文档文本内容
单元集训卷05 导数及其应用
（考试时间：120 分钟，分值：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知
，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．4
【答案】B
【分析】求得函数的导数
，求得
，得到
，即可求得
的值.
【详解】由题意，函数
，可得
，
令
，可得
，解得
，所以
，
所以
.
2．已知曲线
的一条切线过点
，且与直线
平行，则
（ ）
A．6
B．23
C．6 或38
D．23 或38
【答案】C
【分析】由切线斜率求出切点坐标，确定切线方程，即可求解.
【详解】因为切线与直线
平行，
所以切线斜率
，
对
求导得：
，
设切点横坐标为
，则切线斜率满足：
，
解得
或
，
切线方程为
，
因为切线过点
，将
代入得：
，
当
时：
，
当
时：
，
因此
或
.
3．已知函数
的导函数
的图像如图所示，则
在
内有（ ）
A．3 个驻点
B．4 个极值点
C．1 个极小值点
D．1 个极大值点
【答案】C
【分析】由
图象判断区间符号和零点个数，进而判断
的驻点、极值点个数.
【详解】由题图知：
从左到右依次分为5 个区间，
区间符号依次为：正、负、正、正、负，且共有4 个零点，
即
有4 个驻点，综上，对于
中的4 个驻点有2 个极大值点，1 个极小值点，
所以C 正确，A、B、D 错误.
4．已知
，则
的解是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先分区间求解
的解集，结合函数单调性确定x 的范围后，再代入
解关于a 的不等式即可.
【详解】 分情况讨论不等式
的解：
当
时，
，不等式
，
与前提
矛盾，故此时不等式无解；
当
时，
，对其求导得
.
当
时，
，即
在
上单调递增.
又
，
因此
.
综上，
的解为
.
将
代入得
，解得
，即
.
5．若函数
在
上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】求导得
，转化为
在
上有解，最后分离参数即可.
【详解】函数
，则
，
因为
在
上存在单调递增区间，所以
在
上有解，
所以当
时，
有解，
令
，而当
时，令
，
即为
，
此时
(此时
)，所以
，
故实数a 的取值范围为
.
6．设函数
，若
，
，则
的最大值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．
【答案】B
【分析】根据
的单调性以及
恒成立得出
，
，进而得到
，令
，利用导数分析函数的单调性，进而求解即可.
【详解】因为函数
在
上均为增函数，
且当
时，可得
，当
时，
，
若
，则
，即
，又
，则
，
，
令
，有
，
令
，得
，令
，得
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
则
，即
的最大值为1.
7．已知函数
的极大值点是
，则实数
（ ）
A．0 或
B．
或
C．
D．
【答案】C
【分析】求函数导数，由极值点处导数为0，解得
的值，结合函数单调性检验是否符合题意即可得解.
【详解】
.
由题意知，
，即
，解得
或
.
当
时，
，
则
时
，
单调递增；
时
，
单调递减；
时
，
单调递增；
所以
在
处取得极大值，则
为极大值点，满足题意.
当
时，
，
则
时
，
单调递增；
时
，
单调递减；
时
，
单调递增；
所以
在
处取得极小值，则
为极小值点，不满足题意.
综上，实数
.
8．若关于x 的方程
有2 个不相等的实数根，则实数t 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】构造函数
，利用导数分析其单调性与极值，结合定义域及极限情况，确定函数零点个
数，从而得出的取值范围.
【详解】令
，
且
，求导得
.
当
时，
，
在
上单调递增，
在
上，
从
递增到
有一个零点；
在
上，
从
递增到
，无零点；
故
时，方程仅有1 个实数根，不符合题意.
当
时，令
，解得
（极值点），
当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减.
在
处取得极大值，
.
设
，求导得
，令
，解得
.
在
上单调递减，在
上单调递增，最小值为
，
故
，即极大值恒正.
在
上：
从
递增到极大值
，必有一个零点；
在
上：
从极大值
递减到
，必有一个零点；
又
不在定义域内，且
在
两侧均趋近于
，不影响零点个数.
综上，当
时，方程有2 个不相等的实数根.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的
得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
，
存在极值
C．存在
，使得
恒成立
D．若
在
上存在单调递减区间，则
的取值范围是
【答案】ACD
【分析】对A，取
的特殊值，结合参数
分析
的符号，判断
是否恒满足
，对B，先求
的导数，再分析导数的单调性与最值，判断导数是否存在变号零点；对C，将
代入
表达式化简
不等式
，转化为判断是否存在实数
使得不等式对任意
恒成立，分析因式符号判断；对D，将
在
上存在单调递减区间，转化为
在
上有解，分离参数
后构造新函数求值域，确定
的范
围.
