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专题 几何法求线线角、线面角、二面角 近三年： 在立体几何板块，高考命题强调“建系法、几何法、向量法三法并重”，突出化归转化思想。这些年立体几 何大题逐渐显示出非常规建系、配合几何法、向量法等方式。几何法并非“备用”方法，而是与向量法并列 的通性通法。在图形规则或难以建系时，往往是更优选择。而在立体几何小题中，大概率使用几何法跟向 量法，而比较少的能用到建系，建系计算更费时。 预测2026 年： 基于以上分析，几何法在2026 年高考中预计将继续受到重视， “几何法”的核心价值在于它直接锻炼了立 体几何最本质的空间想象与逻辑推理能力，这在当前“去套路化”的命题趋势下尤为重要。你在备考中需要 将其放在与向量法同等重要的位置进行系统性训练。 内容导航 热点解读 题型突破 限时训练 热点内容解读 深度剖析 解读热点：分析解读热点考查内容，精准预测命题方向。 热点题型突破 逐一剖析 解题归纳：对热点的各类题型逐一突破，归纳解题方法与技巧。 热点限时训练 模拟实战 巩固提升：限时完成题目训练，提升解题能力。 题型01 定义法求线线角 解｜题｜策｜略 一、概念 异面直线所成角是空间中两条不共面直线的夹角，通过“空间问题平面化”转化为两条相交直线的夹 角，其取值范围为(0, π 2 ]（在求夹角的时候，要注意异面直线所成角的范围）。 二、用定义求异面直线所成角 利用平行去平移，分别作两条异面直线的平行直线，使这两条平行线的夹角即为原异面直线的夹角。随 后在由平行线构成的三角形中，利用边角关系（如余弦定理、正弦定理）求解角度。 1．（2025·贵州·模拟预测）在正三棱柱 中，已知 ，D，E 分别在棱 上，且 ， ，则异面直线BC 与DE 所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁辽阳·一模）如图，三棱柱 的所有棱长都为 ，且 ， 、 、 分别为 、 、 的中点，则异面直线 和 所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 3．（2025·新疆喀什·二模）《九章算术》中将正四棱台称为方亭，如图，在方婷 中， ，其体积为 ，E，F 分别为AB，BC 的中点，则异面直线 所成角的余弦值为 （ ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏南京·三模）在直三棱柱 中，所有棱长都相等， ， ， 分别是棱 ， ， 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值是（ ） A． B． C． D． 5．（2025·江西宜春·模拟预测）已知平面 ，异面直线 与 所成的角是 ， 则线段 的长为 . 题型02 定义法求线面角 解｜题｜策｜略 线面角的定义：平面上的一条斜线PA与它在平面α的射影AB所成的角即为斜线与平面的线面角，范围 为[0 °,90 °]. 找线面角的方法有两种定义法与体积法。 定义法：能直接找到P点在α平面的射影B点，能计算出| PB|或者| AB|，则线面角的正弦或余弦可 求。 1．（2025·湖北·三模）在正三棱台 中， 分别为棱 的中点， ，四边形 为正方形，则 与平面 所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 2．（2025·河南·模拟预测）如图，在四棱台 中， 平面 ，四边形 为正 方形， ，则直线 与平面 所成角的正弦值为 . 3．（2025·广东广州·模拟预测）在三棱锥 中，若 ， ，则直线 与 平面 所成角的正弦值是（ ） A． B． C． D． 4．（2025·上海嘉定·一模）如图，在四面体 中， ，从顶点 作平面 的垂线，垂足 恰好落在 的中线 上. (1)如果 ，直线 与平面 所成的角为 ，求直线 与平面 所成角的大小； (2)证明：平面 平面 5．（2025·全国·模拟预测）如图所示，在菱形 中， ， ， 分别为 的中 点， ， ，将 沿 翻折，使 到 处， ． (1)证明： 平面 ； (2)求 与平面 所成角的正弦值． 题型03 体积法求线面角 解｜题｜策｜略 体积法：如果没法直接找到P点在α平面的射影B点，则可以看看题目条件中是否有跟体积有关的信息， 通过体积求出P点到α平面的高度h，则线面角的正弦可求。 1．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知三棱锥 的体积为1， 是边长为2 的正三角形，且 ，则直线PA 与平面ABC 所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D．