专题5.1 平面向量的概念及线性运算（举一反三讲义）
【全国通用】
【题型1 平面向量的基本概念】..............................................................................................................................2
【题型2 向量的几何表示】......................................................................................................................................4
【题型3 向量加、减法的几何意义】......................................................................................................................5
【题型4 向量的线性运算】......................................................................................................................................7
【题型5 根据向量线性运算求参数】......................................................................................................................9
【题型6 向量共线定理及其应用】........................................................................................................................11
1、平面向量的概念及线性运算
考点要求
真题统计
考情分析
(1)理解平面向量的意义、几
何表示及向量相等的含义
(2)掌握向量的加法、减法运
算，并理解其几何意义及向
量共线的含义
(3)了解向量线性运算的性质
及其几何意义
2022 年新高考全国I 卷：第3
题，5 分
2023 年全国甲卷（理数）：
第4 题，5 分
2025 年天津卷：第14 题，5
分
平面向量是高考的重点、热点内
容.从近几年的高考情况来看，平面向
量的概念和平面向量的线性运算主要以
选择题、填空题的形式考查，难度较
易，考查形式比较稳定.学生在高考复
习中应注意加强对向量的线性运算法
则、向量共线定理的理解.
知识点
1
平行向量有关概念的归纳
1．平行向量有关概念的四个关注点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆.
(4)非零向量⃗
a
与
的关系：
是与⃗
a
同方向的单位向量.
知识点
2
平面向量线性运算问题及其解题策略
1．平面向量线性运算问题的求解思路：
(1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法
相互转化；
(2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线
定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示.
2．向量线性运算的含参问题的解题策略：
与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运
算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.
3．利用共线向量定理解题的策略：
(1)
是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.
(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A,B,C 三点共线
共线.
(3)若⃗a与⃗b不共线且
，则
.
(4)
(λ,μ 为实数)，若A,B,C 三点共线，则λ+μ=1.
【方法技巧与总结】
1．中点公式的向量形式：若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则
.
2．
(λ,μ 为实数)，若A,B,C 三点共线，则λ+μ=1.
3．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是考虑向量的方向；二是要
特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.
【题型1 平面向量的基本概念】
【例1】（24-25 高一下·湖南岳阳·期末）下列说法正确的是（ ）
A．若|⃗a)=|⃗b)，则⃗a=⃗b
B．零向量没有方向
C．相等向量的长度相等
D．共线向量是在同一条直线上的向量
【答案】C
【解题思路】根据向量的相关概空可判断AC 的真假；根据零向量的概念可判断B 的真假，根据共线向量
的概念可判断D 的真假.
【解答过程】对A，由|⃗a)=|⃗b)，不能得到⃗a,⃗b方向相同，所以⃗a=⃗b未必成立，故A 错误；
对B：零向量的方向是任意的，故B 错误；
对C：根据相等向量的概念，C 正确；
对D：共线向量是指方向相同或相反的向量，故D 错误.
故选：C.
【变式1-1】（24-25 高一下·广西河池·期末）下列向量的概念错误的是（ ）
A．长度为0 的向量是零向量，零向量的方向是任意的
B．零向量和任何向量都是共线向量
C．相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等
D．⃗a//⃗b，⃗b//⃗c，则⃗a//⃗c
【答案】D
【解题思路】根据零向量，相等向量，共线向量的定义即可求解.
【解答过程】对于A, 零向量的长度为0，且方向是任意的，故A 正确，
对于B，规定零向量与任意向量共线，故B 正确，
对于C，相等向量的模长和方向都相同，故相等向量一定是共线向量，但共线向量是方向相同或者相反的
两个向量，模长不一定相等，故共线向量不一定相等，C 正确，
对于D，当⃗b为零向量时，此时不一定能得到⃗a//⃗c，故D 错误，
故选：D.
【变式1-2】（24-25 高一下·四川乐山·期末）下列说法正确的是（ ）
A．若⃗a,⃗b为单位向量，则⃗a=⃗b
B．若⃗a,⃗b为平行向量，则⃗a=⃗b
C．若|⃗a|=|⃗b|，则⃗a=⃗b
D．若⃗a=⃗b，则|⃗a|=|⃗b|
【答案】D
【解题思路】由向量相等的概念进行判断即可.
【解答过程】由向量相等的概念可知⃗a=⃗b ⇔ |⃗a|=|⃗b|且⃗a,⃗b方向相同.
