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专项 03 空间向量与立体几何
参考答案
题型01 空间几何中的线面角
析典例 · 建模型
1．【思路分析】（1）在 中，由余弦定理可得 ，从而可得 ， ，即可得
证；
（2）建立空间坐标系，求直线 的方向向量和平面 的法向量，结合空间向量夹角公式求解即
可.
【规范答题】（1）由题意可知 是边长为2的正三角形，
在 中，由余弦定理可得
，所以 ，
所以 为直角三角形，且 ，
所以 ，
同理可得 ，
因为 平面 ， ，
所以直线 平面ABC；
（2）取 中点 ，连接 ，则 ，
又 ，所以 ，由（1）可知直线 平面 ， ，
以 为原点，分别以射线 ， 为 ， 轴的正半轴，建立空间坐标系，如图所示：
则 ， ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，
则有 ，
令 ，可得 ，
又因为 ，
所以 ，
所以AC与平面 所成角的正弦值为 .
2．【思路分析】（1）依据 平面 得 ，结合 ，利用线面垂直判定定理，证得结
果；
（2）（ⅰ）建立空间直角坐标系，设 ，依据异面直线所成角公式求解 后结合 长度得
；
（ⅱ）设 求出平面 法向量，计算线面角正弦值表达式，结合参数范围求取值范围．
【规范答题】（1）因为 平面 ， 平面PAD，
所以 ，又因为 平面ABCD， 平面ABCD， ，
所以 平面ABCD．
（2）（i）由（1）可知 平面ABCD，所以AB，AD，AP两两垂直，
故以A为原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
依题意可得 ，
所以 ，
设 ，
则 ，
因为异面直线AF与PB所成角为60°，
所以 ，
解得 ，所以 ．
（ⅱ）设 ，
则 ，
，
设平面AEF的法向量为 ，则 ，即 ，取 ，得 ，
因为 ，所以 ，即 ，解得 ，
所似 所以
因为M在线段PB上，所以 ，
则 ，
设平面MAD的法向量 ，则 即
取 ，得 ，
设EG与平面MAD所成角为 ，
则 ，
由于 ，所以 ，所以
即EG与平面MAD所成角的正弦值的取值范围为
破类题 · 提能力
1．【答案】(1) ；(2)
【详解】（1）由题意可知圆锥的底面半径为2，体积为 ，高为 ，
则 ，解得 ，则母线长为 ，故圆锥的表面积为 ；
（2）由于 为圆锥的高，所以 ,
且 ，所以分别以 的方向为 轴， 轴， 轴的正方向，建立如图所示的空间直
角坐标系.
， ， ， ，所以 ，
设平面 的法向量为 ，
所以 ，
所以直线 与平面 所成的角的正弦值为 .
2．【答案】(1)证明见解析
(2)2
【详解】（1）证明：因为 ， 是分别以 ， 为斜边的等腰直角三角形，
所以 ， ，且 平面 ， 平面 ， ，
所以 平面 ，所以 .
因为四边形 是菱形，所以 .
因为 平面 ， ，所以 平面 ，所以 .
（2）由（1）可知 平面 ，且 ，所以 和 是等边三角形，
取棱 的中点 ，连接 ，易证 两两垂直，
故以A为原点， ， ， 的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐
标系.设 ， ， ，则 ， ， ， ，
则 ， ， ，
所以 .
设平面 的法向量为 ，则
令x= ，得 .
所以 = = ，
整理得 ，解得 或 (舍去)，所以 =2.
题型02 空间几何中两平面的夹角
析典例 · 建模型
1．【思路分析】（1）构造平面，证明面面平行，利用面面平行的性质定理即可证明结论.
（2）取 的中点 ，以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求出平面 与平面 的
法向量即可求解.
【规范答题】（1）取 的中点R，连接PR、RQ，由P为 的中点知 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
由M为 的中点且 ，知 ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
因为 ， 平面 ，所以平面 平面 .
又因 平面PRQ，所以 平面 .
（2）取 的中点 ，由 知 ，
以 为坐标原点， 、 所在的直线分别为 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为 ， ，所以 ，
则 ， ， ， ， ， ，所以 ，
由 得 ，所以 .
