单元集训卷08 三角函数
（考试时间：120 分钟，分值：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列说法正确的是（ ）
A．第一象限角都比第二象限角小
B．小于
的角是锐角
C．终边相同的角一定相等
D．终边在y轴非负半轴上的角的集合是
【答案】D
【详解】选项A.
是第一象限角，
是第二象限角，但是
，错误.
选项B.
，但它不是锐角，错误.
选项C.终边相同的角相差
的整数倍，不一定相等，错误.
选项D.终边在
轴非负半轴上的角，就是
加上
的整数倍，集合表示为
，正确.
2．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，历来中国有“制扇王国”之称．打开一把折扇，测得其周长为
，面积
为
，则其圆心角弧度数为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．1 或4
【答案】D
【详解】设扇形的圆心角为θ，半径为
，弧长为.
由题意得，
，解得，
或
，
由
得，
或
.
3．设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】在区间
内，正弦值为
❑√3
2 的角有两个：
，
余弦值为
的角只有一个：
，
若
，则
可能为
或
，当
时，
，因此充分性不成立.
若
，则
，此时
，因此必要性成立.
4．已知
为第二象限角，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先利用二倍角公式化简已知等式，结合
为第二象限角的符号特征求出
与
的值，代入目标式计
算即可得结果.
【详解】已知
，根据二倍角公式
，
可得
，即
，
因为
为第二象限角，故
，即
，等式两边同除以
得
，
即
，
展开整理得
，即
，解得
，
又
为第二象限角，故
，
，
因此
，
，
将
、
代入目标式：
，故C 正确.
5．某函数在一个周期内的图像，此函数的解析式可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据函数图像，可得A，结合周期公式可求得
，代入最高点坐标可求得
，即可得函数解析式.
【详解】根据函数图像可知
，
周期
，所以
，
所以
，将最高点坐标
代入可得
，所以
，
解得
，
当k =0时，
，
所以
.
6．某实验室一天的温度y(单位：
)随时间(单位：
)的变化近似满足函数关系
，
，其中
时表示凌晨
点．则从上午10 点到晚上8 点期间，该实验室的温度变化范围为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先利用辅助角公式将原函数解析式化简，然后利用余弦函数性质求出函数的值域.
【详解】
.
从上午10 点到晚上8 点期间，
，
.
余弦函数
在
上的取值范围是
，
因此
的取值范围
.
因此温度变化范围为
.
7．将函数
的图象向左平移
个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的4 倍（纵坐标不变），
得到函数
的图象，则
的解析式可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】将函数
的图象向左平移
个单位长度，可得
的图象，
再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的4 倍（纵坐标不变），
可得
的图象，
令
，得
，可得
，
．
8．已知函数
，若
，且
在区间
上单调递减，则整数
（ ）
A．1 或2
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【分析】由函数
在区间
上单调递减可得
，由
可得函数
关于
对称，
再解方程
即可.
【详解】当
时，
，
因为
在区间
上单调递减，
所以
，
，解得
因为ω>0，所以k =0，
，
又因为
，所以函数
关于
对称，
所以
，解得
，
又
，所以
，ω=2.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的
得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．已知函数f (x)=2sin(2 x−π
6 )，下列关于函数
的说法正确的是（ ）
A．最小正周期是
B．(−π
12 ,0)是对称中心
C．x = 5π
12 是对称轴方程
D．在(0,π
3 )上单调递增
【答案】AD
【分析】由函数y = A sin(ωx +φ)的图象与性质，根据选项利用性质逐一判断即可.
