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专项 03 概率
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【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测
【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式
【实战刷题·冲高分】精选高考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分
根据近五年北京卷考情，概率是必考大题，分值约13-17分．
命题趋势：概率在解答题中地位稳固，重点考查离散型随机变量的分布列与期望，以及结合实际问题
进行数据分析与决策
2026年预测：预计2026年概率模块难度加强，条件概率、全概率公式及贝叶斯公式将成为考查热点，
且与数列、函数等知识交汇融合的题型值得重点关注
备考核心：备考需重点突破条件概率、全概率与贝叶斯公式，熟练掌握二项分布和超几何分布的模型
识别与应用。
题型01 用样本估计总体
析典例 · 建模型
1．（2025·北京丰台·二模）为调查某校学生户外活动时长和视力的关系，某研究小组在该校随机选取了
100名学生，记录他们的日均户外活动时长（单位：小时）及近视情况，统计得到：日均户外活动时长在
区间 内有70人，近视率为 ；日均户外活动时长在区间 内有20人，近视率为 ；日均户外
活动时长在区间 内有10人，近视率为 ．注：近视率是指某区间内近视人数与该区间内人数的比值．
(1)估计该校日均户外活动时长不低于1小时的学生的近视率；
(2)用频率估计概率．从该校日均户外活动时长低于1小时的学生和不低于1小时的学生中各随机选取2名，
求这4名学生中恰有2名近视的概率；
(3)为响应国家降低青少年近视率的号召，该校提出“护眼有妙招，科学动起来”的口号，计划在以下2项
措施中选择1项实施．
措施一：每日给全校学生增设0.5小时晨跑活动；
措施二：每日给日均户外活动时长低于1小时的学生增设1小时户外活动．假设所有学生都能按要求参加
相应活动，记采取措施一后该校全体学生的日均户外活动时长的平均值为 ，采取措施二后该校全体学生
的日均户外活动时长的平均值为 ．用样本估计总体，试比较 与 的大小．（结论不要求证明）
研考点 · 通技法
总体（样本）方差和总体标准差
①一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为 ， ， ， ，总体平均数为 ，则总体方差 =
.
②加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k N)个，不妨记为 ， ， ， ，其中 出
现的频数为 (i=1，2， ，k)，则总体方差为 = .总体标准差：S= .
标准差与方差的统计意义
①标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离
散程度越小.
②在刻画数据的分散程度上，方差与标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差.
③标准差(方差)的取值范围为[0,+ ).若样本数据都相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性，则
标准差为0.反之，标准差为0的样本，其中的数据都相等.
破类题 · 提能力
1．（2025·北京·二模）网络搜索已成为人们获取信息或解决问题的重要手段.为研究某传染性疾病的未来流
行趋势，收集得到该疾病某月1号至30号的网络搜索量（单位：万次）如下：
时 1 4 5 9 10 11 12 13 14 15
2号 3号 6号 7号 8号
间 号 号 号 号 号 号 号 号 号 号搜
索 6.2 5.1 6.1 7.2 6.1 7.4 6.2 6.3 6.4 6.3 7.1 6.3 7.3 7.6 7.9
量
时 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
间 号 号 号 号 号 号 号 号 号 号 号 号 号 号 号
搜
索 8.5 11.2 10.3 9.1 9.6 10.1 10.6 10.9 8.8 10.4 8.2 11.5 12.1 12.8 13.6
量
用频率估计概率.