对A：⃗a,⃗b为单位向量可得|⃗a|=|⃗b|，但⃗a,⃗b方向未必相同，故⃗a=⃗b未必成立，故A 错误；
对B：⃗a,⃗b为平行向量，不能说明|⃗a|=|⃗b|，也不能说明⃗a,⃗b方向相同，所以不能说明⃗a=⃗b，故B 错误；
对C：仅|⃗a|=|⃗b|，不能说明⃗a=⃗b，故C 错误；
对D：若⃗a=⃗b，则|⃗a|=|⃗b|正确，故D 正确.
故选：D.
【变式1-3】（24-25 高一下·上海嘉定·期末）以下关于平面向量的说法正确的是（ ）
A．若⃗a=⃗b，则|⃗a)=|⃗b)
B．若⃗a//⃗b,⃗b//⃗c，则⃗a//⃗c
C．若⃗a,⃗b是共线的单位向量，则⃗a=⃗b
D．若⃗a=⃗b，则⃗a,⃗b不是共线向量
【答案】A
【解题思路】对 A，由相等向量的定义判断；对B，举反例⃗b=⃗0时，可判断；对C，由共线向量的定义判
断；对D，由相等向量和共线向量的定义判断.
【解答过程】对于A，若⃗a=⃗b，则|⃗a)=|⃗b)，故A 正确；
对于B，若⃗b=⃗0，则⃗a//⃗c不一定成立，故B 错误；
对于C，若⃗a,⃗b是共线的单位向量，则⃗a=⃗b或⃗a=−⃗b，故C 错误；
对于D，若⃗a=⃗b，则⃗a,⃗b是共线向量，故D 错误.
故选：A.
【题型2 向量的几何表示】
【例2】（24-25 高一下·新疆·期中）下列说法正确的是（ ）
A．向量的模是一个正实数
B．零向量没有方向
C．单位向量的模等于1 个单位长度
D．零向量就是实数0
【答案】C
【解题思路】根据向量的模、零向量和单位向量的定义逐个选项分析可得答案.
【解答过程】对于A，零向量的模等于零，故A 错误；
对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B 错误；
对于C，根据单位向量的定义可C 知正确；
对于D，零向量有大小还有方向，而实数0只有大小没有方向，故D 错误.
故选：C.
【变式2-1】（24-25 高二上·广东湛江·开学考试）下列命题正确的个数是（ ）
（1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量；
（3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解题思路】（1）由向量的几何表示判断；（2）（3）（4）根据对零向量的规定判断.
【解答过程】（1）向量可以用有向线段表示，但不能把两者等同，故错误；
（2）根据对零向量的规定零向量是有方向的，是任意的，故错误；
（3）根据对零向量的规定，零向量的方向是任意的，故正确；
（4）根据对零向量的规定，零向量的大小为0，所以零向量的长度为0，故正确．
故选：B.
【变式2-2】（24-25 高一下·安徽合肥·阶段练习）在如图所示的半圆中，AB 为直径，点O 为圆心，C 为半
圆上一点，且∠OCB =30°，|⃗AB)=2，则|⃗AC)等于（ ）
A．1
B．❑√2
C．❑√3
D．2
【答案】A
【解题思路】根据|⃗OC)=|⃗OB)，可得∠ABC =∠OCB =30°，进一步得出答案.
【解答过程】如图，连接AC，
由|⃗OC)=|⃗OB)，得∠ABC =∠OCB =30°.
因为C为半圆上的点，所以∠ACB =90°，
所以|⃗AC)= 1
2|⃗AB)=1．
故选：A.
【变式2-3】（24-25 高一下·河北石家庄·阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．向量⃗CD与向量⃗DC长度相等
B．起点相同的单位向量，终点必相同
C．向量的模可以比较大小
D．任一非零向量都可以平行移动
【答案】B
【解题思路】根据向量的定义，相反向量，单位向量，模的定义，判断选项.
【解答过程】⃗CD和⃗DC长度相等，方向相反，故A 正确；
单位向量的方向不确定，故起点相同时，终点不一定相同，故B 错误；
向量的长度可以比较大小，即模长可以比较大小，故C 正确；
向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故D 正确．
故选：B.
【题型3 向量加、减法的几何意义】
【例3】（24-25 高一下·广西柳州·期中）四边形ABCD中，O 为任意一点，若⃗OA −⃗OB+⃗OC −⃗OD =⃗0，
则四边形ABCD一定是（ ）
A．矩形
B．菱形
C．正方形
D．平行四边形
【答案】D
【解题思路】根据向量的减法可得⃗AB =⃗DC，进而分析求解即可.
