专题4.4 平面向量基本定理及坐标表示（举一反三专项训练）
【全国通用】
目录
第一部分 题型专
练
【题型1 用基底表示向量】......................................................................................................................................1
【题型2 利用平面向量基本定理求参数】..............................................................................................................2
【题型3 向量共线（平行）的坐标表示】..............................................................................................................2
【题型4 平面向量数量积的坐标表示】..................................................................................................................3
【题型5 平面向量夹角、模长的坐标表示】.........................................................................................................3
【题型6 向量垂直的坐标表示】..............................................................................................................................3
【题型7 由向量的坐标运算解决最值和范围问题】.............................................................................................4
第二部分 分层突破
A 组 基础跟踪练
B 组 培优提升练
【题型1 用基底表示向量】
1．（2025·海南三亚·一模）已知ABCD为平行四边形，E为CD的中点，记⃗AB =⃗a,⃗AD =⃗b，则⃗BE =
（ ）
A．⃗a+ 1
2⃗b
B．⃗a−1
2⃗b
C．−1
2⃗a+⃗b
D．−1
2⃗a−⃗b
2．（2025·全国·模拟预测）在平行四边形ABCD中，⃗EB =2⃗AE ,⃗BF =⃗FC，记⃗AB =⃗a,⃗AD =⃗b，则⃗EF =
（ ）
A．2
3⃗a−1
2⃗b
B．2
3⃗a+ 1
2⃗b
C．1
3⃗a+ 1
2⃗b
D．1
2⃗a+ 2
3⃗b
3．（2025·辽宁·模拟预测）在△ABC中，⃗AC =3⃗AD，⃗BF =2⃗FD，则⃗CF =（ ）
A．4
9⃗BA −5
9⃗BC
B．1
3⃗BA −7
9⃗BC
C．4
9⃗BA −7
9⃗BC
D．4
9⃗BA −1
3⃗BC
4．（2025·甘肃庆阳·一模）在平行四边形ABCD 中，⃗AB =2⃗AE，⃗BF =2⃗BC，则⃗EF =（ ）
A．2⃗AB+ 1
2⃗AD
B．1
2⃗AB+ 1
2⃗AD
C．1
2⃗AB+2⃗AD
D．2⃗AB+2⃗AD
【题型2 利用平面向量基本定理求参数】
5．（2025·甘肃甘南·模拟预测）如图，在△ABC中，⃗BM =2⃗MC , N为线段AM上一点，且⃗
AN =(1−λ)⃗AB+ λ
3⃗AC，则实数λ的值为（ ）
A．3
4
B．2
5
C．5
6
D．6
7
6．（2025·陕西铜川·模拟预测）在△ABC中，点D为线段BC的中点，点E满足⃗CE =2⃗EA，若⃗
AB = λ⃗AD + μ⃗BE，则λ+ μ的值为（ ）
A．1
2
B．1
4
C．−1
2
D．−1
4
7．（2025·湖南邵阳·三模）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，点E满足⃗DC = 4⃗DE，⃗
OE = λ⃗AC + μ⃗BD，则λ−μ=（ ）
A．−1
4
B．−1
2
C．1
4
D．1
2
8．（2025·北京朝阳·二模）在矩形ABCD中，AB⊥AD , AD =2, AB = ❑√2，点E 为线段AD的中点，BE
与AC交于点F．设⃗AF =k1⃗e1+k2⃗e2(k1,k2∈R)，其中⃗e1,⃗e2
分别是与⃗AB ,⃗AD方向相同的单位向量，则
（ ）
A．k1= 2
3 ,k2=
❑√2
3
B．k1=
❑√2
3 ,k2= 2
3
C．k1= 1
3 ,k2=
❑√2
3
D．k1= 1
3 ,k2= 2
3
【题型3 向量共线（平行）的坐标表示】
9．（2025·河南·模拟预测）已知向量⃗a=(−2,3)，⃗b=(6,m)，若⃗a∥⃗b
，则m=（ ）
A．−9
B．−4
C．4
D．9
10．（2025·吉林长春·模拟预测）已知向量⃗a=(1,2),⃗b=(x , x
2)，则“x =2 是
”
“⃗a//⃗b
的（ ）
”
