第09 讲 抛物线定点，定值，定直线
目 录
知识要点.........................................................................................................................................................2
题型归纳.........................................................................................................................................................6
题型01：抛物线定点问题...............................................................................................................................6
（一）抛物向上两个动点，衍生直线过定点.............................................................................................6
（二）满足斜率，向量，长度关系定值过定点.......................................................................................21
（三）圆过定点.....................................................................................................................................34
（四）切线相关定点..............................................................................................................................38
（五）参数，坐标变换类过定点............................................................................................................44
题型02：抛物线定直线问题......................................................................................................................... 49
题型03：抛物线定值问题.............................................................................................................................69
（一） 斜率定值...................................................................................................................................69
（二） 斜率和，积定值........................................................................................................................ 71
（三） 距离及距离关系定值................................................................................................................. 78
（四） 面积定值...................................................................................................................................89
（五） 参数定值...................................................................................................................................93
（六） 向量定值...................................................................................................................................99
知识点一：抛物线定点问题
一、考情分析
1.定点问题是高考圆锥曲线高频难点，抛物线定点分为两类核心题型：
①动直线恒过定点（高考主流大题）；
②动点恒落在定点 / 定直线上。
2.核心解题逻辑：变量动态变化，但定点坐标恒定不变，通过参数表示直线方程，分离参数，令参数系数全部
为 0，解出定点坐标。
二、必备基础公式与结论
1.抛物线标准方程（开口向右）y²=2px (p>0) 焦点 F (p/2,0)，准线直线 x=-p/2
2.设抛物线上两点 A (x₁,y₁)，B (x₂,y₂)，满足 y₁²=2px₁，y₂²=2px₂。
3.直线最优设法（规避斜率不存在讨论）设直线：x=ty+m （t 代表斜率倒数；m 是直线与 x 轴交点横坐标，
可覆盖垂直 x 轴所有直线）。
4.联立方程 + 韦达定理（通用万能式）
联立方程组消去 x 得一元二次方程： y²-2pty-2pm=0
判别式：Δ=4p²t²+8pm>0
韦达定理：y₁+y₂=2pt y₁y₂=-2pm
推论：两点横坐标乘积 x₁x₂=(y₁y₂)²÷4p²=m²
抛物线两点式直线简化结论：过抛物线上 A、B 两点的直线满足：y₁y₂=p (x+x₁)
推导思路：两点方程作差求斜率 k AB=2p÷(y₁+y₂)，再用点
斜式化简。
三、定点问题两大通用解法
解法 1：参数分离法（大题标准解法）
步骤：
S1.设出动直线，引入参数 t、m、k；
S2.根据垂直、斜率定值、向量数量积等题干条件，推导出参数之间的等量关系；
S3.整理直线方程，写成：M (x,y)・t + N (x,y) = 0；
S4.等式对任意参数恒成立，等价于方程组：
M (x,y)=0
N (x,y)=0
S5.解方程组得到定点坐标。
解法 2：特殊点探路法（选择填空提速）
步骤：
S1.选取两条特殊位置的动直线，求出两条直线交点；
S2.代数证明所有动直线均经过该交点。
四、高频定点模型（直接套用）
模型 1：原点处两条互相垂直的弦
抛物线 y²=2px，OA 垂直 OB，直线 AB 恒过定点 (2p,0)。
模型 2：x 轴定点弦对称等角模型
若直线过 M (m,0) 交抛物线于 A、B，则 x 轴上点 R (-m,0) 满足∠ARM=∠BRM；
逆命题成立：若∠ARM=∠BRM，则直线 AB 过 (m,0)。
模型 3：焦点弦定点结论
焦点 F (p/2,0)，AB 为抛物线焦点弦，直线 AB：x=ty+p/2，韦达 y₁y₂=-p²；
A 关于 x 轴对称点为 A'，直线 A'B 恒过原点 (0,0)。
知识点二：抛物线定直线问题
一、考情解读
抛物线定直线问题是圆锥曲线常考题型，分为两大类：
①动点恒在某条定直线上（核心大题）；
②动切点、动交点、动垂线交点落在固定直线；
核心思路：设点设参，利用抛物线方程、韦达定理消参，消去参数后得到 x、y 恒满足的一次方程，即为定直线。
二、前置必备知识点
1.标准抛物线：y²=2px (p>0),抛物线上任一点 P (x₀,y₀) 满足 y₀²=2px₀
2.点差求斜率
A (x₁,y₁)、B (x₂,y₂) 在抛物线上：y₁²=2px₁，y₂²=2px₂ 两式作差：(y₁-y₂)(y₁+y₂)=2p (x₁-x₂)
直线 AB 斜率 k=
2 p
y ₁+ y ₂
3.切线方程（高频考点）
抛物线 y²=2px 在点 P (x₀,y₀) 处切线：y₀y=p (x+x₀)
4.直线通用设元：x=ty+m，规避斜率不存在讨论
联立抛物线得 y²-2pty-2pm=0
韦达：y₁+y₂=2pt，y₁y₂=-2pm
三、定直线两大通用解题方法
方法 1：消参法（通用大题解法）
步骤：
S1.设动点坐标、引入参数 t/m/k；
S2.根据题干垂直、切线、向量、斜率条件，写出动点横纵坐标关于参数的表达式；
S3.联立 x、y 表达式，消去所有参数，得到只含 x、y 的等式；
S4.若等式为一次方程 Ax+By+C=0，该直线即为定直线。
方法 2：特殊点预判法（选择填空快速判定）
步骤：
S1.取两组特殊参数，算出两个动点坐标；
S2.两点确定一条直线，写出直线方程；
S3.代数证明所有动点均满足该直线方程。
四、三大经典定直线模型（直接套用结论）
模型 1：抛物线两条切线交点在定直线（极点极线）
抛物线 C：y²=2px，过直线 x=-m 上任意一点 M 作抛物线两条切线 MA、MB，则切点弦 AB 恒过定点；
逆命题：若动直线 AB 过定点 M (m,0)，则 A、B 两点处切线交点恒在定直线 x=-m 上。
模型 2：焦点弦两端点切线交点在准线上
抛物线 y²=2px，AB 为过焦点 F ( p
2 ,0) 的焦点弦，分别过 A、B 作切线，两条切线交点恒在准线 x=- p
2 上。
推论：焦点弦端点切线互相垂直。
模型 3：垂直条件下动点轨迹为定直线
过原点作互相垂直两条直线交抛物线于 A、B，过 A、B 切线交点落在定直线 x=-2p。
知识点三：抛物线定值问题
一、考情分析
抛物线定值问题是高考圆锥曲线必考题型，核心特征：直线、点在运动变化，但某线段长度、斜率乘积 / 和、
向量数量积、比值、距离等数值始终不变，即为定值。
1.三大考查方向：
①坐标代数式定值（x₁x₂、y₁y₂、x₁+x₂ 等）
②斜率关系定值（k₁・k₂、k₁+k₂）
③线段、向量、距离、面积比值定值
2. 核心解题思路：设参→联立→韦达代入→化简消去参数，结果不含参数即为定值。
三、前置基础储备
1. 基础抛物线方程
标准开口向右：y²=2px (p>0)
焦点 F (p/2 , 0)，准线 x=- p
2
抛物线上两点 A (x₁,y₁)、B (x₂,y₂)，满足 y₁²=2px₁，y₂²=2px₂
2. 直线通用设法（避斜率不存在）
设直线 AB：x=ty+m
联立抛物线消 x：y²-2pty-2pm=0
判别式 Δ=4p²t²+8pm
韦达定理（核心公式）：
y₁+y₂=2pt
y₁y₂=-2pm
推论：x₁x₂=(y₁y₂)²/(4p²)=m²
3. 切线与斜率公式
抛物线上两点连线斜率：k AB=2p/(y₁+y₂)
点 P (x₀,y₀) 处切线：y₀y=p (x+x₀)
三、定值通用两大解法
解法 1：韦达代入消参法（大题标准解法）
步骤：
S1.设动点、动直线，引入参数 t、m；
S2.联立抛物线写出 y₁+y₂、y₁y₂；
S3.把要求定值的式子全部用 x₁、x₂、y₁、y₂ 表示；
S4.全部替换为韦达定理表达式，展开化简；
S5.化简后参数全部抵消，剩余常数即为定值。
解法 2：特殊值预判法（选填提速）
步骤：
S1.取两条特殊位置直线，分别计算目标代数式的值；
S2.若两次结果相等，预判该常数为定值；
S3.再用韦达代数证明一般情况恒为此值。
四、四大高频定值模型（直接背诵结论）
模型 1：焦点弦经典定值（最高频）
抛物线 y²=2px，AB 为过焦点 F (p/2,0) 的焦点弦，直线 AB：x=ty+ p
2
联立得 y₁y₂=-p²（定值）
推论 1：x₁x₂= p²
4 （定值）
推论 2：1/|AF| + 1/|BF| = 2/p（定值，焦点弦倒数和）
推论 3：A、B 在准线投影为 A₁、B₁，则∠A₁FB₁=90°
模型 2：过 x 轴定点弦的斜率定值
直线过 M (a,0) 交抛物线 y²=2px 于 A、B，则 kOA・kOB= −2 p
a
（定值）
特例：过原点垂直弦 OA⊥OB，直线 AB 过 (2p,0)，对应 x₁x₂+y₁y₂=0 恒成立。
模型 3：切线相关定值
焦点弦两端切线互相垂直，斜率乘积 =-1（定值）
动直线过 M (m,0)，两点切线交点 P，直线 OP 斜率与 AB 斜率乘积为定值。
模型 4：坐标对称斜率和定值
抛物线上定点 P，直线 PA、PB 斜率之和为 0，则 k AB为定值。
题型01：抛物线定点问题
（一）抛物向上两个动点，衍生直线过定点
【典型例题1】在平面直角坐标系
中，已知圆心为点
的动圆恒过点
，且与直线
相切，设动圆的
圆心
的轨迹为曲线
．
(1)求曲线
的方程；
(2)过
轴上点
的直线与
相切于点
，过
且垂直于的直线交
于
两点，
为线段
的中点，证明：
直线
过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由抛物线的定义求解即可；
（2）设直线的方程为
，联立直线与抛物线的方程，由与
相切可得
可求出
，再由
“点差法”求出
，分类讨论直线
的斜率不存在和存在可求出直线
的方程，即可求出直线
过的定点.
【详解】（1）依题意，圆心
的轨迹是以
为焦点，直线
为准线的抛物线，
所以曲线
的方程为
．
（2）设直线的方程为
，
与
的方程联立，得
，
当与
相切时，
，则
，
代入
可得：
，故
．
直线
的方程为
，与
的方程联立得
．
设
，则
，
，
所以
，
所以
．
当直线
的斜率不存在时，
，解得
，
此时直线
的方程为
．
当直线
的斜率存在时，
的方程为
，
由抛物线的对称性，可知定点在
轴上，
令
，则
，
所以
，所以直线
过定点
．
综上，直线
过定点
．
【变式训练1-1-1】已知抛物线
的焦点为F，抛物线上的点P 的横坐标为2，且
．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过点F 的直线l 交抛物线于A，B 两点，设点
，设直线EA，EB 分别与抛物线交于另一点C，D，求证：直
线CD 过定点，并求出定点坐标．
【答案】(1)
(2)证明见解析，定点
．
【详解】（1）由题意得：
，得
，
所以标准方程为
，
（2）设直线l 的方程为
，
，
联立方程
，整理得
，
所以
，
设
，
又
，所以
，即
，所以
，得
，
同理
，
又
，
所以
，即
，
，又
，
所以
，
所以直线过定点
．
【变式训练1-1-2】直线过抛物线
的焦点
，且与抛物线交于
两点，若线段
的长是
的中点到
轴的距离是2.
(1)求抛物线
的方程；
(2)过点
作两条互相垂直的直线
和
，分别交曲线
于点
和
.设线段
的中点分别为
，
求证：直线
过定点；
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）设点
的横坐标分别为，，由
的中点到
轴的距离是2，得
，即
，
由抛物线
的弦
过其焦点，得
，解得
，
所以抛物线
的方程是
.
（2）设
，则
，设直线
的方程为
，
由
得
，
则
，
，
.
将
替换
，得
.当
时，
，
则直线
的方程为
，即
，
当
时，
，当
时，
.过定点
，
故直线
过定点
.
【变式训练1-1-3】已知抛物线
的焦点为F，直线
与W 相切．
(1)求W 的方程．
(2)过点F 且与
平行的直线
与W 相交于M、N 两点，求
．
(3)已知点
，不垂直于x 轴的直线l 与抛物线W 交于A、B 两点，若直线AQ、BQ 关于x 轴对称，求证：直
线l 过定点并写出定点坐标．
【答案】(1)
(2)8
(3)证明见详解，定点坐标为
【详解】（1）联立
，整理得
，
因为
与
相切，所以
，解得
或
（舍去），
故
的方程为
．
（2）如图所示，
由（1）可知
，因为
，所以
的方程为
，
设
，
，联立
，
整理得
，则
，
，
．
（3）如图所示，
易知直线的斜率不为零，设直线的方程为
，
，
，
由
得
，所以
，
，
因为直线AQ，BQ 关于
轴对称，所以
，
即
，所以
，
所以
，所以
，
解得
，所以直线的方程为
，直线过定点
．
【变式训练1-1-4】已知抛物线
的焦点为
，过点
且与
轴不垂直的直线与
交于
两点，且点
与点
关于
轴对称.
(1)若
，点
的坐标为
，求
的值；
(2)若
，求
的值；
(3)证明：直线
恒过定点.
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)证明见解析.
【详解】（1）因抛物线
，得
，准线
，焦点
.
由点
的坐标为
得，点
的坐标为
，
由抛物线的定义可知，
6，解得
，
因为
在
上，所以
，所以
，
故
.
