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专题 直线与圆的最值与范围
近三年：
1、考查内容与频率：“直线与圆的最值与范围”问题是解析几何的基础核心考点，在近三年的高考全国
卷及各省市试卷中出现频率极高。
2、考查重点：命题重点集中在利用直线与圆、圆与圆的位置关系，通过距离公式、斜率公式、圆的参数
方程等工具，求解距离、斜率、截距、长度（弦长、切线长）、面积等几何量的取值范围或最值。其核心
目标是检验考生的数形结合思想和基本代数变形能力。
预测2026 年：
将继续以选择题或填空题为主，考查内容、频率、题型、难度将保持稳定，命题将重点考查几何意义的转
化与运用。考生需要具备从复杂条件中识别出“隐形圆”轨迹的能力，并能熟练运用直线与圆相切时判别
式为零这一关键条件来求解临界值。同时，利用圆的参数方程进行三角代换以求最值的方法，仍是重要的
命题方向，需重点关注最值问题与向量、函数、三角函数等知识的简单结合，体现基础知识的综合运用能
力。
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题型01 与斜率、倾斜角有关的范围问题
解｜题｜策｜略
1、 几何条件代数化
即先将题目中关于直线位置、变化的几何约束条件，准确地转化为关于斜率 k 或倾斜角 α 的不等式
（或方程），然后通过求解这个不等式（或方程）来确定范围。
2、数形结合
画图定性：首先根据题意画出满足条件的直线大致位置，直观判断倾斜角的大致范围。
找临界：确定倾斜角变化的边界（通常是垂直或水平位置）。
转化求解：
若已知的是斜率k 的范围，则根据 k = tanα 的单调性求解。在 (0°, 90°) 和 (90°, 180°) 上，tanα 分别
单调递增。
若已知的是几何条件（如直线与线段相交、在两直线之间等），先求出斜率的范围，再转化为倾斜角范
围。
注意直角：时刻检查是否存在斜率不存在（α = 90°）的情况，并判断它是否包含在范围内。
1．（2025·江西新余·一模）已知直线的方程为
，则直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】直线的倾斜角
【分析】求出直线的斜率的取值范围，利用直线倾斜角与斜率的关系可得出直线的倾斜角的取值范围.
【详解】直线的斜率为
，设该直线的倾斜角为
，则
，
又因为
，故
.
故选：D.
2．（2025·安徽马鞍山·一模）设点
，
，若直线
与线段
没有公共点，则实数
a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】已知两点求斜率、直线与线段的相交关系求斜率范围、直线过定点问题
【分析】由直线方程可判断直线的斜率
和经过的定点
，结合题意作图，需使
成立，
解之即得.
【详解】由
可知直线的斜率为
，且经过定点
，
由点
，
可得直线
的斜率分别为：
，
作图如下，由图知，要使直线
与线段
没有公共点，
需使
，解得
.
故选：C.
3．（2025·河南信阳·模拟预测）已知矩形ABCD 四个顶点分别为
，一质点从线段AB 上某一点M 处（不包含端点），沿与AB 夹
角为60°的方向射到边BC 上，再依次反射到边CD，DA 和AB 上（入射角等于反射角），则
的取值范围
为 ．
【答案】
【知识点】已知两点求斜率
【详解】如图所示，质点由
出发依次经BC，CD，DA 反射后到达线段AB，相当于直线
与线段MN
相交，则
又因为
，且
，
即
，所以
，
故答案为：
.
4．（2025·福建泉州·模拟预测）已知
是圆C：
上任意一点，则
的最
小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】由直线与圆的位置关系求参数
【分析】
的几何意义为直线
的斜率，再根据直线与圆得交点即可得出答案.
【详解】设
，变形得
，
于是
的几何意义为圆
上点
与定点
连线的斜率，
圆
的圆心为
，半径为，
由
是圆
上任意一点，得圆
与直线
有公共点，
因此圆心
到直线
的距离不大于圆
的半径，
则
，解得
，
所以
的最小值为
.
故选：B
5．（2025·上海浦东新·模拟预测）已知直线过点
，且上至少有一点到点
的距离为2，则的
倾斜角的最大值为 .
【答案】
【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、直线的倾斜角、求点到直线的距离
【分析】依题意，直线l 与以
为圆心，2 为半径作圆C 至少有一个交点，根据直线与圆的位置关系求
出直线倾斜角的范围即可.
【详解】以
为圆心，2 为半径作圆C，如图所示，
依题意直线l 与圆C 至少有一个交点，
①当直线l 的科率不存在时，直线l 与圆C 有2 个交点，此时直线l 的倾斜角
；
②当直线l 的斜率存在时，设为
，则
，即
依题意
，解得
或
，
此时直线l 的倾斜角
综上所述，直线l 的倾斜角
，
故直线l 的倾斜角的最大值为
．
故答案为：
题型02 与两点距离、点到直线的距离有关的最值与范围
解｜题｜策｜略
在几何问题上，求与距离相关的最值时，核心为“两点之间，线段最短”或“点到直线的距离，垂线段
最短”这两个最基本的几何公理。
动态问题处理：
1、找定点：如动直线过某定点，找到这个定点，就找到了问题的“锚点”。
2、找轨迹：如题目给出动点，若能找到该动点的运动轨迹，问题就能迎刃而解了。
1．（2025·上海奉贤·二模）直线
上的动点
和直线
上的动点
，则点
与点
之间距离的最小值是 ．
【答案】
【知识点】求平行线间的距离
【分析】利用平行线之间的距离公式求解即可.
