文档文本内容
专题 圆锥曲线离心率问题
近三年：
1、圆锥曲线的离心率是近3 年高考的命题热点与难点，常作为小题中的压轴题出现，难度中档及以上。
离心率问题是解析几何的核心内容之一，其本质是寻找几何图形中的等量关系，构建关于离心率e 的方程
或不等式。
2、从近几年高考命题来看，离心率的求解不再局限于单一的定义考查，而是深度融入圆锥曲线的几何性
质之中。 命题常通过以下形式呈现：
几何条件转化型： 题目给出诸如“焦点三角形”、“渐近线夹角”、“直线与曲线位置关系”等几何条件，要求
学生将其转化为关于 a,b,c 的等量关系，进而求解e。
方程思想型： 通过直线与圆锥曲线联立，结合韦达定理，利用弦长、向量垂直、面积等条件构建方程。
不等式求范围型： 题目条件隐含不等关系（如存在某交点、构成锐角三角形等），最终需求离心率的取
值范围。
预测2026 年：
离心率问题将继续作为高考的重点和区分点。命题将更加注重知识的交汇性和思想的灵活性。其考查可能
更加侧重于：
与平面几何的结合： 深入挖掘焦点三角形、中垂线、角平分线等平面几何性质来构建等量关系。
与向量的结合： 利用向量共线、垂直的数量积条件作为建立方程的桥梁。
与函数、不等式的结合： 将离心率表示为某个变量的函数，从而利用函数单调性或基本不等式求范围。
探索创新情境： 在相对新颖的图形或条件设置下，考查学生转化与化归的核心能力。复习中必须强化数
形结合思想，熟练运用定义、方程、不等式等主要工具。
内容导航
热点解读
题型突破
限时训练
热点内容解读
深度剖析 解读热点：分析解读热点考查内容，精准预测命题方向。
热点题型突破
逐一剖析 解题归纳：对热点的各类题型逐一突破，归纳解题方法与技巧。
热点限时训练
模拟实战 巩固提升：限时完成题目训练，提升解题能力。
题型01 利用a，b，c 的齐次式求离心率
解｜题｜策｜略
将题目中所有几何条件（长度、角度、垂直、平行、比例关系等）最终转化为一个只包含基础量
a,b,c 的方程。由于离心率 e = c
a，且圆锥曲线中a,b,c 存在固有关系（椭圆：c
2=a
2-b
2；双曲
线：c
2=a
2+b
2），目标就是将方程化为关于 e 的方程。
1．（2025·北京·二模）设
为双曲线
的右焦点．已知
成等差数列，那
么双曲线
的离心率等于（ ）
A．
B．
C．
D．2
2．（2025·江西九江·二模）已知点
在椭圆
上，点
在圆
上.若
的最大值等于椭圆
的焦距，则椭圆
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·四川绵阳·模拟预测）双曲线
的右焦点和虚轴上的一个端点分别为F，
A，点
为双曲线
左支上一点，若△APF周长的最小值为6b，则双曲线
的离心率为 .
4．（2025·湖南·模拟预测）已知椭圆
的右焦点为F，上顶点为P，过点F 的直线与
C 交于A，B 两点（点A 在x 轴下方）.若
，
，则C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型02 利用对称性求离心率
解｜题｜策｜略
充分利用椭圆、双曲线关于x 轴、y 轴和原点对称的几何特性。当题目中出现的图形或条件具有对称性
时（例如，平行四边形、关于原点对称的图形、等腰等边三角形等），通过对称性可以推断出关键点的
坐标、线段相等或角度相等关系，从而快速建立关于 a, b, c 的方程。
1．（2025·四川巴中·模拟预测）已知直线
与椭圆
交于
两点，椭
圆的左、右焦点分别为
、
，四边形
为矩形，若
，则椭圆
的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·云南昭通·模拟预测）已知椭圆
的左､右焦点分别为
，过原点的直
线与
交于
两点，
，且
的面积为
，则
的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·山东泰安·模拟预测）已知
为椭圆
的左顶点，
、
是椭圆上的点.若
四边形
满足⃗OM =⃗OP+⃗ON，
，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·河南信阳·模拟预测）设双曲线
的左、右焦点分别为
，
，过坐标
原点的直线与
交于A，B 两点，且
，
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．2
5．（2025·江西·二模）已知点 F 为双曲线
的左焦点，C 上A，B 两点关于原点O
对称(点A 在第一象限)，且
设△AFB 的面积为S，若
则C 的离心率
为 .
题型03 构造中位线求离心率
解｜题｜策｜略
1、当题目条件中出现 “中点”（尤其是焦点弦中点、焦点与顶点连线的中点等）时，主动构造三角
形的中位线。中位线具备“平行于底边且等于底边一半”的性质，这可以将椭圆/双曲线上的点与焦
点、中心等关键元素联系起来，从而建立关于 a, c 的等量关系。
2、若遇到角分线时，可做角分线的垂线，这时的角分线也是中垂线，从而也可以构造中位线。
1．（2025·河南郑州·模拟预测）P 是椭圆C：
（
）上一点，
、
是
的两个焦点，
，点
在
的平分线上，
为原点，
，且
．则
的离心率为 .
