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创新考法6 学科融合交汇题（小题狂练）
一．单选题.
【交汇科技 2024 山东枣庄模拟预测】
1．对数螺线广泛应用于科技领域．某种对数螺线可以用
表达，其中
为正实数，
是极角，
是极径．若
每增加
个单位，则
变为原来的（ ）
A．
倍
B．
倍
C．
倍
D．
倍
【答案】B
【分析】设
所对应的极径为
，
所对应的极径为
，根据所给表达式及指数
幂的运算法则计算可得.
【详解】设
所对应的极径为
，则
，
则
所对应的极径为
，所以
，
故
每增加
个单位，则
变为原来的
倍.
故选：B
【交汇人工智能 2025 北京东城期末】
2．近年来，人工智能快速发展，AI 算法是人工智能的核心技术之一.现有一台计算机平均
每秒可进行
次运算，在这台计算机上运行某个AI 算法来生成一个文案需要
次运算，
则生成这个文案需要的时间约为（ ）（本题取
）
A．1 秒
B．10 秒
C．20 秒
D．50 秒
【答案】B
【分析】根据题意，利用对数的运算计算
与
的商即可得解.
【详解】因为这台计算机平均每秒可进行
次运算，
所以
次运算需要
秒，
而
，
所以
.
故选：B.
【交汇物理 2025 上浙江宁波期中】
3．中国5G 技术领先世界，其数学原理之一便是香农公式：
，它表示：
在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速率
取决于信道带宽
、信道内信号的平均功率
、信道内部的高斯噪声功率
的大小，其中
叫信噪比.按照香农公式，若不改变带宽
，将信噪比
从2000 提升至10000，则
大约增加了
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由已知公式，将信噪比
看作整体，分别取
求出相应的
值，再利用
对数运算性质与换底公式变形即可得解.
【详解】由题意，将信噪比
从2000 提升至10000，
则最大信息传递速率
从
增加至
，
所以
.
故选：B.
【交汇航海 2024 甘肃白银一模】
4．位于某海域
处的甲船获悉：在其正东方向相距40 海里的
处有一艘渔船遇险后抛锚
等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船北偏东
且与甲船相距30 海里的
处的乙船，让乙船也前往救援，则乙船至少需要航行的海里数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由余弦定理求解即可；
【详解】如图，由题可知
.
在
中，由余弦定理可得
海里，
所以乙船至少需要航行的海里数为
.
故选：A.
【交汇光学 2025 上北京西城期末】
5．在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率（单位：
W）可表示为
，其中
为起始光功率（单位：W），
为衰减系数，
为接收
信号处与发射器间的距离（单位：km）.已知距离发射器
处的光功率衰减为起始光功
率的一半.若当距离由
km 变到
km 时，光功率由
变到
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据给定的函数模型，代入列式，利用指数运算化简得答案.
【详解】依题意，
，则
，
由
、
，得
，
所以
.
故选：A
【交汇地理 2024 山西太原模拟】
6．北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们成的图形
像我国古代舀酒的斗，故命名北斗七星.北斗七星不仅是天上的星象，是古人藉以判断季节
的依据之一.如图，用点A，B，C，D，E，F，G 表示某季节的北斗七星，其中B，D，E，
F 看作共线，其他任何三点均不共线，若过这七个点中任意三个点作三角形，则所作的不
同三角形的个数为（ ）
A．35
B．34
C．31
D．30
【答案】C
【分析】由间接法，从所有三角形中减去不能构成三角形的情况计算即可.
【详解】从这七个点任意选取三个点有
个，
其中共线的四点中有
个不能构成三角形，
所以不同的三角形个数有31 个，
故选：C.
【交汇历史 2024 安徽合肥检测】
7．三星堆古遗址作为“长江文明之源"，被誉为人类最伟大的考古发现之一.3 号坑发现的
神树纹玉琮，为今人研究古蜀社会中神树的意义提供了重要依据.玉琮是古人用于祭祀的礼
器，有学者认为其外方内圆的构造，契合了古代“天圆地方”观念，是天地合一的体现，
如图，假定某玉琮形状对称，由一个空心圆柱及正方体构成，且圆柱的外侧面内切于正方
体的侧面，圆柱的高为12cm，圆柱底面外圆周和正方体的各个顶点均在球O 上，则球O
的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意可知正方体的体对角线即是外接球的直径，又因圆柱的外侧面内切于正
方体的侧面，可利用勾股定理得出正方体边长，继而求出球的表面积.
