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专题 立体几何中的外接球、内切球、棱切球问题 近三年： 外接球问题：高频考点，每年必考或隔年出现，主要以选择题、填空题形式出现，难度中等偏上，往往作 为小题的压轴或次压轴题。 内切球问题：考查频率较低，多出现在特殊几何体（如正四面体、正三棱锥）中，难度中等。 棱切球问题：较少单独考查，偶尔在模拟题或竞赛背景题中出现，常与多面体的棱长相切条件结合。 预测2026 年： 模型化考查：直接给出特殊几何体（如侧棱垂直底面的三棱锥、对棱相等的三棱锥），要求计算外接球半 径或表面积。 动态几何体中的外接球：如圆锥、圆台的外接球，或几何体旋转后的外接球问题。 与导数、不等式结合：求外接球半径的取值范围或最小表面积，体现综合难度。 内容导航 热点解读 题型突破 限时训练 热点内容解读 深度剖析 解读热点：分析解读热点考查内容，精准预测命题方向。 热点题型突破 逐一剖析 解题归纳：对热点的各类题型逐一突破，归纳解题方法与技巧。 热点限时训练 模拟实战 巩固提升：限时完成题目训练，提升解题能力。 题型01 正方体长方体的外接球 解｜题｜策｜略 正方体、长方体的外接球的球心在其中心处，球的半径为体对角线的一半 1、若正方体边长为a，则它的外接球半径为 ❑√3 2 a 2、若长方体的三边长分别为a,b,c，则它的外接球半径为 ❑√a 2+b 2+c 2 2 1．（2025·江西宜春·模拟预测）已知棱长为3 的正方体 的所有顶点均在球 的球面上， 则球 的表面积为（ ） A． B． C． D． 2．（2025·云南昭通·模拟预测）已知球 的半径为3，正方体 所有顶点均在球面上，点 是棱 的中点，过点 作球 的截面，则所得截面面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 3．（2025·河北秦皇岛·三模）已知正方体 的各顶点都在球 的表面上，若球 的表面积 为 ，则平面 截球 所得的截面面积为 ． 题型02 三棱锥补全为正方体或长方体的外接球 解｜题｜策｜略 1、若三棱锥中有三条棱互相垂直，则可考虑补全为长方体或正方体，称之为墙角模型（如上图1、2、 3）。这时三棱锥的外接球同补全的长方体或正方体的外接球，求球的半径公式如上。 2、图2 为九章算术中的鳖臑，即四个面都为直角三角形的四面体。 3、若三棱锥的三对对棱两两相等，也可以补全为长方体或正方体（如图4），外接球的半径也同长方 体或正方体的外接球半径。 1．（2025·江西·模拟预测）已知在三棱锥 中， ， ， 两两垂直， ， ， 的外接圆的面积分别为 ， ， ，若点 ， ， ， 都在球 的表面上，且球 的表面积为 ， 则 （ ） A． B． C．1 D．2 2．（2025·辽宁大连·模拟预测）在三棱锥 中， 底面ABC， ， ， ，点 D 满足 ，三棱锥 的外接球为球O，过点D 作球O 的截面，若所得截面圆的面积的最大 值与最小值之差为 ，则球O 的表面积为（ ） A． B． C． D． 3．（2025·上海浦东新·三模）已知三棱锥 的四个顶点均在球 的表面上，且 ， ， ， ．若点 到底面 的距离为1，则球 的表面积为（ ）． A． B． C． D． 4．（2025·河北秦皇岛·三模）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．四面体 是一个鳖臑，已知 是直角三角形， ， ， ， ，则平面 截该鳖臑的外接球所得截面面积为 ． 5．（2025·江西新余·模拟预测）四面体的每一组对棱的长度相等，分别为 ， ， ，则该四面体的 体积为 ，该四面体的外接球的表面积为 . 题型03 圆锥的外接球 解｜题｜策｜略 若圆锥的高为h，底部半径为r，母线长为l，则圆锥的外接球半径R = h 2+r 2 2h = l 2 2h 1．（2025·重庆·三模）已知某圆锥的外接球的体积为 ，若球心到该圆锥底面的距离为 ，则该圆锥 体积的最大值为（ ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南长沙·二模）已知圆锥的轴截面是边长为4 的正三角形，以其底面圆心为球心，底面半径为 半径的球和圆锥表面的交线长为（ ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在同一个球面上，且该球的半径为1，当 圆锥的体积取最大值时，圆锥的底面半径为（ ） A． B． C． D． 