专题3.2 导数的概念及其意义与运算（举一反三专项训练）
【全国通用】
目录
第一部分 题型专
练
【题型1 导数的定义及其应用】..............................................................................................................................1
【题型2 导数的运算】..............................................................................................................................................2
【题型3 求曲线切线的斜率（倾斜角）】..............................................................................................................2
【题型4 求曲线的切线方程】..................................................................................................................................3
【题型5 与切线有关的参数问题】..........................................................................................................................3
【题型6 切线的条数问题】......................................................................................................................................4
【题型7 两条切线平行、垂直、公切线问题】.....................................................................................................4
【题型8 与切线有关的最值问题】..........................................................................................................................4
第二部分 分层突破
A 组 基础跟踪练
B 组 培优提升练
【题型1 导数的定义及其应用】
1．（25-26 高二上·江苏泰州·月考）设函数f (x)在x =1处存在导数为1，则lim
Δx→0
f (1+2Δ x)−f (1)
3Δ x
=（
）
A．1
3
B．1
2
C．2
D．2
3
2．（25-26 高二上·宁夏石嘴山·月考）已知某质点的位移函数为s(t )=t
3−3t
2+3，则当t =1s时，该质点
的瞬时速度为（ ）
A．-3m/s
B．3m/s
C．-4m/s
D．1m/s
3．（24-25 高二下·浙江杭州·期中）已知函数f ( x)的导函数为f
′( x)，且lim
Δ x→0 f (3+ Δ x)−f (3)
Δ x
= 4
，则
f
′(3)=（ ）
A．2
B．1
C．8
D．4
4．（25-26 高二上·江苏·期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经
济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量W 与时间t的关系如下图所示.
下列叙述中正确的是（ ）
A．在[0，t3)这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0
B．在[t1，t2)这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率
C．甲水库在t2时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在t2时刻蓄水量的瞬时变化率
D．乙水库在t1时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在t2时刻蓄水量的瞬时变化率
【题型2 导数的运算】
5．（2025·湖北·一模）已知函数f (x)=e
x−f
′ (1) x，则（ ）
A．f (1)=−e
2
B．f
′ (1)=−e
2
C．f (2)=e
2−e
D．f
′ (2)=e
2−e
6．（2025·河北沧州·模拟预测）定义在R上的函数f (x)其导函数为f
′ (x)，若f (x +1)为偶函数，则（ ）
A．f
′ (1)=0
B．f
′ (−1)=0
C．f (1)=0
D．f (−1)=0
7．（2025·山东潍坊·模拟预测）已知函数f (x)及其导函数f
′ (x)的定义域均为(0,+ ∞)，
f (x
2+1)= f
2( x)+ f
2(1)+ x
2，且f (1)=1，f
′(1)= 1
2
，则f
′(5)=（ ）
A．9
4
B．11
4
C．13
4
D．15
4
8．（2025·湖北·模拟预测）已知函数f (x)和它的导函数f
′ (x)的定义域均为R，且f (x +2)+ f (−x)=2，
f
′ (x +2)为奇函数．若f (0)=0，则∑
i=1
2025
f (i)=（ ）
A．1
B．2
C．2025
D．2026
【题型3 求曲线切线的斜率（倾斜角）】
9．（2025·甘肃金昌·模拟预测）函数f (x)=e
x ln x在x =1处的切线斜率为（ ）
A．0
B．1
C．e
D．e+1
10．（2025·河南信阳·三模）动点P 在函数y = ln(4−x)−ln x的图像上，以P 为切点的切线的倾斜角取值
范围是（ ）
A．[0,π
4 )
B．[0,π
4 )∪[
3π
4 ,π)
C．¿
D．[
3π
4 ,π)
11．（2025·江苏宿迁·三模）曲线y =2
x在点(0,1)处的切线的斜率是
.
12．（2025·上海金山·一模）已知f (x)= x
2+ x，则曲线y = f (x)在点(0,f (0))处切线的倾斜角是
.
