文档文本内容
单元集训卷07 三角函数
（考试时间：120 分钟，分值：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下面四个命题中，正确的是（ ）
A．锐角一定是第一象限角
B．小于
的角一定是锐角
C．第二象限角是钝角
D．第一象限的角一定不是负角
【答案】A
【分析】通过举反例否定B，C，D，证明A．
【详解】对于A，锐角是大于
小于
的角，是第一象限角，A 正确；
对于B，
，但
不是锐角，B 错误；
对于C，
是第二象限角，但
不是钝角，C 错误；
对于D，
是第一象限角，可以是负角，D 错误．
2．已知角
的顶点为坐标原点，始边与
轴的非负半轴重合.若
为
终边上一点，则
（ ）
A．
B．
C．1
2
D．
❑√3
2
【答案】D
【分析】利用角终边上一点坐标求出
,再利用诱导公式可得到结果.
【详解】已知角
终边上一点
,则
,
根据三角函数定义得
,所以
.
3．已知
sin α
cosα −sin α = 1
2，则sin(2α +π
4 )=（ ）
A．
❑√2
10
B．7 ❑√2
10
C．
D．−7 ❑√2
10
【答案】B
【分析】先利用齐次式的处理方法求tan α，结合二倍角公式和齐次式的计算方法求sin 2α和cos2α，最后利用两
角和的正弦公式求值即可.
【详解】因为
sin α
cosα −sin α = 1
2，所以
tan α
1−tan α = 1
2，整理得tan α = 1
3.
所以sin 2α =2sin α cosα = 2sin α cosα
cos
2α +sin
2α
= 2tan α
1+ tan
2α
=
2× 1
3
1+(
1
3)
2 = 3
5，
cos2α =cos
2α −sin
2α = cos
2α −sin
2α
cos
2α +sin
2α
= 1−tan
2α
1+ tan
2α
=
1−(
1
3)
2
1+(
1
3)
2 = 4
5 .
所以sin(2α +π
4 )=sin 2α cosπ
4 +cos2α sinπ
4 = 3
5 ×
❑√2
2 + 4
5 ×
❑√2
2 = 7 ❑√2
10 .
4．已知4 sin α =cosα ，则sin
2α −cos
2α = （ ）
A．−17
15
B．−15
17
C．17
15
D．15
17
【答案】B
【详解】已知4 sin α =cosα，若
，等式不成立；
若
，则tan α = sin α
cosα = 1
4 ，
sin
2α −cos
2α = sin
2α −cos
2α
sin
2α +cos
2α
= tan
2α −1
tan
2α +1
=
1
16 −1
1
16 +1
=−15
17 ．
5．已知函数
的周期为2，且在
上单调递减，则
可以是（ ）
A．f (x)=sinπ x B．f (x)=tanπ x
C．f (x)=|sinπ
2 x) D．
【答案】D
【分析】举例说明函数的单调性不满足要求，排除AC；结合函数f (x)=tanπ x定义域，排除B；求函数
的周期，结合余弦函数的单调性判断D；
【详解】对于选项A：因为f(
1
4)=sinπ
4 =
❑√2
2 ，f(
1
2)=sin(
1
2 π)=1，
所以函数
在
上不单调递减，不符合题意，故A 错误；
对于选项B：函数f (x)=tanπ x的定义域为(k −1
2 ,k + 1
2)，
，
所以函数f (x)=tanπ x在
上不单调，不符合题意，故B 错误；
对于选项C：因为f(
1
3)=|sinπ
6 )= 1
2，f(
1
2)=|sinπ
4 )=
❑√2
2 ，
所以函数f (x)=|sinπ
2 x)在
上不单调递减，不符合题意，故C 错误；
对于选项D：因为
的最小正周期为
，
又因为
，则π x∈(0,π)，且
在
内单调递减
所以函数
在
上单调递减，符合题意，故D 正确.
6．
（
），将
向
轴正方向平移
个单位，得到的函数图像与
图像关于
轴对
称，则
的取值个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】平移后函数为
，与
关于
轴对称可知函数值互为相反数，利用正弦相等得方程，排除
不恒成立情形，得到
的取值个数.
【详解】将
向右平移
个单位得
.
由题意，
与
的图像关于
轴对称，即
恒成立，
即
. 分两种情形讨论：
①
，对任意
不恒成立，舍去；
②
，化简得
，即
.
由
得
，
对应
，因此
的取值个数为3 个.
7．已知函数
，若对于
，不等式
恒成立，则实数
的取值范围为（
）
A．
B．(−∞,−1]
C．
D．
【答案】B
【分析】由
的取值范围求出
的范围，再根据正弦函数的性质求出
的值域，即可得到
，
从而得解.
