文档文本内容
单元集训卷10 解三角形
（考试时间：120 分钟，分值：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知
的内角
，
，
的对边分别为
，
，c，若
，则
（ ）
A．
B．3
C．
D．6
【答案】B
【详解】由正弦定理
，得
；
，
，又
，
.
2．在
中，
，
，c分别为内角
，
，
的对边，面积为S，若
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．4
【答案】C
【分析】由
代入，结合余弦定理即可求解．
【详解】由
可得
，
由余弦定理
，
则
．
3．如图，在四边形
中，已知
，
，
，
，∠BCD =135°，则
的长
（ ）
A．
B．
C．8 ❑√3
D．
【答案】A
【分析】首先在
中利用余弦定理求解BD的长度，再结合垂直关系得到△BCD中的已知角，最后利用正弦定
理求解
的长度即可.
【详解】在
中，
，
由余弦定理得
∴
整理得
，解得
或
（边长为正，舍去）.
∵
，∴
，
∴
.
在△BCD中，
，
，
，
由正弦定理得
∴
.
4．如图，为测量河对岸CD 两点间的距离．在楼顶
处观察
的俯角为
，观察点
的俯角为
，
为楼底一
点且
平面BCD，若楼高
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
平面
，BC ⊂平面
，
平面
，
，AB⊥BD；
由在楼顶
处观察
的俯角为
，观察点
的俯角为
，得
，
.
，∴在
中，
；
在Rt △ABD中，
.
，
∴在
中，由余弦定理得
；
∴
.
5．
内角
，
，
的对边分别为
，
，c，
，且
的面积
，则
（ ）
A．2 或
B．3 或1
3
C．4 或
D．5 或
【答案】A
【分析】先由三角形面积公式求出
，再由同角三角函数关系得到
，结合余弦定理构造关于
的方程求解
【详解】由三角形面积公式
，又
，得
，即
，解得
，
所以
，
由余弦定理
，又
，整理得
，
等式两边同除以
得
，设
，则
，
若
，代入得
，判别式
，无实根，舍去；
若
，代入得
，即
，解得
或
，
故
或
.
6．已知钝角三角形
的三边分别为
，
，
，则实数
的取值范围为（ ）
A．(0,3)
B．(1,3)
C．
D．
【答案】B
【分析】根据三角形三边长关系，结合余弦定理列不等式组即可得解.
【详解】由题意可知钝角三角形
的三边分别为
，
，
，
则
，解得
，
所以实数
的取值范围为
.
7．在锐角△ABC中，已知
，
，则△ABC周长的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先利用余弦定理和正弦定理化简已知条件，再结合三角函数性质求三角形周长的取值范围.
【详解】由余弦定理可得
，由正弦定理可得
，
，
得到
，
所以
，化简可得
，即
，
又因为
为锐角三角形，得
，
，
已知a=6，由正弦定理可得
，则
，
而
，
所以
，
，
因为△ABC是锐角三角形，所以
，解得
，
则
，
，所以
，
所以
.
8．在△ABC中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
．则
的最大值为（ ）
A．2
B．❑√5
C．
D．
【答案】B
【分析】先将目标式化简为
，结合已知
代入余弦定理，再通过三角恒等变换和辅助角公式求解目标
式的最大值.
【详解】由余弦定理
，将
代入得
.
进而
.
的最小值为
，因此
的最大值为
.
令
，
.
， 当
时，
，
根据对勾函数的性质可得
，
故
的最大值为
，
即
的最大值为
.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的
得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，c，则下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
是锐角三角形
C．若b=8，
，
，则符合条件的
有两个
D．若
，则
是锐角三角形
【答案】ACD
【详解】三角形中，大角对大边，若
，则
，由正弦定理
，
则
，即
，故A 正确；
由正弦定理
，
已知
，则
，
由余弦定理
，说明
是锐角，无法确定
是否是锐角，
故三角形不一定是锐角三角形，故B 错误；
已知b=8，
，
，则
，
，
，
，
∴C可能是大于
的锐角或钝角，即符合条件的
有两个，C 正确；
，
，由大角对大边可知
为最大角，
要证
是锐角三角形，只需证
，
由三角形的性质知
，
，
，令
，则
，
，
，
即
，
，
，故
是锐角三角形，故D 正确．
10．在
中，
，
，
，则（ ）
A．
外接圆的半径为
B．
C．
是钝角三角形
D．
内切圆的半径为
【答案】ABD
【分析】先求出
，对于A，根据正弦定理即可求解；对于B，根据余弦定理即可求解；对于C，根据最大
边对应的角为最大角即可判断；对于D，根据三角形的面积公式，及等面积法即可求解．
【详解】在
中，由
，则
，
对于A，设
外接圆的半径为
，
则由正弦定理有
，即
，故A 正确；
对于B，由余弦定理有
，
即
，
化简整理得
，
解得
，或
（舍去），故B 正确；
对于C，结合选项B 知
为最大边，且其对应的角∠CAB为最大角，
又
，所以
的最大角∠CAB为锐角，
所以
是锐角三角形，故C 错误；
对于D，设
内切圆的半径为 ，结合选项B 有
，
则
，
即
，解得
，故D 正确．
11．已知△ABC中，
与
均为锐角，△ABC的面积为
，sin
2B+sin
2C =sin A且sin A cos BcosC = 1
4 ，则
（）
A．A =π
2
B．
C．△ABC周长为❑√2+ ❑√3
D．sin B+sinC =
❑√6
2
【答案】ACD
【分析】利用和角公式结合已知等式推出A =π
2 ，再由面积、正弦定理求边长，通过平方变形计算sin B+sinC，
逐一判断选项正误.