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
取 ，则 ， ，
所以平面 的一个法向量为 .
因为平面 的一个法向量为 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，则 ，
即平面 与平面 夹角的余弦值为 .
破类题 · 提能力
1．【答案】(1)证明见解析
(2) ．
【详解】（1）因为 ， 为 中点，所以 ，
又因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ．
（2）M为BD中点，在等腰 中， ，
因为点 到平面 的距离为2， ，所以 平面 ，
建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ，
， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
即 ，令 ，则 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
即 ，令 ，则 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，则 ，
故平面 与平面 夹角的余弦值为 ．
2．【答案】(1)
(2) ；
【详解】（1）因为 ， 平面 ， 平面 ，则 平面 ，
且 平面 ，平面 平面 ，所以 ，
又因为 ， ， ， 平面 ，可得 平面 ，
以 为坐标原点， 分别为 轴，过点 垂直于平面 的直线为 轴，建立空间直角坐标系，
设 ，则 ， ， ，
可得 ，则 ，
可得 ， ， ，
则 ， ，
由题意可知：直线 的一个方向向量为 ，且 ，
设 ，则 ，
因为 ，则 ，可得 ，
则 ，即 ，
则 ，
令 ，则 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以线段BQ长度的最小值为 .
（2）由（1）可知： ， ，
由题意可得： ，解得 ，即 ，则 ， ， ， ， .
（ⅰ）因为 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
设 ，则 ，可得 ；
设平面 的法向量为 ，则 ，
设 ，则 ，可得 ；
则 ，
所以平面PCD与平面QCD夹角的余弦值为 ；
（ⅱ）设三棱锥 的外接球的球心为 ，半径为 ，则 ，
即 ，解得 ，
可得 ，所以三棱锥 的外接球的表面积为 .
题型03 空间几何中的二面角
析典例 · 建模型
1．【思路分析】（1）根据面面平行的性质即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，确定相关点的坐标，设三棱锥 的外接球的球心为 ，根
据 列方程求出 的坐标，即可求得外接球半径，则可求答案；
（3）求出点P 的坐标，进而求出平面 的法向量，结合二面角 的余弦值，列式求解，
即可得答案.
【规范答题】（1）由题意知过点M、N、C的平面与直线 交于点 ，故 共面，
因为直四棱柱 中，平面 平面 ，
且平面 平面 ，平面 平面 ，
故 ；
（2）由于四边形 为菱形， ，故 ，
作 于E，则 ， ；
以D为坐标原点， 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，
时， ，则 ，
连接 并延长交 于F，连接 交 即为P点，
结合题意知 ，故 ，则A为 的中点，
又因为 ，故 ，而 ，
故 为同一点，则 ，
,设三棱锥 的外接球的球心为 ，则 ，
即 ，
解得 ，故三棱锥 的外接球的半径为 ，
故三棱锥 的外接球的表面积为 ；
（3）由于 ，则 ，
而 ，故 ，
结合 ， ，设 ，则 ，
又 ，而 ,
结合 三点共线，可得 ，则 ，则 ，
， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
即得 ，令 ，则 ，
即 ，
平面 的法向量可取为 ，
由于二面角 的余弦值为 ，故 ，
结合 ，解得 .破类题 · 提能力
1．【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接 、 ，推导出 平面 ，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；
（2）取 的中点 ，连接 、 ，可知二面角 的平面角为 ，设 ，以
点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 、 轴，平面 内过点 且垂直于 的直线为 轴
建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得 的值.
【详解】（1）连接 、 ，如图所示：
因为 和 均为等边三角形，所以 ，
因为 为 的中点，所以 ， ，
因为 ， 、 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 .
（2）取 的中点 ，连接 、 ，如图所示，
因为 ， 为 的中点，则 ， ，
所以二面角 的平面角为 ，设 ，
因为 ， 、 平面 ，所以 平面 ，
以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 、 轴，平面 内过点 且垂直于 的直线为
轴建立空间直角坐标系，
则 、 、 、 ，
， ，
由题意可得 ，解得 （舍去）或 ，故二面角 的余弦值为 .
2．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）如图：连接 ，交 于 ，再连接 ， .