1 2．（2025·甘肃·二模）如图，在三棱锥 中， 平面 ， 且 ， 若在 内（包括边界）有一动点 ，使得 与平面 所成角的正切值为 ，则点 的轨迹长为 （ ） A． B． C． D．6 3．（2025·山东·模拟预测）如图， 是 的直径， 与 所在的平面垂直， ， 是 上的一动点（不同于 ）， 为线段 的中点，点 在线段 上，且 ． (1)求证： (2)当 时，求直线 与直线 所成角的余弦值 (3)当三棱锥 的体积最大时，求直线 与平面 所成角的正弦值． 4．（2025·陕西西安·二模）如图，已知三棱锥 . (1)证明：平面 平面 ； (2)若三棱锥 的各顶点都在球 的球面上，求球 的半径： (3)求直线 与平面 所成的角的正弦值. 5．（2025·上海静安·一模）已知正四棱柱 的底面边长为1，点 、 分别在边 、 上，且 ， ． (1)证明： 平面 ； (2)若 2，求直线 与平面 所成角的正弦值． 题型04 定义法求二面角 解｜题｜策｜略 二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两 个半平面叫做二面角的面.在两个半平面作两条与棱l垂直的射线，如图a,b则它们组成的角为二面角的 平面角，范围为[0 °,180 °] 定义法：如果能直接过棱l上一点，找到与棱l垂直的两条线，则直接找到了二面角。 目标：找与棱l垂直的两条线 1．（多选）（2025·广西·模拟预测）已知 ， ， 分别是正四面体 的棱 ， ， 的中点， 则下列结论正确的有（ ）． A． 平面 B． C．平面 与平面 夹角为 D．平面 平面 2．（多选）（2025·江苏苏州·三模）已知四棱锥 中， 平面 ，四棱 锥 的外接球的球心为 ．记四棱锥 的体积分别为 ，三棱锥 的体积分别为 ，则下列说法中正确的有（ ） A． B． C． D．若二面角 的平面角大小为 ，则 的最大值为 3．（2025·甘肃白银·二模）如图，在直三棱柱 中， ， ，E 为 的中点，平面ABE 与直线 交于点G． (1)求四棱锥 的体积； (2)求平面ABEG 与平面CEG 所成角的正弦值． 题型05 三垂线法求二面角 解｜题｜策｜略 三垂线法：当无法直接找到与棱l垂直的两条线时，我们可以考虑构造我们的二面角。首先从平面α找一 点P点，过P点作平面β的垂线PA（注意在作这个垂线的时候，通常先找与平面β垂直的平面，在平面 上作垂线），然后过A或者P作棱的垂线交于B点，连接成直角三角形PAB，即可求二面角的平面角。 1．（2025·湖南长沙·一模）已知三棱锥 满足 ，且其体积为 ，若点 （正投影在 内部）到 的距离相等，则二面角 的正弦值为 . 2．（2025·江西新余·模拟预测）在三棱锥 中， 且 ，底面 是等边三角形， 平面 平面 ，若 ，则平面 与平面 所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 3．（2025·福建福州·模拟预测）如图，在四棱柱 中，底面 和侧面 均为正方 形. (1)证明: ； (2)若 ，求二面角 的余弦值. 4．（2025·浙江·三模）如图，已知四棱台 的体积为 ，底面 为等腰梯形， ， ， ， 平面 ，且 与 相交于点E. (1)证明： ； (2)求平面 与平面 的夹角的余弦值. 5．（2025·福建福州·模拟预测）如图，在正四棱柱 中， 为 上的点， . (1)若 ，证明： ； (2)若 平面 ，求二面角 的正切值. 题型06 垂面法求二面角 解｜题｜策｜略 垂面法: 若题目条件中能找到棱l垂直的平面，则找出该平面与α ，β的交线即可。若题目中有与棱l垂直 的直线，如图如果AP与棱l垂直，则可以构造出与棱l垂直的平面，即可求出二面角的平面角。 1．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，在等腰梯形 中， ，点 为 的 中点，现将该梯形中的 沿线段 折起，形成四棱锥 ，且直线 与平面 所成角的正 弦值为 . (1)在四棱锥 中，求证： ； (2)求点 到平面 的距离； (3)求二面角 的大小. 2．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）如图，多面体 中，四边形 是平行四边形， ， ， ， ， 在底面 的射影为 的中点 ． (1)证明： 平面 ； (2)求二面角 的平面角的余弦值． 3．（2025·山西·三模）如图，在三棱柱 中，所有的棱长均相等， 是 的中点， 在上底 面 的投影为 的重心 ． (1)证明： ； (2)求平面 与平面 的夹角的正弦值． 4．（2025·河南·模拟预测）如图，在正三棱锥 中， ， 为 的中点. (1)求证： ； (2)求二面角 的余弦值. 