【解答过程】因为⃗OA −⃗OB+⃗OC −⃗OD =⃗0，则⃗BA +⃗DC =⃗0，即⃗AB =⃗DC，
可知AB ,CD两边平行且相等，所以四边形ABCD是平行四边形，
但没有足够条件判断ABCD是否为矩形、菱形或正方形，故ABC 错误，D 正确.
故选：D.
【变式3-1】（24-25 高一下·陕西·期中）在基底{⃗a,⃗b)下，向量⃗c = 4⃗a−3⃗b，则在下列图中，能正确表示⃗c
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解题思路】根据图象，结合数乘向量以及向量加减法的几何意义，即可得出答案.
【解答过程】由图象可知，A 选项，⃗c =3⃗a−4⃗b；
B 选项，⃗c = 4⃗b−3⃗a；
C 选项，⃗c =3⃗b−4⃗a；
D 选项，⃗c = 4⃗a−3⃗b．
故选：D.
【变式3-2】（24-25 高一下·贵州六盘水·阶段练习）如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，⃗
OA =⃗a,⃗OB=⃗b,⃗OC =⃗c，则⃗OD等于（ ）
A．⃗a−⃗b+⃗c
B．⃗a+⃗b+⃗c
C．⃗a−⃗b−⃗c
D．⃗a+⃗b−⃗c
【答案】A
【解题思路】根据平面向量的线性运算可得结果.
【解答过程】∵⃗BA =⃗OA −⃗OB=⃗a−⃗b,⃗CD =⃗BA =⃗a−⃗b ，
∴⃗OD =⃗OC +⃗CD =⃗a−⃗b+⃗c.
故选：A.
【变式3-3】（24-25 高三下·福建宁德·开学考试）在平行四边形ABCD中，E为线段AB的中点，且⃗
AF =⃗AD+⃗AE，则（ ）
A．F为线段AD的中点
B．F为线段BC的中点
C．F为线段CD的中点
D．F为线段BD的中点
【答案】C
【解题思路】利用平面向量的减法法则结合给定条件得到⃗DF =⃗AE，结合平行四边形性质和E为线段AB
的中点得到⃗DF = 1
2⃗DC，进而求出结果即可.
【解答过程】如图，在平行四边形ABCD中，由向量的减法法则得⃗DF =⃗AF −⃗AD，
因为⃗AF =⃗AD+⃗AE，所以⃗DF =⃗AD+⃗AE−⃗AD =⃗AE，
因为E为线段AB的中点，所以⃗AE = 1
2⃗AB，
由平行四边形性质得⃗AB =⃗DC，故⃗DF = 1
2⃗DC，
则F为线段CD的中点，故C 正确.
故选：C.
【题型4 向量的线性运算】
【例4】（2025·四川自贡·三模）在△ABC中，D是AB边上的中点，则⃗CA =（ ）
A．2⃗CD−⃗CB
B．⃗CD−2⃗CB
C．2⃗CD +⃗CB
D．⃗CD +2⃗CB
【答案】A
【解题思路】根据平面向量的线性运算求解即可.
【解答过程】因为D是AB边上的中点，
所以⃗CA +⃗CB =2⃗CD，即⃗CA =2⃗CD−⃗CB.
故选：A.
【变式4-1】（2025·浙江嘉兴·三模）在△OAB所在平面内，点C满足⃗AB =3⃗BC，记⃗OA =⃗a，⃗OB=⃗b，则⃗
OC =（ ）
A．1
3⃗a+ 2
3⃗b
B．2
3⃗a+ 1
3⃗b
C．−1
3⃗a+ 4
3⃗b
D．4
3⃗a−1
3⃗b
【答案】C
【解题思路】由向量的线性运算法则即可算得结果.
【解答过程】由向量的线性运算可知OC
→
=OA
→
+ AC
→
=OA
→
+ AB
→
+ BC
→
=OA
→
+ 4
3(OB
→
−OA
→)=−1
3 a
→
+ 4
3 b
→
.
故选：C.
【变式4-2】（2025·贵州铜仁·模拟预测）在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分
点，则（ ）
A．⃗BE =−1
3⃗AB+ 2
3⃗AD
B．⃗BE = 2
3⃗AB−1
3⃗AD
C．⃗BE = 1
3⃗AB−2
3⃗AD
D．⃗BE =−2
3⃗AB+ 1
3⃗AD
【答案】A
【解题思路】由向量的加减法，和数乘运算法则直接求解即可.
【解答过程】因为E是对角线AC上靠近点C的三等分点，
所以⃗AE = 2
3⃗AC，
则⃗BE =⃗BA +⃗AE =⃗BA + 2
3⃗AC =−⃗AB+ 2
3 (⃗AB+⃗AD)=−1
3⃗AB+ 2
3⃗AD.
