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专题2.2 求函数的解析式
【考点1：已知函数类型求解析式】.......................................................................................................................1
【考点2：配凑法求解析式】...................................................................................................................................4
【考点3：换元法求解析式】...................................................................................................................................5
【考点4：解方程组法求解析式】...........................................................................................................................7
【考点5：求分段函数解析式或求函数的值】.......................................................................................................9
【考点1：已知函数类型求解析式】
1．（25-26 高三·全国·一轮复习）已知函数
是一次函数，若
，则
______．
【答案】
或
【详解】设
，则
.
又
，所以
.
即
，解得
，或
.
所以
或
．
2．（2025 高三·全国·竞赛）设
是二次函数，且
，则
_____.
【答案】
【分析】利用题目条件构建函数
结合
，求出
值后代入
即可求出
.
【详解】由
，
可得：
代入
，
所以
.
故答案为：
3．（25-26 高一上·全国·期末）已知
是二次函数，且
，
，
，则
的解
析式为_________．
【答案】
【分析】设
，结合题设条件可得关于参数的方程组，求出其解后可得函数解析式.
【详解】设
，
根据题意得
，解得
，
所以
．
故答案为：
．
4．（2026 高三·全国·专题练习）已知
是一次函数，
，且
，函数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设
，利用待定系数法，结合已知方程组可得
，再由换元法代入计算可
得
，可得出结论.
【详解】依题意可设
，
由
可得
，
因此可得
，解得
或
；
又因为
，所以
，即
，即A 正确，B 错误；
又
可得
，
令
，所以
，因此
，
所以
，可得C 错误，D 错误.
故选：A.
5．（25-26 高三·全国·一轮复习）若一次函数
满足
，求
的函数解析式.
【答案】
或
【分析】利用待定系数法求函数解析式即可得到答案.
【详解】由题意设
，
则
，
所以
，
解得
或
，
所以
的函数解析式为
或
.
【考点2：配凑法求解析式】
6．（2027 高三·全国·专题练习）若函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先将已知表达式通分后配方，发现它是中间变量的平方，再通过换元得到函数的解析式.
【详解】
，所以
．
故选：D.
7．（24-25 高一上·广东·期中）已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】用配凑法得到含有
的解析式，即可得.
【详解】因为函数
，所以函数
.
故选：A
8．（25-26 高一上·江西赣州·期中）若
，则当
时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用配凑法即可解答.
【详解】因为
，且
，
所以
.
故选：A
9．（25-26 高一上·重庆·期中）已知
，则函数
的解析式为（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由利用配方法和换元法求函数解析式.
【详解】
，且
，
所以
，
故选：B
10．（25-26 高一上·江苏徐州·期中）已知
，则
的解析式是（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用配凑法求函数解析式．
【详解】因为
，
所以
，则
.
故选：C
【考点3：换元法求解析式】
11．（25-26 高一上·河北唐山·期中）函数
，则
（ ）
A．14
B．
1
C．0
D．13
【答案】A
【详解】换元求解
【点睛】令
，则
，
12．（25-26 高一·全国·暑假作业）已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用换元法求解即可.
【详解】令
，则
，
因为
，所以
，
由
，
可得
，
所以
．
13．（25-26 高一上·安徽淮北·期中）已知
，则
___________________．
【答案】
【分析】利用换元法求函数
的解析式，即可得出
的表达式.
【详解】令
，则
,
由
，得
,
所以
，即
.
14．（25-26 高一上·甘肃兰州·期中）已知
，求函数
的解析式___________．
【答案】
【分析】利用换元法令
，进而求函数
的解析式，注意函数的定义域.
【详解】令
，则
，
可得
，
所以
.
15．（25-26 高二下·黑龙江佳木斯·期中）已知
，则函数
的解析式为_________.
【答案】
，
【分析】使用换元法求解即可，设
，那么
，再代入即可求得函数
的解析式.
【详解】设
，那么
，则
，
所以
，
.
【考点4：解方程组法求解析式】
16．（25-26 高一上·河北承德·期末）已知函数
的定义域为
，且
，则函数
的最大值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．
【答案】A
【分析】用
代替
得到
，联立即可得
，再通过换元
，得到
结合对勾函数单调性即可求解.
