专题 圆锥曲线二级结论
近三年：
1、圆锥曲线的二级结论是近3 年高考命题中解决小题（选择题、填空题）的利器，以其为核心命制的题
目出现频率高，主要用来提升解题速度、降低计算复杂度，难度覆盖中档及以上。 合理应用二级结论，
能将复杂的代数运算转化为直接的几何关系或公式代入，实现“秒杀”。
2、从近几年高考命题来看，二级结论很少在解答题中作为直接的得分点，但其思想和方法常渗透其中。
命题常通过以下形式考查焦点弦、焦半径、焦点三角形周长、顶角、面积的最值问题，中点弦与第三定
义、焦点三角形的内切圆问题，阿基米德三角形等。
预测2026 年：
圆锥曲线二级结论的应用将继续作为高考小题的重要考查方式。命题将更加注重结论的隐蔽性和应用的灵
活性。其考查可能更加侧重于：
1.结论的识别与转化： 题目条件不会直接套用结论的标准形式，而是需要学生通过观察和分析，识别出题
目背后的二级结论模型。
2.多个结论的交汇： 在同一题目中，可能同时涉及多个二级结论，如焦点弦长与中点弦斜率的结合，切线
性质与焦半径范围的结合等。
3.创新情境下的应用： 在相对新颖的背景下，考查学生能否灵活运用二级结论的推导思想（如点差法、设
而不求）来解决问题，而非死记硬背结论本身。
4.与函数方程思想的结合： 利用二级结论建立等量关系后，进一步求范围、最值，渗透函数与方程思想。
复习中必须在理解其推导过程的基础上进行记忆和应用，切忌只记结论而不明其理，方能做到举一反三，
稳操胜券。
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题型01 焦半径、焦点弦
解｜题｜策｜略
1、椭圆焦半径
设
为椭圆上的一点，F为椭圆的一个焦点，∠PFO =θ
焦半径坐标式
①焦点在
轴：焦半径
(左加右减)；
② 焦点在
轴：焦半径
(上加下减)．
焦半径角度公式：|PF|=
b
2
a-c cosθ
2、双曲线焦半径
设
为双曲线上的一点，F为双曲线的一个焦点，∠PFO=θ
①焦点在
轴：
在左支
，
在右支
；
②焦点在
轴：
在下支
，
在上支
．
焦半径角度公式：|PF|=
b
2
c cosθ±a（P 与F 位于同侧取正，位于异侧取负）
3、抛物线焦半径
设
为抛物线上的一点，F为抛物线的焦点，∠PFO =θ
①焦点在
轴：焦半径PF = x0 + p
2
② 焦点在
轴：焦半径PF = y0+ p
2
焦半径角度公式|PF|=
p
1+cosθ
1．（2025·河北秦皇岛·三模）已知椭圆
，过
的右焦点的直线交
于
，
两点，
若存在直线使得
，则
的离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求椭圆中的弦长
【分析】根据给定条件，求出过
的右焦点的最短弦长，再建立不等式求出离心率的范围.
【详解】设
的右焦点坐标为
，长轴是过
的右焦点的最长弦，
当直线不垂直于
轴时，设直线的方程为
，
由
消去
得
，设
，
，则
，当且仅当
时取等号，
依题意，
，解得
，则
的离心率
.
故选：D
2．（2025·全国·模拟预测）已知
为双曲线
的右焦点，
是双曲线
上两点
且满足
，
，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】利用
，可以确定A、B 两点的大概位置，再结合双曲线的性质，求出
和
的
三边长，利用余弦定理以及a、b、c 本身的关系可以求解出a、b 的比值关系，从而求出离心率大小．
【详解】设双曲线左焦点为
，连接
，因为
，
，所以
三点共线，A、B
分别在双曲线两支上，且
，
，根据双曲线的定义可知
，
，
，在
和
中，由余弦定理可得，
，
又
，整理化简可得
，所以
，
故选：D．
3．（多选）（2025·辽宁沈阳·一模）已知
分别是椭圆
的左、右焦点．点
为短轴的一
个端点，点
是
上的任意一点，则下列结论成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【知识点】椭圆定义及辨析、数量积的坐标表示、椭圆上点到焦点的距离及最值、椭圆中焦点三角形的其
他问题
【分析】利用椭圆的定义及函数给定区间上的值域求法，可对A,C,D 进行判断，利用数量积的坐标表示及
二次函数值域求解可判断B 选项.
【详解】解：由椭圆
，得
，
，
，且
，
，
即
.
A 选项：
,当
时，取得最大值；当
或
时，取得最小值1.所以
.所以A 选项正确.
B 选项:设
为椭圆上一点.由题知
.
则
,
因为
,所以
,即
.所以B 选项错误.
C 选项：因为
为短轴的一个端点，所以
或
.由椭圆的对称性，不妨设
.
设
，则
.
因为
，所以，当
时，
取得最大值
，当
时，取得最小值0，所以
.所以C 选项错误.
D 选项：设
，又
，所以
，
.
又
.
又
.
所以
成立，故D 正确.
方法二：因为
,所以
,所以
.
因为即
，所以
,即
.
所以
.所以D 选项正确.
故选：AD.
4．(多选)（2025·山东青岛·三模）已知椭圆
的上顶点为
，左、右焦点分别为
，
，
为正三角形，过
的直线与
交于
，
两点，则（ ）
A．椭圆
的离心率为
B．
的最大值为3
C．
的取值范围是
D．当倾斜角为
时，
的周长为8
【答案】ACD
【知识点】数量积的坐标表示、求直线与椭圆的交点坐标、求含cosx 的二次式的最值、求椭圆的离心率或
离心率的取值范围
【分析】根据题意，
，可求其离心率判断A，并可得椭圆
；根据椭圆定义和基本不等
式判断B；设
，利用向量数量积的坐标运算得
，再根据椭圆上点
的范围可判
断C；当倾斜角为
时，直线垂直平分
，结合椭圆定义求
的周长，判断D.
【详解】对于A，根据题意，
，所以椭圆
的离心率
，
又
，
，
所以椭圆
，故A 正确；
根据椭圆定义，可知
，
所以
，当且仅当
时取等号，
所以
的最大值为4，故B 错误；
设
，又
，
所以
，
则
，
因为
，所以
的取值范围是
，C 正确；
当倾斜角为
时，直线垂直平分
，
所以
的周长为：
，
故D 正确.
故选：ACD
5．(多选)（2025·河北·模拟预测）已知点
是抛物线
上的一点，过C 的焦点F 的
两条互相垂直的直线，
分别与C 交于点A，B 和点D，E，其中点A，D 均在x 轴的上方，过点P 分别作
，
的垂线，垂足分别为M，N，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若
，则直线的倾斜角为
C．
为定值
D．四边形
的周长的最大值为
【答案】ACD
【分析】对于A 将点
代入抛物线方程解得
即可判断，对于B 设直线的方程为
，结合
抛物线方程和
即可求出线的倾斜角，进而判断B，对于C 利用韦达定理和弦长公式即可求
，进而判断，对于D 由
，利用均值不等式即可求解，进而判断.
【详解】由题意有
，所以
，所以
，
所以
，故A 正确；
对于B：设直线的方程为
，所以
，
设
，则
，由
得
，
所以
，即
，设直线的倾斜角
，则
,故B 错误；
对于C：由
，由直线
与直线垂直，
则可设直线
的方程为
，则有
，
所以
，故C 正确；
对于D：由
，所以
，
即
，当且仅当
时，等号成立，
又
得
，
所以四边形
的周长的最大值为
，故D 正确.
故选：ACD.
