文档文本内容
第15 讲 抛物线的二级结论
目 录
抛物线常用结论....................................................................................................................................1
切线方程.............................................................................................................................................10
抛物线常考的二级结论的应用.............................................................................................................18
题型01：抛物线的焦半径和焦点弦长与坐标有关的公式....................................................................18
题型02：抛物线的焦半径和焦点弦长与倾斜角有关的公式.................................................................20
题型03：与焦半径有关的定值的公式.................................................................................................23
题型04：与倾斜角有关的面积定值公式.............................................................................................28
题型05：过焦点的直线中三点共线问题.............................................................................................31
题型06：过焦点的直线中角平分线问题+斜率为定值.........................................................................36
题型07：过焦点直线中四个相切圆....................................................................................................41
题型08：抛物线中的中点弦问题........................................................................................................45
题型09：抛物线中的切点弦问题........................................................................................................49
题型10：抛物线中的定值问题...........................................................................................................52
题型11：抛物线中的定点问题...........................................................................................................57
题型12：阿基米德三角形有关结论....................................................................................................62
抛物线常用结论
一：抛物线弦中点问题
若直线
与抛物线
交于
，
两点，
且
是
段
线
AB 的中点，如
，
图则
．
明
证
因
点
为
，
都在抛物线
上，
所以
（点在抛物
上），所以
线
（作差），
所以
，所以
．
因为
，
，所以
．
注：
里
出的都是焦点在
这
给
x
上的情形，焦点在
轴
y
上
需要再根据点差法推
，不能直接套
．点差法
轴
时
导
结论
得到的
在小
中可以直接用，在大
中要有推
程．
结论
题
题
导过
二：抛物线的切线
1．抛物线
的切线
先将抛物线
化
函数
转
为
的
象，然后直接求
得到
图
导
，因此抛物线
在点
的切
方程
处
线
为
，又
，所以切
方程
线
为
．如
．
图
上，抛物
综
线
在点
的切
方程
处
线
为
．
2．抛物线
的切线
如
，先将抛物
图
线
的
象一分
三，
图
为
x
上方
一部分，
轴
为
x
下方
一部分，原点
独
．
轴
为
处单
讨论
①易得抛物线
在原点
的切
方程
处
线
为
．
②抛物线
在x
上方的部分可以看成
轴
y 关于x 的某个函数的
象，于是在
图
两
自
边对
量
变
x 求
，得到
导
（
函数求
，
数部分大招）．
而得到
隐
导详见层
进
，因此抛物线
在点
的切
方程
处
线
为
，又
，所以
．
③依葫芦画瓢，当点
在x
下方
，切
方程也
轴
时
线
为
．
合①②③可得，抛物
结
线
在点
的切
方程
处
线
为
．
三：抛物线的硬解定理
1．抛物线
的硬解定理
如果
与抛物线
有两个交点
，
．先将直线
与抛物线
行
立，
进
联
得到
，于是判
式
别
，
再根据
达定理得到
韦
于是有
，
从而
．
2．抛物线
的硬解定理
如果直线
与抛物线
有两个交点
，
．先将直线
与抛物线
行
立，
进
联
得到
，于是判
式
别
，
再根据
达定理得
韦
于是有
，
从而
．
（
上与抛物
实际
线
的硬解定理的区
就是把
别
A，B
了一下）
对调
四：抛物线焦点弦的常用结论
抛物
方程
设
线
为
，准线
与
相交于点
轴
，
焦点
过
的直线与抛物
相交于
线
两点，
原点，
为
为
与
称
正向所成的角，
对
轴
的中点为
，又作
，垂足分别为
，则
1.
．
明：因
焦点坐
证
为
标为
，当AB 不垂直于x
，可
直
轴时
设
线AB 的方程
：
为
，由
得：
，
，
．
当
，直
轴时
线AB 方程为
，则
，
，∴
，同上也有：
．
2.焦半径长公式：
（坐标式）；
夹角式：
（
在
轴上方，
在
轴下方）．
明：由抛物
的定
易得
证
线
义
．
又
，同理可证
．
3.焦点弦长公式：
．
明：由（
证
2）可得弦
：
长
（4）通径长公式：
（通径最短）．
明：当
证
，直
轴时
线AB 方程为
，则
，
，∴通径
公式：
长
．
4.AF，BF 的数量关系：
．
明：由
证
，得
，又
，
．
5.三角形AOB 的面积：
．
明：点
证
到直线
的距离
就是的
高，
，
．
6.中点弦斜率：若
斜率为
，
，则
．
明：
证
，由点差法得
7. 直线
的斜率之和为零
，即
．
①：角平分线FK 的斜率
定
为
值0
②：过A、B 作FK 的垂
，斜率不存在（定
特征）
线
值
③：直线AB 与FK 的斜率乘
定
（含
斜角关系）
积为
值
倾
核心
：
直
结论设
线
的
斜角
倾
为
，则
（定
）；若
值
，则
，乘
恒
积
为0.
核心
：
直
结论设
线
的
斜角
倾
为
，则
（定
）；若
值
，则
，乘
恒
积
为0.
：角平分
中的斜率定
体系
总结
线问题
值
型
结论类
斜率定
内容
值
适用条件
两直
斜率
线
和
任意
焦点的直
过
线AB
角平分
斜
线
率
任意
焦点的直
过
线AB
垂
斜率
线
过A、B 作FK 的垂
，斜率不存在
线
任意
焦点的直
过
线AB
斜率乘积
AB
斜角
倾
明：
证
，
，
，
分子
，
直线
的斜率之和
零：
为
，即
．
8.焦点弦与圆有关的结论
①以
为直径的圆
与准线相切；（以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切）
②以
为直径的圆
与
轴相切；
③以
为直径的圆
与
轴相切；
④分别以
为直径的圆之间的关系：圆
与圆
外切；圆
与圆
既与
轴相切，又与圆
相内切．
明：
证
过
点作
于
，则
是梯形
的中位
，由抛物
的定
知
线
线
义
，
即以
直径的
为
圆
与准
相切，同理可
②，③．
线
证
④
分
以
别
直径的
有以下关系：
为
圆
圆
与圆
外切；圆
与圆
既与
相
轴
切，又与圆
相内切．
9.拓展：过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切
已知AB 是抛物线
的
焦点
过
F 的弦，分
点
别过
A、B 作准
的垂
，垂足
点
线
线
为
M、N，求
：以
证
MN
直径的
与直
为
圆
线AB 相切.
10.由焦点弦得出有关直线垂直关系的结论
①以
为直径的圆的圆心在准线上的射影
与
两点的连线互相垂直，即
；
②以
为直径的圆的圆心在
轴上的射影
与
两点的连线互相垂直，即
；
③以
为直径的圆的圆心在
轴上的射影
与
两点的连线互相垂直，即
；
④以
为直径的圆必过原点，即
；
⑤
．
明：①
证
准
与
线
圆
相切，
圆
的
心在准
上的射影
圆
线
就是切点，
直径所
的
周角是直角，
对
圆
．同理可
②，③：
证
．
④由抛物
的定
知
线
义
，
//
//
，
，而
，即
．
⑤易知
，又
．
11.点
三点共线；点
三点共线．
明：由（
证
1）知
．
点
三点共
．同理可
：点
线
证
三点共
．
线
12.如图，点A，B 是抛物线
，O 为原点，若
，则直线AB 过定点
．
明：
证
．设
，则
，直线
方程为
，
即
，
直线AB
定点
过
．
13.与抛物线焦点弦有关的比例问题
一般地，与抛物
焦半径有关的比例
，可采用构造相似三角形，
找相似比例
行
化
线
问题
寻
进
转
.
已知抛物线E：
的焦点为
，准线为.过点
的的直线m 与E 交于A，B 两点，与y
交于点
轴
C，
与交于点D.
点
过
A，B，C，D 分
作两
的垂
，可构成如
的多
相似三角形，
别
轴
线
图
对
如：
~
，因此有
；如
~
，因此有
等。一般
地，
了利用比例
行
化，需要用两个条件：一是利用抛物
的定
行
化；二是要把比例式
化成含有
为
进
转
线
义进
转
转
（即含p）的比例式.
五：抛物线阿基米德三角形
切线方程
法
证
1：
抛物
设
线
上一点
的切
方程
：
线
为
，代入
，
整理得
，由
，得
因为抛物
上一点
的切
线
处
线是唯一的，
关于
的一元二次方程
有两个相等的
数根，
实
所求的切
方程
线
为
，即
，又
，
抛物
过
线
上一点
的切
方程
：
线
为
。
法
证
2：
数法：
导
，
数的几何意
得所求切
的斜率
甴导
义
线
为
所求的切
方程
线
为
，即
，又
，
抛物
过
线
上一点
的
切
方程
：
线
为
。
1.抛物线与弦之间所围成区域的面积（图二中的阴影部分）为阿基米德三角形面积的
。
2.阿基米德三角形底边（弦AB）上的中线平行于抛物线的轴。
明：
证
设
,M
弦
为
AB 的中点，则过A 的切
方程
线
为
，过B 的切
方程
线
为
，
，
立方程
联
解得两切
交点
线
，又
，
3、QM 的中点P 在抛物线上，且P 处的切线与AB 平行.