【详解】直线
和直线
互相平行，
故点
与点
之间距离的最小值即两条直线间的距离，
且两条直线间的距离：
.
故答案为：
2．（2025·北京昌平·二模）已知半径为1 的圆经过原点，其圆心到直线
的距离为
，则
的
最大值为（ ）．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【知识点】求点到直线的距离、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）
【分析】先判定该圆圆心的轨迹，再转化为圆上的点到直线的距离的最值问题进行求解.
【详解】因为半径为1 的圆经过原点，所以其圆心的轨迹是以原点
为圆心，1 为半径的圆，
而原点
到直线
的距离为
，
所以圆心到直线
的距离
的最大值为
.
故选：D.
3．（2025·河南信阳·模拟预测）
是圆
上的动点，
是直线
上的动点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值、求点到直线的距离、圆上点到定直线（图形）上的最值
（范围）
【分析】判断圆与直线的位置关系为相离，可得
的最小值为圆心到直线的距离减去半径.
【详解】由题意得，圆
的圆心为
，半径
.
因为
到直线
的距离
，
当且仅当
时，等号成立，
所以直线与该圆相离，
所以
的最小值为
.
故选：C.
4．（2025·江苏南京·二模）设
，过定点
的动直线
和过定点
的动直线
交于点
，点
到直线
的距离为
，则
的取值范围为 .
【答案】
【知识点】轨迹问题——圆、求点到直线的距离、直线过定点问题
【分析】先分析两条直线经过的定点，得出
的坐标，根据两直线的位置关系分析可得
的运动轨迹是
挖去一点的圆，然后判断出直线
和圆相切，从而得解.
【详解】动直线
过定点
，
动直线
即
过定点
.
因为
，所以直线
与直线
垂直，
又直线
的斜率一定存在，
注意到
时，满足
，但此时直线
垂直
轴，斜率不存在，
故点
在以
为直径的圆上（去除点
），
圆心为
，半径
，
圆心
到直线
的距离为
所以圆
与直线
相切（切点不是点
），
的最小值为0；
圆的直径
，且点
到直线
的距离为
，所以
，
即
的取值范围为
.
故答案为：
5．（2025·安徽·模拟预测）已知点
，
为圆
上两点，
，点
为线段
的中
点，点
为直线
上的动点，则
的最小值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．
【答案】A
【知识点】轨迹问题——圆、求点到直线的距离、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）
【分析】先根据垂径定理得出
，即可得出点
的轨迹为圆，则问题转化为求圆上的动点到定直线的
距离的最小值.
【详解】圆
的圆心坐标为
，半径
，
因为点
为线段
的中点，
，
则
，
所以点
的轨迹是以
为圆心，半径为
的圆，
点
在直线
上，
可得圆心
到直线
的距离
，
所以
的最小值为
.
故选：A
题型03 与直线与圆的位置关系有关的最值与范围
解｜题｜策｜略
1.如果直线是动直线，则分析直线与圆不同的位置关系时，目标值的变化，关键在相切时。
2.根据圆心到直线的最短距离为圆心到直线的垂线，半径不变这两个原则去分析目标值的变化
1．（2025·湖南·一模）已知点
为直线
上的一个动点，
为圆
上任意两个不重合的点，记
的最小值为
的最大值为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】求点到直线的距离、二倍角的余弦公式、判断直线与圆的位置关系
【分析】根据题意分析得当
，
分别为圆的切线，且
最小时，
最大，此时
最小，
再利用二倍角公式即可得
，再根据
最大时为钝角，所以
的最大值为1，即
.即可得
.
