专题3.6 导数的综合应用（举一反三专项训练）
【全国通用】
目录
第一部分 题型专
练
【题型1 导数中的函数零点（方程根）问题】.....................................................................................................1
【题型2 利用导数研究不等式恒成立问题】.........................................................................................................2
【题型3 利用导数研究能成立问题】......................................................................................................................3
【题型4 利用导数证明不等式】..............................................................................................................................3
【题型5 利用导数研究双变量问题】......................................................................................................................4
【题型6 导数中的极值偏移问题】..........................................................................................................................5
【题型7 导数在实际问题中的应用】......................................................................................................................6
【题型8 导数中的新定义问题】..............................................................................................................................8
第二部分 分层突破
A 组 基础跟踪练
B 组 培优提升练
【题型1 导数中的函数零点（方程根）问题】
1．（2025·四川成都·三模）函数f (x)=2 x−m−ln x有且只有一个零点，则m的取值是（ ）
A．1−ln2
B．1+ln2
C．ln2
D．−ln2
2．（2025·云南红河·三模）函数f (x)= x
3−12 x +16的零点个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
3．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知函数f (x)= x
3−2 x
2+ x +a(a∈R).
(1)当a=1时，求曲线y = f (x)在点(0,f (0))处的切线方程；
(2)若函数f (x)恰有三个不同零点，求实数a的取值范围.
4．（2025·广东汕头·三模）已知函数f (x)=a x
2+(a−2) x−ln x (a∈R)，f
′ (x)为f (x)的导函数，
(1)当a=1时，讨论f (x)的单调性；
(2)若f (x)有两个零点，
（i）求a的取值范围；
（ii）记f (x)较小的一个零点为x0
，证明：x0 f
′(x0)>−2.
【题型2 利用导数研究不等式恒成立问题】
5．（2025·山东烟台·三模）若不等式xe
x−x−ln x−a≥0恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）．
A．(0,1)
B．(0,e−1)
C．(−∞,1)
D．(−∞,e−1)
6．（2025·甘肃金昌·三模）若关于x的不等式eln (ax)ln (ax)≤2 xe
2 x在(0,+ ∞)上恒成立，则实数a的取值范
围为（ ）
A．(0,e)
B．(0,2e)
C．(0,❑√e)
D．(0,e
2)
7．（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数f (x)= xln x + x
2−2 x +2．
(1)求函数f (x)在x =1处的切线方程；
(2)若f (x)≥kx恒成立，求实数k的取值范围．
8．（2025·四川泸州·一模）已知函数f ( x)= xe
x．
(1)求曲线y = f ( x)在点(0,f (0))处的切线方程；
(2)若g( x)= f ( x)−x−ln x，对任意x∈(0,e)，都有g( x)≥m恒成立，求m的取值范围．
【题型3 利用导数研究能成立问题】
9．（2025·湖北·模拟预测）已知函数f (x)=axe
x+ln a
x ,g(x)= x
2−x，若存在实数x0，使得f (x0)≤g(x0)
，则实数a的取值范围为（ ）
A．(0,1)
B．(−∞,0)∪(0,1)
C．(0, 1
e)
D．(−∞,0)∪(0, 1
e)
10．（2025·陕西安康·模拟预测）若存在x∈(0,+∞)，使得不等式a
2 x
4+ x ≥e
a x
2
+ ln
2 x
成立，则实数a的
取值范围为（ ）
A．[
1
2e ,+∞)
B．[
1
e ,+ ∞)
C．(−∞, 1
e)
D．(−∞, 1
2e)
11．（2025·安徽·模拟预测）已知函数f ( x)=(3−a)ln x−3ax +3a+6−1
x
，其中a∈R.
(1)讨论函数f ( x)的单调性；
(2)若存在x>0，使f ( x)≥a
2成立，求实数a的取值范围.