因为四边形 为等腰梯形，且 ， ，
所以四边形 为菱形，所以 .
根据翻折的性质，可得 ， ，
又 平面 ， ，所以 平面 .
又 平面 ，所以 .
又 ，所以 .
（2）以 为原点， ， 所在的射线为 ， 轴的正方向，向上的方向为 轴的正方向建立如图
所示的空间直角坐标系.
因为 ， ，所以 为二面角 的平面角，所以 .
所以 .
又 ，所以 ， .所以 ， ， ， .
因为 为 的重心，所以 .
由 ，得 .
所以 ， ， ， .
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，则 ， .
所以 .
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，则 ， .
所以 .
所以 .
所以 .
故平面 与平面 所成二面角的正弦值为 .
题型04 空间距离问题析典例 · 建模型
1．【思路分析】（1）连接 ，交 于点 ，连接 ，即可证明 ，从而得证；
（2）取 中点 ，连接 ，则 ，由面面垂直的性质得到 面 ，过点 作
交 于 ，即可得到 ，建立空间直角坐标系，设 ，根据线面角的
正弦值求出 ，再由空间向量法求出点到直线的距离.
【规范答题】（1）连接 ，交 于点 ，连接 ，
因为四边形 为平行四边形，所以 是 的中点，又 为DF的中点，
则 ，
又因为 面 ， 面 ，所以 面 ；
（2）取 中点 ，连接 ，因为 ，所以 ，
又因为面 面 ，面 面 面 ，
所以 面 ，过点 作 交 于 ，因为四边形 为直角梯形， ，
，
所以 ，根据题意，建立如图所示空间直角坐标系.
则有 ，
设 ，则 ， ，
所以 ， ， ，
设平面 的法向量为 .
则 ，令 ，则 ，即 .根据题意 ，解得 或 （负值已舍去）.
又因为 . 所以 ， ，
所以 ，所以 ， ， ，
所以 ，
所以点 到 的距离为 .
2．【思路分析】（1）取 中点 ，连接 ，设 ，可得 ， ，由线
面垂直的判定定理和性质可证；
（2）过 作 ，可得 平面 ， ，以点 为原点， 为 轴， 为 轴，
过 作 的平行线为 轴建立如图空间直角坐标系 ，求出平面 的一个法向量
，利用点到面的距离可得 .
【规范答题】（1）取 中点 ，连接 ，设 ，
因为 ，
所以四边形 是正方形，所以 .
连接 ，因为 为 的中点，所以 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 .
（2）由（1）可知 平面 ， 平面 ，所以平面 平面 .
过 作 ，垂足为 ，又因为平面 平面 平面 ，所以 平面 ，
所以 在底面 的射影在直线 上，
所以直线 与平面 所成角是 ，所以 ，
因为正方形 中 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，所以
所以
以点 为原点， 为 轴， 为 轴，过 作 的平行线为 轴建立如图空间直角坐标系 ，
则 ，
所以 ，
设平面 的一个法向量
则 ，所以 ，取 ，则
所以点 到平面 的距离
破类题 · 提能力
1．【答案】(1)证明见解析；(2) ；
(3)
【详解】（1）因为四棱锥 的底面 是正方形， 平面 ，
所以以点D为坐标原点， 所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ，
所以 ， ．
设平面EFD的法向量为 ，
则 令 ，则 ．
又因为 ，所以 ，即 ，
由 平面 ，得 平面 ．
（2）设平面 与平面 的夹角为θ，
平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为 ，
所以 ，则平面 与平面 的夹角的余弦值为 ．
（3） ， ，
则 ，
则求 到直线 的距离为 .
2．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）取PB中点 ，连接 ，
分别为 的中点，
且 ， 且 ，
，且 ，则四边形 为平行四边形，
， 平面 平面 ，
平面 .
（2）取AB中点 ，连接OP，OD，BD
因为 ，所以 ，
∵平面 平面 ， 面 ， 为交线，
平面 ， ，
为正三角形， ，
以 为原点，分别以OB，OD，OP为 ， ， 轴建系，如图，设 ，
则 ， ， ， ， ，
所以 ，
易知平面PAB的法向量可取 ，
设平面PAE的法向量为 ，
因为 ，令 ，可取 ，
所以 ，解得 ，
所以 ， ， ，
设平面PBC的法向量为 ，
因为 ，令 ，可得 ，
所以 .
