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第五章 平面向量及解三角形 章节验收测评卷
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．在平行四边形
中，
是
的中点，
与
交于点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用相似三角形的性质以及向量的加法运算来表示
即可.
【详解】因为在平行四边形
中，
，所以
，
因为
是
的中点，所以
，即
，
，
根据向量的加法法则，
，
故选：B.
2．在
中，若
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据正弦定理求解即可.
【详解】由正弦定理，得
，
则
，解得
.
故选：C.
3．已知向量
和
满足
，则向量
在向量
上的投影向量为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先计算向量
，再应用投影向量公式计算求解.
【详解】
，则向量
，
则
在
的投影向量为
，
故选:A．
4．在
中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c，且
，
，则
的形状是（ ）
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．不确定的
【答案】C
【分析】由正弦定理，结合题意，可得边的等量关系与角的不等关系，根据余强定
理，可得答案.
【详解】因为
，
，所以
，
，
所以
，
，易知
，即
，
设
，则
，
，则
，
可得
，所以
是锐角三角形.
故选：C.
5．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“勾股圆方图”，后人称其为“赵
爽弦图”．类比“赵爽弦图”，用3 个全等的小三角形拼成了如图所示的等边
，若
，
．则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意可得
是等边三角形，设
，利用正弦定理可求
得
，进而利用余弦定理可求得的值.
【详解】由
知
，
所以
为正三角形，
∵
，
设
，则
由正弦定理：
，即
，则
在
中，
即
，则
，即
．
故选：A.
6．如图，边长为
的等边
，动点
在以
为直径的半圆上.若
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】建立平面直角坐标系，可得半圆弧
的方程为：
，设
，根据向量的坐标运算法则算出
关于
的式子，利用三角换元与正弦函
数的性质求解即可．
【详解】由题意，以
所在直线为
轴，
的垂直平分线为
轴，建立平面直角坐
标系，如图所示：
结合已知得
，
，
，
半圆弧
的方程为：
，
设
，则
，
，
，
由
得：
，
解得：
，
所以
，
因为
在
上，所以
，
又
，
则可设
，
，
，
将
，
代入
整理得：
由
得
，
所以
，
，
故
的取值范围是
.
故选：D.
7．设
、
是平面内相交成
的两条射线，
、
分别是与
、
同
向的单位向量，定义平面坐标系
为
仿射坐标系，在
仿射坐标系中，若
，则记
.已知在如图所示的
仿射坐标系中，
、
分别在
轴、
轴正半轴上，且
，点
、
、
分别为
、
、
的中点，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设
，根据
可得出
，设
，
，则
，根据平面向量的线性运算得出
，
，利用平面向量数量积的运算性质可求得
的最大
值.
【详解】由题意，
则
，
设
则
，
则
，
整理得：
，不妨设
，
，则
.
因点
、
分别为
、
的中点，
则
，
，
同理可得
，
故
，
将
，
代入上式，
可得：
，
其中
是锐角，且
，故
的最大值为
.
故选：A.
8．在锐角
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据三角形内角和与诱导公式将已知条件转化为边角的三角函数关系，利用
正弦定理由边化角，使用二倍角公式进行恒等变换以及利用同角的三角函数关系求出
的三角函数值，再利用正弦定理和同角的三角函数关系根据
的范围求出结果.
【详解】由
得
，即
，即
，又
，故
，
故
，
因为
，所以
，故
，得
，
，
因为
，
因为
，
，所以
，
故
，所以
，所以
，
故选D．
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称、中心对称都能给人以美感.已
知
是以
为斜边的等腰直角三角形，
，分别以
，
为直径作两个半
圆，得到如图所示的几何图形，
是两个半圆弧上的动点，则
的值可能是（ ）
A．
B．1
C．8
D．18
【答案】BC
【分析】由题意建立标系，利用平面向量数量积的坐标表示，可得.答案
【详解】取线段
的中点为
，连接
，
以
为原点，分别以
所在直线为
轴，建立直角坐标系，如下图：
则
，
，
，
由图易知
，
可得
，
，
，
易知
.