4．（2025·宁夏银川·三模）一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为 的扇形，该圆锥的顶点和 底面圆周都在同一个球面上，则该球的表面积为 . 5．（2025·新疆·三模）用一个平面截球O 得到的曲面称为球冠，截面为球冠的底面，如图球冠的高大于球 的半径， 为底面圆心， 是以 为底，点S 在球冠上的圆锥，若底面 的半径是球的半径的 倍， 点A 为底面圆周上一点，则 与底面 所成的角的大小为 ，圆锥 的体积与球O 的体积之比 为 ． 题型04 可补为圆锥的外接球 解｜题｜策｜略 1、若P在平面ABC上的射影是ΔABC的外接圆圆心，则可以把三棱锥P - ABC补为圆锥，根据 圆锥的外接球模型来求外接球半径。 2、若PA = PB = PC，则可以得出P 在ΔABC的射影为其外接圆圆心，同理补为圆锥。 3、正棱锥都可以补成圆锥，可以按圆锥的外接球模型来求。 1．（2025·四川达州·二模）三棱锥 各个顶点均在球 表面上， ， 外接圆的半径为 ，点 在平面 的射影为 中点，且 与平面 所成的角为 ，则球 的表面积为（ ） A． B． C． D． 2．（多选）（2025·广东揭阳·三模）三棱锥 中，平面 平面 ， ， ，其各顶点均在球O 的表面上，则（ ） A． B．点A 到平面 的距离为 C．二面角 的余弦值为 D．球O 的表面积为 3．（2025·全国·模拟预测）已知正三棱锥的各顶点都在体积为 的球面上，正三棱锥体积最大时，该正 三棱锥的高为 . 4．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知球 是三棱锥 的外接球， ， ，若三 棱锥 体积的最大值为 ，则球 的表面积为 . 5．（2025·江西·模拟预测）已知点A，B，C，D 都在半径为3 的球面上，且 是边长为 的正三角 形，则三棱锥 体积的最大值为 . 题型05 直棱柱、圆柱的外接球 解｜题｜策｜略 1、圆柱的高为h，底面半径为r，则圆柱的外接球半径R = ❑√r 2+ h 2 4 2、若是直棱柱，则可以先找直棱柱上下底的外接圆，求外接圆半径r，然后补成圆柱，按圆 柱的外接球半径公式来算即可。 1．（2025·湖南娄底·二模）已知正六棱柱 的各个顶点都在半径为R 的球面上，一个能 放进该正六棱柱内部的最大的球半径为r．若 ，则当 最小时，该正六棱柱的体积为（ ） A．36 B．42 C．48 D．24 2．（2020·山东青岛·三模）在三棱柱 中， ，侧棱 底面ABC，若该三棱柱 的所有顶点都在同一个球O 的表面上，且球O 的表面积的最小值为 ，则该三棱柱的侧面积为（ ） A． B． C． D．3 3．（2025·江苏·一模）已知一圆柱内接于半径为1 的球，当该圆柱的体积最大时，其高为（ ） A． B． C． D． 4．（2025·新疆·模拟预测）在我国著名的数学论著《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底 面的棱柱称为“堑堵”.已知在堑堵 中， ， ， ， 为 的中 点，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 5．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）如图所示，在长方体 中， ，以 为棱作半平面 分别和棱 相交于点 ，二面角 的平面角为 .在三棱柱 和四棱柱 中分别放入半径为 的球，在 的变化过程中， 的最大值 为 . 题型06 补成柱体的外接球 解｜题｜策｜略 1、一条侧棱垂直于底面 ⇒ 以底面的外接圆为底，侧棱为高作圆柱，然后找该圆柱的外接 球。如上图中图1，图2 2、若图形为非规则图形，但上下底平行，上下底的外接圆半径相等且两个圆心的连线垂直于 上下底，这时也可以构造一个圆柱（如图3），这时圆柱的外接球即为所求的外接球。 1．