（2）显然直线的斜率不为0，且过焦点
，设直线的方程为
，
.
联立
整理得
，
则
，
因且点
与点
关于
轴对称，得
，
所以
.
又
，所以
，整理得，
，解得
.
又
，
由抛物线的定义得
所以
.
（3）证明：由
在抛物线
上，再（2）知
.
所以
，
①当点
在第一象限内，
，
，则
，
则直线
的斜率为
，
所以直线
的方程为
，
令
，则
，
所以直线
过定点
.
②同理当
在第四象限时，
，
，则
，
则直线
的斜率为
，
所以直线
的方程为
，
令
，则
，
所以
也过定点
，
综合①②，故直线
恒过定点
.
【变式训练1-1-5】已知抛物线C：
经过点
，C 的焦点F 在x 轴的正半轴上，点A，B 在C 上
运动．
(1)求C 的方程．
(2)若直线AB 的方程为
，求
内切圆的半径r．
(3)设点
，且EF 平分
，试问直线AB：
是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，
请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)是，
【分析】（1）将
代入，结合
，则
，得到C 的方程为
；
（2）联立
与抛物线方程，得到两根之和，两根之积，求出
，
，求出
的面
积，进而利用
求出半径；
（3）由角平分线得到
，设
，
，结合
，得到方程
，联立
与
得两根之和，两根之积，代入上式，求出
，
从而求出直线AB 过定点
．
【详解】（1）因为抛物线C：
经过点
，所以
，
解得
或
，
又C 的焦点F 在x 轴的正半轴上，所以
，则
，则C 的方程为
．
（2）设
，
．
由
得
，
，则
，
．
因为点
到直线AB 的距离
，
所以
的面积
，
所以
．
（3）是，定点坐标为
，
因为EF 平分
，所以
，
设
，
，
则
，
因为
，
，所以
，
整理得
，
则
，
即
．①
将
代入
，得
，
则
代入①可得
，
因为
，所以
，即
，
所以直线方程为
，
所以直线AB 过定点
．
【变式训练1-1-6】已知抛物线
与双曲线
的渐近线在第一､四象限的交点分别为P，
，且
.
(1)求抛物线
的方程；
(2)过点
的直线与抛物线
相交于
两点，
关于
轴的对称点为
.
（i）若
，求直线的方程.
（ii）证明：直线
必过定点.
【答案】(1)
；
(2)（i）
或
；（ii）证明见解析.
【难度】0.4
【知识点】抛物线中的直线过定点问题、直线与抛物线相交求直线方程、根据抛物线上的点求标准方程、根据韦达
定理求参数
【分析】（1）设点P 的坐标为
，根据点在渐近线上列方程求得
，再代入抛物线求参数，即可得方
程；
（2）（i）设直线
的方程为
，联立抛物线并应用韦达定理，结合
的坐标表示列方程得
，即可得直线方程；（ii）设
关于
轴的对称点为
，写出直线
的方程，根据对称性知定
点在必定在
轴上，令
结合韦达公式化简，即可证.
【详解】（1）因为点
关于x 轴对称，设点P 的坐标为
，
双曲线
的渐近线方程为
，
因为点P 在双曲线的渐近线上，所以
，
所以点
的坐标为
，
又点
在抛物线
上，所以
，所以
，
故抛物线的标准方程为：
；
（2）（i）设直线
的方程为
，联立
，消
得，
，
方程
的判别式
，即
，
设
，则
①，
②，
，
，代入①②得
，则
，
直线的方程为
或
；
（ii）设
关于
轴的对称点为
，则直线
为
，
根据抛物线的对称性，知定点必定在
轴上，
令
得：
直线
过定点
.
【变式训练1-1-7】已知抛物线
的焦点为
为坐标原点，抛物线上存在点
到
和
的距离都等于
．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点
的直线交抛物线于
两点，直线
与抛物线相交于另一点
，直线
与抛物线相交于另一点
．
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求证：直线
经过定点．
【答案】(1)
(2)（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.
【详解】（1）如图，作出符合题意的图形，
由题意得
，则
，
而
，可得
在
的中垂线上，故设点
的坐标为
，
由两点间距离公式得
，解得
，
而点
在
上，则
，即
，解得
，
故抛物线
的方程为
；
（2）（Ⅰ）由题意，直线的斜率存在，设方程为
，并记点
，
联立方程组
，消去
得
，易知
，
则
，
，
而
，则
，
可知
，即
．
（Ⅱ）由题意，点
，设直线
的方程为
，
并记点
，
联立方程组
，消去
得
，则
，
由
三点共线，可得
，
得到
，将
代入化简，
得
，
所以
，而
，可知
，同理可得
，
则
，解得
，
故直线
的方程为
，过定点
．
【变式训练1-1-8】已知M，m 分别为五个实数
的最大值和最小值.若从这五个数中去掉
后，求得
它们的平均数为90.5.若从这五个数中去掉
后，求得它们的平均数为91.记
(1)求焦点为
，准线方程为
的抛物线
的标准方程；
(2)在（1）的条件下，若点
为
上一点，A，B 为
上异于点
的两个动点，且
，求证：直线
恒
过定点.
【答案】(1)
；
(2)证明见解析
【难度】0.4
【知识点】抛物线中的直线过定点问题、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程
【分析】（1）列出平均数的等式计算出
的值就是
的值，从而得到
的标准方程；
（2）将点
代入
的方程得到
，即点
.设
，
，其中
，
，且
.由
得到
，利用斜率公式，整理，得
.求出直线
的方程，即
可得到直线
恒过定点.
【详解】（1）由题意，得
，
，
则
①，
②，
②-①，得
，即
，
所以
的标准方程为
.
（2）将点
代入
的方程，得
，所以
，即点
.
设
，
，其中
，
，且
.
因为
，所以
，
即
，
整理，得
，所以
.
直线
的方程为
，
即
，
所以当
时，
，所以直线
恒过定点
.
【变式训练1-1-9】已知F 为抛物线C : y
2=2 px( p>0)的焦点，点M 在抛物线C 上，O 为坐标原点，△OFM的外
接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆周长为3 π．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)设A(1,2)，B 是抛物线C 上一点，且xB≠1，直线AB与直线y = x−1交于点Q，过点Q 作y轴的垂线交抛物线
C 于点N，证明：直线BN恒过一定点，并求出该定点的坐标．
【答案】(1)y
2= 4 x
(2)证明见解析，定点的坐标为(−1,2)
【分析】（1）根据圆心到准线的距离得圆半径，再由圆周长建立方程求出p 即可；
（2）设B(
y0
2
4 , y0)，求出直线AB 的方程，与y = x−1联立求出N 点坐标，点斜式求出直线BN 方程，可得出直线
所过定点.
(1)
设△OFM外接圆的半径为r，圆心为O
易知圆心O 在线段OF的中垂线x = p
4 上，
且圆心到准线的距离= p
4 + p
2 = 3 p
4 =r，
所以由2π ⋅3 p
4 =3 π，解得p=2，
所以抛物线C 的方程为：y
2= 4 x；
(2)
设B(
y0
2
4 , y0)，由题意知，y0≠±2，
则直线AB的方程：y −2= y0−2
y0
2
4 −1
( x−1)
，即y −2=
4
y0+2 ( x−1)，
与y = x−1联立：¿，得yQ= 2( y0+2)
y0−2
，
由题意知：N(
( y0+2)
2
( y0−2)
2 , 2( y0+2)
y0−2 )，
∴k BN =
y0−2( y0+2)
y0−2
y0
2
4 −(
y0+2
y0−2)
2 = 4( y0−2)
y0
2+ 4
则直线BN的方程：y −y0= 4( y0−2)
y0
2+ 4 (x−y0
2
4 )= 4 x−y0
2
y0
2+ 4 ( y0−2)，
所以当x =−1, y =2时恒成立，
所以直线BN恒过定点(−1,2)
（二）满足斜率，向量，长度关系定值过定点
【典型例题1】已知抛物线
的焦点为
，点
在直线
上，
是抛物线
上两个不同的
点.
(1)求抛物线
的方程；
(2)设直线
的斜率为
，若
，证明：直线
过定点，并求定点坐标.
【答案】(1)
(2)证明见解析，
【分析】（1）根据抛物线焦点坐标求解即可；
（2）法一：设
所在直线方程为
，联立
，根据韦达定理代入
求
解即可；
法二：先讨论当直线
的斜率不存在时，直线
过点，再分析当直线
的斜率存在时，设
所在直线方程为
，联立
，再根据
求解即可.
【详解】（1）
的焦点在
轴上，为
，
直线
与
轴的交点坐标为
，
则
，即
所以抛物线为
（2）法一：由题意可知
所在直线斜率不为0，
设
所在直线方程为
，联立
，化简可得：
，
则
，
又
则
，满足（*）式
即直线
恒过点
法二：当直线
的斜率不存在时，设
，
所以
，所以
，所以直线
的方程为
；
当直线
的斜率存在时，设
所在直线方程为
，联立
，化简可得：
，
由题意可知
即
（*）；
由韦达定理知
，
所以
，
所以
，满足（*）式；
所以
所在直线方程为
综上，直线
恒过点
【变式训练1-2-1】已知抛物线
的焦点为
，点
在抛物线上，点
的横坐标为1，且
是抛物线上异于坐标原点
的两点．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若直线
、
的斜率之积为－4，求证：直线
恒过定点，并求出该定点坐标．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）解：由题意得，
，点P 的横坐标为1，且
，则
，
∴抛物线的方程为：
（2）证明：当直线
的斜率不存在时，
设
，
，
因为直线
的斜率之积为
，则
，化简得
．
所以
两点的横坐标为
，此时直线
的方程为
．
当直线
的斜率存在时，设其方程为
，
，
联立
，化简得
，需满足
，
根据根与系数的关系得
，
，
因为直线
的斜率之积为
，
所以
，即
，即
，
解得
（舍去）或
，
所以
，即
，满足
，
所以
，即
，过定点
.
综上所述，直线
过定点
．
【变式训练1-2-2】已知动圆过定点
，且与直线
相切，其中
.
(1)求动圆圆心
的轨迹方程；
(2)设
，
是轨迹
上异于原点
的两个不同点，若以
为直径的圆恰好过
点，证明直线
恒过定点，并求
出该定点坐标；
(3)设
，
是轨迹
上异于原点
的两个不同点，直线
和
的倾斜角分别为
和
，当
时，证明
直线
恒过定点，并求出该定点坐标.
【答案】(1)
；
(2)证明见详解，定点坐标为
；
(3)证明见详解，定点坐标为
.
【详解】（1）设动圆圆心为
，依题意可得
，
整理得
，
所求动圆圆心的轨迹
的方程是
.
（2）易知直线
的斜率不为0，设其方程为
，
，
，
联立
，得
，
则
，
，
由题意知，
，
即
，
利用韦达定理代入得
，整理得
，
因为直线
不过原点，故
，所以
，
即直线
方程为
，过定点
.
（3）证明：设
，
，由题意得
（否则
，且
，
，
所以直线
的斜率存在，设其方程为
，
显然
，
．即
，
，
把
代入
得
，
由韦达定理知，
，
，
由
得
韦达定理代入上式，整理化简得
，
，
此时，直线
的方程可表示为：
，即
，
令
，解得
，
直线
恒过定点
．
【变式训练1-2-3】已知点
到点
的距离比它到直线
的距离小．
(1)求点
的轨迹方程；
(2)
为坐标原点，点
，
在曲线
上，设直线
且
.
（i）证明：直线
过定点；
（ii）若直线
的斜率大于
，且
的面积为
，求直线
的方程.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析（ii）
【详解】（1）由点
到点
的距离比它到直线
的距离小，
则点
到点
的距离等于它到直线
的距离，
由抛物线定义可知，点
的轨迹为以
为焦点，
为准线的抛物线，
即点
的轨迹方程为
；
（2）（i）设
、
，
，消去
，有
，
，
，
，
则
，
即
，
解得
，则直线
，故直线
过定点
；
（ii）点
到直线
的距离
，
，
则
，
化简得
，则
，又直线
的斜率大于
，则
，故
，
则直线
的方程为
，即
.
【变式训练1-2-4】已知定点F (1,0)，定直线l: x =−1，动圆M过点F，且与直线l相切．
(1)求动圆的圆心M所在轨迹C的方程；
(2)已知点P(t ,−1)是轨迹C上一点，点A ,B是轨迹C上不同的两点（点A ,B均不与点P重合），设直线AP ,BP的
斜率分别为k1、k2，且满足k1+k2=−8
5 ，证明：直线AB过定点，并求出定点的坐标．
【答案】(1)y
2= 4 x
(2)证明见解析，定点(−1,−3
2)
【分析】（1）由题意，作图，根据圆切线的性质，结合抛物线的定义，可得答案；
（2）设出直线方程，联立抛物线方程，写出韦达定理，代入k1+k2=−8
5 ，可得答案.
【详解】（1）设点M (x , y)，圆M与直线l: x =−1的切点为N，
因为动圆M过点F (1,0)，且与直线l: x =−1相切，则MN = MF，
所以点M的轨迹是以原点O为顶点，以点F (1,0)为焦点的抛物线，
则动圆M的圆心轨迹C的方程为y
2= 4 x．
（2）若直线AB的斜率为0，则直线AB与抛物线只有1 个交点，不合要求，
设直线AB的方程为x =my +n, A1(x1, y1),B1(x2, y2)
¿，消去x可得：y
2−4 my −4 n=0，
则y1+ y2= 4 m, y1 y2=−4 n，
因为P(t ,−1)为抛物线y
2= 4 x上一点，所以4 t =1，解得t = 1
4 ，
k1+k2= y1+1
x1−1
4
+ y2+1
x2−1
4
= y1+1
y1
2
4 −1
4
+ y2+1
y2
2
4 −1
4
=
4( y1+ y2)−8
y1 y2−( y1+ y2)+1 =
16m−8
−4 n−4 m+1 =−8
5 ，
解得n= 3
2 m−1，代入Δ=16m
2+16n=16m
2+16(
3
2 m−1)=16m
2+24 m−16>0，
解得m> 1
2或m<−2，
结合点A ,B均不与点P重合，则n≠1
4 +m，则3
2 m−1≠1
4 +m，解得m≠5
2，
故m> 1
2且m≠5
2或m<−2，
所以直线AB: x =my + 3
2 m−1即m( y + 3
2)−1−x =0
所以直线AB恒过定点(−1,−3
2).