(1)从2号至14号中任取1天，求该天的搜索量比其前后两日的搜索量都低的概率；
(2)假设该疾病每天的搜索量变化是相互独立的.在未来的日子里任取3天，试估计这3天该疾病搜索量的数
据中既有高于10万又有低于8万的概率；
(3)记表中30天的搜索量的平均数为 ，去除搜索量中最大的3个和最小的3个后剩余24个搜索量的平均
数为 ，试给出 与 的大小关系.（结论不要求证明）
2．（2025·北京朝阳·二模）某电商平台为了解用户对配送服务的满意度，分别从A地区和B地区随机抽取
了500名和100名用户进行问卷评分调查，将评分数据按 ， ，…， 分组整理得到如
下频率分布直方图：
(1)从A地区抽取的500名用户中随机抽取一名，求该用户评分不低于60分的概率；
(2)从B地区评分为 的样本中随机抽取两名，记评分不低于90分的用户人数为X，求X的分布列和
数学期望；
(3)根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，设A地区评分的平均值估计为 ，A，B两地区评分的平均值估计为 ，比较 与 的大小关系．（直接写出结论）
题型02 离散型随机变量的分布列、均值方差
析典例 · 建模型
1．（2026·北京延庆·一模）2024年联合国教科文组织第46届世界遗产大会上，我国申报的“北京中轴线
——中国理想都城秩序的杰作”被正式列入《世界遗产名录》．北京中轴线坐落于北京老城中心，全长
7.8公里，始建于13世纪，是统领老城整体规划格局的建筑与遗址的组合体．它共包含15处遗产点，可分
为A、B、C、D、E五种类型，具体如下表：
E
居
类 A古代 B古代皇家 C古代城 中
皇家宫 市管理 D国家礼仪和公共建筑 道
型 苑建筑 祭祀建筑 设施 路
遗
存
天 中
安 轴
中
门 线
轴 外
社 先 钟 万 天 广 正 永 南
线 故 景 太 天 端 金
稷 农 鼓 宁 安 场 阳 定 段
遗 宫 山 庙 坛 门 水
坛 坛 楼 桥 门 及 门 门 道
产 桥
建 路
点
筑 遗
群 存
某研学团队计划随机选取3处遗产点开展研学活动．
(1)若从15处遗产点中随机选取，求选取的3处遗产点均为D类的概率；
(2)若从A、B、C这三类遗产点中随机选取3处，设选取的3处遗产点的类型种数为X，求X的分布列及数
学期望；
(3)该研学团队通过调查发现：所有参观北京中轴线的人群可分为老年人、中年人、青少年三个群体，其人
数比值为 ，同时，这三个群体选择参观A类或D类遗产点的频率分布如下表：
人群 老年人 中年人 青少年
只参观A类型遗产点 60％ 25％ 30％
只参观D类型遗产点 20％ 45％ 30％
两类遗产点都参观 20％ 30％ 40％
用频率估计概率，若从所有参观A类或D类遗产点的人群中随机选取1人，记“只参观A类型遗产点”的概率为 ，“只参观D类型遗产点”的概率为 ，请根据表中信息，判断 与 的大小关系．（结论不要
求证明）
研考点 · 通技法
1、判断分布类型
确认随机变量：明确问题中的随机变量 X 及其可能取值
识别分布类型：若为不放回抽样且关心“次品数”、“合格数”等 → 超几何分布
若为独立重复试验（每次成功概率相同） → 二项分布
若为有限等可能抽样且涉及特定计数 → 可考虑古典概型计算
2、确定参数并计算概率：根据类型选用公式，依次计算 X 取每一个可能值的概率
3、整理分布列，列成表格，验证概率和为1
4、应用与计算：求期望值或方差等。
注意：先判断类型再计算，避免公式误用，注意随机变量取值的完整性与互斥性计算后务必检查概率总和
是否为 1
破类题 · 提能力
1．（2025·北京大兴·三模）为测试 、 两款人工智能软件解答数学问题的能力，将100道难度相当的数
学试题从1到100编号后随机分配给这两款软件测试．每道试题只被一款软件解答一次，记录结果如下：
软件 软件
试题类别
测试试题数量 正确解答的数量 测试试题数量 正确解答的数量
函数试题 30 24 20 18
几何试题 20 16 30 20
(1)估计 软件能正确解答数学问题的概率；
(2)小明决定采用这两款软件解答3道类似试题（假设其难度和测试的100道题基本相同），其中函数2道，
几何1道；使用 软件解答2道函数试题，使用 软件解答1道几何试题；每道试题只用其中一款软件解
答一次．假设用频率估计概率，且每次解答相互独立．用 表示3道类似试题被正确解答的个数，求 的
分布列与数学期望；
(3)小明准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第12题（假设其难度和测试的100道题基本相同），
但该题内容还未知，从已往情况来看，该题是函数题的概率为 ，几何题的概率为 ．假设用频率估计概
率，试说明小明用哪款软件正确解答这道试题的概率大？（结论不要求证明）2．（2025·北京丰台·一模）京广高速铁路是世界上运营里程最长的高速铁路之一，也是中国客运量最大、
运输最为繁忙的高速铁路之一.某日从北京西到广州南的部分G字头高铁车次情况如下表：注：以下高铁车
次均能准点到达
(1)某乘客从上表中随机选取一趟高铁车次从北京西出发到广州南，求这趟列车的运行时长不超过10小时
的概率；
(2)甲、乙、丙3人分别从上表中随机选取一趟高铁车次从北京西出发到广州南，其中甲必须上午出发，乙
必须下午出发，丙的出发时间没有限制，且甲、乙、丙3人的选择互不影响.