题型05 空间几何中的折叠问题析典例 · 建模型
1．【思路分析】（1）在 上取一点 ，使得 ，根据题意，分别证得 平面 ，
平面 ，结合面面平行的判定定理，证得平面 平面 ，即可证得 平面 .
（2）以 为原点，建立空间直角坐标系，设 ，分别求得平面 的法向量
和向量 ，结合向量的夹角公式，即可求解.
【规范答题】（1）证明：在 上取一点 ，使得 ，
因为 分别在 和 上，且 ，
在 中，可得 ，所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
在 中，可得 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 ，且 平面 ，所以平面 平面 ，
又因为 平面 ，所以 平面 .
（2）解：因为 ，且 ， 平面 ，
所以 平面 ，则 即为二面角 的平面角，所以 ，
以 为原点，以 所在直线为 轴，以过点 垂直于平面 的直线为 轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，
设 ，可得 ，
则 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ，所以 ，又由 ，可得 ，
设 ，
可得 且 ，
解得 ， ，所以 ，
设 与平面 所成的角为 ，其中 ，
则 ，
所以 ，
所以 与平面 所成的角的余弦值为 .
破类题 · 提能力
1．【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）由 ， ，得四边形 为平行四边形，则 ，
而 平面 ， 平面 ，则 平面 ，
又平面 平面 平面 ，所以 .（2）由 ，得 ，即得 ，
由四边形 是正方形，得 ，则 ，
而 平面 ，所以 平面 .
（3）由（2）得，直线 两两垂直，以 为原点，直线 分别为 轴建立空间
直角坐标系，
则 ， ，
设平面 的一个法向量 ，则 ，取 ，得 ，
设平面 的一个法向量 ，则 ，取 ，得 ，
因此 ，由图形知二面角 的大小为钝角，
所以二面角 的余弦值为 .
2．【答案】(1)证明见解析
(2)（Ⅰ） （Ⅱ）
【详解】（1）因为 ， ， ，所以四边形 为矩形，
连接 交 于点 ，连接 ，则点 为 中点，又 为 中点，所以 是 中位线，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
（2）（Ⅰ）因为 ， 平面 ，平面 平面 且交于 ．
所以 平面 ，而 平面 ，所以 ，
又 ，
故以 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系如图．
则 ， ， ， ， ， ，
设 ，则 ，
又 ，
所以 ，即 ，所以 ，
则 ， ，
设平面 的法向量为 .则 ，即 ，令 ，则 ， ，
所以 .
又 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
所以 即为平面 的一个法向量.
设二面角 的平面角为 ，则 ，
所以 ，
即
，
解得 或 （舍去，因为 ），故： ．
（Ⅱ）所求外接球球心 在过点 垂直于平面 的垂线上，则 .
设 ，又 ，则 ， ，
所以 ，
即 ，整理得 ，解得 ，
所以 ，所以 ，故 ．
题型06 空间几何中的动点问题
析典例 · 建模型
1．【思路分析】（1）先由面面平行的判定定理证明平面 ∥平面 ，再由面面平行的性质定理证
明 ∥ ；
（2）由面面垂直的性质定理证明 平面 ，建立空间直角坐标系，设棱 上是否存在点G，
使得平面 与平面 所成角为 ，且 ，由面面角的向量求法列出关于 的方程，求解可
得.
【规范答题】（1）若 ∥ ， 平面 ， 平面 ，所以 ∥平面 ；
若 ∥ ， 平面 ， 平面 ，所以 ∥平面 .
因为 平面 ，所以平面 ∥平面 .
又平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 ∥ .
（2）因为 ，所以 ，所以 .
因为平面 ⊥平面 ，平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
过 作 ，垂足为 ，则 .
所以 .
如图所示，以点 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系 .
则 .
所以 .
设：在棱 上是否存在点G，使得平面 与平面 所成角为 ，且 ，则 ，所以 .
设平面 的法向量为 ，
则 .