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
11．（2025·四川攀枝花·模拟预测）设向量⃗a=(m,2)，⃗b=(1,m+1)，且⃗a与⃗b
的方向相反，则实数m的值为
（ ）
A．−2
B．1
C．−2或1
D．不存在
12．（2025·湖北·模拟预测）已知向量⃗a=(1,4),⃗b=(2, x)，若⃗b//(2⃗a+⃗b)，则x =（ ）
A．8
B．4
C．2
D．−8
【题型4 平面向量数量积的坐标表示】
13．（2025·广西南宁·模拟预测）若向量⃗a=(2,−3)，⃗b=(−1,2)，则⃗a⋅(⃗a+2⃗b)=
（ ）
A．5
B．3
C．−5
D．−3
14．（2025·全国·模拟预测）已知向量⃗a,⃗b
满足⃗a=(2,1),⃗b=(−2,m)，若⃗a⋅⃗b=−5
，则m=（ ）
A．−2
B．−1
C．1
D．2
15．（24-25 高一下·江苏南京·期中）已知向量⃗a=(3,4)，⃗a−⃗b=(1,2)，则⃗a⋅⃗b=
（ ）
A．5
B．14
C．−6
D．2❑√2
16．（2025·甘肃酒泉·模拟预测）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中
点，连接DE并延长到点F，使得DE = 1
3 EF，则⃗AF ⋅⃗BC的值为（ ）
A．3
4
B．1
8
C．−5
8
D．11
8
【题型5 平面向量夹角、模长的坐标表示】
17．（2025·安徽合肥·二模）已知向量e
→
1=(1,0), e
→
2=(1,❑√3)，设a
→
= 4 e
→
1+ e
→
2,b
→
=3 e
→
1−e
→
2
，则⃗a与⃗b的夹
角为（ ）
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．2π
3
18．（2025·陕西西安·模拟预测）已知向量 a
→
=(2,1),b
→
=(1,−1) ，若 |a
→
+ b
→|=|a
→
−m b
→| ，则 m=
（ ）
A．2
B．−1
C．2 或 −1
D．3
19．（2025·全国·模拟预测）已知向量⃗a=(2,0)，⃗a−⃗b=(3,−❑√3)，则cos⟨⃗a−2⃗b,⃗a)=
（ ）
A．−
❑√3
5
B．
❑√7
5
C．2❑√7
7
D．
❑√7
7
20．（2025·浙江·模拟预测）已知向量a
→
=(1,m+ 4),b
→
=(4,2)，若|⃗a+⃗b|=|⃗a−⃗b|，则|⃗a|=（ ）
A．5
B．3
C．❑√5
D．❑√3
【题型6 向量垂直的坐标表示】
21．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知向量⃗a=(2,m),⃗b=(1,−3)，且(⃗a+⃗b)⊥⃗b，则m=（ ）
A．−2
B．−1
C．1
D．4
22．（2025·河南·模拟预测）已知向量⃗a=(1,2)，⃗b=(1,−2)，若⃗a⊥(⃗a+ λ⃗b)，则实数λ=（ ）
A．3
5
B．1
C．5
3
D．2
23．（2025·湖南郴州·三模）在平面直角坐标系xOy 中，已知A(2,−1)，B(1,1)，⃗
OP = λ⃗OA +(2−λ)⃗OB，若⃗OP⊥⃗OB，则λ的值为（ ）
A．4
B．2
C．−2
D．−3
24．（2025·河南·一模）设向量⃗a=(−4,2)，⃗b=(1,−1)，若(⃗a+k⃗b)⊥(⃗a−k⃗b)(k >0)，则k =（ ）
A．❑√5
B．❑√10
C．5
D．10
【题型7 由向量的坐标运算解决最值和范围问题】
25．（2025·江苏南京·二模）在四边形ABCD中，AB // DC，A =90
∘，AB = AD =2CD =2，E 是线段
AD中点，F是线段BE上的动点，则⃗FB⋅⃗FC的最小值为（ ）
A．−4
3
B．−5
4
C．−4
5
D．−7
9
26．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知向量⃗a=(−1,❑√3),⃗b=(x , y)，若x>0, y <0，则⃗a⋅⃗b
|⃗b)
的取值范围是
（ ）
A．[−2,−1)
B．[−2,−❑√3)
C．(−❑√3,−1)
D．(−❑√3,−❑√2)
27．（2025·甘肃甘南·模拟预测）如图，已知△ABC是边长为4 的等边三角形，点D 满足⃗
BD = λ⃗BC(0< λ<1)，E 为AC的中点，则⃗DB⋅⃗DE的取值范围为（ ）
A．[−9
4 ,4)
B．[−4,4)
C．[−9
4 ,4)
D．[−2,4 ]
28．（2025·安徽芜湖·模拟预测）莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应
用广泛．如图所示，分别以正三角形ABC 的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边
三角形即为菜洛三角形，已知正三角形ABC 的边长为1，点P 为´AB的中点，则⃗PC ⋅(⃗PA +⃗PB)的值为
（ ）
A．1
B．2−❑√3
C．1
2
D．
❑√3
2
A 组 基础跟踪练
一、单选题
1．（2026·陕西宝鸡·一模）已知点O(0,0)，向量⃗OA =(2,3)，⃗OB =(8,−3)，⃗AP =2⃗PB，则P 点坐标为