（ⅰ）记随机变量 为甲、乙、丙选取的列车中运行时长不超过10小时的个数，求 的分布列和数学期
望；
（ⅱ）甲、乙、丙3人中，谁选取的列车运行时长最短的概率最大？（结论不要求证明）
题型03 条件概率、全概率和贝叶斯公式
析典例 · 建模型
1．（2025·北京平谷·一模）某科研团队研发了一款快速检测某种疾病的试剂盒.为了解该试剂盒检测的准确
性，科研团队从某地区（人数众多）随机选取了40位患者和60位非患者，用该试剂盒分别对他们进行了
一次检测，结果如下：
抽样人群 阳性人数 阴性人数
患者 36 4
非患者 2 58
(1)试估计使用该试剂盒进行一次检测结果正确的概率；
(2)若从该地区的患者和非患者中分别抽取2人进行一次检测，求恰有一人检测结果错误的概率；(3)假设该地区有10万人，患病率为0.01.从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检测一次.若检测结果为
阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过0.2？并说明理由.
研考点 · 通技法
用全概率公式的步骤：
1、按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件A (i=1,2,…,n)；
i
2、求P(A )与P(B|A )；
i i
n
3、代入全概率公式P(B)=∑ P(A )P¿¿，求出目标事件的概率.
i
i=1
贝叶斯公式有着重要的实际意义，一件事由“因”推出“果”容易，但是贝叶斯公式是在做逆运算，它是
在条件概率的基础上寻找事件发生的原因，在运用贝叶斯公式的过程如下：
1、A的多种情况发生的概率已知，即P(A)已知；
i
2、在A的每种情况发生的条件下B发生的概率已知，即P(B∣A )已知；
i
3、P(B)未知，需要使用全概率公式计算得到；
4、求解的目标是用A的某种情况A的无条件概率求其在B发生的条件下的有条件概率P( ).
i
破类题 · 提能力
1．（2025·四川泸州·模拟预测）某工厂有两条生产线加工同一型号的零件，生产线 加工的次品率分别
为 ，生产出来的零件混放在一起，已知生产线 加工的零件数分别占总数的 .
(1)现从该厂随机抽取一个零件，计算它是次品的概率；
(2)如果取到的一个零件是次品，计算它是生产线 加工的概率；（精确到小数点后第三位，采用四舍五入
法）
(3)从混放在一起的零件中随机抽取3个，若取到1个次品，对责任人罚款5元；若取到1个正品则对同一
责任人奖励10元，用 表示该责任人由3个零件获得的金额，求 的期望及方差.
2．（2026·陕西·模拟预测）甲、乙两人进行AI知识问答比赛，进行一轮抢答赛，比赛中有3道抢答题，
每道题均有人抢答，其计分规则为：初始甲、乙双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得 分，未抢
到得0分，最后累计总分最多的人获胜，假设甲、乙抢到每题的成功率相同，且两人每题答题正确的概率
分别为 和 ，求：
(1)甲在比赛中抢到的题目比乙多的概率；(2)若比赛中3道题均被乙抢到，设乙答题得分为 ，求 的分布列和期望；
(3)甲在比赛中获胜的概率.
题型04 超几何分布与二项分布
析典例 · 建模型
1．（2025·北京通州·一模）某艺术研究中心对春节档6部影片观众满意度进行调查，评分如下
第一部 第二部 第三部 第四部 第五部 第六部
普通观众评分 87.2 85.4 84.9 84.9 84.7 83.6
专业观众评分 88.7 80.0 81.6 77.4 76.1 72.2
(1)从这6部影片中随机选取1部，恰好选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的概率；
(2)现有4名观众，每位观众从这6部影片中各随机选取1部观看.
（ⅰ）若不同观众可选相同影片（假设每位观众的选择相互独立），记X为选到普通观众评分与专业观众
评分都低于85分的影片的人数，求X的分布列及数学期望 .
