第12讲 圆锥曲线与三角形四心专题
目 录
高考分析.........................................................................................................................................................1
知识要点.........................................................................................................................................................1
解题策略.........................................................................................................................................................3
题型归纳.........................................................................................................................................................4
题型01：圆锥曲线重心问题...........................................................................................................................4
题型02：圆锥曲线外心问题......................................................................................................................... 21
题型03：圆锥曲线内心问题......................................................................................................................... 38
题型04：圆锥曲线垂心问题......................................................................................................................... 57
1.
型定位：高考
曲
高
型，常
合焦点三角形、
弦三角形考
，融合平面几何四心性
题
圆锥
线压轴
频题
结
动
查
质+解析
几何
立
达，
合性极
联
韦
综
强
2. 考
象：
、双曲
焦点三角形四心，抛物
内接三角形四心
查对
椭圆
线
线
3. 解
核心：几何条件代数翻
，把四心的几何特征，全部
化
坐
关系、向量关系、垂直关系、中点关系，再
题
译
转
为
标
合
立
达
算
结
联
韦
计
4. 通用解
流程：
定位四心→翻
几何条件→
点
直
→
立方程
达代入→化
求
题
识图
译
设
设
线
联
韦
简
值/求
迹
轨
/求离心
率范围
知识点一：三角形四心核心基础
（一）四心定义
1.重心G
三条中
交点，中
线
线2:1 分点
若A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)、C(x₃,y₃)，则G( x₁+ x₂+ x₃
3
, y ₁+ y ₂+ y ₃
3
)；
中点坐
、横
坐
分
求和除以
标
纵
标
别
3，最
，考
最高
简单
频
2.垂心H
三条高
交点，三
互相垂直
线
边
AH BC
⊥
，BH AC
⊥
，CH AB
⊥
；斜率乘积=-1（斜率存在
）；向量点
时
积=0（通用无漏洞）
核心：两
向量垂直即可列式，不用三条高
全写
组
线
3.外心O
三
中垂
交点，外接
心，到三
点距离相等
边
线
圆圆
顶
OA=OB=OC；中垂
斜率与底
斜率乘
线
边
积=-1；横坐
坐
足距离等式
标纵
标满
核心：距离相等，焦点三角形外心常在y
上
轴
4.内心I
三条角平分
交点，内切
心，到三
距离相等
线
圆圆
边
角平分
斜率关系；焦半径比例关系；焦点三角形内心横坐
定
（
曲
属
）
线
标
值圆锥
线专
结论
焦点三角形内心有固定
迹，无需复
立，直接套
轨
杂联
结论
（二）避坑提醒
1. 斜率不存在
，禁止用
时
k1k2=-1，
一改用向量数量
统
积为0，零失误
2.
曲
大多数四心考
，只考焦点三角形（曲
上一点
圆锥
线绝
题
线
+左右两个焦点构成三角形）
知识点二：三大圆锥曲线四心专属秒杀结论
1.
焦点三角形
椭圆
①重心：设P(x₀,y₀)
上
点，△
为椭圆
动
PF₁F₂ 重心G(x,y)，则x= x ₀
3
，y= y ₀
3
，
迹方程：
轨
9 x ²
a²
+9 y ²
b²
=1
②内心：△PF₁F₂ 内心I 的横坐
恒
定
标
为
值a-c，
迹
垂直于
轨
为
x
的定直
轴
线x=a-c
③外心：外心始
在
终
y
上，横坐
恒
轴
标
为0
④垂心：P 在
上运
，垂心
迹可通
垂直向量直接求解
椭圆
动
轨
过
2. 双曲
焦点三角形
线
①
点
动
P 在右支，内心
迹：直
轨
线x=a；
点
动
P 在左支，内心
迹：直
轨
线x=-a
②外心依旧在y
，坐
算和
高度一致
轴
标计
椭圆
3. 抛物
内接三角形
线
（y²=2px）
①抛物
内接直角三角形，直角
点在原点，垂心恒在抛物
上
线
顶
线
②
弦中点
合重心，直接套用重心坐
公式即可快速解
动
结
标
题
四大题型解题策略
型一：重心
（最
，必考基
）
题
问题
简单
础题
例题1：
焦点三角形重心
迹
椭圆
轨
已知椭圆x ²
4
+ y ²
3
=1，左右焦点F₁、F₂，点P
上任意
点
为椭圆
动
，求△PF₁F₂ 重心G 的
迹方程
轨
。
解：
由
意得：
题
a²=4，b²=3，c²=1，F₁(-1,0)，F₂(1,0)
设P(x₀,y₀)，G(x,y)，根据重心坐
公式：
标
G( x₁+ x₂+ x₃
3
, y ₁+ y ₂+ y ₃
3
)
即x₀=3x，y₀=3y
又点P 在
上，
足
椭圆
满
x₀²/4+y₀²/3=1
代入得：9 x ²
4
+9 y ²
3
=1，化
：
简9 x ²
4
+3y²=1
充限制条件：三角形三点不共
补
线，y₀≠0，故y≠0
上，重心
迹方程：
综
轨
9 x ²
4
+3y²=1（y≠0）
解
模板：重心坐
代
→反解
点坐
→代入原曲
方程→剔除共
无效点
题
标
换
动
标
线
线
题型二：垂心问题（高频压轴，核心考垂直向量）
例题2：抛物
垂心定
线
值问题
已知抛物线y²=4x，原点O，A、B 在抛物
上，且
线
OA⊥OB，求
：
证△OAB 垂心H 在定直
上。
线
解：
直
设
线AB：x=ty+m，
立
联
y²=4x，得y²-4ty-4m=0
达定理：
韦
y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4m
由OA⊥OB，，即x₁x₂+y₁y₂=0，解得m=4
直线AB：x=ty+4，恒
定点
过
M(4,0)
垂心
设
H(x,y)，根据垂心定
：
义OH⊥AB，BH⊥OA
OH⊥AB：化
可得横坐
恒
简
标
为4
故垂心H 恒在定直线x=4 上
解
模板：两
垂直向量列式→消去参数→得到定直
题
组
线/定点
题型三：内心问题（秒杀题型，不用联立）
例题3：
焦点三角形内心横坐
定
椭圆
标
值
椭圆x ²
25 + y ²
16 =1，P
上
点
为椭圆
动
，求△PF₁F₂ 内心I 的横坐
。
标
解：
a=5，c=3，根据
焦点三角形内心
：横坐
椭圆
结论
标x=a-c=2
即内心始
在定直
终
线x=2 上，横坐
恒
标
为2（定
）
值
充双曲
：双曲
补
线结论
线x ²
16 - y ²
9 =1，右支
点
动
P，内心横坐
恒
标
为4
题型四：外心问题（中垂线+距离相等）
例题4：
焦点三角形外心位置
明
椭圆
证
求
：
焦点三角形
证椭圆
PF₁F₂ 的外心始
在
终
y
上。
轴
明：
证
F₁(-c,0)，F₂(c,0)，
段
线
F₁F₂ 中点
坐
原点，且
为
标
F₁F₂ 在x
上
轴
F₁F₂ 的垂直平分线为y
，三角形外心在三
垂直平分
上
轴
边
线
因此△PF₁F₂ 外心一定落在y
上，横坐
轴
标为0
四心通用解题避坑清单
1. 重心：千万不要忘
剔除三点共
的情况，
迹一定要写
记
线
轨
y≠0
2. 垂心：
先向量垂直，不要用斜率，避免斜率不存在漏解
优
3. 内心：焦点三角形直接背定
，不用
立方程，
省考
值
联
节
场时间
4. 外心：焦点三角形默
中垂
认
线为y
，直接用横坐
轴
标为0 快速
算
计
题型01：圆锥曲线重心问题
【典型例题1】已知
分别为椭圆
的左、右焦点，
是椭圆E 上一
点，
动
G 点是三角形
的重心，
点
则
G 的
迹方程
（
轨
为 ）
A．
B．
C．
D．
【解析】
分别为椭圆
的左、右焦点，
设
，G 点是三角形
的重心，则
，得
，
又
是椭圆E 上一
点，
动
，即
，
又G 点是三角形
的重心，
，所以点G 的
迹方程
轨
为
，故
：
选B
【典型例题2】已知
抛物
为
线
上的三个点，焦点F 是
的重心．
直
记
线AB，AC，BC 的斜
率分别为
，
（
则 ）
A．
段
线
BC 的中点坐标为
B．直线BC 的方程为
C．
D．
【解析】设
，因为F 为
重心，
所以
，设BC 中点
，则
，
，由重心分中线
得
，即
，
又因为A 在抛物
上，所以
线
，所以
，即
，故A 正确；
，
直线
，故B 正确；
因为
，所以
，所以
，故C
；
错误
，同理
，
所以
，故D 正确．
故
：
选ABD
【典型例题3】已知抛物线
，
定点
过
的
直
动
线与抛物线
交于
两点，
是坐
平面
标
内的
点，且
动
的重心
坐
原点
为
标
.若
的最小值为1，则
.
【解析】设
，则
，
，
因为
共
，
线则
，化
得
简
，
因为
是
的重心，于是得
，
因此，
，
即
，当且
当
仅
a+b=0
取“
时
=”，即
，
而
的最小值为1，则
，即
，所以
.
【典型例题4】已知O 是平面直角坐
系的原点，
标
F 是抛物线
的焦点，
点
过
F 的直
交抛物
于
线
线
A，B 两点，且
的重心G 在曲线
上.
(1)求抛物线C 的方程；
(2)
曲
记
线
与y
的交点
轴
为D，且直线AB 与x
相交于点
轴
E，弦AB 的中点为M，求四
形
边
DEMG 面积
的最小值.
【解析】（1）由
知，焦点
题
，
然直
显
线
的斜率存在，
直
设
线
，
，
，
，
立
联
消去
得
，
△
则
，
则
，所以
，
所以
且
，故
，
即
，整理得
任意的
对
恒成立，故
，
故所求抛物线
的方程为
．
（2）由
知
题
，
，
，
，
，
，则
.
又弦AB 的中点为M，
的重心为G，则
，故
，所以
.
点D 到直线AB 的距离
，
，
所以四
形
边
DEMG 的面积
当且
当
仅
，即
取等号，
时
此
四
形
时
边
DEMG 面
的最小
积
值为
.
