文档文本内容
专题3.2 导数与函数的单调性
一、核心知识：
1. 利用导数研究函数的单调性
（1）导数与函数的单调性的关系
在某个区间
内，如果
，那么函数
在这个区间内单调递增；如果
，
那么函数
在这个区间内单调递减．
在某区间内
（
）是函数
在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件；
可导函数
在
上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有
（
）且
在
上的任何子区间内都不恒为零．
2.含参函数单调性讨论依据
（1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）；
（2）导函数的零点在不在定义域或区间内；
（3）导函数多个零点时大小的讨论。
3.已知函数的单调性求参数
（1）函数
f x 在区间D 上单调增（单减）
）
（
0
0
)
(
x
f
在区间D 上恒成立；
（2）函数
f x 在区间D 上存在单调增（单减）区间
）
（
0
0
)
(
x
f
在区间D 上能成立；
（3）已知函数
f x 在区间D 内单调
)
(x
f
不存在变号零点
（4）已知函数
f x 在区间D 内不单调
)
(x
f
存在变号零点
4.构造函数法解决函数问题中的常见类型
关系式为“加”型构造：
（1）
)
(
)
(
)
(
)
(
x
g
x
f
x
g
x
f
构造
)
(
)
(
)
(
)
(
])
(
)
(
[
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
（2）
'( )
( )
0
xf
x
f x
构造
'
'
[
( )]
( )
( )
xf x
xf
x
f x
（3）
'( )
( )
0
f
x
f x
构造
'
'
[
( )]
[
( )
( )]
x
x
e f x
e
f
x
f x
（4）
'( )
( )
0
xf
x
nf x
构造
'
'
1
1
'
[
( )]
( )
( )
[
( )
( )]
n
n
n
n
x f x
x f
x
nx
f x
x
xf
x
nf x
（注意x 的符号）
（5）
)
(
)
(
x
f
x
f
构造
)]
(
)
(
[
)
(
)
(
]
)
(
[
x
f
x
f
e
e
x
f
e
x
f
e
x
f
x
x
x
x
关系式为“减”型构造：
（6）
)
(
)
(
)
(
)
(
x
g
x
f
x
g
x
f
构造
2
)]
(
[
)
(
)
(
)
(
)
(
])
(
)
(
[
x
g
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
（7）
'( )
( )
0
xf
x
f x
构造
'
'
2
( )
( )
( )
[
]
f x
xf
x
f x
x
x
（8）
'( )
( )
0
f
x
f x
构造
'
'
'
2
( )
( )
( )
( )
( )
[
]
(
)
x
x
x
x
x
f x
f
x e
f x e
f
x
f x
e
e
e
（9）
'( )
( )
0
xf
x
nf x
构造
'
1
'
'
2
1
( )
( )
( )
( )
( )
[
]
(
)
n
n
n
n
n
f x
x f
x
nx
f x
xf
x
nf x
x
x
x
（注意x 的符号）
（10）
)
(
)
(
x
f
x
f
构造
x
x
x
x
x
e
x
f
x
f
e
e
x
f
e
x
f
e
x
f
)
(
)
(
]
[
)
(
)
(
])
(
[
2
二、考点聚焦：
考点一：单调区间的判断与求解
经典例题：
1．（2024·北京大兴·三模）下列函数中，是偶函数，且在
上是减函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】对于A，函数
是奇函数，A 错误；对于B，函数
，所以函数为偶
函数，
，令
，得
，当
时，
在
上单调递减，B 正确；对于C，函数
为偶函数，在
上单调性有增也有减，C 错误；对于D，函数
，所以函数为偶函数，
，
，
，函数在
上一定不是减函数，D 错误；
故选：B.
2．（2024·海南海口·模拟预测）已知函数
，则
的单调递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
的定义域为
，
，令
，解得
，
故
的单调递减区间为
，故选：B
3．设函数
在定义域内可导，
的图象如图所示，则其导函数
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
的图象可知，
在
上为单调递减函数，故
时，
，故排除
A，C；当
时，函数
的图象是先递增，再递减，最后再递增，所以
的值是先正，再负，
最后是正，因此排除B，故选：D.
