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专题17 圆锥曲线中的双曲线与抛物线问题
1、（2023年全国甲卷数学（文）（理））已知双曲线 的离心率为 ，其中一条渐近
线与圆 交于A，B两点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由 ，则 ，
解得 ，
所以双曲线的一条渐近线不妨取 ，
则圆心 到渐近线的距离 ，
所以弦长 .
故选：D
2、（2023年全国乙卷数学（文）(理)）设A，B为双曲线 上两点，下列四个点中，可为线段AB
中点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设 ，则 的中点 ，可得 ，
因为 在双曲线上，则 ，两式相减得 ，
所以 .
对于选项A： 可得 ，则 ，
联立方程 ，消去y得 ，
此时 ，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得 ，则 ，
联立方程 ，消去y得 ，
此时 ，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C：可得 ，则
由双曲线方程可得 ，则 为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
对于选项D： ，则 ，联立方程 ，消去y得 ，
此时 ，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；
故选：D.
3、 【2022年全国乙卷】设F为抛物线C:y2=4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|=|BF|，
则|AB|=（ ）
A．2 B．2√2 C．3 D．3√2
【答案】B
【解析】由题意得，F(1,0)，则|AF|=|BF|=2，
即点A到准线x=−1的距离为2，所以点A的横坐标为−1+2=1，
不妨设点A在x轴上方，代入得，A(1,2)，
所以|AB|=√(3−1) 2+(0−2) 2=2√2.
故选：B
4、【2022年全国乙卷】双曲线C的两个焦点为F ,F ，以C的实轴为直径的圆记为D，过F 作D的切线
1 2 1
3
与C的两支交于M，N两点，且cos∠F N F = ，则C的离心率为（ ）
1 2 5
√5 3 √13 √17
A． B． C． D．
2 2 2 2
【答案】C
【解析】解：依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过F 作圆D的切线切点为G，
1
3
所以OG⊥N F ，因为cos∠F N F = >0，所以N在双曲线的右支，
1 1 2 5
所以|OG|=a，|OF |=c，|GF |=b，设∠F N F =α，∠F F N=β，
1 1 1 2 2 1
3 3 4 a b
由cos∠F N F = ，即cosα= ，则sinα= ，sinβ= ，cosβ= ，
1 2 5 5 5 c c
在△F F N中，sin∠F F N=sin(π−α−β)=sin(α+β)
2 1 1 2
4 b 3 a 3a+4b
=sinαcosβ+cosαsinβ= × + × = ，
5 c 5 c 5c2c |N F | |N F | 5c
由正弦定理得 = 2 = 1 = ，
sinα sinβ sin∠F F N 2
1 2
5c 5c 3a+4b 3a+4b 5c 5c a 5a
所以|N F |= sin∠F F N= × = ，|N F |= sinβ= × =
1 2 1 2 2 5c 2 2 2 2 c 2
3a+4b 5a 4b−2a
又|N F |−|N F |= − = =2a，
1 2 2 2 2
b 3
所以2b=3a，即 = ，
a 2
c √ b2 √13
所以双曲线的离心率e= = 1+ =
a a2 2
故选：C
5、（2023年新课标全国Ⅱ卷）（多选题）设O为坐标原点，直线 过抛物线
的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A． B．
C．以MN为直径的圆与l相切 D． 为等腰三角形
【答案】AC
【详解】A选项：直线 过点 ，所以抛物线 的焦点 ，
所以 ，则A选项正确，且抛物线 的方程为 .
B选项：设 ，由 消去 并化简得 ，
解得 ，所以 ，B选项错误.
C选项：设 的中点为 ， 到直线 的距离分别为 ，
因为 ，
即 到直线 的距离等于 的一半，所以以 为直径的圆与直线 相切，C选项正确.
D选项：直线 ，即 ，
到直线 的距离为 ，
所以三角形 的面积为 ，
由上述分析可知 ，
所以 ，
所以三角形 不是等腰三角形，D选项错误.
故选：AC.
