🌈
⾼三冲刺笔记-⽴体⼏何（⼆）
考点归纳：外接球与内切球模型
⼀
、外接球
“ ⽃笠模型
”
1
. 圆锥外接球模型
A
近
:
5
*
+
( h
.
R )
2
=
R
3
( γ 为底⾯圆半径了
!
>
R
= 装
队为外接球半⾏
3
R
…
…
…
∵州
。
…
⼀
( h为上顶点到底⾯距离
)
B …
…
2
. 正三棱锥外接球模型
A
之证
:
γ
3
+
( h
- R ]
2
=
R
2
( γ 为底⾯圆半径
)
R为外接球半⾏
(
)
h
?
M
,
R
=⼩筑
( h为上顶点到底⾯距离
)
…
…
…
…
….
…
F
.
「
兄
3
.
上顶点在底⾯图形外接圆圆⼼正上房的锥体
。
A
之证
:
23 +
( h
- R ] ==
R
2
<γ 为底⾯圆半径
)
R为外接球半⾏
(
)
h
.
3
M
,
R = 热
( h为上顶点到底⾯距离
)
… …
…
…
…
F
δ
示
8
结论
: ⽃笠模型适⽤于
1
圆锥⼩
, h ⾃带
!
2 正棱准⼩h ⾃带
;
3
上顶点在底⾯图形外接圆圆⼼正上产的锥体
。
γ
. h ⾃带
eg
: 在正四⾯体δ
- ABC 中
, 若棱卡为α
. 则正四⾯体S
- ABC 外接球表⾯积为
6 π
了
2
S
∵正四⾯体δ - ABC
: 底⾯的ABC 为正三⻆形
A
h
解A
—
。
(
∵
由正定理得: 号in60=
2 h ,
γ : ☆☆
(
N 为LABC 外接圆半径)
π
B
: h :
As
2
-
*=
h
-
2
=
⼸
:
R
=
⼘
”背
:
( 2 ☆
]
^+ (
π
)
= 0
:
S 球表: 4π R=
6 π
2 × π
⼆
. 外接球
“ 汉堡模型
”
1
.
圆柱外接球模型
1
—
… …
…
。
h
之证
:
R
= =γ
*
+ (
)
α
( 2 为圆柱底⾯圆半径了
Ʃ
R
h
7
R
=
hi + 出
:
( R 为圆柱外接球半径)
→
( h 为圆柱的⾼了
⼀
α
. 直棱柱外接球模型
近
;
R
2
=
2
+
(
2 m
)
<
(
γ 为三棱柱底⾯三⻆开以外接圆半径)
( R 为三棱柱外接球半径了
,
R
=
γ=+ 4
h
( h为三棱柱的⾼
)
噩
对圆柱上下底⾯对应位置处
,
取相同数量的点注
:
从如都取如图A
.
B
,
C
.
A
.
,
B
.
C
.
6 个点
。则我们得到
( 直) 三棱柱
。
它的外接球其实就是这个圆柱的外接球
0 所以
,
R :
从⼗千收
多垂棱锥外接球模型
…
…
"
*
-
-
—
…
…
…
"β∵
第延
R <=^+
( ↑
P (
r 为三棱底⾯三⻆F
形外接圆半征雍
R
,
R :
γ i +
。( R
为三校外接球半径
(h 为三棱的⾼罐
2
”
可
…
…
B
将B
,
C
.
掉
, 得到三棱锥
A
.
- ABC
且A
、A + 底⾯ABC
,
即有⼀条侧棱上底⾯的锥体注去
,
依然符合
>
R
=
^+=
特点
:
⼀条侧棱上底⾯
”
4
.