【详解】当
，则
，
所以
，则
，
因为对于
，不等式
恒成立，
所以
，解得
，所以实数
的取值范围为(−∞,−1).
8．已知函数
，若
，且
在区间
上单调递减，则整数
（ ）
A．1 或2
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【分析】由函数
在区间
上单调递减可得
，由
可得函数
关于
对称，
再解方程
即可.
【详解】当
时，
，
因为
在区间
上单调递减，
所以
，
，解得
因为ω>0，所以k =0，
，
又因为
，所以函数
关于
对称，
所以
，解得
，
又
，所以
，ω=2.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的
得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．舞龙表演时，龙身上下起伏的姿态可以近似看作下图，若此图象为函数
（
，ω>0，
）图象的一部分，则（ ）
A．ω=2
B．
C．
D．将函数
的图象向左平移
个单位长度可得到函数
的图象
【答案】ABD
【详解】由图象可知
，B 选项正确；
最小正周期
，又
，A 选项正确；
由五点法知
，解得
，C 选项错误；
所以
.
所以
的图象向左平移
个单位长度可得到函数
的图象，D 选项正确.
10．已知函数
，则（ ）
A．
B．f (x)的定义域为
C．曲线y = f (x)关于点
对称
D．
【答案】ABC
【详解】A 选项，
，故A 正确；
B 选项，由
，解得
，
则f (x)的定义域为
，故B 正确；
C 选项，令
，得
，
则函数f (x)的对称中心为
，
令
，得k =5，则曲线y = f (x)关于点
对称，故C 正确；
D 选项，
，故D 错误．
11．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景
色．某摩天轮最高点距离地面高度为60 米，转盘直径为50 米，设置有24 个座舱，摩天轮开启前，距地面最近的
点为0 号座舱，距地面最远的座舱为12 号，座舱逆时针排列且均匀分布，游客甲坐2 号舱位，乙坐6 号舱位，开
启后按逆时针方向匀速旋转，转一周需要24 分钟，游客甲在摩天轮转动过程中距离地面的高度为H米，下列说法
正确的是（ ）
A．H关于t的函数解析式为
B．开启后第20 分钟这一时刻游客甲和乙第二次距离地面高度相同
C．开启后第10 分钟游客乙距离地面47.5 米
D．开启后第10 分钟至第18 分钟游客甲和乙运动方向相同（上升或下降）
【答案】BCD
【分析】根据题意建立三角函数模型，然后结合三角函数的图象与性质判断选项即可.
【详解】设游客甲距离地面的高度H (m )与时间t (min)的函数为
，
由题意，
，所以
，
由摩天轮转一周需要
，知座舱转动的角速度约为
，故
，
则
，
又游客甲坐2 号舱位，当t =10时，游客甲的位置达到摩天轮最高点，所以
，
即
，所以
，所以
，
不妨取k =0，则
，故
，A 错误；
由于摩天轮旋转一周需24 分钟，故游客甲和乙第二次距离地面高度相同时，
需经历
分钟，B 正确；
根据题意游客乙在摩天轮转动过程中距离地面的高度函数为：
，
则开启后第10 分钟游客乙距离地面高度为
米，C 正确；
对于函数
，
令
得
，
所以函数
的单调递减区间为
，
当k =0时，函数
的单调递减区间为
，
所以开启后第10 分钟至第18 分钟游客甲在下降，
对于函数
，
令
得
，
所以函数
的单调递减区间为
，
当k =0时，函数
的单调递减区间为
，
所以开启后第10 分钟至第18 分钟游客乙也在下降，
即开启后第10 分钟至第18 分钟游客甲和乙运动方向相同，D 正确.
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．已知2sin α −sin(
π
2 −α)
sin α +2cosα
=1，则
_________.
【答案】
【详解】由2sin α −sin(
π
2 −α)
sin α +2cosα
= 2sin α −cosα
sin α +2cosα = 2tan α −1
tan α +2 =1，
所以2tan α −1= tan α +2，解得
.
13．已知函数
，则当
时，函数
的值域为_____________．
【答案】
【详解】
，
当
时，
，
，
故
的值域为
.
14．将函数
的图像向左平移
个单位，再将所得图像上的各点的横坐标变为原来的
倍，得到
函数
的图像，若
在
单调递增，则
的取值范围为______.
【答案】
【分析】先由图像变换得到
的解析式，再根据
在
单调递增求出
的范围.
【详解】因函数
的图像向左平移
个单位，所得函数为
，再将所得函数图像上的点的横
坐标变为原来的
倍，得到函数
的图像.