【题型4 求曲线的切线方程】
13．（2025·湖南长沙·二模）曲线y = x +e
x在点(0,1)处的切线方程为（ ）
A．3 x−y +1=0
B．3 x + y −1=0
C．2 x + y −1=0
D．2 x−y +1=0
14．（2025·四川绵阳·一模）曲线f (x)= ln x−x在点(1,f (1))处的切线方程为（ ）
A．x + y =0
B．x + y −1=0
C．y −1=0
D．y +1=0
15．（25-26 高三上·广东广州·月考）已知函数f ( x)满足f ( x)+2f (1−x)= 3
x
，则f ( x)在点( 1
2 ,2)处的切
线方程为（ ）
A．4 x + y −4 =0
B．12 x−y −4 =0
C．2 x−2 y +3=0
D．12 x + y −4 =0
16．（2025·安徽·二模）已知f (x)为奇函数，当x<0时，f (x)= x +sin x +1，则曲线y = f (x)在x =π
2
处的
切线方程是（ ）
A．x + y −π −2=0
B．x + y −2=0
C．x−y +2=0
D．x−y =0
【题型5 与切线有关的参数问题】
17．（2025·海南儋州·模拟预测）若直线y =kx是函数y = x ln x +1的图象的一条切线，则实数k 的值为
（ ）
A．1
B．−1
C．e
D．1
e
18．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知函数f (x)=a( x−a)
2(x−2a)，若曲线y = f (x)在点(2a,0)处的切
线方程为y = x +m，则m的值为（ ）
A．−1
B．1
C．−2
D．2
19．（2025·河北沧州·模拟预测）若曲线y = x
3+2 x在点(1,3)处的切线也与曲线y = x
2+ x +m相切，则m=
（ ）
A．4
B．−2
C．−4
D．2
20．（2025·新疆·模拟预测）已知函数f (x)=ax−b
x 图象过点(1, 1
2)且在该点处的切线的斜率为1，则
a+2b=（ ）
A．1
B．3
4
C．1
2
D．5
4
【题型6 切线的条数问题】
21．（2025·河南·模拟预测）过原点且与曲线y = x sin x相切的直线有（ ）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
22．（2025 高三·全国·专题练习）函数y = x
3−3 x过点(1,−2)的切线条数为（ ）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
23．（24-25 高二下·山东青岛·期中）过点P(1, −1)作曲线y = x
3−x的切线，不同的切线条数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
24．（2025·河南·模拟预测）已知f ( x)=2 x
3+(a−2)x
2−3 x是奇函数，则过点P(−1,2)向曲线y = f ( x)
可作的切线条数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．不确定
【题型7 两条切线平行、垂直、公切线问题】
25．（2025·湖南·三模）若直线y =kx +1（k 为常数）是曲线y = ln x +1和曲线y =ae
x+1的公切线，则实
数a 的值为（ ）
A．1
e
B．1
e
2
C．1
D．e
26．（2025·山东菏泽·一模）曲线y =|ln (x +1))在A(x1, y1)，B(x2, y2)两点处的切线互相垂直，则
1
x1
+ 1
x2
的值为（）
A．−1
B．0
C．1
D．e
27．（2025·福建福州·三模）曲线y =e
x−1与y = ln x +1的一条公切线的方程为 .（只需写出其
中一条公切线的方程）
28．（2025·四川成都·模拟预测）已知函数y = ❑√x的图象与函数y =a ln x的图象在公共点处有相同的切
线，则公共点坐标为
.
【题型8 与切线有关的最值问题】
29．（2025·江苏南京·二模）已知y =(x −a)
2+(x ln x −a+3)
2(a∈R)，则y的最小值为（ ）
A．2
B．1
C．
❑√2
2
D．1
2
30．（2025·广东佛山·一模）若直线y = x +a与曲线y =ln(x +b)相切，则a
2+b
2的最小值为（ ）
A．1
2
B．1
C．3
2
D．2
31．（24-25 高二下·河北秦皇岛·期末）已知m>0，n>0，直线y = x
e +m+1与曲线y =ln x−n+2相切，
则4
m + 1
n
的最小值是（ ）
A．16
B．12
C．10
D．9
32．（24-25 高二上·江苏南京·期末）实数x1
、x2
、y1
、y2
满足：x1
2−ln x1−y1=0，x2−y2−4 =0，则
(x1−x2)
2+( y1−y2)
2的最小值为（ ）
A．❑√2
B．2❑√2
C．2
D．8
A 组 基础跟踪练
一、单选题
1．（2025·湖北·一模）下列求导运算正确的是（ ）
A．(sin a)
′ =cosa(a 为常数)
B．(sin 2 x)
′ =2cos2 x
C．(3
x)
′ =3
x log3e
D．(❑√x +1)
′ =
2
❑√x +1
2．（2025·广东江门·模拟预测）曲线y =−e
x+5 x +2在点(0,1)处的切线方程为（ ）
A．4 x−y +1=0
B．4 x−y −1=0
C．5 x−y +1=0