故选：BC.
10．如图，甲船从
出发以每小时25 海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀
速直线航行．当甲船出发时，乙船位于甲船的南偏西
方向的
处，此时两船相距
海里．当甲船航行12 分钟到达
处时，乙船航行到甲船的南偏西
方向的
处，此时两
船相距5 海里，下面结论正确的是（ ）
A．乙船的行驶速度与甲船相同
B．乙船的行驶速度是
海里/时
C．甲、乙两船相遇时，甲船行驶了
小时
D．甲、乙两船不可能相遇
【答案】AD
【分析】根据三角形的边角关系可得
是正三角形，进而根据余弦定理可得
，进而可求解速度，即可判定AB，分别计算甲乙两船到达的时间即可判定CD.
【详解】如图，连接
．
依题意，
（海里），而
海里，
，
则
是正三角形，所以
海里．
在
中，
海里，
由余弦定理得
（海里），
则有
，所以
，所以
，
所以乙船的行驶速度是
（海里/时），故A 正确，B 不正确．
延长
与
交于点O，显然有
，即
，
易得
海里，
海里，
海里，
甲船从出发到点O 用时
（小时），
乙船从出发到点O 用时
（小时），
，即甲船先到达点O，所以甲、乙两船不可能相遇，C 不正确，D 正确．
故选：AD．
11．如图，已知
是
内一点，三角形
、
、
的面积分别为
、
、
，则
．若
是锐角
内的一点，
，
，
是
的三个内角，且
点满足
，则下列说法正确的是（ ）
A．
是
的垂心
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】由
可得
，同理可证
所以选项A
正确.利用直角三角形得到
可得选项C 错误.
再由选项C 和利用向量的数量积公式展开可得B 选项正确.由B 选项正确和利用三角形
面积公式代入化简可得D 选项正确.
【详解】因为
，所以
则
同理可证得：
所以
是
的垂心.选项A 正确.
延长
交
于
两点.
由选项A 可知，
所以
所以
又因为
所以
选项C 错误.
由C 选项可知，
同理可得
又因为
，所以
所以
选项B 正确.
由C 可知，
同理可得
所以
又因为
所以
因为
所以
，选项D 正确.
故答案为：ABD.
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12．如图，在
中，
，
，
，
，
交
于点
，过点
的直线分别交
于点
，则
．
【答案】7
【分析】利用
和
两组三点共线把
用
表示，然后由
三点共线得
的关系式
【详解】设
,因为
,
所以
,
又因为
三点共线,
三点共线,所以
, 解得
,
所以
，则
．
又
，
由于
与
共线，所以
，得
．
13．在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，a 为最大边且
则角A 的取值范围是 .
【答案】
【分析】先利用余弦定理推出
，再根据条件，结合三角形内角和得出
，即得角A 的取值范围.
【详解】因为
由余弦定理，可得
故
，
又因
为最大边且
，则有
且
，故
即
故得
故答案为：
.
14．定义平面向量的一种运算
，
，其中
，
是
与
的夹角，给出下列命题：①若
，
，则
；②若
，则
；③若
，则
；④若
，
，则
．其中真命题的序号是 .
【答案】①③
【分析】根据已知中的新定义，
，
，其中
，
是
与
的夹角，结合平面向量数量积的运算、平面向量数量积的坐标表示以及向量夹角公
式，逐一判断四个命题的真假可得答案．
【详解】
，
，其中
，
是
与
的夹角，
若
，
，则
，
，
则
，故正确；
②
，则
，
夹角为
，
则
，故错误；
③若
，则
，故正确；
④若
，
，则
，
，
，
则
，
，故错误；
故真命题的序号为：①③
故答案为：①③
【点睛】本题以向量运算的新定义为载体，考查平面向量数量积的运算、平面向量数
量积的坐标表示以及向量夹角公式，难度为中档．
四、解答题：本题共5 小题，其中第15 题13 分，第16,17 题15 分，第18,19 题17 分，共
77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知平面向量
、
，
，
，且
．
(1)求
、
的夹角；
(2)若
与
（
）垂直，求
的值．
【答案】(1)60°；
(2)
．
【分析】（1）由题设条件和向量数量积的运算律求得
，再由向量数量积的定
义即可求得其夹角；
（2）由
与
（
）垂直，可得
，利用（1）的结
论代入求解即得
的值.