（2025·河南·二模）在三棱锥P-ABC 中，底面ABC 为正三角形， 平面ABC， ， ， 若P，A，B，C 四点都在球O 的表面上，则球心O 到平面PBC 的距离为（ ） A． B． C． D． 2．（2025·贵州铜仁·三模）在三棱锥 中，已知 平面 ， ， ． 若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ） A． B． C． D． 3．（2025·陕西咸阳·模拟预测）取两个相互平行且全等的正方形，将其中一个旋转一定角度，连接这两个 多边形的顶点，使得侧面均为等边三角形，我们把这种多面体称作“四角反棱柱”．图中“四角反棱柱” 的棱长均为4，则该“四角反棱柱”外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 4．（2025·福建·模拟预测）在三棱锥 中，已知 平面 ，则 三棱锥 的外接球的表面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 5．（多选）（2025·福建莆田·二模）在三棱锥 中， 平面 分别为 中点，下列结论正确的是（ ） A． 为直角三角形 B． 平面 C．三棱锥 的体积最大值为 D．三棱锥 外接球的半径为定值 题型07 圆台、棱台的外接球 解｜题｜策｜略 1、圆台的上底半径r1 ,下底半径r2，高为h，（如图1，图2），两次使用勾股定理，可求得 它的外接球的半径R 2=r2 2+( r2 2-r1 2-h 2 2h ) 2 2、棱台的外接球（如图3），先找上下底面的外接圆半径，然后按照圆台的外接球半径公 式。 1．（2025·河南·模拟预测）已知正四棱台的上、下底面边长分别为 ， ，该四棱台的所有顶点都在 球 的球面上，且球心 是下底面的中心，则该四棱台的体积为（ ） A． B． C． D． 2．（2025·甘肃甘南·模拟预测）工匠们要用一球体雕刻出一正三棱台，正三棱台的顶点都在该球体的球面 上，且要求雕刻出的棱台的侧棱长为 ，上、下底面边长分别为 和 ，则所用球体的半径为 （ ） A．7 B． C． D． 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知正四棱台 ， ， ，侧棱与底面所成的角 为 ，则此正四棱台外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 4．（2025·全国·模拟预测）如图，已知正四棱台 的高 ，且 ，则此 正四棱台的外接球表面积为（ ） A． B． C． D． 5．（2025·河南南阳·模拟预测）已知正三棱台 的上、下底面边长分别为1 和2，且体积不大 于 ，若该棱台的外接球球心 位于棱台内部（不含表面），则外接球表面积的取值范围是 . 题型08 两面垂直的三棱锥的外接球 解｜题｜策｜略 在三棱锥P - ABC中，如有平面PAB⊥平面ABC，求三棱锥的外接球O的半径R。设△PAB和 △ABC的外接圆为O1,O2。首先，若两平面垂直是因为有一条侧棱垂直于底面，则可以参考前面的补全 为棱柱，求棱柱的外接球半径，若没有侧棱垂直于另一面，我们来分情况来讨论一下（下列情况均在 平面PAB⊥平面ABC的前提条件下讨论的）。 1、若平面PAB在外接球的轴截面上，平面ABC不在外接球的轴截面，如图1，此时平面 PAB的外接圆圆心O1即是外接球的球心O。在题目条件上的体现为 ∠ACB =90 ∘。（此时我们不讨 论P 点在O与O2的连线上，因为这就是前面补全为圆锥模型的情况，也不讨论PA，PB 垂直于 平面ABC的情况。） 2、若平面PAB在外接球的轴截面上，平面ABC也在外接球的轴截面，如图2，AB的中点 即是外接球的球心O。在题目条件上的体现为 ∠ACB =90 ∘，∠APB=90 ∘ 3、若平面PAB，平面ABC都不在外接球的轴截面，如图3。找出两个外接圆圆心O1,O2， 它们与球心O，AB的中点D构成一个矩形，可求出OD长，再根据勾股定理，即可求出球的半径 R = AO = ❑√A D 2+O D 2 1．（2025·江西·二模）在三棱锥 中，平面 平面 ， ， ， ，若点 、 、 、 均在球 的表面上，则球 的体积为（ ） A． B． C． D． 2．（2025·云南大理·模拟预测）在体积为 的三棱锥 中， ， ，平面 平 面 ， ， ，若点 ， ， ， 都在球 的表面上，则球 的表面积为（ ） A． B． C． D． 