明：
证
设
，弦AB 的中点
，则
入抛物
带
线
足方
满
程，所以点P 在抛物
上，
线
4、若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内的定点C则另一顶点Q的轨迹为一条直线
。
明：
证
设
抛物
内的定点，弦
为
线
AB 的
定点
过
C，
，
满
足
，
，
5、若直线 l 与抛物线没有公共点，以 l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点 (若直线l方程为:
ax +by +c =0,则定点的坐标为 C(
c
a ,−bp
a ).
明：由性
证
质4 的
明可知：点
证
Q 的
迹方程
直
轨
为
线
，与
表示同一条直
，其中
线
是弦AB
的定点，所以
经过
可得：弦AB 所在的直
定点
线过
C(
c
a ,−bp
a ).
6、抛物线以C 点为中点的弦平行于Q 点的轨迹．
明：由性
证
质4 的
明可知：点
证
Q 的
迹方程
直
轨
为
线
，其中
弦
为
AB 的
的定点
经过
．∵点C
又
弦
为
AB 的中点，
，而弦AB 所在的直
方程斜率
线
由点差法可得
，
又∵直线AB 与Q 的
迹方程不重合，故可知两
轨
线平行．
7、底边为 a 的阿基米德三角形的面积最大值为 a
3
8 p
.
明：
证
设
，弦AB 的中点
，
，
点Q 到AB 的距离
8、
|AF)⋅|BF)=|QF)
2.
明：
证
，
．
所以|AF)⋅|BF)=|QF)
2.
8、抛物线上任取一点I(不与 A ,B 重合), 过I作抛物线切线交QA ,QB于S ,T,连接 AI ,BI,
则△ABI的面积是△QST面积的2 倍
明：由阿基米德重要
：抛物
与弦之
所
成
证
结论
线
间
围
曲面区域的面
阿基米德三角形面
的三分之二可知：
积为
积
的面
是弦
积
AB 与抛物
成的
线围
曲面面
减去弦
积
和弦
与抛物
成的
线围
曲面面
，即
积
所以△ABI的面
是
积
△QST面
的
积
2 倍
9、在阿基米德三角形中, ∠QFA =∠QFB
10、若阿基米德三角形的底边过焦点, 顶点Q的轨迹为准线,反之，若阿基米德三角形的顶点 Q在准线上,则底边
一定过焦点。
明：因
证
为点Q 的
迹方程
直
轨
为
线
，且
反之，若Q 的
迹方程
轨
为
，因
弦
为
AB
得定点
过
为
，所以弦AB
焦点。
过
11、若阿基米德三角形的底边过焦点,则顶角为直角，且阿基米德三角形的面积最小值为 p
2
明：
证
，所以
12、在抛物线上任意取一点
,（不与A、B 重合），过
做抛物线的切线交QA、QB、于S、T 两点，则三角形
QST 的重心在准线上。
明：
证
六：抛物线中的定值问题
1：直线AK 与BK 的斜率之和为定值0
核心结论：直线
与直线
的斜率之和为定值
，即
（说明
与
关于
轴对称）.
2：角平分线FK 的斜率为定值0
核心结论：角平分线
所在直线的斜率为定值
（即
与
轴重合）.
3：过A、B 作FK 的垂线斜率恒不存在
核心结论：过点
、
分别作角平分线
（
轴）的垂线，两条垂线的斜率均恒不存在（即垂线为垂直于
轴的直线），垂线方程分别为
、
.
4：直线AB 与FK 的斜率乘积为定值0
核心结论：设直线
的倾斜角为
，则
（定值）；若
，则
，乘积恒为0.
5：焦点弦的长度倒数和为定值
核心结论：过焦点
的焦点弦
，则
为定值
.
核心结论：过焦点
的焦点弦
，则
为定值
.
6：焦点弦端点与原点连线的向量乘积为定值
核心结论：设
为坐标原点，则向量
为定值
.
核心结论：设
为坐标原点，则向量
为定值
.
7：过焦点弦端点的切线交点相关定值
核心结论：过焦点弦
两端点的抛物线切线交于点
，则：1.点
恒在准线
上；2.
（切
线斜率乘积为-1）.
核心结论：过焦点弦
两端点的抛物线切线交于点
，则：1.点
恒在准线
上；2.
（切
线垂直，斜率乘积为-1）.
8：焦点弦中点到原点距离与弦长的定值关系
核心结论：设
为焦点弦
的中点，
为坐标原点，则
为定值
.
9：过原点的定点弦的斜率乘积定值
核心结论：过定点
的直线交抛物线
于
、
两点，则
为定值
（
为坐标原点）.
核心结论：过坐标原点
作直线交抛物线
于
、
两点，则
为定值
（若弦
过定点
，则斜率乘积为定值
）.
10：抛物线上点到定点连线斜率和为定值
核心结论：设抛物线
上两点
、
满足
（为定值），定点
，
则直线
、
的斜率之和为定值
.
抛物
定
体系
线
值问题
型
结论类
定
内容
值
适用条件
结论1：两直
斜率和
线
任意
焦点的直
过
线AB
结论2：角平分
斜率
线
任意
焦点的直
过
线AB
垂
斜率
线
结论3：垂
斜率
线
过A、B 作FK 的垂
，斜率不存在
线
任意
焦点的直
过
线AB
斜率乘积结论4：斜率乘积
AB
斜角
倾
结论5：焦点弦
度倒数和
长
任意
焦点的直
过
线AB
向量点积结论6：向量点积
任意
焦点的直
过
线AB
结论7：切
斜率乘
线
积
AB
焦点的弦，
为过
P
切
交点
为
线
中点距离与弦
关系
长
M
焦点弦
为过
AB 的中点，O 为
原点
定点弦斜率乘
过
积结论8：中
点距离与弦
关系
长
CD
定点
过
(a,0)，交抛物
于
线
C、
D
定点
斜率和
连线
E、F 在抛物
上，
线
，A 为(p,0)
七：抛物线中的定点问题
1：抛物线上动点与定点连线的中垂线过定点
核心结论：设定点
，抛物线上任意动点
，则线段
的中垂线恒过定点
。
2：过抛物线定点弦的中点轨迹过定点
核心结论：过定点
的直线交抛物线
于
、
两点，设
为
的中点，则点
的轨迹恒过定点
。
3：抛物线动切线过定点
核心结论：设抛物线
上动点
，过
作抛物线的切线，若切线满足
（为参数），
则该切线恒过定点
（即抛物线的准线与
轴交点）。
抛物
定点
线
问题
型
结论类
定点内容
适用条件
中垂
定点
线过
恒过
点
动
在抛物线
上，定点
中点
迹
定
轨
过
点
恒过
弦
定点
过
，
为
中点
切
定点
动
线过
恒过
切
抛物
线过
线
上点
抛物线常考的二级结论的应用
题型01：抛物线的焦半径和焦点弦长与坐标有关的公式
【典型例题1】已知抛物线
的焦点为
，过
的直
与
线
交于A，B 两点.若
段
线
AB 中点的横坐标为3，
则
.
【答案】8
【分析】根据抛物
的焦点半径公式得焦点弦
，由此
算．
线
长
计
【
解】
点
详
设
,由
意可得
题
.
.
故答案
：
为8.
【变式训练1-1】若A、B
抛物
为
线
上不同于一个象限上的两个点，
抛物
的焦点，
接
为
线
连
AB，若AB 过
焦点
且
，若
的横坐标为
的横坐标为
，则
的
（
值为 ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】根据
意
合抛物
的定
可得
题
结
线
义
，代入运算即可得
果
结
.
【
解】由抛物
方程
详
线
可知
，
因
直
为
线AB
焦点
过
，
则
，
即
，所以
.
故
：
选D.
【变式训练1-2】根据抛物
的光学性
可知，从抛物
的焦点
出的光
抛物
反射后与
称
平行，一条
线
质
线
发
线经该
线
对
轴
平行于
称
的光
抛物
反射后会
抛物
的焦点
对
轴
线经该
线
经过
线
.如
所示，从
图
沿直线
出的光
抛
发
线经
物线
两次反射后，回到光源接收器
，
光
的路程
则该
线经过
为 .