6、【2022年新高考1卷】（多选题）已知O为坐标原点，点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上，过
点B(0,−1)的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为y=−1 B．直线AB与C相切C．|OP|⋅|OQ|>|OA| 2 D．|BP|⋅|BQ|>|BA|2
【答案】BCD
1
【解析】将点A的代入抛物线方程得1=2p，所以抛物线方程为x2= y，故准线方程为y=− ，A错误；
4
1−(−1)
k = =2，所以直线AB的方程为y=2x−1，
AB 1−0
联立¿，可得x2−2x+1=0，解得x=1，故B正确；
设过B的直线为l，若直线l与y轴重合，则直线l与抛物线C只有一个交点，
所以，直线l的斜率存在，设其方程为y=kx−1，P(x ,y ),Q(x ,y )，
1 1 2 2
联立¿，得x2−kx+1=0，
所以¿，所以k>2或k<−2，y y =(x x ) 2=1，
1 2 1 2
又|OP|=√x2+ y2=√y + y2，|OQ|=√x2+ y2=√y + y2，
1 1 1 1 2 2 2 2
所以|OP|⋅|OQ|=√y y (1+ y )(1+ y )=√kx ×kx =|k|>2=|OA|2 ，故C正确；
1 2 1 2 1 2
因为|BP|=√1+k2|x |，|BQ|=√1+k2|x |，
1 2
所以|BP|⋅|BQ|=(1+k2 )|x x |=1+k2>5，而|BA|2=5，故D正确.
1 2
故选：BCD
7、【2022年新高考2卷】（多选题）已知O为坐标原点，过抛物线C:y2=2px(p>0)焦点F的直线与C
交于A，B两点，其中A在第一象限，点M(p,0)，若|AF|=|AM|，则（ ）
A．直线AB的斜率为2√6 B．|OB|=|OF|
C．|AB|>4|OF| D．∠OAM+∠OBM<180°
【答案】ACD
【解析】p
p +p
对于A，易得F( ,0)，由|AF|=|AM|可得点A在FM的垂直平分线上，则A点横坐标为 2 3p，
2 =
2 4
√6p
3p 3 3p √6p 2
代入抛物线可得y2=2p⋅ = p2 ，则A( , )，则直线AB的斜率为 =2√6，A正确；
4 2 4 2 3p p
−
4 2
1 p 1
对于B，由斜率为2√6可得直线AB的方程为x= y+ ，联立抛物线方程得y2− py−p2=0，
2 √6 2 √6
√6 √6 √6p ( √6p) 2 p
设B(x ,y )，则 p+ y = p，则y =− ，代入抛物线得 − =2p⋅x ，解得x = ，则
1 1 2 1 6 1 3 3 1 1 3
p √6p
B( ,− )，
3 3
√ (p) 2 ( √6p) 2 √7p p
则|OB|= + − = ≠|OF|= ，B错误；
3 3 3 2
3p p 25p
对于C，由抛物线定义知：|AB|= + +p= >2p=4|OF|，C正确；
4 3 12
3p √6p p √6p 3p p √6p ( √6p) 3p2
对于D，⃑OA⋅⃑OB=( , )⋅( ,− )= ⋅ + ⋅ − =− <0，则∠AOB为
4 2 3 3 4 3 2 3 4
钝角，
p √6p 2p √6p p ( 2p) √6p ( √6p) 5p2
又⃑MA⋅⃑MB=(− , )⋅(− ,− )=− ⋅ − + ⋅ − =− <0，则
4 2 3 3 4 3 2 3 6
∠AMB为钝角，
又∠AOB+∠AMB+∠OAM+∠OBM=360∘，则∠OAM+∠OBM<180∘，D正确.
故选：ACD.
8、（2023年新课标全国Ⅰ卷）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ．点 在 上，
点 在 轴上， ，则 的离心率为________．
【答案】 /【详解】方法一：
依题意，设 ，则 ，
在 中， ，则 ，故 或 （舍去），
所以 ， ，则 ，
故 ，
所以在 中， ，整理得 ，
故 .
方法二:
依题意，得 ，令 ，
因为 ，所以 ，则 ，
又 ，所以 ，则 ，
又点 在 上，则 ，整理得 ，则 ，
所以 ，即 ，
整理得 ，则 ，解得 或 ，又 ，所以 或 （舍去），故 .