令 ，则 .
所以平面 的法向量为 .
由 平面 ，知平面 的一个法向量为 .
所以 ，
即 ，化简得 ，解得 或 .
故在棱 上存在点G，使得平面 与平面 所成角为 ，此时 或 .
破类题 · 提能力
1．【答案】(1)证明见解析；
(2)不存在，理由见解析.
【详解】（1）因 底面 底面 ，则 ，
又 平面 ，则 平面 ，
又 平面 ，则平面 平面 .（2）以 为原点，建立空间直角坐标系，如图．
由 ，设 ，于是 ，
其中 ，
则 ．
由 ，可得 ．
假设存在一个点 ，使得点 到点 , , , 的距离都相等，
则 ，由 ，
可得 ．
又 ，
其判别式 ，故方程无解，
即线段 上不存在一个点 ，使得点 到点 , , , 的距离都相等．
2．【答案】(1)证明见详解
(2)存在点 满足条件，
【详解】（1）取 的中点 ，连接 ，如图：
因为 ， 是 的中点，所以 ，在 中， ， ，所以 是等边三角形，
因为 是 的中点，所以 ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 .
（2）因为 ，易得 ，且有 ，则 ，
即 ，则 两两垂直，
以 为原点， 为 轴正方向建立空间直角坐标系，如图：
易得 ，
在线段 上取点 ，设 ，即 ，
则 ，
平面 的法向量为 ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
则有 ，不妨设 ，则 ，由题意得 ，解得 或 （舍），
故存在点 满足条件，且 .
（建议用时：60分钟）
刷模拟
1．【答案】(1)证明见解析；
(2)
【详解】（1）因为 平面 ， 平面 ，所以
又平面 平面ABC，平面 平面 ， 平面 ，
则 平面ABC；
（2）以 为原点，AB所在直线为 轴，AC所在直线为 轴，PA所在直线为 ，建立空间直角坐标系
，
则 ，
设平面 的法向量为 ，，
得 ，取 ，
设平面 的法向量为 ，
得 ，取 ，
又 ，设MB与平面 所成角为 ，则 ．
故直线MB与平面 所成角的正弦值为 .
2．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为 ， ，故 ，故 .
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，故 平面 ，而 平面 ，
故 .
（2）由（1）可得 平面 ，而 ，
故可建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，
因为 ，
故 ，所以 ，故 ，
而 ，设平面 的法向量为 ，
则 即 ，取 ，
故 到平面 的距离为 .
3．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）在 中， ，
由余弦定理可得： ，
则 ，所以有 ，则
由平面 平面 ，平面 平面 ，
且 ， 平面 ，则 平面 ，
又 平面 ，则 .
（2）取 中点分别为 ，连接
由 为正三角形知， ，
结合（1）中 平面 ，由 ，可知 平面 ，则 两两垂直，
如图所示，以 为原点， 分别为 轴， 轴， 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则 ，
可得
设 ，则 ，且 ，
可得
由 ，解得 或 （舍去），
则 ，且
故点 到直线 的距离
4．【答案】(1)证明见解析；
(2) .
【详解】（1）由 底面 ， 底面 ，则 ，
又底面都是正方形，则 ，故 两两相互垂直，
以 为原点，分别以 、 、 所在直线为 、 、 轴，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ， ，设 ， ，则 ， ， ，
因为 ，故 ，即 ，
因为点 在棱 上，所以 ， ， ，
所以 ，解得 ，即 ，
而 的中点坐标为 ，所以点 是棱 的中点；
（2）设 ，
则 ，
即 ，
由题意 ，可得 ，
所以 ，则 ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，得 .
由平面 的一个法向量 ，则 ，所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
5．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）取 中点 ，连接 ， ，
因为 是 中点，所以 ， ，
又在直三棱柱 中， ， ， 是 中点，
所以 ， ，所以四边形 是平行四边形，
所以 ，因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
（2）取 中点 ，连接 ， ，
由 是 中点，所以在直棱柱 中， 平面 ，
因为 ，所以 ，
所以 ．
以 为坐标原点，以 所在的直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
设 ，则 ，所以 ．
设平面 的一个法向量为 ，
所以 ，令 ，则 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，则 .