4．在
上可导的函数
的图象如图
所示，则关于
的不等式
的解集
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意
的解集为
，
，
的解集为
，
或
，所以
或
．故选：A．
5．（2020·四川内江·三模）函数
的图像大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
，当
时，
，当
时，
，所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减.故选：C
6．（2023·陕西咸阳·三模）已知函数
的部分图象如图
所示，则它的解析式可能
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由图象可知，函数f（x）的定义域为R.
A：
，函数
的定义域为
，所以A 不符题意；
B：
，函数
的定义域为
，所以B 不符题意；
C：当
时，
，则
，当
时，
，
当
时，
，所以
在
上递增，在
上递减，所以
是函数的极大值，结
合图形，
不是极大值，故C 不符题意；
D：当
时，
，则
，当
时，
，
当
时，
，所以
在
上递增，在
上递减，结合图形，D 符合题意；
故选：D．
变式训练：
1．（2023·吉林长春·模拟预测）下列函数中，既是偶函数，又在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】对于A 选项：当
时，
的导函数为
，所以
在
时单调递
减，故A 选项不符合题意；对于B 选项：当
时，
的导函数为
，所以
在
时单调递减，故B 选项不符合题意；对于C 选项：当
时，
的导函数为
，所以
在
时单调递减，故C 选项不符合题意；对于D 选项：当
时，
的导函数为
，所以
在
时单调递增，又函数
的定
义域为
，且
，故D 选项符合题意.故选：D.
2．（2025·北京海淀·三模）下列函数中，在
上时单调递增函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】对于A，因为
，
在
上单调递增，故A 正确；对于B，
，
当
时，
，所以
在
上单调递减，故B 错误；对于C，
的定义域为
，
，所以
为偶函数，因为
，所以由
幂函数的性质知
在
上单调递增，由偶函数的性质可得：
在
上单调递减，
故C 错误；对于D，当
时，
,由
的单调性知，
在
不具备
严格的单调性，所以
在
上不具备严格的单调性，故D 错误.故选：A.
3．（2024·北京丰台·二模）下列函数中，是偶函数且在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】对于A，因为
，所以是偶函数，当
时，
，是反比
例函数，在
上单调递减，故A 错误；对于B，因为
，所以是偶函数，当
时，
，
，
，
在
上单调
递增，故B 正确；对于C，因为
，所以是奇函数，当
时，
不单调，故C 错误；对于D，因为
，所以是奇函数，当
时，
不是单调递增函数，故D 错误；故选：B.
4．（23-24 高三上·北京昌平·期末）下列函数中，在区间
上为减函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】A 选项，
在
上单调递增，不合要求，错误；B 选项，
在
上单调递增，在
上单调递减，故B 错误；C 选项，
在
上恒成立，故
在
上
单调递增，C 错误；D 选项，令
得，
，
在
上单调递增，
而
在
上单调递减，由复合函数单调性可知，
在
上单调递减，D
正确.故选：D
5．函数
的单调增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
求导得，
，则当
时，
，即函数
在
上单调递增；当
时，
，即函数
在
上单调递减，故函数
的单调递增区间为
.故选：D.
6．函数
的单调递减区间是 ．
【答案】
，
【详解】由
，
且
，则
，令
，即
，解得
或
.
所以函数
的单调递减区间是
，
.故答案为：
，
.
7．（2025·贵州铜仁·三模）已知函数
的一个零点为3，则
的单调减区间是 ．
【答案】
【详解】已知函数
的一个零点为3，所以将
代入函数得
，即
，
解得
．所以
，所以
，令
，即
，解得
，
所以
的单调减区间是
.故答案为：
.
8．函数
的图象如图所示，则
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】当
时，曲线的切线斜率大于0 且越来越大，当
时，曲线的切线斜率小于0 且越来越大.
故选：D
9．（2020·湖南长沙·模拟预测）函数
的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题可知：函数的定义域为
，
，令
，得到
.故函
数在
上单调递减，在
上单调递减，在
上单调递增.可排除
，令
，
，
可知
不符合，
符合.故选：D.