一、单选题
【变式训练1-1】已知
分别为椭圆
的左、右焦点，
是椭圆E 上一
点，
动
G 点是三角形
的重
心，
点
则
G 的
迹方程
（
轨
为 ）
A．
B．
C．
D．
【解析】
分别为椭圆
的左、右焦点，
设
，G 点是三角形
的重心，则
，得
，
又
是椭圆E 上一
点，
动
，即
，
又G 点是三角形
的重心，
，所以点G 的
迹方程
轨
为
，故
：
选B
【变式训练1-2】已知
是抛物线
上三个
点，且
动
的重心
抛物
的焦点
为
线
，若
，
两点均在
上方，
轴
则
的斜率的最小
（
值为 ）
A．1
B．
C．
D．
【解析】依
意，
题
设
，
，
，由
，
在
上方，故
轴
，
，
因
抛物
为
线为
，所以
，
则
，所以
，则
，
注意到
，故
，即
，
又
，代入可得
，
故
，即
，解得
，
当且
当
仅
，等号成立，因而
时
.故
：
选B.
【变式训练1-3】已知点
双曲
为
线
的虚
的上
点，
轴
顶
双曲
的右焦点，存在斜率
为
线
为
的直
交双曲
于点
线
线
两点，且
的重心
点
为
，
双曲
则
线
的离心率
（
为 ）
A．
B．
C．2
D．
【解析】
，设
，
斜率
设
为
的直线为
，
立
联
，消去
并整理得
，
，
，即
，
设
，
，则
，
，
因为
的重心
点
为
，所以
，
，
所以
，
，所以
，
，
消去
得
，得
，得
，
得
，得
，得
，
得
，
.故
：
选A
【变式训练1-4】已知椭圆
的左右焦点分别为
，
，
上异于
端点的
点，
为椭圆
长轴
动
，
分别为
的重心和内心，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．
【解析】
由椭圆
可得
，
，
如
，
图设
的内切
与三
分
相切与
圆
边
别
，
，
，
，
分别为
的重心和内心．则
，
，
，
所以
，
所以
，故
：
选D
【变式训练1-5】椭圆
的右焦点为
，上
点
顶
为
，若存在直线与
交于不同两点
椭圆
，
重心为
，直线的斜率取
范
是（
值
围
）
A．
B．
C．
D．
【解析】设椭圆
的半焦距为，由已知
，
，设
，
因为
重心为
，所以
，所以
，
又
，所以
，所以
，
所以直线的斜率
，当且
当
仅
等号成立，
时
又
，所以直线的斜率取
范
是
值
围
，故
：
选B.
【变式训练1-6】
双曲
设
线
的右焦点为
，
，若直线与
的右支交于
两点，
且
为
的重心，则
的离心率的取
范
（
值
围为 ）
A．
B．
C．
D．
【解析】由
意，双曲
题
线
的右焦点为
，且
，
点
设
为
的中点，因为
为
的重心，所以
，
即
，解得
，即
，
因
直
为
线与
的右支交于
两点，
足
则满
，
整理得
，解得
或
（舍去），
当离心率为
，即
时
，可得
时
，此时
，
设
，可得
，
又由
，两式相减可得
，
即直线的斜率为
，
又因为
，所以
，此时
四点共
，此
不
足
意，
线
时
满
题
上可得，双曲
综
线
的离心率的取
范
值
围为
.故
：
选A.
【变式训练1-7】已知F
抛物
为
线
的焦点，A，B，C
抛物
上的三点，
为该
线
O
坐
原点，
为
标
，
，
面
分
积
别为
，若F 为
的重心，且
，
抛物
的方程
（
则该
线
为 ）
A．
B．
C．
D．
【解析】设
、
、
三点的坐
分
标
别为
，
，
，
，
，
，
抛物线
的焦点
的坐标为
,
，
，
，
、
、
在抛物线
上，
，
，
，
由此可得：
，
点
是
的重心，
，可得
,
因此，
,解得
（
舍去），
负值
故
抛物
的方程
该
线
为
，故
：
选
．
【变式训练1-8】抛物线
的焦点为
，点
、
、
在
上，且
的重心为
，则
的取
范
值
围为
A．
B．
C．
D．
【解析】由
意知，抛物
题
线
的焦点为
，
点
设
、
、
，
由重心的坐
公式得
标
，
，
，
直
设
线
的方程为
，由
，消去
得
，
，由
达定理得
韦
，
，
所以，
，
故
，
，
将点
的坐
代入抛物
标
线
的方程得
，得
，
则
，得
，
则
.
不在直线
上，则
，此
，
时
，则
.
因此，
的取
范
是
值
围
.故
：
选A.
二、多选题
【变式训练1-9】椭圆
的左、右焦点分
是
别
，
是
第一象限上的一点（不包括
上的点）
椭圆
轴
，
的重心是
，
的角平分
交
线
x
于点
轴
（m，0），下列
法正确的有（
说
）
A．G 的
迹是
的一部分
轨
椭圆
B．
的
度范
是
长
围
C．
取
范
是
值
围
D．
【解析】
重心
设
，又
，
∴
，即
，又
是
上一点，
椭圆
∴
，即
，故A 正确；
∵G 的
迹是
轨
椭圆
的一部分，
半
长
轴长为
，短半轴长为
，∴
，故B
；
错误
根据内角平分
定理可知，
线
，
又
，∴
，故C 正确；
同
利用内角平分
定理与焦半径公式，由
样
线
可知，
，
∴
，故D 正确.
故
：
选ACD.
【变式训练1-10】已知
抛物
为
线
上的三个点，焦点F 是
的重心．
直
记
线AB，AC，BC 的
斜率分别为
，
（
则 ）
A．
段
线
BC 的中点坐标为
B．直线BC 的方程为
C．
D．
【解析】设
，因为F 为
重心，
所以
，设BC 中点
，则
，
，由重心分中线
得
，即
，
又因为A 在抛物
上，所以
线
，所以
，即
，故A 正确；
，
直线
，故B 正确；
因为
，所以
，所以
，故C
；
错误
，同理
，
所以
，故D 正确．
故
：
选ABD
【变式训练1-11】
双曲
设
线
的右焦点为
，若直线与
的右支交于
两点，
且
为
的重心，
（
则 ）
A．
的离心率的取
范
值
围为
B．
的离心率的取
范
值
围为
C．直线斜率的取
范
值
围为
D．直线斜率的取
范
值
围为
【解析】设
为
的中点，根据重心性
可得
质
，
因为
，则
，
因
直
为
线与
的右支交于
两点，所以点
在双曲
右支内部，
线
故有
，解得
，
当直线斜率不存在
，
时
的中点
在
上，故
轴
三点不共
，不符合
意舍，
线
题
直
设
线斜率为
，设
，所以
，
，
因为
在双曲
上，所以
线
，两式相减可得：
，
即
，即有
成立，
即有
，因为
不共
，即
线
，即
，即
，
所以
的离心率的取
范
值
围为
，
因为
，
因为
，即
，所以
，
所以
.故
：
选AC
【变式训练1-12】若双曲线
，
分
左、右焦点，
点
别为
设
在双曲
上且在第一象限的
点，点
线
动
为
的内心，点
为
的重心，
下列
法正确的是（
则
说
）
A．双曲线
的离心率为
B．点
的运
迹
双曲
的一部分
动轨
为
线
C．若
，
，则
.
D．存在点
，使得
【解析】由
意，双曲
题
线
，可得
，
离心率
则
为
，所以A 正确；
设
，
的内切
与
圆
边
切于点，与边
切于点
，
与边
切于点
，可得
，
由双曲
的定
可得
线
义
，即
，
又由
，解得
，则
的横坐标为
，
由
与
的横坐
相同，可得
标
的横坐标为
，可得
在定直线
上运
，所以
动
B 不正确；
由
且
，解得
，
则
，可得
，
所以
，同理可得
，
直
设
线
，直线
，
立方程
，求得
联
组
，
设
的内切
的半径
圆
为，则
，
解得
，即有
，可得
，
由
，可得
，解得
，可得
，所以C 正确；
设
，则
，
设
的内切
的半径
圆
为，则
，
于是
，可得
，
若
，可得
，即
，又由
，
立可得
联
，
因此
，解得
，即存在点
，使得
，所以D 正确.
故
：
选ACD.
三、填空题
【变式训练1-13】已知
的
点
顶
，
，
点
顶
A 在抛物线
上运
，
动则
的重心G 的
迹
轨
方程为 ．
【解析】设
，
．由点G 为
的重心，得
，所以
．
又
在抛物线
上，所以
，即
．
又点A 不在直线BC 上，所以
，即
，所以所求
迹方程
轨
为
．
【变式训练1-14】已知抛物线
上三点
足：
满
的重心是
，
直
则
线
的斜率
之和
为 ．
【解析】
抛物
设
线
上三点
，
由
的重心是
，得
，即有
，
直线
的斜率分别为
，
，
所以直线
的斜率之和
.
【变式训练1-15】已知
，
是双曲线
的左，右焦点，点M 是双曲线C 在第一象限上一点，设I，G 分
别为
的内心和重心，若IG 与y
平行，
轴
则
．
【解析】由
意知
题
.
如
，
图
为
的内切
，切点分
圆
别为A、B、C，设
，
则
，由双曲
的定
知，
线
义
，即
，
又
，所以
，
得
，即
.
又
的重心G 与内心I 的
平行与
连线
y
，即
轴
于点
轴
A，所以
.
因为
，所以
，
代入双曲
方程，得
线
，解得
，即
，
又
，所以
，
所以
.
四、解答题
【变式训练1-16】已知抛物线
上的任意一点到
的距离比到x
的距离大
轴
1．
(1)求抛物
的方程；
线
(2)若
点
过
的直线l 与抛物
交于
线
A，B 两点，过A，B 两点分
作抛物
的切
，两条切
交于点
别
线
线
线
Q，求
重
心G 的
迹方程．
轨
【解析】（1）由抛物
的定
可得
线
义
，∴抛物
的方程
线
为
；
（2）由
意可得直
题
线
的斜率存在，
其
设
为k，设
，
直
则
线
的方程为
；
代入抛物
方程得
线
，
有
则
，
∵
，∴
，∴
，即
①
同理可得
②，①-②有
，得
，∴
．
∴
又
，设
，则
，
消k 得
，所以G 的
迹方程
轨
为
．
【变式训练1-17】已知曲线
在
上方，它上面的每一点到点
轴
的距离减去到
的距离的差都是
轴
2.若点
分
在
曲
别
该
线
上，且点
在
右
，点
轴
侧
在
左
，
轴
侧
的重心
在
上，直
轴
线
交
于点
轴
且
足
满
，直线
交
于点
轴
.记
的面
分
积
别为
(1)求曲线
方程；
(2)求
的取
范
值
围.