故选：A.
【变式4-3】（2025·重庆·一模）在平行四边形 ABCD 中，⃗AE = 1
4⃗AB，⃗AF = 1
3⃗AD，CE 与 BF 相
交于 G ，若⃗AB =⃗a ，⃗AD =⃗b ，则⃗AG =（ ）
A．2
5⃗a+ 1
5⃗b
B．2
5⃗a+ 3
5⃗b
C．3
7⃗a+ 1
7⃗b
D．4
7⃗a+ 2
7⃗b
【答案】A
【解题思路】由B ,G, F三点共线，则可设⃗AG = x⃗AB+(1−x)⃗AF，由C ,G, E三点共线，则可设⃗
AG = y⃗AE +(1−y)⃗AC，然后根据题意都用⃗a,⃗b表示，从而可求出x , y的值，进而可求得答案
【解答过程】
因为B ,G, F三点共线，所以可设⃗AG = x⃗AB+(1−x)⃗AF，
所以⃗AG = x⃗a+ 1−x
3⃗
b，
因为C ,G, E三点共线，所以可设⃗AG = y⃗AE +(1−y)⃗AC，
因为⃗AB =⃗a ，⃗AD =⃗b，所以⃗AC =⃗AB+⃗AD =⃗a+⃗b，
所以⃗AG = y
4⃗a+(1−y)(⃗a+⃗b)=(1−3
4 y)⃗a+(1−y)⃗b，
所以x⃗a+ 1−x
3⃗
b=(1−3
4 y)⃗a+(1−y)⃗b，
即{
x =1−3
4 y
1−x
3
=1−y)
，解得x = 2
5，y = 4
5 ，
所以⃗AG = 2
5⃗a+ 1
5⃗b，
故选：A.
【题型5 根据向量线性运算求参数】
【例5】（2025·山东临沂·一模）在△ABC中，点D是AB的中点，点P在CD上，若⃗AP = λ⃗AB+ 1
3⃗AC，
则λ =（ ）
A．1
6
B．1
3
C．2
3
D．4
3
【答案】B
【解题思路】由题意⃗CP =(
2
3 −λ)⃗CA + λ⃗CB，⃗CD = 1
2⃗CA + 1
2⃗CB，根据点P在CD上，即可列方程求解.
【解答过程】由题意点D是AB的中点，所以⃗CD = 1
2⃗CA + 1
2⃗CB，
又⃗AP = λ⃗AB+ 1
3⃗AC，所以⃗AC +⃗CP= λ(⃗AC +⃗CB)+ 1
3⃗AC，
解得⃗CP =(
2
3 −λ)⃗CA + λ⃗CB，
又因为点P在CD上，
所以
λ
2
3 −λ
=
1
3
λ ，解得λ= 1
3或λ=−2
3（舍去）.
故选：B.
【变式5-1】（24-25 高三上·浙江·期中）在△ABC中，D 是BC 上一点，满足⃗BD =2⃗DC，M 是AD 的中
点，若⃗BM = λ⃗BA + μ⃗BC，则λ+ μ=（ ）
A．5
4
B．7
8
C．5
6
D．5
8
【答案】C
【解题思路】利用平面向量线性运算相关计算方式计算即可.
【解答过程】由题可知，⃗AM = 1
2⃗AD⇒2⃗BM −2⃗BA =⃗BD−⃗BA ⇒⃗BM = 1
2⃗BA + 1
2⃗BD，⃗
BD =2⃗DC =2(⃗BC −⃗BD)⇒⃗BD = 2
3⃗BC,
所以有⃗BM = 1
2⃗BA + 1
2⃗BD = 1
2⃗BA + 1
3⃗BC，所以λ= 1
2 , μ= 1
3，得λ+ μ= 5
6.
故选：C.