【答案】14
【分析】求出
，利用抛物
上的点到焦点的距离等于到准
的距离可得答案．
线
线
【
解】由抛物
方程
详
线
得
，
设
，
，
由抛物
性
，
线
质
与
的交点即
抛物
的焦点，
轴
为
线
所以
，
，
，
所以
，
即
光
的路程
该
线经过
为
，
故答案
：
为
【变式训练1-3】已知抛物线
的焦点为
，圆
．如
，
点
图过
的直线与抛物
和
线
的交点依次
圆
为
，
，
，
，则
的最小值为 （
用
请
表示）．
【答案】
【分析】设
，
，由抛物
焦半径公式得
线
，再由
，
合基本不等式即
结
可求解；
【
解】根据
意，
详
题
圆
，可得
，
所以
的
心
该圆
圆
为
，所以
，
，
所以
，
点
设
，
，易知
斜率不为0，设
方程为
，
立抛物
方程消去
联
线
可得
，所以
，
又
，两式相乘可得
，
所以
，
因
，当且
当
仅
等号成立．
时
即
，
时
取得最小值
.
故答案
：
为
题型02：抛物线的焦半径和焦点弦长与倾斜角有关的公式
【典型例题】已知抛物
线
，
点
过
的直
线
与抛物
线
交于
两点，且
，
直
则
线
的斜率为 .
【答案】
【分析】
点
过
分
作准
的垂
，垂足分
别
线
线
别为
，
点
过
作
的垂
，垂足
线
为
，设
，则
，利用
即可求解.
【
解】当直
详
线斜率
正
，如
所示，
为
时
图
点
过
分
作准
的垂
，垂足分
别
线
线
别为
，
点
过
作
的垂
，垂足
线
为
，
设
，则
，
由抛物
定
可知，
线
义
，
，
所以
，
，
，
在
中，
，
直
则
线
的斜率
.
由
称性可知，当直
对
线斜率
，
为负时
.
故答案
：
为
【变式训练2-1】已知抛物线C：
的焦点为F，且C 的准
与
线
x
的交点
轴
为M．若直线l 与C 交于
D，E 两点，且
，
，则
的面
（
积为 ）
A．5
B．10
C．15
D．20
【答案】D
【分析】根据
意，
题
设l 的
斜角
倾
为
，根据焦半径公式可推焦比公式
，解出
斜角，再回代可得
倾
，
再利用
求解即可.
【
解】由
详
得直线l
焦点
过
F，且
．
由
称性可
点
对
设
D 在第一象限，则l 的
斜角
倾
为
．
点
过
D，E 作准
的垂
，垂足分
线
线
别为H，I，
点
过
D，E 作x
的垂
，垂足分
轴
线
别为G，K，
则
，解得
；
，解得
．
故由
得
，解得
，所以
．
又
，解得
，
所以
．
故
：
选D.
【变式训练2-2】已知抛物线
是
其焦点
过
的一条弦，若
，
直
则
线
的斜率为
【答案】
【分析】根据焦点弦
公式，即可求解
长
.
【
解】
直
详
设
线
的
斜角
倾
为
，
，
所以
，所以
，
，
所以
，
所以直线
的斜率为
.
故答案
：
为
【变式训练2-3】已知
斜角
倾
为
的直线
抛物
经过
线
的焦点
，且与抛物
交于
线
两点.若
角，
为锐
作
段
线
的中垂线
，交
于点
轴
，则
.
【答案】4
【分析】利用抛物
方程消元，来表示直
线
线
的斜率，从而可得中垂
方程求解点
线
坐
，再利用直角三角形中的
标
正弦函数来表示
段关系，即可化
求
线
简
值.
【
解】
详
设
，
，
的中点为
，
点
过
作
段
线
的中垂线
，交
于点
轴
，
因为
，
所以
的中垂线
的方程为
，
令
得，
，即
，
又因
在直角三角形
为
中，根据
，所以由正弦函数可得
，
则
，
再
点
过
作
垂
，垂足
轴
线
为
，由直角三角形性
可得
质
，
在直角三角形
中，由正弦函数可得
则
，
所以
，
故答案
：
为4.
题型03：与焦半径有关的定值的公式
【典型例题】（多选）已知直线
抛物
过
线
的焦点
，且与抛物线
交于
两点，过
两点分
作抛物
准
的垂
，垂足分
别
线
线
线
别为
，
下列
正确的是（
则
结论
）
A．抛物
的方程
线
为
B．
段
线
的中点到
的距离
轴
为
C．
D．
【答案】AC
【分析】选项A：将焦点坐
代入直
中求出
标
线
的
即可；
值
选项B：
立直
与抛物
方程，
合
达定理以及抛物
联
线
线
结
韦
线
定
，得出
段
义
线
的中点到
的距离
轴
为
；选项C：利用抛物
定
合平行性
即可求解；
线
义结
质
选项
D
合
结
选项B 中的
达定理的
以及抛物
定
化
代入即可
韦
结论
线
义
简
.
【
解】
于
详
对
A：由
可知
题
在直线
上，
所以
，
故抛物
的方程
线
为
，
故选项A 正确；
于
对
B，设
，
立
联
，整理得：
，
由
，
所以
，
根据抛物
定
得：
线
义
，
所以
段
线
的中点到y
的距离
段
轴
为线
，
故选项B
；
错误
于
对
C，如
所示，
图
因为
，
所以
，
因为
，
轴
，
轴
所以
，
所以
，
故选项C 正确；
选项D：因为
故选项D
，
错误
故
：
选AC.
【变式训练3-1】已知抛物线
的焦点为
，过
作直线交抛物
于
线
两点，则
的最小
（
值为 ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据抛物
的焦点坐
求出
线
标
，
出
设
，
坐
，
立直
和抛物
，利用
而不求思想
合基本不等式
标联
线
线
设
结
进
行
化求解即可．
转
【
解】
详
如
，
抛物
图设
线
的焦点坐标为
，
焦点为
，
，得
，即抛物
方程
线
为
，
当
，易得
轴时
，
，则
，
则
；
当
不垂直
，
斜率
轴时设
为
，
，
，
直
则
线
的方程为
，
，代入
可得
，即
，
则
，
，
过
分
作准
的垂
，垂足分
别
线
线
别为
，
则
，
，
，
则
，
于是，
，
当且
当
仅
，即
取等号
时
.
上：因
综
,故
的最小值为
.
故
：
选C.
【变式训练3-2】已知抛物线
的焦点为F，直线
与抛物线C 交于A，B 两点，求
的最小
．
值
【答案】36
【分析】方法一：根据焦点为
在直线
上知
焦点弦，
为
设
，根据抛物
定
线
义
可得
，从而
，
立抛物
方程和直
方程，消去
联
线
线
y 得到关于x 的二次方程，利用
达定理求得
韦
的
，从而可得
值
的最小
；方法二：利用抛物
焦点
值
线
弦的性质
并
合基本不等式即可求解．
结
【
解】方法一：
详
设
，
抛物
的准
线
线为
，焦点为
，
∵焦点
在直线
上，
∴由抛物
的定
，知
线
义
，
如
，
立
图联
，化
得
简
，
由一元二次方程根与系数的关系得
，
∴
，
当且
当
仅
，即
等号成立，
时
∴
的最小值为36．
方法二：如
，抛物
的焦点
图
线
在直线
上，
∴
焦点弦，∴
为
，
∴
，∴
，
当且
当
仅
，即
等号成立，
时
∴
的最小值为36．
【变式训练3-3】（多选）
抛物
过
线
：
（
）的焦点
的直线交
于
，
两点，其中
是
的中
点，点
到
的距离的最小
轴
值为
，
坐
原点，
下列命
正确的是（
为
标
则
题
）
A．
B．
C．
D．点
的
迹方程是
轨
【答案】ABD
【分析】
直
设
线的方程，与抛物
方程
立求出点
线
联
的坐
，利用最小
求出
标
值
，再
合抛物
定
逐
求解判断
结
线
义
项
.
【
解】抛物
详
线
的焦点
，
然直
显
线不垂直于
，
其方程
轴设
为
，
由
消去
得
，
，
设
，则
,
，弦
的中点
，
于
对
A，当
，
时
取得最小值
，又点
到
的距离的最小
轴
值为
，
因此
，解得
，A 正确；
于
对
B，
，
，
，
因此
，B 正确；
于
对
C，
，
，
则
，C
；
错误
于
对
D，设
，则
，消去得
，
点
则
的
迹方程是
轨
，D 正确.
故
：
选ABD
题型04：与倾斜角有关的面积定值公式
【典型例题】已知
坐
原点，抛物
为
标
线
上一点
到其焦点的距离为3，过
的焦点
的直
交
线
于
两点，当
，
时
的值为 ．
【答案】8
【分析】首先利用抛物
的定
求出
线
义
，确定抛物
方程；然后
直
线
设
线
的
斜角
倾
为
，利用焦点弦的面
公式
积
求出
；最后
合焦点弦的性
结
质
和弦
公式
长
，即可求解.
【
解】由已知得
详
，则
，所以抛物
方程
线
为
，
直
设
线
的
斜角
倾
为
，
由于直线
焦点
过
，
，
又
，所以
.
故答案
：
为8.
【变式训练4-1】已知抛物线
的焦点为
，
点
经过
且斜率为
的直线与抛物线
交于点
两点（点
在第一象限），若
，
以下
正确的是（
则
结论
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】直线与抛物线
立方程
，求出点
联
组
的坐
，由
标
，求得
，即可
算
中的
计
选项
结论.