【解析】（1）曲
上每一点到点
线
的距离减去到
的距离的差都是
轴
2，即曲
上每一点到点
线
的距离与到
直线
的距离相等，所以曲线
抛物
，
为
线
；
（2）
点
设
，
为
的重心
，
，
由相似三角形可知
且
，
可得
，
令
，
因为
，所以
，故
，
，
.
【变式训练1-18】已知
，
为
的两个
点，
顶
为
的重心，边
，
上的两条中
度
线长
之和为6.
(1)求点
的
迹
轨
的方程；
(2)若直线与曲线
相交于点
、
，若
段
线
的中点是
，求直线的方程；
(3)已知点
，
，
，直线
与曲线
的另一个公共点为
，直线
与
交于点
，求
：
证
当点
化
，点
变
时
恒在一条定直
上
线
.
【解析】（1）因为
为
的重心，且边
，
上的两条中
度之和
线长
为6，
所以
，
故由
的定
可知
椭圆
义
的
迹
轨
是以
，
焦点的
（不包括
的端点），
为
椭圆
长轴
故
点
设
的
迹
轨
的方程为
，所以
，
，所以
，
所以
的
迹
轨
的方程为
；
（2）设
，
，
若直线的斜率不存在，根据
的
称性可得
段
椭圆
对
线
的中点在
上，不
足
意；
轴
满
题
故
直
设
线：
，与
：
立，整理得：
联
，
由
整理得：
，故
，
，
由
意知
题
，解得：
，
，
足
满
，故直线：
（3）
直
设
线
的方程
：
为
，
，
，
立方程
联
得：
，
由
整理得：
，即
或
，
则
，
，所以
，
又直线
的方程
：
为
，
又直线
的方程
：
为
，
立方程
联
得：
，
把
代入上式得：
，
所以当点
运
，点
动时
恒在定直线
上
【变式训练1-19】在平面直角坐
系
标
xOy 中，已知抛物线
的焦点为F，A，B 为E 上两点，且点A
的
坐
纵
标为
，F 恰好是
的重心.
(1)求E 的方程；
(2)若
，P，Q
抛物
上相异的两个
点，且
为
线
动
，求
的最小值.
【解析】（1）由已知可得
，
，设
F 恰好是
的重心，
，解得
，
将
代入
，得
，
，解得
，
E 的方程为
；
（2）
直
设
线PQ 的方程为
，
，
，
由方程组
，得
，即
，且
，
，
，
，
，
，
，即
，
，
，
，
或
，
若
，直线PQ 过N 点，不合
意，舍去，
题
，此时
，
，
则
，
当
，
时
有最小值为11.
【变式训练1-20】已知双曲线C：
的
近
方程
渐
线
为
，其左右焦点为
，
，点D
双
为
曲
上一点，且
线
的重心G 点坐标为
.
(1)求
双曲
的
准方程；
该
线
标
(2)过x
上一
点
轴
动
作直线l 交双曲
的左支于
线
A，B 两点，A 点关于x
的
称点
轴
对
为
（
与B 不重合），
接
连
并延
交
长
x
于点
轴
Q，问
是否
定
？若是定
，求出
定
；若不是定
，
明理由
为
值
值
该
值
值说
.
【解析】（1）因
双曲
的
近
方程
为
线
渐
线
为
，故可
双曲
的方程
设
线
为
，
设
，因为
的重心
点的坐标为
，
所以
，解得
，所以
，
代入得
则
，
所以双曲
的
准方程
线
标
为
（2）由
意知直
题
线的斜率必存在，设的方程为
，
，则
，
立
联
，
化
得
简
，
则
，且
，
由
达定理得
韦
，
，
直
则
线
的方程
：
为
，
令
，则
，故
.
.
题型02：圆锥曲线外心问题
【典型例题1】已知椭圆
：
，
其左焦点
过
作直线l 交椭圆
于P，A 两点，取P 点关于x
的
称点
轴
对
B.
若G 点为
的外心，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．以上都不对
【解析】根据
意可得
题
，
然直
显
线
的斜率存在，故可
其方程
设
为
，
立
方程可得：
联
椭圆
，设
，
故
，
，
，
故
，
设
的中点为
，
其坐
则
标为
，
然
显
垂直平分
轴
，故可设
，又
直
方程
：
线
为
，
令
，解得
，故
，故
.故
：
选C.
【典型例题2】（多选）瑞士著名数学家欧拉在1765 年
明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直
证
线
上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称
条直
“欧拉
”
这
线为
线.直线与
及双曲
轴
线
的两条
近
的三个不同交点构成集合
渐
线
，且
恰
某三角形的外心，重心，垂心所成集合
为
.
若的斜率为1，
双曲
的离心率可以是（
则该
线
）
A．
B．
C．
D．
【解析】设
，由
，得
，得
，
由
，得
，得
，由
，得
，得
，
，
，
，
若
重心、
为
外心、
为
垂心，
为
则
，
所以
，化
得
简
，此
双曲
的离心率
时
线
，
若
重心、
为
垂心、
为
外心，
为
则
，
所以
，化
得
简
不成立；
若
重心、
为
垂心、
为
外心，
为
则
，
所以
，化
得
简
，此
双曲
的离心率
时
线
，
若
重心，
为
垂心、
为
外心，
为
则
，
，化
得
简
，此
双曲
的离心率
时
线
；
若
重心、
为
垂心、
为
外心，
为
则
，
所以
，化
得
简
或
，
此
双曲
的离心率
时
线
或
，
若
重心，
为
垂心、
为
外心，
为
则
，
所以
，化
得
简
或
都不成立.
上所述：
综
或
或
或
.
故
：
选ABD
【典型例题3】在直角坐
系
标
xOy 中直线
与抛物线C：
交于A，B 两点．若D
直
为
线
外一点，
且
的外心M 在C 上，则M 的坐
标为 ．
【解析】
立
联
得
，
设
，
，则
，
，
段
设线
AB 的中点为
，
则
，
，
段
则线
AB 的中垂
方程
线
为
，即
，
立
联
得
，解得
或4，
从而
的外心M 的坐标为
或
．
【典型例题4】已知抛物线E：
的焦点为F，准线为l，
焦点
过
的直
交抛物
线
线
于
，
(1)若
垂直l 于点
，且
，求AF 的长
(2)
坐
原点，求
为
标
的外心C 的
迹方程
轨
.
【解析】（1）由
得
，
；
（2）设
，直线
，
由
，得
，
，即有
，
易得OA､OB 的中垂
方程分
线
别为
，
立可得
联
，
外心C 的
迹方程
轨
为
.
一、单选题
【变式训练2-1】
中，
为
上的高且
边
，
点
动
足
满
，
点
则
的
迹一定
轨
过
的（ ）
A．外心
B．内心
C．垂心
D．重心
【解析】设
，
，
以
原点，
为
、
方向为
、
正方向如
建立空
直角坐
系，
轴
图
间
标
，
，
，则
，
，
，
，则
，
设
，则
，
，
，即
，
即点
的
迹方程
轨
为
，
而直线
平分
段
线
，即点
的
迹
段
轨
为线
的垂直平分
，
线
根据三角形外心的性
可得点
质
的
迹一定
轨
过
的外心，故
：
选A.
【变式训练2-2】已知双曲线M：
的离心率为
，A，B 分
是它的两条
近
上的两点（不
别
渐
线
与原点O 重合），
的外心为P，面积为12，若双曲线M
点
经过
P，
双曲
的
（
则该
线
实轴长为 ）
A．
B．
C．
D．
【解析】离心率为
，
有：
则
又有：
可得：
，此
两条
近
垂直，即
时
渐
线
，且直线
和直线
均与
的
角均
轴
夹
为
，则
的外心为
在
段
线
的中点
若双曲线M
点
经过
，根据双曲
的
称性可知：当且
当
线
对
仅
，且点
轴时
双曲
的
点
为
线
顶
此
有：
时
，
，
的面积为12，
有：
则
，
解得：
，故双曲
的
：
线
实轴长为
，故
：
选C
【变式训练2-3】在直角坐
系
标
xOy 中，F1(-c，0)，F2(c，0)分
是双曲
别
线C：
的左、右焦点，位于
第一象限上的点P(x0,y0)是双曲线C 上的一点，△PF1F2的外心M 的坐标为
，△PF1F2的面积为2
a2，
双曲
则
线C 的
近
方程
（
渐
线
为 ）
A．y＝±x
B．y＝
x
C．y＝
x
D．y＝±
x
【解析】由△PF1F2 的外心M
，知：
，
∴在△
中，
，即
，故∠F1PF2＝
，
在△
中，
，而
，
∴
，即
，
∴
，而
，
∴由
意知：
题
，故双曲
的
近
方程
：
线
渐
线
为
．故
：
选D．
【变式训练2-4】已知坐
平面
标
中，点
，
分
双曲
别为
线
（
）的左、右焦点，点
在双曲线
的左支上，
与双曲线
的一条
近
交于点
渐
线
，且
为
的中点，点
为
的外心，若
、
、
三点
共
，
双曲
线则
线
的离心率
（
为 ）
A．
B．3
C．
D．5
【解析】不妨
点
设
在第二象限，设
，
，
由
为
的中点，
、
、
三点共
知直
线
线
垂直平分
，则
，
故有
，且
，解得
，
，
将
，即
，代入双曲
的方程可得
线
，化
可得
简
，即
，
当点
在第三象限
，同理可得
时
.故
：
选C.
