专题07 平面解析几何
7 大考点概览
考点01 直线与圆
考点02 椭圆
考点03 双曲线
考点04 抛物线
考点05 圆锥曲线定值定点问题
考点06 圆锥曲线范围问题
考点07 圆锥曲线综合问题
1．（2026·辽宁大连·二模）已知点A (x , y)在直线y =2 x +1上，点B( x1, y1)在直线y =2 x−1上，
且⃗AB =(x0, y0)，则2 x0−y0的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．与x0、y0的具体值有关
2．（2026·吉林G35 联合体·二模）已知圆O：
(x −1)
2+ y
2=r
2，则“点M (2,1)在圆O外”是“点
N (0,2)在圆O外”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
3．（2026·内蒙古包头·二模）直线y =kx + 4与圆M :( x −3)
2+( y −4)
2=16的交点为A，B，若
∠AMB =120°，则k的值为（ ）
A．± 2❑√3
3
B．±2❑√3
C．± 2❑√5
5
D．±2❑√5
4．（2026·吉林梅河口五中·二模）已知直线l: y =kx +2与圆C :(x−❑√3)
2+( y +1)
2=12相交于
A 、B不同两点，劣弧´AB所对的圆心角为∠ACB，若∠ACB< 2π
3
，则实数k的取值范围为
（ ）
A．(−❑√3,+ ∞)
B．(−❑√3,❑√3)∪(❑√3,+∞)
考点1
直线与圆
C．(−
❑√3
3 ,+ ∞)
D．(−
❑√3
3 ,
❑√3
3 )∪(
❑√3
3 ,+∞)
5．（2026·内蒙古包头·二模）已知A (1,0),B (4,0)，若圆C :(x−a)
2+( y −a−1)
2=8上总存在点P
满足|PA)= ❑√2|PB)，则实数a的取值范围是（ ）
A．(−∞,0)
B．[0,6)
C．(0,6)
D．(−∞,0)∪[6,+∞)
6．（2026·辽宁盘锦高级中学·二模）圆x
2+ y
2−4 x−4 y + 4 =0与圆x
2+ y
2−4 =0的公共弦所在直
线方程是（ ）
A．x + y +2=0
B．x + y −2=0
C．x + y +1=0
D．x + y −1=0
7．（2026·东北三省三校·二模）过P(1,2)引直线l,与圆C：
(x −3)
2+( y −4)
2= 4相切于Q,则|PQ)=
__________.
8．（2026·哈尔滨三中·二模）已知圆C经过点A (2,5)，且与直线4 x−3 y +6=0相切于点B (3,6)，
则圆C的标准方程为______．
1．（2026·哈尔滨三中·二模）方程
x
2
2m−3 +
y
2
2−m =1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范
围为（ ）
A．(
3
2 ,2)
B．(
5
3 ,2)
C．(
3
2 , 5
3)
D．(
5
3 ,+ ∞)
2．（2026·吉林长春六中·二模）已知椭圆C : x
2
8 + y
2
7 =1的左、右两个焦点分别为F1、F2，P是C
上的动点，Q是圆E: x
2+ y
2−4 x−8 y +19=0上任意一点，则|PQ)−|P F2)的最小值为（ ）
A．4−4 ❑√2
B．5−4 ❑√2
C．4−2❑√2
D．4 +2❑√2
3．（2026·东北三省三校·二模）已知椭圆C：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1
,F2
,M
考点2
椭圆及其性质
为椭圆上一点,若⃗M F1=2⃗MH,⃗M F1⋅⃗H F2=0,则C 的离心率的取值范围是（ ）
A．[
1
2 ,1)
B．(
1
2 ,1)
C．[
1
3 ,1)
D．(
1
3 ,1)
4．（2026·辽宁辽阳·二模）（多选）已知直线l: y =kx (k ≠0)与椭圆C : x
2
2 + y
2=1交于A、B两点，
AE⊥x轴，垂足为E，AG⊥y轴，垂足为G，直线BE与椭圆C的另一个交点为P，直线BG与椭