（ⅱ）若任意2名观众不能选看相同影片，记Y为选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的
人数，试比较这种情况下数学期望 与（ⅰ）中 的大小关系，（结论不要求证明）
研考点 · 通技法
1、二项分布的解题步骤
（1）满足以下3个条件可判定为二项分布：
试验次数固定：共进行n次独立试验，每次试验只关注两个结果：“成功”与“失败”，1与0，“正确”
或“错误”等，成功概率恒定：每次试验中成功概率p保持不变，记作： X∼B(n,p)，确定参数与可能
取值：明确参数n：试验总次数，p：每次试验的成功概率，确定随机变量取值：X（成功次数）的可能取
值为0,1,2,…,n
（2）概率的计算：使用二项分布概率公式：P(X=k)=Ck ⋅pk ⋅(1-p) n-k,k=0,1,…,n，列出分布列并
n
计算期望值等。
2、超几何分布的解题步骤：
（1）确认试验符合不放回抽样特征，并确定三个参数：总体容量 N，总体中“成功”元素个数 M，抽
取样本量 n，则随机变量 X 服从超几何分布 X H(N,M,n)。
∼(M)(N-M)
k n-k
（2）利用超几何概率公式直接计算 X=k 的概率：P(X=k)=
(N)
n
（3）将 X 的所有可能取值及其对应概率整理为分布列（通常用表格形式呈现）。
破类题 · 提能力
1．（2025·北京昌平·二模）在探索数智技术赋能学科学习的过程中，某中学鼓励学生使用某听说平台进行
英语口语自主练习．该中学有初中生1200人，高中生800人．为了解全校学生近一个月内使用此听说平台
进行英语口语自主练习的次数，从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，将他们的使用次数按照
， ， ， ， ，五个区间进行分组，所得样本数据如下表：
使用次数分组区 初中生 高中生
间 人 人
4 3
38 29
48 28
17
6 3
假设每个学生是否使用此听说平台进行英语口语自主练习相互独立．用频率估计概率．
(1)估计近一个月内全校学生中使用此听说平台进行英语口语自主练习的次数不低于30次的总人数；
(2)从上面参与问卷调查且使用此听说平台进行英语口语自主练习次数不足10次的学生中随机抽取3人，
记 为这3人中高中生的人数，求 的分布列和数学期望；
(3)从该校初中生和高中生中各随机抽取8名学生进行调查，设其中初中生和高中生使用此听说平台进行英
语口语自主练习次数位于 的人数分别为 和 ，比较 与 的大小．（结论不要求证明）
3．（2025·北京·三模）某老师为了解班里甲、乙两位同学的数学学习情况，从他们的数学小练习成绩中各
随机抽取10份，.获得数据如下表：
甲同
8 6.5 6 6 7.5 8 8 5.5 9 7.5
学乙同
6 7 7 7.5 7.5 8.5 9 7 9.5 9
学
已知数学小练习满分为10分，最低分为0分.若小练习得分不低于7.5分视为“得分达到良好”，若小练习
得分不低于8.5分视为“得分达到优秀”. 假设用频率估计概率，且甲和乙小练习成绩相互独立.
(1)从甲同学的样本中随机抽取1个，求“得分达到良好”的概率；
(2)从乙同学的所有数学小练习成绩中随机抽取 3 份，记随机变量X为“得分达到优秀”的次数.估计X的
分布列和期望：
(3)样本中，甲、乙两位同学小练习成绩的方差分别为记为 和 ，试比较 和 的大小（结论不要求证
明）.