【详解】由
，得
，
对于A ：对任意实数
，指数函数
恒成立，因此
恒成立，
则
恒成立，A 正确；
对于B ：
，令
，则
，
时，
，
单调递减，
时，
，
单调递增，
所以
在
处取最小值：
，
若
，则
，即
恒成立，
因此
恒成立，
单调递增，不存在极值，B 错误；
对于C ：由
得
，
整理得
，
取
，不等式变为
，
时，
，则
，所以
，
成立；
时，
，则
，所以
，
成立；
即 不等式对所有
恒成立，故存在
，使得
，C 正确；
对于D：
在
存在单调递减区间，等价于存在
使得
，
整理得
，
令
，则
，
时，
，
单调递减，
时，
，
单调递增，所以最小值为
，
因此要存在
满足
，只需
，解得
，
即
，D 正确.
10．已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．当
时，
在定义域上恒成立
B．若函数
在
上存在零点，则
C．若
在区间
上单调递减，则
的取值范围为
D．若
在区间
上不单调，则
的取值范围为
【答案】ACD
【分析】求得
，得到
单调区间，求得
，可判定A 正确；当
时，求得
，得到
单调区间，结合题意，列出不等式组，求得
的范围，可判定B 错误；求得
，转化为
在
上恒成立，求得
的取值范围，可判定C 正确；转化为
在
上有解，令
，结合
的单调性，求得
的值域，可判定D 正确.
【详解】对于A，当
时，函数
，可得其定义域为
，
且
，当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减，
所以
在
处取得极大值，也是最大值，
，
所以
在定义域上恒成立，所以A 正确；
对于B，由函数
，可得
，
当
时，
，显然函数
没有零点；
当
时，令
，解得
，
当
时，
；当
时，
，
所以函数
在
上单调递增，在
单调递减，
因为
，
要使得
在
上存在零点，则满足
或
，
即
或
，解得
或
，所以
，
当
时，可得函数
在
上单调递减，在
单调递增，
要使得
在
上存在零点，则满足
或
，
即
或
，此时不等式组无解，
综上可得，实数
的范围
，所以B 错误.
对于C，由函数
，
可得
，
要使得函数
在区间
上单调递减，则满足
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，
令
，则满足
，解得
，
所以实数
的取值范围为
，所以C 正确；
对于D，要使得函数
在区间
上不单调，即
在
上有解，
即方程
在
上有解，即
在
上有解，
令
，可得
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
所以
，且
，所以
，
当
时，即
时，此时
，
所以
，函数
在区间
上单调递增，不符合题意，
所以实数
的取值范围为
，所以D 正确.
11．已知函数
，则关于此函数的下列命题正确的是（ ）
A．
使函数有一个零点
B．
使
恒成立
C．
使函数有两个极值点
D．
，曲线
与定直线相切
【答案】AC
【详解】选项A，函数的定义域为
，令
，解得一个零点为
，
若
，另一零点为
.
当
时，取
，则
，两个零点重合，函数只有一个零点
，故存在这样的
，A 正确；
选项B，若
，对任意
，有
，
，故
，不可能满足
恒成立，B 错误；
选项C，取
，则
，
令
则
，（
为
的导函数），
所以
在
上严格递减．
又
，故存在唯一的
，使
．
当
时，
，当
，
，
因此
在
上严格递增，在
上严格递减．
又
，
，
因为
，所以
在
内有且仅有一个根
，在
内有且仅有一个根
．
并且
在
两侧由负变正，在
两侧由正变负，所以
在
处取得极小值，在
处取得极大值．
故存在
使函数有两个极值点，C 正确．
对于D，若命题成立，则当
和
时，两条曲线也应存在同一条切线．
当
时，曲线为
．
设切点横坐标为
，则切线为
当
时，曲线为
．
设切点横坐标为
，则
，
所以切线为
若两条切线重合，则斜率和截距分别相等，故
令
因为
且
，所以
．
若
，则
，从而
，矛盾．
故
且
．
由
和第一个等式，得
另一方面，对任意
，有
，所以
因为
，所以
这与
矛盾．
因此上述两条曲线不存在公切线，更不可能所有参数
对应的曲线都与同一条定直线相切，D 错误．
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．已知曲线
和
有两条公切线，其中一条为直线
，则另外一条公切线的
方程为________．
【答案】
【分析】根据两条曲线的其中一条公切线为
，结合导数的几何意义求出
，设出另一条切线的两条曲线的
切点坐标，得到切线方程，联立方程组求解即可.
