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专题17 圆锥曲线中的双曲线与抛物线问题
1、（2023年全国甲卷数学（文）（理））已知双曲线 的离心率为 ，其中一条渐近
线与圆 交于A，B两点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由 ，则 ，
解得 ，
所以双曲线的一条渐近线不妨取 ，
则圆心 到渐近线的距离 ，
所以弦长 .
故选：D
2、（2023年全国乙卷数学（文）(理)）设A，B为双曲线 上两点，下列四个点中，可为线段AB
中点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设 ，则 的中点 ，可得 ，
因为 在双曲线上，则 ，两式相减得 ，
所以 .
对于选项A： 可得 ，则 ，
联立方程 ，消去y得 ，
此时 ，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得 ，则 ，
联立方程 ，消去y得 ，
此时 ，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C：可得 ，则
由双曲线方程可得 ，则 为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
对于选项D： ，则 ，联立方程 ，消去y得 ，
此时 ，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；
故选：D.
3、 【2022年全国乙卷】设F为抛物线C:y2=4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|=|BF|，
则|AB|=（ ）
A．2 B．2√2 C．3 D．3√2
【答案】B
【解析】由题意得，F(1,0)，则|AF|=|BF|=2，
即点A到准线x=−1的距离为2，所以点A的横坐标为−1+2=1，
不妨设点A在x轴上方，代入得，A(1,2)，
所以|AB|=√(3−1) 2+(0−2) 2=2√2.
故选：B
4、【2022年全国乙卷】双曲线C的两个焦点为F ,F ，以C的实轴为直径的圆记为D，过F 作D的切线
1 2 1
3
与C的两支交于M，N两点，且cos∠F N F = ，则C的离心率为（ ）
1 2 5
√5 3 √13 √17
A． B． C． D．
2 2 2 2
【答案】C
【解析】解：依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过F 作圆D的切线切点为G，
1
3
所以OG⊥N F ，因为cos∠F N F = >0，所以N在双曲线的右支，
1 1 2 5
所以|OG|=a，|OF |=c，|GF |=b，设∠F N F =α，∠F F N=β，
1 1 1 2 2 1
3 3 4 a b
由cos∠F N F = ，即cosα= ，则sinα= ，sinβ= ，cosβ= ，
1 2 5 5 5 c c
在△F F N中，sin∠F F N=sin(π−α−β)=sin(α+β)
2 1 1 2
4 b 3 a 3a+4b
=sinαcosβ+cosαsinβ= × + × = ，
5 c 5 c 5c2c |N F | |N F | 5c
由正弦定理得 = 2 = 1 = ，
sinα sinβ sin∠F F N 2
1 2
5c 5c 3a+4b 3a+4b 5c 5c a 5a
所以|N F |= sin∠F F N= × = ，|N F |= sinβ= × =
1 2 1 2 2 5c 2 2 2 2 c 2
3a+4b 5a 4b−2a
又|N F |−|N F |= − = =2a，
1 2 2 2 2
b 3
所以2b=3a，即 = ，
a 2
c √ b2 √13
所以双曲线的离心率e= = 1+ =
a a2 2
故选：C
5、（2023年新课标全国Ⅱ卷）（多选题）设O为坐标原点，直线 过抛物线
的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A． B．
C．以MN为直径的圆与l相切 D． 为等腰三角形
【答案】AC
【详解】A选项：直线 过点 ，所以抛物线 的焦点 ，
所以 ，则A选项正确，且抛物线 的方程为 .
B选项：设 ，由 消去 并化简得 ，
解得 ，所以 ，B选项错误.
C选项：设 的中点为 ， 到直线 的距离分别为 ，
因为 ，
即 到直线 的距离等于 的一半，所以以 为直径的圆与直线 相切，C选项正确.
D选项：直线 ，即 ，
到直线 的距离为 ，
所以三角形 的面积为 ，
由上述分析可知 ，
所以 ，
所以三角形 不是等腰三角形，D选项错误.
故选：AC.