【详解】由题意得
的标准方程为
，所以圆心
，半径为2，
如图：
所以圆心
到直线的距离为
，所以直线与
相离，
所以当
分别为圆的切线，且
最小时，
最大，又
，则
最大，
所以
最大，此时
最小，
此时
．
显然
的最大值为1，故
．
故选：A
2．（2025·浙江金华·一模）若圆
上存在两点
，直线
上存在点
，使得
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、求点到直线的距离
【分析】将题干条件，结合几何知识转化为圆心
到直线的距离
需满足
，解该不等式即可求解．
【详解】当直线与圆相交时，如图所示，若A、B 离直线越近时，直至与直线和圆C 的两交点重合，此时
，
若A、B 相距越来越近时，直至A、B 两点重合，此时
，
所以一定存在A、B 及P，使得
；
当直线与圆相切时，同直线与圆相交分析可知，一定存在A、B 及P，使得
；
当直线与圆没有公共点时，对直线上的任一点P，若A、B 相距越来越近时，直至A、B 两点重合时，仍有
，
另一方面，若PB 与圆C 相切于B，PA 与圆C 相切于A，此时
必为该P 点所能达到的最大情况，如
图所示，
由图可知
，
，CP 最短时，
即等于圆心C 到直线的距离d，
最大，
也最大，同时
最大，
所以若圆
上存在两点
，直线上存在点
，使得
，
则必有
，解得
，又因为圆
的半径
，
圆心
到直线
的距离
，
所以
，解得
．
故选：A．
3．（2025·福建·模拟预测）已知直线
与圆
交于不同的两点A，B，
若
存在最小值且最小值不大于
，则的取值范围为（ ）
A．
B．( ❑√3,2❑√3]
C．
D．
【答案】C
【知识点】由直线与圆的位置关系求参数
【分析】先根据
存在最小值分析出
，再根据最小值不大于
列出关于r 的不等式即可求解．
【详解】将直线方程
变形为
，则可知直线恒过定点
，
圆
的圆心
，则
，
若
，则直线可和圆O 相切，如图所示，此时A、B 重合，若直线与圆O 交于不同的两点A，B，
则
可不断趋于0，不存在最小值，与题意不符，故
，
即P 在圆O 内，直线与圆O 一定交于两点A、B，此时对于任意给定的半径r，
根据圆的性质，当
时，弦AB 最短，
最小，此时弦长
，
在
中，
，当
时，
为等边三角形，此时
，
由题意，已知
最小值不大于
，则最小值对应的弦AB 满足
，
即
，解得
，
综上所述，
．
故选：C．
4．（2025·江西新余·模拟预测）过直线
上的任意一点
作圆
的两条切线，切点
分别为A，B，则点
到直线AB 的距离的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．
【答案】C
【知识点】相交圆的公共弦方程、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）
【分析】根据几何性质知M，A，B，C 四点在以MC 为直径的圆上，与圆
相减得直线AB 的方程
，又
是以原点为圆心、1 为半径的圆上的点，所求距离转化为原
点到直线AB 的距离加半径，即
，结合二次函数性质求得最值即可.
【详解】设
，则
，
由几何性质知M，A，B，C 四点在以MC 为直径的圆上，
即该圆方程为
，即
，
与圆
相减得直线AB 的方程为
.
又
，
故
是以原点为圆心、1 为半径的圆上的点，
故点
到直线AB 的距离的最大值为原点到直线AB 的距离加半径1，
即
，
当且仅当
时等号成立，
所以点
到直线AB 的距离的最大值为
.
故选：C.
题型04 由圆上点到直线距离为定值的个数求最值与范围
解｜题｜策｜略
1.几何转化：圆上点到直线l的距离为 m 的点的轨迹，是与l 平行且距离为 m 的两条直线l1
和 l2。
2.问题等价于 “圆与两条平行直线l1 和 l2有几个公共点”。
3.分类讨论：通过比较圆心 C 到直线l 的距离 d与圆的半径 r，以及定值 m 之间的关系，来
确定交点个数。
1．（2025·全国一卷·高考真题）已知圆
上到直线
的距离为1 的点有且仅
有2 个，则r 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】坐标法的应用——直线与圆的位置关系、求点到直线的距离、圆上点到定直线（图形）上的最
值（范围）
【分析】先求出圆心
到直线
的距离，然后结合图象，即可得出结论.
【详解】由题意，
在圆
中，圆心
，半径为，
到直线
的距离为的点有且仅有
个，
∵圆心
到直线
的距离为：
，
故由图可知，
当
时，
圆
上有且仅有一个点（
点）到直线
的距离等于；
当
时，
圆
上有且仅有三个点（
点）到直线
的距离等于；
当则的取值范围为
时，
圆
上有且仅有两个点到直线
的距离等于.
故选：B.
2．（2025·山东青岛·三模）若圆
上总存在两个点到点
的距离为3，则实数
取值范围是
【答案】
【知识点】由直线与圆的位置关系求参数
【分析】由题意，将问题转化为圆
与圆
有两个公共点，即两圆相交，从而运
用两点间的距离公式建立不等式关系，求出实数
的取值范围．
【详解】根据题意，圆
的圆心为
，半径
，
若圆
上总存在两个点到点
的距离为3，
则圆
与圆
有两个公共点，即两圆相交，
因为
的圆心为
，半径
，
所以
，即
，
则
，即
或
，实数
的取值范围是
．
故答案为：
．
3．（2025·四川·三模）已知圆
上恰有两个点到直线
的距
离为2，则m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】由直线与圆的位置关系求参数
【分析】求得圆心到直线的距离
，由
求解即可.
【详解】由题意可得圆
，则圆心
，半径
，
则圆心
到直线l 的距离
.
因为圆
上恰有两个点到直线l 的距离为2，
所以
，即
，又
，
解得：
.
故选：B
题型05 与圆的弦长有关的最值与范围
解｜题｜策｜略
通常问题是求过定点的直线与圆的相交弦长的最短与最长。
1、当直线过圆心时，与圆的相交弦是最长的，为直径的长度
2、当直线垂直于定点与圆心的连线时，此时的相交弦时最短的，根据半径与定点与圆心连线
的长度可求得。
1．（2025·全国·模拟预测）已知圆
的方程为
，直线的方程为
，直线被圆
截得的弦中长度为整数的共有 条.
