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2026 年高考数学一轮复习
专题3：函数的概念、定义域及值域
知识点一 函数的概念
(1)一般地，给定非空数集A ，B ，按照某个对应法则f ，使得A 中任意元素x ，都有B 中唯一确定的y
与之对应，那么从集合A 到集合B 的这个对应，叫做从集合A 到集合B 的一个函数.记作：x→y=f ( x)，
x∈A .集合A 叫做函数的定义域，记为D ，集合¿ ¿，x∈A¿¿叫做值域，记为C .
(2)函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射.
(3)函数表示法：函数书写方式为y=f ( x)，x∈D
(4)函数三要素：定义域、值域、对应法则.
(5)同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同.
知识点二 基本的函数定义域
求解函数的定义域应注意：
（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：
（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；
（5）三角函数中的正切
的定义域是
且
；
（6）已知
的定义域求解
的定义域，或已知
的定义域求
的定义域，遵循
两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；
（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.
知识点三 基本初等函数的值域
(1)y=kx +b (k≠0)的值域是R .
(2)y=ax 2+bx +c (a≠0)的值域是：当a>0 时，值域为
{y|y≥4ac−b2
4 a
}
；
当a<0 时，值域为
．
(3)
y= k
x (k≠0)
的值域是{y|y≠0}.
(4)y=ax (a>0且a≠1)的值域是(0 ，+∞).
(5)y=loga x (a>0且a≠1)的值域是R .
知识点四 相等函数与分段函数
1、相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数．
2、分段函数：定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。分段函数虽然是由几个部分构成，
但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交。
一、求函数定义域的依据
函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围
1、分式的分母不能为零.
2、偶次方根的被开方数必须大于等于零，奇次方根的被开方数取全体实数.
3、零次幂的底数不能为零，即
0
x 中
0
x
.
4、如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单函数定义域的交集。
【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连
接。
二、抽象函数及定义域求法
1、已知
)
(x
f
的定义域为A ，求
))
(
(
x
g
f
的定义域，其实质是
)
(x
g
的取值范围为A ，求x 的取值范围;
2、已知
))
(
(
x
g
f
的定义域为B ，求
)
(x
f
的定义域，其实质是已知
))
(
(
x
g
f
中的x 的取值范围为B ，求
)
(x
g
的范围（值域），此范围就是
)
(x
f
的定义域.
3、已知
))
(
(
x
g
f
的定义域，求
))
(
(
x
h
f
的定义域，要先按（2）求出
)
(x
f
的定义域.
三、函数解析式的四种求法
1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法．
（1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式；
（2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程；
（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。
2、换元法：主要用于解决已知
f g x
的解析式，求函数
f x 的解析式的问题
（1）先令
g x
t ，注意分析t 的取值范围；
（2）反解出x，即用含t 的代数式表示x；
（3）将
f g x
中的x 度替换为t 的表示，可求得
f t 的解析式，从而求得
f x 。
3、配凑法：由已知条件
f g x
F x ，可将
F x 改写成关于
g x 的表达式，
然后以x 替代g(x)，便得
f x 的解析式．
4、方程组法：主要解决已知
f x 与
f
x 、
1
f
x
、
1
f
x
……的方程，求
f x 解析式。
四、求函数值域的7 种常用求法
1、单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域)．
（1）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)．
（2）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)．
（3）若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)
值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．
2、图象法：作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形
结合．
（1）分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便
于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域．
（2）
f x 的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然
后确定靠下(或靠上)的部分为该
f x 函数的图象，从而利用图象求得函数的值域．
3、配方法：主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围.