题型07 射影面积法求二面角 解｜题｜策｜略 射影面积法：已知平面β内的△ABP在平面α的投影为△A ' B ' P '，则平面α和平面β所成的二面角的平面 角大小为θ，则cos θ = S△A ' B ' P ' S△ABP 射影面积法跟补形法都适用于两个平面没有明显的交线时，当更容易找到投影的图形且更容易求出时， 可以直接用射影面积，若射影面积法不太好计算时时，也可以考虑补全图形。 1．（2025·河北·模拟预测）如图正三棱柱 底面边长为2，高为6，点 分别在棱 A A ' ,B B ' ,C C '上，且 ，若平面 恰好将正三棱柱 体积均分，则平 面 和平面 夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 2．（2025·河北·模拟预测）等腰梯形 中， ， ， ，沿对角线 将 翻折形成三棱锥 （点 翻折到点的位置），点、 分别为棱 ， 的中点. (1)证明： 平面 ； (2)当直线 与直线 成 角时，求四棱锥 的体积； (3)在翻折过程中求平面 与平面 夹角余弦值的取值范围. 3．（2025·上海黄浦·一模）如图，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形， 平面BEC， ， ，G，F 分别是线段BE，DC 的中点． (1)求证： 平面ADE； (2)设平面AEF 与平面BEC 的交线为l，求二面角 的余弦值． 4．（2025·浙江嘉兴·一模）如图，在正三棱柱 中， 为 的中点，点 在棱 上， . (1)证明： 平面 ； (2)求平面 与平面 夹角的余弦值. 5．（2025·全国二卷·高考真题）如图，在四边形 中， ，F 为CD 的中点，点E 在AB 上， ， .将四边形 沿 翻折至四边形 ，使得面 与 面EFCB 所成的二面角为 ． (1)证明： 平面 ； (2)求面 与面 所成的二面角的正弦值． 题型08 补形法求二面角 解｜题｜策｜略 补形法：当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线 （称为补形），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．补形常用的两种方式：延长相交、作平行线。 1．（多选）（2025·浙江温州·一模）如图，圆台的上下底面半径分别为1 和2，P，Q 分别为上下底面圆周 上的点， 为圆台的轴截面且 ，则（ ） A． 为母线 B． C． D．平面 与平面 的夹角等于30° 2．（2025·四川宜宾·三模）如图，三棱台 中， 平面 ， 分别是棱 的中点. (1)证明：平面 平面 ； (2)已知三棱台 的体积大于2，且直线 与平面 所成的角的正弦值为 ，求平面 与平面 所成角的余弦值. 3．（2025·河北张家口·三模）如图，在正三棱柱 中， ， ，且 ， 满足 ， ，过 ， ， 三点的平面 与棱 交于点 ，若 . (1)求 的值； (2)求异面直线 与 所成角的余弦值； (3)求平面 与平面 夹角的正切值. 4．（2025·广东佛山·二模）如图，将一个棱长为2 的正方体沿相邻三个面的对角线截出多面体 ，E 是 的中点.过点C，E， 的平面 与该多面体的面相交，交线围成一个多边形. (1)在图中画出该多边形（说明作法和理由），并求其面积； (2)求平面 与平面 的夹角的余弦值. 题型9 线面角与二面角综合 解｜题｜策｜略 线面角与二面角一起出现时，通常情况下会共高线，这时，线面角与二面角的正弦值就会有关系。通过 这个给出其中一个，求另外一个。 1．（多选）（2025·全国·模拟预测）如图，平面四边形 满足 ， 与 交于点，若将 沿 翻折，得到三棱锥 ，已知二面角 的平面角为， 直线 与平面 所成的角为， ，则下列说法正确的是（ ） A．在翻折过程中， 与 始终垂直 B．在翻折过程中， 始终成立 C．在翻折过程中，的最大值为 D．当平面 平面 ，则三棱锥 为正三棱锥 2．（多选）（2025·上海虹口·一模）如图，已知点 在表面积为 的球的球面上，且 ， 平面 ，点为 中点，当二面角 的大小为时，则有（ ） A．异面直线 和 所成角的大小为 B．直线 与平面 所成角的大小为 C． D． 的面积为 3．（多选）（2025·广东广州·模拟预测）如图，在三棱锥 中，侧棱OA，OB，OC 两两垂直，且 ，P 为底面ABC 内一动点（含边界），点P 到三个侧面的距离分别为 ， ， ， 直线OP 和三条侧棱所成的角分别为 ， ， ，直线OP 和三个侧面所成的角分别为α，β，γ，则 （ ） A．该三棱锥的外接球半径为 B． C． D．当 时，P 点的轨迹长度为 4．