
轴折叠时，
【答案】BD
【分析】分别作出沿
轴折叠和沿
轴折叠的图象，用
表示出
，进而结合基本不等式逐项判断即可
求解.
【详解】将图象沿
轴折叠，得到一个
的二面角
，如图1 所示，连接AD.
∵
，
，
，
平面
，
平面
,
∴
平面
，且
为二面角
的平面角，即
.
∵
平面
,
.∵
，∴
.
由题知
，∴
，
，
∴
，
当且仅当
，即
时等号成立，∴
，故选项A 错误；
当
时，
，故选项B 正确；
将图象沿
轴折叠，得到一个
的二面角
，如图2 所示，连接AB.
∵
，
，
，
平面
，
平面
,
∴
平面
，且
为二面角
的平面角，即
.
∵
平面
,
.∵
，∴
.
由题知
，∴
，
，
∴
，
当且仅当
，即
时等号成立，∴
，故选项C 错误；
当
时，
，故选项D 正确.
故选：BD.
3．（多选）（2025·河北·三模）如图，在矩形
中，
，点
为线段
上的动点（含
点，不含
点），将
沿
折起，使点
翻折至
位置，且二面角
为
，点
为线
段
上的动点，在四棱锥
中，下列说法错误的是（ ）
A．存在点
使得
平面
B．存在点
使得对于任意点
都有直线
和直线
垂直
C．三棱锥
的体积为定值
D．二面角
的正切值的最小值为
【答案】BCD
【分析】对于A 选项,在线段
截取
，利用线段关系证
，在面
作
，由
面面平行判定得面
面
，再根据面面平行性质得
面
；对于B 选项，假设结论成立，
可得
平面
，可得
，结合
，则
面
，但一个直线不能同时垂直
两个相交平面，所以该选项错误；对于C 选项，过
作面
垂线
，过
作
，连
得
二面角
平面角
，设
，用等面积法求
，算
不是定值，即可判断C
选项；对于D 选项，先求
，作
，由相似得
，进而得出二面角
正切表达式，根
据取值求最小值，确定该选项错误.
【详解】在线段
上截取
，由
，
可得四边形
为平行四边形，则
，
又
平面
，
平面
，则
平面
.
在面
内过点
作
，
平面
，
平面
，
则
平面
，又
，则平面
平面
，
又
平面
，
平面
，故A 正确；
若对于任意点
都有直线
和直线
垂直，
平面
，
则
平面
，又
平面
，
，
又
，且
，
平面
，
平面
，显然
不可能同时垂直于两个相交平面，故B 错误；
过
作
面
于点
，过
作
于点
，连接
，
由
面
，
平面
，则
，
又
，
平面
，则
平面
，
又
平面
，则
为二面角
的平面角，
，
设
，则
，
当
时，
重合，不合题意，则
.
在
中，由等面积法可知
，
，
不是定值，故C 错误；
在矩形
中，
，
过点
作
于
，
易得
，
，
设二面角
的大小为
，则
，
当
时，
取最小值
，但是
，则二面角
的正切值的最小值不可能取到
，
故D 错误.
故选：BCD.
4．（多选）（2025·湖南长沙·三模）已知正方体
的棱长为
，
为侧面
内（含边
界）的一个动点，
分别是线段
的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．不存在点
，使得
平面
B．若
平面
，则点
的轨迹长度为
C．若
为侧面
的中心，则四棱锥
的外接球的表面积为
D．当
时，三棱锥
的体积为定值
【答案】BCD
【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，对于ABD，根据位置关系得
所在的轨迹方程，从而计算后
可判断它们的正误，对于C，求出外接球的球心坐标后可求球的半径，从而可求表面积，故可判断其正误.
【详解】
由正方体可建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
，
，
设
，
对于A，
，设平面
的法向量为
，
则
可得
，取
，
则
，若
平面
，则
，
故
即
为
的中点，故A 错误；
对于B，
，
，
设平面
的法向量为
，
则
可得
，取
，
因为
平面
，故
，故
，
故
，故
的轨迹为
中点的连线段，其长度为
，故B 正确；
对于C，设
为四棱锥
的外接球的球心，则可设
，
因
为侧面
的中心，故
，
由
可得：
，
故
，故外接球的半径为
，故其外接球的表面积为
,
故C 正确；
对于D，由A 的分析得
，
，
因为
，故
，故
，
故此时
的轨迹为
的中点
与
的线段，
此时
，而
，故
，
故
，而
平面
，而
平面
，
故
平面
，故
到平面
的距离为定值，
而
的面积为定值，所以三棱锥
的体积为定值，
即三棱锥
的体积为定值，所以D 正确．
故选：BCD.