12．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数f (x)=(mx−2)e
x−1，且f (x)在x =0处取得极值．
(1)求m 的值及f (x)的单调区间；
(2)若存在x∈R，使得f (x)≤2e x−a−1，求实数a 的取值范围．
【题型4 利用导数证明不等式】
13．（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数f (x)= x (ln x−1)−ae
x+eax +1，a∈R．
(1)若a≤0，证明：f (x)≥0；
(2)当0< x<1时，f (x)≥0恒成立，求a的取值范围．
14．（2025·福建漳州·模拟预测）已知函数f (x)=2e
x−ax (a∈R).
(1)当a≥0时，证明：f (a)≥2a+2；
(2)若f (x)存在两个零点，求a的取值范围.
15．（2025·云南·模拟预测）已知函数f (x)=e
x−2ax , a∈R．
(1)当a>0时，证明：f (x)>2a(3−e
2a)；
(2)若函数g(x)= f (x)
x
2 −aln x +1恰有三个极值点，求a的取值范围．
16．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知函数f (x)= xln x−ax +1(a>0).
(1)求f (x)的单调区间；
(2)若f (x)至多有一个零点，求实数a的取值范围；
(3)对于∀n∈N
*，证明：∑
i=1
n i+1
i
>n+ ln(n+1).
【题型5 利用导数研究双变量问题】
17．（2025·四川泸州·二模）已知两个不相等的正实数x，y 满足y ln x
y =1−y
x
，则下列结论一定正确的是
（ ）
A．x + y =1
B．xy =1
C．x + y >2
D．0< x + y <1
18．（2025·四川广安·模拟预测）已知0< x< y <π，且e
ysin x =e
xsin y，其中e 为自然对数的底数，则下
列选项中一定成立的是（ ）
A．cos x +cos y <0
B．cos x +cos y >0
C．cos x>sin y
D．sin x>sin y
19．（2025·甘肃白银·三模）已知函数f (x)= x +asin x ,g(x)=bln x (a,b∈R)，且曲线y = g(x)在点
(1,0)处的切线方程为y =−x +1.
(1)求实数b的值.
(2)当a=−1时，证明：当x>0时，f (x)>0.
(3)当a= 1
3
时，若存在0< x1< x2，使得f (x1)+ g(x1)= f (x2)+ g(x2)成立，证明：❑√x1+ ❑√x2>❑√3.
20．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知函数f ( x)= aln x +1
x
(a≠0),g( x)= be
x
x
．
(1)讨论f ( x)的单调性；
(2)当b= 1
e
时，不等式f ( x)−g( x)≤0恒成立，求实数a 的值；
(3)设不同正数m，n 满足n
m=m
ne
n−m，证明：m
2+n
2>2．
【题型6 导数中的极值偏移问题】
21．（2025·河北衡水·模拟预测）已知函数f (x)=ln x +1−ax有两个零点x1, x2，且x1< x2，则下列命题正
确的是（ ）
A．a>1
B．x1+ x2< 2
a
C．x1⋅x2<1
D．x2−x1> 1
a −1
22．（24-25 高二下·四川成都·期中）已知函数f (x)= ln x +1−ax有两个零点x1、x2，且x1< x2，则下列命
题正确的个数是（ ）
①0<a<1；②x1+ x2< 2
a
；③x1⋅x2>1；④x2−x1> 1
a −1；
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
23．（2025·陕西宝鸡·二模）已知函数f (x)=e
x−lna−sin x，
(1)当a=e时，求y = f (x)在(0,f (0))处的切线方程；
(2)若x∈(0,+ ∞)时，f (x)≥0恒成立，求a的范围；
(3)若f (x)在(0,π)内有两个不同零点x1、x2，求证：π
2 < x1+ x2<π.
24．（2025·湖南郴州·模拟预测）已知函数f ( x)=2aln x + 1
2 x
2−(a+2)x，其中a为常数.
(1)当a>0时，试讨论f ( x)的单调性；
(2)若函数f ( x)有两个不相等的零点x1，x2，
（i）求a的取值范围；
（ii）证明：x1+ x2>4.