【详解】因为
，①
所以用
代替
得
．②
①
得
②
．
设
．当
时，
；
当
时，
可转化为函数
．
又因为
在
单调递减，在
单调递增，当
时，得到最小值2，
所以当
时，
，则
，
因为
在
单调递减，在
单调递增，当
时，得到最大值
，
当
时，
，则
，
综上，当
时，
取得最大值，为
．
所以当
时，
取得最大值，为
．
故选：A．
17．（25-26 高一上·河南·期末）已知函数
满足
，则函数
的解析式为_______
【答案】
【分析】应用方程组法计算求解解析式.
【详解】因为函数
满足
，
所以
，解得
.
故答案为：
18．（2027 高三·全国·专题练习）已知函数
对任意的
都有
，则
________．
【答案】
【分析】将原式中的
替换为
得到新方程，联立两个方程组成方程组，消去
求解
．
【详解】∵
，①
∴
，②
由
得
解得：
．
故答案为：
．
19．（2025 高三·全国·竞赛）设函数
的定义域为
，且满足
，则
的
最小值为_____.
【答案】1
【分析】利用方程组思想求出
的解析式，再结合基本不等式求最值.
【详解】由
得
，
解方程组得
，
因为
的定义域为
，所以
等号成立时
.
所以
的最小值为1.
故答案为：
20．（25-26 高三·全国·一轮复习）已知
且
，求函数
的解析式．
【答案】
且
【分析】利用解方程组法，分别用
，
代换题设式子中的
，得到方程组求解即可.
【详解】
，①
将
中的
①
用
代换得
②
再将
中的
①
用
代换得
③
则由
得
且
．
【考点5：求分段函数解析式或求函数的值】
21．（2026·山东烟台·模拟预测）已知函数
，则
（ ）
A．2025
B．2026
C．2027
D．2028
【答案】B
【详解】由题意得：当
时，
，
所以
，
则
.
22．（25-26 高一上·福建泉州·期中）如图，菱形
的边长为2，且
，记菱形
位于直
线
的左侧图形的面积为
，则
_____，
_____．
【答案】
【分析】分情况写出函数
解析式，然后求得
.讨论
的范围，由函数
解析式，求得
.
【详解】过
作
轴交
轴于
，过
作
轴交
轴于
，
∴
，即
，∴
.
当
①
时，如图，
，
当
②
时，如图，
，
当
③
时，如图，
，
∴
，
当
时，
，
，
当
时，
，
，
当
时，
，
，
∴
，
故答案为：
，
23．（26-27 高一·全国·暑假作业）已知函数
，求
；
【答案】
.
【分析】根据分段函数的定义域和值域求解.
【详解】由题设知：
时
，
时
，
时
，
又因为
，
所以
.
24．（25-26 高一上·浙江杭州·期中）已知二次函数
满足
且
．
(1)求
的解析式；
(2)画出函数
的简图并求出该函数的值域．
【答案】(1)
(2)
值域
.
【分析】（1）设
，利用待定系数法，求出a，b 的值，根据
，可得c 值，
即可得答案.
（2）由（1）可得
解析式，分别求出
和
的解析式，根据一次函数的单调性，可得
的值
域，作出图象即可.
【详解】（1）由题意，设
，
则
，
整理得
，即
，
则
，解得
，
又
，所以
.
（2）由（1）得
，定义域为R，
当
时，
，单调递减，所以
；
当
时，
，单调递增，所以
，
综上，
的值域为
，
的图象如图，
25．（25-26 高一上·广东茂名·期末）已知二次函数
满足
，且
，
为
偶函数，且当
时，
．
(1)求
的解析式；
(2)在给定的坐标系内画出
的图象；
(3)讨论函数
（
）的零点个数．
【答案】(1)
(2)作图见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）设出解析式，根据题目条件得到方程组，求出
，得到解析式；
（2）根据函数的奇偶性得到
的解析式，从而画出函数图象；
（3）在（2）的基础上，得到函数零点个数
【详解】（1）设
，则
因为
，
故
，
所以
，解得
，
因此
；
（2）当
时，
，
当
时，
，则
，
为偶函数，故
，
故
，
综上，
，
画出函数图象如下：
（3）由图可知，
，
，
当
时，函数
没有零点，
当
时，函数
只有两个零点，
当
时，函数
有四个零点，
当
时，函数
有三个零点，
当
时，函数
有两个零点
一、单选题
1．（25-26 高一上·云南昆明·期中）已知
，则函数
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用换元法求解即可.
【详解】令
，则
，
所以
，所以
.