【变式5-2】（2024·贵州铜仁·模拟预测）如图，在△ABC中，M是边BC的中点，P是AM上一点，且⃗
BP = 2
3⃗BA +m⃗BC，则m=（ ）
A．1
6
B．1
3
C．1
2
D．2
5
【答案】A
【解题思路】设⃗AP = λ⃗AM，根据图形由向量的加法法则运算即可．
【解答过程】设⃗AP = λ⃗AM，因为M是边BC的中点，所以⃗BM = 1
2⃗BC，
所以⃗AM =⃗BM −⃗BA = 1
2⃗BC −⃗BA，⃗
BP =⃗BA +⃗AP =⃗BA + λ⃗AM =⃗BA + 1
2 λ⃗BC −λ⃗BA =(1−λ)⃗BA + 1
2 λ⃗BC，
又⃗BP = 2
3⃗BA +m⃗BC，所以{
1−λ = 2
3
1
2 λ =m)
，解得m= 1
6．
故选：A．
【变式5-3】（2024·广西·模拟预测）在△ABC中，⃗AB = 4⃗AD，⃗CE =2⃗ED.若⃗BC = λ⃗AE + μ⃗CD，则
（ ）
A．λ+ μ=5
B．λ−μ=1
C．λμ=6
D．λ
μ =3
【答案】C
【解题思路】将向量⃗AE，⃗CD看作基底，利用向量的加减法法则以及数乘的运算法则，得到⃗BC =
−3⃗AE−2⃗CD即可.
【解答过程】依题意，⃗AB = 4⃗AD，
所以⃗BC =⃗DC −⃗DB =−⃗CD−3⃗AD =−⃗CD−3(⃗AE +⃗ED)，
又因为⃗CE =2⃗ED，
所以⃗BC =−⃗CD−3⃗AE−3⃗ED =−⃗CD−3⃗AE−⃗CD =−3⃗AE−2⃗CD，
所以λ =−3，μ=−2，
所以λ+ μ=−5，λ−μ=−1，λμ=6，λ
μ = 3
2，只有选项C 正确；
故选：C．
【题型6 向量共线定理及其应用】
【例6】（2024·内蒙古赤峰·二模）已知⃗a，⃗b是两个不共线的向量，命题甲：向量t⃗a+⃗b与⃗a−2⃗b共线；命
题乙: t =−1
2 ，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解题思路】利用向量共线定理即可判断.
【解答过程】对于命题甲，可设t⃗a+⃗b= λ(⃗a−2⃗b)，即t⃗a+⃗b= λ⃗a−2 λ⃗b，
则{
t = λ
1=−2 λ)，所以t = λ=−1
2；
对于命题乙，t =−1
2时，t⃗a+⃗b=−1
2 (⃗a−2⃗b)，则有向量t⃗a+⃗b与⃗a−2⃗b共线.
故甲是乙的充要条件.
故选：C.
【变式6-1】（23-24 高一上·辽宁·期末）已知⃗a与⃗b为非零向量，⃗OA =⃗a+⃗b,⃗OB=2⃗a−⃗b,⃗OC = λ⃗a+ μ⃗b，
若A ,B ,C三点共线，则2 λ+ μ=（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【解题思路】根据三点共线可得向量共线，由此结合向量的相等列式求解，即得答案.
【解答过程】由题意知，A ,B ,C三点共线，故⃗AB =⃗a−2⃗b,⃗BC =( λ−2)⃗a+( μ+1)⃗b,
且⃗AB ,⃗BC共线，
故不妨设⃗AB =k⃗BC ,(k ≠0)，则{
1=k( λ−2)
−2=k( μ+1))，
所以λ−2= μ+1
−2 ，解得2 λ+ μ=3，
故选：D.
【变式6-2】（2025·湖南·模拟预测）如图，在△ABC中，点O是线段BC上靠近点B的三等分点，过点O
的直线分别交直线AB、AC于点M、N.设⃗AB =m⃗AM，⃗AC =n⃗AN，则2m+n的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解题思路】根据⃗CO =2⃗OB，结合平面向量的减法可得出⃗AO = 2
3⃗AB+ 1
3⃗AC，结合⃗AB =m⃗AM，⃗
AC =n⃗AN，可得出⃗AO = 2
3 m⃗AM + 1
3 n⃗AN，利用M、N、O三点共线，可求出2m+n的值.
【解答过程】连接AO，因为点O是线段BC上靠近点B的三等分点，则⃗CO =2⃗OB，
即⃗AO−⃗AC =2(⃗AB−⃗AO)，所以，⃗AO = 2
3⃗AB+ 1
3⃗AC，
又因为⃗AB =m⃗AM，⃗AC =n⃗AN，则⃗AO = 2
3 m⃗AM + 1
3 n⃗AN，
因为M、N、O三点共线，设⃗MO =k⃗MN，则⃗AO−⃗AM =k (⃗AN −⃗AM )，
所以，⃗AO =(1−k )⃗AM +k⃗AN，且⃗AM、⃗AN不共线，
所以，2
3 m=1−k，1
3 n=k，故2
3 m+ 1
3 n=1−k +k =1，因此，2m+n=3.
故选：C.