3．（多选）（2025·湖南·三模）如图，两个边长均为1 的正方形 与正方形 所在的平面互相垂 直.点 ， 分别是对角线 ， 上的动点，且 ， 的长度相等，记 ， 点 是线段 上的一点.下列结论正确的是（ ） A． B． 的最小值是 C．三棱锥 与三棱锥 的体积相等 D．若点 ， ， ， ， ， 在同一个球的球面上，则该球的体积是 4．（多选）（2025·新疆乌鲁木齐·二模）如图，菱形 边长为 ， ， 为边 的中点 将 沿 折起，使 到 ，且平面 平面 ，连接 ， 则下列结论中正确的是 （ ） A． B．四面体 的外接球表面积为 C． 与 所成角的余弦值为 D．直线 与平面 所成角的正弦值为 5．（2025·山东枣庄·二模）在三棱锥 中， 是边长为 的等边三角形，侧面 底面 ， .若三棱锥 的四个顶点均在同一球面上，则该球的表面积为 ，三棱 锥 体积的最大值为 . 题型09 二面角模型的外接球 解｜题｜策｜略 二面角模型同上题型两面垂直的模型思想是一致的。在三棱锥P - ABC中，如有二面角P - AB -C =θ ，求三棱锥的外接球O的半径R。设△PAB和 △ABC的外接圆为O1,O2。 不同于两面垂直的三棱锥，这里的四边形OO1 DO2不是一个矩形，这时候球OD 的长度没有那么容易计 算，但是目标依然是计算出OD，然后再算出OA即为球的半径。 注意，若三棱锥中∠APB = ∠ACB =90 °，则无论二面角为多少，O1,O2，O三个心重合，这时则外 接球的球心在斜边的中点上，这个斜边即为外接球的直径。 1．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知二面角 的大小为 ，且 ， ， ，点 、 、 、 在同一球面上，则此球的表面积为（ ） A． B． C． D． 2．（多选）（2025·广东广州·二模）已知 是球 的球面上两点， 为该球面上的动点，球 的半径为 4， ，二面角 的大小为 ，则（ ） A． 是钝角三角形 B．直线 与平面 所成角为定值 C．三棱锥 的体积的最大值为 D．三棱锥 的外接球的表面积为 3．（2025 高一·全国·专题练习）已知二面角 的大小为 ，且 ， ， 若四点 ， ， ， 都在同一个球面上，当该球体积取最小值时， 等于 . 4．（2025·湖南·模拟预测）如图，正方形 的边长为 ．现沿对角线 将 翻折到 的 位置，使二面角 成直二面角． 分别为 的中点，点 四点都在球 的表面上， 则过直线 的平面截球 所得截面圆面积的最小值是 ． 题型10 正四面体的外接球与内切球 解｜题｜策｜略 在棱长为a的正四面体中，下面几个数据是常考的内容 1、正四面体的高为h= ❑√6 3 a 2、正四面体外接球半径为R = ❑√6 4 a 3、正四面体内切球半径为r = ❑√6 12 a 4、正四面体体积V = ❑√2 12 a 3 1．（2025·山东·一模）已知半径为 的球 的球心到正四面体 的四个面的距离都相等，若正四面 体 的棱与球 的球面有公共点，则正四面体 的棱长的取值范围为（ ） A．[4,4 ❑√3] B． C． D． 2．（2025·天津和平·一模）已知正四面体 （四个面都是正三角形），其内切球（与四面体各个面都 相切的球）表面积为 ，设能装下正四面体 的最小正方体的体积为 ，正四面体 的外接球 （四面体各顶点都在球的表面上）体积为 ，则 （ ） A． B． C． D． 3．（2025·江西新余·模拟预测）现将一个棱长为2 的正方体魔方放入一个正四面体的盒子中，若该魔方可 以在正四面体内自由转动，则这个正四面体棱长的最小值为（ ） A． B． C． D． 4．（2025·浙江嘉兴·三模）若某正四面体的内切球的表面积为 ，则该正四面体的外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 5．（2025·安徽·模拟预测）已知一件艺术品由外层一个大正四面体，内层一个小正方体构成，外层正四面 体的棱长为2，在该大正四面体内放置一个棱长为 的小正方体，并且小正方体在大正四面体内可以任意 转动，则 的最大值为（ ） A． B． C． D． 题型11 棱锥、圆锥的内切球 解｜题｜策｜略 无论是什么的内切球问题，都是先找过内切球球心的截面，在截面中找切点，从而找到半径关系。 