【变式训练1-2-5】已知F 是抛物线C：y
2=2 px ( p>0)的焦点，M (3,t )是抛物线上一点，且|MF|= 4.
(1)求抛物线C 的方程；
(2)直线l 与抛物线C 交于A，B 两点，若⃗OA ⋅⃗OB =−4（O 为坐标原点），则直线l 否会过某个定点？若是，求出
该定点坐标.
【答案】(1)y
2= 4 x；
(2)恒过定点(2,0).
【分析】（1）根据给定条件，利用抛物线的定义求出p值作答.
（2）设出直线l的方程，与C的方程联立，利用韦达定理及数量积的坐标表示计算作答.
【详解】（1）由y
2=2 px ( p>0)知，抛物线的准线方程为x =−p
2 ，而F是该抛物线的焦点，
又|MF|= 4，因此3−(−p
2 )= 4，解得p=2，
所以抛物线C 的方程为y
2= 4 x.
（2）显然直线l不垂直于y 轴，设直线l：x =ny +m，A(x1, y1)，B(x2, y2)，
由¿消去x 并整理得y
2−4 ny −4 m=0，Δ=16n
2+16m>0，即n
2+m>0，
于是y1+ y2= 4 n，y1 y2=−4 m，x1 x2=(n y1+m)(n y2+m)=n
2 y1 y2+mn⋅( y1+ y2)+m
2，
由⃗OA ⋅⃗OB =−4，得x1 x2+ y1 y2=−4，则有n
2 y1 y2+mn( y1+ y2)+m
2+ y1 y2=−4，
即(n
2+1) y1 y2+mn( y1+ y2)+m
2+ 4 =0，因此−4 m(n
2+1)+ 4 mn
2+m
2+ 4 =0，
则m
2−4 m+ 4 =0，解得m=2，满足Δ>0，直线l: x =ny +2过定点(2,0)，
所以直线l恒过定点(2,0).
【点睛】思路点睛：与圆锥曲线相交的直线过定点问题，设出直线的斜截式方程，与圆锥曲线方程联立，借助韦达
定理求出直线斜率与纵截距的关系即可解决问题.
【变式训练1-2-6】已知抛物线
：
（
）的焦点
到直线
的距离为
，不过原点的直线与
交于
，
两点.
(1)求
的标准方程；
(2)若直线的方程为
，求
；
(3)若
垂直于
，求证：直线过定点；
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)证明见解析.
【分析】（1）求出焦点坐标，再利用点到直线距离公式求出
值.
（2）联立直线与抛物线方程，求出交点的横坐标，进而求出弦长.
（3）设直线l 的方程为
，与抛物线方程联立，利用韦达定理及数量积的坐标表示求出即可.
【详解】（1）抛物线
：
的焦点
，
由
到直线
的距离为
，得
，而
，解得
，
所以抛物线
的标准方程为
.
（2）由
消去
得
，设
，
解得
，所以
.
（3）设直线l 的方程为
，点
，
由
消去
得
，当
时，
，
由
垂直于
，得
，而
，解得
，
则直线的方程为
，所以直线过定点
.
【变式训练1-2-7】已知抛物线
的焦点为
，
的准线与
轴交于点
，
.
(1)求
的方程.
(2)已知
为坐标原点，直线
交
于
，
两点.
（ⅰ）证明：
.
（ⅱ）若
，证明：过定点
.
【答案】(1)
；
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【详解】（1）依题意，抛物线
的焦点为
，准线方程为
，
准线与x 轴的交点
，则
，解得
（
舍），
故抛物线C 的标准方程为
；
（2）（i）直线
，代入
，
消去
，可得
，则
，
由韦达定理
，则
，得证；
（ii）
，
则
，
即
，因
，则
，
此时直线的方程为
，故直线必过定点
，得证.
【变式训练1-2-8】已知抛物线
，斜率为
的直线交
于
两点，且线段
中点纵坐标为
4．
(1)求抛物线
的方程；
(2)若直线不过点
，且直线
交
于另一点
，记直线
的斜率为
，
（i）求证：
；
（ii）求证：直线
过定点．
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【详解】（1）设直线的方程为
，
代入
得
，
设点
，则
，
而线段
中点纵坐标为4，则
，解得
，
故
的方程为
.
（2）（i）法一：由（1）
，且
，
则
所以
.
法二：设直线方程为
，
抛物线的方程
可表示为
，
由
，
得
，
，
，
直线的斜率为
，
，
.
（ii）法一：如图，作出符合题意的图形，
由已知得
，
设直线
的方程为
，
联立
，可得
，
，
，
，
整理得
，
即
，
当
时，直线
与直线
重合，舍去
，
直线
的方程
，
直线
过定点
.
法二：由已知得
，
，
，
（舍）或
，
直线
的方程是
，
直线
过定点
.
【变式训练1-2-9】已知点
，点P 在y 轴上，点Q 在x 轴上，且满足
．
(1)当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹
的方程；
(2)设点
为轨迹
内一定点，过E 作斜率分别为
的两条直线交轨迹
于点A，B 和C，D，且S，T 分别是
线段AB，CD 的中点．
（i）当
且
时，求
面积的最小值；
（ⅱ）若
（
为常数），证明：直线ST 过定点．
【答案】(1)
；
(2)（i）4；（ⅱ）证明见解析.
【难度】0.4
【知识点】求抛物线的轨迹方程、抛物线中的直线过定点问题、抛物线中的三角形或四边形面积问题
【分析】（1）设
，利用向量的坐标运算列式求出轨迹方程.
（2）（i）设出直线
方程，与
的方程联立求出点的坐标，进而求得
的坐标，再则已知求出三角形面积的关
系，借助基本不等式求出最小值；（ⅱ）由（i）中信息，求出直线
的方程，结合已知求得直线所过定点即得.
【详解】（1）设
，
，
，
由
，得
，解得
，
由
，得
，则
，即
，
所以点M 的轨迹
的方程为
.
（2）（i）设直线
方程为
，设
，
由
消去
得
，则
，
，
，
直线
方程为
，同理
，
当
时，
，由
，得
，
因此
的面积
，
当且仅当
且
时取等号，
所以
面积的最小值为4.
（ⅱ）由（i）得直线
的斜率
，
直线
的方程
，即
，
又
，则
，则有
，
即
，由
，得
，
所以直线ST 过定点
.
（三）圆过定点
【典型例题】已知抛物线
的焦点为F，准线为l.
(1)写出以坐标轴为对称轴、F 为焦点、离心率为
的椭圆的标准方程；
(2)设l 与x 轴的交点为E，点P 在第一象限，且在
上，若
，求直线EP 的方程；
(3)经过点F 且斜率为
的直线
与
相交于A、B 两点，O 为坐标原点，直线OA、OB 分别与l 相交于点M、
N.试探究：以线段MN 为直径的圆C 是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)是，
和
【分析】（1）先求抛物线的焦点坐标，再根据题意求椭圆的
，即可得解；
（2）解法一：设点
，根据题意可得点P 的轨迹方程为
，从而求出点P 的坐标，可得解直
线方程；
解法二：根据抛物线的定义进行转化分析可得
，进而可得直线EP 的倾斜角与斜率，利用点斜式求直线
方程；
（3）设直线
的方程及A，B 两点的坐标，进而可求M，N 两点的坐标，结合韦达定理求圆C 的圆心及半径，根据
圆C 的方程分析判断定点.
【详解】（1）
，设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，
因为离心率为
，所以
，得
，
.
所以椭圆的标准方程为
.
（2）解法一：
的准线方程为
，
设点
，因为
，
所以
，得
，
因为
，所以
，所以
，
因为P 在第一象限，所以点P 的坐标为
.
所以直线EP 的斜率为
，直线EP 的方程为
.
解法二：
的准线方程为
，
过点P 作
的准线的垂线，垂足为M,
，
因为
，所以
，
因为P 在第一象限，所以直线EP 的倾斜角为
.
所以直线EP 的方程为
.
（3）设点
.
由已知直线
的方程为
.
将
代入抛物线方程得
.
所以
.
因为直线OA 的方程为
，直线OB 的方程为
，
令
，得M，N 的纵坐标分别为
.
得到圆C 方程为
.
因为
，所以整理得
.
令
，得
或
.
所以圆C 过定点
和
.
【变式训练1-3-1】已知过点P(2,0)的直线l与抛物线E: y
2=2 p x
❑( p>0)交于A ,B两点，过线段AB的中点M
作直线MN ⊥y轴，垂足为N，且PM ⊥PN.
(1)求抛物线E的方程；
(2)若C为E上异于点A ,B的任意一点，且直线AC ,BC与直线x =−2交于点D , R，证明：以DR为直径的圆过定点.
【答案】(1)y
2= 4 x
(2)证明见解析
【分析】（1）设出直线l的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和中点坐标公式求出M，N坐标，结合
PM ⊥PN，可求得p的值，得解.
（2）设出点C坐标，由点斜式方程求出直线AC的方程，令x =−2，求出点D坐标，同理求出点R坐标，由抛物线
的对称性可知，定点必在x轴上，设该点坐标为T (a,0)，利用⃗DT ⋅⃗RT =0，可求出定点坐标.
【详解】（1）由题意，可设直线l的方程为x =my +2，
将x =my +2代入y
2=2 px，消去x得y
2−2 pmy −4 p=0，
设A( x1, y1)，B( x2, y2)，则y1+ y2=2 pm，y1 y2=−4 p，
∵M是线段AB的中点，
∴xM = x1+ x2
2
= m( y1+ y2)+ 4
2
= pm
2+2，y M = y1+ y2
2
= pm，
即M ( pm
2+2, pm)， 又MN ⊥y轴，
∴垂足N的坐标为(0, pm)，
则⃗PM =( pm
2, pm)，⃗PN =(−2, pm)，
∵PM ⊥PN，
∴⃗PM ⋅⃗PN =−2 pm
2+ p
2m
2=0对任意的m∈R恒成立，
∴−2 p+ p
2=0，又p>0，解得p=2，
故抛物线E的方程为y
2= 4 x.
（2）
设C( t
2
4 ,t )，A( y1
2
4 , y1)，B( y2
2
4 , y2)，由（1）可知，
y1+ y2= 4 m，y1 y2=−8，
则k AC = y1−t
y1
2
4 −t
2
4
=
4
y1+t ，直线AC的方程为y −t =
4
y1+t ( x−t
2
4 )，
令x =−2，则y =t +
4
y1+t (−2−t
2
4 )= t y1−8
y1+t ，
∴D(−2, t y1−8
y1+t )，同理R(−2, t y2−8
y2+t )，
由抛物线的对称性可知，若以线段DR为直径的圆过定点，则定点必在x轴上，
设该点坐标为T (a,0)，
则⃗DT =(a+2,−t y1−8
y1+t )，⃗RT =(a+2,−t y2−8
y2+t )，且⃗DT ⋅⃗RT =0，
∴(a+2)
2+ t y1−8
y1+t ⋅t y2−8
y2+t =0，
∴(a+2)
2=−t y1−8
y1+t ⋅t y2−8
y2+t =−t
2 y1 y2−8t( y1+ y2)+64
y1 y2+t( y1+ y2)+t
2
=−−8t
2−32mt +64
t
2+ 4 mt −8
=8，
∴a=2❑√2−2或a=−2❑√2−2，
∴以DR为直径的圆过定点(2❑√2−2,0)和(−2❑√2−2,0).
（四）切线相关定点
【典型例题】已知椭圆
的离心率为
，长轴长为4，抛物线
的焦点F
与椭圆C 的上顶点重合．
(1)求椭圆C 和抛物线E 的方程；
(2)设点M 是抛物线E 准线上一个动点，过点M 作抛物线E 的两条切线，切点分别为A，B．求证：
（i）直线AB 过定点，并求该定点的坐标；
（ii）以线段AB 为直径的圆与抛物线E 的准线相切于点M．
【答案】(1)
，
(2)（i）证明见解析，
；（ii）证明见解析
【分析】（1）由题意列方程求得
可得椭圆方程，进一步求得
可得抛物线方程；
（2）（i）由题意可设可设
，分析得知直线
的方程为
，令
即可得证；
（ii）联立
得
，结合韦达定理，焦点弦公式表示出
以及
中点
的坐标，只需
证明
即可.
【详解】（1）由题
，解得
，
∴椭圆
的方程为
，其上顶点坐标为
，
∴
，即
．
∴抛物线
的方程为
．
（2）
由（1）知，抛物线
的准线方程为
，
∴可设
，
（i）由
得
，且
．
又
，
∴抛物线
在
处的切线方程为
，即
．
在切线
上，
①，
同理可得
②，
由①②得直线
的方程为
，
令
，则
，
所以直线
恒过抛物线
的焦点
．
（ii）联立
得
，
∴
，
则线段AB 的中点为
，
，
又
，
∴MN 与抛物线E 的准线垂直，且
，
故以线段AB 为直径的圆与抛物线E 的准线相切于点M．
【变式训练1-4-1】已知抛物线
的焦点F 关于直线
的对称点为
，在抛物线E 上有三
点A，B，C，点A 在y 轴左侧，点B，C 在y 轴右侧且点B 在曲线段AC 上，过三点A，B，C 作E 的切线
，
与
分别交于点P 和Q，直线
与
交于点M．
(1)求E 的方程；
(2)若直线AC 过点F，证明：点Q 在定直线上；
(3)若
是以MQ 为底的等腰三角形，证明：直线PC 过定点，
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由抛物线方程写出焦点坐标，根据对称，写出中点坐标代入直线方程，可得答案；
（2）设出直线
的方程，与抛物线方程联立，由韦达定理得到两根之和与两根之积，分别写出
的方程，得到
点
的坐标，可得答案；
（3）设出动点坐标，写出直线方程，根据斜率与倾斜角的关系，结合等腰三角形的性质，可得答案.