4、换元法：换元法是将函数解析式中关于x 的部分表达式视为一个整体，并用新元t 代替，将解析式化
归为熟悉的函数，进而解出最值(值域)．
（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围．
（2）换元的作用有两个：
①通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后
即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的．
②可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理
5、分离常数法：主要用于含有一次的分式函数，
形如
ax
b
y
cx
d
或
2
ax
bx
e
y
cx
d
（a ，c 至少有一个不为零）的函数，求其值域可用此法
以
ax
b
y
cx
d 为例，解题步骤如下：
第一步，用分子配凑出分母的形式，将函数变形成
a
e
y
c
cx
d 的形式，
第二步，求出函数
e
y
cx
d 在定义域范围内的值域，进而求出
ax
b
y
cx
d 的值域。
6、判别式法：主要用于含有二次的分式函数，形如：
f
ex
dx
c
bx
ax
y
2
2
将函数式化成关于x 的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数y 的取值范围，即得函数的值域。
应用判别式法时必须考虑原函数的定义域，并且注意变形过程中的等价性。
另外，此种形式还可使用分离常数法解法。
7、导数法：对可导函数
求导，令
，求出极值点，判断函数的单调性：
如果定义域时闭区间，额函数的最值一定取在极值点处或区间端点处；
如果定义域是开区间且函数存在最值，则函数最值一定取在极值点处。
考点一 函数的概念
【例1-1】函数y=f(x)的图象与直线
的交点个数（ ）
A．至少1 个
B．至多1 个
C．仅有1 个
D．有0 个、1 个或多个
【答案】B
【例1-2】（多选题）下列对应关系f，能构成从集合M 到集合N 的函数的是（ ）
A．
，
，
，
，
B．
，
C．
，
D．
，
，
【详解】对于A 中，集合
中的任意一个元素，按某种对应法则，在集合
中存在唯一的元素相对应，
所以能构成从集合
到集合
的函数；对于B 中，集合
中的任意一个元素，按某种对应
法则，在集合
中存在唯一的元素相对应，所以能构成从集合
到集合
的函数；
对于C 中，集合
，当
时，可得
，所以不能构成从集合
到集合
的函数；
对于D 中，集合
中的任一元素，按
，在集合
有唯一的元素与之对应，
所以能构成从集合
到集合
的函数.故选：ABD
【例1-3】（多选题）下列各组函数中表示同一个函数的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【详解】A 中两个函数定义域都是
，对应法则都是乘以2 后取绝对值，是同一函数；
B 中两个函数定义域都是
，对应法则都是取平方，是同一函数；C 中
定义域是
，
的
定义域是
，不是同一函数；D 中
的定义域是
，
的定义域是
，不是同一函数．故选：
AB．
【变式1】集合
下列表示从
到
的函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A【解析】由集合
，对于A 中，若
，则集合
中任意元素，在集合
中都有唯一的元素与之对应，所以可构成集合
到
的函数，符合题意；
对于B 中，若
，则集合
中的元素
，在集合
中没有元素与之对应，
所以不能构成集合
到
的函数，不符合题意；
对于C 中，若
，则集合
中的元素
，在集合
中没有元素与之对应，
所以不能构成集合
到
的函数，不符合题意；
对于D 中，若
，则集合
中的元素
，在集合
中没有元素与之对应，
所以不能构成集合
到
的函数，不符合题意；故选：A.
考点二 求函数的定义域
【例2-1】函数
的定义域为__________．
【答案】
【解析】对于函数
，有
，解得
.
故函数
的定义域为
.故答案为：
.
【例2-2】若函数
的定义域为
，则函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
由于函数
的定义域为
，对于函数
，有
，解得
.
因此，函数
的定义域是
.故选：B.
【例2-3】已知函数
的定义域为
，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
由题意得：
在
上恒成立.
即
时，
恒成立，符合题意，
时，只需
，解得：
，综上：
，故选：C.
【变式2-1】函数
的定义域为___________.
【详解】由题意可知
，而以2 为底的对数函数是单调递增的，
因此
，求解可得
或
．故答案为：
．
【变式2-2】（1）已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为______．
（2）已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为______．
【答案】
【解析】（1）令
，则
，因为函数
的定义域为
，所以
，
所以函数
的定义域为
．
（2）令
，
，则
，
．因为函数
的定义域为
，所以
，所以函数
的定义域为
，所以
，所以
，
所以函数
的定义域为
．
【变式2-3】若函数
的定义域为
，则
的取值范围是______．
【答案】
【解析】函数
的定义域为
，即
恒成立，
当
时，符合题意；当
时，有
，解得
.综上可得
的取值范围是
.
考点三 求函数解析式
【例3-1】已知函数
是一次函数，满足
，则
的解析式可能为
（ ）
A．
B．
C．
D．
设
，代入
列方程组求解即可.
【详解】设
，由题意可知
，
所以
，解得
或
，所以
或
.故选：AD.
【例3-2】已知函数
，则
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
令
，则
，所以
，所以
，选：A.
【例3-3】已知函数
的定义域为
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【详解】令
为
，则
，与
联立可解得，
．故选：
D．
【变式3】已知函数
在
上满足
，则曲线
在点
处
的切线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【详解】∵函数
在
上满足
，用
替换
得：
，∴
∴
令
，则
，∴
，即
∴
，∴
，
∴曲线
在点
处的切线方程是：
，
即
.故选：C.
