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专题 圆锥曲线压轴大题题型归纳 近三年： 1、圆锥曲线解答题是近3 年高考数学的压轴题或次压轴题，分值高，综合性强，难度大，是区分考生数 学能力和学科素养的关键题型。 其考查内容稳定，核心围绕“几何条件代数化”与“代数运算结构化”展开。 2、从近几年高考命题来看，圆锥曲线大题的考查呈现出稳定的模型化特征： 题型结构稳定： 通常以两问形式呈现。第一问多为求标准方程，考查定义与基本量计算；第二问为综合 论证与探究，考查直线与圆锥曲线的位置关系，涉及定点、定值、范围、最值、存在性等问题。 核心方法固定： “设线联立消元，韦达定理搭桥”是解决第二问的通用流程。解题的关键在于将题目中的几 何条件（如垂直、共线、角度、面积等）翻译成关于直线与曲线交点的坐标（或韦达定理结果）的代数关 系式。当然遇到特殊问题时，可以考虑用齐次式、定比点差法、非对称韦达等方法去解决问题。 运算能力至上： 在明确的解题思路下，能否准确、高效地完成复杂的代数运算是取得高分的基础。运算 过程中涉及大量的多项式展开、合并、因式分解，以及巧妙的整体代换。 预测2026 年： 圆锥曲线大题的命题将保持其稳定中有创新的特点，具体趋势如下： 1.模型内核不变，设问方式创新： “直线联立曲线”的核心模型不会改变，但设问角度将更加灵活。例如， 定点定值问题可能隐藏得更深，或与向量、平面几何定理更紧密地结合。 2.对几何转化能力要求更高： 题目中给出的原始条件可能不是直接的垂直或共线，而是需要通过几何性质 （如角平分线、中位线、相似、圆的性质）进行一步或几步转化，才能得到可用的代数关系。“几何优先” 的分析策略将越发重要。 3.运算设计更具导向性： 计算量依然会保持较大，但运算过程会设计得更具“结构性”，引导考生使用韦达 内容导航 热点解读 题型突破 限时训练 热点内容解读 深度剖析 解读热点：分析解读热点考查内容，精准预测命题方向。 热点题型突破 逐一剖析 解题归纳：对热点的各类题型逐一突破，归纳解题方法与技巧。 热点限时训练 模拟实战 巩固提升：限时完成题目训练，提升解题能力。 定理进行整体代换，或利用对称性简化运算。死算、硬算将难以完成。 4.与导数、函数知识的结合可能重现： 在求解范围、最值问题时，可能会涉及构造函数并利用导数工具进 行分析，提升问题的综合深度。 5.探索性、开放性增强： 如“是否存在常数λ 使得某结论成立”或“请指出点的位置，并证明”等设问，考查 学生的探究与逆向思维能力。 题型01 弦长、面积最值 解｜题｜策｜略 求弦长、面积最值这类问题的核心是：将几何量（弦长、面积）表示为某个变量的函数，然后通过代数 方法求该函数的最值。 一、设参建模 设直线：根据题意设出直线方程。如果直线过定点，使用点斜式 y = k( x - x ₀) + y ₀ 最为常 见。如果直线与y 轴平行，需单独考虑。 设交点：设出直线与圆锥曲线两个交点的坐标 A( x₁, y ₁), B( x₂, y ₂)。 二、联立方程 将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去 x 或 y，得到一个关于 x (或 y) 的一元二次方程。 三、表达目标量 1、弦长公式 设M ( x1 ，y1)，N ( x2 ，y2)根据两点距离公式| MN |= ❑√( x1- x2) 2+( y1- y2) 2． ①设直线为y =kx +m上，代入化简，得| MN |= ❑√1+ k 2|x1- x2|; ②设直线方程为x =ty +m，代入化简，得| MN |= ❑√1+t 2|y1- y2| 2、三角形的面积 ①S Δ= 1 2 ×底·高（通常选弦长做底，点到直线的距离为高） ②SΔ= 1 2 ×水平宽·铅锤高 ③在平面直角坐标系xOy中，已知△OMN的顶点分别为O(0 ，0)，M ( x1 ，y1)，N ( x2 ，y2)， 三角形的面积为S = 1 2|x1 y2- x2 y1|． 