【题型7 导数在实际问题中的应用】
25．（2024·江苏连云港·模拟预测）现有一个表面积为144πcm
2的实心球，若将其打磨成一个圆锥，则圆
锥体积的最大值为（ ）
A．32
3 πcm
3
B．16πcm
3
C．256π
3
cm
3
D．32πcm
3
26．（2024·山东泰安·模拟预测）把一个周长为6 的长方形铁皮围成一个无盖无底的圆柱，当圆柱的体积
最大时，该圆柱的底面半径和高的比值为（ ）
A．2
B．1
π
C．1
D．π
27．（2025·四川成都·二模）已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10 万元，每生产一千件需另投入
2.7 万元，设该公司年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，销售收入为R( x)万元，且
R( x)={
(10.8−1
30 x
2)x ,(0< x ≤10)
108−1000
3 x ,( x>10) )
（注：年利润=年销售收入−年总成本）
(1)写出年利润W （万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；
(2)求公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大时的年产量.
28．（2025·上海奉贤·二模）将一块边长为10cm的正方形铁片制作一个正四棱锥的容器罩．同学们设计了
甲、乙、丙三个不同的方案，各自裁下阴影部分，用余下的制作成正四棱锥容器罩，形如最右边的图．甲
和丙是去制作有盖的容器罩，乙是去制作无盖的容器罩．假设加工过程中铁片损失忽略不计．设甲、乙、
丙中白色的四个等腰三角形的底边分别是x、m、n．
(1)请你选择其中的某一个方案，而且只需选一个方案（选择超过一个方案的，按第一个方案处理）．你选
择的方案是______，求解以下2个问题：
求出所选方案相对应的棱锥的侧面积
①
S (x)、S (m)、S (n)；
求出所选方案相对应棱锥的体积
②
V (x)、V (m)、V (n)的最大值．
(2)假设三个方案中相应的体积最大值分别记作V (x)max、V (m)max、V (n)max，请直接写出三者的大小关
系．（不写判断理由与过程）
【题型8 导数中的新定义问题】
29．（2025·河南新乡·二模）曲率是用于描述曲线在某一点处弯曲程度的量，对于平面曲线y = f (x)，其曲
率K =
|y
″)
[1+( y
′)
2)
3
2 （y
′是y的导数，y
″是y
′的导数），曲率半径ρ是曲率K的倒数，其表示与曲线在某点处
具有相同弯曲程度圆的半径.已知质点以恒定速率v沿曲率半径为ρ的曲线作曲线运动时，向心加速度的大
小为v
2
ρ
.若该质点以恒定速率v0沿形状满足y = x
3−x
2的光滑轨道运动，则其在点(0,0)处的向心加速度的大
小为（ ）
A．1
2 v0
2
B．2v0
2
C．
❑√2
2 v0
2
D．❑√2v0
2
30．（2025·全国·模拟预测）定义：对于二元函数z = f (x , y)，当y固定在y0，而x在x0处有增量Δ x时，相
应地函数有增量f (x0+Δ x , y0)−f (x0, y0)，若lim
Δ x→0 f (x0+Δ x , y0)−f (x0, y0)
Δ x
存在，则称
lim
Δ x→0 f (x0+Δ x , y0)−f (x0, y0)
Δ x
为f (x , y)在点(x0, y0)处对x的偏导数，记为∂f
∂x)(x0, y0)
；同理可定义函数
z = f (x , y)在点(x0, y0)处对y的偏导数为lim
Δ x→0 f (x0, y0+Δ y)−f (x0, y0)
Δ y
，记为∂f
∂y)(x0, y0)
．已知函数
z = f (x , y)= x
2−2 xy +2 y
3+1( x >0, y >0)，则下列结论正确的是（ ）
A．∂f
∂x)
(1,2)
=−1
B．∂f
∂y)
(1,2)
=12
C．f (x , y)的最小值为26
27
D．∂f
∂x)(x0, y0)
+ ∂f
∂y)(x0, y0)
的最小值为−1
3
31．（2025·云南·模拟预测）定义：x1
，x2
是函数f (x)的两个极值点，若x1+ x2<2<f (x1)+ f (x2)，则称
f (x)为“τ函数．
”