题型05 概率统计在决策问题中的应用
析典例 · 建模型
1．（2025·北京海淀·三模）某AI大模型想象力引擎处理用户问题分为“深度思考”模式，“联网搜索”
模式和“兼用”模式（即同时使用“深度思考”和“联网搜索”）三种模式，用户可根据需求在提问时自
由选择．为了调查用户对不同模式的使用频率和使用大模型研究问题的种类，该公司调查了不同用户最近
提出的共10000个问题作为样本，得到如下表格．
学习类问 其他类问
问题类别模式 生活类问题
题 题
深度思考 1100 600 300
联网搜索 1200 1500 300
兼用 1500 2500 1000
假设每个用户的每个问题的模式选择与问题类别均相互独立，用频率估计概率．
(1)在样本中随机抽取一个问题，求该问题的处理模式是“兼用”模式的概率．
(2)在使用“联网搜索”模式处理的所有问题中随机选取2个，估计生活类问题个数不超过学习类问题个数的概率．
(3)不同模式处理问题的时间可以大致分为三组： ， ， （单位：秒）．在网络正常的
时候，使用三种模式处理用户问题所需时间比例统计如下图所示．假设小明已经使用该AI大模型的同一
种模式解决了两个问题，其中一个问题的处理时间 ，另一个问题的处理时间 ．若不
考虑其他因素干扰，判断小明在解决这两个问题时最有可能使用的是哪种模式．（结论不要求证明）
研考点 · 通技法
根据不同的决策计算概率（有时候是期望值），判断概率大小（可以通过作差或作商）来进行选择。若概
率含参的话，可以通过作差后，然后根据参数来讨论差值是否大于0，等于0，小于0 。
破类题 · 提能力
1．（2025·北京海淀·一模）某工厂有一组型号相同的设备，在日常维护中发现部分设备有发热的情况，经
过查阅历史数据，发现设备是否发热与设备状态（完好或损坏）有较强的相关性．从发热和未发热情况的
数据中各自随机抽取1000条数据，整理如下图所示：
日常维护时，对单台设备有三种可能的操作：保留观察、停机更换或检查维修．对单台设备的不同状态，
这三种操作给工厂带来的经济损失如下（单位：千元）：
操作
保留观 停机更 检查维
经济损失设 察 换 修
备状态
完好 0 10 5
损坏 12 5 7
假设用频率估计概率，且各设备之间的状态相互独立．
(1)已知某设备未出现发热情况，试估计该设备损坏的概率；
(2)该工厂现有2台设备出现发热情况，准备对这2台设备都进行检查维修．记检查维修这2台设备给工厂带来的总经济损失为 千元，求 的分布列和数学期望 ；
(3)该工厂的某车间现有2台设备，维护时发现其中一台出现发热情况，另一台未出现发热情况．下面有三
种维护这2台设备的操作方案：
发热情况
操作方案 发热 未发热
编号
检查维 保留观
①
修 察
停机更 检查维
②
换 修
停机更 保留观
③
换 察
直接写出使得工厂总经济损失的期望最小的方案的编号．
2．（25-26高三下·北京·开学考试）某工厂有两条生产线生产同一种产品，产品需要经过质量检测． 检测
结果分为优质、合格和不合格三种． 从两条生产线上各随机抽取 120 件产品， 检测结果如下表．
优质 合格 不合格
甲生产
80 件 40 件 0 件
线
乙生产
60 件 30 件 30 件
线
假设各件产品的检测结果相互独立， 用频率估计概率．
(1)从甲生产线抽取的样本中随机取 2 件，求这 2 件产品均合格的概率；
(2)从甲、乙两条生产线的产品中各随机抽取 1 件，记这 2 件产品的利润总和为 元（利润标准： 优
质 20 元，合格 5 元，不合格-15 元）． 求 的分布列及数学期望：
(3)工厂考虑对乙生产线进行技术改造，改造后，乙生产线生产的产品优质率可提高到 0.7 ， 不合格率降
为 0.05 ． 但改造需要一次性投入，会导致每件产品的生产成本增加 4 元． 试判断改造后乙生产线产品
的平均利润是否比改造前有所提高． （直接写出结论）
题型06 概率统计与数列的结合
析典例 · 建模型
1．（2026·云南·模拟预测）甲乙两人进行若干局乒乓球训练赛，每局比赛必须决出胜负，且每局比赛结果相互独立．已知甲每局比赛获胜的概率为 ，规定先达到净胜3局者获得训练赛胜利并结束训练赛（某人
的净胜局数＝某人胜的局数－某人负的局数）．
(1)记经过n局比赛，甲获得训练赛胜利的概率为 ，求 ．
(2)经过若干局后，甲胜的局数与乙胜的局数的差为X，记事件“X＝k时，甲最终获得训练赛胜利”发生的
概率为 ，求证： 是等比数列；
(3)求甲获得训练赛胜利的概率．
研考点 · 通技法
概率与数列结合的题中分以下两者：
1、把全概率公式与过程的马尔科夫性（无记忆性）结合: 当前状态的概率只与上一步状态有关，因此可以
按上一步的所有可能情况对当前概率进行分解。
2、离散型分布列为等比数列的题型，用错位相减法求期望（或其它求和）。这类题不涉及多轮递推，而
是单次试验中某个离散随机变量的概率分布呈现等比规律，求和时往往要计算形如
❑
E(X)=∑n⋅P(X=n)其中P(X=n)是等比数列。
n
破类题 · 提能力
1．（2026·甘肃·一模）甲､乙两人各持有1张“欢”字卡片和1张“喜”字卡片，规定两人每次同时从对
方手中随机抽取1张卡片交换（记为一轮操作）.记 轮操作后，甲手里有2张“欢”字卡片的概率
为 ，甲手里有2张“喜”字卡片的概率为 .