四、求最值 目标量（弦长或面积）通常表示为一个关于参数（如斜率 k）的函数 f (k )。 定义域优先：在求最值前，必须确定参数的取值范围。 常用求最值方法： 配方法：适用于二次函数。 基本不等式法：适用于能化为 a + b ≥ 2❑√ab 或 ab ≤ ( a+b 2 ) 2 形式的结构，特别注意“一正 二定三相等”。 导数法：当函数形式复杂（如分式、高次）时，这是最通用的方法。求导，找驻点，判断单调性。 1．（2025·全国一卷·高考真题）已知椭圆 的离心率为 ，下顶点为A，右顶点 为B， ． (1)求C 的方程； (2)已知动点P 不在y 轴上，点R 在射线AP 上，且满足 ． （i）设 ，求 的坐标（用m，n 表示）； （ⅱ）设O 为坐标原点， 是C 上的动点，直线OR 的斜率为直线 的斜率的3 倍，求 的最大值． 2．（2025·安徽安庆·模拟预测）已知椭圆 ： 的离心率为 ，过椭圆的焦点且与短 轴平行的弦长为1. (1)求椭圆 的方程； (2)设点M 为椭圆上位于第一象限内一动点，A，B 分别为椭圆的左顶点和下顶点， （i）求点M 到直线 距离的最大值； （ii）设直线 与x 轴交于点C，直线 与y 轴交于点D，求 面积的最大值. 3．（2025·四川达州·模拟预测）过抛物线 的焦点作平行于 轴的直线被抛物线 截得的 弦长为4，已知点 ，设过点 的直线与抛物线 交于点 ，且直线 交抛物线 于点 （点 与点 不重合）. (1)求抛物线 的方程； (2)设直线 交以 为直径的圆于点 ，求 的最小值. 题型02 面积比 解｜题｜策｜略 求面积比的核心在于将面积的比值转化为线段比、坐标比或直接面积表达式之比，然后利用韦达定理和 “设而不求”的思想进行整体代换，最终化为一个变量的函数来求解或证明定值、或求范围。 1.利用几何关系转化比值 共线或共点三角形：如果两个三角形有公共顶点或底边在同一直线上，它们的面积比往往等于对应底边 或高线的比值。这是最有效的简化方法。 平行线：题目中若存在平行线，必然产生相似三角形，要充分利用其带来的比例关系。 分解复杂图形：对于复杂的多边形面积比，可以将其分割成若干个三角形面积之和或差，然后分别计算 这些三角形的面积，再求比值。 2.“设而不求”的极致运用 不仅对交点坐标“设而不求”，对于比值中出现的复杂项，有时可以将其视为一个整体，在化简过程中 可能会被约去，从而避免繁琐的计算。 3.变量归一化 当问题中有多个变量时，要努力利用已知条件（如点共线、线垂直等）找到变量之间的关系，减少自由 变量的个数，最终将比值化为单变量函数或常数。 1．（2025·北京·高考真题）已知椭圆 的离心率为 ，椭圆E 上的点到两焦点的距 离之和为4. (1)求椭圆E 的方程； (2)设O 为坐标原点，点 在椭圆E 上，直线 与直线 ， 分别交 于点A，B．设 与 的面积分别为 ，比较 与 的大小． 2．（2025·广东茂名·二模）已知双曲线 的实轴长为 ，离心率为 . (1)求双曲线 的标准方程： (2)过点 的直线与 的左、右两支分别交于 ， 两点，点 ，直线 与直线 交于点 . （i）证明：直线 的斜率为定值； （ii）记 ， 分别为 ， 的面积，求 的取值范围. 3．（2025·上海浦东新·三模）已知曲线 ，第一象限内点 在曲线 上. 、 ，连 接 并延长与曲线 交于 点， .以 为圆心， 为半径的圆与线段 交于点 ， 记 ， 的面积分别为 ， . (1)若 ，求点 的坐标； (2)若点 的坐标为 ，求证 ； (3)求 的最小值. 题型03 三点共线问题 解｜题｜策｜略 在圆锥曲线大题中证明三点共线是一个经典问题。其核心思想是：将几何共线关系转化为代数关系式。 利用三点 A( x₁, y ₁),B( x₂, y ₂),C( x₃, y ₃)共线的充要条件：任意两点的斜率相等，或 向量 共线，或 点 C 满足直线 AB 的方程。 