题型02 焦点三角形面积
解｜题｜策｜略
1、椭圆面积
椭圆
x2
a2 + y2
b2 =1(a>b>0)
焦点为F1，F2，
P
为椭圆上的点，∠F1PF 2=θ，则
SΔF1PF 2=b
2¿sinθ
1+cosθ=b
2tan θ
2 ，|P F1||P F2|=
2b
2
1+cosθ
2、双曲线的面积
双曲线
x2
a2−y2
b2 =1(a>0 ，b>0)
的焦点为F1、F2，
P
为双曲线上的点，
∠F1 P F2=θ
，则
S△F1 P F2=b
2⋅
sinθ
1-cosθ =
b
2
tan θ
2
，|P F1||P F2|=
2b
2
1-cosθ
1．（多选）（2025·浙江·一模）已知
是椭圆
的焦点三角形，椭圆
在点
处的切线
与直线
所成角的大小是
，则（ ）
A．
的周长为
B．
的面积为
C．若
是上的动点，则
D．若
是上的动点，则
【答案】AD
【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正切、椭圆中焦点三角形的周长问题、基本不等式求和的
最小值、椭圆中焦点三角形的面积问题
【分析】应用椭圆定义得出周长判断A，应用焦点三角形计算求解判断B，应用两角差正切公式结合不等
式判断C，应用点到直线距离计算判断D.
【详解】
的周长为
，A 正确；
根据椭圆的光学性质，与直线
所成角的大小也是
，从而
，则
的面积为
，B 错误；
设
在第一象限，则
，由
得
，于是
，得
，
设
，当
时，
，则
，当且仅当
时取最大角
，C 错误；
由C 选项，根据点到直线的距离公式
，D 正确.
故选：AD.
2．（多选）（2025·福建泉州·模拟预测）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，短
轴长为
，离心率为
，
是椭圆
上异于长轴端点
的一动点，点
与点
关于原点对称，则
（ ）
A．
的面积最大值为
B．
的最小值为
C．若以
为直径的圆经过
两点，则
点的轨迹方程为
D．椭圆
上存在点
，使得
【答案】BCD
【知识点】求平面轨迹方程、基本不等式求和的最小值、根据a、b、c 求椭圆标准方程
【分析】A 列关系式，求椭圆方程，当点
位于短轴顶点时，
的面积最大；B 证明四边形
为
平行四边形，再结合基本不等式可求；C 设过点
的圆的一般方程，将
三点坐标代入求出圆方
程，利用
关于圆心对称，求出
点坐标，再利用消参思想求出轨迹方程；D 当点
位于短轴顶点时符
合题意.
【详解】由题意可知，
，
，
，解得
，
则
，
，
,
当点
位于短轴顶点时，
的面积最大，最大值为
，故A 错误；
因点
与点
关于原点对称，则四边形
为平行四边形，则
，
因
，则
,
等号成立时
，故B 正确；
设过点
的圆的方程为
，
设
，且
，
，
，
则
，
，
，
得
，
，
则过点
的圆的方程为
，圆心
，
因
为圆
的直径，则
关于点
对称，则
，
令
，则
，
因
，则
，
因
，则
点的轨迹方程为
，C 正确；
当点
位于短轴顶点时，此时
为等边三角形，
，故D 正确.
故选：BCD
3．（多选）（2025·广西柳州·一模）已知
，
分别是椭圆
的左、右焦点，P 为椭圆C 上异
于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．
的周长为6
B．
的最小值为1
C．
面积的最大值为
D．椭圆C 的离心率为
【答案】ACD
【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、求椭圆中的最值问题、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、
椭圆中三角形（四边形）的面积
【分析】根据椭圆的定义与性质对选项进行分析，从而确定各选项的正确性.
【详解】如图：
依题意，
，
所以
的周长为
，A 选项正确；
若
为椭圆上任意点，则
，即
，
当
为椭圆长轴顶点时取等号，但P 为椭圆C 上异于长轴端点的动点，所以等号不成立，B 选项错误；
当
为椭圆短轴顶点时，
的面积最大，为
，C 选项正确；
椭圆的离心率为
，D 选项正确.
故选：ACD
4．（多选）（2025·湖南长沙·二模）已知双曲线
的左右焦点分别为
、
，过
其右焦点
的直线与它的右支交于
、
两点，
与
轴相交于点
，
的内切圆与边
相切于点
，设
，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
；
B．记
，则
的面积
；
C．若
，过点
且斜率为
的直线与
有2 个交点，则
；
D．若
，则
的内切圆与
的内切圆的面积之和的最小值为
.
【答案】AD
【分析】根据双曲线的定义和基本性质可判断选项A；根据双曲线焦点三角形面积公式可判断选项B；对
于选项C，过某一定点的直线与双曲线有两个交点，则联立直线与双曲线方程，根据判别式
求出k 的
取值范围；对于选项D，将三角形内切圆面积问题转化为内切圆的半径问题，再结合图形分析三角形内切
圆半径与双曲线中线段之间的关系，从而得出两内切圆面积之和的最小值.
【详解】因为
的内切圆与边
相切于点
，如图，
，
为另外两个切点，
由切线长定理可知
，
，
，因为
在
轴上，所以
，
所以
，
，
，
，
双曲线
的方程为：
，
若
，则
，所以
，故A 正确；
对于B，因为
的面积
，故B 错误；
对于C，若
，则
，
，
，双曲线的方程为
，
直线的方程为
，联立
，消
得
，
则
，
解得
且
，故C 错误；
对于D，若
，则
，
，
，双曲线的方程为
，
如图，设两内切圆圆心分别为
，
，半径分别为
，
，设
、
、
与圆
分别相切于点
，
，
，
由切线长定理得
，
而
，两式相加得
，所以
是双曲线的右顶点
，
轴，所以
的横坐标为
，
同理可求得
的横坐标为
，则
，
设直线
的倾斜角为
，则
，
在
，
中有
，
，
设
，所以
，
显然，当
，即
，即
取得最小值8，
记
的内切圆面积为
，
的内切圆面积为
，
故
的内切圆与
的内切圆的面积之和的最小值为
，故D 正确.
故选：BD.
5．（多选）（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知
是椭圆
上一点，
、
为其左、右焦点，
且
的面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．
点纵坐标为
B．
的周长为
C．
D．
的内切圆半径为
【答案】BCD
【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、由条件等式求正、余弦、椭圆中焦点三角形的面积问题
【分析】利用三角形的面积公式可判断A 选项；利用椭圆的定义可判断B 选项；设
，利用三角
形的面积公式、余弦定理、同角三角函数的基本关系可得出关于
、
的方程，解出
的值，可
判断C 选项；利用等面积法可判断D 选项.
【详解】对于A 选项，在椭圆
中，
，
，
，
，则
、
，
设点
，
，
，故选项A 错误；
对于B 选项，由椭圆的定义可知，
的周长为
，故选项B 正确；
对于C 选项，设
，
，可得
，
由余弦定理可得
，
所以
，
所以
，解得
，故选项C 正确，
对于D 选项，设
的内切圆半径为，
则
，
，故选项D 正确.
故选：BCD.