【变式训练2-5】设
双曲
为
线
的右焦点，以
心，
为圆
半径的
与双曲
在第
为
圆
线
一象限的交点为
，
段
线
的中点为
，
的外心为
，且
足
满
，
双曲
则
线
的离心率为
（ ）
A．
B．
C．2
D．
【解析】由题,因为
,所以
、
、
三点共线,
因
点
为
段
为线
的中点,
的外心为
,所以
,即
,
双曲
的左焦点
设
线
为
,
点
则
段
为线
的中点,
在
则
中,
,即
,所以
是直角三角形,所以
,
因为
,由双曲
定
可得
线
义
,所以
,
则
,因为
,整理可得
,
所以
,则
,故选:D
【变式训练2-6】已知点
、
、
，直线
上有两个
点
动
、
，始
使
终
，三
角形
的外心
迹
曲
轨
为
线
，
曲
为
线
在一象限内的
点，
动
设
，
，
，
（
则 ）
A．
B．
C．
D．
【解析】
点
设
、
，
设
的外心为
，则
，可得出
，
因为
，则
，
将
代入
并化
得
简
，
即
，在
中，由余弦定理
，
即
，
整理可得
，所以，
，
即
，①
将
、
代入①可得
，
整理可得
，即
的外心
迹方程
轨
为
，
点
设
，则
，即
，
而
，
，则
，
又
，所以
，
因此，
.故
：
选C.
【变式训练2-7】已知双曲线
的左、右焦点
恰为椭圆
的两个
点，
顶
设椭圆E
的上焦点为P，
点
过
的直线l 交双曲线C 右支于点A、B，若点A 在第一象限，
的外心Q 恰好落在y
上，
直
轴
则
线l 的方程
（
为 ）
A．
B．
C．
D．
【解析】由椭圆
可得：
，
故椭圆E 的左、右
点分
顶
别为
，椭圆E 的上焦点
，
则
，故双曲线
，
双曲
的焦距
设
线
为
，则
，即
，故
，
当直线l 斜率不存在
，直
方程
时
线
为
，则
，AB
上中垂
边
线为x
，
轴
若
外心Q 落在y
上，
轴
则
，
但此时
，由
，
不符合
意；
则
题
当直线l 斜率存在
，
时设
，
立
联
消去y 可得
，
则
，
，
因为A，B 位于双曲线C 的右支，则
或
，
则
，
设AB 的中点
，则Q 在AB 的中垂
上，
线
所以
，解得
，所以
，
由
，可得
，整理得
，
由
，得
或
（舍去），
上所述：直
方程
综
线
为
．故
：
选D．
二、多选题
【变式训练2-8】在平面直角坐
系
标
xOy 中，
点
过
的直线l 与抛物线C：
交于A，B 两点，点
段
为线
AB 的中点，且
，
下列
正确的
（
则
结论
为 ）
A．N 为
的外心
B．M 可以为C 的焦点
C．l 的斜率为
D．
可以小于2
【解析】
由
可得
，则N 为
的外心，A 正确；
易得直线斜率不为0，设
，
，
立
联
可得
，
，则
，则
，由
可得
，
即
，则
，
焦点
则
为
，B
；
错误
由
作差得
，即
，C 正确；
，则
，D 错误.
故
：
选AC.
【变式训练2-9】已知
的三个
点
顶
均在抛物线
上，
下列命
正确的有（
则
题
）
A．若直线BC
点
过
，
存在点
则
A 使
直角三角形；
为
B．若直线BC
点
过
，
存在
则
使抛物线
的焦点恰为
的重心；
C．存在
，使抛物线
的焦点恰为
的外心；
D．若边AC 的中线
，
轴
，则
的面积为
【解析】设
三点坐
分
标
别为
，
A
，直
选项
线BC
点
过
，设BC 方程为
，
立
联
，消去x 得，
，
，
，
，
所以
，而点O 在抛物
上，故
线
A 正确；
B
，直
选项
线BC
点
过
，设BC 方程为
，
立
联
，消去x，得
，
，
抛物线
的焦点恰为
的重心，
，
，
将A 点坐
代入抛物
方程，
标
线
则
，所以
，
当
，
时
，故B 正确；
C
，
以抛物
焦点
选项设
线
心的
半径
为圆
圆
为r，
其方程为
，与抛物
方程
立得：
线
联
，
，
方程至多只有一个非
解，即
与抛物
至多只有两个交点，
负
圆
线
不存在
，使抛物线
的焦点恰为
的外心，故C 不正确；
D
，
选项AC 的方程为
，代入抛物
方程得，
线
，
，
设AC 中点
，
轴
，
，代入抛物
方程得
线
，
，
，故D 不正确.
故
：
选AB.
【变式训练2-10】
抛物
设
线
的焦点为
，
抛物
上异于
点的一点，且
为
线
顶
在准
上的射影
线
为
，
下
则
列
正确的有（
结论
）
A．点
的中点在
上
轴
B．
的重心、垂心、外心、内心都可能在抛物
上
线
C．当
的垂心在抛物
上
，
线
时
D．当
的垂心在抛物
上
，
线
时
等
三角形
为
边
【解析】
于
对
A
，抛物
选项
线
的焦点为
，准
方程
线
为
，
点
设
，
点
则
，所以，
段
线
的中点为
，A
；
对
于
对
B
，由抛物
的定
可知
选项
线
义
，则
等腰三角形，
为
因为
为
的中点，则
，所以，
的重心、垂心、外心、内心都在直线
上，
，
直
则
线
的方程为
，
立
联
可得
，则
，
所以，直线
与抛物线
相切，B
；
错
于
对
C
，
点
选项设
第一象限内的点，
为
若
的垂心
在抛物
上
，
点
线
时设
，其中
，
将点
的坐
代入抛物
方程可得
标
线
，可得
，即点
，
由
意可知，
题
、
、
三点共
，
线
，
，
由
可得
，整理可得
，解得
，
所以，
，即点
，所以，
，
，C
；
对
于
对
D
，当
选项
的垂心在抛物
上
，点
线
时
，则
，
轴则
，
此
，
时
直角三角形，
为
D 错.
故
：
选AC.
三、填空题
【变式训练2-11】设椭圆
的右焦点为
，过
的直线与
相交于
两点．
点
设过
作
的垂
轴
线
交
于另一点
，若
是
的外心，则
的值为 ．
【解析】由
意知，直
题
线
的斜率存在，且不为0，
直
设
线
的方程为
，
代入
得
，
设
，则
，
，则
的中点坐标为
∴
∵
是
的外心，∴
是
段
线
的垂直平分
与
线
的垂直平分
的交点，
线
的垂直平分线为
，令
，得
，
即
，
，∴
．
【变式训练2-12】已知双曲线
的右焦点为
，
点
过
斜率为
的直线与双曲线
的右支交于
两点，点
，若
的外心
的横坐标为0，
直
则
线的方程为 .
【解析】由
知
，
直
设
线的方程为
，
立方程
联
组
得
，
由直
与双曲
右支交于两点可得
线
线
解得
，即
或
.
设
，则
，因为
，
所以
段
线
的中点为
，
且
.
设
，因为
在
段
线
的垂直平分
上，所以
线
，
得
，即
，故
.
因为
，且
，
所以
，化
得
简
，
得
或
（舍去），所以直线的方程为
，
即直线的方程为
或
.
【变式训练2-13】已知点
分
双曲
别为
线
的左、右焦点，点A，B 在C 的右支上，且点
恰好为
的外心，若
，则C 的离心率为 .
【解析】取
的中点为C，
接
连
BC、
、
，如
所示：
图
因为
，所以
，
又C 为
的中点，所以
等腰三角形且
为
，
因
点
为
恰好为
的外心，所以点
在直线BC 上，且
，
由双曲
的定
知
线
义
，则
，
所以
等
三角形，
为
边
则
，
在
中，
即
，化
得
简
，
同
除以
时
可得
，解得
或
(舍去).
四、解答题
【变式训练2-14】已知椭圆
的左右焦点分
是
别
，
是
上一
点
椭圆
动
(与左右
点不重
顶
合)，已知
的内切
半径的最大
是
圆
值
的离心率是
椭圆
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）过
作斜率不为0 的直线交
于
椭圆
两点，过
作垂直于
的直
交
于另一点
轴
线
椭圆
，
接
连
，设
的外心为
，求
：
证
定
为
值.
【解析】（1）由
意知∶
题
，∴a=2c，
，
△
设
的内切
半径
圆
为r，
则
.
故当
面
最大
，
积
时r 最大，即P 点位于
短
点
椭圆
轴顶
时
，
所以
，把a=2c，
代入，解得∶a=2，
，
所以
方程
椭圆
为
（2）由
意知，直
题
线AB 的斜率存在且不为0，
直
设
线AB 为
，
代入
方程得
椭圆
.
，
设
，则
，
，因此可得
所以AB 的中点坐标为(
，
)
因为G 是△ABQ 的外心，所以G 是
段
线
AB 的垂直平分
与
段
线
线
BQ 的垂直平分
的交点，
线
由
意可知
题
B，Q 关于y
称，故
轴对
，
AB 的垂直平分
方程
线
为
令y=0，得
，即G(
，0)，所以
又
=
故
，所以
定
，定
为
值
值为4.
【变式训练2-15】已知抛物线C：
，点P 为y
左
一点，
轴
侧
A，B
抛物
为
线C 上两点，当直线
抛
过
物线C 焦点F 且垂直于x
，
轴时
面积为2．
（1）求抛物线C
准方程；
标
（2）若直线
抛物
为
线C 的两条切
，
线设
的外心为M（点M 不与焦点F 重合），求
的所有可能取
．
值
【解析】（1）当直线
抛物
焦点
过
线
F 且垂直于x
，
轴时A，B 两点横坐标为
，
代入抛物
方程，可得
线
，故
，
，得
，
故抛物线C
准方程
标
为
．
（2）设
．直线
的方程
：
为
立
联
得
，得
，所以直线
，同理直线
，
立得
联
则
的中垂
方程分
：
线
别为
：
，
：
．
立
联
解得：
，
由于
，故
，
，
故
，所以
，则
的所有可能取值为1．
【变式训练2-16】已知从曲线
的左、右焦点分别为
，实轴长为
、一条
近
方
渐
线
程为
，过
的直线l 与双曲线C 的右支交于A，B 两点．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)已知
，若
的外心Q 的横坐标为0，求直线l 的方程．
【解析】（1）由
意，
题
则
，由
近
方程
渐
线
，即
，则
，解得
，
故双曲线
.