一、 斜率相等：从三点中任意选择两点构成两条直线，证明两直线斜率相等，注意斜率不 存在的情况。 二、 向量共线：如果向量 ⃗AB 与向量⃗AC（或 ⃗BC）共线（即平行），则 A ,B ,C 三点共线。 三、 点在直线上：求出直线 AB 的方程，然后证明点 C 的坐标满足该方程。 1．（2025·宁夏·三模）已知抛物线 的焦点 与椭圆 的上顶点重合，点 为坐 标原点. (1)求抛物线 的标准方程及其准线方程； (2)过点 的直线交抛物线 于 两点，且 ，求直线的方程； (3)设点 是抛物线 的准线上任意一点，直线 分别与抛物线 相切于点 ，证明： 三点 共线. 2．（2025·山东泰安·模拟预测）已知双曲线 的中心为坐标原点，过点 ，其中一条渐近线的方程为 . (1)求双曲线 的方程； (2)设双曲线 的左、右顶点分别为 ，过点 的直线交双曲线 于 、 两点.直线 与直线 交于点 ，证明： 三点共线. 3．（2025·辽宁·模拟预测）设椭圆方程为 为其左右焦点，过椭圆上点 的椭圆切线方程为 (1)求出椭圆方程； (2)设点 ，点 为椭圆右顶点，过 作椭圆的不与轴垂直的切线，切点为点 ， 求证： 三点共线． 题型04 四点共圆 解｜题｜策｜略 以四点共圆为背景的圆锥曲线大题是压轴题中的经典类型，最经典例题为2021 年新高考I 卷中的21 题。其核心在于 “如何将几何的圆问题转化为可操作的代数条件” 。 四点共圆中常用的几何性质有以下几点 一、对角互补 当四点在某种对称结构下，常可简化为两组对边的斜率互为相反数。则直接转化为直线的斜率关系，非 常适合与韦达定理结合。 二、相交弦定理（幂定理） 若四点共圆，两条弦AC ，BD相交于P点，满足 PA · PB = PC · PD。 对于四点共圆问题，要建立起强大的信心：它看似是“圆”的问题，但本质上是通过一些优美的几何定 理（如对角互补），被转化成了一个纯粹的直线斜率关系问题，从而能够完美地融入我们熟悉的韦达定 理和“设而不求”的框架中予以解决。 1．（2025·广东·模拟预测）已知抛物线 的焦点为F，点 在 上，且 ． (1)求抛物线 的方程； (2)直线l 经过点F，且与 交于A、B 两点． ①点P 是抛物线上位于A、B 之间的动点，设点P 到直线l 的距离d 的最大值为 ，求 的最小值； ②设线段 的垂直平分线与 交于M、N 两点，若A、M、B、N 四点共圆，求直线l 的方程． 2．（2025·陕西西安·二模）已知 为椭圆 的右焦点，过点 作与 轴平行的直线，该直线与椭圆 交于 两点（点 在第一象限），当 时， . (1)求椭圆 的标准方程； (2)若直线 与 轴交于点 ，证明： 四点共圆. 3．（2025·湖北鄂州·一模）已知抛物线 ，点P 是W 上位于第一象限内的一点，过P 作W 的切 线交y 轴于点Q.过原点O 作PQ 的平行线交W 于点A，过A 作OP 的平行线交W 于点B，BP 交OA 于点N. (1)求 的最大值； (2)证明：直线QN 经过AB 的中点； (3)若OQAB 四点共圆，求P 点的坐标. 题型05 定点问题 解｜题｜策｜略 圆锥曲线中的定点问题是绝对的核心考点。其本质是：证明无论参数如何变化，某条直线恒过某个定 点，或某个动点恒在一条定直线上。 核心思想：找到动直线（或动点）方程中参数（如斜率k）的“不变部分”。将方程整理为关于参数的 恒等式，令其系数为零，即可求出定点（或定直线）。 一：直接推导 1.设参：设出动直线的方程。通常已知直线过某个定点或已知斜率，常用点斜式：y = kx + m。 2.寻找关系：利用题目条件（如直线与圆锥曲线相切、相交，或与其他几何条件如垂直、中点等相 关），找到一个关于k和m的关系式。 3.消参定型：将找到的k和m关系式代回原始的直线方程y = kx + m中。得到只含一个参数的解析 式。 关键步骤：将此方程整理为关于参数k 的方程，要使这个方程对所有k值都成立，则k 的系数和常数项 必须同时为零。 