(1)求 的值；
(2)求 的值.
2．（2026·陕西安康·一模）已知甲､乙两个盒子均装有1个白球和1个黑球，现进行如下操作：从这两个
盒子中各取1个球放入对方的盒子中.重复这样的操作，第 次操作后甲盒中白球的个数记为
.(1)求 ；
(2)证明： 是等比数列；
（建议用时：60分钟）
刷模拟
1．（2025·北京大兴·三模）某地区教育研究部门为了解当前本地区中小学教师在教育教学中运用人工智能
的态度、经验、困难等情况，从该地区2000名中小学教师中随机抽取100名进行了访谈．在整理访谈结果
的过程中，统计他们对“人工智能助力教学”作用的认识，得到的部分数据如下表所示：
假设用频率估计概率，且每位教师对“人工智能助力教学”作用的认识相互独立．
(1)估计该地区中小学教师中认为人工智能对于教学“没有帮助”的人数；
(2)对受访教师关于“人工智能助力教学”的观点进行赋分：“没有帮助”记0分，“有一些帮助”记2分，
“很有帮助”记4分．
①从该地区男教师中抽取4名教师，求这4名教师得分总和为8分的概率；
②统计受访教师的得分，将这100名教师得分的平均值记为 ，其中年龄在40岁以下（含40岁）教师得
分的平均值记为 ，年龄在40岁以上教师得分的平均值记为 ，请直接写出 的大小关系．（结
论不要求证明）2．（2025·北京西城·一模）发展纯电动、插电式混合动力等新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的
必由之路.为调查研究，某地统计了辖区内从2017年至2024年这8年的新能源汽车和纯电动汽车的销量，
得到如下折线图(单位：百辆)：
在每一年中，记该年纯电动汽车销量占该年新能源汽车销量的比重为Q.
(1)从2017年至2024年这8年中随机抽取1年，求该年Q值超过 的概率；
(2)现从2019年至2024年这6年中依次随机抽取，每次抽取1个年份，若该年的Q值过 ，则停止抽取，
否则继续从剩余的年份中抽取，直至抽到Q值超过 的年份.记抽取的次数为 ，求 的分布列和数学
期望：
(3)记2020年至 2024年这5年新能源汽车销量数据的方差为 ，且这5年纯电动汽车销量数据的方差为 ，
写出 与 的大小关系.(结论不要求证明)
3．（2025·北京门头沟·一模）不同AI大模型各有千秋，适用领域也各有所长．为了解某高校甲、乙两个
学院学生对 两款不同 大模型是否使用，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：
甲学院 乙学院
使用 不使用 使用 不使用
A款 40人 80人 60人 20人
款 70人 50人 30人 50人
假设所有学生对 两款大模型是否使用相互独立，用频率估计概率．
(1)分别估计该校甲学院学生使用A款大模型的概率、该校乙学院学生使用A款大模型的概率；
(2)从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，从乙学院全体学生中随机抽取1人，记这3人中使用 款大模型的人数为 ，求 的分布列及数学期望 ；
(3)从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用 款大模型的人数为 ，其方差估计值为
，从该校乙学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用 款大模型的人数为 ，其方差估计值
为 ，比较 与 的大小．
4．（2025·安徽合肥·三模）某城市推广垃圾分类，设置智能回收箱（方式 ）和传统垃圾桶（方式 ）．
统计显示，60%的居民选择方式 ， 选择方式 ，若垃圾被正确分类，则垃圾被回收，不用填埋．智
能回收箱的正确分类率为 ，错误分类后需人工处理，人工处理可将错误分类垃圾的40%重新正确分类，
其余直接填埋；传统垃圾桶的正确分类率为75%，错误分类后直接填埋．
(1)求垃圾最终被填埋的概率；
(2)若某吨垃圾被填埋，求其最初通过传统垃圾桶投放的概率；