因为平面 与平面 夹角的余弦值为 ，
所以 ，
解得 ，所以 ．
6．【答案】(1)证明见解析
(2)（i） （ii）
【详解】（1）证明： 、 分别为线段 、 的中点，有 ，
因为 ，所以 .
又因为平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，所以 平面 .
平面 ，所以有 ，
而在下底面里， 是直径，所以 ，
， 平面 ，
所以 平面 .（2）由（1）可知， 是平面 的一个法向量，
因为满足要求的点 有且只有一个，所以平面 与上底面圆周有且只有一个公共点，
所以上底面圆周在下底面的射影图形与 相切于点 ， 底面 ，即上底面圆的半径
，
（ⅰ）由（1）可知， 为等腰直角三角形，
又 ，所以易得， ， ，即圆台高 ，
， ， ，
因为三棱锥 四个面皆为直角三角形，可知， ，
即 为三棱锥 外接球的球心，所以 ，
所以 .
（ⅱ）连接 ，如图建立空间直角坐标系，则有 ， ， ，
， ，
设 ，则 ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，则有 ，取 ，解得 ，即 ，
设平面 的一个法向量为 ，则有 ，
取 ，解得 ，即
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 ，
设 ，则前式化简得： ，
解得 或 （舍），
所以点 到平面 的距离为：
.
7．【答案】(1)证明见解析
(2)点 位于线段 靠近 的三等分点处.
【详解】（1）因为 ， 的中点为 ，所以 ，
又因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
根据面面垂直的性质可得 平面 .
（2）取 的中点为 ，连接 ，则 ，
由图1直角梯形可知， 为正方形，
， ， ，
又 ， ， .
由（1） 平面 ，可知 ， ， 两两互相垂直，
分别以 ， ， 为 ， ， 轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，则 ， ， ， ，
因为 是 中点，由中点公式可得 ，
，设 ，∴ ，
， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，
取 ，则 .即平面 的法向量为 ，
由 平面 ，取平面 的法向量 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，则
，
化简得 ，解得 或 （舍），
所以，线段 上存在点 ，使得平面 与平面 夹角的余弦值为 ，
点 位于线段 靠近 的三等分点处.
8．【答案】(1) ；(2) ；
(3)表面积为 ，体积为 .
【详解】（1）四棱锥 的底面为正方形，取 中点 ，连接 ，过 作 ，
则 ，由 ，得 ，由平面 平面 ，
平面 ，得 平面 ，则直线 两两垂直，
以点 为原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系，
则 ，
，设平面 的一个法向量 ，
则 ，令 ，得 ，
而平面 的一个法向量 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ，
所以平面 与平面 的夹角的正切值为 .（2）由（1）得 ， ，平面 的一个法向量 ，
令 ，
则 ，设CF与平面 所成的角为 ，
因此
，
所以CF与平面 所成角的正弦值的范围是 .
（3）设四棱锥 的外接球球心为 ，则球半径 ，
因此 ，
解得 ，
所以四棱锥 的外接球表面积为 ，
体积为 .
9．【答案】(1)说明见解析.
(2)坐标系见解析，椭圆方程为 （依赖于坐标系）.
(3)
【详解】（1）曲线 W 是椭圆的几何理由：
可将“ 的点 ”视作以 为顶点、 为轴的圆锥面上的点，
圆锥轴截面的半顶角为 ，
点 ，点 的轨迹为此圆锥面与平面 的交线.因为已知直线 与平面 垂直，垂足为 ， ，所以 ，
因为在直角三角形 中， ， ，点 在线段 上， 为 的平分线，
所以 与平面 所成的角为 ， ，
若圆锥的轴 与平面 所成角（ ）大于圆锥轴截面的半顶角（ ），
按圆锥曲线的判定规律可知该截线必为椭圆.
（2）可取空间直角坐标系：令 为原点 ，令平面 为平面 ，
由于 平面 ，可令 过点 平行于 的直线为 轴，
又知 中， ， ，
因为点 在 上且 平分 ，
由角分线定理得 ，
则 ， .
设平面 内任意点 坐标为 .
向量 ， .