【详解】由A = π −(B+C )，可得sin A =sin(B+C ).
因为sin
2B+sin
2C =sin A，sin A =sin(B+C )=sin BcosC +cos BsinC
所以sin
2B+sin
2C =sin BcosC +cos BsinC，
则sin
2B−sin BcosC +sin
2C −cos BsinC =0，
即sin B(sin B−cosC )+sinC(sinC −cos B)=0.
因为
与
均为锐角，所以sin B>0,sinC >0,cos B>0,cosC >0.
当sin B−cosC =0时，此时B+C = π
2 ，A = π
2 .
当sin B−cosC >0时，sinC −cos B<0，
此时sin B>cosC =sin(
π
2 −C)，B> π
2 −C，则B+C > π
2 ，
且sinC <cos B =sin(
π
2 −B)，C < π
2 −B，则B+C < π
2 ，
此时B+C > π
2 与B+C < π
2 不能同时成立，同理，sin B−cosC <0也不成立，
综上 A = π
2 ， 选项A 正确.
因为A = π
2 ，则sin A =1，由sin A cos BcosC = 1
4 可得cos BcosC = 1
4 成立，
又B+C = π
2 ，则cosC =sin B，
sin
2B+sin
2C =sin
2B+(1−cos
2C )=sin
2B+(1−sin
2B)=1=sin A成立，
此时S = 1
2 bc = 1
4 ⇒bc = 1
2，
由正弦定理：
a
sin A =
b
sin B =
c
sinC =2 R，sin A =1⇒a=2 R，即b=asin B ,c =asinC，
故bc =a
2sin Bcos B.
cos BcosC = 1
4 ，cosC =sin B，即sin Bcos B = 1
4 ，所以1
2 =a
2⋅1
4 ，a= BC = ❑√2，选项B 错误.
sin B+sinC =sin B+cos B =
❑√(sin B+cos B)
2=
❑√sin
2B+cos
2B+2sin Bcos B = ❑√1+2⋅1
4 =
❑√6
2 ，选项D 正确.
因为b=asin B = ❑√2sin B ,c = ❑√2cos B，
所以b+c = ❑√2(sin B+cos B)= ❑√2⋅
❑√6
2 = ❑√3，所以周长L=a+b+c = ❑√2+ ❑√3选项C 正确.
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．在
中，
的面积为___________
【答案】
【详解】由余弦定理
，代入得
，
整理得
，解得
（负根舍去）；
故
.
13．在
中，角
所对的边分别为
，且
.若a=7，则
的最大值为______.
【答案】14
【分析】将已知等式利用正弦定理边化角，化简后求得
，由余弦定理结合基本不等式，即可求得
最大
值.
【详解】因为
，所以由正弦定理得
，
因为
，所以
，所以
，
因为
，所以
，
由余弦定理得
，即
，
因
，当且仅当
时取等号，
所以
，
所以
，当且仅当
时取等号，
故
，当且仅当
时取等号，
则b+c 的最大值为14.
14．已知锐角
的内角
，
，
的对边分别为
，
，c，且
，则角
____________；若a=2，则
面积的取值范围为____________．
【答案】
π
3
【分析】利用正弦定理，得出关于角
的三角等式，进而可求得
的值即可；根据为锐角三角形求得角
的取
值范围，结合三角形的面积以及正弦函数的性质求面积取值范围.
【详解】已知
，根据正弦定理，
.
因为
，且
，化简得
.
因为
是锐角三角形，所以
.
因为
，所以
，即
.
因为
为锐角三角形，故
，解得
.
由正弦定理，所以
，
.
因此
面积
.
由
，得
，故
，
因此
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．海岸上建有相距20 ❑√3海里的雷达站
，某一时刻接到海上
船因动力故障发出的求救信号后，调配附近
的
船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为
(1)救援出发时，
船距离雷达站
距离为多少？
(2)求
之间的距离，并判断若
船以30 海里每小时的速度前往
处，能否在1.5 小时内赶到救援（说明理由）？
【答案】(1)
(2)
；能，理由见解析.
【分析】（1）在
中，求出
，∠ADC，利用正弦定理求解即可.
（2）在
中，由正弦定理可得
，在
中，由余弦定理可得
，比较时间即可判断.