【详解】（1）设抛物线
的焦点
，
则F 与
的中点
位于直线
上，
所以解得
，所以抛物线E 的方程为
；
（2）
因为直线AC 过点
，显然直线斜率存在，设直线
，
联立
，解得
，
由
，可得
，
通过对
求导可得
，
所以在点A 处的切线方程
为
，又
，
整理可得
，
所以在点C 处的切线方程
为
，
相减可得
，
所以
，代入
或
的直线方程，
，
所以点Q 在定直线
上；
（3）根据题意，设切点
，
此时
，即斜率为
，
同理可得
，即斜率为
，
，即斜率为
，
由题意知
等于
的倾斜角减去
的倾斜角，
等于
倾斜角减去
的倾斜角，
且
是以MQ 为底的等腰三角形，即
，
根据正切的差角公式有，
，
整理得
①，
再联立
与
的方程
，得
，
设PC 方程为
，其中
，
所以
，对
化简代入①式，
其中
，
所以
，则直线PC 过定点
.
【变式训练1-4-2】已知抛物线
的焦点F 关于直线
的对称点为
，在抛物线E 上有三
点A，B，C，点A 在y 轴左侧，点B，C 在y 轴右侧且点B 在曲线段AC 上，过三点A，B，C 作E 的切线
，
与
分别交于点P 和Q，直线
与
交于点M．
(1)求E 的方程；
(2)若直线AC 过点F，证明：点Q 在定直线上；
(3)若
是以MQ 为底的等腰三角形，证明：直线PC 过定点，
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【难度】0.4
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、直线与抛物线交点相
关问题、根据韦达定理求参数
【分析】（1）由抛物线方程写出焦点坐标，根据对称，写出中点坐标代入直线方程，可得答案；
（2）设出直线
的方程，与抛物线方程联立，由韦达定理得到两根之和与两根之积，分别写出
的方程，得到
点
的坐标，可得答案；
（3）设出动点坐标，写出直线方程，根据斜率与倾斜角的关系，结合等腰三角形的性质，可得答案.
【详解】（1）设抛物线
的焦点
，
则F 与
的中点
位于直线
上，
所以解得
，所以抛物线E 的方程为
；
（2）
因为直线AC 过点
，显然直线斜率存在，设直线
，
联立
，解得
，
由
，可得
，
通过对
求导可得
，
所以在点A 处的切线方程为
，又
，
整理可得
，
所以在点C 处的切线方程
为
，
相减可得
，
所以
，代入或
的直线方程，
，
所以点Q 在定直线
上；
（3）根据题意，设切点
，
此时
，即斜率为
，
同理可得
，即斜率为
，
，即斜率为
，
由题意知
等于的倾斜角减去
的倾斜角，
等于
倾斜角减去
的倾斜角，
且
是以MQ 为底的等腰三角形，即
，
根据正切的差角公式有，
，
整理得
①，
再联立与
的方程
，得
，
设PC 方程为
，其中
，
所以
，对
化简代入①式，
其中
，
所以
，则直线PC 过定点
.
（五）参数，坐标变换类过定点
【典型例题】已知动圆过定点
(0,2)
P
，且在x 轴上截得的弦长为4，记动圆圆心的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E 的方程；
(2)若直线l 与曲线E 相交于M，N 两点，且线段MN 的中点横坐标为1，求直线l 的斜率；
(3)将曲线E 绕原点顺时针旋转90
得到曲线
1
E
，定点
(1,0)
K
，
1
E
上有四点A，B，C，D，满足AC
BD
，AKC，
BKD 均三点共线.设线段AC 和BD 的中点分别为T，S，试判断：直线TS 是否会经过一个定点？若会，请求出这个定
点的坐标；若不会，请说明理由.
【答案】(1)
2
4
x
y
；
(2)
1
2 ；
(3)会，直线过点
3,0 .
【难度】0.4
【知识点】求抛物线的轨迹方程、抛物线中的直线过定点问题、抛物线的中点弦
【分析】（1）设动圆圆心为( , )
x y ，利用圆的弦长与半径关系列方程整理，即可得轨迹方程；
（2）设
1
1
2
2
(
,
),
(
,
)
M x
y
N x
y
，应用点差法得
1
2
1
2
1
2
4
l
x
x
y
y
k
x
x
，结合已知即可得；
（3）将曲线E 绕原点顺时针旋转90得到曲线
2
1 :
4
E
y
x
，设
并联立
1
E ，应用韦达定理及中点坐标
求出T 坐标，同理求S 坐标，分类讨论参数m 判断直线是否过定点即可.
【详解】（1）设动圆圆心为( , )
x y ，则有
2
2
2
2
2
2
(
(
2) )
y
x
y
，整理得
2
4
x
y
，故曲线E 的方程
2
4
x
y
；
（2）设
1
1
2
2
(
,
),
(
,
)
M x
y
N x
y
，则
2
1
1
2
2
2
4
4
x
y
x
y
，可得
1
2
1
2
1
2
(
)(
)
4(
)
x
x
x
x
y
y
，
所以
1
2
1
2
1
2
4
l
x
x
y
y
k
x
x
，即
1
2
lk
，故直线l 斜率为
1
2 ；
（3）将曲线E 绕原点顺时针旋转90得到曲线
2
1 :
4
E
y
x
，则
(1,0)
K
为
1
E 的焦点，
由题意，直线
,
AC BD
的斜率都存在且不为0，设
1
:
A
x
C
my
，联立
2
4
y
x
，
所以
2
4
4
0
y
my
，设
3
3
4
4
(
,
),
(
,
)
A x
y
C x
y
，且
2
16
16
0
m
，
所以
3
4
4
y
y
m
，
3
4
4
y y ，则
3
4
2
2
T
y
y
y
m
，
2
1
2
1
T
T
x
my
m
，
所以
2
(2
1,2 )
T
m
m
，同理得
2
2
2
(
1,
)
S m
m
，
当
1
m
，则
2
2
2
2
2
2
1
2
ST
m
m
m
k
m
m
m
，则
2
2
2
:
(
2
1)
2
(
3)
1
1
m
m
ST
y
x
m
m
x
m
m
，即恒过定点
3,0
；
当
1
m ，则(3,2)
T
，(3, 2)
S
，显然直线ST 过点
3,0 ；
当
1
m ，则(3, 2)
T
，(3,2)
S
，显然直线ST 过点
3,0 ；
综上，直线ST 过定点
.
【变式训练1-5-1】如图，已知抛物线
，过点
作斜率为
，
的直线，
，分别交抛物线于点
，
与
，
．
(1)若点
是抛物线
上位于第一象限内一点，且其到焦点
的距离为2，求点
的坐标；
(2)若
，证明：
；
(3)若直线
过点
，请判断直线
是否过定点，若是，请求出此定点坐标；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)直线
恒过点
．
【分析】（1）由焦半径公式即可求解；
（2）先设直线方程代入抛物线联立方程组，结合根与系数的关系，应用
，即可得到结论.
（3）先设直线
过点P 得出
,同理结合理
过点Q
得出
,最后得出
的直线得出定点.
【详解】（1）由题意
，解得
，
所以
，又
，
所以
，即点
的坐标
；
（2）由题知
，设
，
，
，代入抛物线可得
，
，
又
，
，
同理
.
（3）因为
，
所以
，代入点
得
①，
设
，同理
，
过点
②
，
结合①②可得
又因为
所以
，整理得
所以直线
过定点
.
【变式训练1-5-2】已知抛物线
，且过抛物线焦点
作直线交抛物线于
，
两点，弦长
最小值为4
(1)求抛物线
的方程；
(2)过点
作直线
交抛物线于点
，且直线
过定点
，连接直线
并交抛物线于点
，请问直线
是否经过定点，若是请求出定点坐标，若不是请说明理由.
【答案】(1)
(2)直线
经过定点
【分析】（1）利用直线与抛物线相交来求弦长的最小值即可求解抛物线方程；
（2）利用直线与抛物线联立方程组借助韦达定理，研究坐标关系，可求直线参数
，从而可得直线过的定点.
【详解】（1）因为抛物线
，所以焦点坐标为：
，
过该焦点的直线方程为：
，与抛物线的交点为：
，
，
与抛物线方程联立得：
，则
，
而由抛物线的定义可知
，
因为
，所以当
时，
有最小值，所以
，
所以抛物线方程为
.
（2）
由（1）得，直线
方程为
，且
①
设直线
方程为
，
与抛物线方程联立得：
，则
②
设直线
方程为
，
，同理可得
③
联立①②③可得
设直线
方程为
与抛物线方程联立得：
，则
因为
，所以
，所以直线
经过定点
题型02：抛物线定直线问题
【典型例题1】已知抛物线C : y
2=2 px ( p>0)的焦点为F，准线为l，记准线l 与x 轴的交点为A，过A 作直线交抛
物线C 于M (x1, y1)，N (x2, y2)(x2> x1)两点．
(1)若x1+ x2=2 p，求|MF|+|NF|的值；
(2)若M 是线段AN 的中点，求直线MN的方程；
(3)若P，Q 是准线l 上关于x 轴对称的两点，问直线PM 与QN 的交点是否在一条定直线上？请说明理由．
【答案】(1)|MF|+|NF|=3 p
(2)4 x−3 ❑√2 y +2 p=0
(3)在定直线上，理由见解析
【分析】（1）根据焦半径公式即可求出；
（2）设直线MN 的方程x =my −p
2 ，与抛物线联立即可利用M 是线段AN 的中点求出m，从而求出直线MN的方
程；
（3）设P(−p
2 , y0),Q(−p
2 ,−y0)，即可求出直线PM 与QN 的方程，联立即可解出交点，从而可以判断交点在
定直线上．
【详解】（1）根据题意，得
因为抛物线C : y
2=2 px ( p>0)，所以准线为l: x =−p
2 ，
所以|MF|+|NF|= x1+ p
2 + x2+ p
2 =3 p；
（2）由题意可知，直线MN的斜率不为0，故设直线MN的方程x =my −p
2 ，
联立y
2=2 px ( p>0)，消去x，可得y
2−2mpy + p
2=0，
所以Δ= 4 m
2 p
2−4 p
2>0，即m
2−1>0，y1+ y2=2mp，y1 y2= p
2，
而M 是线段AN 的中点，所以y1= y2
2
，故y2
2 ⋅y2= p
2，
解得y1=
❑√2
2 p, y2= ❑√2 p，故
❑√2
2 p+ ❑√2 p=2mp，解得m= 3 ❑√2
4
，
所以直线MN 的方程为x = 3 ❑√2
4
y −p
2
，即4 x−3 ❑√2 y +2 p=0；
（3）直线MN 的方程x =my −p
2 ，设P(−p
2 , y0),Q(−p
2 ,−y0)( y0≠0)，
则PM : y = y1−y0
x1+ p
2
(x + p
2)+ y0= y1−y0
m y1 (x + p
2)+ y0，QN : y = y2+ y0
x2+ p
2
(x + p
2)−y0= y2+ y0
m y2 (x + p
2)−y0，
联立消去y可得：y1−y0
m y1 (x + p
2)+ y0= y2+ y0
m y2 (x + p
2)−y0，即
y2( y1−y0)(x + p
2)+m y1 y2 y0= y1( y2+ y0)(x + p
2)−m y1 y2 y0，整理得：( y1+ y2)(x + p
2)=2m y1 y2，
将y1+ y2=2mp，y1 y2= p
2代入得2mp(x + p
2)=2m p
2，故x = p
2 ，，
所以直线PM 与QN 的交点在定直线x = p
2 上．
【典型例题2】如图，已知抛物线C : y
2=2 px ( p>0)的焦点为F，过点F 的直线l 交抛物线C 于A，B 两点，动点P
满足△PAB 的垂心为原点O.当直线l 的倾斜角为30°时，|AB|=16.
(1)求抛物线C 的标准方程；
(2)求证：点P 在定直线上.
【答案】(1)y
2= 4 x
(2)证明见解析
【分析】（1）根据抛物线的定义及韦达定理可求解；
（2）根据垂心建立斜率之间的关系，从而得到直线PA , PB，两直线联立得到点P的坐标，结合韦达定理，从而可
得点P 在定直线上.
【详解】（1）设直线l 的方程为x =my + p
2 ，A(x1, y1)，B(x2, y2).
由¿得y
2−2 pmy −p
2=0.
所以y1+ y2=2 pm，y1⋅y2=−p
2.由抛物线定义，得
|AB|= x1+ x2+ p=m( y1+ y2)+2 p=2 p(m
2+1).
当直线l 的倾斜角为30°时，m=
1
tan30° = ❑√3，
|AB|=2 p(m
2+1)=8 p=16.
所以2 p= 4，即抛物线C 的标准方程为y
2= 4 x.
（2）由（1），得y1+ y2= 4 m，y1⋅y2=−4.
因为△PAB的垂心为原点O，所以OA ⊥PB，OB⊥PA.
因为k BO= y2
x2
，所以k AP=−x2
y2
.
所以直线AP 的方程为y −y1=−x2
y2
(x−x1)，即y =−y2
4 x + 3
4 y1.