10．（2024·天津和平·一模）函数
的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
定义域为
，
，
为定义在
上的奇函数，图象关
于坐标原点对称，C 错误；当
时，
，
，
在
上单调递增，AD 错误，B 正确.故选：B.
考点二：构造函数比较大小
经典例题：
1．（2020·全国·三模）已知函数
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
,设
，
,所以
单调递增,当
时,
,所以
在
上单调递增,又
,即
为偶函数,
且
,故
,故选:A
2．（2023·山东潍坊·模拟预测）函数
，若
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
，因为
，所以
，因为
，
所以
，因此有
，
，所以函数
是实数集上的增函数，
因为
，所以
，故选：A
2．（2023·广西·一模）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意
，
，
，设
，则
，当
时，
，函数单调递增，故
，即
.故选A
3．（2023·广西·一模）已知
、
、
，
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
、
、
，由
可得
，由
可得
，由
可得
，构造函数
，其中
，则
，当
时，
；当
时，
.所以，函数
的增区间为
，减区间为
，因为
，所以，
，即
，即
，因为
、
、
，则
、
、
，所以，
，因此，
.故选：A.
4．（2023·广西梧州·一模）已知
，
，
，其中
，则
，
，的
大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
，设
，
，因为
，所以
，即
在
上单调递增，所以
，即
，
，所以
，而
，所以
．
设
，则
，当
，
，当
，
，所以
，即
（当且仅当
）等号成立，所以
，
，
综上，
，所以
．故选：A
6．（2022·广西·模拟预测）已知
是定义在
上的函数，对任意两个不相等的正数
，都有
.记
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】对任意两个不相等的正数
，
，则有函数
在
上单调递减，令
，
，即
在
上单调递减，于是得
，即有
，从而有
，因此，
，则有
，所以
.故选：A
7．（2022·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数
，且
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
是增函数，又
，
，即
是
的中心对称点，
，条件
，即
，并且，
； 对于A，若
，则
，A 错误；
对于B，因为函数
是增函数，
，B 正确；对于C，若
，则
，C 错误；
对于D，若
，则有
，错误；故选：B.
变式训练：
1．（2021·广西玉林·模拟预测）
，则a，b，c 的大小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】令
，则
，
，
，而
且
，
即
时
单调增，
时
单调减，又
，∴
，
.若
有两个解
，则
，
，即
，
，令
，则
，即
在
上递增，∴
，即在
上，
，若
即
，故
，有
.∴当
时，
，故
，综上：
.故选：A
2．（2022 年新高考全国I 卷）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设
，因为
，当
时，
，当
时
，所以函数
在
单调递减，在
上单调递增，
所以
，所以
，故
，即
，所以
，所以
，故
，所以
，故
，设
，则
,令
，
，当
时，
，函数
单调递减，当
时，
，函数
单调递增，
又
，所以当
时，
，所以当
时，
，函数
单调递增，所以
，即
，所以
.故选：C.
3．（2023·四川成都·二模）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
，
，
，
；
，
，设
，则
，
在
上单调递减，
，即
，
；综上所述：
.故选：A.
4．（2024·陕西·模拟预测）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】先变形
，令
，下面比较当
时，
与
的大小.
①令
，则
，令
，得
，
当
时，
单调递增，所以
，所以
，即
，
所以
.
②
，所以
，
，所以
，
则
，所以
.综上，
，故选：D.
5．（2023·全国·模拟预测）已知
，
，
，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】把a，b，c 变形得
，
，
，所以构造函数
，则
.
，令
，则
在
上恒成立，所以
在区间
上单调递增，因为
，
所以
在
上恒成立，所以函数
在
上单调递增，所以
，
即
.故选：C.
6．（2022·全国·模拟预测）已知
，
，
，则a，b，c（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】令
，求导得
，当
时，
，则
在
上单调
递减，则
，即
，而
，于是
，所以
.故选：D
7．（2022·陕西西安·一模）已知
，设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
．令
，则
，
．当
时，
，则
在
上单调递增，所以
，即
．因为
，所以
．故
．故选：D
8．（2025·山东济南·二模）已知
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
，构造函数
，
，则
，当
时，
；当
时，
，故函数
在
上单调递增，在
上单调递减，由于
，
，且
，则
，即
，又
，
所以
.故选：A.
