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⾼三冲刺笔记-⽴体⼏何（⼆）
考点归纳：外接球与内切球模型
⼀
、外接球
“ ⽃笠模型
”
1
. 圆锥外接球模型
A
近
:
5
*
+
( h
.
R )
2
=
R
3
( γ 为底⾯圆半径了
!
>
R
= 装
队为外接球半⾏
3
R
…
…
…
∵州
。
…
⼀
( h为上顶点到底⾯距离
)
B …
…
2
. 正三棱锥外接球模型
A
之证
:
γ
3
+
( h
- R ]
2
=
R
2
( γ 为底⾯圆半径
)
R为外接球半⾏
(
)
h
?
M
,
R
=⼩筑
( h为上顶点到底⾯距离
)
…
…
…
…
….
…
F
.
「
兄
3
.
上顶点在底⾯图形外接圆圆⼼正上房的锥体
。
A
之证
:
23 +
( h
- R ] ==
R
2
<γ 为底⾯圆半径
)
R为外接球半⾏
(
)
h
.
3
M
,
R = 热
( h为上顶点到底⾯距离
)
… …
…
…
…
F
δ
示
8
结论
: ⽃笠模型适⽤于
1
圆锥⼩
, h ⾃带
!
2 正棱准⼩h ⾃带
;
3
上顶点在底⾯图形外接圆圆⼼正上产的锥体
。
γ
. h ⾃带
eg
: 在正四⾯体δ
- ABC 中
, 若棱卡为α
. 则正四⾯体S
- ABC 外接球表⾯积为
6 π
了
2
S
∵正四⾯体δ - ABC
: 底⾯的ABC 为正三⻆形
A
h
解A
—
。
(
∵
由正定理得: 号in60=
2 h ,
γ : ☆☆
(
N 为LABC 外接圆半径)
π
B
: h :
As
2
-
*=
h
-
2
=
⼸
:
R
=
⼘
”背
:
( 2 ☆
]
^+ (
π
)
= 0
:
S 球表: 4π R=
6 π
2 × π
⼆
. 外接球
“ 汉堡模型
”
1
.
圆柱外接球模型
1
—
… …
…
。
h
之证
:
R
= =γ
*
+ (
)
α
( 2 为圆柱底⾯圆半径了
Ʃ
R
h
7
R
=
hi + 出
:
( R 为圆柱外接球半径)
→
( h 为圆柱的⾼了
⼀
α
. 直棱柱外接球模型
近
;
R
2
=
2
+
(
2 m
)
<
(
γ 为三棱柱底⾯三⻆开以外接圆半径)
( R 为三棱柱外接球半径了
,
R
=
γ=+ 4
h
( h为三棱柱的⾼
)
噩
对圆柱上下底⾯对应位置处
,
取相同数量的点注
:
从如都取如图A
.
B
,
C
.
A
.
,
B
.
C
.
6 个点
。则我们得到
( 直) 三棱柱
。
它的外接球其实就是这个圆柱的外接球
0 所以
,
R :
从⼗千收
多垂棱锥外接球模型
…
…
"
*
-
-
—
…
…
…
"β∵
第延
R <=^+
( ↑
P (
r 为三棱底⾯三⻆F
形外接圆半征雍
R
,
R :
γ i +
。( R
为三校外接球半径
(h 为三棱的⾼罐
2
”
可
…
…
B
将B
,
C
.
掉
, 得到三棱锥
A
.
- ABC
且A
、A + 底⾯ABC
,
即有⼀条侧棱上底⾯的锥体注去
,
依然符合
>
R
=
^+=
特点
:
⼀条侧棱上底⾯
”
4
.
侧⾯垂底的四棱锥外接球模型
证
:
R
2
:
z=+
( )
<
(
γ 为校底⾯三⻆形外接圆半很锥n
……
”
*
-
-
…
…
*
-,
R
R
,
R :
γit
R为校外接球半往
lh为棱的⾼
、
罐盟
→→
p
I
⼝
—
“
…
→
“
…
B
B
注
:
保留B
, 则A
, B
, AB 上⾯ABC
( 这⾥的ABC 相当于原四棱锥的侧⾯PAD
. 这⾥的
AA
, BB
, 相当于原因棱锥的底⾯ABCD
)
7
R
=
h
= t 收特点
: 侧⾯上底⾯的四棱锥
—
”
P
c
7
:
c
, ∴
D
⽚
,
…
A
B
A
A
,
结论
:
汉堡模型适⽤于
1
圆柱
2 直棱柱
3
⼀根侧棱垂直于底⾯锥体
4
⼀个侧⾯垂直于底⾯的四棱锥
eg
: 尺知三棱锥
P
- ABC
.
PA 上⾯ABC
, ACLBC
.
AC =
BC
=
1
,
PA
=
3
, 则三棱锥外接球
表⾯积为
5π
。
解
:
P
,
“ 汉堡模型
"
>
R
=γ=+
4
了
……
B
β
, -
由题
AB =k γ==
h = B
> R
=
义+ 3
: 5
A
>
S球
: 4π R ÷ 4π
. 4
=
5 π
三
.
外接球
“ 墙⻆模型
”
, 特点三条棱两两垂直⼀
:
1
. 正⽅体外接球模型
2
. 上⽅体外接球模型
之近
:
2 R
=
a=+ aita
=
=
3 a
2
近
2 R :
a
2
+ b =+ C
2
>
R
= Ba
,
R
=
2
a
2 + b
= tcs
⼀:
R
R
∵“
:
∅
c
f∴…
a
… …
…
…
b
a
四
. 内⼑球
1
. 正⽅体的内彻球
;
之近
:
2 R =
Q
>
R=µ
…
…
d
.
BA
”
.
A
B
…
…
a
a
·
圆锥内切球
α
⼩
及
⼀
近
:
tana
=
n
=
VM
α
次
: ⼩脊
且
M
=
Q
- MQ
=
h
2
+ ⼩
z
-
⼩
&M
>
R =
占
(
n =+ r
=
- r
)
Q
从棱锥内执球万能公式
:
, R : 沿
[
表示棱锥体积
, δ 表示棱锥表⾯积)
📍
题型训练：球体表⾯积与体积
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1
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