侧⾯垂底的四棱锥外接球模型
证
:
R
2
:
z=+
( )
<
(
γ 为校底⾯三⻆形外接圆半很锥n
……
”
*
-
-
…
…
*
-,
R
R
,
R :
γit
R为校外接球半往
lh为棱的⾼
、
罐盟
→→
p
I
⼝
—
“
…
→
“
…
B
B
注
:
保留B
, 则A
, B
, AB 上⾯ABC
( 这⾥的ABC 相当于原四棱锥的侧⾯PAD
. 这⾥的
AA
, BB
, 相当于原因棱锥的底⾯ABCD
)
7
R
=
h
= t 收特点
: 侧⾯上底⾯的四棱锥
—
”
P
c
7
:
c
, ∴
D
⽚
,
…
A
B
A
A
,
结论
:
汉堡模型适⽤于
1
圆柱
2 直棱柱
3
⼀根侧棱垂直于底⾯锥体
4
⼀个侧⾯垂直于底⾯的四棱锥
eg
: 尺知三棱锥
P
- ABC
.
PA 上⾯ABC
, ACLBC
.
AC =
BC
=
1
,
PA
=
3
, 则三棱锥外接球
表⾯积为
5π
。
解
:
P
,
“ 汉堡模型
"
>
R
=γ=+
4
了
……
B
β
, -
由题
AB =k γ==
h = B
> R
=
义+ 3
: 5
A
>
S球
: 4π R ÷ 4π
. 4
=
5 π
三
.
外接球
“ 墙⻆模型
”
, 特点三条棱两两垂直⼀
:
1
. 正⽅体外接球模型
2
. 上⽅体外接球模型
之近
:
2 R
=
a=+ aita
=
=
3 a
2
近
2 R :
a
2
+ b =+ C
2
>
R
= Ba
,
R
=
2
a
2 + b
= tcs
⼀:
R
R
∵“
:
∅
c
f∴…
a
… …
…
…
b
a
四
. 内⼑球
1
. 正⽅体的内彻球
;
之近
:
2 R =
Q
>
R=µ
…
…
d
.
BA
”
.
A
B
…
…
a
a
·
圆锥内切球
α
⼩
及
⼀
近
:
tana
=
n
=
VM
α
次
: ⼩脊
且
M
=
Q
- MQ
=
h
2
+ ⼩
z
-
⼩
&M
>
R =
占
(
n =+ r
=
- r
)
Q
从棱锥内执球万能公式
:
, R : 沿
[
表示棱锥体积
, δ 表示棱锥表⾯积)
📍
题型训练：球体表⾯积与体积
🌶
🌶
🌶
🌶
🌶
c
解
:
∵
Vπ=
a
3
=
64
.
iQ
= 4
.
∴尺球=③
a
= 23
, :S
表:4 尤
R
: 4π
.
12
= 48 π
c
解
:
球=π R >=
4 巧π >
R球
: 5
=β
d ,
a =
2 >δ 正装: 6 a÷ 24
A
墙⻆模型⼋
”
F + 游]
F
+ 2
双
解
:
!
-
R
=
2
⼆没
S 球表
= 4[ R
*
: 4π . (注) θ= 8 π
墙⻆模型
C
S
的
3⼗⼗2
解
:
Ʃ
>
R
=
3污
,
δ球表
= 4π R ÷ 4π
. ( β☆)
”
= 27 π
A
2
=
2
B
A
S
α
治
解
:
A
h
.
了
c
S 表: 4 π
R ' ÷ 6 T
π
R
=
6
即OA
= ⽂
⼩
不⻔
…
…
E
设四⾯体校发为a
.
则
δ在底⾯ABc 射影
D 是LABC 重⼼
B
则AE : Bd , AD = BAE =③
a , δ
D
:
a
'
-(Baj : a
则OD
= SD
- S0
= 8
a
- □
在R社A 0D 中AO'
=
AD =+ op<
26
> ( [
j
==( Ba
]
'
t ( ⑤
a-
6 P
> d= 2
: SD: 3
没
. :
V =
3 x
⽂
X 2 x
2 x
3 x
☆0
=
5
B
P
,
“ 汉堡模型
”
>
R :
2 双⼗千
☆
解
:
了
-
-
B
t
"
:
0
r :
1
h = 2
, R
:
1 H
1
=
2
≥
S 球
= 4π Ri =
8 π
A
🌶
🌶
🌶
A
P
,
“ 汉堡模型
"
,
R
=
γ=+ 4
了
解
:
…
…
1
"
" ,
由题
AB = r
: r =Ʃ
h : B
, R =☆+ 4
: 5
A
>
S球
= 4π R ≤4π
. =
5
T 0
B
“ 汉堡模型
"
,
R :
γ=+ 起
~
600
3
解
> 2
=
sin6
et
>= 3
⼩
B
c
,
,
R
:
3
+
4
=
2
.