(3)现有一吨垃圾要整体处理，设 为其处理成本（单位：元），正确分类无需成本，人工处理成本为200
元，填埋成本为500元.求 的分布列及数学期望．
5．（2025·北京东城·一模）据国家相关部门统计，2023年华东地区、东北地区主要省份的水稻、小麦的播
种面积和产量数据见下表：
水稻 小麦
播种面积（千公 产量（万 播种面积（千公 产量（万
顷） 吨） 顷） 吨）
江苏省 2221.0 2003.2 2389.5 1373.5
浙江省 649.0 485.3 152.6 66.4
安徽省 2500.7 1609.8 2862.7 1740.7
华东
地区
福建省 601.1 394.6 0.1 0.0
江西省 3383.9 2070.7 11.3 3.5
山东省 101.0 86.1 4008.9 2673.8
东北 辽宁省 500.5 412.9 2.0 0.8吉林省 828.8 682.1 5.0 1.7
地区
黑龙江省 3268.5 2110.0 19.3 7.5
(1)从表1中的华东地区随机抽取1个省份，求该省水稻产量比小麦产量少的概率；
(2)从表1的9个省份中随机抽取2个，设 为水稻播种面积排在前5名且属于东北地区省份的个数.求 的
分布列与数学期望；
(3)2023年华东地区、东北地区和华北地区主要粮食作物的播种面积及其采用新技术的播种面积占该作物总
播种面积的比值（简称新技术占比率）数据见下表：
粮食 播种面积 新技术 粮食 播种面积 新技术
作物 （千公顷） 占比率 作物 （千公顷） 占比率
华东地区 水稻 9456.7 0.70 小麦 9425.1 0.60
东北地区 水稻 4597.8 0.55 玉米 13800.0 0.65
华北地区. 小麦 3184.5 0.65 玉米 9564.7 0.60
记华东地区和东北地区水稻播种总面积的新技术占比率、华东地区和华北地区小麦播种总面积的新技术占
比率、东北地区和华北地区玉米播种总面积的新技术占比率分别为 .依据表2中的数据比较 的大
小.（结论不要求证明）
6．（2026·广东梅州·一模）（1）一个袋子中有30个大小相同的球，其中有10个红球、20个白球，从中
随机放回地逐次摸一个球作为样本，5次摸球后停止，用 表示停止时摸出红球的次数.
①求 的分布列和数学期望；
②若用样本中红球的比例估计总体中红球的比例，求误差的绝对值不超过0.2的概率.
（2）某节目上，有三扇关闭的门，其中一扇门后面为汽车，另两扇门后面为山羊，节目参加者从这三扇
门中选择一扇，然后所选之门后面的物品则归其所有.当参加者选定一扇门后，节目主持人开启了剩余两扇
门中后面为山羊的一扇门，并询问节目参加者是否更换选择.问：参加者这时候更换选择会更好吗？请用概
率解释.（备注：汽车的价值要远大于羊.）
7．（2026·河南南阳·模拟预测）甲､乙两名同学进行传统文化知识比赛，规则如下：连续胜两局者获胜，
比赛结束；比赛最多五局，若五局结束时两人均未能连续获胜两局，则五局中胜局数多者获胜．在一局比
赛中，若甲胜，则甲下一局胜的概率为 ；若甲输，则甲下一局胜的概率为 ．已知第一局甲胜的概率为，假设每局比赛没有平局，记比赛结束时的局数为 ．
(1)求第2局比赛甲胜的概率；
(2)在 的条件下，求甲胜的概率；
(3)求比赛结束时甲胜的概率．
7．（2026·北京平谷·一模）根据《国家学生体质健康标准》，高一男生和女生50米跑单项等级如下（单
位：秒）：
50米跑单项等级 高一男生 高一女生
优秀 7.3及以下 8.0及以下
良好 7.4~7.5 8.1~8.6
及格 7.6~9.5 8.7~10.6
不及格 9.6及以上 10.7及以上
从某校高一男生和女生中各随机抽取15名同学，将其50米跑测试成绩整理如下：
男 7. 7. 7. 7. 7. 7. 7. 7. 7. 7. 8.
9.6 9.7 9.7 9.8
生 0 1 2 3 3 4 5 5 5 5 6
女 7. 7. 7. 7. 7. 8. 8. 8. 9. 9. 9. 10. 10. 10. 10.