故选：D
2．（25-26 高一上·四川成都·期中）已知函数
，且
，则的值为（ ）．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】令
，利用换元法求出
的解析式，再计算即可得解.
【详解】令
，则
，
因为
，所以
，
又
，即
，解得
，
所以的值为2.
故选：B
3．（25-26 高一上·江西赣州·期中）若
，则当
时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用配凑法即可解答.
【详解】因为
，且
，
所以
.
故选：A
4．（25-26 高一上·安徽合肥·期中）已知函数
满足
，则
等于（ ）
A．
B．1
C．5
D．9
【答案】C
【分析】应用赋值法计算求解.
【详解】令
得
，
令
得
，
联立解得
.
故选：C.
5．（25-26 高一上·湖南永州·期中）已知函数
满足
，则
的解析式为
（ ）.
A．
，
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用立方差公式以及换元法可求出函数
的解析式.
【详解】因为函数
满足
，
即
，
令
，则
，故
.
故选：C.
6．（25-26 高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数
满足
，
，
且
，则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】A
【分析】交换
可得
，进而可得
再令
可得
，最后根据基本不等式可得答案.
【详解】
，
．
①
则交换
可得，
,
化为
②
由
可得
①②
，
③
中令
③
可得
，
化简可得
，当
时等号成立，
所以
的最大值等于
．
故选：A
二、多选题
7．（25-26 高一上·浙江丽水·期末）下列函数中，满足
的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】对各选项解析式分别求出
即可判断.
【详解】对于A：
，则
，故A 正确；
对于B：
，则
，故B 错误；
对于C：
，则
，而
，
所以
，故C 错误；
对于D：
，则
，故D 正确.
故选：AD
8．（25-26 高三·全国·一轮复习）下列命题中正确的有（ ）
A．若一次函数
满足
，则函数
的解析式为
B．若
，则函数
的定义域为
C．若
，则函数
的解析式为
D．若函数
满足关系式
，则
【答案】BCD
【分析】设一次函数比对系数判定 A 错误，换元确定对数型函数定义域知 B 正确，配方变形推出对应函
数解析式证 C 正确，联立倒数替换所得方程组解出函数式得 D 正确，最终 BCD 正确 A 错误.
【详解】对于A，设
，则
，
因为
，所以
，解得
或
，
故函数
的解析式为
或
，A 错误；
对于B，令
，则
，则
，
，故函数的定义域为
，B 正
确；
对于C，
，
且
的取值范围是R，所以
，C 正确；
对于D，由
，得
，联立解得
，D 正确．
三、填空题
9．（25-26 高一上·陕西延安·期中）若
，则
的解析式为___________．
【答案】
【分析】利用换元法求函数解析式.
【详解】设
，则
，且
.
所以
，
.
所以
.
故答案为：
10．（25-26 高一上·重庆·期中）若
，且
，则
______.
【答案】
【分析】令
，利用换元法求解.
【详解】令
，则
，
因为
，所以
，
故
.
故答案为：
.
四、解答题
11．（2025 高二下·湖南株洲·学业考试）已知二次函数
满足
，且
的图象
经过点
.
(1)求
的解析式；
(2)若对
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设
，利用条件等式和图象经过的点，列出方程组，确定
的值，
即得函数的解析式；
（2）等价转化原不等式为
在
上的恒成立问题，结合二次函数的图象可得含参数
的不等式，解之即得.
【详解】（1）设
，由
可得：
，
即得
，解得
，故得
，
又
的图象经过点
，则
，
故
；
（2）由
可得
，
依题意，对
，不等式
恒成立，
故
，解得
，
即实数
的取值范围为
.
12．（25-26 高一下·河北唐山·开学考试）函数
，
，
(1)当
时，若
，求实数
的值；
(2)已知
，且
，求
的解集．
【答案】(1)
(2)当
时，不等式的解集为
；当
时，不等式的解集为
；当
时，不等式的解集为
.
【分析】（1）由
中对应项系数相等可得；
（2）由已知得
的关系，不等式化简后，根据
的大小分类讨论．
【详解】（1）当
时，
，
，
得
，
；
（2）
，
，
，
由
可得
，
整理并代入
得
，
即
，
已知
，若
，即
时，
或
，
若
，即
时，
，
若
，即
时，
或
，
综上所述：当
时，不等式的解集为
；
当
时，不等式的解集为
；
当
时，不等式的解集为
.