1．（2025·湖北·模拟预测）已知圆锥的母线长为6，其内切球和外接球球心重合，则该圆锥外接球的表面 积为（ ） A．48π B．36π C．24π D．12π 2．（2025·四川绵阳·模拟预测）四棱锥 的底面是边长为2 的正方形，且 ，设该四棱锥的外接球球心与内切球球心分别为 ， ，则 的长为（ ） A．0 B． C． D． 3．（2025·海南海口·模拟预测）已知圆锥的母线长等于底面的圆半径的2 倍，那么该圆锥的表面积与圆锥 的内切球表面积之比为（ ） A． B． C． D． 4．（2025·河北·模拟预测）如图，在正八面体 中，所有棱长均为， 为正八面体内切球球 面上的任意一点，则（ ） A．正八面体内切球的表面积为 B．正八面体的体积为 C． 的取值范围是 D． 的最大值为 5．（2025·安徽·二模）已知正三棱锥 的各顶点均在半径为1 的球 的球面上，则正三棱锥 内切球半径的最大值为 . 题型12 棱台、圆台的内切球 解｜题｜策｜略 先找过内切球球心的截面，在截面中找切点，从而找到半径关系。 1．（2025·四川巴中·模拟预测）已知正四棱台 中，上底面 与下底面 的面 积之比为 ，且其内切球的半径为2，则 与面 所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 2．（2025·陕西·二模）已知正四棱台的上、下底面边长分别为 ，该四棱台的所有顶点都在球 的 球面上，且球心 是下底面的中心，则该四棱台的高为（ ） A．2 B． C． D．1 3．（多选）（2025·吉林·模拟预测）如图，一个带有盖子的密闭圆台形铁桶中装有两个实心球（桶壁的厚 度忽略不计），其中一个球恰为铁桶的内切球（与圆台的上，下底面及每条母线都相切的球），E 为该球 与母线BC 的切点.AB，CD 分别为铁桶上，下底面的直径，且 ， ，F 为 的中点， 则（ ） A．铁桶的母线长为3 B．铁桶的侧面积为 C．过D，E，F 三点的平面与桶盖的交线与直线CD 所成角的正切值为 D．桶中另一个球的半径的最大值为 4．（多选）（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在正四棱台 中， ， ， 与平面 夹角的正弦值为 ， 为 上一点，则下列说法正确的是（该四棱台内切球不一定与 所有的面都相切，以半径最大时且相切面数最多的球体为内切球）（ ） A．该几何体的体积为 B．存在点 ，使得 C．该四棱台外接球与内切球的体积之比为 D．存在点 ，使得平面 平面 5．（2025·山东·模拟预测）已知底面半径均为 的圆锥和圆台，它们的内切球半径也均为（内切球分别 与圆锥和圆台的底面以及侧面均相切），若 ，则圆锥和圆台的体积比为 ． 题型13 多球相切问题 解｜题｜策｜略 处理多球相切问题从球心截面入手，内切球问题都需要从截面入手分析。 1．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知正四棱锥P-ABCD 中，各棱长均相等，球 是该四棱锥的内切球，球 与球 相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切；球 与球 相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切， 球 的半径大于球 的半径，则球 与球 的表面积之比为（ ） A． B． C． D． 2．（2025·重庆·三模）棱长为 的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个 小球，则这样一个小球的体积最大为（ ） A． B． C． D． 3．（2025 高三·全国·专题练习）在棱长为8 的正方体空盒内，有4 个半径为的小球在盒底四角，分别与 正方体底面处交于某一顶点的3 个面相切，另有一个半径为 的大球放在4 个小球之上，与4 个小球相切， 并与正方体盒盖相切，无论怎样翻转盒子，5 个球相切不松动，设小球半径 的最大值为 ，大球半径 的最小值为 ，则 （ ） A．2 B．1 C． D．5 4．