故答案为： .
x2 y2
9、【2022年全国甲卷】记双曲线C: − =1(a>0,b>0)的离心率为e，写出满足条件“直线y=2x与
a2 b2
C无公共点”的e的一个值______________．
【答案】2（满足1<e≤√5皆可）
x2 y2 b
【解析】C: − =1(a>0,b>0)，所以C的渐近线方程为y=± x,
a2 b2 a
b b2
结合渐近线的特点，只需0< ≤2，即 ≤4，
a a2
可满足条件“直线y=2x与C无公共点”
c √ b2
所以e= = 1+ ≤√1+4=√5，
a a2
又因为e>1，所以1<e≤√5，
故答案为：2（满足1<e≤√5皆可）
10、（2023年全国乙卷数学（文）(理)）已知点 在抛物线C： 上，则A到C的准线的距离
为______.
【答案】
【详解】由题意可得： ，则 ，抛物线的方程为 ，
准线方程为 ，点 到 的准线的距离为 .
故答案为： .题组一、双曲线的离心率
1-1、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）在平面直角坐标系 中， 分别是双曲线C：
的左，右焦点，过 的直线 与双曲线的左，右两支分别交于点 ，点 在 轴上，
满足 ，且 经过 的内切圆圆心，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】根据双曲线的定义先推出 为正三角形，然后根据余弦定理解决.
【详解】 ，∴ ，∴ ，
∵ 经过 内切圆圆心，∴ 为 的角平分线，
∴ ．∴ ，∴ ，
， ，
∴ ，于是 ，
∴ 为正三角形， ．
中，由余弦定理， ∴ .
故选：C.1-2、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知双曲线 的左、右焦点分别为
，一条渐近线为l，过点 且与l平行的直线交双曲线C于点M，若 ，则双曲线C的离
心率为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【分析】根据双曲线的定义，结合余弦定理、同角的三角函数关系式进行求解即可.
【详解】根据双曲线的对称性，不妨设一条渐近线l的方程为 ，
因此直线 的倾斜角 的正切值为 ，即 ，
所以有 ，
设 ，由双曲线定义可知： ，
由余弦定理可知： ，
故选：B.
1-3、（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）已知双曲线C： （ ， ）的左、右
焦点分别为 ， ，若在C上存在点P（不是顶点），使得 ，则C的离心率的取值范
围为______．
【答案】
【分析】 与 轴交点 ，连接 ，由双曲线的定义和对称性，结合已知条件得 ，有且 ，可求离心率的取值范围.
【详解】设 与 轴交点 ，连接 ， 由对称性可知， ，如图所示，
又∵ ，∴ ，∴ ．
又∵ ，∴ ，
在 中， ，∴ ，∴ ，
由 ，且三角形的内角和为 ，
，即 ，则
综上， ．
故答案为： ．
题组二、双曲线与抛物线的性质
2-1、（2023·江苏南通·统考模拟预测）（多选题）已知双曲线 的右顶点为A，右焦点为F，双曲
线上一点P满足PA=2，则PF的长度可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】AB
【分析】设 ，根据点P在双曲线上且PA=2，则可求得 的值，从而可求得 的值，进而可求得PF的长度．
【详解】设 ，则 ， ， ，
则 ，得 或 ，
当 时， ，此时 ，
当 时， ，此时 ．
故选：AB．
2-2、（2023·江苏南京·校考一模）已知椭圆 的两个焦点为 和 ，直线l过点 ，
点 关于l的对称点A在C上，且 ，则C的方程为__________．
【答案】
【分析】根据向量的线性运算和数量积的性质化简 ，由条件结合椭圆的定义可求 ，由
求 ，可得椭圆方程.
【详解】因为A与 关于直线l对称，所以直线l为 的垂直平分线，
又 ，
所以 ，由椭圆的定义可得 ，
设直线l与 交于点M，则M为 的中点，且 ，
所以，
解得 或1（舍去），所以 ， ，则C的方程为： ．
故答案为： ．
2-3、（2023·山西·统考一模）已知抛物线 的焦点为 ，点 ， 为抛物线上一动点，则
周长的最小值为______.
【答案】
【分析】过 作准线的垂线，垂足为 ，过 作准线的垂线，垂足为 ，进而结合抛物线的定义求解即可.
【详解】解：由题知 ，准线方程为 .
如图，过 作准线的垂线，垂足为 ，过 作准线的垂线，垂足为 ，
所以 周长 ，当且仅当 为 与抛物线的
交点 时等号成立.
故答案为： .2-4、（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上，且
，若 的面积为 ，则 （ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】B
【分析】根据抛物线定义求得 点横坐标，代入抛物线方程得纵坐标，再利用三角形面积公式即可得 的
值.