5．（多选）（2025·山东聊城·二模）如图，棱长为2 的正方体
中，点E，F 分别在棱
上，且
，
，其中
，点
是平面
内的一个动点（异于点
），
且
，则（ ）
A．
B．直线
与平面
所成的角的余弦值为
C．当
变化时，平面
截正方体所得的截面周长为定值
D．点
为
中点时，三棱锥
的外接球的表面积为
【答案】ACD
【分析】以
为原点，
所在直线为
轴，建立空间直角坐标系，由
结合空间向量
的数量积即可判断A；由线面夹角的向量公式即可判断B；作出平面
截正方体所得的截面，结合
，
，即可判断；根据球的表面积公式即可判断D．
【详解】以
为原点，
所在直线为
轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则
，设
，
则
，所以
，
，所以
，
，
，
，
，
，
因为
，所以
，
所以
，故A 正确；
因为
，
，
平面
，
所以
平面
，所以平面
的法向量为
，
则直线
与平面
所成的角的正弦值为
，
所以直线
与平面
所成的角的余弦值为
，故B 错误；
取
上一点
，满足
，则
，
因为
，且
有公共点
，
所以
平面
，又
平面
，平面
平面
，
所以
共线，作出平面
截正方体所得的截面
，
由
，
得
为等腰直角三角形，
同理可得
均为等腰直角三角形，
，
所以截面周长为
为定值，故C 正确；
当点
为
中点时，
，所以
，
，
，
则
，所以
，
所以三棱锥
的外接球的球心在过
中点，垂直于平面
的直线上，
连接
，
因为
，
所以
，所以四边形
为平行四边形，
则
共面，设交点为
，则
，
设球心为
，
，则
，
则
，即
，
解得
，半径为
，表面积为
，故D 正确；
故选：ACD．
6．（多选）（2025·全国·模拟预测）在棱长为2 的正方体
中，
分别为
的中
点，则（ ）
A．
B．若过
的平面
与线段
（不含端点）相交于点
，则平面
截正方体所得截面是五边形
C．若已知过
的平面
平行于平面
，则平面
截正方体所得截面的周长为
D．若
为正方体
表面或内部一点，且
，则三棱锥
体积的最大值
为
【答案】ABD
【分析】根据线面垂直的判定可证明
平面
，即可求A，根据平面的性质即可作出截面判断B，
根据面面平行可得截面为四边形
，即可求解长度判断C，根据线线垂直以及线面垂直得平面
截正
方体所得截面为平行四边形
，即可利用体积公式求解D.
【详解】取
中点为，连接
，
由于
平面
，
平面
，故
，
由于
,故
，又
,故
，
平面
，故
平面
，
平面
，故
，所以A 正确．
如图所示，将线段
向两端延长，分别交
的延长线于点
，
连接
分别交
于
两点，连接
．
平面
截正方体所得截面为五边形
，所以B 正确．
如图所示，取棱
的中点
，连接
，
过点
作直线
交直线
于点
，连接
．
由于
是
的中点，故
,又
，
所以
,
,故四边形
为梯形，
又
平面
，
平面
，故
平面
，
分别是
的中点，故
，
平面
，
平面
，
故
平面
，
平面
，
故平面
平面
，
则平面
截正方体所得截面为梯
．
，
则平面
截正方体所得截面的周长为
，所以C 错误．
满足条件
的动点
的轨迹为过点
且与
垂直的平面
，
又
为正方体表面或内部一点，所以动点
在平面
截正方体所得的截面上运动．
如图所示，取线段
的中点
，连接
，
，
由于
，
故
故
，
由于平面
平面
，
平面
，故
，
平面
，故
平面
，
平面
，则
，同理
．
在正方体中，由于
分别是
的中点，由正方体的性质可得：
，
从而平面
截正方体所得截面为平行四边形
．
当点
在线段
上时，三棱锥
体积最大,且最大值为
，故D 正确．
故选：ABD．
7．（多选）（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在棱长为2 的正方体
中，点
为线段
上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．三棱锥
的体积是
C．
的最小值为
D．直线
与平面
夹角正弦值的最大值为
【答案】ACD
【分析】对A，以
为原点建系，设
，利用坐标计算
；对B，由
求
解；对C，展开
使其与
在同一平面，根据两点之间直线最短计算；对D，得出平面
的一个法向量为
，计算
的最大值．
【详解】以
为坐标原点，
分别为
轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
所以
，
，
，
设
，
，则
，
则
，故
，故A 正确；
因
平面
，则平面
的一个法向量为
，
则
，
当
时，
有最小值
，
有最大值
，
故直线
与平面
夹角正弦值的最大值为
，故D 正确；
因平面
平面
，
平面
，则
平面
，
所以
，故B 错误；
因
平面
，则展开
使其与
在同一平面，如图，
则
的最小值为
，
因
为边长为
等边三角形，
是腰长为
的等腰三角形，
则
为
的中点，则
，故C 正确.