【详解】（1）由
，可得
，
则
，所以
，
又因
，
则
，因
，故
、
的夹角为60°；
（2）由（1）可得：
，
，
因为
与
（
）垂直，所以
，
整理得到
，
将
，
，
代入上式可得：
，
解得
．
16．在
中，角
所对的边分别为
，且满足
.
(1)求角
的大小；
(2)已知
，求
边上的中线
的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理及
进行化简，得到
，从而得到
；
（2）利用余弦定理得到的值，由中线向量求得
的长.
【详解】（1）由正弦定理得
，
又因为
，所以
，
所以
，
又因为
，所以
，
因为
，所以
.
（2）在
中，由余弦定理得
，
代入数值得
，解得
（舍去）或
，
因为
是
的中点，所以
，
所以
，
所以
，即
边上的中线
的长为
.
17．平面向量
，
，函数
．
(1)若
，求
的值域；
(2)在
中，内角A、B、C 的对边分别为a、b、c，已知
，
，
，求
的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用数量积、二倍角公式和辅助角公式化简得到
，然后可求最小正周期和函数的零点；
（2）由已知先求得
，进而利用余弦定理得到，然后利用三角形面积公式求面积即
可.
【详解】（1）因为
，
所以
，
由
，可得
，解得
，
所以函数
的值域为
.
（2）因为
，所以
，所以
，
因为
，所以
，所以
，即
，
因为
，所以
，
整理得
，解得
或
(舍去），
所以
的面积为
.
18．在
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，，且
，
.
(1)求
；
(2)求
的面积；
(3)以
为坐标原点，
所在直线为
轴，且A 在x 轴上方建立平面直角坐标系，在
所在的平面内有一动点
，满足
，求
的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用二倍角公式得
，再由正弦定理可解；
（2）由余弦定理和已知得
，由等式两边的取
值范围可得
，从而可得三角形面积；
（3）以
为坐标原点建立平面直角坐标系，由数量积坐标运算得动点
轨迹方
程
，即
，可解问题.
【详解】（1）根据题意，
，
因为
，所以
，
由正弦定理得
，所以
；
（2）由余弦定理，
，
代入
，得
，
两边同时除以
，
，
由于
，当且仅当
时等号成立，
而
，当且仅当
时等号成立，
即
，
由余弦定理
，
即
，
的面积
；
（3）由（1）（2）可知
，
，所以
，
以
为坐标原点，
所在直线为
轴建立平面直角坐标系，
则
，
，
，
故可设
（
为变量）
则
，
所以
的最小值为
.
【点睛】关键点点睛：第（2）问中，由题意得
，两边
同时除以
，
，接下来由等式左右两边的范围得
是解题的关键.
19．如图，设
中角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，AD 为BC 边上的中线，
已知
且
，
．
(1)求b 边的长度；
(2)求
的面积；
(3)设点E，F 分别为边AB，AC 上的动点（含端点），线段EF 交AD 于G，且
的面积为
面积的
，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据正弦定理的“角化边”把已知条件中的等式进行转化，再运用余弦
定理得出
和的关系式，进而求出
的长度即可；
（2）根据向量的运算性质和两向量的夹角公式求出
，进而求出
，
再根据三角形面积公式求出面积即可；
（3）首先设
，
，
（
），根据三点共线
公式得到
，
再根据面积的倍数关系求出
，因此求出
的表达式后，可以根据函数值域
的求解方法解决取值范围即可．
【详解】（1）由已知条件可知：
在
中，由正弦定理
得
在
中，由余弦定理
得
，又
（2）设
为BC 边上中线
则
①
或
由①，得
（3）设
，
，
（
）
，
根据三点共线公式，得
（
，
为∠BAC）
【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理的应用，考查向量的运算性质以及求函数值
域问题，需要一定的分析和解决问题的能力．