2．（2025·江苏·模拟预测）已知双曲线
的左焦点为
，直线
与C 的右支于
点A，若C 的左支上存在点B 满足
，且
，则C 的离心率为（ ）
A．3
B．
C．2
D．
3．（2025·全国·模拟预测）已知椭圆
的离心率为
，左，右焦点分别是
是坐标原点，
是
上一点，且
，过
作
的平分线的垂线，垂足为M，
则
．
4．（2025·湖北黄冈·一模）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，点P 在C 上且
在第二象限，
，点Q 在
的平分线上，满足
且
（O 为坐标原点），则
C 的离心率为 .
5．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，过右焦点
向圆
引一条切线交椭圆
于点
，连接
，如图，若
，则椭圆
的离心率
．
题型04 利用余弦定理求离心率
解｜题｜策｜略
在圆锥曲线中，大部分的小题都围绕着焦点三角形，而焦点三角形本质上也是三角形，所以这里可以把
圆锥曲线的基本性质联立解三角形的方法来解决问题。
例如在给出的焦点三角形中，已知某些角度时，可以考虑使用余弦定理，通过建立三角形边角之间的关
系，并结合圆锥曲线的定义，最终消去变量，得到关于离心率 的方程若。有两个三角形共边时，还可
以多次使用余弦定理来解决。
1．（2025·湖南长沙·三模）已知
、
分别为椭圆
的左、右焦点，
为
的上顶
点，直线
与
交于另一点
，且
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·广东广州·三模）已知椭圆
的左、右焦点为
，过点
的直线与E 交
于M，N 两点．若
，
，则椭圆E 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·山东·模拟预测）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，上顶点为
，过
作
的垂线与
在第一象限内交于点
，且
．设
的离心率为，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·安徽·模拟预测）已知椭圆
：
（
）的上顶点为
，左、右焦点分别为
，
，连接
并延长交椭圆
于另一点
，若
，则椭圆
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·四川达州·模拟预测）已知双曲线
（
，
）的左，右焦点分别为
，
，
过
的直线与其右支交于
，
两点，若
，
，则
的离心率为（ ）
A．
B．2
C．
D．4
题型05 利用正弦定理求离心率
解｜题｜策｜略
当焦点三角形中已知多个角的关系（特别是顶角θ和底角α , β的关系）时，正弦定理法是最优选择。
1．（多选）（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知
为坐标原点，椭圆
的方程：
，其
左右焦点为
，离心率为，过左焦点
的直线与椭圆交于
两点，
是
的中点（
是异于长轴端点的点），在
中，记
，则下列说法正确的是
（ ）
A．
B．
C．与椭圆切于点
的切线方程为
D．若直线
的斜率存在，则
2．（2025·辽宁·二模）“双曲线电瓶新闻灯”是我国首先研制成功的，利用了双曲线的光学性质：从双曲
线的一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．这种
灯的轴截面是双曲线的一部分（如图），从双曲线的右焦点
发出的互为反向的光线，经双曲线上的点
P，Q 反射，反射光线的反向延长线交于点M，且
，
．制
作时，通过双曲线的离心率控制该新闻灯的开口大小，则该新闻灯轴截面双曲线的离心率为 ．
3．（2025·安徽滁州·二模）已知
是椭圆
的两个焦点，点
在
上，
，
，
为从小到大
连续的三个正整数，且
，则
的离心率为 ．
题型06 由双曲线的渐近线性质求离心率
解｜题｜策｜略
双曲线的渐近线有很多性质，本节仅展示部分渐近线的性质
1、过双曲线的焦点作渐近线的垂线，焦点、原点、垂点三点构成的直角三角形的三边分别为a,b,c
2、以两焦点为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点坐标为P(a,b),通常以“渐近线上一点P，
有P F1⊥P F2”形式出现。
1．（多选）（2025·全国二卷·高考真题）双曲线
的左、右焦点分别为
，左、
右顶点分别为
，以
为直径的圆与C 的一条渐近线交于M，N 两点，且
，则（ ）
A．
B．
C．C 的离心率为
D．当
时，四边形
的面积为
2．（2025·山东德州·三模）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
过点
且与渐近线平行的直线与
相交于点
（
在第一象限），若
，则双曲线
的离心
率为（ ）
A．
B．
C．
D．3
3．（2025·湖南·模拟预测）将双曲线绕其中心旋转适当的角度后可得到一些熟悉函数的图解. 如反比例函
数
，“双勾”函数
，“飘带”函数
等，它们的图象都可以由某条双曲线绕其中心旋
转适当的角度而得到. 现将双曲线C：
绕原点O 旋转适当的角度后，得到函数
的图象. 则双曲线C 的离心率e 的值为（ ）
A．
B．
C．2
D．4
4．（2025·天津南开·二模）已知双曲线
的两个焦点分别为
是
渐近线上
一点，当
取最小值时，
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·重庆·模拟预测）已知
，
是双曲线C：
的焦点，过C 上一点P 作两条渐近线的平
行线，分别交x 轴于M，N 两点，记
，
的面积分别为
，
，若
的最小值为
，则C 的
离心率为（ ）.