【答案】8
【知识点】直线过定点问题、方程与不等式、直线与圆的位置关系求距离的最值、圆的弦长与中点弦
【分析】方法一：先求出直线过定点
，再判断出点在圆内，从而得到直线被圆所截的弦长的取值范
围是
，再结合圆的对称性即可得到结果；
方法二：先求出圆心到直线的距离，再求出弦长，分析出要使弦长为整数须满足
（
为
平方数），再通过换元令
转化成关于
的方程
有解的问题，通过判别式
大于0，求出的范围及
的值即可得到结果.
【详解】方法一：直线
可化为
，
由
可得
，即直线过定点
，
因为
，所以点
在圆
内，
当点
为直线被圆
截得的弦的中点时，弦长最短，
点
到圆心
的距离
，
所以直线被圆
截得的最短弦长为
，
最长的弦为直径，长度为10，所以弦长的取值范围是
.
由圆的对称性可知弦长为7，8，9 的直线各两条，
弦长为6，10 的直线各一条，
所以截得的弦中长度为整数的直线共有8 条.
方法二：方程法.
圆
的圆心
到直线的距离
，
故弦长为
，
要使弦长为整数，令
（
为平方数），
整理得
，令
，
整理得
（*），
，
解得
，即
，
则
，即
，
当
或100 时，
，方程（*）各有一解，
当
时，
，方程（*）各有两个不同的解，
即方程（*）共有8 个不同的解，因此符合题意的直线有8 条.
故答案为：8.
2．（2025·贵州黔东南·三模）直线
与圆
交于
两点，若
的最大值为
4，则
的最小值为 ．
【答案】
【知识点】圆的弦长与中点弦、已知圆的弦长求方程或参数
【分析】先结合题意并利用圆的性质得到
，进而分析出当
最大时，
的值最小，再利用圆的性质
得到此时
，进而结合斜率公式求出
，再利用点到直线的距离公式求出
，最后利用
勾股定理求出
的最小值即可.
【详解】因为直线
与圆
交于
两点，
所以当
的值最大时，其为圆的直径，而
的最大值为4，得到
，
则圆的方程为
，设圆心到直线的距离为
，
如图，记圆心
，直线
必过定点
，
由圆的性质得，当
时，
最大，此时
的值最小，
由斜率公式得
，此时
，
由题意得
，则
，
由点到直线的距离公式得
，
由勾股定理得
，解得
，
综上可得
的最小值为
.
故答案为：
3．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知直线
与圆
相交于A，B 两点，若
，则实数k 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】已知圆的弦长求方程或参数
【分析】求出弦心距不大于1，由点到直线距离公式解不等式可得．
【详解】圆
的圆心坐标为
，半径为
，
当弦长
时，弦心距
，
若
，则
，
即
，解得
，
故选：C.
4．（2025·辽宁沈阳·一模）已知直线
被圆
截得的最短弦长
为
，则
．
【答案】
【知识点】直线过定点问题、过圆内定点的弦长最值（范围）、圆的弦长与中点弦、已知圆的弦长求方程
或参数
【分析】根据定点及两点间距离公式得出圆心到直线距离的最大值，进而结合圆的弦长公式，得到弦长
，计算即可求解.
【详解】由题意，圆
，可得圆心
，半径，
过定点
则圆心到直线
的距离为
，
可得截得弦长为
，
弦长取得最小值
时，
.
故答案为：
.
题型06 代数式的几何意义与最值与范围
解｜题｜策｜略
将代数式转化为几何意义，然后进行数形结合来求最值。
1、若遇到带平方跟开方的，联想到两点间的距离公式，把它构造成两个点。
2、遇到跟x、y 有关的代数式，可以联想到点到直线的距离，两平行直线的距离公式
3、熟悉圆的方程、直线方程，把代数式转化成圆上点或者直线上点，将代数问题转化为几何
问题。
1．（2025·辽宁·三模）函数
（
）的最小值（ ）
A．4
B．
C．5
D．
【答案】B
【知识点】坐标法的应用——点到直线的距离
【分析】当
时，将函数转化为直线
上点P 到直线
的距离与到点
的距离之和，
作出图象，结合图象及点到线的距离公式求解即可.
【详解】当
时，
，
可视为
与
两点间的距离，则P 是直线
上的动点，
，可视为点
到直线
的距离，设
与y 轴交于点
，过点P 作
，垂足为B，画出示意图如下：
则待求为
的最小值，当
三点共线，且
时，点A 到直线
的距离为所求
的最小值，此时，
.
故选：B.
2．（2025·陕西西安·一模）已知
，
满足
，则
的最小值为 .
【答案】
【知识点】用两点间的距离公式求函数最值
【分析】把问题转化为两点之间线段最短，再求两点之间的距离即可.
【详解】因为
，
所以
.
所以
表示圆
上的点
到
与到
的距离和.
