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专题06 勾股定理易错题集训及常考疑难问题突破（解析版）
类型一 教材易错易混题集训
易错点1 误认为三角形为直角三角形
1．已知△ABC的三边长a，b，c均为整数，且a和b满足❑√a−2+b2﹣6b+9＝0，试求c的值．
【思路引领】已知等式左边后三项利用完全平方公式变形，利用非负数的性质求出 a与b的值，利用三
角形三边关系求出第三边的范围，确定出c的值即可．
【解答】解：∵❑√a−2+b2﹣6b+9＝0，
∴❑√a−2+（b﹣3）2＝0，
∴a﹣2＝0，b﹣3＝0，
即a＝2，b＝3，
∴3﹣2＜c＜3+2，即1＜c＜5，
则c＝2，3，4．
【总结提升】此题考查了配方法的应用，三角形三边关系，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式
是解本题的关键．
易错点2 误认为c为直角三角形的斜边
2．在△ABC中，已知∠B＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且a＝6，b＝8，求c的长．
【思路引领】直接根据勾股定理即可得出结论；
【解答】解：∵在△ABC中，已知∠B＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且a＝6，b＝8，
∴c 2 ．
=❑√82−62= ❑√7
【总结提升】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等
于斜边长的平方是解答此题的关键．
3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，若a2+b2≠c2，则这个三角形是不是直角三角形？
请说明理由．
【思路引领】当c为最长边时，△ABC不是直角三角形；当c不为最长边时，若a2+c2＝b2或b2+c2＝
a2，则△ABC是直角三角形，即可得出结论．
【解答】解：若a2+b2≠c2，则这个三角形不一定是直角三角形，理由如下：
当c为最长边时，
∵a2+b2≠c2，
∴△ABC不是直角三角形；当c不为最长边时，
若a2+c2＝b2或b2+c2＝a2，
则△ABC是直角三角形；
∴若a2+b2≠c2，则这个三角形不一定是直角三角形．
【总结提升】本题考查了勾股定理的逆定理、分类讨论等知识，熟练掌握勾股定理的逆定理并进行分类
讨论是解题的关键．
易错点3 忽视分类讨论
4．（2022春•关岭县期中）若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（ ）
A．13或❑√119 B．13或19 C．13或15 D．15
【思路引领】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较
长边12既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即 12是斜边或直角边的两
种情况，然后利用勾股定理求解．
【解答】解：当12是斜边时，第三边是 ；
❑√122−52=❑√119
当12是直角边时，第三边是 13．
❑√122+52=
故选：A．
【总结提升】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．
5．（2022秋•冠县期末）在Rt△ABC中，∠A＝90°，有一个锐角为60°，BC＝6，若点P在直线AC上
（不与点A、C重合），且∠ABP＝30°，则CP的长为（ ）
A．6或2❑√3 B．6或4❑√3 C．2❑√3或4❑√3 D．6或2❑√3或4❑√3
【思路引领】根据点P在直线AC上的不同位置，∠ABP＝30°，利用特殊角的三角函数进行求解．
【解答】解：如图1：
当∠C＝60°时，∠ABC＝30°，与∠ABP＝30°矛盾；
如图2：
当∠C＝60°时，∠ABC＝30°，
∵∠ABP＝30°，
∴∠CBP＝60°，
∴△PBC是等边三角形，
∴CP＝BC＝6；
如图3：当∠ABC＝60°时，∠C＝30°，
∵∠ABP＝30°，
∴∠PBC＝60°﹣30°＝30°，
∴PC＝PB，
∵BC＝6，
∴AB＝3，
3 3
PC=PB= = =2❑√3
∴ cos30° ❑√3
2
如图4：
当∠ABC＝60°时，∠C＝30°，
∵∠ABP＝30°，
∴∠PBC＝60°+30°＝90°，
BC 6
PC= = =4❑√3
∴ cos30° ❑√3 ．
2
故选：D．
【总结提升】本题考查利用特殊角的三角函数值求线段的长，解题的关键是确定点P在直线AC上的不
同位置．
