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专题2.3 求函数的值域
【考点1：常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域】............................................................2
【考点2：复杂（根式型、分式型等）函数的值域】............................................................................................8
【考点3：根据值域求参数的值或者范围】.........................................................................................................12
【考点4：抽象函数的值域】.................................................................................................................................17
【考点5：复合函数的值域】.................................................................................................................................21
【考点1：常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域】
1．（专题11 函数定义域和值域的求法（十一类重难点题型）（压轴题专项训练）数学苏教版2019 高一必
修第一册）（多选）（多选）下列函数中，值域不是
的是（ ）
A．
B．
（
）
C．
（
）
D．
【答案】ABC
【分析】分别求出各函数的值域即可判断.
【详解】因为
，
所以函数
值域为
，故A 符合题意；
因为
时，
，故B 符合题意；
因为
时，函数
的值域为集合
，
不是区间
，故C 符合题意；
因为
，所以函数
的值域为
，故D 不符合题意.
故选：ABC．
2．（25-26 高三·全国·一轮复习）填空：
（1）已知
，
，求值域_____；
（2）已知
，
，求值域_____；
（3）已知
求值域_____.
【答案】
【详解】（1）函数
，在
上单调递增，
由
，得
，
所以函数
，
的值域
.
（2）函数
，
，由二次函数的性质可知，
在
上单调递减，在
上单调递增，
当
时，
有最小值为
，
所以函数
，
的值域为
.
（3）
，
当
时，
，由反比例函数的性质可知
，
当
时，
，则
，有
，即
，.
的值域为
3．（25-26 高一上·福建泉州·阶段检测）求下列函数的值域：
(1)
；
(2)
.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）法一：利用换元法，结合二次函数的性质即可求解，；法二：利用函数的单调性即可求解，
（2）利用换元法可得
，利用单调性求解即可.
【详解】（1）设
，则
，
所以
，
故
在区间
单调递增，所以
，
所以原函数值域为
.
法二：函数定义域为
，
函数
与函数
均在区间
均单调递减，
则
在区间
单调递减，
当
时，
，
所以
，即原函数值域为
.
（2）设
，则
，
所以
因为
在区间
，
单调递减，又
，
所以
.
所以原函数值域为
.
4．（25-26 高三·全国·一轮复习）分别求下列函数的值域：
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】利用分离常数法、换元法，以及二次函数的性质求解即可.
【详解】（1）
，
，所以
，
故函数的值域为
．
（2）令
（
），则
，
则
（
），
结合二次函数的性质可得，
，当
时
有最大值4，
所以函数的值域为
.
（3）∵
，
则
，即原函数值域为
，
（4）
，
因为
,
即函数值域为．
5．（25-26 高一上·全国·课前预习）求下列函数的值域：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分别将
，代入函数的解析式，求得相应的函数值，即可求解；
（2）化简函数为
，结合反比例函数的性质，即可求解.
【详解】（1）因为
，代入求得
，所以函数的值域为
.
（2）由函数
，因为
，可得
，
所以函数的值域为
．
6．（3.1.1 函数及其表示方法（第1 课时）课堂例题）求下列函数的值域：
(1)
，
；
(2)
，
(3)
；
(4)
；
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据给定的自变量值求出函数值即得.
（2）根据不等式性质推理计算即得.
（3）利用二次根式的意义求出值域.
（4）利用二次函数的性质求出值域.
【详解】（1）由
，且
，则
，
所以函数的值域为
.
（2）因为
，则
，可得
，
所以
在
的值域为
.
（3）函数
的定义域为
，由
，得
，
所以
的值域为
.