故选：ACD．
8．（多选）（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，在棱长为2 的正方体
中，
，
分别为
棱
，
的中点，
，
分别为线段
，
上的动点，则（ ）
A．异面直线
与
所成角的余弦值为
B．三棱锥
体积的最小值为2
C．当
平面
时，线段
的最小值为
D．存在点
，
，使得
【答案】AD
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线
与
所成角的余弦值判断A；利用
，可知
到平面
的距离最短时，体积最小，进而求解判断B；设
，
，
，
，平面
的一个法向量为
，利
用已知可得
，进而求得线段
的最小值判断C；根据
时，有解判断D.
【详解】以
为原点，
，
，
所在直线分别为
，
，
轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
，
.
对于A，
，
，
所以
，
所以异面直线
与
所成角的余弦值为
，故A 正确；
对于B，因为
，
的面积为定值，
所以当点
到平面
的距离最短时，三棱锥
的体积最小，
显然当点
与点
重合时，点
到平面
的距离最短，则最短距离为
，
所以三棱锥
体积的最小值为
，故B 错误；
对于C，
，
，
设
，
，
，
，
则
，
，所以
，
因为
平面
，所以平面
的一个法向量为
，
若
平面
，则
，即
，则
，
所以
，
，
所以
，
当
时，
，故C 错误；
对于D，
，由C 选项可知
，
若
，则
，
即
，则
，
又
，
，存在满足
的解，故D 正确.
故选：AD.
9．（多选）（2025·湖南郴州·一模）在棱长为的正方体
中，点
在侧面
所在平
面内运动，
为
的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．当
在线段
上运动时，恒有
B．当
为正方形
的中心时，
与
所成角的正弦值为
C．若点
满足
，则平面
截正方体所得的截面面积为
D．直线
和
与平面
所成的角相等时，动点
的轨迹为圆
【答案】ACD
【分析】以点
为坐标原点，
、
、
所在直线分别为
、
、
轴建立空间直角坐标系，利用空
间向量法逐项判断即可.
【详解】以点
为坐标原点，
、
、
所在直线分别为
、
、
轴建立空间直角坐标系，
对于A 选项，如下图所示：
则
、
、
、
、
，
设
，其中
，则
，
所以
，
，
所以
，故
，A 对；
对于B 选项，当
为正方形
的中心时，则
、
，
，
，
所以
，
故
，
故当
为正方形
的中心时，直线
、
所成角的正弦值为
，B 错；
对于C 选项，如下图所示：
设平面
交棱
于点
，
因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
平面
，所以
，
故平面
截正方体所得截面为梯形
，
又因为
，结合等角定理可得
，
因为
，故
为等腰直角三角形，故
，
易知点
，
，
，
所以点
到直线
的距离为
，
所以截面面积为
，C 对；
对于D 选项，设点
，
，
，
易知平面
的一个法向量为
，
由题意可得
，即
，
即
，化简得
，
故当直线
和
与平面
所成的角相等时，动点
的轨迹为圆，D 对.
故选：ACD.
10．（多选）（2025·湖北襄阳·模拟预测）在棱长为2 正方体
中，
为
的中点，
是
侧面
内的一点（包含边界），则以下结论正确的是（ ）
A．若
，则点
的轨迹长度为
B．
与
所成角的最大值为
C．若三棱锥
的体积为
，则点
的轨迹长度为
D．若
在线段
上，则三棱锥
的外接球表面积的取值范围是
【答案】ACD
【分析】分析可知
，根据勾股定理可得
，进而可知点
的运动轨迹是以
为圆心，为半
径，圆心角为
，即可判断选项A；连接
，
，
，
，易得
为等腰三角形.当点
为
的中点时，
，故
，此时
与
所成角为
，即可判断选项B；由
可知
平面
，故点
的轨迹为线段
，即可判断选项C；设
，易
知当点
为
的中点时，
最大，此时
；当点F 与点C 或点
重合时，
最小，此时
，
所以
，故由正弦定理可得
的外接圆直径
，进而可求三棱
锥
的外接球的半径的范围，即可判断选项D.
【详解】∵点
在侧面
内，∴
平面
.
∵
平面
，
平面
，∴
.
在
中，由
可得
.
∴点
的运动轨迹是以
为圆心，为半径，圆心角为
，
∴点
的轨迹长度为
，故选项A 正确；
如图所示，连接
，
，
.
在
中，
.
同理可得
，∴
为等腰三角形.
当点
为
的中点时，连接
，此时有
.
在正方体中易知
，∴
，此时
与
所成角为
，故选项B 错误；
∵
，∴
平面
，
∴点
的轨迹为线段
，∴点
的轨迹长度为
，故选项C 正确；
设
，易知当点
为
的中点时，
最大.
取
的中点
，则
，
，
∴
；
当点F 与点C 或点
重合时，
最小，此时
，所以
.
∵
，
，
在球面上，∴
的外接圆直径
.
∴三棱锥
的外接球的直径为
，
∴三棱锥
的外接球的半径
，
∴三棱锥
的外接球的表面积为
，故选项D 正确.
故选：ACD.