9．（2023·四川·模拟预测）已知函数
为
上的奇函数，且在
上单调递减，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意知，
，令
，则
，当
时，
，此时
在
上单调递减，又
，所以
，即
，又
为奇函数且在
上单调递减，所以
在
上单调递减，
所以
，即
.故选：C.
10．（2022·江苏南通·模拟预测）已知
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意，
令
,令
，故
在
单调递增；令
，故
在
单调递减；由于
，故
即
；由于
，故
即
；又
，又
故
.故选：A
考点三：利用函数单调性解不等式
经典例题：
1．（24-25 高三上·湖北武汉·期中）设函数
，则关于
的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】令
，定义域为R，
，
故
为奇函数，即
，
，故
在R 上单调递增，
，故
，即
，所以
，
，解得
或
.故选：B
2．（24-25 高三上·辽宁大连·期中）已知函数
，则
的解集为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】函数
的定义域为
，
，当
时，
，得
，
在
上单调递减，当
时，
，得
，
在
上单调递增，又
，故
为
上的偶函数，
故
等价于
，即
，两边平方解得
或
.故选：B.
3．（2022·四川绵阳·二模）已知定义在
上的可导函数
的导函数为
，满足
，且
，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，所以
的图像关于直线
对称，所以
，
设
，则
，因为
，所以
,所以
在
上
为减函数，又
，因为
，所以
，所以
.故选：
.
4．（2024·辽宁·模拟预测）已知
是定义在
上的奇函数，
也是定义在
上的奇
函数，则关于
的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，故
，故
，
因为
是定义在
上的奇函数，故
，故
，故
，故
，此时
，故
为
上的减函数，而
等价于
，即
即
，故
或
故选：A .
变式训练：
1．定义在(－1,1)上的函数f(x)＝-3x＋sinx，如果f(1－a)＋f(1－a2)>0，则实数
的取值范围为 ．
【答案】（1，
）
【详解】：由题意得：函数
为奇函数，且
，所以
为减函数，因此不等式等价
为
，解得
2．（2022·吉林·模拟预测）已知函数
，则不等式
的解集为
.
【答案】
【详解】由题设
且定义域为
，故
为奇函数，
又
，
在定义域上递增，∴
，
可得
，∴
，解得
，
∴原不等式解集为
.故答案为：
.
3．（21-22 高三上·山东济宁·期末）已知定义域为R 的函数
，满足
，
则实数a 的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由函数
定义域为R，且
，
可知函数
为奇函数.
，令
则
，令
，则
即
在定义域R 上单调递增，又
，由此可知，当
时，
即
，函数
即
为减函数；
当
时，
即
，函数
即
为增函数，故函数
在R 上的最小值为
，可知函数
在定义域为R 上为增函数.根据以上两个性质，不
等式
，可化为
，不等式等价于
即
，解之得
或
，故答案为
4．（24-25 高三下·云南·期中）设函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】函数
的定义域为
，定义域关于原点对称，且
，所以
为偶函数．由于
，当
时，
，则
，所以
在
上单调递
增；当
时，
，则
，所以
在
上单调递减；由于
，即
，所以
，即
，解不等式得
，所以不等式
的解集为
.故选：
．
5．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
，其中e 是自然对数的底数．若
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为函数
，则
，
则
函数
在
上为奇函数．
，
函数
在
上单调递增．
，
，
，解得
．则实
数
的取值范围是
.故选：D．
6．（24-25 高三上·福建福州·期中）已知定义在
上的函数
，若
，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】记
，则
，所求解不等式为
，
，
是奇函数，
在
上是增函数，由
得
，
，
化简得
，所以
的取值范围是
，故选：B.