【详解】对
，求导得
，
设切点为
，切线斜率
，解得
，则切点为
，切线方程为
，满足条件.
对
，求导得
.
设切点为
，则切线斜率为
，所以
，故切点坐标为
，
代入切线
中得，
，则
.
设另一条公切线与
相切于
，则切线方程为
，
即
.
设该公切线与
相切于
，则切线方程为
，
即
.
所以
，解得
或
.
当
时，对应切线方程为
，即已知切线方程；
当
时，对应切线方程为
.
故另外一条公切线的方程为
.
13．若函数
有且仅有一个零点，则实数a 的取值范围_________．
【答案】
【分析】函数
有且仅有一个零点转化为方程
有且仅有一个解的问题，等价于函数
与
有且仅有一个交点的问题；令
，确定函数
的定义域，单调性，极值，渐近线
等，作出函数
的图象示意图，根据
的图象特征，结合直线
与它的交点情况，得到关于
的不等
式或等式，求出
的取值范围.
【详解】令
，得
；
令
，则
有且仅有一个零点，等价于函数
与
有且仅有一个交点.
易得函数
的定义域为
，且
，
令
，解得
；
当
时，
，当
或
时，
，
在
上单调递增；在
和
上单调递减.
当
时，
；当
时，
，则
；
当
时，
.
当
时，
；当
时，
，则
；
当
时，
，当
时，
.
的图象示意图如下：
由图可知，
或
，解得
或
.
实数
的取值范围为
.
14．已知
，则
______．
【答案】
【分析】将所求极限式拆分为两个符合导数定义的形式，代入已知的导数值计算即可得到结果．
【详解】
．
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知函数为
．
(1)求
；
(2)求
的单调区间；
(3)求
在区间
上的最值．
【答案】(1)
(2)单调递增区间为
、
，单调递减区间为
(3)最大值为
，最小值为
【分析】（1）借助导数运算法则计算即可得；
（2）求导后，利用导数正负即可判断函数单调性；
（3）利用函数单调性与最值的关系计算极值点和端点的函数值即可得.
【详解】（1）
；
（2）由
，
则当
时，
，当
时，
，
故
的单调递增区间为
、
，单调递减区间为
；
（3）由
的单调递增区间为
、
，单调递减区间为
，
则当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，
又
，
，
，
故
在区间
上的最大值为
，最小值为
.
16．已知函数
(1)函数
在
处取极值，求
的值：
(2)求函数
在区间
上的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）对函数求导，利用极值点处导数为零列方程求解；
（2）求导，结合导数的性质及
得出
，分情况讨论求出各区间内的
，进而求出函数
在区间
上的最小值．
【详解】（1）
的定义域为
，求导得
，
已知
在
处取极值，则
，解得
．
当
时，
，
当
时，
，当
时,
，故
在
处极值，符合题意.
（2）函数的导数为
，
已知
，
，则
，
当
时，
在
上恒成立，
单调递减，
最小值为
；
当
时，
在
上恒成立，
单调递增，
最小值为
；
当
时，令
，解得
，则
，
时，
，
单调递减；
时，
，
单调递增；
最小值在极值点
处取得：
；
综上可得：
．
17．已知函数
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，求证：
；
(3)若
使方程
三个不等的根，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)由题意知，定义域为
，
，
，当
时，
，显然
为增函数，
当
时，
，当
时，
，根据零点存在定理
，
使
，而当
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，又
，即
，则即
，
因为
，所以
，故
，所以
，
令
，则
，
故
在
为增函数，所以
，即原不等式成立;
(3)
【分析】（1）根据导数的几何意义，求出斜率，代入点斜式方程求出切线方程即可；
（2）利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理，即可证明；
（3）将方程有三个不等的根转化为两个函数有三个交点，即有三个单调区间，利用导数研究函数的单调性，分别
对
进行
和
的讨论，即可求出
的取值范围.