考点四 求函数值域
【例4-1】函数的
值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【详解】令
，则
且
又因为
，
所以
，所以
，即函数的
值域为
，故选：B.
【例4-2】已知函数
的值域为R，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【详解】∵
，又函数
的值域为R，
【变式4-1】
的值域为
【答案】
【解析】设
则
，
，
故函数
的值域为
.故答案为：
【变式4-2】函数
的值域是_______．
【详解】函数
，当
，由基本不等式得
，
当且仅当
，即
时，等号成立，当
时，由基本不等式得
，
当且仅当
，即
时，等号成立，所以函数的值域为
，故答案为
.
【变式4-3】函数
的值域是___________.
【详解】解：
，因为
所以函数
的定义域为
令
，整理得方程：
当
时，方程无解；当
时，
不等式整理得：
解得：
则
，解得
．故选：C．
【变式4-4】函数
的值域是________________.
【详解】由题意
，因为
，所以
，
所以
，所以函数
的值域为
，故答案为：
.
【变式4-5】若函数
的值域是
，则
______.
【答案】
【解析】因为函数
的值域是
，所以
，解得
.故答案为：
.
考点五 分段函数
【例5】设函数
，则
（ ）
A．2
B．6
C．8
D．10
【详解】解：因为
，所以
，所以
. 故选：B.
【变式5】（多选题）已知函数f ( x)={
& x +2,& & x⩽-1
& x
2,& & -1< x<2
关于函数f ( x)的结论正确的是( )
A．f ( x)的值域为(-∞，4)
B．f (1)=3
C．若f ( x)=3，则x的值是❑√3
D．f ( x)<1的解集为(-1，1)
【答案】 AC【解析】 当x ≤-1时，f(x)的取值范围是(-∞，1]，当-1< x<2时，f ( x)的取值范围是
[0，4)，因此f ( x)的值域为(-∞，4)，故A正确；当x =1时，f (1)=1，故B错误；当x ≤-1时，由
x +2=3，解得x =1(舍去)，当-1< x<2时，由x
2=3，解得x = ❑√3 或x =- ❑√3 (舍去)，故C正确；当
x ≤-1时，由x +2<1，解得x<-1，当-1< x<2时，由x
2<1，解得-1< x<1，因此f ( x)<1的解集为
(-∞，-1)∪(-1，1)，故D错误．故选：AC．
1.若函数
，则函数
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【详解】因为
，所以
.
从而
，当
时，
取得最小值，且最小值为
.故选：D
2.（多选题）下面各组函数表示同一函数的是（ ）
A．
，
B．
（
），
C．
，
D．
，
【答案】BC【详解】对于A，
，
，定义域和对应法则不一样，故
不为同一函数；对于B，
，
，定义域和对应法则相同，故为同一函数；
对于C，
，
，定义域和对应法则相同，故为同一函数；对于D，
，
，定义域不同，故不为同一函数；故选:BC
3.已知函数f ( x +1)定义域为[1 , 4 ]，则函数f ( x－1)的定义域为
.
【答案】[3 , 6]
4.若定义在
的函数
，满足
，则曲线
在点
处的切线方程
是___________.
【详解】由题意，定义在
的函数
，满足
，可得
，即
，将
代入可得
，可得
，所以
，可得
，又由
，所以曲线
在点
处的切线方程为
，即切线方程为
.故
答案为：
.
5.求下列函数的定义域和值域
（1）
； （2）
； （3）
； （4）
；
（5）
； （6）
； （7）
（8）
； （9）
.
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
且
；（5）
；（6）
；（7）
；（8）
；（9）
.
【详解】解：（1）分式函数
，定义域为
，故
，所有
，
故值域为
；（2）函数
中，分母
，则
，故值域为
；（3）函数
中，令
得
，易见函数
和
都是减函数，故函数
在
时是递减的，故
时
，故值域为
；
（4）
， 故值域为
且
；
（5）
，
而
，
，
，
，即
，故值域为
；
（6）函数
，定义域为
，令
，所以
，所以
，对称轴方程为
，所以
时，函数
，故值域为
；
（7）函数
，定义域为
，
，故
，即值域为
；（8）函数
，定义域为
，故
，所有
，故值域为
；（9）函数
，令
，则由
知，
，
，根据对勾函数
在
递减，在
递增,可知
时，
，故值域为
.