7．（24-25 高三上·山东临沂·期中）已知函数
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】函数
定义域为R，求导得
，
时，
，当
时，
，函数
在
上单调递减，在
上单调递增，又
，且
，
，由不等式
，得
或
，所以不等
式
的解集是
.故选：B
8．（2025·山西吕梁·一模）设函数
，则满足
的
取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】令函数
，其定义域为R，
，函数
是奇函数，
求导得
，当且仅当
时取等号，因此函数
在R 上单调递增，
不等式
，
则
，解得
，所以所求
取值范围是
.故选：A
9．（25-26 高三上·湖北武汉·开学考试）已知函数
，则满足不等式
的实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设
，
的定义域为
，关于原点对称，
，所以
是奇函数，
，所以
在
上单调递减，
由
得
，
即
，
，
因为
在
上单调递减，所以
，解得
，故选：C.
10．（24-25 高三上·福建南平·期中）定义在
上的函数
满足
，且
，则不等式
解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】不等式
等价于
，可得
，即可得
；令函数
，可得
，又
可得
恒成立，因此
在
上单调递减，又
，所以
等价于
，即
；解
得
，所以不等式
解集为
.故选：C
11．（2023·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数
，对任意的
，都有
，当
时，
，若
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】令
，则
，可得
，
即
，所以
为
上的奇函数，因为
时，
，得
，
所以
在
为单调递减函数，且
，所以函数
在
上为单调递减函数，由不等
式
，可得
，整理得到
，即
，可得
，解得
，所以实数
的取值范围为
.故选：B.
考点四：由函数的单调性求参数范围
经典例题：
1．（2025·贵州安顺·模拟预测）已知函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意得
在
上恒成立，则
，因为
，则
.故选：C.
2．若函数
在区间
上单调递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
，因为
在区间
上单调递增，所以
在
上恒成立，即
在
上恒成立，因为二次函数
的图象的对称轴为
，且开口向上，所以
的最小值为1，所以
.故选：B.
3．已知
，
，对
，且
，恒有
，则实数
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】设
，
，对
，且
，恒有
，即
，
在
上单调递增，故
恒成立，即
，设
，
，当
时，
，函数单调递增； 当
时，
，函数单调递减；故
，即
，即
.故选：A
4．（2022·四川内江·模拟预测）若对任意的
、
，且
，
，则
的最
小值是 ．
【答案】
【详解】对任意的
、
，且
，
，易知
，则
，所以，
，即
，令
，
则函数
在
上为减函数，因为
，由
，可得
，所以函数
的单
调递减区间为
，所以，
，所以，
，因此，实数
的最小值为
.故答案为
.
5．（24-25 高三上·江西抚州·阶段）函数
在R 上单调，则a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意，函数
在
上单调递增，当
时，
，依题需使
恒成立，则
；当
时，由
在
上递增，需使
在
上恒成立，则
，即
；又由
在
上递增，可得
，解得
.综上可得，
的
取值范围是
.故选：C.
6．若函数
在区间
内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
可得：
.因为函数
在区间
内存在单调
递增区间，所以
在
上有解，即
在
上有解.设
，
由
在
上恒成立，所以
在
单调递增，所以
.所以
.故选：D
变式训练：
1．已知函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】∵函数
在
上单调递增，∴
，即
，
故
，而
，则实数
，故选：C.
2．（2024·云南大理·模拟预测）若函数
在
为增函数，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
，由题意
对
恒成立，其中
，令
，
则需
，其中
，故
，当
时，
，
故
在
上递增，∴
成立.当
时，取
，易知
在
上单调递增，若
，则
，所以
在
上递减，故
，
与题意不符，舍去；若
时，
，
，所以存在
，使得
，
当
时，
，所以
在
上递减，故
，与题意不符，舍
去；综上得
.故选：A.
3．（2022·山东济宁·一模）已知函数
，则使得
成立的x 的取值范围是
.
【答案】
【详解】令
，将其向右平移1 个单位长度，得
，
所以
是函数
向右平移1 个单位得到的.而易知
是偶函数，当
时，
，
，
时，显然
，当
，
，
，所以
，所以
在
上单调递增，在
上单调递减.从而可知
在
上单调递增，在
上单调递减.所以
时，有
，解得
.