A．
B．
C．
D．2
题型07 与立体几何结合求离心率
解｜题｜策｜略
这种题目的背景来源于圆锥曲线本质，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，得到不同的截口曲线，
统称为圆锥曲线。这例综合类型的题，要用到立体几何知识跟圆锥曲线的性质结合。目标在寻找圆锥曲
线的长轴短轴所在的位置，根据立体几何知识求出长轴短轴，从而求出离心率。
1．（2025·福建·模拟预测）如图，在高为16 的圆柱型筒中，放置两个半径均为3 的小球，两个小球均与
筒壁相切，且分别与两底面相切，已知平面
与两个小球也相切，平面
被圆筒所截得到的截面为椭圆，
则该椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025 高三·全国·专题练习）古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线.用垂
直于圆锥的轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面倾斜，可得到椭圆.如图，现有一个轴截面为等腰
的圆锥PO，过点A 及线段PB 的中点M 的某平面截圆锥PO，得到一个椭圆，则该椭圆的离心率
为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025 高三·全国·专题练习）用平面
截圆柱面，圆柱的轴与平面
所成的角记为
，当
为锐角时，
圆柱面的截线是一个椭圆，数学家Dandelin 创立的双球模型证明了上述结论．如图所示，将两个大小相同
的球嵌入圆柱内，使它们分别位于
的上方和下方，并且与圆柱面和
均相切，切点分别为
．下列关
于截口曲线的椭圆的结论中不正确的有（ ）
A．椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等
B．椭圆的长轴长与嵌入圆柱的两球的球心距
相等
C．所得椭圆的离心率
D．其中
为椭圆长轴，
为球
的半径，有
4．（2025·内蒙古赤峰·一模）如图所示，用一个与圆柱底面成
角的平面截圆柱，截面是一个
椭圆面，若
，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型08 求离心率的范围
解｜题｜策｜略
要求离心率的范围，就要从题目信息中建立关于离心率的不等式，常见的依据有：
1、焦半径的取值范围
2、圆锥曲线上的坐标的取值范围
3、焦点三角形的顶角的取值范围
4、与圆锥曲线有交点，联立得到的范围
等，根据以上这些条件，构建离心率的不等式从而得到离心率的范围。
1．（2025·湖南长沙·模拟预测）设椭圆
的左，右焦点分别为
，点
在
上运
动，点
在圆
：
上运动，且
恒成立，则
的离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·湖南湘潭·一模）已知双曲线
的右焦点为
，若圆
上存在点
使得
的中点在
的渐近线上，则
的离心率的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·河北秦皇岛·三模）已知椭圆
，过
的右焦点的直线交
于
，
两点，
若存在直线使得
，则
的离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）已知双曲线
，若直线
与
没有公共
点，则
的离心率的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·四川成都·三模）设椭圆
的一个焦点为
，
为
内一点，
若
上存在一点
，使得
，则椭圆
离心率的取值范围是 ．
（建议用时：30 分钟）
1．（2025·江苏南通·模拟预测）已知
是双曲线
的左、右焦点，
为双曲
线
上的两点，若
，且以
为直径的圆恰好过点
，则双曲线
的离心率为 ．
2．（2025·江西·二模）已知点 F 为双曲线
的左焦点，C 上A，B 两点关于原点O
对称(点A 在第一象限)，且
设△AFB 的面积为S，若
则C 的离心率
为 .
3．（2025·广西南宁·模拟预测）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，过
的直线与
的左、右支分别交于
，
两点，且
，
，其中
为坐标原点，则
的离心
率为（ ）
A．5
B．
C．4
D．
4．（2025·云南丽江·模拟预测）设椭圆
的左、右焦点分别为
，P 是椭圆C 上
一点，若点
关于
的角平分线l 的对称点恰好是点P，且
，则C 的离心率为
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·陕西西安·模拟预测）已知椭圆
与双曲线
有相同的焦点
、
，且
它们在第二象限的公共点为点
，点
与右焦点
的连线交
轴于点
，且
平分
，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知
，
为椭圆C：
（
）的左、右焦点，点P 在y
轴上，点Q 在C 上，且
，
，则椭圆C 的离心率为 .
7．（2025·安徽安庆·模拟预测）设双曲线
：
的两条渐近线的倾斜角分别为
，
，
若
，则C 的离心率为 .
8．（2025·湖南长沙·二模）已知双曲线
的右焦点为
，以
（
为坐标原点）
为直径的圆与
的渐近线的一个交点为
，若
，则双曲线
的离心率为 ．
9．（2025·山东泰安·模拟预测）已知
为椭圆
的左顶点，
、
是椭圆上的点.若
四边形
满足⃗OM =⃗OP+⃗ON，
，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2025·浙江金华·一模）若双曲线
不存在以点
为中点的弦，则该双曲线
离心率的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
