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第16 题 “形觉数算”解决与圆有关的最值问题（解透一
题）
【江西省八所重点2025 届高三下学期4 月联考T14】
已知
是圆
上的一个动点，则
的最大值为 ．
本题已知
是圆
上的一个动点，求
的最大值、主要
考查学生对几何图形中角度的代数化处理能力，运用多种数学工具和方法求解角度相关量
的能力， 训练几何直观和图形感觉，提升解决与圆、角度相关综合问题的能力.
本题可率先设定点P 的坐标，而后运用向量的数量积公式来表示
，从而达成
的代数化，再依据三角函数的性质来求解
的最大值. 通过坐标系设定点
，结合向量点积和模长计算∠APB 的余弦值，实现几何性质的代数化.
解法1 直译法（向量夹角）
已知点P 为圆
上的一个动点，设
.由于点P 位于圆上，故而满足圆的方
程
. 已知
.依据向量坐标运算规则可得出：
. 可得到：
，
将
代入上式，可得到
.
根据向量模长公式可得到：
，
根据向量的夹角公式可得到：
（关键点 设
，则
）
则
．
故
.
方法点评：思路自然，计算难度极大，大概率无法进行到底.但中间的技巧值得
推敲掌握.
如果注意到点在圆上，采用圆的参数方程优化设元设元，减少参数的个数.
解法2 圆的参数方程优化设点
设
，当
时等号成立．
即
，则
．
故
方法点评：圆的参数方程通过三角函数将几何问题代数化，将复杂的几何关系
转化为参数θ 的单一变量问题，降低问题维度，是解析几何中的重要工具.但是
仍然没有解决计算繁杂的问题.思考角
的代数化，借助到角公式推导
的表达式， 依据直线斜率的夹角公式
（其中
为两直线
夹角，
分别为两直线斜率）.
解法3 夹角公式角的代数化
已知
，将其代入夹角公式可得
.
对分子分母分别进行通分运算，分子为
，
分母为
，所以
.
化简得到
.
表示点圆上
与点
所构成直线的斜率.
当直线与圆相切时，斜率取得最值.此时可得
.
由
以及
，
可推知
. 得出
.
方法点评：采用夹角公式（直线方向向量夹角公式）将几何角度问题代数化，相对解三角
形中利用余弦定理表示角得到了简化.如果进一步结合几何的图象特点呢？借助三角形外接
圆的特性以及圆周角与圆心角的关联来求取
的最大值.
解法4 圆的几何性实现角的代数化
设
的外接圆为圆C，半径为R.
依据圆周角定理：同弧所对的圆周角为圆心角的一半.在
的外接圆里，
属于圆
周角，它所对的弧为
，设圆心角
，则
.
已知
，则
.
由于A，B 两点均位于
轴上，所以圆心C 处于AB 的垂直平分线上，AB 的垂直平分线为
，
那么设圆心C 的坐标为
.
圆心C 到弦 AB 的距离
.
在以C 为圆心，AB 为弦的圆中，根据垂径定理可知，
，将
代入
可得：
，即
.
在
中，
.
因为P 是圆
上的一个动点，当圆C 与圆O 内切时，圆C)的半径R 最小，
此时
最大.
圆O 的圆心O(0，0)，半径R= 6，圆心C(1，b)到原点O 的距离
.
当圆C 与圆O 内切时，
，即
.
又因为
，即
，代入
可得：
可得
的最大值为
.
方法点评：借助圆的特点，极大优化了角的代数化.如果联想到解三角形的正弦
定理，是不是就直接联系到
.
解法5 正弦定理直接实现目标代数化
设圆
为
的外接圆，且半径为，则
，故
由于点
既在圆
上，也在圆
上，即圆
与圆
有公共点，当圆
与圆
内切时，圆
的半径最小，即
由于边
的垂直平分线为
，设
，则
，（两圆内切时圆心距
等于两圆半径之差
）
两边平方得
，两边消去
得：
，即
，
.