D．5 x−y −1=0
3．（2025·云南昆明·模拟预测）若函数f (x)=a x
3+ f
′ (1)e
x+ x为奇函数，则a=（ ）
A．−1
B．−1
3
C．2
3
D．3
2
4．（2025·广东广州·模拟预测）若直线y = x +a与曲线y =e
x +b相切，则（ ）
A．a+b=−1
B．a+b=1
C．a−b=−1
D．a−b=1
5．（2025·甘肃白银·三模）若函数f (x)的导函数f
′ (x)为偶函数，则f (x)的解析式可以为（ ）
A．f (x)=cos x
B．f (x)= x
3+ x
2
C．f (x)= x
4+ 1
x
D．f (x)= x
3+2 x−3
6．（2025·河南·模拟预测）曲线y =e
x−1与y = x
2的公切线的条数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
7．（2025·福建福州·模拟预测）曲线f (x)= x
3+3 x在点(−1, f (−1))处的切线方程为（ ）
A．y + 4 =0
B．2 x−y −2=0
C．6 x−y =0
D．6 x−y +2=0
8．（2025·河北·模拟预测）已知函数f (x)= x
3−x +1，则f (x)的图象在点(1,1)处的切线方程是（ ）
A．4 x + y −5=0
B．4 x−y −3=0
C．2 x + y −3=0
D．2 x−y −1=0
9．（24-25 高二下·山东菏泽·期中）可与曲线y =e
x+1和y =e
x +1的公切线l垂直的直线方程为（ ）
A．x +e y +7 =0 B．e x + y −7 =0
C．x−y +1=0
D．x + y −1=0
10．（2025·全国·模拟预测）已知函数f (x)及其导函数f
′ (x)的定义域均为R，记
g(x)= f
′ (x), y = f (2 x−1)+1是定义在R上的奇函数，且f (2 x +1)的一个周期为2，则（ ）
A．2 为f (x)的周期
B．f (2025)+ f (−2023)=2
C．g(−x)= g(x)
D．g(3+ x)= g(3−x)
二、填空题
11．（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数f (x)= x
4+a x
2+2025，若f
′ (−2)=5，则f
′ (2)= ．
12．（2025·云南·一模）已知函数f ( x)= ❑√x−ln x，则曲线y = f ( x)在点(1,f (1))处的切线方程为
．
B 组 培优提升练
一、单选题
1．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数f (x)=ln x
x +a
，曲线y = f (x)在点(1,f (1))处的切线与直线
2 x−y =0平行，则实数a的值为（ ）
A．−1
2
B．−1
4
C．1
2
D．1
2．（2025·山西·三模）已知函数f (x)= x
3−ax的图象上两点A(x0,f (x0))，B(
1
x0
,f(
1
x0))
处的切线互相
垂直，则a的取值范围是（ ）
A．[−2,2)
B．(0,+∞)
C．[−3−❑√5,−3+ ❑√5)
D．(1,+∞)
3．（2025·河北秦皇岛·一模）已知曲线C : y =e
x+ x在点P(x0, y0)处的切线l与直线l
′: y =2 x−1平行，则l
与l
′之间的距离为（ ）
A．
❑√5
5
B．2❑√5
5
C．3 ❑√5
5
D．4 ❑√5
5
4．（2025·江西·一模）已知可导函数f (x)的定义域为R，f
′ (x)是f (x)的导函数，且f (2 x−1)为偶函数
f
′ (2 x +1)为奇函数，f
′ (0)=1，则f
′ (2024)+ f
′ (2025)+ f
′ (2026)=（ ）
A．−2
B．−1
C．0
D．1
5．（2025·河南·一模）抛物线C : y
2=2 px ( p>0)在其上一点处的切线方程为y −x−1=0，点A，B 为C 上
两动点，且|AB)=6，则AB的中点M 到y 轴距离的取值范围为（ ）
A．[2,+ ∞)
B．[
9
4 ,+ ∞)
C．[3,+ ∞)
D．[
3
2 ,+ ∞)
6．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数f (x)的导函数为f
′ (x)，f (x)和f
′ (x)的定义域均为R，若
f (x)−f (−x)=2 x，f
′ (x)+ f
′ (2−x)=0，f (0)=0，f (1)= 1
2
，则∑
n=1
8
f (n)−∑
n=1
8
f
′ (n)=（ ）
A．−66
B．−56
C．−38
D．28
二、解答题
7．（2025·湖北黄冈·一模）设函数f (x)=e
2 x−2ax +bcos x +1(a，b∈R)的图象在点(0,f (0))处的切线
方程为y =−2 x +2．
(1)求a，b的值；
(2)求函数g(x)= f
' (x)−e
x的最小值．
8．（2025·广东·模拟预测）已知函数f (x)=(x−3)e
x−1
2 a x
2+2ax +3a,a∈R．
(1)当a=1时，求曲线y = f (x)在(0,f (0))处的切线方程；
(2)若1<a<e
2
5
，证明：函数f (x)有3 个零点；
(3)当a>1时，对任意的xn<0(n∈N
*)，满足x1+ x2+⋅⋅⋅+ xn=−1
2
，证明：
f (x1)+ f (x2)+⋅⋅⋅+ f (xn)<(3n−1)(a−1)．