对于y - C = k( x - D)形式，定点显然是(D, C)。 对于更复杂的形式，将方程按k 的幂次项整理，令各项系数为零，解方程组即可求出定点(x, y)。 二：先猜后证法 当直接推导复杂或难以进行时，此方法能指明方向，简化计算。 猜定点：特殊位置法：取参数（如斜率k）的两个特殊值（如0,斜率不存在（竖直直线）,1,-1 等）， 画出两条对应的特殊位置直线。求交点：解这两条特殊直线的交点，该点即为猜測的定点(x0, y0)。 证定点：则动直线的方程可以化简为y - y0 = f (k )( x - x0)。（f (k )为参数k的解析式） 1．（2025·甘肃定西·模拟预测）已知双曲线 与双曲线 有共同的渐 近线，且 的焦距为4. (1)求 的方程； (2)过 的左焦点 且斜率为 的直线与 的左支交于 两点. （i）求 的取值范围； （ii）记点 ，直线 与 的右支分别交于点 ，证明：直线 过定点. 2．（2025·重庆·三模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，焦距为 ， 虚轴长为 ，左、右顶点分别为 、 ， 为直线 上一点，直线 与直线 分别与 交于另一 点 、 （不与 、 重合），设直线 的方程为 . (1)求 的标准方程. (2)证明： 且 . (3)试问直线 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 3．（2025·山东·模拟预测）已知双曲线 ，过点 作两条互相垂直的 直线 . (1)求两条直线 与双曲线 的交点个数，并说明理由； (2)若 ，直线交 于 两点，直线 交 于 两点， 分别为弦 和 的中点，证明：直 线 过定点. 题型06 点在定直线上 解｜题｜策｜略 将动点的坐标表示为某个参数（通常是斜率 k）的函数，然后 消去这个参数，得到一个关于 x , y 的二元一次方程，即为定直线方程。 主要步骤为：1、设参并表示动点2、建立关系3、消参4、得到定直线方程 在解题过程中，可以使用几何性质转化，先猜后证等方法帮助解决计算问题 1．（2025·湖南岳阳·三模）已知抛物线 的顶点在坐标原点 处，对称轴为 轴，且过点 ， ， 是 上两个动点． (1)求抛物线 的标准方程； (2)已知 是 上一点，且 的焦点 为 的重心，设 的横坐标为，求的取值范围； (3)已知 为直线 在第二象限内一点，直线 ， 与抛物线 分别相切于 ， 两点，设 ， 与 轴分别交于 ， 两点，证明：直线 与直线 的交点在定直线上． 2．（2025·甘肃白银·二模）已知抛物线 的焦点为F，点 是C 上一点，且 ， 记O 为坐标原点，过点F 的直线与C 相交于A，B 两点． (1)求抛物线C 的方程与准线l 的方程； (2)求 的最小值； (3)已知P，M 分别是抛物线C 与准线l 上的动点，若C 在点P 处的切线 交y 轴于点Q，且 ， 试判断点N 是否在定直线上，若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由． 3．（2025·浙江·二模）已知 是椭圆 的右焦点，椭圆离心率 ，且椭圆上任意 一点与点 距离的最大值为3. (1)求椭圆 的方程； (2)点 在椭圆 上，椭圆在点 处的切线 交 轴于点 . ①求 的最小值； ②设 分别为椭圆 的左､右顶点，不垂直 轴的直线 交椭圆于另一点 ，直线 与直线 交 于点 ，问直线 与直线 的交点 是否在一条定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，请说明理 由. 题型07 定值问题 解｜题｜策｜略 将待证的目标量（如斜率积、线段乘积、面积等）用参数（通常是斜率k）表示出来，通过代数运算消 去参数，若结果是一个常数，则定值得证。 