【详解】不妨设正方体的边长为
，球О 的半径为R，则圆柱的底面半径为a，
因为正方体的体对角线即为球О 直径，故
，
利用勾股定理得：
，解得
，球的表面积为
，
故选：C.
【与经济学交汇 2024 湖南益阳模拟预测】
8．2023 年的某一天某红酒厂商为了在线出售其红酒产品，联合小Y 哥直播间，邀请某
“网红”来现场带货．在带货期间，为吸引顾客光临直播间、增加客流量，发起了这样一
个活动：如果在直播间进来的顾客中，出现生日相同的顾客，则奖励生日相同的顾客红酒
1 瓶．假设每个随机来访的顾客的出生日期都是相互独立的，并且每个人都等可能地出生
在一年（365 天）中任何一天（2023 年共365 天），在
远小于365 时，近似地
，
，其中
．如果要保证直播间至
少两个人的生日在同一天的概率不小于
，那么来到直播间的人数最少应该为（ ）
A．21
B．22
C．23
D．24
【答案】C
【分析】设人数为
，根据古典概型概率公式求出“至少有两个人在同一天生日”的概率，
再进行化简计算即可.
【详解】设直播间进来了
个人，则这
个人生日的可能性有
种，这
个人中
任意两个人都不在同一天生日的可能结果种数为
，
设
“这
个人中任意两个不是同一天生日”，根据古典概型概率公式可得
，
则其对立事件
“这
个人中至少有两个人的生日在同一天”的概率为
.
由题意：
，从而
，得
，化简得
，即
，故
.
故选：C.
【交汇体育 原创】
9．“50 米跑”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项．某地区高三男生的“50
米跑”测试成绩
（单位：秒）服从正态分布
，且
．从该地区高三
男生的“50 米跑”测试成绩中随机抽取3 个，其中成绩在
之间的个数记为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用正态分布的对称性判断A；二项分布的期望求法判断B；利用变量之间关系
求期望判断C；利用二项分布的概率算法判断D；
【详解】A 选项，由正态分布曲线的对称性可知
，故
，A 错误．
B 选项，
，故
，B 错误．
C 选项，
，故
，C 错误．
D 选项，因为
，
D 正确．
故选：D
【交汇化学 2024 湖南师大附中检测】
10．键线式可以简洁直观地描述有机物的结构，在有机化学中极其重要．有机物萘可以用
左图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为右图所示的图形．已知
与
为全等的正六边形，且
，点
为该图形边界（包括顶点）上的一点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】取线段
的中点
，可得出
，求出
的最大值和最小值，
即可得出
的取值范围.
【详解】取线段
的中点
，则
，
，
由图可知，当点
与点
重合时，
取最小值，且
，
由图形可知，当
取最大值时，点
在折线段
上，
连接
，则
，
同理
，
由正六边形的几何性质可知，
，
所以，
，
则
、
、
三点共线，则
，即
，
当点
在线段
上从点
运动到点
的过程中，
在逐渐增大，
同理可知，
，
当点
在线段
上由点
到
的过程中，
在逐渐增大，
所以，当
取最大值时，点
在折线段
上运动，
以线段
的中点
为坐标原点，
所在直线为
轴，
线段
的垂直平分线所在直线为
轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则
、
、
、
、
、
、
，设点
，
（1）当点
在线段
上运动时，
，
直线
的方程为
，即
，
所以，线段
的方程为
，
则
；
（2）当点
在线段
上运动时，
，
，则
，
所以，
；
（3）当点
在线段
上运动时，
，
直线
的方程为
，即
，
所以，线段
的方程为
，
所以，
，
因为函数
在
上单调递增，
故
.
综上所述，
的最大值为
，故
，
故
的取值范围是
.
故选：B.
【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：
（1）利用定义：
（2）利用向量的坐标运算；
（3）利用数量积的几何意义．
具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
【交汇生物 2024 北京海淀一模】
11．某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1.通过观察发现，该黏
菌繁殖符合如下规律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉
的角度约为
），再沿直线繁殖，…；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直
线繁殖的距离的一半.于是，该组同学将整个繁殖过程抽象为如图2 所示的一个数学模型：
黏菌从圆形培养皿的中心O 开始，沿直线繁殖到
，然后分叉向
与
方向继续繁殖，
其中
，且
与
关于
所在直线对称，
….