同理可得，直线BP 的方程为y =−y1
4 x + 3
4 y2.
联立方程¿解得¿
即P(−3,3m).所以点P 在定直线x =−3上.
【变式训练2-1】如图，过点
作两条直线
和：
（
）分别交抛物线
于
，
和
，
（其中
，
位于
轴上方），直线
，
交于点
．则下列说法正确的（ ）
A．
，
两点的纵坐标之积为
B．点
在定直线
上
C．点
与抛物线上各点的连线中，
最短
D．无论
旋转到什么位置，始终有
【解析】设点
，
将直线l 的方程
代入抛物线方程
得：
.则
，故A 正确；
由题得
，则
，
，
直线
的方程为
，直线
的方程为
，
消去y 得
，将
代入上式得
，故点Q 在直线
上，故B 正确；
设抛物线上任一点
，则
，当
时，
最小，此时
，即
最短，故C 正确；
因为
，但
，所以D 错误.
故选：ABC.
【变式训练2-2】经过抛物线
的焦点
的直线交此抛物线于
，
两点，抛物线在
，
两点处的切线
相交于点
，则点
必定在直线 上．（写出此直线的方程）
【解析】抛物线
中
，焦点为
，设直线
方程为
，代入抛物线整理得
，
设
，
，则
，
．
由
得
，∴过
点切线斜率为
，切线方程为
，即
，同理
过
点切线方程为
，两式相除得
，整理得
，
解得
，所以点
在准线
上．
【变式训练2-3】已知顶点在坐标原点
，焦点在
轴上的抛物线
过点
.
(1)求抛物线
的标准方程；
(2)过抛物线
的焦点
作直线交抛物线
于
、
两点，
（i）若点
在第一象限且
，求直线的方程；
（ii）若抛物线
在
、
两点处的切线交于点
，证明点
在某定直线上，并求出该定直线的方程.
【答案】(1)
(2)①
；②证明见解析，定直线为
【详解】（1）依题意，抛物线方程形如
，代入点
，可得
，即
，
故抛物线
的标准方程为
.
（2）（i）显然直线的斜率存在，设
，代入
，整理得
，
显然
，设
，依题意，
，
且
，由
易得
，
因
，则
，可得
，代入①，得
，
再代入②，可得
，解得
.
而当
时，点
的横坐标
，不在第一象限，且距离
,故舍去.
故直线的方程为
.
（ii）由
求导得
，故切点为
的切线方程为
，即
③，
同理可得
④，由
，可得
，
即
，因
，故可得
，
即点
在直线
上.
【变式训练2-4】已知点F 为抛物线C : x
2=2 py( p>0)的焦点，点E(x0,2)在抛物线C 上，且| EF |= 4，直线
l: y = 1
2 x +1交抛物线C 于A，B 两点，O 为坐标原点．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)若直线l
': y = 1
2 x +m(m≠1)交抛物线C 于M，N 两点，直线AM 与BN 交于点T，求证：点T 在定直线上．
【答案】(1)x
2=8 y
(2)证明见解析
【分析】(1)由题意，根据所给的几何关系以及抛物线的性质，可以求解；
(2)分别设A，B，M，N，T 的坐标，利用其中的几何关系可以证明.
【详解】（1）由x
2=2 py( p>0)可知，抛物线C 的准线为：y =−p
2 ，
∴点E(x0,2)到准线的距离为2+ p
2 ，根据抛物线定义：| EF |=2+ p
2 = 4，p= 4，
∴抛物线C 的方程为x
2=8 y；
（2）
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，M (x3, y3)，N (x4, y4)，T (x0, y0)，⃑TM = λ⃑TA( λ≠1)．
∵AB∥MN，∴⃑TN = λ⃑TB，
由x1
2=8 y1，x2
2=8 y2，得x1
2−x2
2=8( y1−y2)，即x1+ x2= 8( y1−y2)
x1−x2
= 4，
同理x3+ x4= 4，
由⃑TM = λ⃑TA得x3−x0= λ(x1−x0)…①，
由⃑TN = λ⃑TB得x4−x0= λ(x2−x0)…②，
①②两式相加得x3+ x4−2 x0= λ(x1+ x2−2 x0)，
即(x0−2)( λ−1)=0，
∵λ≠1，∴x0=2，∴点T 在定直线x =2上．
综上，抛物线C 的方程为x
2=8 y.
【变式训练2-5】已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>0,b>0)过点(2,−1)，离心率为
❑√3
2
，抛物线y
2=−16 x的准线l交x
轴于点A，过点A作直线交椭圆C于M，N．
（1）求椭圆C的标准方程和点A的坐标；
（2）设P，Q是直线l上关于x轴对称的两点，问：直线PM与QN的交点是否在一条定直线上？请说明你的理由．
【答案】（1）x
2
8 + y
2
2 =1；A (4,0)；（2）定直线x =2，理由见解析.
【分析】（1）根据题意列出方程组，结合b
2=a
2−c
2，求得a,b的值，即可得出椭圆的标准方程，求得抛物线准线
方程，即可得A的坐标；
（2）设P(4 ,t )，Q (4 ,−t )，直线MN : x =my + 4，M (x1, y1)，N (x2, y2)联立直线MN与椭圆的方程，求得
y1+ y2，y1 y2，得到y1+ y2=−m y1 y2，再由直线PM与QN的方程，求得交点的横坐标，即可求解．
【详解】（1）由题意可得¿ 解得a
2=8,b
2=2，
即椭圆C的方程为：x
2
8 + y
2
2 =1，
又由抛物线y
2=−16 x，可得准线方程为l: x = 4，所以A (4,0)．
（2）设P(4 ,t )，Q (4 ,−t )，MN : x =my + 4，M (x1, y1)，N (x2, y2)
由¿，整理得(m
2+ 4) y
2+8my +8=0，
所以y1+ y2=−8m
m
2+ 4
，y1 y2=
8
m
2+ 4
，
则y1+ y2=−m y1 y2即y1+ y2
y1 y2
=−m，
直线PM为y −t = y1−t
x1−4
(x−4)，即y −t = y1−t
m y1
(x−4)①，
直线QN为y +t = y2+t
x2−4
(x−4)，即y +t = y2+t
m y2
(x−4)②，
②-①得：2t = 1
m(
y2+t
y2
−y1−t
y1 )(x−4)，即2t = 1
m ⋅t ( y1+ y2)
y1 y2
(x−4)
所以2t = 1
m ⋅(−mt )(x−4)，解得：x =2，
所以直线PM与QN的交点恒在定直线x =2上．
【点睛】思路点睛：圆锥曲线中求直线过定点的问题，通常需要联立方程，得到二次方程后利用韦达定理、结合题
中条件（比如斜率关系，向量关系，距离关系，面积等）直接计算，即可求出结果，运算量较大
【变式训练2-6 】已知F 为抛物线C : x
2=2 py( p>0)的焦点，直线l: y =2 x +1与C 交于A ，B 两点且
| AF |+|BF |=20.
（1）求C 的方程.
（2）若直线m: y =2 x +t(t ≠1)与C 交于M，N 两点，且AM与BN相交于点T，证明：点T 在定直线上.
【答案】（1）x
2= 4 y；（2）证明见解析．
【分析】（1）解：设A(x1, y1)，B(x2, y2)，直线方程与抛物线方程联立方程组消去x后应用韦达定理得y1+ y2，
利用焦半径公式及韦达定理的结果可求得p得抛物线方程；
（2）设M (x3, y3)，N (x4, y4)，T (x0, y0)，把A ,B两点坐标代入抛物线方程相减琍x1+ x2=8，同理可得
x3+ x4=8，然后求得交点T的横坐标为常数即证（由⃑TM = λ⃑TA．⃑TN = λ⃑TB化为坐标表示后相加即可得）．
【详解】（1）解：设A(x1, y1)，B(x2, y2)，由¿，得y
2−(8 p+2) y +1=0，
则y1+ y2=8 p+2，
从而|AF|+|BF|= y1+ p
2 + y2+ p
2 =9 p+2=20，
解得p=2，故C的方程为x
2= 4 y.
（2）证明：设M (x3, y3)，N (x4, y4)，T (x0, y0)，⃑TM = λ⃑TA (λ≠1).
因为AB// MN，所以⃑TN = λ⃑TB.
根据¿得(x1+ x2)(x1−x2)= 4( y1−y2)，则x1+ x2= 4( y1−y2)
x1−x2
=8，
同理得x3+ x4=8.
又¿两式相加得x3+ x4−2 x0= λ(x1+ x2−2 x0)，
即(4−x0)(1−λ)=0，由于λ≠1，所以x0= 4.
故点T在定直线x = 4上.
【变式训练2-7】已知抛物线
的顶点在坐标原点
处，对称轴为
轴，且过点
，
，
是
上两个动点．
(1)求抛物线
的标准方程；
(2)已知
是
焦点，若点
，
在以
（异于点
）为直径的圆上，求直线
的方程；
(3)已知
为直线
在第二象限内一点，直线
，
与抛物线
分别相切于
，
两点，设
，
与
轴分别
交于
，
两点，证明：直线
与直线
的交点在定直线上．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【难度】0.4
【知识点】抛物线中的直线过定点问题、根据抛物线上的点求标准方程、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定
理求参数
【分析】（1）设
，
，将点
代入，即可求解；
（2）设
，
，直线
，与抛物线方程联立，结合
及
中点的纵坐标为
，即可求解；
（3）设过点
的切线方程为
，与
联立，由
得出
，进而得出过点
的切线方程，进而得出
，同理得出
，写出
的方程，设
，切线
，
交于点
，得出
的坐标，点
在直线
上得出
，同理设直线
与直线
交于
点
，则可证明
，
两点重合，进而证明结论．
【详解】（1）由题意，设
，
，
将
代入得，
，解得
，
所以
的标准方程为
．
（2）设
，
，直线
，
联立直线
与抛物线的方程，得方程组
，
消去
，得
，判别式
，即
．
，
，
，
，
由
，
，得
，
所以
，
中点的纵坐标为
，则
，
所以
，代入
，解得
或
，
当
时，点
在直线
上，不合题意，舍去，
故直线
的方程为
．
（3）证明：设过点
的切线方程为
，
与
联立，整理得
，
，
得
，即
（或
，
，过点
的切线的斜率
），
即过点
的切线方程为
，即
，
令
，得
，
同理可得过点
的切线方程为
，令
，得
，
直线
的方程为
，直线
的方程为
．
设
，切线
，
交于点
，得
，
，
解得
，
，点
在直线
上，则
，
设直线
与直线
交于点
，
，
同理，设直线
与直线
交于点
，
，
由
，得
，则
，
两点重合，
即直线
与直线
的交点在定直线
上．
【变式训练2-8】在直角坐标系
中，点
到直线
的距离与点
到点
的距离相等，记动点
的
轨迹为曲线
．
(1)求曲线
的方程；
(2)已知经过点
的直线
与
交于
，
两点，且
．
（ⅰ）求直线
的方程；
（ⅱ）若经过点
的直线
（与
不重合）与
交于
，
两点，且
，
位于
轴同一侧，直线
与直线
相交于点
，证明：点
在定直线上．
【答案】(1)
(2)（i）
；（ii）证明见解析
【详解】（1）因为点
到直线
的距离与点
到点
的距离相等，
根据抛物线的定义，可得曲线
是以
为焦点，以
为准线的抛物线，
设抛物线的方程为
，则
，可得
，
所以抛物线
的方程为
.
（2）（i）设直线
的方程为
，且
，
联立方程组
，整理得
，可得
，
由弦长公式，可得
，
因为
，所以
，所以
，解得
，
所以直线
的方程为
.
（ii）由（i）直线
的方程为
，
联立方程组
，解得
，不妨设
，
设直线
的方程为
，
联立方程组
，整理得
，
设
，可得
，
可得
，所以
的方程为
，
同理可得：直线
的方程为
，
联立方程组
，可得
，
整理得
，
所以点
的横坐标的值恒为
，所以点
在直线
上.
【变式训练2-9】已知曲线
上的点到
的距离比它到
轴的距离大1.
（1）求曲线
的方程；
（2）过
作斜率为
的直线交曲线
于
､
两点；
①若
，求直线的方程；
②过
､
两点分别作曲线
的切线
､
，求证：
､
的交点恒在一条定直线上.
【答案】（1）
；（2）①
；②证明见解析.
【详解】（1）设曲线
上的点
，
由题可知
到
的距离与到直线
的距离相等，
所以，
点的轨迹是以
为焦点，
为准线的抛物线，
的方程为：
.
（2）设：过
的斜率为
的直线方程为：
，
①由
消
可得
.
令
，
，
，
，
由题可知：若
，即
，
即得
，
消去
，
得：
，
，
所求直线的方程为：
.
证明②由题知：
，
，
令
，
，设
与
相交于点
.
方程为：
，
方程为：
，
相减得：
，
代入相加得：
，
，
，
，
､
的交点恒在一条定直线
上.
【变式训练2-10】已知抛物线
，直线
与
相交于
、
两个不同点，
在
轴左侧，且
．
(1)求抛物线
的方程；
(2)过抛物线
焦点
的直线与
相交于
、
两个不同点（异于
、
两点），
在
轴左侧．
①若直线的斜率为，求
的值；
②设直线
与
相交于点
，证明：点
在定直线上．
【答案】(1)
(2)①
；②证明见解析.
【详解】（1）由题意可知，点
、
关于
轴对称，
又因为
，且
在
轴左侧，则
，
将点
的坐标代入抛物线
的方程得
，解得
，
故抛物线
的标准方程为
.
