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创新考法7 分层考查“一题两空”题（小题狂练）
一、填空题.
【函数的定义域 2024 年广东惠州模拟预测】
1．若函数
定义域为
，则实数
实数b 的取值范围 ．
【三角恒等变换 2024 年青海一模】
2．若锐角
满足
，则
，
．
【统计 2025 上山西大同期末】
3．我市教育局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100 名学生，他们的
身高都处在
五个层次内，根据抽样结果得到如图的统计图表，则样本中人数最
多的是 层，样本中
层的男生人数为 人.
【离散型随机变量的分布列和期望 2024 新疆乌鲁木齐模拟预测】
4．已知
，随机变量X 的分布列为
Ｘ
1
2
3
4
P
a
b
的最小值为 ，此时X 的数学期望为 ．
【直线和圆 2024 浙江台州一模】
5．已知圆
，其中
，若圆
上仅有一个点到直线
的距离为1，则
的值为 ；圆
的半径取值可能为 （请写出一个可能的半
径取值）．
【解三角形 2024 河南新乡一模】
6．在
中，角
的对边分别为
，
的面积
，
则
的最小值为 ，此时
的周长为 ．
【条件概率 2024 天津市耀华中学模拟】
7．盒子里装有同样大小的4 个白球和3 个黑球，甲先从中取2 球（不放回），之后乙再从
盒子中取1 个球.（1）则甲所取的2 个球为同色球的概率为 ；（2）设事件
为“甲所取的2 个球为同色球”，
事件为“乙所取的球与甲所取的球不同色”，则在事
件
发生的条件下，求事件
发生的概率
.
【函数的性质 2024 福建宁德二模】
8．定义在
上的函数
满足
是奇函数，则
的对称中心为 ；
若
，则数列
的通项公式为
.
【复数 2024 广东广州一中模拟】
9．已知
是关于x 的方程
的一个根，则实数
，实数
.
【独立事件的乘法公式 2025 上天津南开期末】
10．已知甲乙丙三人参加射击比赛，甲乙丙三人射击一次命中的概率分别为
､
､
､
､
，
且每个人射击相互独立，若每人各射击一次，则三人中恰有两人命中的概率为 ；
在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中的概率为 .
【基本不等式 原创】
11．已知正实数
，
满足
，则
的最大值为 ；
的最
大值为 ．
【等差数列 2025 上山东济宁阶段练习】
12．已知
是各项均为正数，公差不为0 的等差数列，其前n 项和为
，且
成等比数列.则数列
的通项公式为 ；若定义在数列
中，使
为整数的
叫做“调和数”，则在区间
内所有“调和数”之和为
.
【三角函数的应用 2025 天津期中】
13．折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能
折叠的扇子，如图1．其展开几何图是如图2 的扇形
，其中
，
，
，点
在
上（包含端点），则
；
的取值范围是
．
【分组（并项）法求和 2024 江苏泰州模拟预测】
14．设
为数列
的前
项和，
，
，则
（1）
；
（2）
.
【三角函数新定义 2024 福建泉州模拟预测】
15．人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机
分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份．在人脸识
别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离
和余弦距离．若二维空间有两个点
，则曼哈顿距离为：
；余弦相似度为：
；余弦距离为
．若
，则A，B 之间的曼哈顿距离
和余弦距离和为 ；已知
，若
，则
的值为 ．
【抛物线 链接人教A 选必一P146 复习参考题3T10】
16．抛物线
的焦点为
，顶点为
，其上两点
（均异于原点
）满足
，则直线
过定点 ；过点
作
于点
，则
的取值范围是 ．
【曲线的切线 2024 重庆市南开中学模拟】
17．定义关于
的曲线
，则与曲线
和
都相切的直
线的方程为 ，
，已知
，若关于
的方程
有三个不同的实根，则
.
【数列的求和 2024 辽宁实验中学测试】
18．我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其
意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.已知长度为
的线段
，取
的
中点
，以
为边作等边三角形（如图1），该等边三角形的面积为
，再取
的中
点
，以
为边作等边三角形（如图2），图2 中所有的等边三角形的面积之和为
，
以此类推，则
，
.
【解三角形的应用 2024 云南大理期末】
19．周末，小华到崇圣寺三塔景区进行研学活动，他准备测量主塔——千寻塔的高度.如图，
小华身高1.7 米，他站的地点
和千寻塔塔底
在同一水平线上，他直立时，测得塔顶
的仰角
（点
在线段
上，
.忽略眼睛到头顶之间的距离，下同）.
他沿线段
向塔前进100 米到达点
，在点
直立时，测得塔顶
的仰角
，
则可求得塔高
为 米（参考数据
0.68）；若塔顶端包含一个
塔尖
，且
约8 米，小华在线段
间走动到点
时，他直立看塔尖
的视角最大
（即
最大），则此时他距离塔身的距离（即
）为 米.
【几何中的三角函数模型 2024 江苏南通阶段测试】
20．在数学建模探究课上，某小组同学将一张矩形纸片的右下角折起，使得该角的顶点落
在矩形的左边上如图所示，其中
cm 若
，则
的面积是
cm2随着点P 的位置不同，折痕EF 的长度在改变，其最小值是 cm
【平面向量的应用 原创】
21．窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．图1 是一个正八边形窗
花，图2 是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．在正八边形
中，若
，则
的值为 ；若正八边形
的边长为2，
是正八边形
八条边上的动点，则
的取值范围是 ．
【数列新定义 2025 山东临沂阶段测试】
22．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3 再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反
复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈
．这就是数学史上
著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数
，根据上述运算法则得出
，共需经过8 个步骤变成1（简称为8 步“雹程”）．
现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列
满足：
（m 为正整数），
，当
时，使得
需要 步雹程；若
，则m
所有可能的取值集合M 为 ．
【空间中两点间的距离 2024 江西新余模拟预测】
23．在空间直角坐标系中，
,
,
,
,
，设点O 关
于
所确定的平面对称的点为
，
的长度记为以
为自变量的函数
，则当
时，
取最小值；这个最小值为： .
【圆锥曲线 2024 年云南模拟预测】
24．已知椭圆
与双曲线
的左、右焦点
相同，分别为
，
，
与
在第一象限内交于点
，且
，
与
的离心率分
别为
，
．则
，
的取值范围是 ．
【导数的应用 2024 年江苏宿迁一模】
25．设集合
则集合中最小的元素是 ，集合中最大的元
素是 ．
1.试题特点分析：一题两空题一般有两种形式：平行设计和递进设计. 平行式，关联性
较弱，往往两空互不影响；递进式，采用层层深入的方式，一般都是前基础后延伸，前特
殊后一般，前后关联，从而步步推进， 一般第一个空较为简单，第二个空增加难度.
2.解题方法阐述：解决一题两空题目，解题过程一般不超过3 步，解题方法力求通法通
解与“秒杀大招”的多样化，题目中的第一空往往比较简单，可以实施分步得分.
3.解题经验分享：第一、准确读懂题意，快速链接所学知识； 第二、搞清前后两空的关
联关系（平行式或递进式）.第三、通过逻辑推理、数学运算等得到答案.