由 可用向量夹角公式 ，
所以 ，
化简可得 ，所以曲线 的方程为 ；（3）四面体 的底面可取三角形 (其平面即 )，
面积为 .
若 在上一步所求椭圆上，则其到平面 的距离即 .
四面体体积 ，
要使 最大，需在椭圆上使 取最大值.
下面用两种方法计算求解.
法一：由椭圆方程可知，当 时， 最大，此时 ，
取上顶点 .
取平面 的一个法向量为 ，
由 与 可求出 与 ，
平面 的法向量 ，
由 ，得 ，令 ，则 ，
所以平面 的一个法向量为 ，
设平面 与平面 夹角为 ，
则 ，
所以平面 与平面 夹角的大小为 30°.
综上，当四面体体积最大时，平面 与平面 α 的夹角为 30°.
法二：由上可知， 又因为 ，所以 ，
因为 平面 ， ，
所以 平面 ，因为 平面 ，
所以 ，
由 ，平面 平面 ，
所以 即为平面 与平面 夹角，即平面 与平面 的夹角为 30°.
10．【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
【详解】（1）若平面OAB，OAC，OBC两两垂直时，
球面三角形ABC面积为整个球面面积的 ，
故 ．
（2）（ⅰ）证明：由余弦定理有 ，
且 ，消掉 ，
有 ．
（ⅱ）解：由AD是球的直径，则 ， ，
又 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，则 ，
而 平面 ，所以 平面 ．
由直线 与平面 所成的角分别为 ， ．
所以 ， ．
由 ，则 ， ， ， ，
由 ， ， ，
以C为坐标原点，以CB，CA所在直线为x，y轴，过点C作BD的平行线为z轴，
建立如图3所示的空间直角坐标系．
设 ， ，则 ， ， ， ，则 ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ，取 ，则 ， ，
所以 ．
设平面 法向量 ， ， ，
则 ，取 ，则 ， ，
所以 ．
要使 ，则 ，
所以 ，
即 ，解得 ．
作 平行于 交 于 ，显然 点到平面 的距离即为 到平面 的距离，到 的垂线设为 ，则 ，
由（2）可得 平面 ，而 平面 ，故
而 平面 ，所以 平面 ，
故 的最小值就是 点到平面 的距离的最小值，
而当 时， 的长度最小，故此时 点到平面 的距离的最小，
即此时截面面积最大，即 的坐标为 时截面面积最大.
在平面 中， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 。
取 ，而 ，
故球心O到平面 距离 ．
设平面 截球O的半径为r， ，
所以截面圆面积为 ．
刷真题
1．【答案】(1)证明见解析；
(2)（i）证明见解析；
（ii） .
【详解】（1）由题意证明如下，
在四棱锥 中， ⊥平面 ， ，
平面 ， 平面 ，
∴ ， ，∵ 平面 ， 平面 ， ，
∴ 平面 ，
∵ 平面 ，
∴平面 平面 .
（2）（i）由题意及（1）证明如下，
在四棱锥 中， ， ， ， ∥ ，
， ，
建立空间直角坐标系如下图所示，
∴ ，
若 ， ， ， 在同一个球面上，
则 ，
在平面 中，
∴ ，
∴线段 中点坐标 ，直线 的斜率： ，
直线 的垂直平分线 斜率： ，
∴直线 的方程： ，
即 ，
当 时， ，解得： ，
∴
在立体几何中， ，
∵
解得： ，
∴点 在平面 上.
（ii）由题意，（1）（2）（ii）及图得，
，设直线 与直线 所成角为 ，
.
∴
法2：
由几何知识得， ，
， ∥ ，
∴ ，
在Rt 中， ， ，由勾股定理得，
，
过点 作 的平行线，交 的延长线为 ，连接 ， ，
则 ，直线 与直线 所成角即为 中 或其补角.
∵ 平面 ， 平面 ， ，
∴ ，
在Rt 中， ， ，由勾股定理得，
，
在Rt 中， ，由勾股定理得，
，在 中，由余弦定理得，
，
即：
解得：
∴直线 与直线 所成角的余弦值为： .