（4）函数
图象的对称轴为
，当
时，
，
所以函数的值域为
．
7．（2.2 函数的表示法课堂例题）求下列函数的值域：
(1)
，
；
(2)
；
(3)
；
(4)
，
．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据给定的自变量值求出函数值即可；
（2）利用二次根式的意义求出值域；
（3）利用二次函数的性质求出值域；
（4）根据不等式性质运算求解即可．
【详解】（1）
，且
，则
．
所以函数的值域为
．
（2）函数
的定义域为
，由
，得
，
所以
的值域为
．
（3）函数
图象的对称轴为
，
当
时，
，
所以函数的值域为
．
（4）因为
，则
，可得
，
所以
在
的值域为
．
8．（25-26 高一上·河南南阳·阶段检测）求下列函数的值域：
(1)
，
；
(2)
；
(3)
；
(4)
．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用一次函数代入计算求解即可；
（2）利用二次函数的单调性求解即可；
（3）利用换元法结合二次函数的单调性求解即可；
（4）利用分离变量法求解结合反比例函数的单调性求解即可；
【详解】（1）因为
，
，所以值域为
.
（2）因为
，
所以函数在
上单调递减，在
上单调递增，
当
时最小值为2，所以函数的值域为
.
（3）因为
，令
，则
，
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以当
时最小值为
，
所以函数的值域为
.
（4）
的定义域是
，
由于
，所以
，
所以值域为
.
【考点2：复杂（根式型、分式型等）函数的值域】
1．（25-26 高一上·浙江湖州·阶段检测）函数
的值域是______.
【答案】
【分析】将函数分母配方后，利用
换元，整理成关于
的方程，由求函数的值域转化为根据方程
有实根求参问题，借助于判别式，求解不等式即得函数的值域.
【详解】因
的定义域为
，
令
，所以
，整理得
所以关于
的方程
有实数解，
当
时，原式为
，解得
，满足；
当
时，所以
，整理得
，
解得
，
此时，
且
，
∴综上，函数
的值域为
，
2．（2026 高三下·山东·竞赛）函数
的值域为______________.
【答案】
【分析】法一：设
，利用辅助角公式转化为
求解；法二：
由
，转化为点
到单位圆上一点连线的斜率求解.
【详解】法一：设
，则
，
由辅助角公式得
，
所以
.
解得
.
法二：函数
，
函数值等价于点
到单位圆上一点连线的斜率，
如图所示：
设直线方程为：
，即
，
当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，
即
，解得
，
故
.
3．（第02 讲函数的表示方法（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版）函数
的值域为
_________
【答案】
【分析】分别求出函数在各段上的函数值的范围，再求并集可得.
【详解】因为函数
，
当
时，
，所以函数的值域为
；
当
时，
，由基本不等式
,
即
，所以
，因此
，
当且仅当
时等号成立，所以函数的值域为
.
因此，函数的值域为
.
4．（2026 高一·全国·专题练习）函数
的值域是__.
【答案】
【分析】利用配凑法化简，结合基本不等式求解.
【详解】当
时，函数
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
即函数的值域为
.
5．（25-26 高一下·河北保定·阶段检测）函数
的值域为______.
【答案】
【分析】令
，则可得
，化简函数解析式，利用二次函数的值域求解即可.
【详解】令
，则可得
，即
，
可得
，
当
时，
取得最大值
，即
.
所以其值域为
.
6．（模型1 具体特殊函数模型【练】--高三三轮冲刺）
，
，则
的值域为
__________．
【答案】
【分析】化简函数解析式可得
，令
，通过换元法结合函数单调性可求
函数值域.
【详解】由题意得，
．
令
，则
，则
可化为
．
∵函数
，
在
上均为增函数，
∴
在
上为增函数，
∵
时，
，
时，
，
∴
的值域为
．
故答案为：
.
7．（第05 章综合问题百战谋略【提升版】）函数
的值域为______．
【答案】
【分析】通过换元，令
，将求函数
的值域转化为求函数
，
的值域，再根据当
时，
的单调性求解即可.
【详解】设
，则
， 因为
，所以
．
函数
可化为
，
，
因为当
时
是减函数，又
，
所以函数
在
上是减函数，
于是
，即
，
所以函数
的值域是
．
故答案为：
.