(1)若f (x)= x
3+3a x
2−15为“τ函数，求实数
”
a的取值范围；
(2)已知函数g(x)=2e
x−1−x
2−bx +b有两个极值点．
（i）求b的取值范围；
（ii）证明：g(x)为“τ函数．
”
32．（2025·河北·模拟预测）若存在正数k，对任意的x1, x2∈D，|f (x1)−f (x2))≥k|g(x1)−g(x2))恒成
立，则称函数f (x)，g(x)在D上具有性质“M (k ) ．
”
(1)判断函数f (x)= 1
2 x
2，g(x)= x
4在[−2,2)上是否具有性质“M(
1
16) ，并说明理由；
”
(2)若函数f (x)=2 x−sin x，g(x)=−cos x在[0,π
2 )上具有性质“M (k ) ，求
”
k的取值范围；
(3)若函数f (x)与g(x)= xe
x−ln x−x在(0,+ ∞)上具有性质“M (1) ，且存在
”
a,b∈(0,+∞)，a<b，使得
f (a)= f (b)，求证：ae
a+be
b>2．
A 组 基础跟踪练
一、单选题
1．（2025·天津河北·模拟预测）函数f (x)= ln x +8−x的零点个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
2．（2025·陕西安康·模拟预测）函数f (x)=ln x + x
2−2的零点所在区间是（ ）
A．(0,
❑√2
2 )
B．(
❑√2
2 ,1)
C．(1,❑√2)
D．(❑√2,2)
3．（2025·广西来宾·模拟预测）曲率是数学上衡量曲线弯曲程度的重要指标，对于曲线y = f ( x)，其在点
( x0,f ( x0))处的曲率K =|f
″( x0)|
{1+[ f
′( x0)]
2}
3
2
，其中f
′( x)是f ( x)的导函数，f
′′ (x)是f
′( x)的导函数．则抛物
线x
2=2 py( p>0)上的各点处的曲率最大值为（ ）
A．2 p
B．p
C．1
p
D．2
p
4．（2025·陕西·模拟预测）∀x∈[1,2)，有a≥−x
2ln x + x
2恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．[e,+ ∞)
B．[1,+∞)
C．[
e
2 ,+∞)
D．[2e,+∞)
5．（2025·湖南益阳·三模）若函数f ( x)=−aln x + x
2−1
2
有两个零点，则a 的取值范围为（ ）
A．(−∞,1)
B．(1,+∞)
C．(0,1)∪(1,+ ∞)
D．(0,1)
6．（2025·海南·模拟预测）已知当x∈(0,+∞)时，函数f ( x)=axe
ax−( x +1)ln x +ax ≥0恒成立，求实
数a 的取值范围是（ ）
A．[−1
e ,+ ∞)
B．[
1
e ,+∞)
C．[
2
e ,+∞)
D．[e,+ ∞)
二、填空题
7．（2025·江苏南通·模拟预测）设正六棱锥P−ABCDEF的底面中心为O，若该棱锥的侧棱均与以O为球
心，半径为1 的球相切，则该棱锥体积的最小值为
.
8．（2025·全国·模拟预测）设实数m>0，若对∀x∈(0,+∞)，不等式me
mx−ln x ≥0恒成立，则m的取
值范围为
．
B 组 培优提升练
一、单选题
1．（2025·海南·模拟预测）已知当x>0时，e
xln x−2 xln x ≥a恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．(−∞,1)
B．(−∞,2−2ln2)
C．(−∞,2ln2)
D．(−∞,2+2ln2)
2．（2025·江苏常州·模拟预测）函数f ( x)=( x −5)e
x+e x +3e的所有零点之和为（ ）
A．1
B．3
C．5
D．7
3．（2025·山东青岛·模拟预测）若函数f (x)= x
2(1−e
x)+ x (ln x +a)有2 个零点，则实数a的取值范围是
（ ）
A．(−∞,0)
B．(−∞,1)
C．[0,+ ∞)
D．(1,+∞)
4．（2025·重庆·模拟预测）如果函数f (x)在区间D 上有定义，且对∀x1，x2∈D , x1≠x2，均有
|f (x1)−f (x2))≤|x1−x2)，则称D 为f (x)的平稳区间
“
”.已知函数f (x)=a x
3−3 x
2+2ax有平稳区间，则
“
”
a 的取值范围是（ ）.