2．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）设 ，所以 ，因为 为 中点，所以 ，因为 ，
，所以 是平行四边形， 所以 ，所以 ，
因为 平面 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 平面 ，所以 平面 ，
又 ， 平面 ，所以平面 平面 ，
又 平面 ，所以 平面 ．
（2）
因为 ，所以 ，又因为 ，所以 ，
以 为原点， 以及垂直于平面 的直线分别为 轴，建立空间直角坐标系.
因为 ，平面 与平面 所成二面角为60° ，所以 .
则 ， ， ， ， ，.
所以 .
设平面 的法向量为 ，则
，所以 ，令 ，则 ，则 .
设平面 的法向量为 ，
则 ，所以 ，
令 ，则 ，所以 .
所以 .
所以平面 与平面 夹角的正弦值为 .
3．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为 平面 ，而 平面 ，所以 ，
又 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
而 平面 ，所以 .
因为 ，所以 ， 根据平面知识可知 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
（2）如图所示，过点D作 于 ，再过点 作 于 ，连接 ，因为 平面 ，所以平面 平面 ，而平面 平面 ，
所以 平面 ，又 ，所以 平面 ，
根据二面角的定义可知， 即为二面角 的平面角，
即 ，即 ．
因为 ，设 ，则 ，由等面积法可得， ，
又 ，而 为等腰直角三角形，所以 ，
故 ，解得 ，即 ．
4．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由 ，
得 ，又 ，在 中，
由余弦定理得 ,
所以 ，则 ，即 ，
所以 ，又 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，故 ；
（2）连接 ，由 ，则 ，
在 中， ，得 ，
所以 ，由（1）知 ，又 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以 ，则 两两垂直，建立如图空间直角坐标系 ，
则 ，
由 是 的中点，得 ，
所以 ，
设平面 和平面 的一个法向量分别为 ，
则 ， ，
令 ，得 ，
所以 ，
所以 ，
设平面 和平面 所成角为 ，则 ，
即平面 和平面 所成角的正弦值为 .5．【答案】(1)证明见解析；(2)1
【详解】（1）以 为坐标原点， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，如图，
则 ，
，
，
又 不在同一条直线上，
.
（2）设 ，
则 ，
设平面 的法向量 ，则 ，
令 ，得 ，
，
设平面 的法向量 ，
则 ，
令 ，得 ， ，
，
化简可得， ，解得 或 ， 或 ， .
6．【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【详解】（1）连接 ，因为E为BC中点， ，所以 ①，
因为 ， ，所以 与 均为等边三角形，
，从而 ②，由①②， ， 平面 ，
所以， 平面 ，而 平面 ，所以 ．
（2）不妨设 ， ， ．
， ，又 ， 平面 平面
．
以点 为原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：设 ，
设平面 与平面 的一个法向量分别为 ，
二面角 平面角为 ,而 ，
因为 ，所以 ，即有 ，
，取 ，所以 ；
，取 ，所以 ，
所以， ，从而 ．
所以二面角 的正弦值为 ．
7．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) .
【详解】（1）连接 ，设 ，则 ， ，
，
则 ，
解得 ，则 为 的中点，由 分别为 的中点，于是 ，即 ，则四边形 为平行四边
形，
，又 平面 平面 ，
所以 平面 .
（2）法一：由（1）可知 ，则 ，得 ，
因此 ，则 ，有 ，
又 ， 平面 ，
则有 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 .
法二：因为 ，过点 作 轴 平面 ，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
在 中， ，
在 中， ，
设 ，所以由 可得： ，
可得： ，所以 ，则 ，所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，得 ，
令 ，则 ，所以 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，得 ，
令 ，则 ，所以 ，
，
所以平面 平面BEF；
（3）法一：过点 作 交 于点 ，设 ，由 ，得 ，且 ，
又由（2）知， ，则 为二面角 的平面角，
因为 分别为 的中点，因此 为 的重心，
即有 ，又 ，即有 ，
，解得 ，同理得 ，
于是 ，即有 ，则 ，
从而 ， ，
在 中， ，
于是 ， ，
所以二面角 的正弦值为 .
法二：平面 的法向量为 ，
平面 的法向量为 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
故二面角 的正弦值为 .