【详解】（1）当
时，
，
，则切点为
，
又
，故
，则切线方程为
，即
;
（2）略；
（3）由题意知，定义域为
，
若
使方程
三个不等的根，即直线
与
图像有三个交点，
则
应有三个单调区间，又
，
，
①当
时，由（2）可知，
在
上单调递减，在
上单调递增，
此时没有三个单调区间，不成立；
②当
时，解
得
，解
得
，
故
在
单调递减，在
上单调递增，
故
，
当
时，
，此时
在
上单调递增，没有三个单调区间，不成立；
当
时，
，当
时，
，当
时，
，
根据零点存在定理
，使
，
，使
，
而当
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
又当
时，
，当
时，
，
故当
时方程
有三个实根，
综上所述，
的取值范围是
.
18．已知函数
.
(1)若曲线
在点
处的切线与直线
垂直，求
；
(2)当
时，讨论
的极值点个数；
(3)若
有两个零点
，当
取最大值时，求
的值.
【答案】(1)
(2)当
时，
的极值点个数为；当
时，
的极值点个数为
；当
时，
的极值点个
数为
；
(3)
【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得；
（2）求导后，分
、
与
讨论函数单调性，并根据单调性结合极值点定义计算即可得；
（3）令
，可得关于的方程
有两根，设为
、
，则有
，
，借助比值换元及作差运算可得
，计算可得
取最大值时，
也
取得最大值，即可构造函数，求出使得
取最大值时的
的值.
【详解】（1）
，
则有
，解得
；
（2）当
时，
，则
，
令
，则
，
当
时，
，
，故
在
上单调递减，
此时
无极值点；
当
时，
恒成立，故
在
上单调递减，
又
，当
时，
，
故存在
，使得
，
当
时，
，
时，
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
此时
有唯一极值点
；
当
时，若
，
，若
，
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
又
，
令
，则
在
上单调递减，又
，
故当
时，
，故
在
上单调递减，
此时
无极值点；
当
时，
，又
，
当
时，
，
故存在
、
，使得
，
当
时，
，当
时，
，
故
在
、
上单调递减，在
上单调递增，
故此时
存在两个极值点
、
；
综上所述：当
时，
的极值点个数为；
当
时，
的极值点个数为
；
当
时，
的极值点个数为
；
（3）若
，则
，令
，
即
，令
，则
，
令
，则
，
若
，则
，即
单调递增，不可能有两个零点，不符；
若
，则当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
由题意可得
有两个零点，则
，
即有
，又
时，
，
时，
，
故此时
有两个零点，设为
、
，且
，则
，
，
有
，
，
作差得
，
令
，则
，则
，
即
，则
，
由
，可得
，
则
，即
，
又
，故
，
令
，则
，故
单调递减，
则
，故
，则
恒成立，
令
，则
，
令
，则
，故
单调递增，
则
，
即对任意
，
恒成立，
且越大，
越小，即
越大，
由
，则
也会越大，
因此的最大值与
的最大值可同时取到，
即当
取最大值时，
也取得最大值，
令
，
，
则当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
故
时，
取得最大值，
即
取最大值时，
的值为.
19．已知正项数列
中，
，
．
(1)证明：
；
(2)已知
．
（i）讨论函数
的单调性；
（ii）证明：
时，
．
【答案】(1)证明见解析；
(2)（i）当
时，函数
在
上单调递增；当
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减；（ii）
证明见解析.
【分析】（1）构造函数并利用导数确定单调性，进而证明不等式.
（2）（i）求出函数
的导数
，按
分类讨论
的符号即可；（ii）利用单调性可得
，再利用累加法推理得证.
【详解】（1）设函数
，求导得
函数
在
上单调递减，
，则当
时，
恒成立，
由
，得
，而
，因此
，数列
单调递减，
所以
（2）（i）函数
的定义域为
，求导得
，
设函数
，
，
当
，即
时，
，
，函数
在
上单调递增；
当
，即
时，
有两个不相等实根
，
，
函数
对称轴
，
，
，则
，
当
或
时，
，
，函数
在
上单调递增，
当
时，
，
，函数
在
上单调递减，
所以当
时，函数
在
上单调递增；
当
时，函数
在
上单调递增，
在
上单调递减.
（ii）由（i）知，当
时，
在
上单调递增，
则当
时，
，即
，由（1）知
，
因此
，即
，则
，即
，
于是
，当
时，
，
所以当
时，
.