如图：
所以
（当
为线段
与圆
的交点时取等号）.
故答案为：
3．（2025·山东·一模）实数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．1
C．0
D．
【答案】B
【知识点】求点到直线的距离
【分析】由点到线的距离公式求解最小值，即可求解.
【详解】
，
其中
为两点
与
距离的平方，
所以其最小值即为
到直线
距离的平方，即
，
所以
的最小值为1，
故选：B
4．（2025·湖北武汉·模拟预测）实数
满足
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】求平面两点间的距离、轨迹问题——圆、基本不等式求和的最小值
【分析】由条件可得点
为圆
上的一点，点
是曲线
上的一点，
，结合关系
和基本不等式求
的最小值，由此可得结论.
【详解】因为
，所以点
为圆
上的一点，
因为
，所以点
是曲线
上的一点，
所以
，
如图：
因为
，
为原点，
，
所以
，当且仅当
为线段
与圆
的交点时取等号，
又
，故
，当且仅当
或
时等号成立，
所以
，当且仅当
或
时等号成立，
所以
，当且仅当
或
时等号成立，
所以当
或
时，
取最小值，最小值为
，
所以当
或
时，
取最小值，最小值为
，
故选：B.
题型07 与新定义有关的最值与范围
解｜题｜策｜略
1、理解题目中的给出的定义，如果能画出轨迹，既可以使用几何方法，与平时常用的知识点
结合，如两点间的距离最短、点到直线的垂线最短，求出最值。
2、如果没法得到轨迹，可以尝试用代数方法，根据基本不等式、求导等方式去求取最值。
1．（2025·湖南长沙·三模）已知点
，定义A，B 两点间的曼哈顿距离
，欧氏距离
．在平面直角坐标系xOy 中，已知点
，点
满足
，点
满足
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】求平面两点间的距离、轨迹问题——圆、距离新定义、圆上点到定直线（图形）上的最值（范
围）
【分析】利用给定的定义求出点
的轨迹并画出图形，结合圆的性质求出最大值.
【详解】设
，由
，得
，因此点
在以原点为圆心，1 为半径的圆及内部，
设
，由
，得
，点
在以
为顶点的正方形
及内部，当且仅当点
与
之一重合时，
，
所以
.
故选：D
2．（2025·河南·二模）已知曲线
，点
在曲线
上，则下列结论错误的是（ ）
A．曲线
围成的图形的面积为
B．
的最小值为
C．点
到直线
的距离的最大值为
D．曲线
有且仅有2 条对称轴
【答案】D
【知识点】由方程研究曲线的性质、已知切线求参数、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）
【分析】根据曲线方程画出图象，再数形结合一一判断即可.
【详解】因为曲线
，
当
且
时，曲线
的方程可化为
；
当
且
时，曲线
的方程可化为
；
当
且
时，曲线
的方程可化为
；
当
且
时，曲线
的方程可化为
.
曲线
的图像如图所示：
由图可知，曲线
围成的图形的面积为四个半圆的面积与边长为
的正方形面积的和，
从而曲线
围成的图形的面积为
，故A 正确；
表示点
与点
的连线的斜率，
由图可知当
（
且
）与直线相切时
取得最小值，
设切线为
，则
，解得
或
（舍去），
所以
的最小值为
，故B 正确；
点
到直线
的距离
，
结合图象可知点
到直线
的距离的最大值为
，故C 正确；
由曲线
的图像可知，曲线
围成的图形有4 条对称轴，
分别是
轴、
轴、第一、三象限角平分线以及第二、四象限角平分线，故D 错误；
故选：D
3．（2025·辽宁大连·模拟预测）若点
为
上一动点，
为直线
上一动点，其中
．记
，则
最小值的取值范围是
．
【答案】
.
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、求点到直线的距离、圆上点到定直线（图形）上的最值
（范围）、直线过定点问题
【分析】首先根据题意确定直线过定点
，然后分析图象，确定
取最小值时
的位置，得出
的最小值为
，利用直线的横截距之差用
表示出
，然后根据
的范围求出
最小值的范围.
【详解】因为直线方程为
，化简得
，说明直线必过点
.
由圆心
到直线的距离
，解得
，由题意
，所以直线与圆
相离.
如图，作一条纵截距为负数且平行于的直线与圆
相切，要使
最小，点
应位于切点处，
作
轴交直线于点
，过点
作直线
于点
.
当点
位于点
的左方时，因为
，即
，则
；
当点
位于点
的右方时，同理可得
.
所以
的最小值为
.
设直线
与圆
相切，则有
，即
，
则切线的横截距为
，而直线的横截距为
，所以
.
设
则
，
所以
在
上单调递减，且
，
综上，
最小值的取值范围是
.
故答案为：
.
4．（2025·湖北十堰·三模）定义：
表示点
到曲线
上任意一点的距离的最小值．已知
是圆
上的动点，圆
，则
的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）
【分析】记
为坐标原点，作出图形，求出
的取值范围，即可得出
的取值范围.
【详解】记
为坐标原点，圆
的圆心为原点，圆
的半径为，
由圆的几何性质可知，
，
且
，即
，即
，
当且仅当点
时，
取最小值，当且仅当点
时，
取最大值，
故
.