【变式6-3】（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知向量⃗a,⃗b不共线，⃗AB = λ⃗a+⃗b,⃗AC =⃗a+ μ⃗b，其中
λ>0, μ>0，若A ,B ,C三点共线，则λ+ 4 μ的最小值为（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
【答案】B
【解题思路】根据向量共线定理和基本不等式即可求解.
【解答过程】因为A ,B ,C三点共线，
所以存在实数k，使AB
→
=k AC
→，即λ⃗a+⃗b=k (⃗a+ μ⃗b)，
又向量⃗a,⃗b不共线，所以{
λ=k
1= μk)⇒λμ=1，
由λ>0, μ>0，所以λ+ 4 μ≥2❑√4 λμ= 4，
当且仅当λ = 4 μ=2时，取等号，
即λ+ 4 μ的最小值为4.
故选：B.
一、单选题
1．（2025·云南临沧·模拟预测）关于非零向量⃗a,⃗b，下列说法正确的是（ ）
A．若|⃗a)>|⃗b)，则⃗a>⃗b
B．若|⃗a|=)⃗b)，则⃗a=⃗b
C．若⃗a=⃗b，则⃗a//⃗b
D．若⃗a≠⃗b，则⃗a，⃗b不是共线向量
【答案】C
【解题思路】由向量的模长，共线，相等的性质逐项判断即可.
【解答过程】对于A，向量不能比较大小，故A 错；
对于B，向量的模相等，但是向量的方向可能不同，故B 错；
对于C，若⃗a=⃗b，由向量相等的条件可得⃗a//⃗b，故C 正确；
对于D，不相等的向量也可能是共线向量，故D 错.
故选：C．
2．（2025·辽宁·一模）已知△ABC，点D 满足⃗BD =3⃗BC，则⃗AD =（ ）
A．3⃗AB−2⃗AC
B．3⃗AC −2⃗AB
C．3
2⃗AB−1
2⃗AC
D．1
2⃗AC −3
2⃗AB
【答案】B
【解题思路】由图形结合向量的加法法则可得.
【解答过程】⃗
AD =⃗AB+⃗BD =⃗AB+3⃗BC =⃗AB+3(⃗AC −⃗AB)=3⃗AC −2⃗AB.
故选：B.
3．（2025·河南·三模）若点A 在点O 的正北方向，点B 在点O 的南偏西60
∘方向，且|OA)=|OB)=2km，
则向量⃗OA +⃗OB表示（ ）
A．从点O 出发，朝北偏西60
∘方向移动2❑√3km
B．从点O 出发，朝北偏西75
∘方向移动2❑√3km
C．从点O 出发，朝北偏西60
∘方向移动2km
D．从点O 出发，朝北偏西75
∘方向移动2km
【答案】C
【解题思路】以O 为坐标原点，正东方向为x 轴的正方向，正北方向为y 轴的正方向，建立平面直角坐标
系，标出题中所给信息，再利用向量加法的平行四边形法则求出⃗OA +⃗OB即可.
【解答过程】以O 为坐标原点，正东方向为x 轴的正方向，正北方向为y 轴的正方向，建立如图所示的平
面直角坐标系，
依题意可得∠AOB =180
∘−60
∘=120
∘，
设⃗OC =⃗OA +⃗OB，因为|OA)=|OB)=2km，所以四边形OACB 为菱形，
则∠AOC = 1
2 ×120
∘=60
∘，则△AOC为正三角形，所以|⃗OC)=2km，
故向量⃗OA +⃗OB表示从点O 出发，朝北偏西60
∘方向移动2km.
故选：C.
4．（2025·广东广州·三模）已知向量⃗a,⃗b不共线，λ⃗a+⃗b与3⃗a+2⃗b共线，则实数λ的值为（ ）
A．3
2
B．2
C．6
D．−2
3
【答案】A
【解题思路】由向量共线得到λ
3 = 1
2，求解即可.
【解答过程】因为λ⃗a+⃗b与3⃗a+2⃗b共线，
所以λ
3 = 1
2，
解得：λ= 3
2，
故选：A.
5．（2025·湖南邵阳·三模）设D为△ABC所在平面内一点，⃗AD =−1
5⃗AB+ 6
5⃗AC．若⃗BC = λ⃗DC (λ∈R)
，则λ的值为（ ）
A．4
B．5
C．−4
D．−5
【答案】D
【解题思路】根据向量的线性运算，即可求解.
【解答过程】⃗AD =−1
5⃗AB+ 6
5⃗AC =−1
5⃗AB+ 1
5⃗AC +⃗AC，
所以⃗AD−⃗AC =−1
5 (⃗AB−⃗AC)，即⃗CD =−1
5⃗CB，即BC⃗=−5 DC⃗,
即λ =−5.