圆C的另一个交点为Q，则下列结论正确的有（ ）
A．直线BG的斜率等于直线BE的斜率的4倍
B．∠QAB可能是直角
C．∠PAB一定是直角
D．四边形AEBG的面积最大值是❑√2
5．（2026·内蒙古兴安盟·二模）（多选）加斯帕尔•蒙日（图1）是18～19 世纪法国著名的几何学
家,他在研究圆锥曲线时发现:椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上,其圆心是椭圆
的中心,这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．已知长方形R 的四边均与椭圆C : x
2
6 + y
2
3 =1相切,则下
列说法正确的是（ ）
A．椭圆C 的离心率为e =
❑√2
2
B．椭圆C 的蒙日圆方程为x
2+ y
2=6
C．椭圆C 的蒙日圆方程为x
2+ y
2=9
D．长方形R 的面积最大值为18
6．（2026·辽宁省名校协作体·二模）已知点P､Q分别是椭圆x
2
9 + y
2
5 =1和圆( x−2)
2+ y
2=1上的
两个动点，且点A (2,1)，则|PA)+|PQ)的最大值为__________.
7．（2026·辽宁沈阳·质量监测(二)）已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1, F2
，离心率为1
2
．若椭圆C 上存在不同的两点A，B，使得F1 A
→
= λ F2B
→，则λ的取值范围是______．
8．（2026·吉林长春·质量监测(二)）已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1
，
F2
.P为椭圆C上一点，|P F1)=3|P F2).圆I与线段P F1
的延长线和线段P F2
的延长线分别相切于
点A和点B，与线段F1 F2
相切于点M，且
F1 M
→
= λ F1 F
→
2
，λ∈[
1
8 , 1
6)
，则椭圆C离心率的取值
范围是________.
1．（2026·吉林长春六中·二模）若方程x
2
5−m +
y
2
m+2 =1表示双曲线，则实数m的取值范围是
（ ）
A．(−2,5)
B．(5,+∞)
C．(−∞,−2)∪(5,+ ∞)
D．(−∞,−2)
2．（2026·吉林长春·质量监测(二)）双曲线x
2
a
2 −y
2
12 =1(a>0)的两个焦点分别是F1
、F2
，焦距为
8，M是双曲线上的一点，且|M F1)=5，则|M F2)=（ ）
A．1
B．3
C．7
D．9
3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）双曲线E：x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的右焦点为F，过点F且斜率
为−2❑√5
5
的直线与y 轴交于点A，线段AF与E 交于点B，若B 为AF的中点，则E 的离心率为
（ ）
A．2❑√5
5
B．4
5
C．❑√5
D．5
考点3
双曲线及其性质
4．（2026·辽宁沈阳·质量监测(二)）若以直线2 x +3 y =0为渐近线的双曲线经过点(3 ❑√2,2)，则该
双曲线的方程为（ ）
A．y
2
4 −x
2
9 =1
B．x
2
9 −y
2
4 =1
C．x
2
3 −y
2
4 =1
D．y
2
4 −x
2
3 =1
5．（2026·内蒙古包头·二模）已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的渐近线方程为y =± ❑√3 x，
且实轴长为2，则焦距为（ ）
A．❑√3
B．2
C．2❑√3
D．4
6．（2026·内蒙古兴安盟·二模）已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1
，F2，过F2作渐近线的垂线，垂足为P，若|OP)=2，且△P F1 F2的面积为6，则双曲线C的离心
率为（ ）
A．