（2025·湖北·模拟预测）如图，在棱长为1 的正方体内部，有8 个以正方体顶点为球心且半径相等的部 分球体 ，有1 个以正方体体心为球心的球体 与 均相切，则该9 部分的 体积和的最大值为（ ） A． B． C． D． 5．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知侧棱长为 ，底面边长为 的正三棱锥 ，其内切球球心 为 ，球 与球 以及三棱锥 的三个侧面均相切，则 （ ） A． B． C． D． 题型14 棱切球 解｜题｜策｜略 同内切球问题，找到切点、球心的截面。根据勾股定理求半径 1．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知三棱锥 的各条棱都与同一个球面相切，若 ，则三角形 的周长为（ ） A．12 B．16 C．20 D．24 2．（2025·山西晋中·模拟预测）已知棱长为 的正方体 的中心为 ，若球 的球面与该 正方体的棱有公共点，则球 的表面积的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．（多选）（2025·陕西安康·模拟预测）如图，已知正方体 的外接球表面积为 ，点 M 为线段BC 的中点，则（ ） A．正方体 的棱切球（球与正方体的棱均相切）表面积为 B． 平面 C．在该正方体的8 个顶点中任选4 个构造一个三棱锥，则该三棱锥体积的最大值为 D．平面 截正方体 所得的截面的面积为 4．（2025·全国·模拟预测）已知正四棱台 的上底面 的边长为2，现有一个半球，球 心 为正方形 的中心，且正四棱台的上底面、四条侧棱和下底面的四条边均与球 相切，则该半 球的表面积为 . （建议用时：30 分钟） 1．（2025·湖南·三模）如图1，已知球O 的半径 ．在球O 的内接三棱锥 中． 平面 ， ， ， ．P，Q 分别为线段AC，BC 的中点，G 为线段BD 上一点（不 与点B 重合），如图2．则平面 与平面 夹角的余弦值的最大值为 ． 2．（2025·全国·模拟预测）已知圆锥 的轴截面是斜边为2 的直角三角形，球 的半径等于圆锥 的高， 则圆锥 的表面积与球 表面积之比为（ ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏·模拟预测）已知正三棱锥 的侧棱长为 ， 为线段 上一点， ， ．设三棱锥 外接球为球 ，过 点作球 的截面 ，则截面 面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 4．（2025·山西吕梁·三模）已知圆柱的上、下底面圆周在同一球面上，且球的表面积是圆柱的表面积的2 倍，则球的体积与圆柱的体积的比值是 ． 5．（2025·四川·模拟预测）在三棱锥 中， 是边长为 的等边三角形，侧棱 平面 ，平面 与平面 所成角的正弦值为 ，则三棱锥 外接球的体积为 ． 6．（2025·广东广州·模拟预测）已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，若圆台上、下底 面面积之比为1：4，则圆台的体积与球体积之比为 . 7．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知四面体 的四个顶点在表面积为 的球O 的球面上， ，平面 平面 ，则四面体 的体积的最大值为 ． 8．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知圆台 内切球 的表面积为 ，母线与底面圆 直径所成角为 ，则圆台 的体积为 . 9．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大 球、正四面体的三个面均相切.若AB＝12，则该模型中一个小球的体积为 . 10．（2025·湖南·模拟预测）2021 年小米重新设计了自己的品牌形象.新旧图像如图所示，旧logo 是一个正 方形，新logo 可看作一个直径为边长的一半的圆在原正方形中运动，保留它运动过程覆盖的区域就是新 logo.类比推理，现有一个棱长为2 的正方体，一个直径为1 的球在正方体内部滚动，将该球可到达的区域 保留，不可到达的区域割去，得到一个几何体，我们称之为“小米正方体”，则“小米正方体”的体积为 .