【详解】抛物线的焦点为 ，点 在抛物线上，由抛物线的定义可得 ，
，则 ，
，解得 或 （舍）.
故选：B.
题组三、抛物线、双曲线、椭圆的综合应用
3-1、（2023·江苏南通·统考一模）已知抛物线 的焦点为 ，以该抛物线上三点 为切点的切
线分别是 ，直线 相交于点 与 分别相交于点 .记 的横坐标分别为 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】利用导函数和斜率的关系表示出切线方程可求出 的坐标可判断A，根据向量数量积的坐标运算
判断B,并根据两点间的距离公式运算求解即可判断C,D.
【详解】设 ，所以 ，即 ，
同理 ，
，即 ，也即 ，B正确；
不一定为 A错误；
正确；正确，
故选：BCD.
3-2、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知P为抛物线 上的动点， 为坐标原
点， 在抛物线C上，过抛物线C的焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点， ，则
（ ）
A． 的最小值为4
B．若线段AB的中点为M，则弦长AB的长度为8
C．若线段AB的中点为M，则三角形OAB的面积为
D．过点 作两条直线与抛物线C分别交于点G，H，且满足EF平分 ，则直线GH的斜率为定
值
【答案】ABD
【分析】先求出抛物线的方程 ，利用抛物线的定义转化即可求出最小值可判断A；由直线与抛物线
相交的弦长公式判断B；由点到直线的距离公式可求三角形OAB的面积判断C；设 ，
,将已知转化为 结合两点连线的斜率公式即可判断直线GH的斜率是否为定值判断
D.【详解】
由 在抛物线C上，得 ，抛物线C的方程为 ， ．
对于A，过点P作抛物线的准线 的垂线PD，垂足为D，
由抛物线的定义知 ，
即M，P，D三点共线时， 取得最小值，为 ，故A正确．
对于B，因为 为AB的中点，点A，B的横坐标 ，则 ， ，故B
正确．
对于C，由直线l过焦点 与 求得直线l的方程为 ，则点O到直线l的距离
，则 ，故C错误；
对于D，易知点 在抛物线上且 轴．设 ， ．
易知直线EG，EH的斜率存在， ，同理 ．
因为EF平分 ， 轴，所以 ，即 ，
直线 ，所以 ，直线GH的斜率 为定值，故D正确．
故选：ABD.
3-3、（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知抛物线 ： ，圆 ： ，在抛物
线 上任取一点 ，向圆 作两条切线 和 ，切点分别为 ， ，则 的取值范围是______ ．
【答案】
【分析】设点 ，由已知关系，可用 点坐标表示出 .在 ，有
，进而可推出 ，根据 的范围，即可得到结果.
【详解】
由已知， ， .
如图，设点 ，则 ，
，
在 中，有
，
易知 ，则 ，则 ，
因为， ，所以当 时， 取得最大值 ，
又 ，所以， .
所以， 的取值范围是 .
故答案为：
1、（2023·江苏南通·统考一模）2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”遨游苍
穹.太空中飞船与空间站的对接，需要经过多次变轨.某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个
焦点的椭圆，其远地点（长轴端点中离地面最远的点）距地面 ，近地点（长轴端点中离地面最近的点）
距地面 ，地球的半径为 ，则该椭圆的短轴长为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据椭圆的远地点和近地点的距离可得 ，进而可求得 ，求得b，可得
答案.
【详解】由题意得 ，
故 ，
故选：D.
2、（2022·山东青岛·高三期末）已知坐标原点为 ，双曲线 的右焦点为 ，点，若 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【解析】
设双曲线 的右顶点为 ，
又点 ， ，
∴ 垂直平分线段 ，
∴ ，即 .
故选：A
3、（2022·湖北襄阳·高三期末）若双曲线 的一条渐近线被圆 所截得
的弦长为2，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
不妨设双曲线 的一条渐近线为 ，
圆 的圆心为 ，半径 ，
则圆心到渐近线的距离为
所以弦长 ，
化简得： ，
即 ，解得 ，
所以 .