8．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数
，则
的最小值为______．
【答案】4
【分析】构造函数
，通过配方，把问题转换成
到直线
和点
的距离
之和的
倍，即可求解.
【详解】构造函数
，
因为
恒成立，所以
，
则函数
可表示点
到直线
和点
的距离之和的
倍.
构造抛物线
，过点
作直线
的垂线
，垂足为
，交抛物线于两点，如图，
此时直线
的方程为：
，即
，
联立方程得
，易得交点分别为
，
于是当点
重合于交点
或
时，
取得最小值
.
从而
的最小值为4．
【考点3：根据值域求参数的值或者范围】
1．（23-24 高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）（多选）若函数
的值域为
，则
的可
能取值为（ ）
A．
B．
C．
D．0
【答案】BCD
【分析】对
进行分类讨论，结合判别式求得
的取值范围.
【详解】①
时，
，值域为
，满足题意；
②
时，若
的值域为
，
则
；
综上，
．
故选：BCD
2．（25-26 高一上·重庆江北·期中）（多选）已知函数
在定义域
上的值域为
，则
实数n 可以取值有（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】BCD
【分析】求出原函数的对称轴，分析可知f（﹣1）＝3，f（1）＝﹣1，然后根据x≥1 时，函数为增函数求
得使函数f（x）＝x2﹣2x 在定义域[﹣1，n]上的值域为[﹣1，3]的实数n 的取值范围．
【详解】函数f（x）＝x2﹣2x 的对称轴方程为x＝1，在[﹣1，1]上为减函数，且值域为[﹣1，3]，当x≥1
时，函数为增函数，
∴要使函数f（x）＝x2﹣2x 在定义域[﹣1，n]上的值域为[﹣1，3]，实数n 的取值范围是[1，3]．
故选：BCD．
3．（专题11 函数定义域和值域的求法（十一类重难点题型）（压轴题专项训练）数学苏教版2019 高一必
修第一册）（多选）（多选）已知函数
的值域为
，则常数
可以是（ ）
A．
B．1
C．7
D．
【答案】AC
【分析】利用判别式法求函数值域即可求解参数.
【详解】因为
，所以
，
当
时，
有解，
当
不是0 时，
，即
，
因为函数
的值域为
，
所以
是方程
的两个根，
所以
，
，
解得
或
，所以
7 或
.
故选：AC
4．（2026·安徽滁州·一模）已知函数
的值域为
，则a 的取值范围是
____________．
【答案】
【分析】分别求出
在
和
的值域，根据集合包含关系可得
，解不等式
即可求解.
【详解】因为当
时，
，此时
，即
，
所以在
时，
的值域为
，
函数为
，令
，则在
时为
，且
增大时减小，
在
时单调递增，所以
单调递减，
因此
在
上单调递增，
此时：当
时，
，当
时，
，
所以在
时，
的值域为
，
所以要使函数
的值域为
，则
，
解得：
，则a 的取值范围是
5．（25-26 高一上·上海浦东新·期末）设
，若仅有一个常数
使得对于任意的
，都有
满足方程
，则的取值为_________．
【答案】1 或
【分析】变形给定等式并构造函数，将问题转化为两个函数值域的包含关系，并按
分类求解
即得.
【详解】方程
，
记集合
，
,
由任意的
，都有
满足方程
，得
，
①当
时，
，
，则
，解得
，
由
唯一，得
，解得
，符合题意，因此
；
②当
时，
，
，则
，解得
，
由
唯一，得
，解得
，符合题意，因此
，
所以的取值为或
.
故答案为：或
6．（25-26 高一下·湖南·开学考试）已知函数
，若
，总
，使
成立，则实数
的取值范围是__________.
【答案】
【分析】由函数的单调性分别求解出
与
的值域范围，结合题意
，求解即可.
【详解】当
时，函数
在
上单调递增，可得
，又函数
在
上单调递减，可得
，
由
，总
，使
成立，可知
，解得
；
当
时，函数
在
上单调递减，可得
，
同理可知
，解得
.