（2）①设点
、
，易知抛物线
的焦点为
，
因为直线
的斜率为，故直线
的方程为
，
又因为
在
轴左侧，结合图形可知
，
联立
，消去
可得
，解得
，
，
故
；
②如下图所示：
易知点
、
，设点
、
，
设直线
的方程为
，联立
可得
，
，由韦达定理可得
，故
，
因为
与点
不重合，故
，即
，同理可得
，
，故直线
的方程为
①，
同理可知直线
的方程为
②，
由①②可得
，即
，
将
代入上式得
，解得
，
故
，解得
，故点
在定直线
上.
【变式训练2-11】已知抛物线
：
的准线方程为
.
(1)求
的方程.
(2)过点
且斜率为
的直线与
交于
，
两个不同的点，
为坐标原点.
（ⅰ）求
的取值范围；
（ⅱ）若
，求
的取值范围；
（ⅲ）过点
作
轴的垂线，交直线
于点
，证明：线段
的中点在一条定直线上.
【答案】(1)
(2)（ⅰ）
；（ⅱ）
；（ⅲ）证明见解析
【详解】（1）根据题意可知准线方程为
，即
的准线方程为
，
所以
，即
，
所以
，
则抛物线
的方程为：
；
（2）（ⅰ）依题意得直线的方程为
，
当
时，直线与抛物线只有一个交点，不符合题意，
当
时，代入
，
得
，
则
且
，解得
且
，
所以
的取值范围是
；
（ⅱ）设
，
，根据（ⅰ），利用韦达定理可得：
，
，
所以
，
代入可得：
；
若
，即
，则
，
所以
，
即
的取值范围是
；
（ⅲ）
因为直线OB 的方程为
，
所以点
的坐标为
，
设线段AD 的中点为
，则
，
，
则
，
所以点
在直线
上，故线段AD 的中点在一条定直线上.
【变式训练2-12】已知抛物线
的焦点为
，过点
且与
轴垂直的直线交
于
两点，且
.
(1)求抛物线
的方程；
(2)过焦点
的直线与抛物线
交于
两点（异于
两点），且
，
位于
轴同一侧，直线
与直线
相交于点
，证明：点
在定直线上.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）如图所示：
抛物线
的焦点
，则直线
，
由
得
，
依题意
，解得
，
所以抛物线
的方程为
.
（2）由抛物线对称性，不妨令点
在
轴上方，
由（1）知，
，焦点
，
显然直线不垂直于坐标轴，
设其方程为
，如图所示：
由
消去
得：
，
因为
，
设
，
，所以
，
直线
的斜率为:
，方程为
，
直线
的斜率为:
，方程为
，
由
，消去
得：
，
整理得：
，
因此点
的横坐标恒为
，
所以点
在定直线
上.
【变式训练2-13】已知抛物线
，过抛物线上一点
作两条直线
分别交抛物线
于
两点，直线
的斜率分别为
，且
.
(1)求抛物线
的方程.
(2)证明：直线
过定点.
(3)记直线
经过的定点为
为直线
上一点（异于点
），且满足
，证明点
在某定直线上，
并求出该定直线的方程.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析，
【分析】（1）将点
的坐标代入抛物线方程得出
，进而得出抛物线；
（2）设
， 求出直线
的方程为
，结合
，化简计算可得
，即可得到结论.
（3）由（2）知
，，设
，设直线
的方程为
.代入抛物线联立方程组，将
转化为
，化简计算可得到结论.
【详解】（1）将点
的坐标
代入抛物线
的方程可得
，解得
（舍去）或
，故抛物线
的
方程为
.
（2）由（1）可知点
的坐标
，设
，
则
.
由
，得
，所以
，
.
.所以直线
的方程为
，
即
，整理得
.
又
，
从而直线
的方程为
，化简得
，
因此直线
过定点
.
（3）由（2）知
，设
，易知直线
的斜率不为0，
设直线
的方程为
.由
消去
.
得
.则
.
因为
.所以
.
即
，
当
时，
，化简得
，
与直线
的斜率不为0 矛盾，不合题意；
当
时，化简得
，
.
即
.又
.
可得
，所以
，即
，
所以点
在直线
上.
【变式训练2-14】设抛物线
的焦点为
，过点
的动直线与抛物线
交于
，
两点，
当
在上时，直线的斜率为
.
（1）求抛物线的方程；
（2）在线段
上取点
，满足
，
，证明：点
总在定直线上.
【答案】（1）
；（2）证明见解析.
【详解】（1）由题意，得
，则
，解得
，
故抛物线的方程为
.
（2）证明：设
，
，
，
直线的方程为
.
由
得
，
，
.
由
，
，得
，
，
故
，化简得
.
又
，故
，
化简得
，
即
，则
或
.
当点
在定直线
上时，直线与抛物线
只有一个交点，与题意不符.
故点
在定直线
上.
题型03：抛物线定值问题
（一）斜率定值
【典型例题】已知抛物线C：
，P 是C 上纵坐标为2 的点，以点P 为圆心，PO 为半径的圆（O 为原
点）交C 的准线l 于A，B 两点，且
.
(1)求抛物线C 的方程.
(2)过点P 作直线PM，PN 分别交C 于M，N 两点，且使∠MPN 的平分线与y 轴垂直，问：直线MN 的斜率是否为定
值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由.
【解析】（1）将点
的纵坐标
代入
中，
解得
，
所以
，则点
到准线的距离为
，
所以
，
所以
，解得
，
所以抛物线
的方程为
；
（2）由题意可知直线
的斜率存在且不为0，倾斜角互补，则斜率互为相反数，
易知
，
设
，直线
，
则直线
，
由
整理得
，
其中
，解得
，
已知此方程一个根为1，
所以
，即
，
同理
，
所以
，
，
所以
，
所以
，所以直线
的斜率为定值
.
【变式训练3-1-1】已知
为抛物线
的焦点，
为坐标原点，
为
的准线上的一点，直线
的斜率为
，
的面积为4.
（1）求
的方程；
（2）抛物线
在
轴上方一点
的横坐标为
，过点
作两条倾斜角互补的直线，与曲线
的另一个交点分别为
、
，求证：直线
的斜率为定值.
【答案】（1）
；（2）证明见解析
【解析】（1）由题意知
，设点
的坐标为
，
则直线
的斜率为
．
因为直线
的斜率为
，所以
，即
，
所以
的面积
，解得
或
（舍去），
故抛物线
的方程为
．
（2）依题意直线
的斜率存在且不为
，
设直线
的斜率为
，点
，
，
．
则直线
的方程为
，
由
消去
整理得
，
由
，所以
且
，
，
是方程的两个根，
，
，
依题意，直线
的斜率为
，同理可得
，
，
，
所以直线
的斜率为定值．
（二）斜率和，积定值
【典型例题1】已知点
，过点
作直线l 与抛物线
相交于A，B 两点，设直线PA，PB 的斜率
分别为
，
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．无法确定
【解析】设直线方程为
，联立抛物线方程可得
，
设
，
，可得
，
则
故选：A
【典型例题2】已知抛物线C：y
2=2 px ( p>0)的焦点F 与椭圆x
2
4 + y
2
3 =1的右焦点重合，点M 是抛物线C 的准线
上任意一点，直线MA，MB 分别与抛物线C 相切于点A，B．
(1)求抛物线C 的标准方程及其准线方程；
(2)设直线MA，MB 的斜率分别为k1，k2，证明：k1⋅k2为定值．
【答案】(1)抛物线C 的标准方程为y
2= 4 x，准线方程为x =−1
(2)证明见解析
【分析】（1）求出椭圆的右焦点坐标可得p，从而求出抛物线C 的标准方程，准线方程；
（2）设过点M (−1,t )的直线方程为y =k (x +1)+t，与抛物线方程联立，利用相切得出Δ=0，可得k
2+tk −1=0，
再利用韦达定理可得答案.
【详解】（1）因为a
2= 4 ,b
2=3，所以c
2=a
2−b
2= 4−3=1，
所以c =1，可得椭圆x
2
4 + y
2
3 =1的右焦点为(1,0)，
可得抛物线C 的焦点为F (1,0)，∴p=2，
所以抛物线C 的标准方程为y
2= 4 x，准线方程为x =−1；
（2）由于点M 是抛物线C 的准线上任意一点，故可设M (−1,t )，
因为直线MA，MB 的分别与抛物线C 相切于点A，B 点可知直线MA，MB 的斜率存在，
且不为0，
设过点M (−1,t )的直线方程为y =k (x +1)+t，
联立¿，消去x得：k y
2−4 y + 4 k + 4 t =0，
其判别式Δ=16−16k (k +t )，令Δ=0，得k
2+tk −1=0，
由韦达定理知k1+ k2=−t，k1k2=−1，故k1⋅k2为定值－1．
【点睛】研究直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法分为两类：一、联立直线与圆锥曲线方程，运用判别式判断交
点个数从而得到两者的位置关系，这一方法基本固定，在范围问题中，判别式是提供参数范围的一个最常用的不等
式，十分重要；二、针对中点弦这一特殊问题的专用方法——点差法.
【变式训练3-2-1】已知抛物线
和直线
，点
为直线上的动点（不在
轴上），
以点
为圆心且过原点
的圆与直线交于
，
两点，若直线
，
与
的另一个交点分别为
，
，记直
线
，
的斜率分别为
，
，则
．
【解析】如图，设直线
，
的方程分别为
，
，则
，
，
，
因为
为圆的直径，
，所以
．
联立
，消去
得
，
，
，同理可得
，
，
，
，
．
【变式训练3-2-2】已知
、
、
是抛物线
上三个不同的点，且抛物线的焦点
是
的重心，
若直线
、
、
的斜率存在且分别为
、
、
，则
（ ）
A．3
B．
C．1
D．0
【解析】设
，
，则
，
，
两式相减，得
，则
，
设
，同理可得
，
，
因为焦点
是
的重心，所以
，
则
，故选：D.
【变式训练3-2-3】已知F 为抛物线
的焦点，
为C 上的一点，且
，斜率为
的直
线l 与C 交于A，B 两点，设直线
，
的斜率分别为
，
．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)求证
为定值．
【答案】(1)
；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由点在抛物线上及抛物线定义求参数，即可得方程；
（2）设
，联立抛物线并应用韦达定理、斜率两点式化简求
，即可证.
【详解】（1）依题意，
，得
，所以抛物线C 的方程为
．
（2）设
，联立
，得
．
由
，得
．
设
，
，则
．
由（1）知，
，
．
所以
为定值．
【变式训练3-2-4】已知抛物线
的焦点为
，点
在抛物线
上，且
．
(1)求抛物线
的方程；
(2)给出如下的定义：若直线与抛物线
有且仅有一个公共点
，且与抛物线
的对称轴不平行，则称直线为抛
物线
上点
的切线，公共点
称为切点．请你运用上述定义解决以下问题：
（i）证明：抛物线
上
点处的切线方程为
；
（ii）若过点
可作抛物线
的2 条切线，切点分别为
.证明：直线
的斜率之积为常数．
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【详解】（1）由抛物线
的方程
可知其准线方程为
，
如图，过
作准线的垂线，垂足为
，由抛物线的定义得
，
即
，解得
，
所以抛物线
的方程为
.
（2）（i）当
时，
，切线斜率存在，设
处的切线方程为
，
由
消去
得
.
因为切线与抛物线只有一个交点，且
，
所以
，即
，①
因为
在抛物线上，所以
，即
，代入①得
，整理得
，所以
，
所以切线方程为
，即
，
将
代入得
，即
；
当
时，
，即
为原点，由图知切线方程为
，满足
.
综上，抛物线
上
点处的切线方程为
.
（ii）如图，连接
，设
，
由（i）知两条切线的方程分别为
，
又两条切线的交点为
，即
的坐标均满足两条切线方程，
所以
，所以
的坐标均满足方程
，即直线
的方程为
.
由
消去
得
，所以
，
由（i）知两条切线
的斜率分别为
，
所以
，即直线
的斜率之积为常数．
【变式训练3-2-5】已知抛物线
：
（
）的焦点为
，点
（
）在
上，
，斜
率为
的直线与
交于
，
两点．
(1)求
的方程；
(2)若
，求直线的方程；
(3)设直线
与
的斜率分别为
，
，证明：
为定值．
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)证明见解析.
【详解】（1）根据题意可得
，解得
．所以
的方程为
．
（2）设
，
，直线的方程为
．
由
消去
得
，
所以
即
，
，
，
所以
，解得
，
所以直线的方程为
；
（3）证明：因为点
在
上，所以
或
（舍去），所以
，
由（2）得
，
，
所以
．
因为
，
，
所以
，即
为定值．
【变式训练3-2-6】已知抛物线
：
的焦点为
，过点
且与
轴垂直的直线交
于
两点，
且
.
(1)求抛物线
的方程，并写出
的焦点坐标和准线方程；
(2)过焦点
的直线与抛物线
交于
两点（异于
两点），且
位于
轴同一侧，直线
与
相交
于点
.
①证明：点
在定直线上，记该直线为
，求出
的方程；
②
，设直线
的斜率分别为
，证明：
.
【答案】(1)抛物线
的方程为
，焦点
，准线方程为
．
(2)①证明见解析，
；②证明见解析
【详解】（1）抛物线
的焦点
，则直线
，由
得
，
依题意，
，解得
，
所以抛物线
的方程为
，焦点
，准线方程为
．
（2）①由抛物线对称性，不妨令点
在
上方，由（1）知，
，
显然直线不垂直于
轴，也不与
轴重合，故可设其方程为
，
，
联立直线与抛物线
，
，消去
得：
，显然
，
，
直线
的斜率为
，方程为
，
直线
的斜率为
，方程为
，
由
消去
得：
，
整理得
，
因此点
的横坐标恒为
，所以点
在定直线
上；
②由
，可设
，结合
，得
．
而
，
故
.