所以
，令
，
，
解得
，
，又
在
单调递增，
所以
，且
，解得
且
，又ω>0，
解得k =0，
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知角
以
轴的非负半轴为始边，
为终边上一点.
(1)求
的值；
(2)求
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据角α 终边上点的坐标，结合任意角三角函数定义求出
、
，代入目标式计算即可；
（2）利用三角函数诱导公式化简原式为
，再结合终边上点的坐标求
的值.
【详解】（1）点
到坐标原点的距离
，
根据任意角三角函数的定义：
，
，
代入得
；
（2）利用诱导公式化简原式：
分子部分：
，
，
，
，
因此分子
，
分母部分：
，
，
，
因此分母
，
约分化简得原式
，
根据定义
.
16．已知函数f (x)=2❑√3cos
2(
π
2 −x)+2sin (3π−x)cos x−❑√3．
(1)求
的最小正周期；
(2)若f(x0−π
6 )= 14
25 ，x0∈[
3π
4 ,π]，求f(x0+π
6 )的值．
【答案】(1)π
(2)−7−24 ❑√3
25
【分析】（1）利用诱导公式、二倍角公式、两角差的正弦公式化简函数式，然后由周期公式得结论；
（2）已知条件代入后，利用平方关系、两角和的正弦公式求解.
【详解】（1）由题意得f ( x)=2❑√3cos
2(π
2 −x)+2sin(3π−x)cos x−❑√3=2❑√3sin
2 x +2sin x cos x−❑√3
= ❑√3(1−cos2 x)+sin 2 x−❑√3=2( 1
2 sin 2 x−
❑√3
2 cos2 x)=2sin(2 x−π
3 ),
故
的最小正周期是T = 2π
2 =π；
（2）由题意得f ( x0−π
6 )=2sin(2 x0−π
3 −π
3 )=2sin(2 x0−2π
3 )= 14
25，sin(2 x0−2π
3 )= 7
25，
而x0∈[ 3π
4 ,π]，则2 x0−2π
3 ∈[ 5π
6 , 4π
3
]，
所以cos(2 x0−2π
3 )=−❑√1−sin
2(2 x0−2π
3 )=−
❑√1−( 7
25 )
2
=−24
25
，
所以f ( x0+π
6 )=2sin(2 x0+π
3 −π
3 )=2sin 2 x0=2sin[(2 x0−2π
3 )+ 2π
3 ]
=2[sin(2 x0−2π
3 )cos 2π
3 +cos(2 x0−2π
3 )sin 2π
3 ]=2×[ 7
25 ×(−1
2 )+(−24
25 )×
❑√3
2 ]=−7+24 ❑√3
25
.
17．已知函数
（
，ω>0，
）的部分图象如图所示．
(1)求
的解析式；
(2)求
在
上的值域；
(3)若函数
在
上恰有7 个零点，求a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
．
【分析】（1）由图中两个关于零点中心对称的点，先确定一个零点，再利用相邻零点间的距离求周期和
；结合
图象经过的点求
与A；
（2）令
，将自变量区间转化为角的区间，再根据余弦函数在相应区间上的单调性求值域．（3）令
，先统计方程
在给定区间内的零点个数，再研究方程
的两个根分别应落在哪
两个区间，最后利用两根之积为1 求
的范围．
【详解】（1）由图可知，图象经过点
和
，这两点关于点
中心对称，所以
图中 x =π
12 与
是相邻两个零点，因此
从而
在 x =π
12 处，图象由正变负，所以
解得
由
，得
．
又因为
，所以
解得
．
故
（2）令
当
时，
将该区间中的角同时加上
，不改变余弦值，得到
在
上，余弦函数由1
2减小到
；在
上，余弦函数由
增大到
❑√3
2 ．
所以
从而
故
在
上的值域为[−2,❑√3)．
（3）令
当
时，
在该区间内，函数
的图象如下．
将区间依次分成
在这四个区间上，
依次单调递减、单调递增、单调递减、单调递增，端点函数值依次为
因此，方程
的根数为：
当
时，有4 个不同的根；
当
时，有3 个不同的根；
当
时，有2 个不同的根；
当
时，有2 个不同的根；当
时，有1 个根．
函数
的零点满足
令
，则
满足
要使
在给定区间上恰有7 个零点，上述方程必须有两个不同的实根，其中一个根对应4 个
，另一个根对应
3 个
．
因此，可设其中一个根为 r，且
由两根之积为1，另一个根为
．
因为
，所以
它恰好落在
内，对应3 个
．
反之，任取
，两个根r与
分别对应4 个和3 个
，共得到7 个零点．
由两根之和为
，得
对勾函数
在(−2,−1)上单调递增，
时
，x =−1时
，
故
的取值范围为
18．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，乘客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯视四周景
色（如图1）．已知某摩天轮转盘的最低点距离地面的高度为2 米，转盘半径为30 米，逆时针均匀设置了依次标
号为1~12 号的12 个座舱，开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，转一周需要24 分钟．现从1 号座舱位于圆周
最右端时开始计时（如图2），旋转时间为t 分钟．
(1)设1 号座舱与地面的距离h（单位：米）与时间t 的函数关系为
，求
的解析式；
(2)当
时，求1 号座舱与地面的距离为17 米时t 的值；
(3)甲、乙两名乘客分别乘坐在1 号和5 号座舱里，在乘坐摩天轮的过程中，甲、乙两人距离地面的高度差的绝对
值为H（单位：米）．当
时，求H 的最大值．
【答案】(1)
；
(2)
或
；
(3)
米.