故选：B
4、（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）（多选题）已知 ， 是抛物线 ： 上两动点，
为抛物线 的焦点，则（ ）
A．直线 过焦点 时， 最小值为2
B．直线 过焦点 且倾斜角为60°时（点 在第一象限），
C．若 中点 的横坐标为3，则 最大值为8
D．点 坐标 ，且直线 ， 斜率之和为0， 与抛物线的另一交点为 ，则直线 方程为：
【答案】CD
【分析】对于A B项画出函数图像，把 用直线 的倾斜角表示，验证是否正确；
对于C 项， 可求解；对于D项根据点 可求出 ，就能求出
所以求出直线 ， 分别与抛物线联立求出 点，就能求出 方程.
【详解】对于A项，过点 分别作准线 的垂线，垂足分别为 ，过点 分别作 轴的垂线，
垂足分别为 ，准线与 轴的交点为 ，设直线 的倾斜角为 ，画图为：根据抛物线的定义： ，从图可知 ，
，在 中， ，
所以 ，同理
则
，故当 时
故 最小值为 ，所以A不正确.
对于B项，由A可知， ，
所以 ，故B不正确.
对于C项，
所以 最大值为8，故C正确.
对于D项，由 ， ，知 ，所以
所以直线 的方程为 ，直线 的方程为
联立 解得 或 ，所以联立 解得 或 ，所以
所以直线 的方程为
即 ，故D正确.
故选：CD
5、（2023·安徽·统考一模）（多选题）已知 为坐标原点，点 ，线段 的中
点 在抛物线 上，连接 并延长，与 交于点 ，则（ ）
A． 的准线方程为 B．点 为线段 的中点
C．直线 与 相切 D． 在点 处的切线与直线 平行
【答案】BCD
【分析】将 代入抛物线得 ，则得到其准线方程，则可判断A，联立直线 的方程与抛物
线方程即可得到 ，即可判断B，利用导数求出抛物线 在点 处的切线方程，令 ，则可判
断C，再次利用导数求出抛物线在 处的切线斜率，则可判断D.
【详解】对A，根据中点公式得 ，将其代入 得 ，则 ，
所以抛物线 的准线方程为 ，故A错误，
对B， ，则直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，
将其代入 得 ，解得 或0（舍去），此时 ，
则 ，所以 为 中点，故B正确；
对C， ，即 ，则 ，故抛物线 在点 处的切线的斜率为 ，
故切线方程为 ，
令 得 ，所以直线 为 的切线，故C正确；
对D，抛物线 在 处的切线方程的斜率为 ，
而直线 的斜率为 ，则两直线的斜率相等，且两直线显然不可能重合，
所以 在点 处的切线与直线 平行.
故选：BCD.
6、（2023·江苏南京·校考一模）抛物线C：x2＝2py，其焦点到准线l的距离为4，则准线l被圆x2＋y2﹣6x
＝0截得的弦长为_______．
【答案】
【分析】求出准线方程 以及圆心、半径，得出圆心到直线的距离，从而求出弦长为 .
【详解】首先求得准线l的方程为 ，
x2＋y2﹣6x＝0 ，
圆心 到准线 的距离为
故弦长为 ．
故答案为： .
7、（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）双曲线 的一条渐近线方程为
，则双曲线 的焦距为___________.
【答案】
【分析】根据已知渐近线的方程求出 ，进而结合 即可求出结果.
【详解】因为双曲线的渐近线方程为 ，结合已知条件可得 ，故焦距为，
故答案为： .
8、（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）已知双曲线 的右顶点到其一条渐近
线的距离等于 ，抛物线 的焦点与双曲线 的右焦点重合，则抛物线 上的动点 到直线
和 的距离之和的最小值为__________．
【答案】2
【解析】双曲线的渐近线方程为 ，
右顶点(a,0)到其一条渐近线的距离等于 ，
可得 ，解得 ，即有c=1，
由题意可得 ，解得p=2，
即有抛物线的方程为y2=4x，
如图,过点M作MA⊥l 于点A，作MB⊥准线l :x=−1于点C，
1 2
连接MF，根据抛物线的定义得MA+MC=MA+MF，
设M到l 的距离为d ,M到直线l 的距离为d ，
1 1 2 2
∴d +d =MA+MC=MA+MF，
1 2
根据平面几何知识，可得当M、A. F三点共线时，MA+MF有最小值．
∵F(1,0)到直线l :4x−3y+6=0的距离为 .
1
∴MA+MF的最小值是2，
由此可得所求距离和的最小值为2.
故答案为2.