A．(−∞,−3
2)∪[0, 3
2)
B．(−∞,−3
2)∪[0, 3
2)
C．[−3
2 , 3
2)
D．(−3
2 , 3
2)
5．（2025·江西鹰潭·二模）已知函数f ( x)=2−
2
e
x+1
，若方程f (ae
x)+ f (3−x
2)=2有三个不同根，则实
数a的取值范围是（ ）
A．(0, 6
e
3 )
B．(0, 2
e )
C．(−2e, 6
e
3 )
D．(−2e, 2
e )
6．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知函数f (x)= xe
x−a有两个零点x1, x2，且x1< x2，则（ ）
A．x1+2e x2>−3
B．x1+2e x2=−3
C．x1+2e x2<−3
D．x1+2e x2与−3无法比较大小
二、解答题
7．（2025·湖南·一模）已知函数f (x)=ln x +a x
2, g(x)=e
x−a x
2,a∈R．
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)若g(2 x)≥4 x
2[f (x)+ 1
x −a x
2)恒成立，求实数a的取值范围．
8．（2025·云南楚雄·模拟预测）已知函数f (x)=(2 x +a)e
x，其中a为常数.
(1)若函数f (x)的极小值点为x =−1
2
，求a的值；
(2)若f (x)≥e
3在x∈[0,1)时恒成立，求实数a的取值范围；
(3)当a=1时，若函数g(x)= f (x)−kx在(−∞,0)上恰有两个不同的零点，求实数k的取值范围.
9．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知函数f ( x)= ln x−ax．
(1)若a=2，求函数f ( x)的单调区间；
(2)设g( x)= f ( x)+1，讨论函数g( x)的零点个数；
(3)证明：1+ 1
2 +⋯+ 1
n >ln(n+1)，(n∈N
∗)．
10．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知函数f (x)=|ln x)−ax.
(1)若曲线y = f (x)在x =e处的切线与在x = 1
e
处的切线相互垂直，求a的值.
(2)设x1, x2, x3(x1< x2< x3)是f (x)的三个零点.
（i）求a的取值范围；
（ii）证明：x2 x3
2 x1
3>e
2.
11．（2025·云南·一模）已知函数f ( x)=e
x−ax−1(a∈R)．
(1)讨论f ( x)的单调性；
(2)若f ( x)在(0,1]上存在唯一零点，求a 的取值范围；
(3)函数g( x)= f ( x)+2ln x + x
2−ax−e
x+1有两个极值点为x1, x2(x1< x2)，若x2≥2 x1
，求g(x2)−g(x1)
的最大值．
12．（2025·四川绵阳·模拟预测）拐点，又称反曲点，指改变曲线向上或向下的点（即曲线的凹凸分界
点）．设f
′ (x)是函数y = f (x)的导函数，f
″ (x)是函数f
′ (x)的导函数．若方程f
″ (x)=0有实数解x = x0，并
且在点(x0,f (x0))左右两侧二阶导数符号相反，则称(x0,f (x0))为函数y = f (x)的拐点．经研究发现所有
“
”
的三次函数f (x)=a x
3+b x
2+cx +d (a≠0)都有拐点，且该拐点也是函数
“
”
“
”
y = f (x)的图象的对称中心．
已知三次函数f (x)= x
3−3 x
2+ 4．
(1)过点P(0,5)作曲线y = f (x)的切线，求切线方程：
(2)若对于任意实数x，都有f (x
2−2 x + 4)+ f (x
2+ λx)>4恒成立，求实数λ的取值范围；
(3)已知函数g(x)=2m x
3+[6ln(mx)−15) x
2+ 18
m x−5
m
2 +1，其中m>0．求g(x)的拐点．