【详解】（1）在
中，因为
，
，
所以
，
，
又
，所以由正弦定理可得
，即
，解得
，
所以A 船距离雷达站C 距离为60 海里；
（2）在
中，根据正弦定理可得
，
即
，解得
，
在
中，由余弦定理可得
，
解得
，
因为A 船以30 海里每小时的速度前往B 处，而
，
所以能在
小时内赶到救援.
16．
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知c +a
b
= sinC −sin B
sinC −sin A
(1)求A；
(2)若
为锐角三角形，且
，求
面积的取值范围．
【答案】(1)π
3
(2)(
❑√3
2 ,2❑√3)
【分析】（1）由正弦定理化角为边，然后由余弦定理求解；
（2）由锐角三角形得
，由正弦定理求得
（用
表示），然后由三角形面积公式表示出面积，利用两角
差的正弦公式、同角关系式变形后，结合正切函数性质、不等式的性质得结论.
【详解】（1）因为c +a
b
= sinC −sin B
sinC −sin A ，所以由正弦定理得c +a
b
=
c
2 R −b
2 R
c
2 R −a
2 R
= c−b
c−a ，
整理得
，所以
，
而
是三角形内角，所以
；
（2）由（1）得C =π−B−A =π−B−π
3 = 2π
3 −B，
为锐角三角形，则
，所以
，
由正弦定理得b= c sin B
sinC =
2sin B
sin( 2π
3 −B)，
由面积公式得S△ABC = 1
2 bc sin A = 1
2 ×
2sin B
sin( 2π
3 −B)
×2×sinπ
3
=
❑√3sin B
sin 2π
3 cos B+cos 2π
3 sin B
=
❑√3sin B
❑√3
2 cos B+ 1
2 sin B
=
2❑√3
❑√3
tan B +1，
而
，则
，可得
，
所以
❑√3
2 <
2❑√3
❑√3
tan B +1
<2❑√3
，故S△ABC∈(
❑√3
2 ,2❑√3).
17．在
中，内角
，
，
所对的边分别为
，
，c，已知
.
(1)求角
；
(2)若
，
的面积为
，求
；
(3)若
为锐角三角形，b= ❑√3，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)(−1,1)
【分析】（1）通过正弦定理将角的关系转化为边的关系，再利用余弦定理求解角
；
（2）结合三角形面积公式求出
的值，再通过完全平方公式和余弦定理计算边
；
（3）利用正弦定理将边转化为角的正弦形式，结合锐角三角形条件确定角的范围，再通过辅助角公式化简，求出
的取值范围.
【详解】（1）由正弦定理得
，展开并整理得
.
结合余弦定理
，可得
，又
，故
.
（2）由三角形面积公式
，代入
、
，得
，解得
.
由
，得
.
结合余弦定理
，代入得
，故
（负值舍去）.
（3）由正弦定理，
，故
，
.
由
，得
.
因△ABC为锐角三角形，故
，解得
.
则
，展开并化简得
.
由
，得
，故
，因此
.
18．如图，在
中，
，
，点
在线段
上．
(1)若
，求AD的长；
(2)若BD =2 DC，
的面积为
，求
的值．
【答案】(1)AD = 8
3
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边转化为对应角的正弦，化简求解
的值，进而得到
的值，再结合正弦定
理即可求解AD的长度；
（2）结合已知的面积、
长度和
，求解
的长度，再根据BD =2 DC得到
、DC的长度，进而分别在
△ABD和△ACD中使用正弦定理，结合
与∠ADC互补、正弦值相等的性质求解正弦比值.
【详解】（1）因为
，
由正弦定理可得：
，
即
，
因为A ∈(0,π)，则
，故cosB = 1
3，则
为锐角，
所以
，
因为
，则
，
在△ABD中，由正弦定理得
，
所以
，解得AD = 8
3．
（2）
，则
由BD =2 DC，得
，
.
由余弦定理可得：
.
在△ABD中，由正弦定理可得
，
故
，
在△ACD中，由正弦定理可得
，
故
，
因为
，
所以
．
19．在
中，内角
，
，
所对的边分别为
，
，c，且
．
(1)求
；
(2)若
，
，求边
上的角平分线
长；
(3)若
为锐角三角形，点
为
的垂心，
，求
的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)
.
【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理，即可求解；
（2）由余弦定理得
，结合三角形面积公式，即可求得
；
（3）利用三角形垂心的性质，可求得
，
，结合三角函数的性质，即可求得
的取值范围.
【详解】（1）由已知
，得
，即
，
根据正弦定理，可得
，化简得
，
由余弦定理，得
，
又
，所以
；
（2）根据余弦定理，得c
2=a
2+b
2−2abcosC，整理得
，
又
，
，
，代入整理得
，解得
，
又
为边
上的角平分线，所以
，
，
即
，
化简得
，
又
，
，所以
，解得
；
（3）延长AF交
于点M，延长
交
于点
，
因为点
为
的垂心，所以
，BE⊥AC，
设
，则
且
，
所以
，又
，
在
中，
，
在
中，
，
，所以
，
在
中，
，同理可得
，
所以
因为
，所以
，
所以
，
所以
，
即
的取值范围为
.