【详解】对于A，f (x)=2sin(2 x−π
6 )的最小正周期为T = 2π
2 =π，故A 正确；
对于B，由f (x)=2sin(2 x−π
6 )可得对称中心横坐标满足2 x−π
6 =k π,k ∈Z，
解得x = k π
2 +π
12 ,k ∈Z，故(−π
12 ,0)不是函数
的对称中心，故B 错误；
对于C，由f (x)=2sin(2 x−π
6 )可得对称轴方程满足2 x−π
6 =k π+π
2 ,k ∈Z，
解得x = k π
2 +π
3 ,k ∈Z，故C 错误；
对于D，函数f (x)=2sin(2 x−π
6 )的单调递增区间满足
−π
2 +2k π≤2 x−π
6 ≤π
2 +2k π,k ∈Z，解得−π
6 +k π≤x ≤π
3 +k π,k ∈Z，
当k =0时，得函数
的一个单调增区间为[−π
6 ,π
3 )(k ∈Z)，故D 正确.
10．已知函数
的图象过点
和点
，则（ ）
A．
在区间
上单调递减
B．直线
为
图象的一条对称轴
C．将
的图象向左平移
个单位长度可得函数
的图象
D．
在区间
上仅有两个零点
【答案】BC
【详解】代入点
得
，代入
得
，又因为
，所以ω=2，函数解析
式为
.
选项A，
，
，因此不单调递减.
选项B，
，
，为对称轴.
选项C，向左平移
得
成立.
选项D，
，
，因为函数
在
上只有1 个零点，因此
只有1 个零
点.
11．已知函数
，满足
，
，且
的最小值为
，下列说
法正确的是（ ）
A．
的最小正周期为
B．
在区间
单调递减
C．
在区间
有两个极值点
D．使得
为偶函数的最小正实数m为
【答案】AC
【分析】根据题意，利用三角恒等变换的公式，化简得到
，结合选项，利用正弦型函数的图
象与性质，逐项分析判断，即可求解.
【详解】由
，
对于A，因为
，
，且
的最小值为
，
即函数
的最小正周期T满足
，所以
，所以A 正确；
对于B，由上分析可得
，解得ω=1，则
，
当
时，
，
当
时，即
时，函数
单调递增；
当
时，即
时，函数
单调递减，
即
在
上单调递增，在
上单调递减，所以B 错误；
对于C，令
，可得
，
因
，由
，解得
，又
，
故当
时，
；当k =0时，x =π
6 ，
即函数
在区间
有两个极值点
和
，所以C 正确；
对于D，由函数
，
因为函数
为偶函数，可得
，解得
，
当k =0时，
，所以最小正实数m为
，所以D 不正确.
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．化简得
___________．
【答案】1
【详解】原式
.
13．函数
的图象为
，如下结论中正确的是__________.（写出所有正确结论的编号）
①图象
关于直线
对称；
②图象
关于点
对称；
③函数
在区间
内是增函数；
④由
的图象向右平移
个单位长度可以得到图象
；
⑤函数
的最小正周期为
.
【答案】①②③
【分析】对于①：直接求出即可验证；对于②：用代入法进行判断；对于③：直接求出增区间即可；对于④：利
用相位变换即可判断.对于⑤，利用三角函数图象的平移、对称变换即可判断.
【详解】因为
对于①：当
时，
为函数的最小值，
故图象
关于直线
对称，即①正确；
对于②：因为
，
所以图象C 关于点
对称；故②正确；
对于③：令
，
解得：
，
所以
的递增区间为
，
当k =0时，
是
的一个递增区间，故③正确；
对于④：
的图象向右平移
个单位长度可以得到
，故④
错误.
对于⑤；因
，可理解为将函数
的图象向上平移1 个单位长度，
再保持
轴上方部分不变，并将
轴下方部分沿着
轴向上翻折得到，
故其周期并非
的周期
的一半
，即⑤错误.
14．已知函数
，在
上恰有3 条对称轴，3 个对称中心，则
的取值范围是______.
【答案】
【分析】采用整体代入法，求出当
时，
的范围，由正弦函数图象特征确定
满足的临界条件，
解不等式即可求解.