故答案为：
.
题型08 直线与圆的最值与范围综合题
解｜题｜策｜略
主要考察动直线、动圆、直线上的动点、圆上的动点等距离相关的最值与范围问题。
1、利用点到直线的垂线最短、两点间距离的最短，来求最短距离
2、由动点向圆做切线，考察切线的变化。此时可以用动点与圆心的距离d，半径r 来求切线
长，在根据d 的变化来确定切线长的变化。
3、动直线与圆相交弦长。找到动直线过的定点，则动直线过圆心时，截的弦最长，动直线与
定点圆心确定的直线垂直时，截的弦最短
1．（2025·广东深圳·模拟预测，多选）设动直线：
交圆
：
于A，B 两点（点
为圆心），则下列说法正确的有（ ）
A．直线l 过定点
B．当
取得最小值时，
C．当
最小时，其余弦值为
D．
的最大值为24
【答案】AD
【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、用定义求向量的数量积、圆的弦长与中点弦、直线过定点问题
【分析】对于A 将直线方程整理为
，令
即可求定点，进而判断，对于B 根据几
何知识得到当直线与过点
和
的直线垂直时，利用
即可求解
，进而判断，对于
C 根据几何知识得到当直线与过点
和
的直线垂直时
最小，然后利用勾股定理和余弦定
理求余弦值即可；对于D，根据外心的结论得到
，然后求最值即可.
【详解】对于A：由
有
，令
有
，
所以
，所以直线l 过定点
，故A 正确；
对于B：点
在圆
内，圆
的圆心为
，当
取得最小值时，直线与过点
和
的
直线垂直，
所以
，解得
，故B 错误；
对于C：当
最小时，此时
最小，当
最小时，直线与过点
和
的直线垂直，
则
，由余弦定理有
，故C 错误；
对于D：
，即的最大值为24，故D 正确，
故选：AD.
2．（2025·湖南·一模，多选）已知圆
，直线
，点
为圆
上
一点，点
为坐标原点，则下列叙述正确的有（ ）
A．
的最小值为
B．当
时，直线与圆
相切
C．
的最小值为
D．若圆
上有且仅有三个点到直线的距离为
，则
【答案】AC
【知识点】由直线与圆的位置关系求参数
【分析】对于A，利用由
求解即可；对于B，利用直线与圆位置关系求解即可；对于C，
由
的几何意义为圆
上一点与原点连线的斜率，结合斜率公式即可求解；对于D，根据几何关系，得圆
心
到直线的距离
，利用点到直线的距离公式即可求解.
【详解】已知圆
的方程可化为
，
故圆心
，半径
，
对于A：因为
为圆上一点，所以
，故A 正确；
对于B：当
时，直线
，
根据点到直线的距离公式，得圆心
到直线的距离
，
所以直线与圆
不相切，故B 错误；
对于C
的几何意义为圆
上一点与原点连线的斜率，
设
，则直线
的方程为
，
当直线
与圆
相切时，圆心
到直线
的距离
，
解得
，所以
，故C 正确；
对于D：因为圆
的半径
，要使圆
上有且仅有三个点到直线的距离为
，
则圆心
到直线的距离
，
由点到直线的距离公式
，即
，解得
，故D 错误．
故选：AC．
3．（2025·辽宁·三模，多选）已知直线
与x 轴、y 轴交于
两点，点P 为圆
上的动点，则（ ）
A．直线
与圆C 相离
B．
的面积为12
C．当
最小时，
D．点P 到直线
距离的最大值为
【答案】AC
【知识点】切线长、判断直线与圆的位置关系、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）
【分析】根据直线与圆的位置关系的判定方法，可得判定A 正确；由点到直线的距离公式，结合三角形的
面积公式，可判定B 错误；当当
最小时，直线
与圆相切，利用切线长公式，可判定C 正确；根据
圆的性质，可得判定D 错误.
【详解】由圆
，可得圆心为
，半径为
，
对于A 中，圆心坐标
到直线
的距离为
，
所以直线
与圆
相离，所以A 正确；
对于B 中，由点C 到直线
的距离为
，则
的面积
，所以B 项错误；
对于C 中，如图所示，当
最小时，直线
与圆相切，此时
，所以C 正确；
对于D 中，由点P 到直线
距离的最大值为
，所以D 错误．
故选：AC.
4．（2025·河北·模拟预测，多选）已知
是圆
上的一点，
是圆
上的一点，
为直线
上一点，则下列说法正确的是（ ）
A．
的最大值为
B．
的最小值为
C．
的最小值为
D．
的最大值为
【答案】ACD
【知识点】求点关于直线的对称点、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、定点到圆上点的最值
（范围）
【分析】对于A，由两圆圆心距离加上两半径即可得解判断；对于B，设
，直接由坐标计算数
量积
，再结合一元二次函数性质即可得解判断；对于C，作圆
和点N 关于l 对称的圆和点，由
图即可求解最小值判断；对于D，作图观察得到当P 位于N 一侧且
三点共线时
取得最
大值为
，再求出
最大值即可得解.