综上，
或
.
所以实数
的取值范围是
.
7．（25-26 高三·全国·一轮复习）已知函数
的值域为
，求
，
的值．
【答案】
【分析】去分母，并整理成关于
的一元二次方程的形式，当
时，根据一元二次方程有实数根的
条件列式，并结合一元二次不等式和一元二次方程的关系列方程组求解，并验证
时也符合题意，
从而可得最终结果.
【详解】将式子变形为
；
当
时，
；即
；
所以1，9 是方程
的两个根，代入得：
；解得
；
将
代入，当
时，方程化为
，有实数解
，故
在值域内，符合题意.
综上，
．
8．（25-26 高二下·浙江金华·阶段检测）已知函数
．
(1)当
时，若
，求
的值；
(2)若
的值域为
，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当
时，令
，当
时，令
求解；
（2）易得
时，
，从而要使值域为R，只需
在
上的取值范围包含
，令
，分
和
时求解；
【详解】（1）当
时，令
，
符合题意．
当
时，令
，
，解得
不符合
，舍去．
综上
．
（2）当
时，
，
所以要使值域为R，只需
在
上的上取值范围包含
则当
时，令
，
当
时，可得
，
因为
在
上的上取值范围包含
，
所以
，结合
可得
；
当
时，
在
上是增函数，
所以
，不满足
在
上的上取值范围包含
，
综上
【考点4：抽象函数的值域】
1．（25-26 高一上·贵州遵义·阶段检测）已知函数
的值域为
，则函数
的值域为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用函数水平平移不改变值域的特点，确定
的值域，再通过常数运算得到目标函数的值
域.
【详解】函数
是
的水平平移变换，水平平移不改变函数值域，故
的值域为
.
由
，对
的取值范围各减2，得
，即
.
故选：B
2．（25-26 高一上·湖北黄冈·阶段检测）若函数
的值域是
，则函数
的值域是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由条件，结合不等式性质求
的范围即可.
【详解】因为函数
的值域是
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
，
故函数
的值域是
.
故选：C.
3．（25-26 高一上·浙江温州·期中）已知函数
的定义域是
，值域为
，则下列函数的值域也
为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】结合题意逐个选项验证可得答案.
【详解】对于A，由
可得，
，故A 错误；
对于B，
，
的图象可看作由
的图象经过平移和横向伸缩变换
得到，故值域不变，故B 正确；
对于C，
，故C 错误；
对于D，
，故D 错误.
故选：B.
4．（25-26 高二下·广东茂名·期末）定义在R 上的函数
对一切实数x、y 都满足
，且
，已知
在
上的值域为
，则
在R 上的值域是（ ）
A．R
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用赋值法结合条件可得
，令
，可得
，得到
在
上的值域，进而即得.
【详解】因为定义在R 上的函数
对一切实数x、y 都满足
，且
，
令
，则
，所以
；
令
，
，则
，所以
，
由于
，所以
，则
，即
在
上的值域为
；
所以函数
在R 上的值域为
．
故选：C.
5．（25-26 高一上·辽宁大连·阶段检测）若函数
的值域是
，则函数
的值域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由给定条件求出
的值域，换元借助对勾函数性质即可得解.
【详解】因为函数
的值域是
，
所以函数
的值域是
，
令
，则
，
由对勾函数的性质可知：函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
而
，
，
，
则
，即函数
的值域是
.
故选：B.
6．（2026 综合提优（3.1~3.2）高中数学必修第一册巅峰版）已知函数
的定义域和值域均为
，
则下列说法错误的是（ ）
A．函数
的定义域为
B．函数
的定义域为
C．函数
的值域为
D．函数
的值域为
【答案】D
【详解】函数
中的x 需满足
，解得
，故函数
的定义域为
，故
A 正确；函数
中的x 需满足
，解得
，故函数
的定义域为
，故B 正
确；函数
和
的值域都为
，故C 正确，D 错误.