【详解】当
时，
，因为此时
对应3 条对称轴，3 个对称中心，画出
函
数图象，如图：
故必满足
，解得
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知
．
(1)求
的值；
(2)若
，且
，求
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据诱导公式化简函数，代入即可求得答案；
（2）根据已知条件结合同角三角函数关系式和二倍角公式计算得到结果；
【详解】（1）
，
；
（2）
，
，
.
16．已知函数 f (x)=sin
2 x +sin x cos x−1
2 , x∈R.
(1)求
在
的单调递减区间；
(2)当 x∈[0,π
2 )时，求y = f (x)的最大值和最小值.
【答案】(1)
[ 3π
8 , 7π
8 ]
(2)
最大值为
❑√2
2 ，最小值为
【分析】 （1）先通过三角恒等变换将原函数化简为正弦型函数，再结合正弦函数的单调性求解即可.
（2）根据正弦函数的最值求解指定区间的最值.
【详解】（1）f (x)=sin
2 x +sin x cos x−1
2 = 1−cos2 x
2
+ 1
2 sin 2 x−1
2 = 1
2 sin 2 x−1
2 cos2 x =
❑√2
2 sin(2 x−π
4 ).
令2k π+π
2 ≤2 x−π
4 ≤2k π+ 3π
2
(k ∈Z)，解得k π+ 3π
8 ≤x ≤k π+ 7π
8 (k ∈Z )，
又x∈[0,π]，取k =0得单调递减区间为[ 3π
8 , 7π
8 ].
（2）当x∈[0,π
2 ]时，2 x−π
4 ∈[−π
4 , 3π
4 ]，则sin (2 x−π
4 )∈[−
❑√2
2 ,1]，
因此f ( x)=
❑√2
2 sin(2 x−π
4 )∈[−1
2 ,
❑√2
2 ]，
即函数最大值为
❑√2
2 ，最小值为−1
2.
17．已知函数
.
(1)求函数
的最小正周期和单调递增区间；
(2)若
，求函数
的取值范围；
(3)将函数
的图像向右平移
个单位，得到函数
的图像，求函数
在
上的零点.
【答案】(1)T =π，单调递增区间
.
(2)
(3)
和
【分析】（1）将
化简为正弦型标准形式后，利用周期公式计算最小正周期，结合正弦函数的单调递增区间
解不等式得到
的单调递增区间；
（2）根据
的定义域求出相位
的范围，结合正弦函数在该区间的值域，推导出
的取值范围；
（3）根据三角函数平移变换规则得到g(x)的解析式，令
解方程，筛选出落在区间
内的解即为零点.
【详解】（1）
，
T = 2π
2 =π，
由
，得
，
所以
的单调递增区间是
.
（2）由
，得
，
当
，即x =0时，
取得最小值
；
当
，即x = 5π
12 时，
取得最大值
，
所以
的取值范围是
.
（3）由题
，
由
得
，解得
或
，又
，
所以x =π
12或x = 5π
12 ，即g(x)在
上的零点为
和
.
18．已知函数
的图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为
．
(1)求函数
的对称轴方程
(2)将函数y = f (x)的图象向右平移
个单位后，再将得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的
（纵坐标不变），
得到函数y = g(x)的图象，当
时，求函数
的值域．
【答案】(1)若ω=1，函数
的对称轴方程为
．
若
，函数
的对称轴方程为
．
(2).若ω=1，函数
的值域为
，
若
，函数
的值域为
.
【分析】(1)化简
，根据一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为
即可求出
，
结合正弦函数的对称轴方程求解即可；
(2)根据图形的变换得到
，利用整体法即可求出函数
的值域．
【详解】（1）由已知
因为函数
的图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为
，
所以
若ω=1，则
令
，解得
故函数
的对称轴方程为
．
若
，则
，
令
，解得
故函数
的对称轴方程为
．
综上，若ω=1，函数
的对称轴方程为
．
若
，函数
的对称轴方程为
．
（2）若ω=1，
将函数
的图象向右平移
个单位后，
可得
的图象；
再将得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的
（纵坐标不变），
得到函数
的图象．
当
时，
所以
故函数
的值域为
.