【
解】
详
设
，
，
因为
，直
的斜率
线
为
，
直
则设
线的方程为
，
立方程
联
，消去y 得
，解得
或
，
又因
点
为
在第一象限，则
，即
，
因为
，即
，故
正确；
因为
，所以
，故B 正确；
且
，故C 正确；
因为
，
且直线的方程为
，即为
，
原点到直线的距离为
，
所以
，故D 错误.
故
：
选ABC.
【变式训练4-2】已知
抛物
过
线
的焦点
的直
与抛物
线
线
交于
两点（
在第一象
限），以
直径的
为
圆
与抛物线
的准
相切于点
线
.若
坐
原点，
为
标
则
的面积为
.
【答案】
【分析】先求得
，由条件推得
，由
轴
推出
，得到
些
这
的方程，与
抛物
方程
立，利用弦
公式求得
线
联
长
，即得
的面积.
【
解】
详
依
意
题
，得
，
抛物
则
线
的方程为
.
由
意可知
题
与抛物
的准
线
线
垂直，
在
中，
，则
，
直
则
线
的方程为
.
由
消去
并化
整理得：
简
易得
，则
，
又原点
到直线
的距离为
，
故
.
故答案
：
为
.
【变式训练4-3】设O
坐
原点，直
为
标
线
抛物
过
线
的焦点，且与C 交于M，N 两
点，
三角形
则
的面积为 .
【答案】
/
【分析】根据直
方程求出焦点
线
，
而得到抛物
方程，与直
方程
立后得到两根之和，
而得到弦
，
进
线
线
联
进
长结
合点到直
距离求出面
线
积.
【
解】由
意可知直
详
题
线
点
过
，即
抛物
为
线
的焦点
，
所以
，抛物线
的方程为
，
设
，
由
消去
并化
得
简
，
解得
，所以
，
直线
，即
，
到直线
的距离为
，
所以三角形
的面积为
.
故答案
：
为
题型05：过焦点的直线中三点共线问题
【典型例题】（多选）已知抛物线
，准线为，
焦点
过
的直
交抛物
线
线
于
两点，过
分
作
别
的垂
，垂足分
线
别为
，
（
则 ）
A．
B．若
，
直
则
线
的斜率为
C．
三点共
（其中
线
坐
原点）
为
标
D．
【答案】ACD
【分析】由抛物
的定
可得
线
义
，
，再利用角的关系即可得出
；根据定
可得
义
，
即可得出角
，
而得出直
进
线
的斜率为
；设
，则
，
明
证
即可；由
可得
题
，
合焦半径公式即可
明
结
证
.
【
解】
详
接
连
，根据抛物
定
可知
线
义
，所以
，
又由于
，所以
轴
，
所以
，同理可证
，
所以
，
即
，故
正确；
过
作
于
，设
，则
，
，
所以
，
所以
，由
称性可知直
对
线
的斜率为
，故B
；
错误
设
，则
，
由于
，由于
三点共
，
线
则
，
又由于
，则
，由于
，
则
，所以
，
，
所以
，
即
，所以
三点共
，故
线
C 正确；
由于
，则
，即
，所以
，
所以
，故D 正确．
故
：
选ACD．
【变式训练5-1】（多选）已知抛物线
的焦点为F，其准线l 与x
交于点
轴
A，O
坐
原点，
为
标
过F 的直
与
线
C 交于B，D 两点，过B，D 作l 的垂
，垂足分
线
别为E，G，
（
则 ）
A．若直线BD 的斜率为1，则
B．以BD
直径的
与
为
圆
y
相切
轴
C．
D．B，O，G 三点共线
【答案】ACD
【分析】
于
对
A，
立直
联
线
方程与抛物
方程，
合焦点弦
公式以及
达定理即可判断；
于
线
结
长
韦
对
B，由抛
物
的性
即可判断；
于
线
质
对
C，
合内
角相等即可得
；
于
结
错
证对
D，
直
设
线OB 与准线l 交于
，只需
明
说
重合即可.
【
解】抛物
详
线
的焦点
，准线
，点
，设
，
于
对
A，直线
，由
，
消去y 得
，所以
，所以
，故A 正确：
于
对
B，
，
段
线
BD 中点横坐标
，
弦BD 中点到准
的距离
线
为
，因此以BF
直径的
与准
相切，故
为
圆
线
B
；
错误
于
对
C，由
，得
，同理
，
则
，故C 正确．
于
对
D，
直
设
线
，
立
联
，得
，则
，
直线
，直线OB 与准线l 交于
，
立
联
，解得
，
又
，所以
，即H 与G 重合，所以B，O，G 三点共
．故
线
D 正确．
故
：
选ACD
【变式训练5-2】（多选）已知抛物线
的焦点为
，且抛物线
点
过
，
点
过
的直线
与抛物线
交于
两点，
分别为
两点在抛物线
准
上的投影，
线
段
为线
的中点，
坐
原点
为
标
，
下列
正确的是（
则
结论
）
A．
段
线
度的最小
长
值为4
B．
的形状
角三角形
为锐
C．
三点共线
D．
的坐
可能
标
为
【答案】ACD
【分析】根据抛物
的性
可判断
线
质
；根据抛物
的定
和平行
的性
可判断
线
义
线
质
；
直
设
线
，
，
立抛物
及直
方程，
合
达定理及三点共
的斜率关系可判断
联
线
线
结
韦
线
；设
的中点为
，
，可得
，取
可判断
【
解】
于
详
对
：抛物线
点
过
，所以
，所以
，
所以
段
线
度的最小
通径
长
值为
4，故
正确；
于
对
：由定
知
义
，
，
轴
所以
，同理
，
所以
，故
；
错误
于
对
：
直
设
线
，
，
，得
，
则
，
因为
，所以
，所以
三点共
，故
线
正确；
于
对
：设
的中点为
，
，
则
，
取
，可得
，故
正确.
故
：
选
.
【变式训练5-3】
明抛物
证
线
焦点弦端点
在准
上的投影
线
为
，则
三点共
，
线
三点
共
．
线
【答案】
明
解析
证
见
【分析】设
，可得
坐
，
直
标设
线
方程与抛物
方程
立，可得
线
联
，
算
计
，即可
得
证
三点共
，同理可得
线
三点共
．
线
【
解】如
，
详
图设
，
又焦点弦端点为
，
直
设
线
方程为
因为
在准
上的投影
线
为
，
则
，则
立
联
消去
得
，则
．
所以
．
所以
三点共
．
线
同理
三点共
．
线
题型06：过焦点的直线中角平分线问题+斜率为定值
【典型例题】（多选）已知抛物线
，
其焦点
过
的直
与抛物
交于
线
线
，
两点，
在第一
象限，抛物
的准
与
线
线
交于点
轴
，
（
则 ）
A．
B．
，
时
C．以
直径的
与准
相切
为
圆
线
D．
【答案】ACD
【分析】A
，
焦点
选项过
的直
方程
线
为
，
立抛物
方程，得到两根之和，两根之
，
算出
联
线
积计
；B
，由焦点弦
公式得到方程，得到
选项
长
，不妨设
，解得
，
，
求出
，
，
；C
，求出
选项
的中点坐标为
，
算出
计
到准
的距离
线
为
，C 正确；D
，
算出
选项计
，得到D 正确.
【
解】
详
A
，
焦点
选项设过
的直
方程
线
为
，
立
联
，可得
，
，
，
，则
，故A 正确；
B
，
选项
，故
，
当
，
时
，解得
，
由
称性，不妨
对
设
，则
，
，
解得
，
，此时
，
，
然
显
，故B
；
错误
C
，
选项
，
，
的中点坐标为
，
到准
的距离
线
为
，
所以，以
直径的
与准
相切，
为
圆
线
C 正确；
D
，
选项
，
，
，故D 正确.
故
：
选ACD.
【变式训练6-1】（多选）已知F 是抛物线
的焦点，
是抛物线C 上的两点，O
坐
原点，
（
为
标
则 ）
A．
点
过
与抛物线C 有且
有一个公共点的直
至多有
仅
线
3 条
B．若AB 中点M 的横坐标为3，则
的最大值为8
C．若直线AB
点
过
F，且
斜角
倾
为
时点A 在第一象限，则
D．若直线AB
点
过
F，x
上存在一点
轴
N，使
定
为
值
【答案】ABD
【分析】分
，求出直
方程判断
类讨论
线
A；由于AB
两
点，所以
为
动
，当且
当直
仅
线
AB
焦点
过
F
等号成立，判断
时
B；直线AB 的方程为
，与抛物
方程
立，利用抛物
的定
判断
线
联
线
义
C；
设AB 的方程为
，与抛物线
立，消去
联
x 整理可得
，利用
达定理及斜率公式
韦
得出
判断
结论
【
解】
于
详
对
A，直
的斜率不存在
足
意；
线
时满
题
直
的斜率存在
，
直
方程
线
时设
线
为
，
与抛物线
立，消去
联
y 整理可得
，
，方程有一解，
足
意；
时
满
题
，
时
，
，方程有一解，
足
意，
满
题
所以
点
过
与抛物线C 有且
有一个公共点的直
至多有
仅
线
3 条，故A 正确；
于
对
B，由于
两
点，所以
为
动
，
当且
当直
仅
线
焦点
过
F
等号成立，故
时
B 正确；
于
对
C，因
直
为
线AB
焦点
过
F 且
斜角
倾
为
，
直
则
线AB 的方程为
，
将
代入
得
，解得
，
，
所以
，
，所以
，故C
；
错误
于
对
D，设AB 的方程为
，
，
，
直
与抛物
线
线
立，消去
联
x 整理可得
，
所以
，
，
设
，则
，
所以
，
时
定
为
值0，故D 正确.