【详解】由题意可得圆
圆心为
，半径为3，圆
圆心为
，半径为1，
则两圆心距离
，即两圆相离，
对于A，由题意可得两圆上的点的距离
最大值为
，故A 正确；
对于B，由题可设
，则
，
所以当
时，
取得最小值为
，故B 错误；
对于C，因为点
关于直线
对称的点为
，
所以点
关于直线
对称的点为
，
所以如图，作圆
和点N 关于l 对称的圆
，
则由图可知当对称圆的圆心
和对称点以及M、
四点共线时可得
的最小值为
，故C 正确；
对于D，如图可知当P 位于N 一侧且
三点共线时
取得最大值为
，
而
最大值为
，故D 正确.
故选：ACD
5．（2025·湖北武汉·三模，多选）已知圆
，直线与圆
交于
，
两点，点
为圆
上异于
，
的任意一点，若
，
，则（ ）
A．
B．
面积的最大值为
C．直线的方程为
D．满足到直线的距离为
的点
有且仅有3 个
【答案】BD
【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、圆内接三角形的面积、圆上点到定直线（图形）上的最值（范
围）
【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式求解判断A；利用圆的性质求出面积最大值判断B；求出直线
方程判断C；利用直线与圆的位置关系判断D.
【详解】对于A，依题意，
，
则
，而
，解得
，A 错误；
对于B，
，圆心
到直线
距离
，
因此点
到直线
距离的最大值为
，
面积的最大值为
，B 正确；
对于C，由
，得
，直线的斜率
，
设直线的方程为
，则
，解得
，由
，
得
，即
，因此
，直线的方程为
，C 错误；
对于D，由圆
半径为
，圆心
到直线
距离为
，
得圆
上到直线
距离为
的点有且仅有3 个，因此符合条件的点
有且仅有3 个，D 正确.
故选：BD
（建议用时：30 分钟）
1．（2025·江西萍乡·一模）已知直线
的斜率为
，则
的最大值为 .
【答案】
/0.25
【知识点】直线斜率的定义、基本不等式求和的最小值
【分析】先求出直线的斜率
，化简可得
，再利用基本不等式即可求得
的最大
值.
【详解】
，
当且仅当
时取等号，所以k 的最大值为
.
故答案为：
.
2．（2025·安徽合肥·模拟预测）长度为2 的线段AB 的两个端点分别在x 轴及y 轴上运动，则线段AB 的中
点到直线
距离的最大值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．3
【答案】D
【知识点】轨迹问题——圆、求点到直线的距离、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）
【分析】确定
的中点的轨迹方程为圆，结合圆心到直线的距离即可求解.
【详解】设
，
由题意可得：
，
设
的中点坐标为
，则
，
所以
，即线段
的中点的轨迹是以
为圆心，1 为半径的圆，
圆心
到
的距离为：
，
所以线段
的中点到直线
距离的最大值为
，
故选：D
3．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知直线：
，
是圆
：
上的一动
点，则点
到直线的距离
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、直线过定点
问题
【分析】先将直线方程变形求出直线所过的定点
，再结合点
与圆
的位置关系，分析点
到直线距离
的最值情况，进而确定距离
的取值范围.
【详解】直线：
，可化为
，
由
，解得
，
，所以过定点
，
又因为点
在圆
上，且
，圆
的圆心为
，半径
，
所以当
，且
，
，
三点共线时，点
到直线的距离
最大，最大为
，
此时
，所以直线的斜率为1，即
，无解，
故直线不存在，所以
；
当直线与圆
相交或相切时，点
到直线的距离
最小，最小为0，
故点
到直线的距离
的取值范围为
．
故选：B．
4．（2025·甘肃·模拟预测）若圆
上恰有三个不同的点到直线
的距离
为1，则
.
【答案】
【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、求点到直线的距离
【分析】先求出圆
的圆心坐标和半径，以及圆心到的距离，结合题意可得圆
的半径为
，进而建立
方程求解即可.
【详解】由圆
，即
，则
，
圆
的圆心坐标为
，半径为
，
圆心
到的距离为
，
因为圆
上恰有三个不同的点到的距离为1，所以圆
的半径为
，
则
，解得
.
故答案为：
.
5．（2025·吉林·模拟预测）平面上的整点（横纵坐标都是整数的点）到直线
的距离的最
小值为 ．
【答案】
/0.08
【知识点】求点到直线的距离
【分析】设整点
，由点到线的距离公式
，得到
是5 的倍数，进而可求解.
【详解】设整点
，则
，
，
，
，
，是5 的倍数，
，
，
．
故答案为：
6．（2025·上海松江·二模）已知点
为直线
上的点，过点
作圆
的切线
，切点为
，则
最大值为 .
【答案】
/
【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值、求点到直线的距离、圆上点到定直线（图形）上的最值
（范围）
【分析】结合图象得到
，问题转化成求
最小值即可求解.
【详解】圆
的圆心
，半径
，
，
当
最小时，
最大.
的最小值为圆心
到直线
的距离
，
根据点到直线距离公式
，
所以
.