常见的定值类型有： 1、斜率的和、积、比为定值 2、线段长度、乘积或倒数和为定值 3、面积为定值 4、向量数量积为定值 “先猜后证”：取参数的特殊值（如k =0,k =1,k →∞），快速计算出目标量的值。这个值很可能就是 定值。这不仅能预知结果、增强信心，还能用来验证最终化简结果是否正确。 “设而不求”的极致运用：不仅对交点坐标“设而不求”，对于复杂的中间量，也保持其整体形式，在 后续运算中可能会相互抵消。 参数关系式的挖掘：定值问题的核心往往在于题目中隐藏的参数关系。 1．（2025·广东广州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点 ，点 为圆 上任意 一点，线段 的垂直平分线交半径 于点 ，当点 在圆上运动时，记点 的轨迹为 . (1)求 的方程； (2)若点 ，试判断直线与 的位置关系，并说明理由； (3)设点 为圆 上异于 和 的任意一点，若直线与直线 分别交于点 ，求证： 两点的纵坐标之积为定值. 2．（2025·浙江杭州·一模）已知 是椭圆 的右焦点，过 作直线交椭圆于 两点，其中 在 轴上方.当 轴时， . (1)求椭圆 的标准方程； (2)设 ， （i）求证： ； （ii）设点 在椭圆 上，点 是 的外接圆与椭圆 的另一个交点（异于 ），若 平分 ， 且 ，求 的值. 3．（2025·浙江·三模）已知双曲线 （ ， ）的焦距为 ，右顶点为A，直线l 与双 曲线E 相交于P，Q 两点，且与E 的一条渐近线相交于点 ． (1)求双曲线E 的方程； (2)是否存在直线l，使得 与 的面积相等？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由； (3)若直线AP，AQ 分别与y 轴相交于M，N 两点，证明： 为定值． 题型08 斜率定值问题 解｜题｜策｜略 斜率的和、积、商为定值问题。 常规的解决问题的方式依然是从1、设参；2、根据题目条件得到式子；3、化简算出定值 来解决。 定值模型： 1、已知P(x0, y0)是圆锥曲（椭圆、双曲线或抛物线）上的定点，不过P点的直线l交曲线于 A 、B两点，若k PA+ k PB=0,则k AB 为定值且有 k AB+ k P=0(k P 为P 点处切线的斜率） 2、根据圆锥曲线第三定义的拓展，椭圆与双曲线上有关于原点对称的两点A，B，则异于 A、B 的点P 有k PA∙k PB=e 2-1(斜率均存在的情况) 1．（2025·四川成都·模拟预测）在直角坐标系 中，设 为抛物线 ： （ ）的焦点， 为抛物线 上位于第一象限内的点.当 时，有 . (1)求抛物线 的方程； (2)设直线 与抛物线 的另一个交点为 ，点 ， 在直线 上的射影分别为点 ， ，过点 且与 垂直的直线与直线 相交于点 ，证明： 是线段 的中点； (3)设过定点 的直线与抛物线 交于 ， 两点.若 ，且 ， 两点的横坐标均与点 的横坐标不相等，试判断直线 ， 的斜率之积是否为定值.如果是定值，请求出该定值；如果不是定值， 请求出其取值范围. 2．（2025 高三·全国·专题练习）已知椭圆 ： 的短轴长为2， ， 分别是 的左、 右顶点， 为坐标原点， 的中点为 ，过点 的直线与 交于 ， 两点. (1)当 轴时，求 . (2)若 ，且直线的斜率大于0， （i）求 的方程； （ii）证明：直线 与 的斜率之比为定值. 3．（2025·四川·模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，左、右焦点分别为 ， 上、下顶点分别为 ，且四边形 的面积为 ． (1)求椭圆 的方程； (2)设 为椭圆上异于 的两点，记直线 的斜率分别为 ，且 ． ①证明：直线 过定点 ； ②设直线 与直线 交于点 ，记直线 的斜率为 ，求 的值． 4．（2025·安徽安庆·模拟预测）已知椭圆 的右焦点为 ，右顶点为 ，直线 与 轴交于点 ，且 ． (1)求椭圆 的方程． (2)设点 为直线 上的动点，过 作 的两条切线，分别交 轴于点 ．