题型03 垂径定理与第三定义
解｜题｜策｜略
1、椭圆的垂径定理与第三定义
已知直线l与椭圆E: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)相交于A ，B两点，M 为AB 中点，O 为原点，且
k AB，kOM 存在，则有k AB⋅kOM =- b
2
a
2 =e
2-1
已知A，B 为椭圆E: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)长轴的端点（或短轴端点），P 是椭圆异于A，B 的点，则
k PA⋅k PB=- b
2
a
2 =e
2-1
2、双曲线的垂径定理与第三定义
已知直线l与双曲线E: x
2
a
2 - y
2
b
2 =1(a>0，b>0)相交于A ，B两点，M 为AB 中点，O 为原点，且
k AB，kOM 存在，则有k AB⋅kOM = b
2
a
2 =e
2-1
如图，已知A，B 为双曲线E: x
2
a
2 - y
2
b
2 =1(a>0，b>0)实轴的端点，P 是双曲线异于A，B 的点，则
k PA⋅k PB=- b
2
a
2 =e
2-1
另外，若A，B 为双曲线渐近线上两点，M 为AB 中点，若斜率都存在同样也有k AB⋅kOM = b
2
a
2 =e
2-1
1．（2025·山东枣庄·二模）已知椭圆
，直线
与
交于
，
两点，
过点
作与垂直的直线交
于另一点
，记直线
的斜率为
，若
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围
【分析】首先根据对称性设出
，
，
三点的坐标，并得到
与
的表达式，然后由
，
在椭圆上
得到
与
的关系，因为直线
与垂直，所以进一步转化为
与
的关系，最后利用题目中
与
的
比例以及离心率公式求解.
【详解】
设
，
，则
，
所以
，
.
又
，
，
所以
.
因为直线
与垂直，所以
，
，所以
，所以
.
又
，所以
，
的离心率
.
故选：
.
2．（2025·浙江金华·一模）若双曲线
不存在以点
为中点的弦，则该双曲线离
心率的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】先判断点
在双曲线外部或在双曲线上，得
，再结合过该中点的直线斜率
可得另一不等式，最后求解出
的范围，结合离心率等式即可求解．
【详解】由题意得点
在双曲线外部或在双曲线上，则
，得
，
假设存在以
为中点的弦，设弦与双曲线交于点
，
，
则
，
，
由点
，
在双曲线上，得
，
两式作差得
，
所以
，
因为不存在该中点弦，所以直线AB 与双曲线至多一个交点，
则
，也即
，
所以
，则
．
故选：C．
3．（2025·辽宁·模拟预测）已知椭圆
的焦距为
，
，
，
是
上三个不同的点，
，
关于坐标原点
对称，且直线
与直线
的斜率之积为
（是
的离心率），则
的方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据离心率求椭圆的标准方程
【分析】利用点差法即可得到则
，结合斜率关系，最后利用离心率公式即可.
【详解】设
，
，则
，
，所以
，
，
两式相减得
，则
．
由
，得
，
因为
，所以
4，则
，所以
的方程为
．
故选：B．
4．（2025·湖北襄阳·模拟预测）如图，斜率为
的直线与椭圆
交于
，
两点，与
轴、
轴分别交于点
，
，若
，则椭圆
的焦距为 .
【答案】
【知识点】求椭圆的焦点、焦距、椭圆中的定值问题、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数
【分析】设
，得到
，再根据点差法解决中点弦问题，可求出焦距.
【详解】设
，又因为
，
所以
，则
，则
，
由
，两式相减得
，
即
，因为
，所以
，所以
，
，所以
，解得
，
所以
，所以椭圆
的焦距为
.
故答案为：
.
5．（多选）（2025·湖北·三模）已知点
是椭圆
的右焦点，点A，B 分别是椭
圆的左、右顶点，过点F 的直线l 与椭圆交于P，Q 两点，点P 在第一象限，用
，
，
分别表示直
线
，
，
的斜率，
，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
面积的最大值为
【答案】BCD
【知识点】根据a、b、c 求椭圆标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据韦达定理求参数
【分析】对于A，联立
，与椭圆方程，由韦达定理
，
，
，从而可以用离心率表示
，进一步结合
可求出
，
，
，以及
面积的最大值．
【详解】
设
，
，设
，
联立直线与椭圆方程得
，
，
，
，
，
，
，同理
，
又
，
，
故
，又
,故
，
．
于是
，
又
，所以
，
当
在短轴端点时，
面积的最大值为
．
故选：BCD.
题型04 椭圆与双曲线共焦点
解｜题｜策｜略
椭圆与双曲线有相同的焦点F1, F2，P是它们的一个公共点，设∠F1 P F2=θ，椭圆的a1,b1,c ,e1，双
曲线的a2,b2c ,e2
1、由△F1 P F2是椭圆与双曲线的焦点三角形，那么我们可以根据面积公式分别有
S△F1 P F2=b1
2tan θ
2 =
b2
2
tan θ
2
，可以对式子稍作整理有
sin
2 θ
2
e1
2
+
cos
2 θ
2
e2
2
=1
2、根据e1
2= c
2
a1
2 =
c
2
b1
2+c
2 , e2
2= c
2
a2
2 =
c
2
b2
2+c
2，整理有b2
2
e1
2 + b1
2
e2
2 =b1
2+b2
2
1．（2025·浙江嘉兴·一模）已知椭圆
和双曲线
有相同的焦点
是它们的一个公共点，且
，若
的离心率为
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】余弦定理解三角形、椭圆定义及辨析、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线定义的
理解
【分析】根据椭圆和双曲线的定义，结合余弦定理列式，再结合离心率的计算公式，可求双曲线的离心率.
【详解】如图：
设椭圆
：
，双曲线
：
.
因为它们有相同的焦点，所以
.
不妨设
点在第一象限，且
，
，
因为
点在椭圆
上，
所以
.
又
，
所以
.
又
在双曲线
上，
所以
.
所以
.
所以双曲线
的离心率为：
.
故选：A
2．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知椭圆Z 和双曲线S 的对称中心均为坐标原点，且有公共焦点，左、右
焦点分别为
，
，Z 与S 在第一象限有交点A，若
，则S 与Z 的离心率之差的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】椭圆定义及辨析、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求椭圆的离心率或离心率的取值范
围、双曲线定义的理解
【分析】不妨设椭圆：
，双曲线：
，由椭圆的定义、双曲线的定义可得
，
，再由
，可得
，设
，利用函数的
单调性可得答案.
【详解】不妨设椭圆：
，双曲线：
，
与的离心率分别为
，
，
由椭圆的定义，有：
，由
，故
，
由双曲线的定义，有：
，故
，
因此
，两边同时除以，有
，故
，
由于
，故
，
所以
，
不妨令
，
，
所以原式等于
，在
时，单调递减，故
.
故选：D.
3．（多选）（2025·湖北·模拟预测）已知椭圆
：
与双曲线
：
有公共的焦点
，
，
.若
为
，
在第一象限的一个公共点，
和
的离心率分别为
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．当
时，
的取值范围是
【答案】ABD
【知识点】椭圆定义及辨析、双曲线定义的理解、三角恒等变换的化简问题、平面向量数量积的定义及辨
析
【分析】对于
，由椭圆与双曲线的定义可将
与
用
和
表示，即可得出答案；
对于
，由
得
，
，再在
中用一次余弦定理即可得到答案；
对于
，由
得
，又
，
，代入可得答案；
对于
，因为
，所以
，化简可得
，再利用三角恒等变换中的平方关系
进行转化即可.
【详解】由
，
，得
，
.
所以
，则
正确.；
因为
，其中
，
，
所以
，则
正确；
对于
，将
，
，
，代入，可得
，则
错误；
对于
，因为
，所以
，即
，
化简得
，即
，即
.
令
，
，则
，其中
，
，取
.
因为
，
，所以
，
，
所以
，
，故
.
因为
，其中
，
，
所以
在
上单调递增，故
，则
正确.
故选：
.
4．（多选）（2025·贵州遵义·模拟预测）椭圆
的左右焦点分别为
，
，点
在
上，双曲
线
与椭圆
有相同的焦点，则下列选项正确的是（ ）
A．存在点
，使得
B．若
，则
C．若
是等腰三角形，则满足条件的
点有4 个
D．若
是椭圆
与双曲线
的交点，且
在第二象限，
交
轴于
点，
平分
，则双
曲线的离心率为
【答案】ABD
【知识点】根据椭圆的有界性求范围或最值、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形
的其他问题
【分析】根据
的范围判断A，利用余弦定理判断B，根据对称性判断C，记双曲线
的实半轴长为
，
设
，结合余弦定理、锐角三角函数的定义与角平分线的性质定理，用两种方式表达
，从
而建立关于
的方程，求出
，即可判断D.
【详解】对于A：椭圆
的左右焦点分别为
，
，
点
在
上，所以
，故A 正确；
对于B：因为
，
在
中由余弦定理
，
即
，即
，所以
，故B 正确；
对于C：若
是等腰三角形，若
或
，由对称性可知满足条件的
点有
个；
若
，又
，则
，此时点
在椭圆的短轴的顶点处，即满足条件
的
点有
个；
综上可得，满足条件的
点有
个，故C 错误；
对于D：记双曲线
的实半轴长为
，
在第二象限，
所以
，
，
设
，因为
交
轴于点
，且
平分
，
所以
，
在
中，由余弦定理可知，
，
设
，则
，
由角平分线定理可知，
，即
，解得
，
在
中，
，
所以
，因为
，解得
，
因此，双曲线
的离心率
，故D 正确.
故选：ABD
5．（2025·广西·二模）已知椭圆与双曲线有公共焦点，
分别为其左､右焦点，点
为它们在第一象
限的交点，满足
，椭圆与双曲线的离心率分别为
，则
的取值范围是
.
【答案】
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求椭圆的离心率或离心率的取值范围
【分析】设椭圆的长轴长为
，双曲线的实轴长为
，应用正弦定理有
得
，再由椭圆和双曲线定义及离心率公式有
，结合对勾函数的单调性求
的范围，即可得.
【详解】设椭圆的长轴长为
，双曲线的实轴长为
，
由正弦定理得
.
，
，故
，
，
，
，
，
，即
，
，
由函数
性质知
在
上单调递增，
，即
.
故答案为：
题型05 焦点三角形的内切圆与外接圆
解｜题｜策｜略
1、椭圆的焦点三角形内切圆
点P( x0, y0)为椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)上异于左右顶点的点，F1, F2为椭圆的左右焦点,设
∠F1 P F2＝θ, 重心G(xG, yG),内心I (xI , y I)
结论一、 e =IM
IP
结论二、 有 xI =e x0 , yI = e y0
1+e ，则I 的轨迹为椭圆E: x
2
c
2 + (a+c)
2 y
2
b
2c
2
=1(x≠±c , y ≠0)
2、双曲线的焦点三角形内切圆
结论一、双曲线焦点三角形的内切圆圆心横坐标恒为a
1．（2025·辽宁·模拟预测）已知椭圆
：
的左、右焦点分别为
，
，P 是
上异于顶点的一
个动点，记
的内切圆圆心为M，则点P 与点M 的横坐标之比为（ ）
A．
B．2
C．
D．3
【答案】B
【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆中焦点三角形的其他问题、椭圆上点到焦点的距离及最值
【分析】设出点
，
，利用椭圆的定义及圆
与
相切得出线段之间的关系即可求解.
【详解】
由题知
，
，
设
，
，
与圆
分别切于点D，E，H，
，
，
则
，
又
，
因为
，则
，
所以
，
由切线性质可知
，
，
，
所以
，
所以
，
又点H 与点M 的横坐标相同，所以点P 与点M 的横坐标之比为
.
故选：B.
2．（2025·湖北·模拟预测）设椭圆
的焦点为
是椭圆上的一点，且
，
若
的外接圆和内切圆的半径分别为
，当
时，椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、正弦定理求外接圆半径、椭圆中焦点三角形的面积问题
【分析】先表示出
的外接圆与内切圆半径，根据
构造齐次式，求椭圆的离心率.
【详解】如图：
的外接圆半径：
.
设
，
，所以
.
所以
.
又
，所以
.
由
得
.
又
，所以
，
又
，所以
.
故选：B
3．（2025·浙江绍兴·三模）已知点
，
分别为双曲线
的左右焦点，过双曲线C 上一点
作
的平分线交x 轴于点B，记
的面积分别为
，内切圆半径分别为
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先求出
，再由角平分线定理可求出
，进而求出
的各边长，即
可求出
，再由等面积法求出
，
，即可求出
.
【详解】由双曲线
可知：
，
所以
，
，
令
，则
，解得：
，不妨设
，
所以
，
因为
为
的角平分线，所以由角平分线定理可得：
，
所以
，又因为
，所以
，
，
所以
，所以
，
因为
，所以
的高为
，
所以
，
又因为
，
解得：
，同理
，
所以
.
故选：D.
4．（多选）（2025·湖南长沙·一模）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，左、右顶点
分别为
，过
的直线与双曲线的右支交于
两点(
在第一象限)，
中点为
，
的内切圆圆心分别为
，半径分别为
，则下列结论正确的是（ ）
A．
三点共线
B．直线斜率存在时，
C．若
，则直线的斜率为
D．
的取值范围是
【答案】ABD
【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题
【分析】设点
，在A 项中，由双曲线的焦点三角形的内切圆一定切于顶点
（右焦点就对应右顶点），通过列式判断．由斜率公式及点差法可以判断B，设直线的倾斜角为
，得到
，
，进而可判断CD.
【详解】依题意，得
得
，则
.
设点
，
对于A 项，如图，设
的内切圆的切点为
，
由双曲线的定义得，
，而
，
得
，而
，
，
得
，又因为
得切点T 与点B 重合，得点
，则内心
的横坐标为1，
同理可得，内心
的横坐标也为1，得
三点共线，故A 项正确.
对于B 项，由
相减得，
得
，即
，故B 项正确；
对于C 项，设直线的倾斜角为
，连接
，
则
，
若
，则
，
，故C 项错误；
对于D 项，由题可知双曲线的渐近线为：
，倾斜角分别为
，
因为直线与双曲线的右支交于
两点，
所以
，
令
，则
，则
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
，
故
，故D 项正确.
故选：ABD
5．（多选）（2025·广东佛山·模拟预测）已知双曲线
的左右焦点为
，点
为双曲线
右支上一点，存在点
使得
为等腰直角三角形，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线
的离心率为
B．
的内心与外心可能重合
C．当
的外接圆的面积取到最小值时，
的面积为
D．设点
是
的内心，则直线
的斜率之比为常数
【答案】ACD
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线中的动点在定直线上问题、求双曲线中三角形
（四边形）的面积问题、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题
【分析】由题意得
的齐次方程，从而求得离心率，判断选项A；由
不可能为等边三角形，判断
选项B；分析可得当
，
的外接圆的面积取到最小值，据此求得
的面积，判断选项
C；求出内心所在的直线，求得斜率之比为定值，可判断选项D.
【详解】因为点
为双曲线
右支上一点，所以
，且
.
若
为等腰直角三角形，则
.
由
，得
，即
.
对于A，因为离心率
，所以
，所以选项A 正确；
对于B，因为
，所以
不可能为等边三角形，所以
的内心与外心不可能重合，所以
选项B 不正确；
对于C，设
的外接圆的半径为R，则
，即
.
当
，即
时，半径R 取得最小值c，
的外接圆的面积取到最小值
.
此时，
，所以
的面积为
.所以选项C 正确；
对于D，设点
是
的内心，过点
分别作
的垂线，垂足为
，
则
，所以
.
所以点
是双曲线的右顶点，点
在直线
上.
设
，则直线
的斜率之比为
，为常数.所以选项D 正确.
故选：ACD.
题型06 双曲线的渐近线
解｜题｜策｜略
双曲线渐近线的一些性质：
1、双曲线的焦点到渐近线的距离为b.
2、以两焦点F1 F2为直径的圆与双曲线的渐近线相交，第一象限的交点坐标(a,b).
3、过双曲线上点P作两渐近线的平行线PA，PB，它们和渐近线围成的平行四边形的面积为
定值ab
2
4、过双曲线上点P作两渐近线的垂线PA，PB，则有|PA||PB|= a
2b
2
a
2+b
2，⃗
PA ∙⃗PB = a
2b
2(b
2-a
2)
(a
2+b
2)
2
5、过双曲线上点P作双曲线的切线交两渐近线于A 、B两点，则△AOB为双曲线的渐近三角
形，则P 是AB 的中点，⃗O A ∙⃗OB =a
2-b
2且S△AOB=ab
1．（多选）（2025·全国二卷·高考真题）双曲线
的左、右焦点分别为
，左、
右顶点分别为
，以
为直径的圆与C 的一条渐近线交于M，N 两点，且
，则（ ）
A．
B．
C．C 的离心率为
D．当
时，四边形
的面积为
【答案】ACD
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、已知数量积求模、双曲线的对称性、用定义求向量的
数量积
【分析】由平行四边形的性质判断A；由
且
结合
在渐近线上可求
的坐标，从而
可判断B 的正误，或者利用三角函数定义和余弦定理也可判断；由中线向量结合B 的结果可得
，
计算后可判断C 的正误，或者利用
并结合离心率变形公式即可判断；结合BC 的结果求出
面积后可判断D 的正误.
【详解】不妨设渐近线为
，
在第一象限，
在第三象限，
对于A，由双曲线的对称性可得
为平行四边形，故
，
故A 正确；
对于B，方法一：因为
在以
为直径的圆上，故
且
，
设
，则
，故
，故
，
由A 得
，故
即
，故B 错误；
方法二：因为
，因为双曲线中，
，
则
，又因为以
为直径的圆与
的一条渐近线交于
、
，则
，
则若过点
往
轴作垂线，垂足为
，则
，则点
与
重合，则
轴，
则
，
方法三：在
利用余弦定理知，
，
即
，则
，
则
为直角三角形，且
，则
，故B 错误；
对于C，方法一：因为
，故
，
由B 可知
，
故
即
，
故离心率
，故C 正确；
方法二：因为
，则
，则
，故C 正确；
对于D，当
时，由C 可知
，故
，
故
，故四边形
为
，
故D 正确，
故选：ACD.
2．（2025·江西景德镇·模拟预测）双曲线
，过点
作
的两条渐近线的平行线，分别与
渐近线相交于A，B 两点，则平行四边形OAPB 的面积是（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】A
【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、求点到直线的距离、已知方程求双曲线的渐近线
【分析】先由双曲线的渐近线方程和点斜式得到
方程，再联立渐近线
解出点
坐标，然后由
两点间距离公式求出
，最后计算面积即可.
【详解】渐近线方程为
，
方程为
，与渐近线
联立，
得
，
；
点
到
的距离
所以平行四边形OAPB 的面积
.
故选：A.
3．（多选）（2025·河南许昌·模拟预测）已知点P 为双曲线
右支上一点，，
为
的两条渐近线，过点P 分别作
，
，垂足依次为
，且
，过点
作
交
于点
，过点P 作
交
于点
，
为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．
的离心率为
B．
C．
的面积为
D．
【答案】ABD
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线中的弦长、求
双曲线中三角形（四边形）的面积问题
【分析】对于选项A，根据渐近线方程和
可求出离心率；对于选项B，根据垂直关系可判断
是否为圆的直径和弦，进而判断长度大小；对于选项C，首先根据渐近线的斜率可判断出渐近线的
夹角，然后可以把
表示出来，最后利用三角形面积公式可求出三角形面积；对于选项D，根据余
弦定理和基本不等式的性质可求出
的范围.
【详解】设点
，所以
，
又
的渐近线方程为
，即
，
所以
，解得
，
所以
的离心率为
，故A 正确；
由题意可知
，
，则
四点共圆，
且
为该圆的一条直径，
为该圆的一条弦，故
，故B 正确；
因为
的两条渐近线的斜率分别为
、
，
所以
的两条渐近线的夹角为
，因为
，则
，
因为
，则
，同理
，
所以
，故C 错误；
，且
，由余弦定理可得：
，
当且仅当
时，等号成立，故D 正确.
故选：ABD.
4．（2025·云南·模拟预测）已知
是双曲线
右支上一点，过点
作
的渐近线
的垂线，垂足分别为点
，
，且点
，
分别在第一、第四象限.若
为坐标原点，四边形
的面积
为定值，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】A
【分析】先求出双曲线的渐近线方程，再利用点到直线的距离公式求出
的长，进而得到四边形
的面积表达式，根据面积为定值求出双曲线的离心率.
【详解】根据题意画出大致图像为：
双曲线的渐近线方程为：
，即
.
设
，根据点到直线的距离公式可得：
.
因为直线
垂直于渐近线
，
所以直线
的斜率分别为
.
所以直线
的方程为
.
联立直线
与渐近线
的方程可求出点
的坐标为：
，
进而
，
联立直线
与渐近线
的方程可求出点
的坐标为：
，
进而
，
所以四边形
的面积为：
，
因为点
在双曲线上，所以
，化简得
，
所以四边形
的面积为：
.
又因为四边形
的面积为定值，则
，
所以
，此时离心率为
.
故选：A.
5．（2025·甘肃白银·二模）已知双曲线
（
，
）的离心率为
，左、右焦点分别为
，
，过
，
分别作直线AD，BC 垂直于x 轴，分别交E 于A，D，B，C 四点，且四边形ABCD 的面
积为
．设点
为双曲线C 上任意一点，过点P 的直线
与双曲线C 的两条渐近线
分别交于M，N 两点，记O 为坐标原点，则
OMN 的面积为（ ）
A．2
B．
C．1
D．
【答案】D
【分析】由离心率结合四边形ABCD 的面积为
，可得
，将直线
与渐近线
方程联立可得M，N 两点坐标，由
可得直线l 与x 轴交点Q 的坐标，最后由
结合
为双曲线C 上任意一点得答案.
【详解】因
，则
.
将
代入双曲线方程，则
.
则
，则由对称性可得
，则
，
.
由题可得四边形ABCD 为矩形，则四边形ABCD 面积为
.
从而
.则
.
又可得双曲线渐近线方程为：
，将渐近线方程与直线l 方程联立，
可得
或
，
则
，
.
令
，可得直线l 与x 轴交点为
.
则
.
因
为双曲线C 上任意一点，则
.
则
.
故选：D
题型07 阿基米德三角形
解｜题｜策｜略
阿基米德三角形指圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形。
1、阿基米德焦点三角形性质（弦AB 过焦点F 时）
性质1：MF ⊥AB；MA ⊥MB；
性质2：MN // x轴；
性质3：S△ABM 最小值为p²
2、阿基米德三角形一般性质（弦AB 不经过焦点F 时）
性质1、阿基米德三角形底边上的中线PM 平行于抛物对称轴．
性质2、若阿基米德三角形的底边即弦AB 过定点抛物线内部的定点C (x0, y0)，则点P 的轨迹为直线
y0 y = p(x + x0),记A( x1, y1)，B( x2, y2)，C (x0, y0)，M 为弦AB 的中点，点C 为抛物线内部的定点
半代入得出切线PA，PB 的方程，再得出则x p= y1 y2
2 p , y p= y1+ y2
2
，则y0 y = p( x + x0)
性质3、若P 点轨迹为直线ax +by +c =0，且该直线与抛物线没有公共点，则定点C(
c
a ,- bp
a ).
设P 点坐标，半代入得出切点弦AB 的直线方程，进而得出定点C 的坐标
性质4、阿基米德三角形的面积的最大值为a
3
8 p.
性质5、∠PFA =∠PFB，PF ² = AF ×BF
1．（多选）（2025·山东聊城·一模）设动直线
与抛物线
相交于
，
两点，分别
过
，
作
的切线，设两切线相交于点
，则（ ）
A．直线经过一定点
B．抛物线
的焦点为
C．点
到坐标原点的距离不小于
D．
的面积的最小值为
【答案】ACD
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、抛物线中的三角形或四边形面积问题、求点到直线的
距离、根据抛物线方程求焦点或准线
【分析】根据直线的定点求法计算判断A，根据焦点坐标判断B，设l 的方程及A、B 坐标，利用导数求抛
物线切线斜率及切线方程，联立两直线可得P 坐标判定C，利用点到直线的距离公式、弦长公式结合幂函
数的性质、三角形面积公式可判定D.
【详解】对于A：
化简为
，
无论
为何值时，令
，可得定点为
，A 选项正确；
对于B：
的焦点在
轴且
，所以
，所以抛物线
的焦点为
，B 选项错误；
对于C：设
，与抛物线方程联立有
，
设
，
，有
，
，
由
，所以
的斜率分别为
，
又因为
,则两切线
，
，
联立两直线方程解得
，所以
，
点
到坐标原点的距离为
，
当
时点
到坐标原点的最小距离为
，所以C 正确；
对于D：P 到l 的距离为
，
所以
，
当
时
，此时
取最小值
，故D 正确；
故选：ACD．
【点睛】关键点点睛：解题的关键点时应用弦长公式和点到直线距离得出面积结合二次函数最值计算求解.
2．（多选）（2025·广东清远·一模）已知抛物线
，过点
的直线与
交于不同的两点
，分别以
为切点作
的切线，且两切线相交于点
，设
为坐标原点，则（ ）
A．
B．抛物线
的准线与以
为直径的圆相切
C．设
，则
D．点
位于定直线上
【答案】ACD
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、数量积的坐标表示、直线与抛物线交点相关问题
【分析】利用解析法结合方程组和韦达定理来进行计算即可判断各选项.
【详解】设过点
的直线方程为：
，与抛物线
联立方程组，
消
得：
，
由
可得：
，
又由
，
所以
，故A 正确；
设
的中点
，
则
，
即中点
到准线的距离为
，
假设抛物线
的准线与以
为直径的圆相切，则
，
这显然是不成立的，故
无解，所以抛物线
的准线与以
为直径的圆不相切，故B 错误；
由
，
所以有
，故C 正确；
由抛物线方程
或
，
求导得：
或
，
则抛物线
在点
的切线方程分别为：
和
，
两式消
得：
，
，
令
，则
所以
，
所以交点
在直线
上，故D 正确；
故选：ACD.
3．（多选）（2025·河北·模拟预测）已知抛物线
的焦点为F，C 是直线
上一点，过点C 作抛
物线的两条切线与抛物线分别切于点A，B，连接AF，BF，设直线AB 与x 轴交于点P，直线CF 与直线
AB 交于点D，（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点
相关问题、抛物线的焦半径公式
【分析】先设点进而得出切线方程计算求解判断A，与抛物线联立再结合抛物线定义判断B，应用角平分
线定理结合数量积公式计算判断C，应用角平分线定理结合点到直线距离公式计算判断D.
【详解】设
，
，
，
则在A，B 处的两条切线可写为
，
将
代入可得
，
所以
，
在直线
上，即直线AB 为
，
与x 轴的交点为
，即
，故A 正确；
对于B，设直线的方程为
，其中
，
与抛物线联立可得
，则
，
，
若
成立，即
成立，
由抛物线定义得
，
，
，
所以
，故B 正确；
对于C，若
成立，可知
为
的平分线，即证明
，
等价于证明
，即证明
，
即证明
，
又
，
，
，
代入化简可得
，
即
，
即
，故C 正确；
对于D，若
成立，则
为
的平分线，
所以点P 到直线AC 的距离等于点P 到直线BC 的距离，即
，
即只有当
时成立，故D 错误.
故选：ABC.
4．（多选）（2025·河北保定·三模）已知抛物线C
的焦点F 到准线的距离是4，经过F
的直线与C 交于
两点，分别记C 在点A，B 处的切线为
，
，则下列说法
正确的是（ ）
A．C 准线方程为
B．
C．
D．若
，则
【答案】BCD
【知识点】抛物线定义的理解、与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题、根据抛物
线方程求焦点或准线
【分析】根据已知条件得出抛物线方程为
，对选项进行逐一判断：准线方程为
，判断
选项A；设直线的方程为：
，联立抛物线，根据韦达定理得出
，联立抛物线方程得
出
；选项C：联立切线方程得出
的坐标为
，结合
得出
，
利用两点间距离公式表示
当
取最小值
；利用抛物线焦点弦长公式计算
.
【详解】抛物线
中，焦点到准线的距离为
，故抛物线方程为
，
焦点
，准线
.
选项A：准线方程为
，故A 错；
选项B：设直线的方程为：
，联立抛物线得：
则
，故B 对.
选项C：抛物线方程为
，设过
的切线斜率为
，则切线方程为：
，联立抛物线方程得：
，即
，
因为
为切点，方程有唯一解，
所以
，结合
，化简得
.
所以
同理，
.
联立抛物线在A、B 处切线方程：
，
故点
的坐标为
，由B 知，
，故点
.
所以
，
最小值在
时取得，此时
，故C 对.
选项D：根据抛物线焦点弦长公式：
，故D 对.
故选：BCD.
5．（多选）（2025·黑龙江·模拟预测）已知抛物线
的焦点为
，
上不同两点
，
，以
，
为切点的切线
，
相交于点
，
、
、
三点共线.下列说法正确的有
（ ）
A．
最小值为4
B．
的最小值为
C．使得
的直线有两条
D．
【答案】ACD
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、抛物线定义的理解、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、
直线与抛物线交点相关问题
【分析】设直线
，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式判断
A，利用导数的几何意义表示出切线方程，即可求出
点坐标，从而得到点
的轨迹方程，即可判断B，利
用导数求出
的最小值，即可判断C，根据抛物线的定义判断D.
【详解】由题意可设直线
，
与
联立得：
，
则
，所以
，
，
所以
，当且仅当
等号成立，所以
最小值为
，故A 正确；
由
，得
，所以在点
处的切线方程为
，整理得：
，
同理得在点
处的切线方程为
，
两条切线方程联立得
，解得
，即
，
由
，
，
三点共线得
(x1-2, y1-2)//(x2-2, y2-2)⇔(x1-2)( y2-2)-(x2-2)( y1-2)=0⇒x1 y2- x2 y1-2(x1+ y2)+2(x2+ y1)=0⇒x1 x
所以点
在直线
上，
所以
的最小值为
，故B 错误；
由题意可设直线
，与
联立得：
，
则
，
所以
，
令
，
则
，
令
，则
，
所以
在定义域
上单调递增，
又
，所以当
时
，则
在
上单调递减，
当
时
，则
在
上单调递增，
所以
在
时有最小值，此时
，
所以使得
的直线有两条，故C 正确；
对于D 选项，
的准线方程为
，过
向准线作垂线，垂足为
，
过
做准线
的垂线，垂足为
，
，
，所以
，
又
，
，同理
，所以
，
所以
，故D 正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：C 选项关键是利用导数求出
，D 选项关键是抛物线的定义的理解与应用.
题型08 蒙日圆
解｜题｜策｜略
蒙日圆是圆锥曲线的几何性质之一，其核心特征是：圆锥曲线外一点作两条互相垂直的切线，切线交点
的轨迹构成一个圆。以下是具体性质和结论：
1、椭圆的蒙日圆：x ² + y ² = a² + b²
2、双曲线的蒙日圆：x ² + y ² = a² - b²
1．（2025·青海西宁·二模）画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条
垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆，已知椭圆
的蒙日圆是
，若圆
与椭圆
的蒙日圆有
且仅有一个公共点，则
的值为（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
【答案】B
【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、根据方程表示椭圆求参数的范围
【分析】根据题意，得到蒙日圆方程为
，根据蒙日圆与圆
只有一个公共
点，结合圆与圆的位置关系，得到
或
，求得
的值，即可得到答案.
【详解】由椭圆的方程
，可得
且
，且蒙日圆方程为
，
可得蒙日圆的圆心为原点O，半径为
，
又由圆
的圆心为
，半径为2，
因为两圆只有一个公共点，则两圆外切或内切，
可得
或
，
又因为
，所以
或
，
解得
或
．
故选：B．
2．（2025·湖南·模拟预测）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆
的两条相互垂
直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为
.已知椭圆
的焦点在
轴上，
、
为椭圆
上任意两点，动点
在直线
上.若
恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识，则椭圆
离心率的取值范围为 .
【答案】
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、由直线与圆的位置关系求参数
【分析】分析可知，直线
与圆
相离，利用直线与圆的位置关系可求出
的取
值范围，再结合椭圆离心率公式可求得椭圆
的离心率.
【详解】由题意可知
，圆
即为椭圆
蒙日圆，
因为
、
为椭圆
上任意两点，动点
满足
恒为锐角，
则点
在圆
外，
又因为动点
在直线
上，则直线
与圆
相离，
所以，
，解得
，
则
，即
，
因此，椭圆
的离心率的取值范围是
.
故答案为：
.
3．（多选）（2025·江苏泰州·模拟预测）在平面直角坐标系
中，点
在椭圆
上，点A 和
点B 处的椭圆C 的切线相交于点P，延长
分别交圆
于
，
．设直线
的斜率分别为
．
到直线
的距离分别为
，则下列结论正确的有（ ）
A．点P 在圆O 上
B．
C．
D．
【答案】AD
【知识点】求点到直线的距离、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求椭圆的切线方程
【分析】本题需综合运用椭圆切线方程、向量垂直条件、点到直线距离公式及斜率关系等知识,解题步骤分
为验证点P 在圆上、计算距离乘积、分析斜率乘积及判断直线平行性.
【详解】对于A,由椭圆的蒙日圆性质，对于椭圆
，
从椭圆上任意两点引出的切线互相垂直时，两切线交点的轨迹是以原点为圆心，
半径为
的圆，所以在椭圆C：
中，
，
又
，即
，所以蒙日圆方程为
，
即圆O：
,所以点P 在圆O 上，所以A 选项正确；
对于B,设
，由椭圆的切点弦方程可知：直线
的方程为
，
用点到直线距离公式计算：
，将
代入化简：
所以B 选项错误；
对于C,设
,直线
的斜率
，直线
的方程为
，
所以直线
的斜率为
，则
，
所以C 选项错误；
对于D,如图：
设
与
交于点
，设
，
的中点N，
由点差法可知
，所以
，故
三点共线，
所以M 与N 重合，
易知
和
都是直角三角形，故
过圆心O，
由直角三角形的性质可知：
，
则
，所以
，所以
，
故选项D 正确.
故选:AD.
（建议用时：30 分钟）
1．（2025·全国·模拟预测）已知椭圆
的右焦点为F，过点F 且斜率为1 的直线l 交
C 于A，B 两点，若
，则C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据弦长求参数
【分析】设
，
，
，联立
与椭圆并应用韦达定理、弦长公式列方程得
，结合椭圆参数关系求离心率.
【详解】设
，
，
，则直线
，
联立方程
，消去y 得
，
则可得
，
，
，
则
，整理得
，
又
，则
，则
.
故选：B
2．（多选）（2025·四川德阳·三模）给定椭圆
上有一动点
（不在坐标轴上），
分别是椭圆的左右焦点，
的内切圆
与
分别切于
两点，则（ ）
A．若
，则椭圆的离心率为
B．动点
的轨迹是一个椭圆
C．直线
的斜率之积为常数
D．内切圆
的面积无最大值也无最小值
【答案】ACD
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中的定值问题、轨迹问题——椭圆、求椭圆中的最
值问题
【分析】若
是内切圆与
轴的切点，利用椭圆的定义及圆切线的性质得到
判断A；
若
，
，
且
，结合椭圆、角平分线、合比的性质得到
、
，
代入椭圆方程即可得动点
的轨迹，进而应用两点式求斜率判断B、C；由内切圆
的半径
判
断D.
【详解】若
是内切圆与
轴的切点，
，
，
，
，
又
，则
，即
，
所以离心率
，A 对；
若
为
延长线与
轴的交点，
，
且
，则
，故
，
由角平分线的性质可得
，则
，
所以
，则
，
又
，则
，故
，
所以
，故
，则
且
，
所以动点
的轨迹是一个不含
轴交点的椭圆曲线，不是完整椭圆轨迹，B 错；
由上分析，
，
，则
为定值，C 对；
由图，由于
不在坐标轴上，而内切圆
的半径在
靠近
轴时趋向于0，靠近
轴时趋向于
，
即内切圆
的半径
，故其面积不存在最值，D 对.
故选：ACD
3．（2025·广东广州·模拟预测）设椭圆
与双曲线
的离心率分别为
，双
曲线的渐近线的斜率小于
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】易得
，再由
，
，设
，可得
，两
边平方即可求解.
【详解】因为双曲线的渐近线的斜率小于
，
所以
，则
，
，
设
，则
所以
；由于
，
因为
，所以
，则
，则
，
因为
，所以
故选：B
4．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知
，从椭圆
外一点
向椭圆引两条切
线，切点分别为
，则直线
方程为
称为点
关于椭圆
的极线．如图，两个椭圆
、
的方程分别为
和
，离心率分别为
、
，
在
内，椭圆
上的任意一点
关于椭圆
的极线为
．若
到
的距离为定值1，则
取最大值时
的值为
．
【答案】
/
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围
【分析】利用设动点
，可得极线方程，即可求原点到极线的距离，通过距离为定值1，得到相等
关系，再通过动点在椭圆上，再得相等关系，由于这两个等式恒成立，则可得系数关系，最后转化到离心
率上求最值即可.
【详解】设椭圆
，
，则
．
设椭圆
，
，则
．
设
，
由题意可得
方程为：
，
因为原点到直线
的距离恒为1，所以
．
又因为
为椭圆
上的点，所以
，
所以
，
，
所以
，
设
，则
，
，
当
时，
取得最大值，此时
为
．
故答案为：
．
5．（多选）（2025·安徽·模拟预测）已知椭圆
的左、右两个焦点分别是
，
，
过点
的直线与
交于
两点，则（ ）
A．若
的中点在
轴上，则
B．
C．若
，则椭圆的离心率的取值范围是
D．若
的最小值为
，则椭圆的离心率为
【答案】ABD
【知识点】数量积的坐标表示、求椭圆的离心率或离心率的取值范围
【分析】由
与
轴垂直，可判断A，根据平面向量的数量积和椭圆的几何性质求出离心率的范围，可
判断BC；根据椭圆中过焦点的弦中通径最短求出离心率可知，D 正确．
【详解】对于A：设
的中点为
，坐标原点为
，由中位线易知
，
若
的中点在
轴上，则
与
轴垂直，所以
与
轴垂直，
即
为通径长的一半，所以
，A 正确；
对于B：设
，
，
，
，
，
，
又
，
所以
，
所以
，B 正确，
对于C，若
，
则
，
即
可得
，所以C 错误；
由过焦点的弦中垂直于
轴的弦最短，则
的最小值为
，
则有
，即
，解得
，
所以
，故D 正确．
故选：ABD
6．（2025·四川成都·模拟预测）已知为双曲线
（
，
）上的任意一点，过分别引其
渐近线的平行线，分别交
轴于点
，
，交
轴于点
，
，若
恒成立，
则双曲线离心率的取值范围为
【答案】
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】设点
，由双曲线的渐近线斜率为
，求出点与渐近线平行的直线方程，
解得点
坐标，进而得
，利用
恒成立即可求
解.
【详解】设点
，双曲线的渐近线斜率为
，
过点与一条渐近线平行的直线方程为
，
令
得
，令
得
，
同理过点与另一条渐近线平行的直线方程为
，
令
得
，令
得
，
所以
，
所以
，
，
由
恒成立，
所以
恒成立，所以
，即
，
所以
，
所以双曲线离心率的取值范围为
.
故答案为：
.
7．（多选）（2025·山东青岛·二模）双曲线
的左右焦点分别为
，左右顶点分别为
，
若
是右支上一点（与
点不重合），如图，过点
的直线与双曲线
的左支交于点
，与其两条渐近
线分别交于
两点，则下列结论中正确的是（ ）
A．存在
使得
B．P 到两条渐近线的距离之积为定值
C．当直线运动时，始终有
D．△
内切圆的圆心的横坐标为
【答案】BC
【分析】设
，计算直线
的斜率，比较斜率关系即可判断A；先确定渐近线，分别计算距离
求解即可判断B；设直线
，然后分别联立双曲线和渐近线方程计算交点，利用弦长公式确定
关系即可判断C；设内切圆与轴的切点为
，
与内切圆的切点分别为
，利用切线长
定理，再利用双曲线的定义，把
，转化为
，从而求得点
的横坐标即
可判断D.
【详解】双曲线
的
，所以
，
则双曲线渐近线方程为
，设
，则
，且
，
对于A，，则
，则
，而
，而
，所以
，则不存在
使得
，故A 不正确；
对于B，点
到两条渐近线的距离分别为
，
故
，则
到两条渐近线的距离之积为定值
，故B 正确；
对于C，设点
，
显然直线的斜率存在，设直线
，且
，
联立方程
，所以
，
所以
，
直线
分别与渐近线
与
联立得
，
，
得
，所以有
，即
，
由题可知
，所以
，故C 正确；
对于D，如图所示：
设内切圆与轴的切点为
，
与内切圆的切点分别为
，
由双曲线的定义可得
，由圆的切线长定理知
，
故
，即
，
设内切圆的圆心横坐标为，则点
的横坐标为，
故
，解得
，故D 错误.
故选：BC.
8．（多选）（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知
为坐标原点，椭圆
的长轴长为
4，离心率为
，过抛物线
的焦点
作直线交抛物线于
两点，连接
并分别延长交
椭圆
于
两点，则下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．若直线
的斜率分别为
，则
C．若抛物线
的准线与
轴交于点
，直线的倾斜角为
，则
D．
的最小值为
【答案】ACD
【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、直线与抛物线交点相关问题、与抛物线焦点弦有关的几何性质
【分析】先根据条件确定椭圆的标准方程，对A 选项，可结合抛物线的焦半径公式和过焦点的弦长公式判
定其真假；对B 选项，结合A 选项中焦点弦的有关结论，可判断B 的真假；对C 选项，结合两角和的正切
公式，可判断C 的真假；对D 选项，分别表示出
，
，结合换元法和函数的单调性，可判断D 的
真假.
【详解】如图：
对椭圆
：
，所以椭圆
：
；
对抛物线
：
，所以
，
.
设
，
.
对A 选项：设直线
方程为：
，代入抛物线
：
，得：
，整理：
.
所以
，
，
所以
，
.
因为
，所以
，
所以
.
所以
.故A 正确；
对B 选项：由A 选项解答可知：
，故B 错误；
对C 选项：直线的倾斜角为
，即
，所以直线
：
，即
.
此时
，
，
，所以
.
，
，
所以
,
故C 正确；
对D 选项：因为直线
：
，由
得：
，
，所以
，
同理
，且
，
.
因为
，
又
，
所以
设
，则
，
所以
，
.
因为
在
上单调递减，
所以
.
所以
.故D 正确.
故选：ACD
9．（多选）（2025·广西·模拟预测）已知以
为左右焦点的椭圆
的短轴长为
，点
是椭圆
上的一个动点，且点
到
的最大距离是点
到
的最小距离的3 倍，连接
，并
延长
与椭圆
相交于点
，其中说法正确的是（ ）
A．椭圆的方程为
B．三角形
的面积的最大值为
C．三角形
的周长为8
D．
【答案】AC
【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、根据a、b、c 求椭圆标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面
积、椭圆中的定值问题
【分析】根据条件求出
，可确定椭圆方程，判断A 的真假；结合椭圆焦点三角形面积最大值是短轴顶
点与两焦点所成的三角形的面积，可判断B 的真假；利用椭圆的定义，可判断C 的真假；利用特殊情况，
可判断D 的真假.
【详解】如图：
对于选项A，由于
，可得椭圆的方程为
，所以A 正确；
对于选项B，
，所以B 错误；
对于选项C，
的周长
，所以C 正确；
对于选项D，当直线
方程为
时，由通径的概念可得
，
所以
，所以
不能恒成立，故D 错误.
故选：AC
10．（多选）（2025·全国·模拟预测）已知
分别为双曲线
的左、右焦点，
的一条渐近线的方程为
，且
到的距离为
，点
为
在第一象限上的点，点
的坐
标为
，
为
的平分线．则下列正确的是（ ）
A．双曲线的方程为
B．
C．
D．点
到
轴的距离为
【答案】BD
【知识点】余弦定理解三角形、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、根据a、b、c 求双曲线的标准方
程
【分析】利用点到直线的距离公式结合题意建立方程，求解基本量，进而得到双曲线方程判断A，作出符
合题意的图形，利用角平分线定理判断B，结合题意与双曲线定义得到
，
，再利用余弦
定理求出
，利用向量中线定理得到
，再结合向量数量积的定义求出
，最后求解
判断C，先点
到
轴的距离，再利用等面积公式建立方程求解
距离判断D 即可.
【详解】对于A，因为
，
，
设
到的距离为
，由点到直线的距离公式得
，
由题意得
到的距离为
，得到
，解得
，
又渐近线方程为
，则
，而
，
联立方程组
，解得
，
则双曲线的方程为
，故A 错误．
对于B，如图，作出符合题意的图形，
因为
为
的平分线，所以由角平分线定理得
2，故B 正确，
对于C，由已知得
，由双曲线定义可得
，
而
为
在第一象限的点，可得
，
则
，解得
，
，而
，
在
中，由余弦定理得
，
因为
是
的中点，所以
，
则
，可得
，
而
，
可得
，解得
，故C 错误，
对于D，在
中，由同角三角函数的基本关系得
，
设点
到
轴的距离为
，由等面积公式得
，
得到
，解得
，故D 正确．
故选：BD