（ ）
A．(6,−1)
B．(6,1)
C．(4 ,−1)
D．(4,1)
2．（2026·广西南宁·一模）已知向量a
→
=(x ,1)，b
→
=(7 , x −8)．若a
→
⊥b
→，则x＝（ ）
A．8
B．−1
C．7
D．1
3．（2025·河北沧州·一模）已知向量⃗AB =(m,2),⃗BC =(2,−1).若⃗AB //⃗BC
，则|⃗AC)=
（ ）
A．❑√5
B．5
C．3 ❑√5
D．45
4．（2026·重庆九龙坡·一模）已知平面向量⃗a=(1,2),⃗b=(−1,3)，若( λ⃗a+⃗b)⊥( λ⃗a−⃗b)，则λ=（ ）
A．±2
B．± 1
2
C．±
❑√2
2
D．± ❑√2
5．（2026·河北沧州·一模）在△ABC中，点D在边AB上，BD =3 DA，记⃗CB = x⃗CA + y⃗CD，则x , y分
别是（ ）
A．4 ,−3
B．−3，4
C．4，3
D．3，4
6．（2025·云南楚雄·模拟预测）已知向量⃗a=(4 m,1),⃗b=(9,m)，则“⃗a ∥ ⃗b 是
”
“m= 3
2
的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．（2025·广东江门·模拟预测）已知向量⃗a,⃗b分别表示位移向北偏东
“
60
∘方向2km
向东偏南
”“
30
∘方向3km
，则向量
”
3⃗a−2⃗b表示位移（ ）
A．向正北方向6km
B．向正南方向6km
C．向西北方向6 ❑√2km
D．向东南方向6 ❑√2km
8．（2026·河北邯郸·模拟预测）已知向量⃗a=(x +1, x),⃗b=(x ,2)，则下列结论正确的是（ ）
A．“⃗a⊥⃗b 的必要条件是
”
“x =−3”
B．“a
→
// b
→的必要条件是
”
“x =1−❑√3”
C．“⃗a⊥⃗b 的充分条件是
”
“x =3”
D．“a
→
// b
→的充分条件是
”
“x =1+ ❑√3”
二、填空题
9．（2026·重庆·模拟预测）若向量a
→
=(2,−1),b
→
=(1, y )，a
→
⊥( a
→
−b
→
)，则|⃗b|= .
10．（2026·甘肃陇南·模拟预测）已知a∈R，向量⃗m=(6,a)，⃗n=(a−1,5)，若⃗m⊥⃗n，则a 的值为
．
11．（2026·河北沧州·一模）已知向量⃗p=(2 x +1,3 x)，⃗q =(2,2 x)，若⃗p//⃗q，且|⃗p)<|⃗q)，则
(⃗p+⃗q)⋅(⃗p−⃗q)= ．
12．（2025·广东江门·二模）设向量⃗OA =(1, x),⃗OB =(2, x)，则cos〈⃗OA ,⃗OB 〉的最小值为
.
B 组 培优提升练
一、单选题
1．（2025·河北衡水·模拟预测）已知向量⃗a=(1,2),⃗b=(2,3)，则下列结论不正确的是（ ）
A．(⃗b−⃗a)⋅⃗a=3
B．(⃗a+⃗b)⊥(21⃗a−13⃗b)
C．|2⃗b−⃗a)=2❑√6
D．⃗b在⃗a方向上的投影向量为(
8
5 , 16
5 )
2．（2025·重庆·模拟预测）已知⃗a，⃗b,⃗e都是平面向量，|⃗e)=1，若⃗a⋅⃗e =1，⃗b⋅⃗e =2，|a
→
+ b
→)= ❑√13，则
a
→
⋅b
→取得最大值时，|a
→
−b
→)=（ ）
A．1
B．3
C．5
D．6
3．（2025·山西太原·模拟预测）设向量⃗a=(k ,2)，⃗b=(1,−1)，则下列说法错误的是（ ）
A．若k <−2，则⃗a与⃗b的夹角为钝角
B．若⃗a⊥⃗b，则k =2
C．若|⃗a)=2|⃗b)，则k =2或k =−2
D．与⃗b
共线的单位向量有且只有(
❑√2
2 ,−
❑√2
2 )
4．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知△ABC中，O是BC边上靠近B的三等分点，过点O的直线分别
交直线AB , AC于不同的两点M , N，设⃗AB =m⃗AM ,⃗AC =n⃗AN，其中m>0,n>0，则1
m + 1
n
的最小值是
（ ）
A．4
B．3
2 + ❑√2
C．1+ 2❑√2
3
D．3+2❑√2
5．（2025·安徽·二模）如图，正方形ABCD的边长为2，E为边BC的中点，F为边CD上一点，当⃗
AE⋅⃗AF取得最大值时，tan∠EAF =（ ）
A．1
B．2
3
C．1
3
D．1
4
6．（2025·山东·三模）如图是八卦图以及根据八卦图抽象得到的正八边形ABCDEFGH，若⃗
HA ⋅⃗HE +⃗FE⋅⃗HE +⃗GF ⋅⃗HE = 3 ❑√2+ 4
2
，则正八边形的边长为（ ）
A．2❑√2
B．❑√2
C．2
D．1
二、填空题
7．（2025·重庆·三模）已知矩形ABCD的边AB =3，AD =2，点P，Q 分别在边BC ,CD上，若
∠PAQ =π
3
，则⃗AP⋅⃗AQ的最小值为
.
8．（2025·天津·一模）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD =π
3
,| AB|=3,| AD|=2，点E 为BC
中点，⃗CG = 1
3⃗CD，点F 为边AD上的点．若点F 满足⃗AF = 1
4⃗AD，且⃗EF = λ⃗AB+ μ⃗AD，则λ+ μ=
；若点F 为线段AD上的动点，则⃗EF ⋅⃗FG的取值范围为
．