6、【2022年新高考1卷】（多选题）已知O为坐标原点，点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上，过
点B(0,−1)的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为y=−1 B．直线AB与C相切C．|OP|⋅|OQ|>|OA| 2 D．|BP|⋅|BQ|>|BA|2
【答案】BCD
1
【解析】将点A的代入抛物线方程得1=2p，所以抛物线方程为x2= y，故准线方程为y=− ，A错误；
4
1−(−1)
k = =2，所以直线AB的方程为y=2x−1，
AB 1−0
联立¿，可得x2−2x+1=0，解得x=1，故B正确；
设过B的直线为l，若直线l与y轴重合，则直线l与抛物线C只有一个交点，
所以，直线l的斜率存在，设其方程为y=kx−1，P(x ,y ),Q(x ,y )，
1 1 2 2
联立¿，得x2−kx+1=0，
所以¿，所以k>2或k<−2，y y =(x x ) 2=1，
1 2 1 2
又|OP|=√x2+ y2=√y + y2，|OQ|=√x2+ y2=√y + y2，
1 1 1 1 2 2 2 2
所以|OP|⋅|OQ|=√y y (1+ y )(1+ y )=√kx ×kx =|k|>2=|OA|2 ，故C正确；
1 2 1 2 1 2
因为|BP|=√1+k2|x |，|BQ|=√1+k2|x |，
1 2
所以|BP|⋅|BQ|=(1+k2 )|x x |=1+k2>5，而|BA|2=5，故D正确.
1 2
故选：BCD
7、【2022年新高考2卷】（多选题）已知O为坐标原点，过抛物线C:y2=2px(p>0)焦点F的直线与C
交于A，B两点，其中A在第一象限，点M(p,0)，若|AF|=|AM|，则（ ）
A．直线AB的斜率为2√6 B．|OB|=|OF|
C．|AB|>4|OF| D．∠OAM+∠OBM<180°
【答案】ACD
【解析】p
p +p
对于A，易得F( ,0)，由|AF|=|AM|可得点A在FM的垂直平分线上，则A点横坐标为 2 3p，
2 =
2 4
√6p
3p 3 3p √6p 2
代入抛物线可得y2=2p⋅ = p2 ，则A( , )，则直线AB的斜率为 =2√6，A正确；
4 2 4 2 3p p
−
4 2
1 p 1
对于B，由斜率为2√6可得直线AB的方程为x= y+ ，联立抛物线方程得y2− py−p2=0，
2 √6 2 √6
√6 √6 √6p ( √6p) 2 p
设B(x ,y )，则 p+ y = p，则y =− ，代入抛物线得 − =2p⋅x ，解得x = ，则
1 1 2 1 6 1 3 3 1 1 3
p √6p
B( ,− )，
3 3
√ (p) 2 ( √6p) 2 √7p p
则|OB|= + − = ≠|OF|= ，B错误；
3 3 3 2
3p p 25p
对于C，由抛物线定义知：|AB|= + +p= >2p=4|OF|，C正确；
4 3 12
3p √6p p √6p 3p p √6p ( √6p) 3p2
对于D，⃑OA⋅⃑OB=( , )⋅( ,− )= ⋅ + ⋅ − =− <0，则∠AOB为
4 2 3 3 4 3 2 3 4
钝角，
p √6p 2p √6p p ( 2p) √6p ( √6p) 5p2
又⃑MA⋅⃑MB=(− , )⋅(− ,− )=− ⋅ − + ⋅ − =− <0，则
4 2 3 3 4 3 2 3 6
∠AMB为钝角，
又∠AOB+∠AMB+∠OAM+∠OBM=360∘，则∠OAM+∠OBM<180∘，D正确.
故选：ACD.
8、（2023年新课标全国Ⅰ卷）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ．点 在 上，
点 在 轴上， ，则 的离心率为________．
【答案】 /【详解】方法一：
依题意，设 ，则 ，
在 中， ，则 ，故 或 （舍去），
所以 ， ，则 ，
故 ，
所以在 中， ，整理得 ，
故 .
方法二:
依题意，得 ，令 ，
因为 ，所以 ，则 ，
又 ，所以 ，则 ，
又点 在 上，则 ，整理得 ，则 ，
所以 ，即 ，
整理得 ，则 ，解得 或 ，又 ，所以 或 （舍去），故 .
故答案为： .
x2 y2
9、【2022年全国甲卷】记双曲线C: − =1(a>0,b>0)的离心率为e，写出满足条件“直线y=2x与
a2 b2
C无公共点”的e的一个值______________．
【答案】2（满足10,b>0)，所以C的渐近线方程为y=± x,
a2 b2 a
b b2
结合渐近线的特点，只需0< ≤2，即 ≤4，
a a2
可满足条件“直线y=2x与C无公共点”
c √ b2
所以e= = 1+ ≤√1+4=√5，
a a2
又因为e>1，所以1