若
，
将函数
的图象向右平移
个单位后，
可得
的图象；
再将得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的
（纵坐标不变），
得到函数
的图象．
当
时，
，
所以
，故函数
的值域为
综上，若ω=1，函数
的值域为
，
若
，函数
的值域为
.
19．已知质点从P0(❑√3,−1)开始，沿以原点为圆心，2 为半径的圆做匀速圆周运动，质点运动的角速度为
弧
度/秒（
），经过x 秒，质点运动到点P，设点P 的纵坐标为y，令y = f (x)，将
的图象向左平移2 个
单位长度后图象关于y 轴对称．
(1)求函数
的解析式；
(2)求函数
的单调递减区间及
上的最值．
(3)将函数
横坐标伸长到原来的
倍，纵坐标缩短到原来的
倍得到函数
，若α ∈[
π
12 ,π
3 )，求函
数y =[g(α +π
6 ))
2
+[g(α +π
3 ))
2
的值域．
【答案】(1)f ( x)=2sin(
π
3 x−π
6 )
(2)单调递减区间为[6 k +2,6 k +5](k ∈Z)，
，
(3)[1−
❑√3
2 ,1−
❑√3
4 )
【分析】（1）设f ( x)= A sin(ωx +φ)(A >0,0<ω<2,|φ|<π
2 )，根据正弦型三角函数的图象性质分别确定参
数A ,ω,ϕ的值，从而得函数
的解析式；
（2）由正弦型三角函数的单调性得单调区间，从而可得在区间
上的单调性即可得最值.
（3）根据已知及图象平移得g(x)=cos x，再应用三角恒等变换化简目标函数式，结合三角函数的性质求值域.
【详解】（1）设f ( x)= A sin(ωx +φ)(A >0,0<ω<2,|φ|<π
2 )，
由P0(❑√3,−1)知，tan φ =−
❑√3
3 ，
因为
，所以
，又
，所以f ( x)=2sin(ωx −π
6 )，
将
的图象向左平移2 个单位长度后所得函数g( x)=2sin(ωx +2ω−π
6 )．
因为y = g(x)的图象关于y 轴对称，
所以2ω−π
6 =k π+π
2 (k ∈Z )，解得ω= k π
2 +π
3 (k ∈Z )．
又
，所以k =0时
，
所以f ( x)=2sin(
π
3 x−π
6 )．
（2）由（1）得f ( x)=2sin(
π
3 x−π
6 )，
令2k π+π
2 ≤π
3 x−π
6 ≤2k π+ 3π
2 ，解得6k +2≤x ≤6k +5(k ∈Z )，
所以函数
的单调递减区间为[6 k +2,6k +5](k ∈Z )．
当
时，−π
6 ≤π
3 x−π
6 ≤5
6 π，
当x =0时，f ( x)min= f (0)=−1；
当x =2时，f ( x)max = f (2)=2．
（3）由（1）知f ( x +2)=2sin[
π
3
(x +2)−π
6 )=2sin(
π
3 x +π
2 )=2cos(
π
3 x)，
将函数图象横坐标伸长到原来的
倍，纵坐标缩短到原来的
倍，
所以g(x)= 1
2 ×2cos(
π
3 × 3
π × x)=cos x，
所以y =cos
2(α +π
6 )+cos
2(α +π
3 )=1+ 1
2[cos(2α +π
3 )+cos(2α +2π
3 ))
=1+ 1
2 ×(
1
2 cos2α −
❑√3
2 sin 2α −1
2 cos2α −
❑√3
2 sin 2α)=1−
❑√3
2 sin 2α，
由α ∈[
π
12 ,π
3 )，则2α ∈[
π
6 ,2π
3 )，故sin 2α ∈[
1
2 ,1)，所求值域为[1−
❑√3
2 ,1−
❑√3
4 ).