若
，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半径r（
，
单位：
）至少为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】C
【分析】根据黏菌的繁殖规律可得每次繁殖在
方向上前进的距离，结合无穷等比递缩
数列的和的计算公式，即可判断答案.
【详解】由题意可知，
，只要计算出黏菌沿直线一直繁殖下去，在
方向上
的距离的范围，即可确定培养皿的半径的范围，
依题意可知黏菌的繁殖规律，由此可得每次繁殖在
方向上前进的距离依次为：
，
则
，
黏菌无限繁殖下去，每次繁殖在
方向上前进的距离和即为两个无穷等比递缩数列的和，
即
，
综合可得培养皿的半径r（
，单位：
）至少为8cm，
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题考查了数列的应用问题，背景比较新颖，解答的关键是理解题
意，能明确黏菌的繁殖规律，从而求出每次繁殖在
方向上前进的距离的和，结合等比
数列求和即可.
二．多选题.
【交汇交通 2025 年浙江期中】
12．某校南门前有条长80 米，宽8 米的公路（如图矩形
），公路的一侧划有16 个
长5 米宽2.5 米的停车位（如矩形
），由于停车位不足，放学时段造成道路拥堵，学
校提出一个改造方案，在不改变停车位的大小和汽车通道宽度的条件下，通过压缩道路边
绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度
（米），停车位相
对道路倾斜的角度
，其中
，则（ ）
A．
B．
C．该路段改造后的停车位比改造前增加8 个D．该路段改造后的停车位比改造前增加9 个
【答案】AD
【分析】根据
构造对偶式
求出
，再根据
的范围可得答案.
【详解】∵
，
∴
，
构造对偶式可得，
，平方相加得
，
由
，可得
或
，
又
，所以
，
，
该路段改造后的停车位比改造前增加9 个.
故选：AD.
【交汇环境 2024 河南模拟预测】
13．某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经
抢修排气扇恢复正常，每排气4 分钟后测得车库内的一氧化碳浓度变为原来的
.由检验知
该地下车库一氧化碳浓度
（ppm）与排气时间（分钟）之间存在函数关系
，其
中
（
为常数）.已知空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm 为正常，人可以安全进
入车库.若刚好经过
（分钟），人就可以安全进入车库了，则（ ）
A．
B．
C．
D．排气12 分钟后，车库内的一氧化碳浓度
变为9ppm
【答案】ACD
【分析】由题意可设
，再由已知列关于
，
的方程组，求出
判断A
与B；进一步求出
的解析式，算出
，判断C 与D．
【详解】由题意可设
，则
，此时
为常数，
由题意，
，则
，即
，
所以
，故A 正确，B 错误；
因为刚好经过
（分钟），人就可以安全进入车库了，
所以
，又由
，得
，
，
解得
，所以
，故C 正确；
，故排气12 分钟后，车库内的一氧化碳浓度变为9ppm，故D 正确.
故选：ACD.
【交汇文化 2025 云南玉溪阶段练习】
14．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农
政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的
每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个半径为R 的圆，设筒车按逆
时针方向每旋转一周用时60 秒，当
，盛水筒M 位于点
，经过t 秒后运动到
点
，点P 的纵坐标满足
（
，
，
），则下列
叙述正确的是（ ）
A．筒车转动的角速度
B．当筒车旋转10 秒时，盛水筒M 对应的点P 的纵坐标为0
C．当筒车旋转50 秒时，盛水筒M 和初始点的水平距离为
D．盛水筒M 第一次到达最高点需要的时间是25 秒
【答案】ABD
【分析】根据题意，确定函数解析式，结合正弦型函数的性质逐一判断即可.
【详解】A：因为筒车按逆时针方向每旋转一周用时
秒，
所以
，因此A 正确；
B：因为当
时，盛水筒
位于点
，所以
，
所以有
，因为
，所以
，
即
，
所以
，因此B 正确；
C：由B 可知：盛水筒
的纵坐标为
，设它的横坐标为
，
所以有
，因为筒车旋转
秒时，所以此时盛水筒
在第三象限，
故
，盛水筒
和初始点
的水平距离为
，因此C 错误；
D：因为
，所以筒车在
秒的旋转过程中，
盛水筒
第一次到达最高点所需要的时间是
，因此D 正确.