证明：直线 的 斜率成等差数列． 题型09 定比点差法 解｜题｜策｜略 定比点差法是解决圆锥曲线中涉及线段定比分点或中点问题的一柄利器。它绕开了传统的联立和韦达定 理，直接从点的坐标关系入手，具有思路清晰、计算简捷的特点。 核心思想：“设分点，代曲线，作差化简” 直线与圆锥曲线相交于A、B 两点，若P 点满足线性关系⃗A P = λ⃗P B（λ≠-1),，通过将 A，B 坐标代 入曲线方程，然后利用定比分点坐标公式作差，直接建立起点 P( x1+ λ x2 1+ λ ，y1+ λ y2 1+ λ ) 坐标与斜 率 k AB 的关系，从而解决问题。 定比点差法通过巧妙地构造方程间的加权差，利用平方差公式和定比分点公式，直接沟通了分点坐标、 曲线参数和弦的斜率，实现了“化曲为直”，是解决此类结构化问题的典范方法 1．（2025·全国·模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，左、右顶点分别 为 ， ，点 在椭圆 上，满足直线 的斜率之积为 ，且 面积的最大值为2． (1)求椭圆 的方程； (2)过点 的直线与椭圆 交于 两点，同时与直线 交于点 ，假设 ， ，判断 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 2．（2025·浙江·二模）已知椭圆 ，过 作椭圆 在第四象限的切线，其中切点为 . 设 是椭圆第一象限上的动点 ，过 作椭圆 的另一条切线 ，交 轴于 点. (1)求切线的方程； (2)过 点垂直于 轴的直线与直线 交于 点，求 面积的最大值； (3)直线 和切线相交于 点，过 点作 的平行线交切线于 点.问：是否存在实数 ，使得 成立？若存在，求出 的值，若不存在，说明理由. 3．（2025·湖南·模拟预测）已知抛物线 焦点为F，准线为， 为E 上一点， ，垂足为M，且 . (1)求E 的标准方程； (2)过点 （其中 ）且斜率为k 的直线与E 交于 ， 两点，C，D 是E 上的两点 （异于A，B），且满足 ， . （i）证明： ， ； （ii）是否存在k 和a，使得 ?若存在，求k 和a 的所有取值；若不存在，请说明理由. 题型10 双切线 解｜题｜策｜略 高考题当中，通常以圆锥曲线内接三角形当中两条边与一个圆相切时，证明第三条边也与圆相切，这里 我们就需要用到同构方程，再利用点到直线距离证明其等于半径.其背景为彭赛列闭合定理。（典型例题 2021 年全国甲卷理科20 题） 1．（2025·河北·模拟预测）抛物线 的焦点为 ，其上有两点 、 ， ， 与 轴正半 轴交于点 . (1)求以 为直径的 的方程； (2)证明：取抛物线上的一点 （ 的横坐标不为1），总有该抛物线上的另外两点、 ，使 为 的内切圆. 2．（2025·上海·模拟预测）已知抛物线 ： ，圆 ： ，O 为坐标原点. (1)求抛物线 的焦点坐标和准线方程； (2)已知点 ，M、N 是抛物线 上的两个点，满足直线 ， 均与圆C 相切，判断并证明直线 与圆C 的位置关系； (3)若直线l： 分别与抛物线 交于点 ， ，与圆C 交于点 、 ，且 与 面积相等，求m 的取值范围. 3．（2024·湖北荆州·模拟预测）已知等边 三个顶点均在抛物线 上，其中 是坐标原 点，且 的内切圆 的半径 . (1)求抛物线 及圆 的方程； (2)如果过抛物线上一点 可以作圆 的两条切线，且两条切线分别交抛物线 于不同于 的两点 ，试 判断此时直线 与圆 的位置关系. （建议用时：120 分钟） 1．（2025·河北邯郸·一模）已知椭圆 的离心率为 ，短轴的一个顶点到长轴的一 个顶点的距离为 ， 为坐标原点， . (1)求 的方程； (2)若 上存在不关于 轴对称的两点 ，使得 恰好被 轴平分，求 面积的取值范围； (3)过 的直线 与 交于不同的两点 椭圆在 两点处的切线相交于 为线段 的中点，证明： 三点共线. 2．