❑√13
2
B．❑√13
C．
❑√5
2
D．❑√5
7．（2026·黑龙江大庆·二检）已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左右焦点分别是
､
F1, F2
，
过点F2
的直线l与双曲线C的右支交于A ,B两点，若|A F1)+|B F1)=3|F1 F2)，则双曲线C离心率
的取值范围是（ ）
A．[2+ ❑√3,+ ∞)
B．(1,2+ ❑√3)
C．[
3+ ❑√5
2
,+∞)
D．(1, 3+ ❑√5
2 )
8．（2026·吉林白山·二模）已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)，过左焦点F 作斜率为1
2
的直线
与双曲线的一条渐近线相交于点A，且A 在第一象限，若|OA |=|OF |（O 为坐标原点），则双
曲线C 的渐近线方程为（ ）
A．y =± 3
4 x
B．y =± 4
3 x
C．y =± 2
3 x
D．y =± 3
2 x
9．（2026·辽宁盘锦高级中学·二模）（多选）已知双曲线C：x
2
m+1 + y
2
m =1，则下列结论正确的是
（ ）
A．m 的取值范围是(−1，0)
B．C 的焦距与m 的取值无关
C．若C 的离心率不小于2，则m 的取值范围为(−1,−3
4)
D．存在实数m∈(−1,0)，使得点(1,m
2)在C 上
10．（2026·吉林G35 联合体·二模）（多选）设F为双曲线C：x
2
a
2 −y
2
b
2 =1（a>0，b>0）的左焦
点，经过原点且斜率大于0的直线l交C于A，B两点，AF与x轴垂直，∠AFB = 2π
3
，则（ ）
A．|AF)= b
2
a
B．C的离心率为❑√3
C．直线l的斜率为2❑√3
3
D．C的渐近线方程为y =±
❑√2
2 x
1．(2026·辽宁朝阳·二模)若抛物线E: y
2=2 px的准线l过点(−1013,2026)，则p=（ ）
A．1013
B．−1013
C．−2026
D．2026
2．（2026·辽宁盘锦高级中学·二模）已知直线l过抛物线y
2= 4 x的焦点F，且交抛物线于P，Q两
点，由P，Q分别向准线引垂线PR，QS，垂足分别为R，S.设|PF)=a，|QF)=b，M为线段RS
的中点，则|MF)=（ ）
A．❑√ab
B．❑√a+b
C．a+b
2
D．
❑√ab
2
3．（2026·吉林白山·二模）已知抛物线C : y
2= 4 x的焦点为F，动点M在C上，点B与点A (1,−2)
关于直线l: y = x−1对称，则|MF)
|MB)
的最小值为（ ）
A．
❑√2
2
B．1
2
C．
❑√3
3
D．1
3
考点4
抛物线及其性质
4．(2026·辽宁鞍山普通高中·二模)已知抛物线C : y
2=2 px ( p>0)的焦点为F，点A为抛物线C准线
上一点，连接AF交C于点B，若AB =2, BF =1，则p的值为（ ）
A．1
2
B．3
2
C．2
D．3
5．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）（多选）抛物线E：y
2=2 px ( p>0)的焦点为F，以D ( p,0)为
圆心，|DF)为半径得到圆D，圆D 上有一点( p,1).过点F 的直线与E 交于P，Q 两点，与圆D 另
交于点M，则（ ）
A．p=2
B．当|PF)=2|FQ)时，P 的横坐标为3
C．当|PF)=2|FQ)时，|MF)= 2
3
D．|MF)|PQ)<|FP)|FQ)
6．（2026·吉林梅河口五中·二模）已知抛物线C：y
2=2 px ( p>0)的焦点为F ，直线l过F 与C
相交于A，B 两点，若点A的坐标为(4,4)，则△AOB（O为坐标原点）的面积为_______.
7．（2026·黑龙江大庆·二检）若抛物线C : y
2=2 px ( p>0)的准线方程为x =−2，则p=
___________.
8．（2026·吉林G35 联合体·二模）抛物线x
2=−1
4 y的焦点到准线的距离为______.