（2025·云南楚雄·模拟预测）如图，在三棱柱 中， 为正三角形， 为等腰三角形， 且 为底边， 为 的中点， ，平面 平面 . (1)证明： 平面 ； (2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求平面 与平面 的夹角的余弦值. 5．（2025·广西柳州·三模）如图，已知四棱锥 中，顶点 在底面 上的射影 落在线段 上（不含端点）， ， ， ， . (1)求证： 平面 ； (2)若二面角 的大小为 ，直线 与平面 所成角为 ，求 的值. 题型10 线面角、二面角与圆锥曲线 解｜题｜策｜略 线面角、二面角与圆锥曲线结合时，属于综合性较强的创新题或压轴题。利用圆锥曲线的定义来判断动 点轨迹，根据轨迹来求线面角、二面角。 1．（多选）（2025·山东济南·模拟预测）已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是边长为3 的正方形，点 在 底面ABCD 内（包含边界），且直线 底面ABCD，记直线PA 与底面ABCD 所成角为，PB 与底面 ABCD 所成角为，二面角P-CD-A 的平面角为，则（ ） A．若 ，则 在AB 的垂直平分线上 B．若 ，则 的轨迹长度为 C．若 ，则 的轨迹为抛物线的一部分 D．若 ，则当 与 面积之比为 时， 2．（2025·上海·三模）已知长方体 中， 为矩形 内一 动点，设二面角 为，直线 与平面 所成的角为，若 ，则三棱锥 体积的 最小值是 . 3．（2025·广东·模拟预测）在三棱锥 中， ，直线 与平面 所成的角 为，则三棱锥 体积的最大值为 . 4．（2025·上海宝山·二模）空间中有相互垂直的两条异面直线 ，点 ，且 ，若 ，且 ，则二面角 平面角的余弦值最小为 . 5．（多选）（2025·湖北黄冈·二模）在三棱锥 中， ， ， ， ，且 ，则（ ） A．点的轨迹为椭圆 B．当平面 固定时，点的轨迹对应曲线的离心率为 C．当二面角 为 时， 的面积与 的面积之和有最大值 D．二面角 的余弦值的最小值为 （建议用时：30 分钟） 1．（2025·广东·模拟预测）在正方体 中， 分别为棱 的中点，则异面直线 与 的夹角为（ ） A． B． C． D． 2．（2025·江西宜春·一模）如图，直线，，相互平行，且两两之间的距离为1，平面 平面 ，且平面ABC 与平面 之间的距离为3，直线与平面ABC 所成的角为，则三棱柱 的体积为（ ） A． B． C． D． 3．（2025·江西景德镇·模拟预测）在正方体 中，为线段 上的动点，则直线 与 所成角的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．（多选）（2025·辽宁盘锦·三模）在正三棱柱 中，点E 为棱 的中点，点F 为棱 的 中点，则下列说法正确的是（ ） A． 平面 B．若 ，则 C．若 ，则直线 与 所成角的余弦值为 D．若 ，则平面 与平面 的夹角为 5．（多选）（2025·江苏南通·模拟预测）在棱长为2 的正方体 中，是其表面上一点，且 与 所成的角为，下列说法正确的是（ ） A．若是 的中点，则 B．若在线段 上，则 C．若 ，则的轨迹长度是 D．若 ，则不在面 上 6．（2025·湖北·模拟预测）已知长方体 中， ， ，点是底面 上的一个动点.设平面 与平面 的夹角为，平面 与平面 的夹角为，记 表示，中的最大者， 表示，中的最小者，若 ，则（ ） A． B． C． D． 7．（多选）（2025·广东清远·二模）如图，在直棱柱 中，底面 是边长为2 的菱形， ， ，点为 的中点，动点在侧面 内（包含边界），则下列结论正确的是 （ ） A． B．平面 与平面 所成角的余弦值为 C．若 ，则点轨迹的长度为 D．若点 在直线 上，则 的最小值为 8．（2025·山西晋城·模拟预测）已知点是边长为的菱形 所在平面外一点，且点在底面 上 的射影是 与 的交点，已知 ， 是等边三角形. (1)求证： ； (2)求二面角 的平面角的正切值； (3)若点是线段 上的动点，问：点在何处时，直线 与平面 所成的角最大?求出最大角的正弦 值，并说明点此时所在的位置. 9．（2025·湖南邵阳·模拟预测）如图，在三棱台 中， ， ， ， 为线段 上一点， . (1)求证：点 为线段 的中点； (2)若直线 与直线 所成角的正切值为5， ，求证：平面 平面 . (3)设二面角 的大小为 ，直线 与平面 所成角的大小为 ，求 关于 的函数表达式， 并求 的取值范围. 10．（2025·江苏·模拟预测）如图，在正三棱柱 中， ， 分别是 和 的中点. (1)证明：平面 平面 ； (2)若 ，平面 与平面 夹角的余弦值为 ，求该三棱柱的体积.