（三）距离及距离关系定值
【典型例题1】已知抛物线
的焦点为
，点
在抛物线上（异于顶点），
（点
为坐标原点），
过点
作直线
的垂线与
轴交于点
，则
（ ）
A．6
B．
C．4
D．
【解析】法一：依题意，设
，由
，得
为
的中点且
，
则
，易得直线
的垂线
的方程为
.
令
，得
，故
，由抛物线的定义易知
，
故
，故选:A.
法二：特殊值法.不妨设
，则
，则
，易得直线
的垂线
的方程为
.令
，得
，故
，又
，故
.故选:A.
【典型例题2】已知抛物线C : y
2=2 px ( p>0)的焦点为F，点A (2,m)在抛物线上，且满足|AF|
|AO|=
❑√3
2 ，其中O为
坐标原点．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)直线l与抛物线C相交于M、N两点，以MN为直径的圆过点P(1,2)，作PD⊥MN，D为垂足．是否存在定点
Q，使得|DQ|为定值？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y
2= 4 x
(2)存在，且点Q的坐标为(3,0)
【分析】（1）利用抛物线的定义结合两点间的距离公式可得出关于p的方程，解出p的值，即可得出抛物线C的标
准方程；
（2）分析可知，直线MN不与y轴垂直，设直线MN的方程为x =ty +n，设点M (x1, y1)、N (x2, y2)，将直线
MN的方程与抛物线C的方程联立，列出韦达定理，根据已知条件得出⃗PM ⋅⃗PN =0，利用平面向量数量积的坐标
运算可得出n、t所满足的关系式，求出直线MN所过定点E的坐标，利用直角三角形的几何性质可得出定点Q的坐
标.
【详解】（1）解：抛物线C的准线方程为x =−p
2 ，由抛物线的定义可得|AF|=2+ p
2 ，
将点A的坐标代入抛物线方程可得m
2= 4 p，
所以，|AO|=
❑√4+m
2= ❑√4 + 4 p=2❑√1+ p，
所以，|AF|
|AO|=
2+ p
2
2❑√1+ p =
❑√3
2
，因为p>0，解得p=2，
因此，抛物线C的标准方程为y
2= 4 x.
（2）解：若直线MN ⊥y轴，则直线MN与抛物线C只有一个公共点，不合乎题意，
设直线MN的方程为x =ty +n，设点M (x1, y1)、N (x2, y2)，
联立¿可得y
2−4 ty −4 n=0，Δ=16t
2+16n>0，则n>−t
2，
由韦达定理可得y1+ y2= 4 t，y1 y2=−4 n，⃗
PM =(x1−1, y1−2)=(
y1
2−4
4
, y1−2)，⃗PN =(x2−1, y2−2)=(
y2
2−4
4
, y2−2)，
因为以MN为直径的圆过点P(1,2)，则⃗PM ⋅⃗PN =0，
所以，1
16 ( y1
2−4)( y2
2−4)+( y1−2)( y2−2)=0，
显然y1≠2且y2≠2，所以，( y1+2)( y2+2)+16=0，
即y1 y2+2( y1+ y2)+20=0，即−4 n+8t +20=0，可得n=2t +5，
所以，直线MN的方程为x =ty +2t +5=t ( y +2)+5，
由y +2=0可得y =−2，x =5，所以，直线MN过定点E (5,−2)，
所以，|PQ|=
❑√(1−5)
2+(2+2)
2= 4 ❑√2，
因为PD⊥MN，当点Q为线段PE的中点时，即当点Q的坐标为(3,0)时，
|DQ|= 1
2|PE|=2❑√2为定值.
因此，存在定点Q，且当点Q的坐标为(3,0)时，|DQ|为定值.
【变式训练3-3-1】已知抛物线
的焦点为
，过
且不与
轴垂直的直线与抛物线相交于
、
两点，
为
轴上一点，满足
，则
（ ）
A．为定值
B．为定值
C．不是定值，最大值为
D．不是定值，最小值为
【解析】若直线
与
轴重合，此时，直线
与抛物线
只有一个交点，不合乎题意；
由题意，
，设直线
的方程为
，设点
、
，
联立
可得
，
，
由韦达定理可得
，则
，
所以，
，
线段
的中点为
，所以，直线
的方程为
，
在直线
的方程中，令
，可得
，即点
，
所以，
，因此，
.故选：A.
【变式训练3-3-2】过抛物线
的焦点
的直线l 交抛物线
于
两点，若点P 关于x 轴对称的点为
M，则直线QM 的方程可能为
A．
B．
C．
D．
【解析】由题意，抛物线
的焦点为
，准线方程为
，
设直线
方程为
，联立方程
，整理得
，
设
，则
，
，
过
三点向准线作垂线，垂足分别为
，准线与
轴交于点
，
则
而
，所以
，
因为
有公共点
，所以
三点共线，即直线
一定过点
,
由四个选项可知，只有选项
经过点
.故选：D.
【变式训练3-3-3】已知抛物线
，
为
轴正半轴上一点，则（ ）
A．存在点
，使得过点
任意作弦
，总有
为定值
B．不存在点
，使得过点
任意作弦
，有
为定值
C．存在点
，使得过点
任意作弦
，总有
为定值
D．不存在点
，使得过点
任意作弦
，有
为定值
【解析】设
，
，
，
由
，可得
，则有
，
所以
，
，
所以
+
，
所以当且仅当
时，
，
即存在点
，使得
为定值
，故A 正确，B 错误；
由题意可得
，
，
所以
，
如果
为定值，则必有
，而此方程组无解，
所以
不为定值，故C 错误，D 正确.
故选：AD.
【变式训练3-3-4】已知AB，CD 是过抛物线
焦点F 且互相垂直的两弦，则
的值为
.
【解析】由题设，直线
、
的斜率一定存在，
设
为
，
，
，联立抛物线方程，可得
且
，
∴
，
，而
，
，
∴
，
由
，设
为
，
，
，联立抛物线，
可得
，同理有
，
，∴
，
综上，
.
【变式训练3-3-5】已知抛物线C：
的焦点F 关于直线l：
对称的点
为
．
(1)求C 的方程；
(2)设原点为O，点P，Q 均在C 上若直线PQ 经过点
，直线OP 与直线
：
相交于点M，点Q 在
上的
投影为R，设
与x 轴的交点为S，问：
是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
为定值2．
【分析】（1）由
对称的点
为
，可得抛物线焦点，据此可得抛物线方程；
（2）设直线PQ 的方程为
，且
，
.将直线方程与抛物线方程联立，由韦达定理可得
.又由题可得M 的纵坐标
，然后由
，
经整理后可得定值.
【详解】（1）由已知得
，则线段
的中点为
，
由题意得该中点在直线l：
上，
所以
，解得
，
所以C 的方程为
．
（2）设直线PQ 的方程为
，且
，
.
联立方程组
，整理得
.
可得
，且
，
，则
．
又直线OP 的方程为
，令
，得点M 的纵坐标
，
又点Q 在
上的射影为R，所以点R 的纵坐标
.则由图可得：
，
所以
为定值2．
【变式训练3-3-6】在平面直角坐标系
中，动点
到点
的距离比到直线
的距离小2．
(1)求
的轨迹的方程；
(2)设动点
的轨迹为曲线
，过点
作斜率为
，
的两条直线分别交
于M，N 两点和P，Q 两点，其中
．设线段
和
的中点分别为A，B，过点
作
，垂足为
．试问：是否存在定点
，使得
线段
的长度为定值．若存在，求出点
的坐标及定值；若不存在，说明理由．
【解析】（1）由题意可得动点
到点
的距离比到直线
的距离小2，
则动点
到点
的距离与到直线
的距离相等，
故G 的轨迹是以
为焦点，以直线
为准线的抛物线，
设抛物线方程为
，
则焦准距
，故
的轨迹的方程为：
；
（2）由题意，直线MN 的方程为
，由题意可知
，
由
，消去y 得：
，
，
设
，则
，
故
，同理可求得
，所以直线AB 的斜率
，
故直线AB 的方程为：
，
故直线AB 过定点
，设该点为
,又因为
，所以点D 在以EF 为直径的圆上，
由于
,
,故以EF 为直径的圆的方程为
，
故存在定点
，使得线段
的长度为定值2.
【变式训练3-3-7】已知曲线
，点
为曲线
的焦点，点
为曲线
上一点，且
．
(1)求曲线
的方程；
(2)设曲线
，若过点
的直线与曲线
，
从左到右依次相交于点
，
，
，
．
（i）证明：
为定值；
（ii）若直线
，
（
为坐标原点）分别交直线
于点
，
，求
的最小值．
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
【难度】0.4
【知识点】抛物线中的定值问题、根据抛物线上的点求标准方程、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参
数
【分析】（1）利用抛物线上的点满足的条件列方程，求解即得；
（2）（i）先确定
的圆心为
，设直线方程为
并与
联立，写出韦达定理，根据抛物线定
义求得
和
，继而可证得
；（ii）将直线
的方程与直线
联立求得
，同
理得
，求得
，利用
换元后借助于二次函数的性质即可求出
的最小值.
【详解】（1）因
，设
，则
，
即
，化简得：
，解得
或
（舍），
抛物线
的方程为
．
（2）（i）由
得
，圆心
，半径为1，
抛物线
的焦点与
的圆心重合，即为
，
显然，直线斜率存在，设直线方程为
，设点
、
，
联立方程
，消去
并整理得
，
，由韦达定理得
，
．
由抛物线的定义可知
，
，
，
．
，
即
为定值1；
（ii）由（i）可知：
．
，则直线
的方程为
，
由
可得
，
同理直线
的方程为
，由
可得
，
，
设
，
，
，
当
，即
，即
时，
的最小值是
．
【变式训练3-3-8】已知抛物线C : x
2=2 py( p>0)的焦点为F，准线为l，过点F且倾斜角为π
6 的直线交抛物线于
点M（M 在第一象限），MN ⊥l，垂足为N，直线NF交x轴于点D，|MD|= 4 ❑√3.
(1)求p的值.
(2)若斜率不为0 的直线l1与抛物线C相切，切点为G，平行于l1的直线交抛物线C于P ,Q两点，且∠PGQ =π
2 ，
点F到直线PQ与到直线l1的距离之比是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1)p= 4
(2)是，3
【分析】（1）利用图中的几何关系以及抛物线的定义求解；
（2）直线PQ的方程为y =kx +m(k ≠0)以及点P ,Q ,G的坐标，将直线方程与抛物线方程联立由韦达定理以及
∠PGQ =π
2 得到k与m的关系式，利用直线l1与抛物线C相切求出直线l1的方程，用点到直线的距离公式即可求出
点F到直线PQ与到直线l1的距离之比.
【详解】（1）如图所示，过点F作FA ⊥MN，垂足为A , MN交x轴于点E，
由题得∠AFM =π
6 ，所以∠NMF =π
3 ，
因为|MF|=|MN|，所以△MNF是等边三角形，
因为O是FB的中点，所以|DF|=|DN|, MD⊥DF，
故|FM|= 4 ❑√3
sinπ
3
=8，
所以|MN|=8，|AN|= 4，所以|OF|= 1
2|AN|=2，所以p
2 =2，即p= 4.
（2）由（1）可知抛物线的方程是x
2=8 y，
设直线PQ的方程为y =kx +m(k ≠0)，P(x1, x1
2
8 ),Q(x2, x2
2
8 ),G(x0, x0
2
8 )，
因为∠PGQ =π
2 ，所以
x1
2
8 −x0
2
8
x1−x0
⋅
x2
2
8 −x0
2
8
x2−x0
=−1，
即(x1+ x0)(x2+ x0)=−64，即x1 x2+ x0(x1+ x2)+ x0
2=−64.
又y
' =k = x0
4
，所以x0= 4 k，故l1: y = x0
4 (x−x0)+ x0
2
8 =kx−2k
2.
联立¿，消去y，得x
2−8kx −8m=0，其中Δ=64 k
2+32m>0，
则x1+ x2=8k , x1 x2=−8m，
所以−8m+32k
2+16 k
2=−64，所以m=6 k
2+8.
设点F到直线PQ和直线l1的距离分别为d1,d2，
则由l1∥PQ得
d1
d2
= |m−2|
|2+2k
2|
= 6k
2+6
2k
2+2
=3，
所以点F到直线PQ与到直线l1的距离之比是定值，定值为3.
【点睛】解决定值问题的途径就是用部分量去表示所求的量，本题就是利用韦达定理及其已知条件先找到部分量之
间的关系，再用部分量去表示所求的量，最后用部分量之间的关系消元,即可得到定值.
【变式训练3-3-9】已知双曲线
分别是
的左、右焦点．
在直线
上，且
到其中一条渐近线的距离为
.抛物线
：
上的一个动点
到
的距离与点
到
的准线的距离之和的最小值为
.
(1)求
的方程和
的方程；
(2)若过
的直线与
的左、右两支分别交于
两点，与
交于
两点.问是否存在常数
，使得
为定值？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
，
(2)存在，
【详解】（1）因为直线
与
轴的交点为
，所以点
的坐标为
，半焦距
，
又双曲线
的渐近线方程为
，即
，由点到直线的距离公式得到点
到其中一条渐
近线的距离为
，所以
，则
，又
，所以双曲线
的方程为
又设
为抛物线
的焦点，则
，如图，已知
，
为
到准线的距离且
为垂足，则
，
当且仅当
三点共线且
在
之间时等号成立，所以
，解得
，因为
，所以
，故抛物线
的方程为
（2）假设存在常数
满足条件，由（1）知
，
设直线
，
联立方程得
，消去
，整理可得
，
所以
，
，
．
因为直线过点
且与
的左、右两支分别交于
，
两点，所以
两点在
轴同侧，所以
．
此时
，即
，所以
．
设
，将
代入抛物线方程
，得
，
则
，
所以
．
所以
．
故当
时，
为定值
，所以，当
时，
为定值
（四）面积定值
【典型例题】已知抛物线C：
的焦点
，点O 为坐标原点，过点
作直线
，
分别交
抛物线C 于A，B 两点和C，D 两点，直线
与直线
交于点E.