故选：ABD
【交汇科技 2025 江苏盐城期中】
15．如图所示，2024 年5 月3 日“嫦娥六号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球
附近一点
变轨进入以月球球心
为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在
点第
二次变轨进入仍以
为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在
点第三次变轨进入
以
为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用
和
分别表示椭圆轨道I 和II 的焦距，用
和
分别表示椭圆轨道I 和II 的长轴的长，给出下列式子正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据给定图形，根据焦距含义直接判断A；由轨道Ⅰ和Ⅱ的相同
值判断B；
由
变形推理判断C，D 作答.
【详解】对A，观察给定图形，显然
，则
，故A 正确；
对B，由
及
得
，B 正确；
对CD，因
，即
，有
，
得
，
令
，
，即有
，由给定轨道图知，
，
因此，
，D 正确；而
，C 不正确.
故选：ABD
【交汇地理 2025 湖北开学考试】
16．受潮汐影响，某港口5 月份每一天水深y（单位：米）与时间x（单位：时）的关系都
符合函数
（
，
，
，
）.根据该港口的安全
条例，要求船底与水底的距离必须不小于2.5 米，否则该船必须立即离港，一艘船满载货
物，吃水（即船底到水面的距离）6 米，计划于5 月10 日进港卸货（该船进港立即可以开
始卸货），已知卸货时吃水深度以每小时0.3 米的速度匀速减少，卸完货后空船吃水3 米
（不计船停靠码头和驶离码头所需时间）.下表为该港口5 月某天的时刻与水深关系：
时刻
2：00
5：00
8：00
11：00
14：00
17：00
20：00
23：00
水
深/米
10
7
4
7
10
7
4
7
以下选项正确的有（ ）
A．水深y（单位：米）与时间x（单位：时）的函数关系为
，
B．该船满载货物时可以在0：00 到4：00 之间以及12：00 到16：00 之间进入港口
C．该船卸完货物后可以在19：00 离开港口
D．该船5 月10 日完成卸货任务的最早时间为16：00
【答案】ABD
【分析】根据题意求出函数的解析式，即可判断A；解不等式组
，即可判断B；求出19 时水的深度，即可判断C；求出函数
与
的图象的交点，即可判断D.
【详解】解：依题意
，
，
，解得
，
显然函数
的图象过点
，
即
，又
，因此
，
所以函数表达式为
，
，故A 对；
依题意，
，整理得
，
即有
，
即
,
解得
或
，
所以该船可以在0 点到4 点以及12 点到16 点进入港口，故B 对；
该船卸完货后符合安全条例的最小水深为5.5，
19 时水深为
，故C 错；
该船0 点进港即可以开始卸货，设自0 点起卸货x 小时后，
该船符合安全条例的最小水深为
函数
与
的图象交于点
，
即卸货5 小时后，在5 点该船必须暂时驶离港口，此时该船的吃水深度为4.5 米，
下次水深为7 米时刻为11 点，
故该船在11 点可返回港口继续卸货，5 小时后完成卸货，此时为16 点，
综上，该船在0 点进港开始卸货，5 点暂时驶离港口，11 点返回港口继续卸货，16 点完成
卸货任务，故D 对.
故选：ABD.
【交汇经济 2024 辽宁沈阳模拟预测】
17．某人买一辆15 万元的新车，购买当天支付3 万元首付，剩余向银行贷款，月利率
，分12 个月还清（每月购买车的那一天分期还款）.有两种金融方案：等额本金还款，
将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，
即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率；
等额本息还款，每一期偿还同等数额的本息和，利息以复利计算.下列说法正确的是（ ）
A．等额本金方案，所有的利息和为2340 元
B．等额本金方案，最后一个月还款金额为10030 元
C．等额本息方案，每月还款金额中的本金部分呈现递增等比数列
D．等额本金方案比等额本息方案还款利息更少，所以等额本金方案优于等额本息方案
【答案】ABC
【分析】对于AB，根据等额本金的还款方案分析计算即可，对于C，等额本息的还款方案
分析判断，对于D，通过比较两种还款方案的优劣进行判断.
【详解】对于A，利息和为
（元），
故A 正确；
对于B，倒数第二个月还款后，剩余本金10000，一个月利息为30 元，本息和应为10030
元，故B 正确；
对于C，设第
个月贷款利息为
，偿还本金为
，
为贷款总额，
则
，
，则
，
，则
，
同理得
，
，……，
，
所以数列
是以
为公比的递增等比数列，所以C 正确;
对于D，由选项C 可知，
，得
，
所以每月还款的本息和为
，
所以等额本息还款利息和为
两种贷款方案各有优劣，比等额本金高，但等额本金方案起初还款金额高，还款压力大，
还款金额逐年递减；等额本息每月还款金额相同，低于等额本金方案前半段时间还款额，
高于后半段时间还款额；还有通货膨胀等诸多经济因素影响两种方案的收益，故不能简单
认为某种贷款方案优于另一种方案，故D 错误.