则
，故
.
方法点评：结合目标
，借助正弦定理和隐藏的圆，进一步实现运算的优化.如果动
态分析，研究角的变化.题目求sin∠APB 的最大值，联想到米勒问题----最大视角问题，米
勒问题.最大视角问题：已知点A、B 是平面上的两个定点，点P 是平面上一条定直线l 上的
动点，则当且仅当△ABP 的外接圆与直线l 相切于点P 时，∠APB 取得最大值.
定弦AB 所对圆周角满足: 圆外角<圆周角<圆内角.故作△ABP 的外接圆，不存在点
P 使定弦 AB 所对角∠APB 为圆内角即可确定张角最大.
解法6 米勒问题类比（形直观）
如图，过AB 作圆C 与圆O 内切于P，设D 是圆O 上不同于点P 的任意一点，连结DA 与
圆O 交于点E，连接EB，由三角形外角的性质，可知∠AEB>∠ADB，由圆周角定理:
∠APB=∠AEB，因此∠APB>∠ADB，当且仅当
的外接圆与圆0 相切于点P 时，∠APB
最大.
由于边
的垂直平分线为
，设
，则
，（两圆内切时圆心距
等于两圆半径之差
）
两边平方得
，两边消去
得：
，即
，
.
则
，故
.
解析几何小题（选择题、填空题）的解题方法需兼顾速度与准确性，需结合几何性质、代
数技巧和特殊方法灵活运用.解题可以思考形觉数算.
几何眼光观察是“形”的直觉推理，坐标法是“数”的精确运算.在解析几何中，前者为后
者提供简化问题的思路，后者为前者提供严谨验证的工具，两者相辅相成
几何眼光观察的流程：① 识别图形的几何特征（如中点、垂直、对称）；② 利用几何定
理推理（如三角形重心性质、平行线分线段成比例）；③ 直接得出几何结论.
坐标法的流程：① 建立坐标系；② 将几何条件翻译为代数方程（如直线方程、圆的方
程）；③ 通过代数运算（如解方程、求距离、判别式）得出结论.
【类题训练】
1．已知点
为圆
上的一动点，点
，
，则
的最大值
为 ．
【答案】
【分析】设
外接圆的圆心为
，半径为
.连接
，
，可得点
在线段
的垂
直平分线上，设点
的坐标为
，可得
，
，由正弦定理
知
最小，可得外接圆
与圆
内切时，
取得最大值，进而计算可求
的
最大值.
【详解】设
外接圆的圆心为
，半径为
.连接
，
.
由题意可得，点
在线段
的垂直平分线上，则可设点
的坐标为
，
所以
，
.
由正弦定理知
，所以
.
当
最小，即外接圆
与圆
内切时，
取得最大值，
此时圆心距等于两圆半径之差，
如图，则
，两边同时平方得
，
所以
，即
，所以
，
即
的最大值为
.
故答案为：
【侧重几何直观解题】
2．定义：点P 为曲线
外的一点，A，B 为曲线
上的两个动点，当
取最大值时，
为点P 对曲线
的张角．已知点P 为直线l：
上的动点，A，B 为圆O：
上的两个动点，设点P 对圆O 的张角为
，则
的最大值为 ．
【答案】
【分析】当过点O 的直线与直线l 垂直时张角最大，即可求解.