故答案为：
4．（2024·江西上饶·一模）若函数
在区间
上单调递增，则
的取值范围为 ．
【答案】
【详解】因为
，所以
，因为函数
在区间
上单调递增，所以
在
上恒成立，即
时，
恒成立，因为
，当且仅当
时等号成立，即
，所以
，
故答案为：
.
5．已知函数
在区间
上是严格减函数，则
的取值范围是 ．
【答案】
【详解】因为函数
在区间
上是严格减函数，所以
在
上恒成立，
且不恒为0，所以
在
恒成立，设
，
，则
，
令
，解得
或
（舍去），因为
时，
，
时，
，
所以
在
单调递减，在
单调递增，又因为
，
，所以当
时，
，所以
，故答案为：
．
6．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）设函数
，若
在
上是减函数，则a 的取值
范围为 ．
【答案】
【详解】由
，因为
在
上是减函数，所以
在
上恒成立，即
，设
，当
时，
，当
时，
，因为
，所以
，
因此当
时，
，当
时，
，因为
，所以
，因此当
时，
，因此有
，
于是有
，故答案为：
7．（2021·江西·模拟预测）已知函数
，且当
时，
，则实数
的取值
范围为 .
【答案】
【详解】依题意，
，令
，则函数
在
上单调递
增，
则
在
上恒成立，即
在
上恒成立，令
，则
在
上显然恒成立，所以
在
上单调
递增，则
；因此只需
，解得
，即实数
的取值范围为
.故答案为：
.
8．（2023·陕西榆林·模拟预测）若函数
在其定义域内单调递增，则实数a 的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
的定义域为
，
，因为函数
在其定义域内单调递
增，所以
在
上恒成立，即
在
上恒成立，因为
，
当且仅当
时，等号成立，所以
，所以
.故选：B
9．（2024·湖北·一模）已知函数
是减函数，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
，可得
，因为函数
是减函数，所以
对
恒成立，即
对
恒成立，所以
对
恒成立，
所以
，又
，当且仅当
时等号成立，所以
，所以
，
所以
的取值范围为
.故选：D.
10．（2020·全国·模拟预测）若函数
在
上单调递增，则实数
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意可知函数
在定义域内单调递增，∴
，得
；函数
在定义域内单调递增，则
在
上恒成立，
∴当
时，
恒成立，而当
时，
，∴
，即
．又因为
，解得
．综上，实数
的取值范围是
．故选：C
三、达标检测：
《导数与函数的单调性》小题检测
（限时30 分钟，满分73 分）
一、单选题（每小题5 分，共40 分）
1．（2025·湖北·模拟预测）下列函数在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】对于A，
的定义域为
，
在
上单调递增，在
上单调递
增，不满足在
上单调递增，故A 错误.对于B，
在
上单调递减，不满足在
上单调递增，故B 错误.对于C，
，满足在
上单调递增，故C 正确.对于D，
在
上单调递减，在
上单调递增，不满足在
上单调递增，故D 错误.
故选：C.
2．如图是函数
的导函数
的图象，给出下列命题：①-2 是函数
的极值点；②1 是
函数
的极值点；③
的图象在
处切线的斜率小于零；④函数
在区间
上
单调递增.则正确命题的序号是( )
A．①③
B．②④
C．②③
D．①④
【答案】D
【详解】根据导函数图像可知，-2 是导函数得零点且-2 的左右两侧导函数值符号异号，故-2 是极值点，1
不是极值点，因为1 的左右两侧导函数符号不一致，0 处的导函数值即为此点的切线斜率显然为正值，导
函数在
恒大等于零，故为函数的增区间，所以选D
3．（2017·江西南昌·三模）函数
的图象的大致形状是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】令x=0 可得
，则排除C、D；
,当
时，
，
当
时，
，故排除B，本题选择A 选项.
4．（2021·全国·模拟预测）若函数
在区间
上单调递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】依题意
在区间
上恒成立，即
在区间
上恒成立，令
，
，
在
上递增，
，
所以
.所以
的取值范围是
.故选：B
5．（2023·四川凉山·二模）已知
，则a，b，c 大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】令
，
，则
，即当
时，
，∴
在
上单调递增，∴
，∴
，∴
，即
；
令
，
，∴
，∴
在
上单调递增，∴
，∴
，∴
，即
，综上可知：
.