故选：ABC.
【点睛】思路点睛：在遇到分期付款问题时，根据题意把问题转化为数列问题，进而利用
数列的性质即可求解.
三．填空题.
【交汇生物 2024 河北沧州模拟】
18．自然界中某些生物的基因型是由雌雄配子的基因组合而成的，这种生物在生育下一代
时，成对的基因相互分离形成配子，配子随机结合形成下一代的基因型．若某生物群体的
基因型为
，在该生物个体的随机交配过程中，基因型为
的子代因无法适应自然环境
而被自然界淘汰．例如当亲代只有
的基因型个体时，其子一代的基因型如下表所示：
雌
雄
由上表可知，子一代中
，子一代产生的配子中A 占
，a 占
，以此类推，子
七代中
的个体所占的比例为 ．
【答案】
##
【分析】本题考查数列的综合应用，要求考生能从实际问题中抽象出数列的递推关系式，
能利用等差数列解决实际问题．
【详解】设子n 代中
占比为
，则
占比为
，
所以
，则子
代的基因型如下表所示：
雌
雄
由表可知，表格中总份数为
（其中淘汰了
份），
因此子
代中
的占比为
，
化简得
，即
，即
，
所以数列
是首项为
，公差为
的等差数列，
所以
，
，因此
．
故答案为：
.
【交汇设计 2025 江苏阶段练习】
19．有一直角转弯的走廊（两侧与顶部封闭），已知两侧走廊的高度都是6 米，左侧走廊
的宽度为
米，右侧走廊的宽度为1 米，现有不能弯折的硬管需要通过走廊．设可通过
的最大极限长度为米（不计硬管粗细）．为了方便搬运，规定允许通过此走廊的硬管的
最大实际长度为
米，则
的值是 ．
【答案】8
【分析】先研究铁管不倾斜时，令
，建立
，
，
利用导数求出
；再研究铁管倾斜后能通过的最大长度.
【详解】如图，铁管不倾斜时，令
，
，
，
，
，
.
令
，解得：
，令
，解得：
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
此时通过最大长度
，所以
，所以倾斜后能通过的最大长度
，
所以
.
故答案为：8.
【交汇建筑 2024 上海嘉定一模】
20．某公园为了美化环境，计划建造一座拱桥DACBE，已知该桥的剖面如图所示，共包括
一段圆弧形桥面
和两段长度相等的直线型桥面
，圆弧形桥面
所在圆的半
径为4 米，圆心
在
上，且
和
所在直线与圆
分别在连结点
和
处相切.已知
直线型桥面的修建费用是每米0.4 万元，弧形桥面
的修建费用是每米2.5 万元，设
，根据空间限制及桥面坡度的限制，
的范围为
，则当桥面修建总费用
最低时
的正弦值为 .
【答案】
##
【分析】先根据已知得出桥面修建总费用
，结合导
函数得出极值点即可得出最小值.
【详解】连接
，依题意，
，则
，
，
的长度为
，
则桥面修建总费用
，
而
，求导得
，
当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增，
所以当且仅当
时，
取得最小值，即桥面修建总费用最低.
故答案为：
.
【交汇经济学 原创】
21．本福特定律，也称为本福特法则，指的是在
进位制中，以数
起头的多位数出现的
概率为
．本福特定律可以用于检查各种数据是否存在造假，例如在会计审计中，
可以利用本福特定律来检测财务报表数据的真实性．在从实际生活得出的一组十进制数据
中，以1 为首位数字的多位数出现的概率约为 ；首位数字为2 的多位数出现的概率与
首位数字为5 的多位数出现的概率的比值约为 ．（结果均保留两位有效数字，参考数
据：
）
【答案】 0.30 2.2
【分析】利用题干中给的概率公式
代入即可求得第一个空，分别求出首位数字为
2 的多位数出现的概率与首位数字为5 的多位数出现的概率，再做商即可得第二个空的结
果.