故答案为：
.
7．（2025·天津·二模）已知点P，Q 在直线l：
上运动，点H 在圆C：
上，
且有
，则
的面积的最大值为 .
【答案】3
【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、求点到直线的距离、圆上点到定直线（图形）上的最值（范
围）
【分析】利用圆的性质求出点
到直线距离的最大值，进而求出面积的最大值.
【详解】圆C：
的圆心
，半径
，
则点
到直线
的距离
，
因此圆
上的点
到直线距离的最大值为
，又
，
所以
的面积的最大值为
.
故答案为：3
8．（2025·四川资阳·模拟预测）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象
概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，
曲线C：
就是一条形状优美的曲线，曲线C 围成的图形的周长是为 ；若
是
曲线C 上任意一点，
的最小值为 .
【答案】
【知识点】由方程研究曲线的性质、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）
【分析】分类讨论去掉绝对值可得曲线的四段关系式，从而作出曲线的图象，由曲线图象判断即可．
【详解】曲线C：
，
当
，
时，曲线C 的方程可化为
；
当
，
时，曲线C 的方程可化为
；
当
，
时，曲线C 的方程可化为
；
当
，
时，曲线C 的方程可化为
，
所以曲线C 的图象如图所示，
曲线C 由4 个半圆以及坐标原点组成，其周长为
；
到直线
的距离
，
当
，
时，曲线C 的方程可化为
曲线为圆心为
，半径为
的圆的一部分，如图所示，
而
到直线
的距离为
，
由圆的性质得曲线C 上一点到直线
的距离最小为
，
故
的最小值为
.
故答案为：
；
.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于分情况讨论，得到不同情况下函数的图像，从而求解.
9．（2025·广东广州·模拟预测，多选）已知圆
，直线
，直线
与圆
交于
，
两点，则（ ）
A．直线过定点
B．
的最小值为2
C．
的取值范围为
D．当圆
上恰有三个点到直线的距离等于
时，
【答案】ACD
【知识点】数量积的坐标表示、圆的弦长与中点弦、直线过定点问题、已知点到直线距离求参数
【分析】对于选项A，将直线
整理成
，得到
，此方程
组的解构成的点就是直线恒过的定点；对于选项B，先求出
的圆心和半径，由直
线过定点
，可知过定点
的直径是最长的弦，过定点
且与这条直径所在直线垂直的直线与圆
相交的弦长
是最短的弦，求出定点
到圆心
的距离
，则
的最小值为
代入数
值即可得解；对于选项C，由
求出
，结合余弦定理求出
的范围，利
用向量的数量积的定义得到
，由
的范围得解；对于选项D，由圆
上恰有三个点到直线的距离等于
，得到圆心
到直线的距离等于
，利用点到直线的距离公式求
出圆心
到直线的距离
，则
，计算即可得解.
【详解】对于选项A，
直线
，
，
，
，
直线过定点
，
选项A 正确；
对于选项B，
的圆心为
，半径为
，
直线过定点
，
过定点
的直径是最长的弦，
过定点
且与这条直径所在直线垂直的直线与圆相交的弦长
是最短的弦，
定点
到圆心
的距离为
，
的最小值为
，
选项B 错误；
对于选项C，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
选项C 正确；
对于选项D，
圆
上恰有三个点到直线的距离等于
，
圆心
到直线的距离等于
，
，圆心
圆心
到直线的距离
，
，
选项D 正确.
故选：ACD.
10．（2025·山东聊城·模拟预测，多选）已知圆
与
轴相交于两点
，且与直
线
不相交．则下列选项正确的是（ ）
A．
的取值范围是
B．
为坐标原点，则
的最小值为6
C．当圆
与直线相切时，
（
在
下方）
D．若
，过上一点作圆
的切线
（
为切点），则切线长
的最小值为3
【答案】CD
【知识点】基本不等式求和的最小值、由直线与圆的位置关系求参数、直线与圆的位置关系求距离的最值、
圆的弦长与中点弦
【分析】由圆的标准方程得到半径，再与
轴相切可得半径范围可得A 错误；由切割线定理和基本不等式
结合题意可得B 错误；当圆
与直线相切时，
，过
作
轴垂线
（
为垂足），连接
，由
勾股定理结合图形可得C 正确；连接
，由勾股定理表示出
，再当
与垂直时求出最小值可得
D 正确.
【详解】对于A，由题可知，圆
的半径为
，且圆与
轴相切，
由题意，
，即
的取值范围是
，故A 错误；
对于B，设圆
与
轴的切点为
，根据切割线定理
，
于是
，当且仅当
时等号成立，
若
和
相等，则圆
与
轴相切，与题意不符，故无法取得最小值，故B 错误；
对于C，当圆
与直线相切时，
，过
作
轴垂线
（
为垂足），连接
，如图1，
则
为直角三角形，于是
，
此时
，故C 正确；
对于D，连接
，易知
为直角三角形，如图2，
于是
，
当
与垂直时，
最小，即
最小，
此时
，
，
所以
的最小值为3，故D 正确.
故选：CD．