6．（2023春•青云谱区月考）已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD=❑√3，AD＝1，AB＝2AC，求BC
的长．
【思路引领】分两种情况：①当△ABC是锐角或直角三角形，如图1，②当△ABC是钝角三角形，如图2，分别根据勾股定理计算AC和BC即可．
【解答】解：分两种情况：
①当△ABC是锐角或直角三角形，如图1，
∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝90°，
∵CD=❑√3，AD＝1，
∴AC＝2，
∵AB＝2AC，
∴AB＝4，
∴BD＝4﹣1＝3，
∴BC 2 ；
=❑√CD2+BD2=❑√32+(❑√3) 2= ❑√3
②当△ABC是钝角三角形，如图2，
同理得：AC＝2，AB＝4，
∴BC 2 ．
=❑√CD2+BD2=❑√(❑√3) 2+52= ❑√7
综上所述，BC的长为2❑√3或2❑√7．
【总结提升】本题考查了三角形的高、勾股定理的应用，在直角三角形中常利用勾股定理计算线段的长，
要熟练掌握．
7．（2022秋•禅城区月考）某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长为 6m、8m．
现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以 8m长的边为直角边的直角三角形．（如图所示：假设
Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6m，AC＝8m）（1）求原花圃周长．
（2）请设计出扩建后为等腰三角形花圃的所有合适的方案．（画出草图，并注意指出哪两条是腰）
（3）求扩建后的等腰三角形花圃的周长．
【思路引领】（1）利用勾股定理计算出斜边的长，即可求解；
（2）利用等腰三角形的性质分别画出符合题意的图形求出即可；
（3）根据所画出的图形，利用三角形的周长公式以及勾股定理计算即可得出答案．
【解答】解：（1）Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6m，AC＝8m，
∴ ，
AB=❑√62+82=10(m)
∴原花圃周长为6+8+10＝24（m）；
（2）如图①所示，AB＝AD＝10（m）；
如图②所示，BD＝AB＝10（m）；
如图③所示，BD＝AD；
（3）如图①，扩建后的等腰三角形花圃的周长为2×（6+10）＝32（m）；
如图②， ，
AD=❑√42+82=4❑√5(m)
∴扩建后的等腰三角形花圃的周长为2×10+4❑√5=20+4❑√5(m)；
如图③所示：在Rt△ACD中，AC2+DC2＝AD2，
即82+x2＝（x+6）2，
7 25
解得：x= ，x+6= ，
3 3
25 80
∴扩建后的等腰三角形花圃的周长为2× +10= (m)；
3 3
80
故扩建后的等腰三角形花圃的周长为32m或(20+4❑√5)m或 m．
3
【总结提升】此题主要考查了应用设计与作图、勾股定理以及等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，能通过分类求出等腰三角形的所有情况是解此题的关键．
易错点4 忽视使用勾股定理的条件
8．（2022春•米东区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝5，AD＝3，则
BC的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【思路引领】利用等腰三角形的三线合一性质可得BC＝2BD，AD⊥BC，从而可得∠ADB＝90°，然后
在Rt△ADB中，利用勾股定理求出BD的长，最后进行计算即可解答．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴BC＝2BD，AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝5，AD＝3，
∴BD 4，
=❑√AB2−AD2=❑√52−32=
∴BC＝2BD＝8，
故选：C．
【总结提升】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
9．（2023秋•崇安区期末）△ABC中，AB＝10，BC＝16，BC边上的中线AD＝6，则AC＝ 1 0 ．
【思路引领】首先根据中线的定义得 BD＝8，则有 BD2+AD2＝AB2．根据勾股定理的逆定理得
AD⊥BC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，得AC＝AB＝10．
1