7．（巩固小卷3（小题狂练）--题型破局系列【北京专版】）已知函数
的定义域为
，值域为
，且
，则下列结论不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
是增函数
【答案】D
【分析】取
，代入计算，即可判断A，取
代入计算，即可判断B，取
代入计算，结合
基本不等即可判断C，举出反例，取
，即可判断D.
【详解】对于A，取
，则由已知等式得到
，即
，
又因为值域为
，所有
，故
，故A 正确；
对于B，取
，则
，即
，故B 正确，
对于C，令
，则
，即
，
注意到
，所以
，
所以
，当
取得等号，故C 正确；
对于D，取
，则
，
符合题意，但此时
是减函数，故D 错误．
故选：D．
8．（25-26 高一上·辽宁·期中）（多选）若函数
的定义域值域分别为
､
，函数
，则（ ）
A．
的定义域为
B．
的定义域为
C．
的值域为
D．
的值域为
【答案】BD
【分析】根据
的范围可求
的范围，则
的定义域可知；根据
的范围可知
的值域.
【详解】由
，得
，则
的定义域为
，
由
，得
，则
的值域为
，
故选：BD.
【考点5：复合函数的值域】
1．（2026·江西·模拟预测）已知函数
，
定义域为
，值域为
，那么下列说法正确
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题设
，
则
，值域
.
，所以A 错误，B 正确；
集合之间不用
连接，所以CD 错误.
2．（25-26 高一上·湖南·期中）已知函数
的定义域和值域都是
，则函数
的定义域和值
域分别为（ ）
A．
和无法确定
B．
和无法确定
C．
和
D．
和
【答案】D
【分析】根据题意，由抽象函数定义域的求法代入计算，即可得到结果.
【详解】因为函数
的定义域和值域都是
，令
，解得
，
所以函数的定义域为
，由
的值域得
的值域为
．
故选：D.
3．（25-26 高一上·河北·阶段检测）已知函数
，函数
，若任意的
，均存在
，使得
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】分别计算出
在
上的值域及
在
上的值域，则可得
，计算即可得
解.
【详解】
，
由
，则
，
当
时，则
，
则
，
由任意的
，均存在
，使得
，
则有
，即
.
故选：C.
4．（25-26 高二下·湖北·期中）（多选）已知函数
，则（ ）
A．
B．
是函数
的一个单调区间
C．
D．存在
，满足
【答案】ABD
【分析】对A，代入计算化简即可；对B，
是复合函数，先求出
单调区间，再结
合
的单调区间分析即可；对C，根据
单调性求出最值即可；对D，化简方程，构建新函数，分
析是否存在
满足题意.
【详解】
，则A 正确；
，则
是单调
递增函数，因为
是函数
的一个单调递增区间，
由复合函数的单调性可知，
是函数
的一个单调递增区间，B 正确；
，C 错误；
因为
，即只要判断
是否成立即可，
令
，
即
D 正确．
5．（25-26 高二下·四川德阳·期末）已知函数
（
，
，
）的图象如
图所示．
(1)求
的最小正周期及解析式；
(2)
，求
的值域．
【答案】(1)
最小正周期
，
(2)
【分析】（1）根据图象及特殊角三角函数，结合题意，可确定函数
的解析式；
（2）求得
的解析式，结合二倍角公式，利用二次函数给定区间上的值域的求法可求得
的值域.
【详解】（1）由图可知
的最大值为
，最小值为
，所以
.
由图象过
，得
.
因为
，且
在
的减区间上，所以
.
因为
在
距离原点最近的增区间上，所以
.
所以
.
所以
的最小正周期为
，解析式为
；
（2）
.