【详解】依本福特定律知，在一组十进制数据中，一个多位数的首位数字是1 的概率为
．
十进制中，一个多位数的首位数字是2 的概率为
，
一个多位数的首位数字是5 的概率为
，则
．
故答案为：0.30；2.2
【交汇旅游 2024 四川乐山三模】
22．峨眉山是一个著名的旅游和朝圣地，以其壮丽的自然风光和宗教文化遗址而闻名.其中
“九十九道拐”景点约有2000 级台阶，某游客一次上1 个或2 个台阶，设爬上第
个台阶
的方法数为
，给出下列四个结论：
①
；②
；③
；④
.
其中所有正确结论的序号是 .
【答案】①②④
【分析】根据题意可以得到
,再对每一个进行判断即可.
【详解】由于到第
级阶梯有两种方法：从第
级阶梯上一级台阶或者从第
级阶梯
上两级台阶，
因此由题意有
，
可得
,
当
时，
,所以②正确;
所以
, 所以①正确,
所以
，③错误;
,所以④正确.
故答案为：①②④
【交汇经济 2024 江苏泰州模拟预测】
23．为某商品设计一个“H”型商标，如图所示，“H”型商标由两竖一横三个等宽的矩形组
成．设计要求“H”型商标关于点O 中心对称，两个竖直矩形全等且它们的长边是横向矩形
长边的2 倍，点O 到点A 的距离为4cm．若记“H”型商标的面积为S，则S 的最大值为
．
【答案】
【分析】记
为右侧竖直矩形，过
作
，垂足为
，
交
于
，设
，
，根据已知条件得到
，
，从而得到“H”型商标的面积解析式，
从而得到，再利用三角函数的性质求最大值即可.
【详解】记
为右侧竖直矩形，过
作
，垂足为
，
交
于
，
设
，
，
所以
，
，
所以
，
，
所以
，由已知
，
所以“H”型商标的面积
，
所以
，
所以
，
所以当
时，取最大值，最大值为
，
此时
，
故答案为：
.
【交汇物理 教材溯源题】
24．应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜，这种望远镜的特
点是，镜铜可以很短而观察天体运动又很清楚．某天文仪器厂设计制造的一种反射式望远
镜，其光学系统的原理如图（中心截口示意图）所示．其中，一个反射镜
弧所在的
曲线为抛物线，另一个反射镜
弧所在的曲线为双曲线一个分支．已知
是双曲线
的两个焦点，其中
同时又是抛物线的焦点，且，
的
面积为10，
，则抛物线方程为 ．
【答案】
【分析】设
，由
，解出得
点坐标，结合
得抛物线方程.
【详解】以
的中点
为原点，
为
轴，建立平面直角坐标系，
不妨设
．
由
，则有
，解得
，
又
，解得
，
，则有
，
故抛物线方程为
．
故答案为：
【交汇化学 2024 年全国专题练习】
25．晶胞是构成晶体的最基本的几何单元，是结构化学研究的一个重要方面在如图（1）所
示的体心立方晶胞中，原子
与
（可视为球体）的中心分别位于正方体的顶点和体心，
且原子
与8 个原子
均相切，已知该晶胞的边长（图（2）中正方体的棱长）为
，则
当图（1）中所有原子
个
原子与1 个
原子）的体积之和最小时，原子
的半径
【答案】
【分析】根据
原子与1 个
原子的直径和为正方体的体对角线长得到
，再由8
个
原子与1 个
原子的体积之和为
，利用导数法
求解.
【详解】
正方体的棱长为
，则该正方体的体对角线长为
，
设
原子的半径为，
原子的半径为
，依题意，
，即
，
，
个
原子与1 个
原子的体积之和为：
，
令
，
，则
，
由
，得
，当
时，
，
当
时，
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
即当
时，
取得最小值，
当图（1）中所有原子
个
原子与1 个
原子）的体积之和最小时，原子
的半径为
．
故答案为：
．
1.试题特点分析：学科融合交汇题题目体现了数据的应用型和工具性，是通过全新的问
题情景、前沿科技信息提炼数学知识，要求考生依据题目提供的信息，联系所学的知识和
方法，实现应用数学解决多领域的问题，达到灵活解题的目的.
2.解题方法阐述：首先要对题干进行信息提取，明确所提供领域信息与数学的关系，找
出关键题眼，其次明确知识联系与加工，探求建模思想，寻找利用数学知识解决综合问题
的能力.
3.解题经验分享：第一、认真审题，从题干中提取数学信息，只有准确把握题意，才能
进行后续的解题步骤. 第二、建立适当的数学模型，这样可以借助已有的函数模型和解题
经验来处理.第三、回归实际问题.