生 4 6 6 8 9 0 1 8 0 2 7 4 4 5 8
假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立．
(1)估计该校高一男生50米跑单项及格及以上的概率；
(2)从该校高一男生和女生中各随机抽取2人，估计4人中恰有2人50米跑单项等级是优秀的概率；
(3)通过一段时间锻炼，对该校在及格及以下成绩的学生进行再测试，结果又有 的男生达到良好及以上
的成绩，又有 的女生达到良好及以上的成绩，记最后男女达到良好及以上的概率分别为 ，判断
的大小．（结论不要求证明）
8．（2025·北京海淀·三模）自动驾驶是依靠人工智能、视觉计算、雷达、监控装置和全球定位系统协同合
作，让自动驾驶系统可以在没有人类主动的操作下，自动安全地操作机动车辆的技术，其安全性备受人们
的关注．2015年起，美国加州机动车管理局要求获得自动驾驶道路测试资质的公司每年1月1日之前上交
一份自动驾驶年度报告，总结道路测试总里程数，以及过程中所经历的所有自动驾驶脱离事件，脱离事件
是指在自动驾驶系统遇到无法处理的情况时，由驾驶员人工干预的事件．每次脱离平均行驶里程（MPD值，Miles per Disengagement），代表自动驾驶汽车每行驶多少里程才需要人工干预一次，它由一家公司报告的
总里程数除以总脱离次数得到，这是衡量一辆自动驾驶汽车“驾驶水平”的重要指标之一．从《加州2023
年自动驾驶脱离报告》中选取了9家公司的数据．
公司 所属国家 测试总里程（英里） 脱离次数 MPD值
百度 中国 108300 6 18050
谷歌Waymo 美国 1454137 110 13219
通用Cruise 美国 831040 68 12221
比亚迪 中国 32054 3 10684
小马智行 中国 174845 27 6475
Nuro 美国 68762 34 2022
Zoox 美国 67015 42 1595
小米 中国 12272 8 1534
苹果 美国 7544 64 117
(1)从表中随机抽取一家中国公司和一家美国公司，求抽到的中国公司比抽到的美国公司MDP值高的概率；
(2)从表中的9家公司随机抽取3家，求至少有2家MPD值大于10000的概率；
(3)有人认为根据《加州2023年自动驾驶脱离报告》的数据，可以说明百度公司的自动驾驶技术已经全面
超越谷歌公司．你是否同意此观点?并说明你的理由．
9．（2025·北京海淀·二模）某运动品牌拟推出一款青少年新品跑鞋．在前期市场调研时，从某市随机调查
了200名中小学生对黑、白两种颜色的新品跑鞋的购买意愿，统计数据如下（单位：人）：
小学生 初中生 高中生
颜色
愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意
黑色 80 20 40 20 20 20
白色 60 40 30 30 30 10
假设所有中小学生的购买意愿相互独立，用频率估计概率．
(1)从该市全体中小学生中随机抽取1人，估计其愿意购买黑色新品跑鞋的概率 ；
(2)从该市的初中生、高中生两个不同群体中各自随机抽取1人，记 为这2人中愿意购买白色新品跑鞋的
人数，求 的分布列和数学期望 ；(3)假设该市 学校内的小学生、初中生和高中生的人数之比为 ，从 学校的全体中小学生中随机抽
取1人，将其愿意购买黑色新品跑鞋的概率估计值记为 ，试比较 与（1）中的 的大小．（结论不要
求证明）
刷真题
1．（2025·北京·高考真题）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级
学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生
该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题
相互独立，用频率估计概率.
(1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率
(2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计
的概率及X的数学期望；
(3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知
识点，甲校学生选择正确的概率为 ，乙校学生选择正确的概率为 .设甲、乙两校高一年级学生掌
握该知识点的概率估计值分别为 ， ，判断 与 的大小（结论不要求证明）.
2．（2024·北京·高考真题）某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保
单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
赔偿次数 0 1 2 3 4
单数
假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司
赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.
(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；
(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.
（i）记 为一份保单的毛利润，估计 的数学期望 ；
（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少 ，有索赔的保单的保费增加 ，试比较这种情况下一份保单毛
利润的数学期望估计值与（i）中 估计值的大小．（结论不要求证明）3．（2023·北京·高考真题）为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变
化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表
示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．
时段 价格变化
第1天到第20天 - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 +
第21天到第40天 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - +
用频率估计概率．
(1)试估计该农产品价格“上涨”的概率；
(2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天
中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；
(3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下
跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）
4．（2022·北京·高考真题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到
以上（含 ）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的
比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；
(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