（2）已知
，由（1）可知
，
，则
，即
，
①当直线斜率不存在
，直
方程
时
线
为
，将其代入双曲
方程，
线
可得
，解得
，则
，
此
，
时
等腰三角形，
为
上中垂
边
线为
，若外心
轴
的横坐标
，则
，但此
，，
时
，
，由
，
不符合
意；
则
题
②当直线斜率存在
，
时设
，
立可得
联
，消去
可得：
，
设
，则
，
，
由于
位于双曲线
的右支，
直
则
线与
近
方程
渐
线
足
应满
或
，
，记
的中点
，
设
，则
在
的中垂
上，
直
线
设
线
的斜率为
，则
，
，
然
显
，则
，可得
，
由
，则
，又因
，
可得
，
整理可得：
，
，
，
，由
，则
，
直
方程
线
为
，即
或
.
【变式训练2-17】在平面直角坐
系中，△
标
ABC 的两个
点
顶
A，B 的坐
分
标
别为
，
，平面内两点G，M 同
足以下
时满
3 个条件：①G 是△ABC 三条
中
的交点：②
边
线
M 是△ABC 的外心；③
(1)求△ABC 的
点
顶
C 的
迹方程；
轨
(2)若点P（2，0）与（1）中
迹上的点
轨
E，F 三点共
，求
线
的取
范
值
围
【解析】（1）设C（x，y），G（
，
），M（
，
），
因为M 是△ABC 的外心，所以
所以M 在
段
线
AB 的中垂
上，所以
线
，
因为
，所以
，
又G 是△ABC 三条
中
的交点，所以
边
线
G 是△ABC 的重心，
所以
，
所以
，又
，
所以
，化
得
简
，
所以
点
顶
C 的
迹方程
轨
为
；
（2）因为
，
，
三点共
，所以
线
，
，
三点所在直
斜率存在且不
线
为0，
所在直
的方程
设
线
为
，
立
联
得
．
由
，得
．设
，
，
则
所以
．
又
，所以
，所以
．
故
的取
范
值
围为
．
【变式训练2-18】已知在平面直角坐
系
标
xOy 中，
点
动
M 到点
的距离与它到直线
的距离之比为2.记
M 的
迹
曲
轨
为
线E.
(1)求E 的方程；
(2)若P 是曲线E 上一点，且点P 不在x
上，作
轴
PQ⊥l 于点Q，
明：曲
证
线E 在点P
的切
△
处
线过
PQA 的外心.
【解析】（1）解:
点
设动
坐标为
,
根据
意得
则
题
,
两
同
平方
边
时
,化
可得
简
,所以曲线
的方程为
;
（2）由
点
题设
,因
点
为
不在
上
轴
,即
,
所以曲线
在点
的切
斜率存在
线
,设为
,
在点
则
的切
方程
线
为:
,
立方程
联
组:
,整理得:
,
因
双曲
的
近
为
线
渐
线为
,所以
,
,令
,得
．
因
点
为
在双曲
上
线
,所以
,即
,
所以
,因为
，所以两
同
除以
边
时
,解得
．
所以在点
的切
方程
线
为
,即
．
因为
,
,所以
,
所以直线
中垂线
方程为
,即
,
因为
,
,所以直线
的斜率为
,
段
线
的中点为
,
所以直线
中垂线
的斜率为
,
所以直线
中垂线
的方程为
．
立直
联
线
与直线
,
得外心坐标
．
将外心横坐标
代入
点
过
的切
方程
线
,
化
得到
简
,与外心的
坐
相等．
纵
标
所以曲线
在
点的切线经过
的外心．
题型03：圆锥曲线内心问题
【典型例题1】已知
，
分
双曲
别为
线
的左､右焦点，且
，点P
双曲
右支上一点，
为
线
M 为
的内心，若
成立，则λ 的
（
值为 ）
A．
B．
C．2
D．
【解析】因为
，所以
，即
，
所以
，所以离心率
，设
的内切
半径
圆
为，
则
，又
，
所以
，即
，
所以
，所以
.故
：
选B.
【典型例题2】已知
：
椭圆
的左、右焦点分别为
，右
点
顶
为A，点M 为椭圆
上一点，点I
是
的内心，延长MI 交
段
线
于N，抛物线
（其中c
下的半焦距）与
为椭圆
椭圆
交于B，C 两
点，若四
形
边
是菱形，
下列
正确的是（
则
结论
）
A．
B．椭圆
的离心率是
C．
的最小值为
D．
的值为
【解析】
于
对
A，因为椭圆
的左、右焦点分别为
，右
点
顶
为A，则
，
，
，
，
因
抛物
为
线
（其中c
下的半焦距）与
为椭圆
椭圆
交于B，C 两点，
所以由
与抛物
的
称性可得，
椭圆
线
对
两点关于
称，不妨
轴对
设
，
，
，
因
四
形
为
边
是菱形，所以
的中点是
的中点，
所以由中点坐
公式得
标
，则
，
将
代入抛物
方程
线
得，
，
所以
，则
，所以
，故A 正确；
于
对
B，由选项A 得
，再代入
方程得
椭圆
，
化
得
简
，则
，故
，所以
，故B
；
错误
于
对
C，由选项B 得
，所以
，则
，
所以
，不妨设
，则
，且
，
所以
，
当且
当
仅
且
，即
，即
，等号成立，
时
所以
的最小值为
，故C 正确；
于
对
D，
接
连
和
，如
，
图
因为
的内心为
，所以
为
的平分
，
有
线则
，
同理：
，所以
，
所以
，所以
，故D 正确.
故
：
选ACD.
【典型例题3】已知
，
分别为椭圆
的左、右焦点，点
在
上，点
椭圆
为
的内心，若
，则
的面积为 ．
【解析】延长
交
于点
轴
，设
，则
，
，因此，
，得
，因此
．
设
，
，则
内切
的半径
圆
．
又
，所以
，即
．
因为
，所以
，（
的定
的
用）
椭圆
义
应
由
，可得
，即
，所以
，故
，（角平
分
定理：三角形一个角的平分
与其
所成的两条
段与
个角的两
成比例）
线
线
对边
线
这
边对应
因此
，
，由余弦定理得
，
因此
，
所以
，故
的面积为
．
【典型例题4】已知
是圆
：
上的
点，点
动
，直线
与圆
的另一个交点为，点
在直线
上，
，
点
动
的
迹
曲
轨
为
线
.
(1)求曲线
的方程；
(2)若
点
过
的直线与曲线
相交于
，
两点，且
，
都在
上方，
：在
轴
问
上是否存在定点
轴
，使得
的内心在一条定直
上
线
?
你
出
并
明
请
给
结论
证
.
【解析】（1）圆
的
心
圆
为
，半径
，
因为
，所以
，又因为
，所以
，
所以
，
所以点
在以
，
焦点，
为
的双曲
上，
为实轴长
线
双曲
的方程
设
线
为
，则
，
.
所以
，
，
又
不可能在
上，所以曲
轴
线
的方程为
.
（2）在
上存在定点
轴
，使得
的内心在一条定直
上
线
.
明如下：由条件可
证
设：
.代入
，
得
，设
，
，则
，得
，
所以
所以
，取
，
则
又
，
都在
上方，所以
轴
的平分
定直
线为
线
，
所以在
上存在定点
轴
，使得
的内心在定直线
上.
一、单选题
【变式训练3-1】已知点
，
分
是
别
椭圆
：
的左、右焦点，点P 是椭圆E 上的一点，若
的内心是G，且
，则椭圆E 的离心率
（
为 ）
A．
B．
C．
D．
【解析】
点
设
G 到
各
的距离
边
为，由
，得
，
即
，由
定
知
椭圆
义
，
，
于是
，所以椭圆E 的离心率
.故
：
选B
【变式训练3-2】已知
、
是椭圆
的左右焦点，点
为
上一
点，且
动
，若
为
的内心，则
面
的取
范
是（
积
值
围
）
A．
B．
C．
D．
【解析】由
的方程可得
椭圆
，
，
，
内切
的半径
设
圆
为，则
，可得
，
而
，所以
，所以
，
所以
，因为
，
所以
，即
．故
：
选C．
【变式训练3-3】若椭圆
的离心率为
，两个焦点分别为
，
，
为
椭圆
上异于
点的任意一点，点
顶
是
的内心，
接
连
并延
交
长
于点
，则
（ ）
A．2
B．
C．4
D．
【解析】
如
，
接
图连
，
，设
到
距离
轴
为
，
到
距离
轴
为
，则
△
设
内切
的半径
圆
为，则
，
，
∴
，不妨设
，则
，
∴
，因为椭圆
的离心率为
，
∴
，故
：
选A.
【变式训练3-4】已知双曲线
(
)的左､右焦点分别为
双曲
上的一点，
为
线
为
的内心，且
，则
的离心率
（ ）
为
A．
B．
C．
D．
【解析】如下
示，延
图
长
到
且
，延长
到
且
，
所以
，即
，
故
是△
的重心，即
，又
，
所以
，而
是
的内心，则
，
由
，则
，故
，即
.故
：
选D
【变式训练3-5】已知双曲线
的左､右焦点分别为
，离心率为2，焦点到
近
的距
渐
线
离为
.过
作直线交双曲线
的右支于
两点，若
分别为
与
的内心，则
的取
范
值
围
（
为 ）
A．
B．
C．
D．
【解析】由
意，
题
在
中，根据焦点到
近
的距可得
渐
线
，离心率为2，
∴
，解得：
，∴
∴双曲
的方程
线
为
.
记
的内切
在
圆
边
，
，
上的切点分别为
，
则
，
横坐
相等
标
，
，
，
由
，即
，
得
，即
，记
的横坐标为
，则
，
于是
，得
，同理内心
的横坐
也
标
为
，故
轴.
直
设
线
的
斜角
倾
为
，则
，
（Q
坐
原点），
为
标
在
中，
，
由于直线与
的右支交于两点，且
的一条
近
的斜率
渐
线
为
，
斜角
倾
为
，
∴
，即
，∴
的范
是
围
.故
：
选D.