故选：D
6．（24-25 高三上·广东深圳·期末）已知函数
，则不等式
的解集为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
故
为奇函数，
，
故函数
单调递增，故
故解集为
.故选：B.
7．（2023·广西·一模）已知
、
、
，
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
、
、
，由
可得
，由
可得
，
由
可得
，构造函数
，其中
，则
，当
时，
；
当
时，
.所以，函数
的增区间为
，减区间为
，因为
，所以，
，即
，即
，因为
、
、
，则
、
、
，所以，
，因此，
.故选：A.
8．（2023·全国·模拟预测）已知定义在
上的偶函数
，对
，都有
，则
，
，
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由已知对
，都有
，即当
，
，所以函数
在
上
单调递减，又函数
为偶函数，所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，因为
，所以只需比较
，
，
三者的大小关系，
又
，
，
，且
，
所以
，所以
，即
，故选：D.
二、多选题（每小题6 分，共18 分）
9．函数
的定义域为R，它的导函数
的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（ ）
A．在
上函数
为增函数
B．在
上函数
为增函数
C．在
上函数
有极大值
D．
是函数
在区间
上的极小值点
【答案】AC
【详解】由图象可知
在区间
和
上
，
递增；在区间
上
，
递减.所以A 选项正确，B 选项错误.在区间
上，
有极大值为
，C 选项正确.在区间
上，
是
的极小值点，D 选项错误.故选：AC
10．（2023·安徽阜阳·三模）已知函数
，
为
的导函数，则（ ）
A．
的最小值为2
B．
在
单调递增
C．直线
与曲线
相切D．直线
与曲线
相切
【答案】ABD
【详解】对于A，
，当且仅当
即
时，等号成立，故A 正确；对于B，
，令
，
，故
在
单调递增，即
在
单调递增，故B 正确；对于C，设
，
，
在R 上单调递增，
，
，又
，所以
，所
以存在
，使得
，即
，当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增；又
，
，
，所以
，使得
，所以方程
有两个实数根
和
，所以
与函数
有两个交点，又
，
，
，
所以函数
在与
交点处的切线斜率都不为
.故C 错误. 对于D，设切点为
，由
，
，故
，所以
，解得
，则切点为
，曲
线
的切线方程为
，故D 正确；故选：ABD.
11．已知函数
，以下四个命题中真命题是（ ）
A．
，有
B．
，
且
，有
C．
，
，有
D．
，
【答案】ABCD
【详解】
，且其定义域为
，
，
，有
，故A 是真命题；
，由
，可知
在区间
上单调递增，即
，
且
，有
，故B 是真命题；
在
单调递增，
，
，有
，故C 是真命题；设
，则当
时，
，所以
在
单调递增，所以当
时，
，即
；由奇函数性质可知，
，
，故D 是真命题．故选：
ABCD．
三、填空题（每小题5 分，共15 分）
12．（2025·贵州铜仁·三模）已知函数
的一个零点为3，则
的单调减区间是 ．
【答案】
【详解】已知函数
的一个零点为3，所以将
代入函数得
，即
，
解得
．所以
，所以
，令
，即
，解得
，
所以
的单调减区间是
.故答案为：
.
13．（2023·辽宁鞍山·二模）若函数
在
上单调递减，则实数a 的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由函数
，可得
，因为函数
在
上单调递减，则
在
上恒成立，即
在
恒成立，因为
，所以
，即实数
的取值范围为
.
故答案为：
.
14．（20-21 高三上·河南·期末）已知函数
的定义域为R，导函数为
，若
，
且
，则满足
的x 的取值范围为 .
【答案】
【详解】依题意，
，令
，则
，故函数
为奇函数
，故函数
在
上单调递减，则
，即
，故
，则x 的取值范围为
.故答案为：
答题卡
班级：
姓名：
总分：
题号:
1
2
3
4
5
6
7
8
答案:
题号:
9
10
11
题号:
12
13
14
答案:
答案:
