文档文本内容
第03 讲 平面向量的数量积及其应用
目 录
模拟·基础演练........................................................................................................................................................2
题型01 求平面向量的数量积
........................................................................................................... 2
题型02 平面向量的模长
...................................................................................................................3
题型03 平面向量的夹角
...................................................................................................................5
题型04 垂直的综合运算.........................................................................................................................6
题型05 投影向量.................................................................................................................................... 8
题型06 求参数值或取值范围问题
.................................................................................................10
题型07 求数量积的取值范围问题
.................................................................................................11
题型08 向量在几何中的应用...............................................................................................................15
题型09 向量在物理中的应用...............................................................................................................17
题型10 平面向量的新定义问题...........................................................................................................18
题型11 平面向量与圆、三角函数等融合交汇
..............................................................................20
重难·创新演练......................................................................................................................................................23
真题·实战演练......................................................................................................................................................29
模拟·基础演练
考查重点：围绕平面向量数量积核心知识展开，综合考查数量积运算、模、夹角、垂直关系、投影
向量基础内容，同时结合平面几何图形、动点轨迹以及物理受力、位移场景综合命题。
题型01 求平面向量的数量积
1．（2026·广东江门·二模）已知两个单位向量，的夹角为
，则
（ ）
A．0
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】依题意可得
．
故选：D
2．（2026·河北保定·一模）在边长为2 的等边三角形
中，点
为
上靠近点的三等分点，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】A
【分析】将
表示为
，利用向量的数量积求解.
【详解】由已知条件可得，
，
则
.
故选：A.
3.在
中，已知
，
，
，则
（ ）
A．36
B．18
C．
D．
【答案】D
【分析】由余弦定理求出
，然后由向量数量积的定义求解即可.
【详解】在
中，已知
，
，
，
由余弦定理得
.
故选：D．
4．（2026·山东济宁·一模）已知
中，若
，且点
在
上，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】C
【详解】
中，由
，得
，
，又
，且点
在
上，则
，所以
.
故选：C．
5．（2026·黑龙江·一模）如图，已知正方形
的边长为2，且F 为AD 边中点，
与
交于点
，
则
________．
【答案】
/
【分析】以
为基底表示
，结合向量的数量积运算求得正确答案.
【详解】在正方形
中，因为
为AD 中点，所以
，且
，
则
，
则
.
故答案为：
/
题型02 平面向量的模长
6．（2026·河北衡水·一模）已知两个单位向量，互相垂直，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．3
【答案】A
【分析】运用平面向量数量积的运算性质进行求解即可.
【详解】依题意得
，则
.
7．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知向量
，则
（ ）
A．
B．5
C．
D．25
【答案】C
【分析】根据已知条件可知
是相反向量，从而可得
的坐标，根据向量减法的坐标运算可得
的坐
标，最后可求出模；也可以根据向量数量积的性质
求解.
【详解】方法一：因为
，所以
，
所以
，所以
.
方法二：因为
，所以
，
，
所以
，又
，所以
，
所以
.
故选：C
8．（2026·四川广元·二模）已知
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，所以
.
故选：D
9．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）已知单位向量
与
的夹角为
，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据平面向量数量积运算律即可计算.
【详解】
.
故选：B.
10．（2026·河北沧州·二模）已知平面向量，，均为单位向量，且，，两两夹角均为
，则
（ ）
A．4
B．
C．2
D．
【答案】C
【详解】由题得，
，
所以
，所以
.
故选：C
题型03 平面向量的夹角
11．（2026·江西萍乡·一模）已知
，则与的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用
展开，结合向量数量积公式
即可求解夹角.
【详解】已知
，则
，所以
，
则
.设与的夹角为，则
，又
，故
，所以与的
夹角为
.
故选：C
12．（2026·广西河池·二模）已知向量
满足
，则与的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，所以
，则
，
因为
，所以
，即与的夹角为
.
故选：B
13．（2026·山西太原·二模）已知
，则向量与夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，将
代入化简可得
，所以
，所以向量与夹角为
.
故选：B
14．（2026·山东临沂·一模）已知向量
，
，则向量与的夹角正切值为_________．
【答案】
【分析】先求得，然后利用向量的夹角公式求得向量与的夹角的余弦值，进而求得其正切值.
【详解】
，所以
，设向量与的夹角为，则
，由于
，所以
，所以
.
15．（2026·安徽合肥·二模）已知非零向量
满足
，则
_______．
【答案】
【详解】
，
，设
，则
，
．
故答案为：
题型04 垂直的综合运算
16．（2026·陕西渭南·二模）已知向量
，
，若
，则
（ ）
A．
B．4
C．9
D．11
【答案】D
【详解】因为向量
，
，所以
，
又因为
，所以
，所以
.
故选：D
17．（2026·江西·二模）已知向量
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意得
，
，由
，
得
，所以
，解得
．
故选：A
18．（2026·四川成都·二模）已知平面向量
．若
，则
（
）
A．
B．
C．
D．2
【答案】A
【详解】因为
，所以
，展开整理得
，又因
为
，故
，
，
，
代入等式得：
，解得
.
故选：A
19.若向量
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用平面向量垂直的坐标运算，化简即可得到答案.
【详解】由
，得
，因为
，所以
，所以
.
故选：A.
20．已知向量
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据向量线性运算和向量数量积运算的坐标表示，求出参数，再求出结果.
【详解】由
，
可得
，
因为
，所以
，即
，解得
，
则
，则
.
故选：A.
题型05 投影向量
21．向量
，
，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解.
【详解】向量
，
，则
，
，
所以向量在方向上的投影向量为
.
故选：D
22．（2026·广东深圳·一模）已知向量
，
，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据投影向量的定义及计算公式计算即可.
【详解】向量在向量上的投影向量为
.
故选：D.
23.已知向量
，向量
，则向量在向量
上的投影向量的模为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用投影向量的定义，结合向量的坐标运算即可求解.
【详解】因为向量
，向量
，所以
向量在向量
上的投影向量的模为
，
故选：B.
24．已知向量和满足
，则向量
在向量上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先计算向量
，再应用投影向量公式计算求解.
【详解】
，则向量
，
则
在的投影向量为
，
故选:A．
25．（2026·安徽淮南·一模）在平面直角坐标系中，四边形
为平行四边形，若向量
，则向量
在向量
上的投影向量的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由向量的加法求得
，然后利用投影向量的公式求得结果.
【详解】
，∴
.
故选：A.
26．已知
的外接圆圆心为
，且
，
，则向量
在向量
上的投影向量
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据条件作图，可得
为等边三角形，
为等腰三角形，
为直角三角形，即
，
，再根据投影向量的概念求解即可.
【详解】如图，由
，可得
为
的中点，又因为
为
的外接圆圆心，所以
，又因为
，所以
，所以
为等边三角形，即
，
为等腰三角形，即
，
为直角三角形，
，
所以向量
在向量
上的投影向量为
.
故选：D.
题型06 求参数值或取值范围问题
27．已知
，若向量
与向量
互相垂直，则
（ ）
A．
B．
C．5
D．
【答案】C
【分析】依题意可得
、
、
、
均不为，将两式相除得到
，再由
及两角和的正切公式计算可得.
【详解】因为
，
，显然
、
、
、
均不为，
所以
，即
，所以
，
所以
，
因为向量
与向量
互相垂直，
所以
则
，又
，解得
.
故选：C
28．已知单位圆
上有两点
，
，设向量
，
，若
，则实
数的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】B
【分析】由题意
，
，由
得
，进而可得.
【详解】由题可得，
，
，
因为
，
，且
，
所以
，
，解得
.
故选：B
题型07 求数量积的取值范围问题
29．（2026·甘肃兰州·一模）在
中，
为
边上靠近点
的三分点，
为
的中点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】建立平面直角坐标系确定
、
的向量坐标，利用向量的数量积公式计算即可.
【详解】以为坐标原点，
所在直线为轴，
所在直线为轴，建立平面直角坐标系.
因为
，
，所以
，
，
， 因为
为
中点，
所以
，
，则
.
所以
，
.所以
.
故选：C
30．在等边
中，
，P 为
所在平面内的一个动点，若
，则
的最大值为（
）
A．4
B．
C．
D．6
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，假设点的坐标，进而
可表示成关于角
的三角函数，结合辅助角
公式及正弦函数的图象可求其最大值.
【详解】以
为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
，点在以
为圆心，1 为半径的圆上，设
为等边三角形，
，
，
，
，
当
，
即
时，
，
故选：B.
31．已知点在圆
上，点
的坐标为
为原点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设
，且
，
，再应用向量数量积的坐标表示及
三角恒等变换化简，最后应用正弦型函数的性质求范围.
【详解】由题设
，
设
，则
.
利用辅助角公式：
因为
，所以
.
综上，
的取值范围是
.
故选：A
32．如图，在等边
中，
，以
为直径分别作半圆，是两段半圆弧上的动点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】建立两个不同的平面直角坐标系，对点位置分类讨论，结合圆的参数方程设出其坐标，利用平
面向量积的坐标表示将
表示为三角函数，再利用辅助角公式结合三角函数的有界性求解值域，最
后两种情况再取并集即可.
【详解】首先，作
的中点
，我们对的位置分类讨论，
当在以
为圆心的半圆弧上运动时，
如图，以
中点
为原点建立平面直角坐标系，
因为在等边
中，
，所以
，
，
则半圆
的方程为
，
的参数方程为
是参数，且
，
得到
，故
，
，
则
，
因为
，所以
，得到
，
即
，故
，
即此时
，
其次，作
的中点
， 当在以
为圆心的半圆弧上运动时，
如图，以
中点
为原点建立平面直角坐标系，
因为在等边
中，
，所以
，
，
则半圆
的方程为
，
的参数方程为
是参数，且
，
得到
，故
，
，
则
，
因为
，所以
，得到
，
即
，故
，即此时
，
综上，可得
，故D 正确.
故选：D
33．设
为单位向量，且
，若向量满足
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】假设
点坐标，由此可得对应点的轨迹，采用三角换元法，根据向量坐标运算可将
表
示为关于
的函数，结合正弦函数值域可求得结果.
【详解】由题意可设：
，
，
，
，
，
，即
，
可令
，
，
，
.
故选：C.
题型08 向量在几何中的应用
34．已知
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意画出图形，并利用位置关系求得
，设
,
，结合平面向量线
性运算以及余弦定理可求得当
、
、
三点共线时取得最小值．
【详解】由已知
，
设
,
，则
，
作
关于直线
的对称点
，连接
、
、
、
，
则
，
，
所以
，
在
中，由余弦定理可得
，
所以
，当且仅当
、
、
三点共线时等号成立，
所以
的最小值为．
故选：C．
35..已知平面向量
、
、
，
，
，
的面积为
，则
的最小值
为（ ）
A．
B．2
C．
D．4
【答案】C
【分析】通过
平方，求得
，结合余弦定理求得
，再结合面积公式求得点D 到
的距离，进而可求解.
【详解】已知
，
，
对
平方得
.
因为
，
，
设
，
，则
，
所以
，即
，解得
，有
.
在
中，由余弦定理有
，可得
，
设点
到
的距离为
，有
.已知
，设点D 到
的距离为，
由
，解得
，则
的最小值为
.
故选：C
36．（2026·上海金山·二模）已知在
中，
．若点
为
外接圆的圆
心，则
__________．
【答案】
【分析】利用余弦定理求出
，取
的中点
，连接
，由点
为
外接圆的圆心，得到
，利用向量的数量积的定义，结合在直角三角形中的余弦公式求出
的值.
【详解】
，
，
，
取
的中点
，连接
，
点
为
外接圆的圆心，
，
.
故答案为：
题型09 向量在物理中的应用
37.共点力
，
作用在物体
上，产生位移
，则共点力对物体做的功
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出合力
的坐标，结合平面向量数量积的坐标运算可得出共点力对物体做的功.
【详解】根据题意得：共点力的合力是
，
对物体做的功为
.
故选：D.
38.如图，一条河某一段的宽度为8km，一艘船从河岸边的A 地出发，向河对岸航行.已知船的速度大小为
5km/h，水流速度的大小为3km/h，当航程最短时，预计这艘船行驶到河对岸需要时间为 h.
【答案】2
【分析】当实际速度垂直于河岸航程最短，根据向量加法的平行四边形法则求解即可.
【详解】当实际速度垂直于河岸，船的航程最短，设实际速度、船速、水流速度分别为、
、
，
如图，
，已知
，则
，河宽
，
所以，船的航行时间
，
所以，当航程最短时，这艘船行驶完全程需要
.
故答案为：2.
39.如图所示，支座
受
两个力的作用，已知
，与水平线成角，
，沿水平方向，
两个力的合力
的大小
，则
.
【答案】
【分析】根据向量的加法法则、向量数量积的运算律，结合题中条件即可求解.
【详解】依题意，
，则
，
即
，解得
.
故答案为：
.
题型10 平面向量的新定义问题
40.定义：若不相等的两个向量
，
满足条件：
且
，
，
，
均为整数，则
称向量，互为“等模整向量”，则与向量
互为“等模整向量”的向量个数有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】B
【分析】设
与
互为“等模整向量”的向量，根据定义求解即可.
【详解】设
与
互为“等模整向量”的向量，
则
，所以
，令
，则
，则
（舍去），
令
，则
，则
或
，令
，则
，则
，
故与向量
互为“等模整向量”的向量个数有3 个.
故选：B.
41.如图，在
中，
，
，
，
，
，
设
与
交于点，且
．
(1)求
的值；
(2)定义平面非零向量之间的一种运算“
”：
（其中是两非零向量和的夹角）．
（ⅰ）若
为
的中点，求
的值；
（ⅱ）若
，求
的值．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）
（ⅱ）
【分析】（1）根据平面向量的线性运算可得
，进而结合三点共线的推论求解即可；
（2）（ⅰ）由
为
的中点，易得为
的重心，建立平面直角坐标系，根据题设定义及平面向量
夹角余弦的坐标表示求解即可；
（ⅱ）建立平面直角坐标系，据题设定义及平面向量数量积的运算律列方程求解即可.
【详解】（1）因为
，
，
所以
，
又
三点共线，所以
，即
.
（2）（ⅰ）因为
为
的中点，所以
，由（1）知，
，则
，即为
的重心．
建立如图所示的平面直角坐标系，则
，所以
，
所以
，所以
，
所以
.
（ⅱ）建立与（ⅰ）相同的平面直角坐标系，则
，
所以
，所以
，
所以
，则
，
所以
，即
，所以
，即
或
，
因为
，所以
，又因为
，
所以
，则
．
题型11 平面向量与圆、三角函数等融合交汇
42．（2026·山东日照·一模）若向量
，记
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先根据向量数量积的坐标运算公式得
，再代入余弦的倍角公式即得.
【详解】因为
，所以
，
所以
.
故选：A
43．（2026·广东广州·一模）已知向量
，
，向量满足
，则
的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】设
.已知
，
，所以
.
则
，即
.因
表示点
到原点的距离，而点
是直线
上的点，故
的最小值即为原点到直线
的距离
，
因为点
在直线
上，所以
可无限大，所以
的取值范围是
.
故选：A
44．（2026·天津河东·一模）如图所示，正方形
内有一个动点
，
，
，当
，
，
三点共线时，
的延长线与
交于点
，正方形边长为2，则
的最小值为（ ）
A．0
B．
C．
D．1
【答案】B
【分析】以
为坐标原点，
所在直线建立平面直角坐标系，根据
可得到点
的轨迹方程
，求出
，
，
三点共线时点
坐标，进而得到点
坐标，设
，
表示出
，利用辅助角公式即可求出答案.
【详解】以
为坐标原点，
所在直线建立如图所示平面直角坐标系，
则
，
，
，设
，则
，
，
因为
，所以
，所以点
的轨迹方程为
，
直线
方程为
，联立
，解得
或
（舍去），
所以当
，
，
三点共线时，
，此时直线
方程为
，
令
，解得
，所以
，设
，其中
，
则
，
，
所以
，其中
，
，
所以当
，即
，
时，
取得最小值，最小值为
.
故选：B
45．（2026·山东烟台·一模）已知平行四边形
中，
，
，
，点
在四
边形
所在平面上，且满足
，
，则
的最大值为（ ）
A．
B．3
C．
D．
【答案】C
【详解】以点
为原点建立如图所示直角坐标系，
因为
，
，
，所以
，
因为
，所以点在以
为圆心，半径为1 的圆上，
设点
，
因为
，所以
，
所以
，解得
，所以
，
所以
，
所以当
时，
取得最大值为
.
故选：C
重难·创新演练
设题创新: 依托圆与三角函数融合动点最值问题，设置向量自定义新运算题型，融入船只航行、力
做功等物理实际情境，多以各地模拟考为载体设计参数范围类综合设问。
1．（2026·江西上饶·二模）已知向量
，
，若
，则
（ ）
A．4
B．5
C．
D．
【答案】D
【分析】由向量垂直的坐标表示求出
，再求
即可．
【详解】
，
，
，又
，
，解得
，
．
故选：D
2．（2026·广东广州·二模）已知非零向量
满足
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由
可得：
，整理可得：
，根据数量积定义可得：
，又因为
，所以
，又因为为非零向量，所以
，
所以等式约去
，整理可得：
.
故选：A
3．（2026·广西河池·二模）已知向量
均为单位向量，且向量
夹角为
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】B
【分析】根据向量数量积的运算法则及定义，
两边平方后化简即可得解,
【详解】因为
，所以
，即
，
又因为向量
均为单位向量，且向量
夹角为
，所以
，即
.
故选：B
4．【新考法】（2026·河南郑州·二模）已知平面上不共线的四点
，满足
，则
在
上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据已知条件求得
，进一步得到
，再结合投影向量定义即可求解.
【详解】由
，得
，即
，所以
，所以
与
共线且同向，且
，所以
在
上的投影向量为
,因为
与
共线且同向，
所以
，所以
在
上的投影向量为
.
故选：A
5．【新载体】（2026·四川成都·二模）已知向量,a b满足
cos ,sin
a
，
1
b ，且a 与b 的夹角为60o ，
则
2
a
b
为（ ）
A．
7
B．
21
C．7
D．21
【答案】A
【详解】由向量
cos ,sin
a
，可得
2
2
cos
sin
1
a
，因为
1
b ，且a 与b 夹角为60o，所以
1
cos60
2
a b
a b
，则
2
2
2
1
2
4
4
1
4
4
7
2
a
b
a
a b
b
，所以
2
7
a
b
.
故选：A
6．【新交汇】（2026·辽宁辽阳·二模）已知线段
，
点满足
，则
的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先建立平面直角坐标系，根据已知条件，求出点
的轨迹为圆，进而将向量用坐标形式表示，利
用数量积的坐标表示，将数量积的取值范围，转化成求横坐标的相关范围，从而最终求出
的取值
范围.
【详解】以线段
中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则
，
，设点
为
，由
，所以
，两边平方化
简整理得
，因此，点
的轨迹是以
为圆心，半径为
的圆.
因为
，
，所以
，
又因为点
满足
，所以
，化简得
.由圆方程
可知，
，所以
，即
.
故选：C
7．【新思维】（2026·陕西·二模）已知向量
满足
.当与的夹角最大时，
（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】B
【分析】将
平方后换元，利用向量的夹角公式表示
，利用余弦函数的单调性分析的最
大值求解即可.
【详解】将
平方得
，令
，则
，
所以
，设与的夹角为
，当
时，
，与条件
矛盾，所
以
，又
，分子分母同时除以，
，令
，则
，
当
时，
取得最小值
，此时取最大值
，
当
时，
，
，所以当与的夹角最大时，
.
故选：B
8．【新定义】（2026·陕西榆林·二模）已知符号函数
，
是平面内三个不同的单位向
量，若
，且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题目条件平面建系设出
、
、
并判断所在象限，再用辅助角公式化
简
并结合所在象限求解即可.
【详解】由题意可知
，且
和
中，一个大于0，另一个小于0，
不妨设
，由函数
可知
．
不妨设
，
，
，
，
所以
，
，所以
，所以
，
则有
，因为
，
所以
，所以
，所以
.
故选：A.
9．（多选）（2025·重庆·二模）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．若
，则
C．若
，则
D．
，
，
【答案】ABD
【分析】利用向量的坐标运算，按选项逐个判断即可．
【详解】已知
，
，
，对于A，因为
，所以
，故A
正确；对于B，若
，则
，即
，故B 正确；对于C，
，若
，则
，
，所以
不一定成立，故C 错误；对于D，
，由
，则
，所以
，
，
，故D 正确
故选：ABD.
10．（多选）（2026·甘肃·一模）已知
为两个互相垂直的单位向量，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若
，则
D．若
，则
的最小值为
【答案】BD
【分析】利用向量的数量积以及向量运算逐项验证即可求解.