故
：
选
【点睛】方法点睛：我
在
理有关焦点弦，以及焦半径
度
有以下几种方法；
们
处
问题时长
问题时
（1）常
理手段，求交点坐
然后用距离公式，含参的
不适合；
规处
标
问题
（2）
达定理
合弦
公式，
是此
理的通法；
韦
结
长
这
类问题处
（3）抛物
定
合焦点弦公式
线
义结
.
【变式训练6-2】（多选）已知抛物线C：
的焦点为F，O
坐
原点，
焦点
为
标
过
F 的直线l 与抛物线C 交于
A，B 两点，同
焦点
时过
F 作与直线l 垂直的直线
与抛物线C 交于D，E 两点，
下面
法正确的是（
则
说
）
A．
的取
范
值
围为
B．若直线l 的
斜角
倾
为60°，则
C．若在x
上存在一点
轴
M，使得
，
点
则
M 的坐标为
D．当直线l 的斜率为
，四
形
时
边
ADBE 的面积为36
【答案】BCD
【分析】由
意分析出直
题
线l 的斜率存在且不为0，
，即可判断A；设
，
，
立方程
，由
联
组
韦
达定理及抛物
的焦点弦公式求出
线
，即可判断B；
点
设
，直线l 的方程为
，由
，得到
，
立方程
，将
达定理代入上式求出
联
组
韦
，即可判断C；
直
设
线l 及
的方程，
立方程
，由
达定理及弦
公式求出
联
组
韦
长
和
，将直线l 的斜率
代入四
形
边
ADBE 面
的表达式并
算
积
计
，
即可判断D.
【
解】同
焦点
详
时过
F 的直线l 与直线
垂直，都与抛物线C 有两个交点，
所以直线l 的斜率一定存在且不为0，所以
，故A
；
错误
设
，
，因为
，所以直线l 的方程为
，
立
联
，整理得
，可得
，
所以
，故B 正确；
点
设
，
直
设
线l 的方程为
，
立
联
，整理得
，可得
，
因为
，所以
，即
，
即
，
即
，
算可得
计
，故C 正确；
直
设
线l 的方程为
，
直
则
线
的方程为
，
立
联
，整理得
，可得
，
由弦
公式可得
长
，
同理可得
，
故
，
当直线l 的斜率为
，
时
，此时
，故D 正确.
故
：
选BCD
【变式训练6-3】如
所示，已知抛物
图
线
的焦点为
，准线与
相交于点
轴
，
点
过
任作一
直
与抛物
线
线
交于
两点，设
．求
：
证
(1)
平分
；
(2)
．
【答案】(1)
明
解析
证
见
(2)
明
解析
证
见
【分析】（1）
直
设
线
方程为
，将直
方程代入
线
，由
达定理可得
韦
，
，
由
，
明即可；
证
（2）延长
交抛物
于
线
，作
于
，
于
，由
及抛物
称性
明即可
线对
证
.
【
解】（
详
1）由
可知
题
，
直
设
线
方程为
，
将直
方程代入
线
得
，
设
，
，有
，
，
直
设
线
的斜率为
，
则
，
所以
平分
；
（2）如
所示，延
图
长
交抛物
于
线
，作
于
，
于
，
因
直
为
线
关于
称，所以点
轴对
关于
称，
轴对
又
，所以
，
所以
，
因为
，所以
轴
．
题型07：过焦点直线中四个相切圆
【典型例题】（多选）
抛物
设
线
的焦点为
，
为
上一
点，
动
定点，
下列
正确的是
为
则
结论
（ ）
A．准线的方程是
B．
的最小值为4
C．
点
过
的直
交抛物
于
线
线
两点，点
是坐
原点，
标
则
的最小
是
值
6
D．以
段
线
直径的
与
为
圆
相切
轴
【答案】BD
【分析】根据抛物
方程写出准
判断
线
线
A，根据抛物
定
及三角形三
关系判断
线
义
边长
B、C，写出
中点坐
，根据
标
其横坐
与
标
关系即可判断D.
【
解】由抛物
详
线
，
其焦点
则
为
，准线为
，故A
，
错
如下
示，
图
其中
准
于
线
，则
，故
，
当且
当
仅
，
，
共
，
线时
取到最小
，此
点
值
时为
到准
距离
线
4，故B
；
对
由
意知，抛物
题
线
的焦点坐标为
，
当斜率
存在
，
直
时设
线
的方程为
，
由
.
交点
设
，
，则
，
.
依据抛物
的定
得：
线
义
，
.
当斜率
不存在
，
时
.则
的最小
是
值
4.故C
；
错
由
，则
中点坐标为
，
而
，故
，
所以，以
段
线
直径的
与
为
圆
相切，故
轴
D 对.
故
：
选BD
【变式训练7-1】（多选）已知抛物线
的焦点到准
的距离
线
为2，过
的焦点
的直线与
交于
两点，分别过
两点作
的准
的垂
，垂足分
线
线
别为
，
下列
正确的是（
则
结论
）
A．抛物线
的准
方程
线
为
B．以
段
线
直径的
与抛物
为
圆
线
的准
相切
线
C．以
段
线
直径的
与
为
圆
相交
轴
D．以
段
线
直径的
定点
为
圆过
【答案】ABD
【分析】先求出
，即可求出抛物线
的准
方程可判断
线
A；设
的中点为D 点，过D 点作准
的垂
，根据抛
线
线
物
的定
得到
线
义
，可判定B 正确；根据抛物
的定
可得
线
义
，再
求出
的中点
到
的距离可判断
轴
C；由
可判断D.
【
解】
于
详
对
A，因
抛物
为
线
的焦点到准
的距离
线
为2，
所以
，所以抛物线
，所以抛物线
的准
方程
线
为
，故A 正确；
于
对
B，设
的中点为D 点，过D 点作准
的垂
，垂足
线
线
为
，
可得
，所以B 正确；
于
对
C，设
、
，
由抛物
的定
可得：
则
线
义
,
，
的中点为
，
的中点
到
的距离
轴
为
，
所以以
段
线
直径的
与
为
圆
相切，故
轴
C 正确；
于
对
D，
、
，所以
的中点
，
，
直
设
线
为
，所以
立
联
，
所以
，所以
，
因为
，
所以
，
以
段
线
直径的
定点
为
圆过
，故D 正确.
故
：
选ABD.
【变式训练7-2】已知抛物线
，过
的焦点且斜率为2 的直线交抛物线
于
两点，以
直径的
与抛物
为
圆
线
的准
相切于点
线
，若点
的
坐
纵
标为4，
抛物
则
线
的
准方程
（
标
为 ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由抛物线
，可知焦点为
，准线为
，
直
设
线的方程为
，
，
，
立直
与抛物
方程
，根据
达定理可得
联
线
线
组
韦
，
，
合
意可得点
结
题
的
坐
纵
标为4，
而得到
进
，
而求解
进
.
【
解】由抛物
详
线
，可知焦点为
，准线为
，
直
设
线的方程为
，
，
，
立方程
联
组
，可得
，
所以
，
，
以
直径的
与抛物
为
圆
线
的准
相切于点
线
，
设
的中点为
，
有
则
，
因
点
为
的
坐
纵
标为4，所以点
的
坐
纵
标为4，
即
，则
，
又
，
所以
，即抛物线
的
准方程
标
为
.
故
：
选D.
【变式训练7-3】（多选）设
坐
原点，
抛物
为
标
过
线
的焦点
作斜率为
的直
与
线
交于
、
两
点，为
的准
，
线
、
在直线上的射影分别为
，
.
（
则
）
A．
B．
的面
是
积
C．直线与以
直径的
相切
为
圆
D．
是直角三角形
【答案】BCD
【分析】将直线
的方程与抛物
方程
立，求出点
线
联
、
的坐
，利用抛物
的焦点弦
公式可判断
标
线
长
A
；利
选项
用三角形的面
公式可判断
积
B
；利用直
与
的位置关系可判断
选项
线
圆
C
；利用平面向量垂直的坐
表示可判断
选项
标
D 选项.