【解答】解：由题可知，在△ABD中，AB＝10，BD= BC＝8，AD＝6．
2
因为AD2+BD2＝AB2，
所以△ABD为直角三角形，
即AD⊥BC，
又因为BD＝DC，
根据线段垂直平分线的性质，所以AC＝AB＝10．【总结提升】能够运用勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形．熟悉线段垂直平分线的性质．
易错点5 忽视勾股数中“正整数”的条件
10．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．9，40，41 B．❑√2，❑√22
C．5，4，❑√41 D．3k，4k，5k（k为整数）
【思路引领】利用勾股数定义进行分析即可．
【解答】解：A、92+402＝412，且为整数，因此是勾股数，符合题意思；
B、❑√2不是整数，因此不是勾股数，不符合题意思；
C、❑√41不是整数，因此不是勾股数，不符合题意思；
D、当k＝0时，3k＝4k＝5k＝0，（3k）2+（4k）2≠（5k）2，因此不是勾股数，不符合题意思；
故选：A．
【总结提升】此题主要考查了勾股数，关键是掌握满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．
11．下列几组数中是勾股数的有（ ）
2 7
①9，40，41；②13，14，15；③3k，4k，5k（k为正整数）；④ ，2， ．
3 3
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【思路引领】根据勾股数的定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数解答即可．
【解答】解：①92+402＝412，且9，40，41都是正整数，是勾股数，符合题意；
②132+142≠152，不是勾股数，不符合题意；
③（3k）2+（4k）2＝（5k）2，且3k，4k，5k（k为正整数）都是正整数，是勾股数，符合题意；
2 7
④ ，2， 不都是正整数，不是勾股数，不符合题意．
3 3
综上所述，有2组符合题意．
故选：B．
【总结提升】本题考查了勾股数的定义，注意：一组勾股数必须同时满足两个条件：①三个数都是正
整数；②两个较小数的平方和等于最大数的平方．
类型二 常考疑难问题突破
疑难点1 规律探究问题12．（2023春•吕梁期中）细心观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题．
❑√1
OA 2=（❑√1）2+1＝2，S = ；
2 1 2
❑√2
OA 2=12+（❑√2）2＝3，S = ；
3 2 2
❑√3
OA 2=12+（❑√3）2＝4，S = ⋯
4 3 2
❑√n
（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变规律：OA 2= n ，S ＝ ．
n n 2
（2）求出OA 的长．
10
（3）若一个三角形的面积是❑√5，计算说明它是第几个三角形？
【思路引领】（1）根据题意计算求出OA 和S ；
2 n
n
（2）根据（1）中的规律计算即可；
（3）根据（1）的结论列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：（1）根据上述变规律筷子，OA 12+（ ）2＝n，
2= ❑√(n−1)
n
❑√n
S = ，
n
2
❑√n
故答案为：n； ；
2
（2）OA =❑√10；
10
（3）设它是第m个三角形，
❑√m
由题意得， =❑√5，
2
解得，m＝20
答：一个三角形的面积是❑√5，它是第20个三角形．
【总结提升】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么
a2+b2＝c2．13．（2021春•蓬江区期中）陈老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
n 2 3 4 5 …
a 22﹣1 32﹣1 52 ﹣1 …
b 4 6 8 10 …
c 22+1 32+1 52 +1 …
（1）补充完整表格：
（2）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示；
（3）猜想：以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形，并证明你的猜想．
【思路引领】（1）按表中数字规律填写即可．
（2）用n表示出变化规律．
（3）利用勾股定理的逆定理判断即可．
【解答】解：（1）由表得，当n＝4时，a＝42﹣1，c＝42+1，
故答案为：42﹣1，42+1．
（2）当n＝2时，a＝22﹣1，b＝4，c＝22+1，
当n＝3时，a＝32﹣1，b＝6，c＝32+1，
当n＝4时，a＝42﹣1，b＝8，c＝42+1，
……
∴a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1．
（3）是直角三角形．
a2＝（n2﹣1）2＝n4﹣2n2+1，
b2＝（2n）2＝4n2，
c2＝（n2+1）2＝n4+2n2+1，
∵a2+b2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1，
∴a2+b2＝c2，
∴以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形．
【总结提升】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
疑难点2 数学建模问题
14．设计师要用四条线段CA，AB，BD，DC首尾相接组成如图所示的两个直角三角形图案，∠C与∠D为
直角，已知其中三条线段的长度分别为1cm，9cm，5cm，第四条长为xcm，试求出所有符合条件的x的
值．【思路引领】显然AB是四条线段中最长的线段，分AB＝x或AB＝9两种情况来讨论．
【解答】解：显然AB是四条线段中最长的线段，分AB＝x或AB＝9两种情况来讨论．
把AB平移至ED（如图所示）．
①若AB＝x，
当CD＝9时，则 ；
x=❑√92+(1+5) 2=3❑√13
当CD＝5时，则 ；
x=❑√52+(1+9) 2=5❑√5
当CD＝1时，则 ．
x=❑√12+(9+5) 2=❑√197
②若AB＝9，
当CD＝5时，由（x+1）2+52＝92，得x=2❑√14−1；
当CD＝1时，由（x+5）2+12＝92，得x=4❑√5−5；
当CD＝x时，由x2+（1+5）2＝92，得x=3❑√5．
（以上每种情况2分）…（12分）
【总结提升】本题考查勾股定理的知识，解题关键是分AB＝x或AB＝9两种情况进行讨论，注意不要
漏解．
15 ． （ 2021• 黔 东 南 州 模 拟 ） 黔 东 南 州 某 校 杨 老 师 组 织 数 学 兴 趣 小 组 开 展 探 究 代 数 式（x≥0）的最小值，王老师巧妙的运用了“数形结合”的思想，具体做法是：如
❑√x2+1+❑√(4−x) 2+4
图，C为线段BD上一动点，分别过B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB＝1，DE＝
2，BD＝4．设BC＝x，则AC ，CE ，则问题转化成求AC+CE的最小值．
=❑√x2+1 =❑√(4−x) 2+4
【探究发现】
（1）我们知道当A、C、E在同一直线上时，AC+CE的值最小，于是可求得
❑√x2+1+❑√(4−x) 2+4
4
（x≥0）的最小值等于 5 ，此时x＝ ．
3
（2）请你利用上述方法和结论，试构图求出代数式 （x≥0）的最小值．
❑√x2+4+❑√(12−x) 2+9
【拓展迁移】
（3）请你用构图的方法试求 （x≥0）的最大值．
❑√(4+x) 2+4−❑√x2+1
【思路引领】（1）如图1中，C为线段BD上一动点，分别过B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、
EC．已知AB＝1，DE＝2，BD＝4．设BC＝x，则AC ，CE ，则问题转化成求
=❑√x2+1 =❑√(4−x) 2+4
AC+CE的最小值．
（2）模仿（1）解决问题即可．
（3）如图3，取线段BD＝4，在线段BD所在直线的同侧分别过B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，且AB＝
1，DE＝2，连接EA，并延长EA交DB的延长线于点C，则线段AE的长为：
❑√(x+4) 2+4−❑√x2+1
（x≥0）的最大值．
【解答】解：（1）如图1中，C为线段BD上一动点，分别过B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、
EC．已知AB＝1，DE＝2，BD＝4．设BC＝x，则AC ，CE ，则问题转化成求
=❑√x2+1 =❑√(4−x) 2+4AC+CE的最小值．
过点A作AF⊥ED交ED的延长线于F．则四边形ABDF是矩形，
∴AF＝BD＝4，AB＝DF＝1，
∵DE＝2，
∴EF＝3，
∴AE 5，
=❑√AF2+EF2=❑√42+32=
∵AC+EC≥AE，
∴AC+EC≥5，
∴AC+CE的最小值为5，
4−x 2 4
此时 = ，解得x= ，
4 3 3
4
∴❑√x2+1+❑√(4−x) 2+4的最小值为：5，此时x= ．
3
（2）如图2，取线段BD＝12，分别过B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，且AB＝2，DE＝3，连接AE，则
AE为 （x≥0）的最小值，
❑√x2+4+❑√(12−x) 2+9
过点A作AF⊥ED交ED的延长线于F．则四边形ABDF是矩形，
∴AF＝BD＝12，AB＝DF＝2，
∵DE＝3，
∴EF＝5，∴AE 13．
=❑√AF2+EF2=❑√52+122=
（3）如图3，取线段BD＝4，在线段BD所在直线的同侧分别过B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，且AB＝
1，DE＝2，连接EA，并延长EA交DB的延长线于点C，则线段AE的长为：
❑√(x+4) 2+4−❑√x2+1
（x≥0）的最大值，最大值为： ．
❑√(2−1) 2+42=❑√17
【总结提升】本题属于三角形综合题，考查了勾股定理，最值问题等知识，解题的关键是学会利用数形
结合的思想解决问题，中用转化的思想解决问题，属于中考压轴题．
疑难点3 最短路径问题
16．（2020秋•峄城区期中）已知长方体的长2cm、宽为1cm、高为4cm，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从
A点爬到B′点，那么沿哪条路最近，最短的路程是（ ）
A．❑√29cm B．5cm C．❑√37cm D．4.5cm
【思路引领】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，然后利用两点之
间线段最短解答．
【解答】解：根据题意，如图所示，最短路径有以下三种情况：
（1）沿AA′，A′C′，C′B′，B′B剪开，得图1：
AB′2＝AB2+BB′2＝（2+1）2+42＝25；
（2）沿AC，CC′，C′B′，B′D′，D′A′，A′A剪开，得图2：
AB′2＝AC2+B′C2＝22+（4+1）2＝4+25＝29；（3）沿AD，DD′，B′D′，C′B′，C′A′，AA′剪开，得图3：
AB′2＝AD2+B′D2＝12+（4+2）2＝1+36＝37；
综上所述，最短路径应为（1）所示，所以AB′2＝25，即AB′＝5cm，
故选：B．
【总结提升】此题考查了平面展开﹣最短路径问题，将长方体从不同角度展开，是解决此类问题的关键，
注意不要漏解．
17．（2022秋•烟台期末）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高三丈，周八尺，有葛
藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因
一丈是十尺，则该圆柱的高为3丈，底面周长为8尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好
到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是 5 丈．
【思路引领】根据题意画出图形，在Rt△ABC中，再根据勾股定理求解即可．
【解答】解：如图所示：AB表示葛藤的最短长度，由题意可知：BC＝3（丈），AC＝8×5÷10＝4（丈），
在Rt△ABC中， （丈）．
AB=❑√AC2+BC2=❑√32+42=5
故答案为：5．
【总结提升】本题考查了平面展开—最短路径问题，能够根据题意画出图形，构造直角三角形是解题的
关键．
18．（2022春•蜀山区期中）如图，已知等边△ABC的边长为6，点D为AC的中点，点E为BC的一动点，
点P为BD上一动点，连接PE、PC，则PE+PC的最小值为（ ）
A．3 B．3❑√2 C．3❑√3 D．2❑√3
【思路引领】由题意可知点A、点C关于BD对称，连接AE交BD于点P，由对称的性质可得，PA＝
PC，故PE+PC＝AE，由两点之间线段最短可知，AE即为PE+PC的最小值，根据勾股定理求出AE即
可．
【解答】解：过A作AE⊥BC于E，交BD于P，
则此时，PE+PC的值最小，
∵△ABC是等边三角形，点D为AC的中点，点E为BC的中点，
1
∴BD⊥AC，EC= BC＝3，
2
连接AE，交BD于P，
∴PA＝PC，
∴PE+PC＝PE+PA＝AE，
线段AE的长即为PE+PC最小值，
∵点E是边BC的中点，
∴AE⊥BC，
在Rt△ACE中，
AE 3 ，
=❑√AC2−EC2=❑√62−32= ❑√3
∴PE+PC的最小值是3❑√3．故选：C．
【总结提升】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等边三角形的性质是解答此题的关键．