【变式训练3-6】设
为椭圆
上的
点，
动
为椭圆
的焦点，
为
的内心，
直
则
线
和直线
的斜率之
（ ）
积
A．是定值
B．非定
，但存在最大
值
值
C．非定
，但存在最小
值
值
D．非定
，且不存在最
值
值
【解析】
接
连
并延
交
长
于
轴
，
由内角平分
定理可得：
则
线
，
，
；
设
，
，
，则
，
，
，则
，又
，则
．
，则
，
，
，
则
，
直线
和直线
的斜率之
是定
．故
：
积
值
选A．
【变式训练3-7】已知双曲线
的左､右焦点分别为
，
右焦点
过
的直线与双曲
的右支交于
线
两
点，若
的内心分别为
，则
与
面
之和的取
范
是（
积
值
围
）
A．
B．
C．
D．
【解析】
由双曲
方程得：
线
，
，则
，设
内切
与三
相切于点
圆
边
，
，
，
，
，
又
，
，
，
设
，则
，解得：
，即
；
同理可知：
内切
与
圆
相切于点
轴
；
分别为
的角平分
，
线
，
又
，
∽
，则
，设
内切
半径分
圆
别为
，
，
，即
，
，
双曲
的
近
斜率
线
渐
线
，
直线的
斜角
倾
，
，则
，
，解得：
，
又
在
上
减，在
单调递
上
增，
单调递
当
，
时
；当
，
时
；当
，
时
；
，
.故
：
选A.
二、多选题
【变式训练3-8】已知
，
分
双曲
别为
线
的左、右焦点，M 为C 的右
点，
顶
过
的直
与
线
C
的右支交于A，B 两点（其中点A 在第一象限），
点
设
P，Q 分别为
，
的内心，R，r 分别为
，
内切
的半径，
（
圆
则 ）
A．点M 在直线PQ 上
B．点M 在直线PQ 的左侧
C．
D．
【解析】先
明一个
：焦点在
证
结论
x
上的双曲
焦点三角形的内切
心横坐
轴
线
圆圆
标为
.
过
的直
与
线
C 的右支交于A，B 两点，
点
设
P 为
的内心，
设圆P 与
的切点分别为
，则
，
则
，解之得
切点
则
的坐标为
.切点
与双曲线C 的右
点
顶
M 重合，
则圆P 与x
的切点
双曲
轴
为
线C 的右
点
顶
M，
同理可得圆Q 与x
的切点
双曲
轴
为
线C 的右
点
顶
M.
直
则
线
的方程为
，
双曲线C 的右
点
顶
M 的坐标为
，
点
则
M 在直线PQ 上.
则选项A 判断正确；选项B 判断
；
错误
选项C：
.判断正确；
选项D：由直线
的方程为
，可得
.判断正确.
故
：
选ACD
【点睛】关
点睛：本
的关
点是利用
与抛物
的
称性，可
键
题
键
椭圆
线
对
设
的坐
，再由菱形的性
与中点坐
公式推
标
质
标
得
，从而求得
的
，由此得解
值
.
【变式训练3-9】已知双曲线
的左、右
点分
顶
别为
，
，左、右焦点分别为
，
，点
是双曲线
的右支上一点，且三角形
正三角形（
为
坐
原点），
为
标
记
，
的斜率分别为
，
，设
为
的内心，记
，
，
的面
分
积
别为
，
，
，
下列
法正确的是（
则
说
）
A．
B．双曲线
的离心率为
C．
D．
【解析】
因为
正三角形，所以
为
，所以
，
所以
，故A 正确
将
点坐
代入双曲
方程可得
标
线
，
即
，即
，
即
，即
，设
（
），则
，
解之得：
或
（舍），
所以
，所以
，故B 正确，
，故C
，
错误
，
设
的内切
半径
圆
为，则
，
，
，
，
，
所以
，即
，故D 正确
故
：
选ABD
【变式训练3-10】已知
，
分
是双曲
别
线
的左、右焦点，过
且
斜角
倾
为
的直
交
线
双曲线C 的右支于A，B 两点，I 为
的内心，O
坐
原点，
下列
成立的是（
为
标
则
结论
）
A．若C 的离心率
，则
的取
范
是
值
围
B．若
且
，则C 的离心率
C．若C 的离心率
，则
D．过
作
，垂足为P，若I 的横坐标为m，则
【解析】
于
对
选项A，当
，双曲
时
线
的
近
方程
渐
线
为
，其
斜角分
倾
别为
，
，因为过
且倾
斜角为
的直
与双曲
的右支交于
线
线
A，B 两点，所以
的取
范
是
值
围
，故A
．
错误
于
对
选项B，由双曲
的定
可知
线
义
，又
，故
，
，由
，得
，所以
，
接
连
，则
，由
得
，
在
中，由余弦定理得
，
得
，故
，故B 正确．
于
对
选项C，因为C 的离心率
，所以
，设
的内切圆I 的半径为r，
则
，故C 正
确．
于
对
选项D，设
，因为
，AP 为
的平分
，所以
线
等腰三角形，
为
，
，则
，在
中，OP
中位
，所以
为
线
．设
的内切圆I 与
，
，
相切的切点分别为D，N，M，则
，
又
所以
，
，故D 正确．
故
：
选BCD．
三、填空题
【变式训练3-11】已知双曲
的中心在原点，右
点
线
顶
为
，点
在双曲
的右支上，点
线
到直线
的
距离为1．当
，
时
的内心恰好是点
，
双曲
的方程
则
线
．
【解析】当
，
时
，
由于点
到直线
的距离为，所以直线
的斜率
，
因
点
为
为
的内心，故
是双曲
上关于
线
称的两点，
轴对
所以
，不妨
直
轴
设
线
交
于点
轴
，则
，所以点
的坐标为
，
所以
两点的横坐
均
标
为
，把
代入直线
的方程：
，得
，
所以
两点的坐
分
：
标
别为
，
双曲
方程
：
设
线
为
，把点
的坐
代入方程得到
标
，
所以双曲
方程
：
线
为
.
【变式训练3-12】已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，P 是C 在第一象限上的一点，
且直线
的斜率为
，点B 为
的内心，直线PB 交x
于点
轴
A，且
，
双曲
则
线C 的
近
方程
渐
线
为
．
【解析】如
所示，
内切
图
设
圆
与
的三
分
相切于
边
别
三点，
过P 作
于
轴
M 点，因为
，
，
，
又由双曲
定
得
线
义
，即
，由
，故
，即
点横坐标为
，因
直
为
线
的斜率为
，所以
，
，
又因为
，所以
，故直线
的方程为
，令
，可得
，即
，
因为
，且
，所以
，故
，
可得
，
，
在
中，由余弦定理得
，
即
，化
得
简
，
即
，解得
，或
（舍去），所以
，
故双曲线C 的
近
方程
渐
线
为
或
．
故答案
：
为
或
．
【变式训练3-13】已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，M 是双曲线C 右支上一点，记
的重心为G，内心为I．若
，
双曲
则
线C 的离心率为 ．
【解析】如
，
接
图连
MG，MI 并延
，与
长
分
交于点
别
O，D，
双曲
设
线C 的焦距为2c，由
意，得
题
，
因为
，且G
重心，
为
则
，所以
，
因为I 为
的内心，所以MD 为
的平分
，
线
所以
，所以
，
又
，所以
，
，
设
的内切
半径
圆
为r，则M 到x
的距离
轴
为3r，
因为
，
，
所以
，所以
，所以双曲线C 的离心率
．
四、解答题
【变式训练3-14】已知椭圆
的左、右焦点分别为
，其离心率是
，
上异于
为椭圆
长
端点的一点，
轴
，设
的内心为
，且
．
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）已知直线
定点
过
，若椭圆
上存在两点
关于直线
称，求直
对
线斜率
的取
范
．
值
围
【解析】（Ⅰ）因为
的内心为
，且
，所以
，又因为
，
所以
，即椭圆
的方程为
.
（Ⅱ）（ⅰ）由
意当
题
，
然合
意；
时显
题
（ⅱ）当
，
直
时设
线
，
中点是
，
由
，得
，
由
得，
①
由
，得
，
所以
在直线上，
即
，所以
②
①②得
，所以
且
．
合（ⅰ）（ⅱ）即直
综
线斜率
的取
范
是
值
围
．
【变式训练3-15】已知椭圆C：
，直线
与以原点
心，以
为圆
椭圆C 的短半
半
轴长为
径的
相切，
圆
其左、右焦点，
为
P 为椭圆C 上任一点，
的重心为G，内心为I，且
．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若直线
与椭圆C 交于不同的两点A、B，且
段
线
AB 的垂直平分线
定点
过
，求
数
实
k
的取
范
．
值
围
【解析】（1）设
，则
，设
，
由
则
，可得
，
∵
，∴
∴
，即
，
∵直线y
与以原点
心，以
为圆
椭圆C 的短半
半径的
相切
轴长为
圆
∴
，∴
，∴
的方程
椭圆
为
；
（2）设
，
直
方程代入
方程可得
则
线
椭圆
，
由
，可得
，即
，
∵
，∴
，
∴
段
线
AB 的中点R 的坐标为
，
∵
段
线
AB 的垂直平分线
的方程为
，R 在直线
上，
∴
，∴m
，∴
，
∴
，∴
或
．
【变式训练3-16】已知椭圆
，
直线
与以原点
心，以
为圆
椭圆
的短半
半径的
轴为
相切，
圆
其左右焦点，
为
为椭圆
上的任意一点，
的重心为
，内心为
，且
,
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）已知
为椭圆
上的左
点，直
顶
线
右焦点
过
与椭圆
交于
两点，若
的斜率
足
满
，求直线
的方程．
【解析】
（Ⅰ）设
，
，则
又
，
，
，
，故
．
又直线
与以原点
心，以
为圆
椭圆
的短半
半径的
相切，
轴为
圆
，
，
．
．
（Ⅱ）若直线斜率不存在，
然
显
不合
意；
题
直
则
线的斜率存在．
直
设
线为
，直线和
交于
椭圆
，
．
将
代入
中得到：
,
依
意：
题
,
由
达定理可知：
韦
又
而
从而
求得
,故所求直线
的方程
：
为
，即
【变式训练3-17】已知点
是双曲线
的左、右焦点，
是
右支上一点，
的周
长为
，
为
的内心，且
足
满
.
(1)求双曲线
的
准方程；
标
(2)过
的直线与双曲
的右支交于
线
两点，与
交于点
轴
，
足
满
（其中
），求
的取
范
值
围.
【解析】（1）设
内切
半径
圆
为，
由
意
题
.
所以
，因为
的周长为
，
所以
，所以
，
所以
，所以双曲
的
准方程
线
标
为
.