【
解】易知抛物
详
线
的焦点为
，准线的方程为
，
点
设
、
，易知直线
的方程为
，
于
对
A
，
立
选项联
可得
，解得
或
，
所以
，A
；
错
于
对
B
，
选项
，B
；
对
于
对
C
，
段
选项设线
的中点为
，则
，则
，
，
点
到直线的距离为
，故直线与以
直径的
相切，
为
圆
C
；
对
于
对
D
，
点
选项记
、
，
点
则
、
，
，
，所以
，即
，
即
是直角三角形，D 对.
故
：
选BCD.
题型08：抛物线中的中点弦问题
【典型例题】已知点
，不关于
称的
轴对
，
两点在抛物线
上，
段
为线
的中点，且
，
点
则
的横坐标为 .
【答案】4
【分析】根据点差法可得
，即可根据垂直
足的斜率关系求解
满
.
【
解】
详
设
，
，
，
则
由
得
.
因为
，所以
，解得
.
故答案
：
为4
【变式训练8-1】在抛物线
上有三个不同点
、
、
，焦点为
，点
坐标为
且
轴，
为
的重心，则
的面积为 ．
【答案】
【分析】由
可求出抛物
的方程，由重心的性
可求得
段
线
质
线
的中点
的坐
，利用点差法求出直
标
线
的方程，将
直
方程与抛物
的方程
立，列出
达定理，
合三角形的面
公式以及
达定理可求得
果
该
线
线
联
韦
结
积
韦
结
.
【
解】由点
详
的坐标为
且
得
轴
，即
，抛物
方程
线
为
，
设
、
，则
相减可得
，
所在直
斜率
线
，
记
中点为
，又由
为
的重心，可知
，
点
设
，则
，可得
，解得
，即点
，
所以，
，
所以，
所在直
方程
线
为
，即
，
立方程
联
，得
，
，
由
达定理可得
韦
，
，得
，
故：
的面积为
.
故答案
：
为
.
【变式训练8-2】已知抛物线
的焦点为
，第一象限的
、
两点在抛物
上，且
足
线
满
，
.若
段
线
中点的
坐
纵
标为4，
抛物
的方程
则
线
为 .
【答案】
【分析】先根据焦半径公式得到
的关系，然后根据弦
公式求解出
长
，
合两点
斜率公式以及点在抛物
结
间
线
上求解出
的
，
抛物
方程可求
值则
线
.
【
解】
详
设
，
因为
，
所以
，所以
，
又因为
，所以
，
因为
都在第一象限，所以
，
又因为
且
，
所以
，所以
，所以抛物
方程
线
为
，
故答案
：
为
.
【变式训练8-3】已知抛物线
的焦点到准
的距离
线
为
，
、
是
上关于直线
称的两个点，若直
对
线
与
交于点
轴
，则
的取
范
是（
值
围
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由
意求出
题
的
，可得出抛物
值
线
的方程，设
的中点为
，则
，可得出
，再
合点差法可得出
结
，求出直线
的方程，根据点
在抛物
的内部可得出
线
，由此可得出
的取
范
值
围.
【
解】因
抛物
详
为
线
的焦点到准
的距离
线
为
，则
，即抛物线
的方程为
，
设
的中点为
，则
，
因
点
为
在直线
上，则
，
得
①，
又
②，且
③，
④，
将③④代入②可得：
，
代入①可得
，
所以
的中点
坐标为
，
直
则
线
的方程
：
为
，令
得：
，
而
位于抛物
内部，即
线
，可得
，则
．
故
：
选C.
题型09：抛物线中的切点弦问题
【典型例题】
是
抛物
过
线
的焦点且斜率为1 的弦，直线
是抛物
两条分
切于
线
别
的切
，
线则
的交点的坐
（ ）
标为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先写出焦点坐
然后根据点斜式写出直
标
线
的方程与抛物
方程
立求出交点
线
联
的坐
，
抛物
所
标对
线
对
的函数求
而求出切
斜率写出两条切
方程，
立方程
求出交点坐
即可
导继
线
线
联
组
标
.
【
解】抛物
详
线
的焦点坐标为
，
因为
是
抛物
过
线
的焦点且斜率为1 的弦
所以
所在直
的方程
：
线
为
整理得
.
设
，
直
方程与抛物
方程
立得：
线
线
联
，消元得：
，
，
，所以
，
所以
，
因
抛物
方程
为
线
为
，所以
，
，
因
直
为
线是抛物线过
点的切
，所以直
方程
：
线
线
为
，
因
直
为
线
是抛物线过
点的切
，所以直
方程
：
线
线
为
两切
方程
立得：
线
联
，
解得：
，
所以交点坐标为
.
故
：
选A
【变式训练9-1】已知
点
过
的直
交抛物
线
线
于
，
两点，
点
过
，
分
作抛物
别
线
的切
，
线
两条切
交于点
线
，则
的最小
（
值为 ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设
，
，利用
数的几何意
求出抛物
导
义
线
在点A、B 的切
方程，
而求得
线
进
，
点
则
的
迹
一条直
，确定
段
轨
为
线
线
的最小
点
值为
到直线
的距离，
合点
距
结
线
公式
算即可求解
计
.
【
解】
详
设
，
，
由
，得
（不妨设
），则
，
所以抛物线
在点A 的切
斜率
线
为
，
得抛物线
在点A 的切
方程
线
为
，即
.
同理可得抛物线
在点
的切
方程
处
线
为
，
，解得
，即
，
又因
直
为
线
的斜率
，
所以直线
的方程为
，即
，
将点
代入直线
的方程得：
①，
点
设
坐标为
，
①式可整理
：
则
为
，即
，
所以点
的
迹
一条直
．
轨
为
线
所以
段
线
的最小
点
值为
到直线
的距离，
即为
．
故
：
选A
【变式训练9-2】
直
过
线
上的
点
动
作
的两条切
，切点分
线
别为
，则
的重心的
迹方程
轨
（
为 ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设
，
，
，
的重心为
，通
求
确定
过
导
的方程
.
的方程为
，再
合重心坐
公式得到
结
标
，即可求解.
【
解】
详
设
，
，
，
的重心为
，
的方程为
，
对
求
可得
导
.
故
，
的方程为
，
将
，代入
的方程化
得
简
.
同理
的方程为
，
两方程
立解得
联
，
.
，则
，
，
故
的重心的
迹方程
轨
为
.
故
：
选C.
【变式训练9-3】已知抛物线
：
，
直
过
线：
上的
点
动
可作
的两条切
，
切点
线记
为
，则
直线
（ ）
A．斜率为2
B．斜率为
C．恒
点
过
D．恒
点
过
【答案】D
【分析】设
，求
，根据
函数几何意
得到切
方程，
导
导
义
线
设
，将其代入两切
方程，得
线
到直线
的方程为
，得到
定点
过
.
【
解】
详
设
，则
，
，
由于
，故
点
过
的切
方程
线
为
，
即
，即
，
同理可得
点
过
的切
方程
线
为
，
设
，
点
过
的两切
交于点
线
，
故
，整理得
，
同理
，整理得
，
故直线
的方程为
，
斜率不
定
，
为
值AB
，当
错误
，
时
，恒
点
过
，C
，
错误D 正确.
故
：
选D
题型10：抛物线中的定值问题
【典型例题】（多选）已知抛物线
：
的准
与
线
交于点
轴
，
坐
原点，点
为
标
，
是抛物线
上异于
点
的两个
点，
段
动
线
与
交于点
轴
，
（
则 ）
A．若
抛物
为
线
的焦点，
段
则线
的
度的最小
长
值为4
B．若
抛物
为
线
的焦点，则
定
为
值
C．若
与
的面
之
定
，
积
积为
值则
抛物
为
线
的焦点
D．若直线
和直线
都与抛物线
相切，则
抛物
为
线
的焦点
【答案】ABD
【分析】设
方程为
，
，
，与抛物
立，
达定理，利用弦
公式求解最
判断
线联
韦
长
值
A，利用数量
坐
运算判断
积
标
B，求出面
之
判断
积
积
C，利用直
与抛物
立求得切点坐
，即可求出两切点
线
线联
标
连线
焦点判断
过
D.
【
解】直
详
线
的斜率不为0，
点
设
，
直
设
线
的方程为
，
设
，
，因
点
为
T 在
段
线
上，所以
，
立直
和抛物
方程得
联
线
线
，则
，
所以
，
，
于
对
A，若
焦点，
为
则
，
，
则
，当
等号成立，正确；
时
于
对
B，因为
，所以
，
所以
，正确；
于
对
C，
定
，只需
为
值
T 横坐
定
即可，
标为
值
但是
不一定为1，即
不一定
抛物
为
线
的焦点，
；
错误
于
对
D，
，与抛物线
相切的切
方程
线
为
，
则
，化
得
简
，由
，可得
，解得
，
由
称性，不妨
对
过
切
方程
线
为
，过
的切
方程
线
为
，
立
联
得
，则
，
立
联
得
，则
，
所以直线
方程
：
为
，所以
，即
抛物
为
线
的焦点，正确.