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，且点 到 的渐近线的距离为2． (1)求 的方程； (2)记 的左顶点为 ，过点 的直线l 与 交于 两点（异于点 ）． （ⅰ）证明：直线 的斜率之积为定值； （ⅱ）过点E 分别作直线 垂线，垂足分别为 ，记 ， 的面积分别为 ，求 的最大值． 3．（2025·广东茂名·一模）在平面直角坐标系 中，椭圆 的长轴长为4，离心率 为 ，直线交 于 两点. (1)求 的方程； (2)若直线过 的右焦点，当 面积最大时，求 ； (3)若直线不过原点， 为线段 的中点，直线 与 交于 两点，已知 四点共圆，证明： . 4．（2025·浙江金华·一模）如图，已知点 到两点 ， 距离的乘积为8，点 的轨迹记为曲 线 ， 与 轴交点分别记为 ． (1)求曲线 的方程； (2)求 的周长的取值范围； (3)过 作直线分别交 于两点 ，且 ，若 的面积为18，求 的最小值． 5．（2025·四川成都·三模）如图，在直角坐标系 中，已知 是拋物线 的焦点，过点 的直线交抛物线 于 ， 两点，且满足 . (1)求 的值； (2)已知点 ，直线 ， 与拋物线 的另一个交点分别为 ， ，直线 交 轴于点 ，交直线 于点 .抛物线 在 ， 处的切线交于点 ，过点 作平行于 轴的直线，分别交直线KD， 于点 ， . （i）求证：点 为定点； （ii）记 ， 的面积分别为 ， ，求 的最小值. 6．（2025·云南·模拟预测）已知双曲线 的一条渐近线的方程为 ，点 在 上．过直线 上一点 作 的两条切线，切点 都在 的右支上．直线 与 轴交于点 ． （参考结论：二次曲线 在曲线上某点 处的切线方程为 ） (1)求双曲线 的方程； (2)设 在直线上的投影分别为 ．记 ， ， 的面积分别为 ，证明： 成等比数列． 7．（2025·云南·模拟预测）已知M，m 分别为五个实数 的最大值和最小值.若从这五个数中去 掉 后，求得它们的平均数为90.5.若从这五个数中去掉 后，求得它们的平均数为91.记 (1)求焦点为 ，准线方程为 的抛物线 的标准方程； (2)在（1）的条件下，若点 为 上一点，A，B 为 上异于点 的两个动点，且 ，求证：直 线 恒过定点. 8．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知圆 ，圆 .若动圆 与圆 外切，且 与圆 内切，设动圆圆心 的轨迹为 .不过原点O 的动直线与曲线 交于 两点，平面上一点 满足 ，连接 交 于点 （点 在线段 上且不与端点重合），若 . (1)求轨迹 的方程； (2)试问：直线OA，OB 的斜率乘积是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由. (3)试问：四边形 的面积否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由. 9．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知中心在原点，焦点在 轴上的圆锥曲线 的离心率为2，过 的右焦 点 作垂直于 轴的直线，该直线被 截得的弦长为6. (1)求 的方程； (2)若面积为12 的 的三个顶点均在 上，边 过 ，边 过原点，求直线 的方程； (3)已知 ，过点 的直线与 在 轴右侧交于不同的两点 ， ，上存在点满足 ，且 ，试求的范围. 10．（2025·四川成都·三模）如图，在平面直角坐标系 中，已知点 （异于点 ）在抛物线 上，且满足 . (1)证明：直线 过定点 ； (2)若 ，分别以 为直径作 与 ，过点 的直线与 分别交于点 ，求 的最大值； (3)在（2）的条件下，设 是抛物线 上的三个点，直线 均与 相切，判断直线 与 的 位置关系，并说明理由.