（2）由
知，直
题
线斜率存在且不为，可
其方程
设
为
，
，
立
联
，整理得
因
直
为
线与双曲
右支交于两点，
有
线
则
，
解得
，所以
，
因为
，所以
，
所以
，即
，同理
，
所以
，①
②
两式相除得
.
因为
，
当与
近
渐
线
平行
，
时
，此时
，
因为与双曲
右支交于两点，所以
线
，.所以
，所以
，
即
的取
范
值
围为
.
【变式训练3-18】已知椭圆
的右焦点为
，点A，B 在椭圆C 上，点
到直线
的距离为
，且
的内心恰好是点D．
(1)求椭圆C 的
准方程；
标
(2)已知O
坐
原点，
为
标
M，N
上不重合两点，且
为椭圆
M，N 的中点H 在直线
上，求
面
的最大
．
积
值
【解析】（1）设椭圆
的左焦点为
，则
，
故点
到直线
的距离等于
，因为
的内心恰好是点D，
所以点
到直线
的距离相等且为
，则
即
点
为
到直线
的距离，
所以
，即
，由
轴
，令
，则
，
不妨取
，则
，故直线
的方程为
，即
，
点
则
到直线
的距离为
，即
，
又
，所以
，所以椭圆C 的
准方程
标
为
；
（2）设
，则
，
因为M，N
上不重合两点，
为椭圆
有
则
，两式相减得
，
则
，即
，
直
设
线
的方程为
，
立
联
，消
得
，
，解得
，
所以
，
，
则
，
原点
到直线
的距离
，，
故
，
当且
当
仅
，即
，取等号，所以
时
面
的最大
积
值为
．
题型04：圆锥曲线垂心问题
【典型例题1】已知
是抛物线
上的两个点，O
坐
原点，若
为
标
且
的垂心恰是抛
物
的焦点，
直
线
则
线
的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】由点
是抛物线
上的两点，且
，
根据抛物
的
称性，可得
线
对
关于
称，
轴对
直
设
线
的方程为
，则
，
因为
的垂心恰好是抛物
的焦点
线
，
所以
，可得
，即
，
解得
，即直线
的方程为
.故
：
选C.
【典型例题2】
抛物
设
线
的焦点为
，
抛物
上异于
点的一点，且
为
线
顶
在准
上的射影
线
为
，
下列
则
正确的有（
结论
）
A．点
的中点在
上
轴
B．
的重心、垂心、外心、内心都可能在抛物
上
线
C．当
的垂心在抛物
上
，
线
时
D．当
的垂心在抛物
上
，
线
时
等
三角形
为
边
【解析】
于
对
A
，抛物
选项
线
的焦点为
，准
方程
线
为
，
点
设
，
点
则
，所以，
段
线
的中点为
，A
；
对
于
对
B
，由抛物
的定
可知
选项
线
义
，则
等腰三角形，
为
因为
为
的中点，则
，所以，
的重心、垂心、外心、内心都在直线
上，
，
直
则
线
的方程为
，
立
联
可得
，则
，
所以，直线
与抛物线
相切，B
；
错
于
对
C
，
点
选项设
第一象限内的点，
为
若
的垂心
在抛物
上
，
点
线
时设
，其中
，
将点
的坐
代入抛物
方程可得
标
线
，可得
，即点
，
由
意可知，
题
、
、
三点共
，
线
，
，
由
可得
，整理可得
，解得
，
所以，
，即点
，所以，
，
，C
；
对
于
对
D
，当
选项
的垂心在抛物
上
，点
线
时
，则
，
轴则
，
此
，
时
直角三角形，
为
D 错.
故
：
选AC.
【典型例题3】已知椭圆
的上
点
顶
为
，右焦点为
，直线与椭圆
交于
，
两点，若椭圆
的右
焦点
恰好为
的垂心，
直
则
线的方程为 ．
【解析】易知
，
，直线
的斜率为
，因椭圆
的右焦点
恰好为
的垂心，则
，从而直
线的斜率为2．
直
设
线的方程为
，将直
方程与
方程
立有
线
椭圆
联
，
消去y 得：
．
由
，得
，设
，
，
由
达定理有：
韦
，
．右焦点
恰好为
的垂心，故
．
又
，则
.解得
或
．
当
，点
时
即
直
为
线与
的交点，不合
意；
椭圆
题
当
，
知
时经检验
和
相交，符合
意．故直
椭圆
题
线的方程为
．
【典型例题4】如
，已知抛物
图
线
的焦点为F，
点
过
F 的直线l 交抛物线C 于A，B 两点，
点
动
P 满
足
PAB 的垂心
原点
为
O.当直线l 的
斜角
倾
为30°
，
时
.
(1)求抛物线C 的
准方程；
标
(2)求
：点
证
P 在定直
上
线
.
【解析】（1）
直
设
线l 的方程为
，
，
.
由
得
.
所以
，
.由抛物
定
，得
线
义
.
当直线l 的
斜角
倾
为30°
，
时
，
.
所以
，即抛物线C 的
准方程
标
为
.
（2）由（1），得
，
.
因为
的垂心
原点
为
O，所以
，
.
因为
，所以
.
所以直线AP 的方程为
，即
.
同理可得，直线BP 的方程为
.
立方程
联
解得
即
.所以点P 在定直线
上.
一、单选题
【变式训练4-1】已知抛物线
上有三点
，
，
，
的垂心在
上，
轴
，
两点的
坐
分
纵
标
别为
，
，
点
则
的
坐
（
纵
标为 ）
A．
B．
C．
D．
【解析】点
在抛物
上，
坐
线
纵
标为
，则
，同理可得
，
点
设
，垂心
，则
，
，即
，化
得：
简
，消去
可得
，解
得
或
(舍)，故
：
选B
【变式训练4-2】平面直角坐
系
标
中，双曲线
的
近
与抛物
渐
线
线
交于点O，A，B，若
的垂心为
的焦点，则
的离心率
（
为 ）
A．
B．
C．
D．
【解析】如
所示：
图
双曲线
的
近
方程
渐
线
为
，与抛物线
立，
联
解得
或
，所以
，
，
因为
的垂心为
的焦点，所以
，
即
，即
，所以
，故
：
选A
【变式训练4-3】在平面直角坐
系
标
xOy 中，双曲线C1：
－
＝1(a>0，b>0)的
近
与抛物
渐
线
线C2：x2＝2py(p>0)
交于点O，A，B，若△OAB 的垂心为C2的焦点，则C1的离心率
（
为 ）
A．
B．
C．
D．
【解析】抛物
的焦点
线
的坐标为
，
设
所在的直
方程
线
为
所在的直
方程
线
为
，
由
得
∴点
的坐标为
，
∵
是
的垂心，∴
，∴
∴
故
：
﹒
选C﹒
【变式训练4-4】
抛物
设
线
的焦点为
，
抛物
上异于
点的一点，且
为
线
顶
在直线
上的射影为
，若
的垂心在抛物线
上，则
的面
（
积为 ）
A．
B．
C．
D．
【解析】
点
设
，
点
则
，
点
设
在第一象限，
抛物线
的焦点为
，设
的垂心为
，
由于
，
点
则
的横坐标为，可得点
，
，则
，
，
，
，解得
，
所以，点
的坐标为
，所以，
，
.故
：
选B.
【变式训练4-5】
双曲
设
线
：
的左
点与右焦点分
顶
别为
，
，以
段
线
底
作一个等腰
为
边
，且
上的高
边
.若
的垂心恰好在
的一条
近
上，且
渐
线
的离心率为，
下列判断正确的
则
是（ ）
A．存在唯一的，且
B．存在两个不同的，且一个在区间
内，另一个在区间
内
C．存在唯一的，且
D．存在两个不同的，且一个在区间
内，另一个在区间
内
【解析】由
意可
题
设
，设
的垂心
，则
，
，由
可得
，解得
，故
.
因为
的垂心恰好在
的一条
近
上，所以
渐
线
，即
，化
可得
简
，设
，则
.
作出
与
的
象，因
当
图
为
，
时
，当
，
时
，故存在唯一的
，
且
，使得当
.
即存在唯一的，且
，使得
.故
：
选A.
【变式训练4-6】已知双曲
线
的右焦点为
，以坐
原点
标
心、
为圆
半径作
与双曲
为
圆
线
的
近
在第一象限交于点
渐
线
，设
为
的垂心，恰有
，
双曲
则
线
的离心率
足（
应满
）
A．
B．
C．
D．
【解析】
接
连
交
于
，由
意知，
题
，
，
，
，
，
在
中，
，
，
，所以
，
，
因为
，
，所以
，
，
，所以
，整理得
，
即
，整理得
，
设
，
，则
，
称
对
轴为
，所以
在
增，又
单调递
，所以当
，
时
，即
在
上
增，又
单调递
，
，所
以
.故
：
选B.
【变式训练4-7】记椭圆
：
的左右焦点为
，
，过
的直线交
于
椭圆
，
，
，
的切
交于点
处
线
，设
的垂心为
，则
的最小
是（
值
）
A．
B．
C．
D．
【解析】椭圆
的左右焦点为
，
，
由
意，易知直
题
线的斜率存在，（若斜率不存在，则
三点共
，不能构成三角形），
直
线
设
线的方程为
，
，
，
对
两
同
求关于
边
时
的
数，得
导
，则
，
在点
则椭圆
的切
斜率
处
线
为
，
在点
则椭圆
的切
方程
处
线
为
，
即
，即
；
同理，
在点
椭圆
的切
方程
处
线
为
，
由
得
，
则
，
所以
，即
；
又
的垂心为
，则
，
，
即
，
轴则
的横坐
也
标
为
，记
的
坐
纵
标为
，
由
得
，所以
，则
，
因此
，因为
点
过
，所以直线与
必有两个交点，故
椭圆
且
，
则
，
当且
当
仅
，即
，等号成立
时
.故
：
选D.