因为
，所以当
时，
取得最小值，最小值为
；
当
时，
取得最大值，最大值为；
所以
的值域为
．
6．（25-26 高一下·贵州遵义·开学考试）已知函数
．
(1)若
，求
的值域；
(2)若
时，
的最小值为
，求函数
的解析式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据指数函数及二次函数的值域求解方法求解；
（2）根据复合函数的单调性判断方法，结合二次函数在给定区间上的最小值求法，可求得函数
的解
析式.
【详解】（1）若
，则
.
因为
，所以
，
所以
，所以
，
所以若
，则
的值域为
.
（2）
.
令
，
.
当
时，
在
上单调递增，
因为
是增函数，所以
在
上单调递增.
所以
.
当
时，
在
上单调递减，
因为
是增函数，所以
在
上单调递减.
所以
.
当
时，
在
上单调递减，
在
上单调递增.
因为
是增函数，
所以当
时，
取得最小值，即
.
综上，
.
7．（25-26 高一上·广西南宁·阶段检测）已知函数
，函数
.
(1)求函数
的值域；
(2)若不等式
对任意实数
恒成立，试求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据对数的运算法则将函数变形为关于
的二次函数后即可求值域；
（2）把
看作一个整体，函数
为关于
的二次函数（可用换元法），结合二次函数性质求得
的
最小值，然后解不等式
即可.
【详解】（1）
.
，即
的值域为
.
（2）由题知：不等式
对任意实数
恒成立，
.
，令
，
.
设
，
由二次函数的单调性可知：当
时，
取得最小值
，即
，
，即
，
，
即
，解得
，
实数
的取值范围为
.
8．（25-26 高一下·广东广州·期中）设函数
同时满足条件
和对任意
都有
成立．
(1)求
的解析式；
(2)求
的定义域和值域；
(3)若
，求使得
成立的整数
的取值的集合．
【答案】(1)
；
(2)定义域为
，值域为
．
(3)
．
【分析】（1）由
得到
，再根据
得到
，得到解析式；
（2）由函数特征得到不等式，结合指数函数和对数函数单调性解不等式，求出定义域；
（3）
，换元法，令
，则
，从而得到
或
，进而求出
或
或
，得到取值集合.
【详解】（1）由
得
，解得
，故
，
又
得
，即
，
上式对任意
都成立，故
且
，所以
，
故
．
（2）由
解得
，
故定义域为
；
当
时，
，则
，则
，
所以值域为
．
（3）若
，则
，
所以
时
或
，
所以若
，则
或
，
所以
或
即
，或
即
，
综上，整数
的取值集合为
．
一、单选题
1．（25-26 高二下·重庆·期末）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．0
C．
D．
【答案】C
【详解】由于对数函数
的定义域是
，因此集合
，
因为
，所以
，故C 正确.
2．（25-26 高二下·河北衡水·期末）若函数
，则
的值域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】令
，则
．
因为
，所以
，
所以
，所以
的值域为
．
3．（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数
，若
且
，则
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
图像如图．
设
则
．
所以
，
，
，
设
，则
．所以
在
上单调递增．
，
．
所以
时，
．
4．（2026·江西·模拟预测）已知函数
，
定义域为
，值域为
，那么下列说法正确
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题设
，
则
，值域
.
，所以A 错误，B 正确；
集合之间不用
连接，所以CD 错误.
5．（25-26 高一上·浙江杭州·期中）函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先求出
定义域，利用换元法，原函数转化为
，分析可得
的单调
性，代入数据，即可得答案.
【详解】由题意得
，解得
，即
的定义域为
，
令
，则
，所以
，且
，
则原函数转化为
，
因为
与
在
上均为单调递减函数，
所以
在
上单调递减，
所以
的最大值为
，
的最小值为
，
所以
的值域为
，即原函数
的值域为
.
6．（2026·河北保定·一模）已知函数
在区间
上的值域为
，则
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4
【答案】B
【分析】依题意构造函数
，利用函数的奇偶性定义判断其为奇函数，即得函数
的图象
关于点
对称，结合题意即可求得答案.