1．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）设O 为坐标原点，A，B 分别是直线y =
❑√3
2 x和y =−
❑√3
2 x上的
动点，且|AB)=2❑√3，动点P 满足⃗OP =⃗OA +⃗OB，记动点P 的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E 的方程；
(2)T (❑√7 ,0)，过曲线E 的中心O 作一条直线交曲线E 于P，Q 两点，求△PTQ周长的最小值、
△PTQ面积的最大值；
(3)若点C 是曲线E 上异于顶点的任意一点，若H (−4,0)，G (4,0)，直线CG，CH分别交直线
x0=−16 ❑√7
7
于点N，M.以NM为直径的圆是否恒经过x 轴上的某两个定点?若经过，求出这两个定
点的坐标；若不经过，请说明理由.
考点5
圆锥曲线定值定点问题
2．（2026·内蒙古兴安盟·二模）已知双曲线：x
2
5−m −
y
2
m−1 =1(1<m<5)的一个焦点与抛物线C
：y
2=2 px ( p>0)的焦点重合.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l：x =ty +8交抛物线C于A、B 两点，O 为原点，求证：以AB为直径的圆经过原点O.
3．（2026·辽宁大连·二模）椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的经过中心的弦称为椭圆的一条直径，平行
于该直径的所有弦的中点的轨迹为一条线段，称为该直径的共轭直径，已知椭圆的方程为
x
2
4 + y
2=1.
(1)若一条直径的斜率为1
3
，求该直径的共轭直径所在的直线方程；
(2)若椭圆的两条共轭直径为AB和CD，它们的斜率分别为k1,k2，证明：四边形ACBD的面积为定
值.
4．（2026·黑龙江大庆·二检）已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的右焦点为F，点P(1,
❑√2
2 )
在椭
圆C上，且PF ⊥x轴.过点P作椭圆C的切线，交x轴于点Q，过点Q的直线交椭圆C于A ,B两点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若O为椭圆C的中心，求△OAB面积的最大值；
(3)过点A作x轴的垂线与直线BP交于点D，求证：线段AD的中点在定直线上.
1．（2026·东北三省三校·二模）已知双曲线C：x
2
a
2 −y
2
b
2 =1（a>0,b>0）的左、右焦点分别为F1
，F2，实轴长为2❑√2，双曲线C的一条渐近线为x−y =0.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)O为坐标原点，点A、B、D是双曲线C上不同的三点，且B、D两点关于y轴对称，△ABD的
外接圆经过点O.
①求证：直线AB与圆x
2+ y
2=1相切；
②直线AB与渐近线交于M，N两点,求|AB)
|MN )
的取值范围.
考点6
圆锥曲线范围问题
2．（2026·辽宁沈阳·质量监测(二)）已知抛物线E: x
2=2 py( p>0)，过焦点F 的直线与抛物线E
相交于A，B 两点，与抛物线E 的准线相交于点Q．若以线段AF 为直径作圆，当此圆经过点
(
1
4 ,0)
时，|AF)= 1
2
．
(1)求抛物线E 的方程；
(2)证明：|QA |⋅| FB|=|QB|⋅| FA |；
(3)若点C，D 在抛物线E 上，且线段CD 的中点在直线y = x上，点P(
1
2 ,1)
．求△PCD面积的最
大值．
3．（2026·辽宁省名校协作体·二模）已知椭圆E: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左顶点A(−2,0)，上顶点
B(0,1)．
(1)求椭圆E的方程和直线AB的方程；
(2)过椭圆E上异于A的点C作x轴的垂线交直线AB于M点，延长CM至点N，使MN =CM，直线
AN交椭圆E于点D．
（i）求证：直线AC , AD的斜率之和为定值；
（ii）求△ACD面积的最大值．