(1)求抛物线C 的方程；
(2)若
的角平分线所在的直线方程为
，求直线
的方程；
(3)抛物线C 在第一象限的图象上是否存在定点M，使得
的面积为定值，若存在，求出该定值；若不存在，说
明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
.
【详解】（1）由题意得
，则
.
∴
.
（2）设
，
，显然
，
则直线
：
，整理得
.
∵直线
过点
，∴
.①
∵
的角平分线方程为
，
设
上一点
，直线
：
，直线
：
，
∴
.
整理得
，
令
，
即
，
是方程
的两根.
∴
，
.
∵
，∴
，
，
.
∴直线
的方程为
.
（3）
，
，
同理可得
.②
又∵直线
：
，
直线
：
，
∴
，
，
将①②代入上式化简得
.
∴点E 在
直线上，
∴使得
的面积为定值的点一定在过点F 且与
平行的直线上，
由
解得
或
（舍），
此时
，
.
∴点F 到直线
的距离
.
∴
.
【变式训练3-4-1】中点．设
C
在点
,
A B
处的切线交于点
P ，D 为曲线段AB （不含端点）上一点，
C
在点D 处的
切线与直线
,
PA PB
分别交于点
,
M N
．
(1)证明：
①直线
PQ
x
轴；
②四边形
MPNQ
的面积为定值；
(2)设PMN
的外接圆为圆E ，问：圆E 是否过定点（点P 除外）？若过定点，求出定点坐标；不过定点，请说明
理由．
【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析
(2)过定点，
(0, 1)
【难度】0.4
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、抛物线中的定值问题、抛物线中存在定点满足某条件问题、直
线与抛物线交点相关问题
【分析】（1）①联立方程可求出
,
A B
的坐标，再求出
,
P Q
的坐标，即可证明结论；②利用切线方程可求表示出
,
M N
的坐标，从而可求出四边形
MPNQ
的面积，即可证明结论；
（2）表示出直线
,
PM PN
的方程，可求出点E 所在的直线方程，结合三角形外接圆性质，即可得出结论.
【详解】（1）证明：①依题意，联立直线方程
2
4
0
x
y
和
2
4
x
y
得
2
2
8
0
x
x
，
解得
2
x 或4，所以
4,4 ,
2,1
A
B
，则
5
1, 2
Q
.
由
2
4
x
y
得
2
x
y
，所以直线PA 的斜率为
4
2
2
，
则PA 的方程为
2
4
0
x
y
，同理可得PB 的方程为
1
0
x
y
，
联立
2
4
0
1
0
x
y
x
y
，从而可得
1, 2
P
，而
5
1, 2
Q
，因此PQ
x
轴.
②设
2
0
0, 4
x
D x
，可得直线MN 的方程为
2
0
0
0
0
2
4
4
2
x
x
y
x
x
x
，
，
即
2
0
0
0
2
4
2
4
x x
x
y
x
，
，
联立2
4
0
x
y
，可得
0
4
2
M
x
x
，
同理联立
2
0
0
0
2
4
2
4
x x
x
y
x
，
，
1
0
x
y
，可得
0
2
2
N
x
x
，
而
9
2
PQ
，
故四边形MPNQ 的面积为
1
1
9
27
3
2
2
2
4
M
N
PQ
x
x
，为定值.
（2）由（1）得
0
0
0
0
4
2
1, 2 ,
,
,
,
2
2
2
x
x
x
P
M
x
N
，
线段PM 的垂直平分线的斜率为
1
2
，则其方程为
0
0
2
6
1
2
2
4
x
x
y
x
，即
0
5
2
2
0
4
x
x
y
；
同理可得线段PN 的垂直平分线的方程为
0
2
0
2
x
x
y
，
联立
0
5
2
2
0
4
x
x
y
，
0
2
0
2
x
x
y
消去
0x ，得
3
2
0
x
y
，
所以点E 在直线
3
2
0
x
y
上.
设
1, 2
P
关于直线
3
2
0
x
y
的对称点为
( , )
a b
，则
2
3
1
1
2
3
2
0
2
2
b
a
a
b
，
解得
0
1
a
b
，即
1, 2
P
关于直线
3
2
0
x
y
的对称点为(0,1) ，
由于
1, 2
P
在圆E 上，故圆E 也过点(0,1) ，因此圆E 过定点(0,1) .
（五）参数定值
【典型例题1】已知抛物线的方程为
，过其焦点F 的直线交此抛物线于M．N 两点，交y 轴于点E，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
【解析】根据条件可得F（1，0），
则设直线MN 的方程为y＝k（x﹣1），M（x1，y1），N（x2，y2），
所以E（0，﹣k），联立
，整理可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，
则x1+x2＝
，x1x2＝1，因为
，
，
所以λ1（1﹣x1）＝x1，λ2（1﹣x2）＝x2，即有λ1＝
，λ2＝
，
所以
.故选：D.
【典型例题2】已知抛物线
的焦点为
是抛物线
上的一点，且
．
(1)求抛物线
的方程．
(2)直线与抛物线
交于
两点，
轴上是否存在定点
，使得直线经过点
，且
为定值？若存
在，求出
的值及点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)定点
的坐标为
，
的定值为
【分析】（1）由题意可得
，
，计算可求得
，可求得抛物线方程；
（2）假设
轴上存在定点
，设直线的方程为
，
，联立方程组，利用根与系数
的关系可求得
，可求定点坐标与定值.
【详解】（1）抛物线
的准线方程为
，
又
是抛物线
上的一点，且
，所以
，
，
所以
，所以
，所以
，解得
．
所以抛物线
的方程为
．
（2）假设
轴上存在定点
，使得直线经过点
，且
为定值，
显然直线的斜率不为
，设直线的方程为
，
联立
，消去
，可得
，
所以
，
，
，
所以
，
当
时，
为定值，
此时定点
的坐标为
，
的定值为
.
【变式训练3-5-1】如图，O 为坐标原点，过点
且斜率为k 的直线l 与抛物线
分别交于
，
两点．
(1)求证：
为定值；
(2)求证：
．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）设直线：
，代入抛物线方程，消去
，得到关于
的一元二次方程，根据韦达定理可得
为定值.
（2）根据（1）的结论，通过求证
得
.
【详解】（1）由题可设直线l 的方程为
（
），
与抛物线方程联立得
消去y 可得
，
其中
，
由根与系数的关系得
，即
为定值．
（2）因为
，
，所以
．
又因为
，所以
．
设
，
的斜率分别为
，
，
则
，
，有
，则
．
【变式训练3-5-2】已知抛物线
经过点
，过点
的直线与抛物线
有两个不同的交点
，且直线
交
轴于
，直线
交
轴于
．
(1)求抛物线
的方程；
(2)①求直线的斜率的取值范围；
②若
为原点，将上述
两点坐标改为
，且满足
，其他条件不变，试
探究
是否为定值，并说明理由．
【答案】(1)
(2)①
；②为定值，理由见解析
【难度】0.65
【知识点】抛物线中的定值问题、根据抛物线上的点求标准方程、直线与抛物线交点相关问题
【分析】（1）将点
坐标代入抛物线方程计算可得；
（2）①设出直线方程，联立抛物线方程消元，利用判别式，结合题意求解即可；②设出直线的方程，联立抛物线
方程消元，利用
坐标表示出直线
，
方程，进而可得
、
的坐标，表示出
，利用韦达定理进行化
简即可得解.
【详解】（1）因为抛物线
过点
，
所以
，从而
，故抛物线
的方程为
．
（2）①由题意知，直线的斜率存在且不为0，故设直线的方程为
，
由
得
，
依题意
，解得
且
．
又直线
与
轴相交，故直线不过点
，从而
，
所以直线斜率的取值范围为
．
②
为定值2．理由如下：
设
，直线
．
联立直线与抛物线
的方程
，可得
，
根据韦达定理有
．则
,
故
，
直线
的方程为
，
令
，则
，同理可得
．
由
得
,得
同理
，
则
,
所以
为定值，定值为2．
【变式训练3-5-3】过抛物线
上的点
的直线，
分别交抛物线T 于点B，C．设直线，
的斜率分别为
，
，
，当
且点B，C 关于x 轴对称时，△ABC 的面积为2．
(1)求抛物线T 的方程；
(2)当
时，证明：直线BC 过定点．
(3)设△ABC 的外心E 的坐标为
，BC 的中点M 的坐标为
，证明：
为定值．
【答案】(1)
(2)BC 过定点
，证明见解析
(3)
，证明见解析
【难度】0.65
【知识点】抛物线中的直线过定点问题、抛物线中的定值问题、根据抛物线上的点求标准方程、直线与抛物线交点
相关问题
【分析】（1）先根据已知条件设出点
坐标，由
、
对称及斜率关系，用斜率公式求出
、
坐标，再根据三
角形面积公式求出
，进而得到抛物线方程.
（2）设出
、
、
坐标，求出
、
，根据
的值得到
与
的关系，再求
，最后得出直线
经过的
定点
（3）
与
垂直得到
斜率，利用
、
中点在
上得出
方程，设
直线方程,
与之联立，通
过变形相减求出
，结合
的值及已知条件得出
的值.
【详解】（1）已知当
时，
，
、
关于
轴对称且
，
设
（
），因为
，不妨设
.
由斜率公式
，即
，解得
，所以
，
.
面积
，解得
，抛物线
方程为
.
（2）设
，
，
，
则
，
.
因为
，则
，所以
,则
.
，所以直线BC 方程
，整理得
.
把
代入直线BC 方程,得
，所以直线
过定点
.
（3）设
，
中点坐标是
,
因为
与
垂直，则
,
已知
斜率是
，所以
斜率为
.
根据直线点斜式，得出
方程
，展开整理成
.
同理可得直线
方程
，与
方程联立.
变形两式为
和
，
相减得
，化简得
.
已知
，则
.
又
，代入得
.
【变式训练3-5-4】已知M (4 ,m)是抛物线C : y
2=2 px ( p>0)上一点，且M 到C 的焦点的距离为5.
(1)求抛物线C 的方程及点M 的坐标；
(2)如图所示，过点P(2,0)的直线l 与C 交于A，B 两点，与y 轴交于点Q，设⃗QA = λ⃗PA，⃗QB = μ⃗PB，求证：
λ+ μ是定值.
【答案】(1)y
2= 4 x，(4,4)或(4 ,−4)
(2)证明见解析
【详解】（1）由抛物线的定义，得4+ p
2 =5，解得p＝2.
所以抛物线C 的方程为y
2= 4 x，M 的坐标为(4,4)或(4 ,−4).
（2）由题意知直线l 的斜率存在且不为0，设l 的方程为x＝ty＋1（t≠0），则Q(0,−1
t).将x＝ty＋1 代入y
2= 4 x
得y
2−4 ty −4 =0.设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则y1+ y2= 4 t，y1 y2=−4.
由⃗QA = λ⃗PA，得λ =1+ 1
t y1
；由⃗QB = μ⃗PB，得μ=1+ 1
t y2
.
所以λ+ μ=2+ 1
t y1
+ 1
t y2
=2+ y1+ y2
t y1 y2
=2+ 4 t
−4t =1，故λ+ μ是定值1.
（六）向量定值
【典型例题】在平面直角坐标系
中，已知抛物线
的焦点为
，直线
与
交于
两点.
(1)若
过
，另一条过
的直线
与
交于
两点（
在
轴上方），直线
分别交直线
于
两点，证明：
为
的中点；
(2)若
上存在点
，使得
，证明：
为定值.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）设
.
设
，与抛物线联立，得
，
则
，即
，同理可得
.
又因为
，令
，得
，同理
，
将
代入得
，所以
为
的中点.
（2）方法1：设
，因为
，得
①，
由
，得
，
①
②
，
得
，
即
，
即
.
因为
，所以
，
则
，即
为定值-4.
方法2：设
，因为
，所以
，
即
，同理得
，
所以
，
由
，得
①，
同理
②，
③，
由①-②，得
④，
由①+②+③，得
，
即
，
而
故结合④可得
，
则
，
所以
为定值-4.
【变式训练3-6-1】如图1，已知抛物线
的焦点为
，准线交
轴于点
，过点
作倾斜角为
的直线交抛物线于
两点（点
在第一象限）．当
时，
．
(1)求抛物线
的方程；
(2)如图2，把
沿
翻折为
，使得二面角
的大小为
．
①若
，求直线
与平面
所成角的正弦值；
②证明：三棱锥
的体积为定值．
【答案】(1)
(2)①
；②证明见解析.
【难度】0.4
【知识点】线面角的向量求法、锥体体积的有关计算、根据抛物线上的点求标准方程
【分析】（1）先根据倾斜角得出点的坐标，再应用两点间距离求出
，进而得出抛物线；
（2）①联立方程得出点的坐标，再应用空间向量法计算线面角正弦即可；②应用三棱锥体积公式结合三角形面积
公式计算求解.
【详解】（1）当
时，
，所以点
的坐标为
，
因为
，所以
，
解得
，
所以抛物线
的方程为
．
（2）①在平面直角坐标系中，若
，则直线
的方程为
，
联立
所以点
的坐标分别为
．
过O 点作平面
的垂线为
轴，如图建立空间直角坐标系，则
，
当二面角
的大小为
时，点
，即
，
所以
，
设平面
的法向量为
，
则
即
解得
取
，得
，
设直线
与平面
所成角为
，则
，
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
．
②由题意得
．
，
当
时，
，
当
时，在平面直角坐标系中，设直线
的斜率为
，则直线
的方程为
，
设点
的坐标分别为
，
联立
得
，
则
，
因为
，所以
，得
，
所以
，
，
综上所述，三棱锥
的体积为定值
．