【详解】由题意，
，
,
令函数
，
则
，
所以
为奇函数，图象关于
对称，故
的图象关于点
对称，
因函数
在对称区间
上的值域为
，故
．
二、多选题
7．（24-25 高一上·江西吉安·阶段检测）下列选项正确的是（ ）
A．
的定义域为
，则
的定义域为
B．函数
的值域为
C．函数
在
的值域为
D．函数
的值域为
【答案】ABC
【分析】求出抽象函数定义域判断A；配方并利用二次函数求出值域判断B；利用二次函数单调性求出值
域判断C；利用分式函数值域判断D.
【详解】对于A，
的定义域为
，则在
中，
，
解得
，即
的定义域为
，A 正确；
对于B，函数
，
当且仅当
时取等号，则函数
的值域为
，B 正确；
对于C，
在
上递减，
，
则函数
在
的值域为
，C 正确；
对于D，函数
，函数
的值域为
，D 错误.
8．（25-26 高一上·山西·阶段检测）下列函数中，值域不是
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】对于A，由
即可判断，对于B，由
，再结合对数函数单调性即可
判断，对于C，通过分离常数，即可判断，对于D，通过余弦二倍角公式，结合二次函数性质即可判断.
【详解】对于A，
，则
的值域为
.A 符合题意，
对于B，
，则
，
则
的值域为
. B 符合题意，
对于C，
，
因为
，所以
，则
的值域为
. C 不符合题意，
对于D，
，
因为
，所以
，
即
，则
的值域为
.D 符合题意.
故选：ABD
三、填空题
9．（25-26 高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数
的值域为
，则实数
的取值范围
为________．
【答案】
【分析】由函数
的值域为
，分
三种情况结合对勾函数性质求解即
可.
【详解】当
时，
，此时
，
当
且
时，
，
此时
，且
，所以不满足；
当
且
时，
，
由对勾函数单调性可知
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，此时
，
若要满足
的值域为
，只需要
，解得
；
当
且
时，因为
均在
上单调递增，
所以
在
上单调递增，且
时，
，
时，
，所以此时
，此时显然能满足
的值域为
；
综上可知，
的取值范围是
.
故答案为：
.
10．（25-26 高一上·北京·期末）已知函数
，则
的最大值为___________．
【答案】
/1.125
【分析】设
，结合同角三角函数的基本关系化简可得
，
进而结合二次函数的性质求解即可.
【详解】函数
的定义域为
，设
，则
同号，
则
，
则
时，
，即
的最大值为
.
故答案为：
.
四、解答题
11．（24-25 高一上·河北沧州·期末）已知幂函数
，且
．
(1)求
的解析式；
(2)若函数
，求
在
上的值域．
【答案】(1)
(2)
．
【分析】（1）由幂函数的概念得
，进而
或
，再根据
可得
；
（2）具体函数根据定义域求值域.
【详解】（1）因为
是幂函数，所以
，解得
或
．
当
时，
，此时
，则
符合题意；
当
时，
，此时
，则
不符合题意．
故
．
（2）由（1）可知
，则
．
因为
，所以
，所以
，
所以
，所以
，
所以
，即
在
上的值域为
．
12．（25-26 高一下·贵州遵义·开学考试）已知函数
．
(1)若
，求
的值域；
(2)若
时，
的最小值为
，求函数
的解析式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据指数函数及二次函数的值域求解方法求解；
（2）根据复合函数的单调性判断方法，结合二次函数在给定区间上的最小值求法，可求得函数
的解
析式.
【详解】（1）若
，则
.
因为
，所以
，
所以
，所以
，
所以若
，则
的值域为
.
（2）
.
令
，
.
当
时，
在
上单调递增，
因为
是增函数，所以
在
上单调递增.
所以
.
当
时，
在
上单调递减，
因为
是增函数，所以
在
上单调递减.
所以
.
当
时，
在
上单调递减，
在
上单调递增.
因为
是增函数，
所以当
时，
取得最小值，即
.
综上，
.