4．（2026·哈尔滨三中·二模）已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的离心率为2，焦距为4．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知P为双曲线C右支上位于x轴上方的一点，直线l: x = 1
2
交x轴于点N．
（ⅰ）设双曲线C的左、右顶点分别为A1, A2，直线P A1与直线P A2分别交直线l于D , E两点，若
|DE)=3，求P点坐标；
（ⅱ）设双曲线C的右焦点为F，点P关于x轴的对称点为点Q，直线QN和双曲线C的右支交于点
M，当直线PF的倾斜角θ∈(
π
3 , 5π
12 )
时，求△PMN面积的取值范围．
1．（2026·东北三省三校·二模）（多选）曲线C：|x)
α +|y)
α =1（α >0）是优美的封闭曲线,其围
成的面积记为Sα,M 是C 与y 轴正半轴的交点,过原点O 的直线交C 于点A,B,则（ ）
A．S 1
2
<S1
B．S2>S3
考点7
圆锥曲线综合问题
C．当α =1时,⃗MA ⋅⃗MB
的最大值是1
2
D．当α = 1
2
时,⃗MA ⋅⃗MB∈[0, 7
8)
2．（2026·辽宁辽阳·二模）已知动点P满足到F (1,0)的距离比到直线l：x +2=0的距离少1，动点
P形成的轨迹称为曲线C．
(1)求点P 的轨迹方程；
(2)已知曲线C上的两点A、B满足⃗OA ⋅⃗OB =5，且△ABF的面积为8 ❑√5，求直线AB的方程．
3．（2026·辽宁盘锦高级中学·二模）已知抛物线E: y
2=2 px ( p>0)的焦点为F，直线l与E恰有1个
公共点A (1,1)，l与x轴、y轴分别交于点B、D．
(1)求E的方程；
(2)求△ABF的外接圆的标准方程；
(3)若点C在E上运动，点G在线段CD上，过G的直线l′分别交线段AC、BC于点P、Q，且
|PA)
|CP) +|QB)
|CQ) =1，求点G的轨迹方程．
4．(2026·辽宁鞍山普通高中·二模)已知椭圆E: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左顶点为A，上顶点为B，离
心率e =
❑√3
2
，且以短轴为直径的圆与直线y = x + ❑√2相切．
(1)求E的方程；
(2)过点P(−2, 1)的直线l交E于C , D两点，若直线BC , BD的斜率都存在且不为0，将BC , BD的
斜率分别记为k1, k2，求1
k1
+ 1
k2
．
5．（2026·吉林G35 联合体·二模）已知椭圆E: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1
，F2
，右顶点为A，P 为直线x =a上一点，且椭圆E 的离心率为3
5
，|A F1)=8．
(1)求椭圆E 的方程．
(2)过点P 作椭圆E 的切线，切点为B（异于点A）．
①证明：∠B F1 P =∠A F1 P．
②若B F1// P F2，求|AP)．
附：在椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)上一点(x0, y0)处的切线方程为x0 x
a
2 + y0 y
b
2 =1．
6．（2026·内蒙古包头·二模）已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率e =
❑√3
2
，且过点(2, 1
2 )，
圆M 的圆心为M (1,0)，半径为
❑√2
2
，O 为坐标原点．
(1)求椭圆C 和圆M 的标准方程；
(2)设斜率为k(k >0)的直线l 与椭圆C 交于P，Q 两点，N 为线段PQ 的中点，点N 在圆M 上，且
满足ON ⊥MN，求直线l 的斜率．
7．（2026·吉林长春六中·二模）已知一动圆的圆心为M，该动圆与圆 C1: x
2+ y
2+6 x +5=0 外
切，同时与圆 C2: x
2+ y
2−6 x −91=0内切.
(1)求该动圆圆心M的轨迹方程；
(2)设圆心M的轨迹为曲线C.点P在曲线C上（异于顶点），A1(−6，0)，A2(6，0)，
F (−3，0)，直线 A1 P 交 y 轴于点 Q，若△A2 PQ的面积是△A1 FQ的面积的两倍，求|A1 P)
的值.