故
：
选ABD
【变式训练10-1】（多选）抛物线
：
的焦点是
，准线与
称
相交于点
对
轴
，
点
过
的直
与
线
相交
于
，
两点（
点在第一象限），
，垂足为
，
下列
法正确的是（
则
说
）
A．若以
心，
为圆
半径的
点
为
圆经过
，则
是等
三角形
边
B．两条直线
，
的斜率之和
定
为
值
C．已知抛物线
上的两点
，
到点
的距离之和为8，
段
则线
的中点的
坐
是
纵
标
4
D．若
的外接
与抛物
的准
相切，
的半径
圆
线
线
则该圆
为
【答案】ABD
【分析】根据抛物
的焦半径即可判断
线
A；利用
立方程和
达定理，
合斜率公式即可求解
联
韦
结
B；由抛物
的定
合
线
义结
中点坐
公式判断
标
C；由
意可知
题
外接
心的
坐
圆圆
纵
标为
，
合抛物
的定
分析求解可判断
结
线
义
D；
【
解】
于
详
对
A，由抛物
的定
知，
线
义
，
因
以
为
心，
为圆
半径的
与
为
圆
相交于
和
两点，所以
，
所以
等
三角形，故
为
边
A 正确；
于
对
B，
直
设
线
的方程是
，代入
并消去
得
，
设
，
，则
，
.
，
，所以
，
所以两条直线
，
的斜率之和
定
，故
为
值
B 正确；
于
对
C，设
，则
，即
，
段
则线
的中点的
坐
纵
标为
，故C
；
错误
于
对
D，因为
的外接
与抛物
的准
相切，
圆
线
线
所以
心在抛物
上，且
心在
段
圆
线
圆
线
OF 的垂直平分线
，
可知
外接
心的
坐
圆圆
纵
标为
，
所以外接
半径
圆
为
，故D 正确.
故
：
选ABD.
【变式训练10-2】（多选）已知斜率为
的直
交抛物
线
线
于
、
两点，下列
法
说
正确的是（ ）
A．
定
为
值
B．
段
线
的中点在一条定直
上
线
C．
定
（
为
值
、
分
直
别为
线
、
的斜率）
D．
定
（
为
值
抛物
的焦点）
为
线
【答案】BC
【分析】分析可知，
，
直
设
线
的方程为
，将直线
的方程与抛物
的方程
立，利用
达定理可
线
联
韦
判断A
；求出
段
选项
线
中点的
坐
，可判断
纵
标
B
；利用斜率公式
合
达定理可判断
选项
结
韦
C
；利用抛物
的
选项
线
焦半径公式可判断D 选项.
【
解】若
详
，
直
则
线
与抛物线
只有一个交点，不合乎
意，
题
则
，
直
设
线
的方程为
，
立
联
可得
，
，
于
对
A
，
选项
不一定是定
，
值A
；
错
于
对
B
，
段
选项设线
的中点为
，则
，
定
，故
段
为
值
线
的中点在定直线
上，B
；
对
于
对
C
，
选项
定
，
为
值C
；
对
于
对
D
，
选项
不一定
定
，
为
值D 错.
故
：
选BC.
【变式训练10-3】在平面直角坐
系
标
xOy 中，已知点E(0，2)，以OE
直径的
与抛物
为
圆
线C∶x2=2py(p>0)交于点
M，N(异于原点O)，MN 恰
的直径，
点
为该圆
过
E 作直
交抛物
与
线
线
A，B 两点，过A，B 两点分
作
物
别
拋
线C 的切线
交于点P.
（1）求
∶点
证
P 的
坐
定
；
纵
标为
值
（2）若F 是抛物线C 的焦点，
明∶∠
证
PFA=∠PFB.
【答案】（1）
明
解析；（
证
见
2）
明
解析
证
见
.
【分析】（1）由
意易得抛物
方程
题
线
x2=y，设A
，B
，根据两点写出直
方程得
线
，由
于直线过E 点，所以
，再根据直线PA，PB 直
方程解得点
线
P 坐标
，
而得
进
证.
（2）
化
明向量
转
为证
分
与向量
别
的
角相等
夹
,
用向量
角余弦公式，即可
明
应
夹
证
结论.
【
解】（
详
1）以OC
直径的
为
圆为x2+(y-1)2=1.
由
意可知
与抛物
交于一条直径，
题
该圆
线
由
称性可知交点坐
对
标为(1，1)，(-1，1)
代入抛物
方程可得
线
2p=1.
所以抛物
的方程
线
为x2=y.
设A
，B
，
所以
所以直线AB 的方程为
，
即
因
直
为
线AB
点
过
C(0，2)，
所以
，所以
①.
因为
，所以直线PA 的斜率为
，直线PB 的斜率为
直线PA 的方程为
，
即
，
同理直线PB 的方程为
立两直
方程，可得
联
线
P
由①可知点P 的
坐
定
纵
标为
值-2.
（2）
，
，
注意到两角都在
内，
可知要证
， 即证
，
，
，
所以
，
又
，所以
，
同理
式得证.
【点睛】(1)直
与抛物
的位置关系和直
与
、双曲
的位置关系
似，一般要用到根与系数的关系；
线
线
线
椭圆
线
类
(2)有关直
与抛物
的弦
，要注意直
是否
抛物
的焦点，若
抛物
的焦点，可直接使用公式
线
线
长问题
线
过
线
过
线
|AB|＝x1
＋x2＋p，若不
焦点，
必
用一般弦
公式．
过
则
须
长
题型11：抛物线中的定点问题
【典型例题】已知抛物线
，
和
分
抛物
上的两个
点，若
别为
线
动
（
坐
原点），
为
标
弦
恒
定点
过
，
抛物
方程
（
则
线
为 ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
直
设
线
的方程为
，设
、
，将直线
的方程与抛物
的方程
立，列出
达
线
联
韦
定理，分析可得
，利用平面向量数量
的坐
运算
合
达定理求出
积
标
结
韦
的
，即可得出抛物
的
准方
值
线
标
程.
【
解】若直
详
线
与
重合，此
直
轴
时
线
与抛物线
只有一个交点，不合乎
意
题
.
点
设
、
，
直
设
线
的方程为
，
立
联
，消去
可得
，
，所以，
，
因为
，则
，解得
.
因此，抛物
的方程
线
为
.
故
：
选B.
【变式训练11-1】（多选）已知
是抛物线
上的两
点，
动
是抛物
的焦点，下列
法正确的是
线
说
（ ）
A．直线
焦点
过
，以
时
直径的
与
为
圆
的准
相切
线
B．直线
焦点
过
，
时
的最小值为6
C．若坐
原点
标
为
，且
，
直
则
线
定点
过
D．与抛物线
分
相切于
别
两点的两条切
交于点
线
，若直线
定点
过
，
点
则
在抛物线
的准
上
线
【答案】ABD
【分析】
于
对
A：根据抛物
的定
分析判断；
于
线
义
对
B：设
方程为
，
立方程，根据抛物
的定
合
联
线
义结
韦
达定理分析求解；
于
对
C：设
方程为
，设
，
，
立方程，根据垂直关系可得
联
，
合
达定理分析求解；
于
结
韦
对
D：可知抛物线
在点
的切
方程
处
线
为
，根据切线
方程求交点坐
，
合
标结
选项B 分析判断.
【
解】
于
详
对
选项A：如图1，设
中点为
，分
点
别过
向准
作垂
，垂足
线
线
为
，
由抛物
的定
可得，
则
线
义
，
.
因为
中点为
，所以有
，
所以以
直径的
与
为
圆
的准
相切，故
线
A 正确；
于
对
选项B：由抛物线
，可得
，
由
意可知直
题
线
斜率不为
，设
方程为
，设
，
，
立直
与抛物
的方程
联
线
线
，消去x 可得
，
则
恒成立。
可得
，
，
则
，
所以
当且
当
仅
，
时
取到最小值6，故B 正确；
于
对
选项D：先
抛物
证
线
在点
的切
方程
处
线
为
，
立方程
联
，消去x 得
，
可知方程
只有一个解，即直
组
线
与抛物线
相切，
可知抛物线
在点
的切
方程分
处
线
别为
，
，
立方程
联
，解得
，即点
，
合
结
选项B 可得：
，
所以点
在抛物线
的准线
上，故D 正确；
于
对
选项C：由
意可知直
题
线
斜率不为
，设
方程为
，设
，
，
，
则
，
，
若
，则
，解得
或
（舍去），
立直
与抛物
的方程
联
线
线
，消去x 可得
，
则
，解得
，
此时
，符合
意，
题
所以
，
直
则
线
定点
过
，故C
；
错误
故
：
选ABD.