二、多选题
【变式训练4-8】已知抛物线
的焦点为
，点
，
，
抛物
上不与
为
线
重合的
点，
动
坐
原
为
标
点，
下列
法中，正确的有（
则
说
）
A．若
中点
坐
纵
标为2，则
的斜率为2
B．若点
恰为
的垂心，则
的周长为
C．若
与
的
斜角互
，
倾
补则
的斜率恒为
D．若
，则
点
坐
的取
范
是
纵
标
值
围
【解析】
于
对
选项A，设
，
，
由
则
，
在抛物
上可得
线
，
，
所以
，当
中点
坐
纵
标为2
，
时
，所以
，A
；
错误
于
对
选项B，若点
恰为
的垂心，
由
则
，可得
，
关于
称，所以
轴对
，
则
，
，又由
可得
，所以
，
则
，
，所以
，
，则
的周长为
，B 正确；
于
对
选项C，若
与
斜角互
，
倾
补则
，即
，
所以
，则
，故C
；
错误
于
对
选项D，若
，由
可得
，即
，
即
（
，
与2 互不相等），
将
看作关于
的一元二次方程，令
，解得
，
又当
，
时
，当
，方程无解，所以
时
点
坐
纵
标
，故D 正确，
故
：
选BD.
【变式训练4-9】双曲线
的虚轴长为2，
其左右焦点，
为
是双曲
上的三点，
线
过
作
的切
交其
近
于
线
渐
线
两点.已知
的内心
到
的距离
轴
为1.下列
法正确的是（
说
）
A．
外心
的
迹是一条直
轨
线
B．当
化
，
变
时
外心的
迹方程
轨
为
C．当
化
，存在
变
时
使得
的垂心在
的
近
上
渐
线
D．若
分
是
别
中点，则
的外接
定点
圆过
【解析】因
已知
为
的内心
到
的距离
轴
为1，双曲线
的虚轴长为2，
所以
的内心
横坐标
，双曲
方程：
线
，
，
近
渐
线
.
设
.
当点
在双曲线
上
：
时
直
设
线
与双曲线
交两点
当直
与双曲
相切
线
线
时
，此
切点
时
足：
满
切线
直
设
线
与
近
渐
线
交两点
切点
正是
段
线
的中点，
∴
；
段
线
中垂
是
线
.
中垂
与
线
交于点
轴
，且
.
可设
一方面，
；另一方面，
段
线
中点是
考
到
虑
∴
，点
确系
之外心
！其
迹是直
轨
线
.选项A 正确！
依（1）设
段
线
中点是
段
线
中垂
是
线
，即
段
线
中垂
是
线
，即
∴
，即
外心的
迹方程
轨
为
.故选项B
！
错
（3）对
来
，若垂心在
近
上可
坐
是
讲
渐
线
设
标
，
而
进
化
得
简
∴
把
代入
并化
得：
简
考
到
虑
不在
近
上得
渐
线
，故
∴
，
不可能！垂心不能在
这
上，同理不能在
上，选项C
；
错误
（4）设
共
！
圆
的外接
定点原点，
圆过
选项D 对.
故
：
选AD
【变式训练4-10】瑞士著名数学家欧拉在1765 年
明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直
上，且
证
线
重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称
条直
“欧拉
”
这
线为
线.直线与
及双曲
轴
线
的两条
近
的三个不同交点构成集合
渐
线
，且
恰
某三角形的外心，重心，垂心所成集合
为
.
若的斜率为1，
双曲
的离心率可以是（
则该
线
）
A．
B．
C．
D．
【解析】设
，由
，得
，得
，
由
，得
，得
，
由
，得
，得
，
，
，
，
若
重心、
为
外心、
为
垂心，
为
则
，
所以
，化
得
简
，此
双曲
的离心率
时
线
，
若
重心、
为
垂心、
为
外心，
为
则
，
所以
，化
得
简
不成立；
若
重心、
为
垂心、
为
外心，
为
则
，
所以
，化
得
简
，此
双曲
的离心率
时
线
，
若
重心，
为
垂心、
为
外心，
为
则
，
，化
得
简
，此
双曲
的离心率
时
线
；
若
重心、
为
垂心、
为
外心，
为
则
，
所以
，化
得
简
或
，
此
双曲
的离心率
时
线
或
，
若
重心，
为
垂心、
为
外心，
为
则
，
所以
，化
得
简
或
都不成立.
上所述：
综
或
或
或
.
故
：
选ABD
三、填空题
【变式训练4-11】若曲线
：
上一点
，是否存在直线
与抛物线
相交于两不同的点
，使
的垂心为
．
直
则
线
的方程为 ．
【解析】把
代入
中，得
，即
，
假
存在直
设
线
与抛物线
相交于两不同的点
，使
的垂心为
，
设
，
然直
显
线
的斜率为
，
直
则
线
的斜率为，
直
设
线
的方程是
，由
，消去
化
得：
简
，即
∵
的垂心为
，
∴
即
，
或
当
，直
时
线
的方程是
，
点
过
，不合
意，舍去，
题
∴存在
的直
这样
线
，其方程是
【变式训练4-12】已知抛物
方程
线
为
，直线
与抛物
交于
线
A、B 两点，抛物
的焦点
线
F 为
（O
坐
为
原点）的垂心，
数
标
则实
的值为 ．
【解析】由
意知，
题
,设
，
，则
，
故
，则
，∴
【变式训练4-13】已知点
在椭圆C：
上，
点
过
作直
交
线
椭圆C 于点
的垂心为
，若垂心
在y
上．
数
轴
则实
的取
范
是
值
围
．
【解析】（1）当直
斜率不存在
，
线
时设
，
此时
，则
，∴
，
又
，
立解得
联
或
（舍去），∴
.
（2）当直
斜率存在
，
线
时设
，
，
直
方程
：
设
线
为
，
直线QT 的斜率为
，∵AB⊥QT，∴
，即
，
又∵BT⊥AQ，∴
，即
，（*）
立
联
化为
，则
，
，
，∴
，
，
代入（*）可得
．
∴
，解得
，
上可知：
数
综
实
m 的取
范
值
围为
．
四、解答题
【变式训练4-14】已知椭圆
的右焦点为F，上
点
顶
为M，O
坐
原点，若
为
标
的面积为
，
且
的离心率
椭圆
为
．
(1)求
的方程；
椭圆
(2)是否存在直线l 交
于
椭圆
P，Q 两点，且F 点恰为
的垂心？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，
明理由．
说
【解析】（1）依
意得，
题
，即
，则
，
又
，则
，所以所求
的方程
椭圆
为
．
（2）由（1）知
，故直线MF 的斜率为
．
若符合
意的直
题
线l 存在，可
直
设
线
，
由
，消去y 整理得
，
则
，即
．
又
，
则
，
由F 点恰为
的垂心等价于
，即
．
由于
，故
，
所以
或
．
当
，直
时
线PQ
点
经过
M，此
不构成三角形，故舍去．
时
故直线l 的方程为
．
【变式训练4-15】若两个
的离心率相等，
称它
“相似
”．如
，在直角坐
系
椭圆
则
们为
椭圆
图
标
xOy 中，已知椭圆C1：
，A1，A2分别为椭圆C1的左，右
点．
顶
椭圆C2以
段
线
A1A2
短
且与
为
轴
椭圆C1
“相似
”．
为
椭圆
（1）求椭圆C2的方程；
（2）设P 为椭圆C2上异于A1，A2的任意一点，过P 作PQ⊥x
，垂足
轴
为Q，
段
线
PQ 交椭圆C1于点H．求
：
证H 为
△PA1A2的垂心．(垂心
三角形三条高的交点
为
)
【解析】（1） 由
意可知
题
，椭圆C1 的离心率
，
设椭圆C2 的方程为
，则
，
，
解得
，所以椭圆C2 的方程为
.
（2）
明：
证
设
，
由
则
得
，
把
入
带
椭圆
，得
，
因为
在
的同
，所以
轴
侧
，所以
，
所以
,
所以
，又
，所以H
△
为
PA1A2 的垂心．
【变式训练4-16】已知
分
是
别
椭圆
的左、右焦点，点
在椭圆
上，且
的垂心为
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）
点
过
的直线（斜率为
）交椭圆
于
，
两点，在
上是否存在定点
轴
，使得射线
平分
？
若存在，求出点
的坐
；若不存在，
明理由
标
请说
.
【解析】（1）设
，由
的垂心为
，得
，
所以
，则
，解得
，所以
.
由点
在椭圆
上，得
，解得
，
故椭圆
的方程为
.
（2）假
存在定点
设
足
意，其坐
满
题
标为
，
易知直线的方程为
，代入
，
消去
，得
，
，
设
则
，
所以
，
由已知得
任意的
对
恒成立，
所以
，解得
，此
点
时
的坐标为
.
所以存在定点
足
意，其坐
满
题
标为
.
【变式训练4-17】已知双曲线
：
的离心率为
，直线
：
与双曲线C
有一个公
仅
共点.
(1)求双曲线
的方程
(2)
双曲
设
线
的左
点
顶
为
，直线
平行于
，且交双曲线C 于M，N 两点，求
：
证
的垂心在双曲线C 上.
【解析】（1）因
双曲
为
线
的离心率为
，所以
，即
，
所以双曲线
的方程为
，
立直
联
线
与双曲线
的方程
，消去
得
，
即
，因为
与双曲线C
有一个公共点，
仅
所以
，解得
,
故双曲线
的方程为
.
（2）设
，
，
则
足
满
消去
得
，
所以
，
，
如
所示，
图
过A 引
的垂
交
线
C 于另一点H，
则AH 的方程为
.
代入
得
，即
（舍去）或
.
所以点H 为
.
所以
，
，所以
，故
为
的垂心，得证.
【变式训练4-18】已知抛物线
：
点
过
，
其焦点，
为
过
且不垂直于
的直
轴
线交抛物
线
于
，
两点，
点
动
足
满
的垂心
原点
为
.
（1）求抛物线
的方程；
（2）求
：
点
证动
在定直线
上，并求
的最小值.
【解析】（1）由
意，将点
题
代入
，即
，解得
，
所以，抛物线
的方程为
.
（2）解析1：（巧
直
）
设
线
明：
证
设：
，
，
，
立
联
，可得
，
有
则
，可设
：
，即
，同理
：
，解得
，即
点
动
在定直线
：
上.
，当且
当
仅
取等号
时
.其中
，
分
点
别为
和点
到直
线
的距离.
（2）解析2：（利用向量以及同构式）
明：
证
设：
，
，
，
立
联
，可得
，
有
则
.
，
，又
为
的垂心，从而
，代入化
得：
简
，
同理：
，从而可知，
，
是方程
的两根，所以
，所以
点
动
在定直线
：
上.
，当且
当
仅
取等号
时
.其中
，
分
点
别为
和点
到
直线
的距离.