>
S表: 4π
.
R
2
=
16 π
c
个
、
“ 汉堡模型
”
α
由题
CP 上⾯PAB
.
且PC =
1
.
在LPAB 中
7
22
=
sin60 >γ:
3
解:
分
A
R
=
52 +
出
,
及
+ 4 :
δ*
: 4π
R : 4
Tπ i
=
(
↑9 π
,
9
D
↓
” :
汉堡模型解
解: 由题
P
- ABC
= 3 SABC
.
PA
:
6
,
SLABC
= G
1
3 以
V
' ⽂AB
.
BC
=
9
7
AB = Bc
= 3I
≥22
=
Sin45
←
。
∴5
=
3
.
正弦定理
.
"
R
=
γ 2 +
2
: 9 +
4
=
0 ∴S
表=4 π
R
= 40 π
🌶
🌶
🌶
D
6
法计
S
解
;
22 :
Sinlo
1
γ
:
OA
=3
.
6
=
2 B
-
2 「3
θ
h
α+h *12 + 36
⼀
⽹品
:
⼀
h=
=
=
SA
*
- OA
2
48
-
12
6
:
2 h
=
12
.
⼀千
,
:
V
= 5
. π
. 43
: 56 π
A
P
「
后
h
」
解: 油题2 γ=品
75
=
3
年笠模型
”
论
可
∵DABC 为正三⻆开形:
OA=③×
」之
=
3
同上
. ih :
PA
2
-
OA
2
=
1 -
6
=
3
3( )
+
( 33)
2
"
R :
2
h +
h
= α×
= !
☆=☆
, V : 0
.
B
解
:
0
A
h
D
)
“⽃笠模型
"
解: 由题αγ= 品450
=
2 γ2
>
2
= k
.
事
了
h
=
OB
=
-
BO
=
3
-
2
=
1
B
α
<
2 +
1
. ∴
R
= 2
h
'
+ h
'
=
2 ×
1
=
②
>δ 表
= 4π R
*
:
qπ
A
S
解
:
A !
解
; 油题
=
1
R
-( Bp =
》
:
”
c
2v6
江
:
h = 200
'
:
216
.
∴:
3 x
3
,
P
×
3
=
6
B
SABC
🌶
🌶
🌶
A
“ ⽃笠模型
”
边ABC 边⻓为Q
解
:
解: 由题⽬由
S θ 0
= 4π
>
半径⼦= 2
θ 0
,
A
.
0
c
⼜由③.
a
= 2
得
a
= 2γ
3 : 00
,
= 2
场
∅
V
⑥
。了
,
B
0
A
- →A0
:33 a
。
球O 半径R:γ=+ 00i =
4+ 12 = 4
⻔
a
S
球表: 4 πR 2 = 64π
c
设AABC 边⻓为a
解
:
A
.
0
c
'
: SLABC = 9
V3
= 43 a
'
, a
= 3
.
> O , A:
3 ,
a =
污
Δ
µ
⑥
。01
B
Δ
⼜
: δ球表
= 4 π
- R ≥=
16 π
>
R
: 2
,
:
O 0
,
=
R
2
-
O
. A
2
=
4
-
3
=
1
B
,
“ 汉堡模型
”
的
:
…
∴"
是
z 1 : s
…
… ∵ih ∞
的
:
R
=
γ^+
九
=
=
这
5
⼗5
=
5
A
B
.
∵
S表
= 4π
. R
*
=
100 Tπ
B
A
a
→OA
=5
Baa
解
:
∵CABC 为近三⻆形,
>γ=③
, 2β= 2
,
0
B
a
c
R 上
,
“ 汉堡模型
”
2=+
=
4 + "
=
3
.
.
∴
的表: 4π
. R
2
=
360