【变式训练11-2】（多选）已知抛物线C：
的焦点为F，若抛物线C 在
，
两
点
的切
交于点
处
线
，与x
分
交于点
轴
别
M，N．
下列
一定正确的是（
则
结论
）
A．
B．
C．若
，
直
则
线
点
过
F
D．若
，
直
则
线
点
过
F
【答案】ABD
【分析】
于
对
A，
立直
联
线
和
方程可判断A；表示
和
的坐
，
算
标计
可判断B；由
化
可得
简
，代入直线
方程可判断C；由
，由直线
方程
算
计
，从而可
得
，同理代入直线
方程可判断D.
【
解】
详
，求
可得
导
，
直
则
线
，直线
，
立直
方程
联
线
，消
可得
，
，
即
，故A 正确；
由直线
，令
，可得
，所以
，
又
，所以
，
，
，所以
，即
，故B 正确；
由
，可得
，
化
得
简
，
，所以
，
直
设
线
斜率为
，则
，
直
则
线
的方程
：
为
，
令
，可得
，故直线
点
过
或
，不一定
点
过
，故C 错误；
在直线
中，令
，可得
，即
，
又
，所以
，即
，同理代入直线
方程，可得直线
点
过
，即
点
过
，故D
正确.
故
：
选ABD.
【变式训练11-3】如
抛物
图过
线
的焦点
作直线与抛物线
交于
，
的中垂
交
线
轴
于
，且
，
，则
.
【答案】
【分析】设
，
，根据抛物
的定
可得
线
义
，求出直线
的中垂
的方程，令
线
可得
点的横坐标为
，从而可得
即
，再由
可得
，
，
，从而可得
，由抛物
的定
可得
线
义
，由此可求出
的值.
【
解】
详
设
，
，则
的中点坐标为
根据抛物
的定
可得
则
线
义
由
，
，可得
所以
，又直线
的斜率
所以直线
的中垂
的方程
线
为
令
得
，所以
点的横坐标为
，又
所以
，所以
所以
，又
，所以
，
又
，
，所以
，
因为
，所以
，所以
，所以
所以
，所以
故答案
：
为
题型12：阿基米德三角形有关结论
【典型例题】我
把
曲
的弦
们
圆锥
线
AB 与
弦的端点
过
A、B
的两条切
所
成的
处
线
围
（P
两切
的交点）叫做
为
线
“阿基米德三角形”．抛物
有一
特殊的“阿基米德三角形”，当
段
线
类
线
AB
抛物
的焦点
经过
线
F
，
时
具有以下
性
：
质
①P 点必在抛物
的准
上；②
线
线
；③
．
已知直线l：
与抛物线
交于A、B 两点，若
，
抛物
的“阿基米德三角形”
则
线
的
点
顶
P 的坐标为 ．
【答案】
或
【分析】设
，将直
方程代入抛物
方程化
利用根与系数的关系，
合弦
线
线
简
结
长
，可求出
的
，再由
值
可求出直线
的方程，再由P 点必在抛物
的准
上可求出点
线
线
P 的坐标.
【
解】抛物
详
线
的焦点
，准
方程
线
为
，
设
，
由
，得
，
由
，
所以
，
所以
，解得
或
，
当
，因
时
为
，所以
，
所以直线
的方程为
，
因为P 点必在抛物
的准
线
线
上，所以
，
所以
，所以
，
当
，因
时
为
，所以
，
所以直线
的方程为
，
因为P 点必在抛物
的准
线
线
上，所以
，
所以
，所以
，
上，
综
的
点
顶
P 的坐标为
或
.
故答案
：
为
或
【变式训练12-1】（多选）如
，
图
阿基米德三角形
为
.抛物线
上有两个不同的点
，以A，B
切点的抛物
的切
为
线
线
相交于点P.
出如下
，其中正确的
（
给
结论
为 ）
A．若弦
焦点，
过
则
直角三角形且
为
B．点P 的坐
是
标
C．
的边
所在的直
方程
线
为
D．
的边
上的中
与
线
y
平行（或重合）
轴
【答案】ACD
【分析】设
，由
数的几何意
得切
斜率，利用焦点弦性
得
导
义
线
质
，
A 正确；写出切
方程，
立求出点
线
联
坐
，得
标
B
；用
错误
两点坐
表示出
标
，写出直线
方程，并化
可得
简
C 正确；设
抛物
弦
为
线
的中点，立即得D 正确.
【
解】由
意
详
题
设
，
由
，得
，则
，
所以
，
若弦
焦点，
然直
过
显
线
斜率存在，设
所在直线为
，
立
联
，
得
，
则
，
所以
，
所以
，故A 正确；
以点A
切点的切
方程
为
线
为
，以点B
切点的切
方程
为
线
为
，
立消去
联
y 得
，
将
代入
，
得
，
所以
，故B
；
错误
设N
抛物
弦
为
线
的中点，N 的横坐标为
，因此直线
平行于y 轴(或与y
重合
轴
)，即平行于抛物
的
称
线
对
轴(或与
称
重合
对
轴
)，故D 正确；
直
设
线
的斜率为
，
故直线
的方程为
，
化
得
简
，故C 正确.
故
：
选ACD.
【变式训练12-2】（多选）
曲
的弦与
弦端点的两条切
所
成的三角形叫做“阿基米德三角形”
圆锥
线
过
线
围
.如图
是抛物线
的阿基米德三角形，弦AB
焦点
经过
F，又BC，AD 均垂直于准线l，且C，D 为
垂足，
下列
法正确的有（
则
说
）
A．以AB
直径的
必与准
为
圆
线l 相切于M 点
B．
定
为
值4
C．
定
为
值
D．
有最小值
【答案】ABC
【分析】根据抛物
的切
方程，相似关系，
立直
与抛物
方程后根与系数的关系，两角和的正切公式代入即可
线
线
联
线
线
求解.
【
解】
详
先
明出抛物
证
线
在其上一点
的切
方程
处
线
为
明如下：
证
由于点
在抛物线
上，
则
，
立
联
即
，
，
所以抛物线
在其上一点
的切
方程
处
线
为
设
，
，
直
设
线AB 的方程为
，
立
联
消去x 得
，
根据根与系数的关系可得
，
又抛物线
在点A
的切
方程
处
线
为
，即
同理可知，抛物线
在点B
的切
方程
处
线
为
，
由
意知
题
，
，
直线MA 的斜率为
，直线MB 的斜率为
，
，
所以，
，即点M 在以AB
直径的
上，
为
圆
立
联
，
解得
，
所以点M 的横坐标为
，
所以点M 在抛物
的准
上，即以
线
线
AB
直径的
必与准
为
圆
线l 相切于M 点，
故A 正确;
当AB 垂直于x
，由抛物
的
称性可知，点
轴时
线
对
M
抛物
的准
与
为
线
线
x
的交点，
轴
此时
，则
，
，
又此时
，则
定
为
值4，
当AB 不与x
垂直
，直
轴
时
线AB 的斜率为
，
直线MF 的斜率为
，
，
则
，在
中，
，
又以AB
直径的
与准
为
圆
线l 相切于M 点，
以
设
AB
直径的
的
心
为
圆
圆
为
，即得
，
点
则
M 坐标为
，
则
，
故B 正确;
，
故C 正确;
由
意知
题
，
，
则
又根据
意知
题
，则
无最小值.
故D 错误.
故
：
选ABC.
【变式训练12-3】（多选）阿基米德不
在物理学方面
献巨大，
享有“数学之神”的称号
仅
贡
还
.抛物
上任意两点
线
的切
交于点
处
线
，称
“阿基米德三角形”
为
.已知抛物线
的焦点为
，过
的直线交抛物
线
于
两点，抛物线
在
的切
交于点
处
线
，则
“阿基米德三角形”，下列
正确的是（
为
结论
）
A．
在抛物线
的准
上
线
B．
C．
D．
面
的最小
积
值为4
【答案】ACD
【分析】对A：根据
意利用
数求切
题
导
线
的方程，
而求交点坐
，
合
达定理分析运算；
进
标结
韦
对B：利用
达定
韦
理可得
，即可得
果；
结
对C：分
和
两种情况
，分析运算可得
讨论
，即可得
果；
结
对D：根
据
意可求
题
面积
，分析运算即可.
【
解】
详
对A：
抛物线
的焦点为
，准线为
.
直
设
线的方程为
，
立方程
联
组
得
，则
.
因为
，所以
，
故在
切
的斜率
处
线
，
直
则
线
的方程为
，即
，
同理可得：直线
的方程为
，
立方程
联
，解得
，
所以
，故
在抛物线
的准
上，
线
A 正确；
对B：
因为
，
所以
，则
，故B
；
错误
对C：
当
，
直
时则
线
的斜率不存在，故
；
当
，
直
时则
线
的斜率
，则
，所以
；
上所述：
综
.
则
，所以
，C 正确；
对D：
设
的中点为
，则
，
∴
面积
，
当且
当
仅
，即
等号成立，
时
所以
面
的最小
积
值为4，D 正确.
故
：
选ACD.