故选：D.
6．（2025·广东·模拟预测）若平面向量⃗a，⃗b，⃗c满足|⃗a−⃗b)=|2⃗b−⃗c)=1，则|2⃗a−⃗c)的最大值是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【解题思路】|2⃗a−⃗c)=|2(⃗a−⃗b)+2⃗b−⃗c)≤2|⃗a−⃗b)+|2⃗b−⃗c)求解即可.
【解答过程】|2⃗a−⃗c)=|2(⃗a−⃗b)+2⃗b−⃗c)≤2|⃗a−⃗b)+|2⃗b−⃗c)=2+1=3，
当⃗a−⃗b与2⃗b−⃗c同向时取等号，
故选：B.
7．（2024·浙江·模拟预测）已知向量⃗e1，⃗e2是平面上两个不共线的单位向量，且⃗AB =⃗e1+2⃗e2，⃗
BC =−3⃗e1+2⃗e2，⃗DA =3⃗e1−6⃗e2，则（ ）
A．A、B、C三点共线
B．A、B、D三点共线
C．A、C、D三点共线
D．B、C、D三点共线
【答案】C
【解题思路】根据向量⃗a,⃗b共线则⃗a= λ⃗b(λ∈R)判断即可.
【解答过程】对A，因为⃗AB =⃗e1+2⃗e2，⃗BC =−3⃗e1+2⃗e2，不存在实数λ使得⃗AB = λ⃗BC，故A、B、C三
点不共线，故A 错误；
对B，因为⃗AB =⃗e1+2⃗e2，⃗DA =3⃗e1−6⃗e2，不存在实数λ使得⃗AB = λ⃗DA，故A、B、D三点不共线，故
B 错误；
对C，因为⃗AC =⃗AB+⃗BC =−2⃗e1+ 4⃗e2，⃗DA =3⃗e1−6⃗e2，则⃗AC =−2
3⃗DA，故A、C、D三点共线，故
C 正确；
对D，因为⃗BC =−3⃗e1+2⃗e2，⃗BD =−⃗DA −⃗AB =⃗DA =−3⃗e1+6⃗e2−⃗e1−2⃗e2=−4⃗e1+ 4⃗e2，不存在实数
λ使得⃗BC = λ⃗BD，故B、C、D三点不共线，故D 错误.
故选：C.
8．（2025·福建泉州·模拟预测）已知向量e
→
1, e
→
2不共线，⃗AB = λ e
→
1+ e
→
2,⃗AC =2 e
→
1+ μ e
→
2，其中λ>0, μ>0
，若A ,B ,C三点共线，则2 λ+ μ的最小值为（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
【答案】B
【解题思路】由平面向量的共线定理可得λμ=2，再结合基本不等式即可求得答案.
【解答过程】因为A ,B ,C三点共线，所以存在实数k，使⃗AB =k⃗AC，即λ e
→
1+ e
→
2=k(2 e
→
1+ μ e
→
2)，
又向量e
→
1, e
→
2不共线，所以{
λ =2k ,
1= μk ,)，整理，得λμ=2，
由λ>0, μ>0，所以2 λ+ μ≥2❑√2 λμ= 4，
当且仅当2 λ = μ=2时，取等号，即2 λ+ μ的最小值为4.
故选：B．
二、多选题
9．（24-25 高一下·安徽·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．若|⃗a)>|⃗b)，则⃗a>⃗b
B．若⃗a=⃗b，则⃗a//⃗b
C．若⃗a ∥ ⃗b,⃗b ∥ ⃗c，则⃗a ∥ ⃗c
D．若⃗a=⃗b,⃗b=⃗c，则⃗a=⃗c
【答案】BD
【解题思路】根据平面向量的定义即可判断A，根据平面向量相等和向量平行的定义即可判断B；考虑到⃗
b=⃗0即可判断C，根据平面向量相等的定义即可判断D.
【解答过程】因为平面向量既有大小，又有方向，所以平面向量不能比较大小，故A 错误；
因为⃗a=⃗b表示两个平面向量大小相等，方向相同，而⃗a//⃗b只须两个平面向量方向相同或相反，所以如果⃗
a=⃗b，则⃗a//⃗b一定成立，故B 正确；
当⃗b=⃗0，则不能推出⃗a // ⃗c，故C 错误；
根据平面向量相等的定义可知D 正确.
故选：BD.