【详解】由题可知点P 在圆O 外，当PA，PB 均与圆O 相切时，
最大，则
也最大，此时
．
要使
最大，则
最小，又
的最小值为点O 到直线l 的距离，
所以
，所以
．
故答案为：
3．“脸谱”是戏曲舞台演出时的化妆造型艺术，更是中国传统戏曲文化的重要载体．如图，
“脸谱”图形可近似看作由半圆和半椭圆组成的曲线C．半圆
的方程为
，半椭圆
的方程为
．则下列说法正确的是（ ）
A．点A 在半圆
上，点B 在半椭圆
上，O 为坐标原点，OA⊥OB，则△OAB 面积的最大
值为6
B．曲线C 上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为7
C．若
，P 是半椭圆
上的一个动点，则cos∠APB 的最小值为
D．画法几何的创始人加斯帕尔·蒙日发现：椭圆中任意两条互相垂直的切线，其交点都在
与椭圆同中心的圆上．称该圆为椭圆的蒙日圆，那么半椭圆
扩充为整个椭圆
：
后，椭圆
的蒙日圆方程为
【答案】ABD
【分析】选项A，易得
，
，从而判断；选项B 根据椭圆的性质解决椭圆中
两点间距离问题；选项C 由椭圆定义可得到|PA|、|PB|之和为定值，由基本不等式可以得到
、|PB|乘积的最大值，结合余弦定理即可求出cos∠APB 的最小值；选项D 中分析蒙日
圆的关键信息，圆心是原点，找两条特殊的切线，切线交点在圆上，求得圆半径得圆方程．
【详解】解：对于A，因为点A 在半圆
上，点B 在半椭圆
上，O 为坐标原点，
OA⊥OB，
则
，
，
则
，
当
位于椭圆的下顶点时取等号，
所以△OAB 面积的最大值为6，故A 正确；
对于B，半圆
上的点到
点的距离都是，
半椭圆
上的点到
点的距离的最小值为，最大值为
，
所以曲线C 上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为7，故B 正确；
对于C，
是椭圆
的两个焦点，
在△PAB 中，
，由余弦定理知：
，
当且仅当
时取等号，
所以cos∠APB 的最小值为
，故C 错误；
对于D，由题意知：蒙日圆的圆心O 坐标为原点(0，0)，在椭圆
：
中取两条切线：
和
，它们交点为
，
该点在蒙日圆上，半径为
此时蒙日圆方程为：
，故D 正确．
故选：ABD．
4．古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262 年至前190 年）与欧几里得、阿基米德齐
名，著有《圆锥曲线论》八卷．平面内两个定点
及动点
，若
（
且
），则点
的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．点
为圆
上一动点，
为圆
上一动点，点
，
则
的最小值为 ．
【答案】9
【分析】根据数量关系
可得
，即
，又
，进而由
可得答案.
【详解】由
为圆
上一动点，得
，
由
为圆
上一动点，得
，
又
.
因为
，所以
，
于是
.
当
共线且
时
取得最小值，即
.
所以
，
当
共线时等号成立.
故答案为：9．
【定线段张定角正弦定理隐藏圆】
5．在
中，角
所对的边分别为
已知
，若点
M 为
中点，且
，则中线
的最大值是 ．
【答案】
【分析】利用边化角，先求出
，再利用外接圆，即可判断最大值点.
【详解】由
,结合正弦定理边化角得：
，
再由三角形内角和定理得：
，
即
，
因为
，所以
，即可得
，
又因为
，所以
,
在
中，
，
，可知三角形的外接圆半径为
，
故点B 的轨迹是以
为弦，所对角
的圆弧，且是优弧，
由平面几何知识得，当
边上的中线
就是
边上的高，
即当且仅当
时，
最大值为
.
故答案为：
.
6．锐角
中，内角
、
、
所对的边分别为
、
、，
，
且
，则
面积的取值范围是 .
【答案】
【解析】利用正弦定理、余弦定理可得出
的值，可求得角
的值，利用正弦定理、三
角恒等变换思想可得出
，求出角
的取值范围，利用正弦型函
数的基本性质可求得
面积的取值范围.
【详解】由正弦定理可得
，所以，
，
可得
，所以，
，
，
，
由正弦定理可得
，
，
，
，
因为
为锐角三角形，则
，解得
，
，
，则
.
因此，
面积的取值范围是
.
故答案为：
.
【点睛】方法点睛：求三角形有关代数式的取值范围是一种常见的类型，主要方法有两类：
（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；
（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.