【分析】（1）根据给定信息，设出
的解析式，再利用待定系数法求解.
（2）由（1）及
求出t值.
（3）求出H的表达式，并利用和差角的正弦化简，再利用正弦函数性质求出最大值.
【详解】（1）依题意，设
，
由
，得
，由
，
，得
，而
，
则
，由转一周需要24 分钟，得
，解得
，
所以
.
（2）由
，得
，当
时，
，
解得
或
，即
或
，
所以
或
.
（3）依题意，5 号座舱在1 号座舱前，相隔
，
则甲、乙两人距离地面的高度分别为
，
因此
，
当
时，
，则当
，即
时，
，
所以H 的最大值为
米.
19．已知函数f (x)=2sin(ωx +φ−π
6 )（ω>0，0<φ<π）为奇函数，且f (x)的周期为
．
(1)求f (x)的解析式；
(2)将函数f (x)的图象向右平移
个单位长度，再把横坐标缩小为原来的1
2（纵坐标不变），得到函数y = g(x)的图
象．当x∈[−π
12 ,π
6 )时，求函数g(x)的值域；
(3)对于第（2）问中的函数g(x)，记方程g(x)= 4
3 在x∈[
π
6 ,π)上的根从小到大依次为：x1, x2, x3,⋯, xn．试
确定
的值，并求x1+2 x2+2 x3+⋯+2 xn−1+ xn的值．
【答案】(1)f (x)=2sin 2 x
(2)[−2,❑√3)
(3)
，7π
3
【分析】（1）利用正弦函数的周期、奇偶性求得参数的值，从而得到函数f (x)的解析式；
（2）利用三角函数的图象变换规律，求得函数g(x)的解析式，进而求得函数g(x)的值域；
（3）根据方程并结合正弦函数图象得到方程根的个数，再结合三角函数图象的对称性分组求和即可．
【详解】（1）因为函数f (x)周期T =π，且ω>0，所以2π
ω =π，解得ω=2，
又由函数f (x)为奇函数，可得f (0)=2sin(φ−π
6 )=0，所以φ−π
6
=k π,k ∈Z，
又0<φ<π，所以φ=π
6
，所以函数f (x)=2sin 2 x.
（2）将函数
的图象向右平移
个单位长度，可得y =2sin(2 x−π
3 )的图象，
再把横坐标缩小为原来的1
2，得到函数y = g( x)=2sin(4 x−π
3 )的图象，
当x∈[−π
12 ,π
6 )时，4 x−π
3 ∈[−2π
3
,π
3 )，
当4 x−π
3
=−π
2
，即x =−π
24 时，函数
取得最小值，最小值为
，
当4 x−π
3
=π
3
，即x =π
6 时，函数
取得最大值，最大值为
，
故函数
在区间[−π
12 ,π
6 )上的值域为[−2,❑√3)．
（3）由方程g( x)= 4
3 ，即2sin(4 x−π
3 )= 4
3 ，得sin(4 x−π
3 )= 2
3，
因为x∈[
π
6
,π)，所以4 x−π
3 ∈[
π
3 ,11π
3
)，
设θ = 4 x−π
3
，则θ∈[
π
3 ,11π
3
)，sinθ = 2
3，作出正弦函数y =sinθ的图象如图所示，
由图可知方程sinθ = 2
3在区间[
π
3 ,11π
3
)上有3 个根，所以
，
其中θ1+θ2=2× 3 π
2 =3 π，θ2+θ3=2× 5 π
2 =5 π，
即4 x1−π
3
+ 4 x2−π
3
=3π，4 x2−π
3
+ 4 x3−π
3
=5π，
解得：x1+ x2=11π
12
，x2+ x3=17π
12
，
所以x1+2 x2+ x3=(x1+ x2)+(x2+ x3)=11π
12
+17π
12
= 7π
3 ．