【详解】由题意得
，所以
，
所以
，故A 错误；
由
，所以
，故B 正确；
又
，
所以
，所以
，
，故C 错误；
，
当
时，
，所以
的最小值为
，故D 正确.
故选：BD
11．【新考法】（2026·广东东莞·二模）若
为单位向量，且在上的投影向量为
，下列说法正确的
是（ ）
A．
的夹角为
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】由题意求得
，从而可得
，即可判断A；求得
，从而判断
B；求出
、
，从而判断C，D.
【详解】对于A，因为在上的投影向量为
，且
，所以
，即
，
所以
，所以
，又因为
，所以
，故A 正确；
对于B，因为
，所以
，故B 正确；
对于C，因为
，所以
，故C 错误；
对于D，因为
，所以
，故D 正确.
故选：ABD
12．（2026·吉林白山·二模）已知平面向量
在方向上的投影向量模长为
，
则
___________．
【答案】
【分析】先求
，
，再结合定义求向量
在方向上投影向量的模长，列方程可求结论.
【详解】因为
，
，所以
，
所以
所以向量
在方向上投影向量的模长为
，又
，所以
，因此
.
故答案为：
13．【新交汇】（2026·上海嘉定·二模）已知向量
，
，且
，则在方
向上的数量投影的取值范围为___________
【答案】
【分析】代入数量投影公式，转化为三角函数值域问题求解.
【详解】在方向上的数量投影为
，
，
，
.
故答案为：
14．（2026·浙江台州·二模）已知平面向量
，
，
，若
，则
的最小值
为_______.
【答案】
【分析】利用向量平行坐标表示可得
之间的关系，将问题转化为二次函数最小值的求解即可.
【详解】
，
，即
，
，
，
当
时，
取得最小值
.
故答案为：
真题·实战演练
高频考点：：向量数量积基础运算、向量模长计算、向量夹角求解、由向量垂直求参数、投影向量
及投影模长、向量结合几何动点求最值。
1．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“
”是“
或
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据向量数量积分析可知
等价于
，结合充分、必要条件分析判断.
【详解】因为
，可得
，即
，
可知
等价于
，
若
或
，可得
，即
，可知必要性成立；
若
，即
，无法得出
或
，
例如
，满足
，但
且
，可知充分性不成立；
综上所述，“
”是“
或
”的必要不充分条件.
故选：B.
2.（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】D
【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值.
【详解】因为
，所以
，所以
即
，故
，
故选：D.
3.（2022·全国乙卷·高考真题）已知向量
，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【分析】先求得
，然后求得
.
【详解】因为
，所以
.
故选：D
4.（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知向量
，若
，则
（
）
A．
B．
C．5
D．6
【答案】C
【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得
【详解】解：
,
,即
,解得
,
故选：C
5.（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知
为坐标原点，点
，
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】A、B 写出
，
、
，
的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D 根据向量的
坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.
【详解】A：
，
，所以
，
，故
，正确；
B：
，
，所以
，同理
，故
不一定相等，错误；
C：由题意得：
，
，正确；
D：由题意得：
，
，故一般来说
故错误；
故选：AC
6．（2023·上海·高考真题）已知
,
，求
【答案】4
【分析】由平面向量数量积的坐标运算求解.
【详解】由题意得
故答案为：4
7.（2022·全国甲卷·高考真题）已知向量
．若
，则
___________．
【答案】
/
【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.
【详解】由题意知：
，解得
.
故答案为：
.
8.（2021·全国甲卷·高考真题）若向量
满足
，则
_________.
【答案】
【分析】根据题目条件，利用
模的平方可以得出答案
【详解】∵
∴
∴
.
故答案为：
.
9.（2021·全国甲卷·高考真题）已知向量
．若
，则
________．
【答案】
.
【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量的坐标，利用向量的数量积为零求得的值
【详解】
,
，解得
,
故答案为：
.
10．（2025·天津·高考真题）
中，D 为AB 边中点，
，则
（用
，表示），若
，
，则
【答案】
；
【分析】根据向量的线性运算求解即可空一，应用数量积运算律计算求解空二.
【详解】如图，
因为
，所以
，所以
．
因为D 为线段
的中点，所以
；
又因为
，所以
，
，所以
所以
，
所以
．
故答案为：
；
.