10．（24-25 高一下·广东揭阳·期末）如图，在平行四边形ABCD 中，E，F 分别是CD 边上的两个三等分
点，则下列选项正确的有（ ）
A．⃗EF = 1
3⃗AB
B．⃗AF = 1
3⃗AD+ 2
3⃗AC
C．⃗BE =⃗CB−⃗CE D．⃗
AD +⃗DC =⃗AB+⃗BC
【答案】ABD
【解题思路】根据向量的线性关系及加减法计算求解判断各个选项即可.
【解答过程】对于A，由题意知，E，F 分别是CD边上的两个三等分点，且⃗EF与⃗AB方向相同，则⃗
EF = 1
3⃗AB，故A 正确；
对于B，⃗AF =⃗AD +⃗D F =⃗AD + 2
3⃗DC =⃗AD + 2
3 (⃗AC −⃗AD)= 1
3⃗AD + 2
3⃗AC，故B 正确；
对于C，⃗CB−⃗CE =⃗EB，故C 错误；
对于D，⃗AD +⃗DC =⃗AC ，⃗AB+⃗BC =⃗AC，所以⃗AD +⃗DC =⃗AB+⃗BC，故D 正确．
故选:ABD．
11．（2024·辽宁·二模）△ABC的重心为点G，点O，P 是△ABC所在平面内两个不同的点，满足⃗
OP =⃗OA +⃗OB+⃗OC，则（ ）
A．O , P ,G三点共线
B．⃗OP =2⃗OG
C．2⃗OP =⃗AP+⃗BP+⃗CP
D．点P在△ABC的内部
【答案】AC
【解题思路】根据三角形重心的性质，向量共线的判定及向量的线性运算即可判断．
【解答过程】⃗OP =⃗OA +⃗OB+⃗OC =⃗OG+⃗GA +⃗OG+⃗GB+⃗OG+⃗GC
=3⃗OG+⃗GA +⃗GB+⃗GC，
因为点G为△ABC的重心，
所以⃗GA +⃗GB+⃗GC =⃗0，所以⃗OP =3⃗OG，
所以O , P ,G三点共线，故A 正确，B 错误；⃗
AP+⃗BP+⃗CP =⃗AO+⃗OP+⃗BO+⃗OP+⃗CO+⃗OP
=(⃗AO+⃗BO+⃗CO)+3⃗OP，
因为⃗OP =⃗OA +⃗OB+⃗OC，
所以(⃗AO+⃗BO+⃗CO)+3⃗OP =−⃗OP+3⃗OP =2⃗OP，即2⃗OP =⃗AP+⃗BP+⃗CP，故C 正确；
因为⃗OP =3⃗OG，
所以点P的位置随着点O位置的变化而变化，故点P不一定在△ABC的内部，故D 错误；
故选：AC．
三、填空题
12．（24-25 高一下·新疆喀什·阶段练习）在四边形ABCD中，有⃗AD =⃗BC，则四边形ABCD的形状为
.
【答案】平行四边形
【解题思路】根据向量相等的概念可得结果.
【解答过程】由⃗AD =⃗BC得，|⃗AD)=|⃗BC)，且AD∥BC，
四边形
∴
ABCD为平行四边形.
故答案为：平行四边形.
13．（2025 高一·全国·专题练习）已知对边不平行的四边形ABCD，点E , F分别在线段AD ,BC上，且⃗
EF = 2
3⃗AB+ 1
3⃗DC，则⃗DE =
⃗AE．
【答案】−2
【解题思路】先结合向量的线性运算得到3⃗EF =2⃗EA +2⃗AB+2⃗BF +⃗ED +⃗DC +⃗CF，结合
3⃗EF =2⃗AB+⃗DC，可得2⃗EA +2⃗BF +⃗ED +⃗CF =⃗0，再结合⃗EA与⃗ED共线，⃗BF与⃗CF共线，可得
2⃗EA +⃗ED =⃗0，从而得到⃗DE =−2⃗AE.
【解答过程】2⃗EF =2(⃗EA +⃗AB+⃗BF)，⃗EF =⃗ED +⃗DC +⃗CF，
两式相加可得3⃗EF =2⃗EA +2⃗AB+2⃗BF +⃗ED +⃗DC +⃗CF．
因为3⃗EF =2⃗AB+⃗DC，
所以2⃗EA +2⃗BF +⃗ED +⃗CF =⃗0.
又⃗EA与⃗ED共线，⃗BF与⃗CF共线，⃗BC ,⃗A D不共线，
所以2⃗EA +⃗ED =⃗0，2⃗BF +⃗CF =⃗0，
因此⃗DE =−2⃗AE．
故答案为：−2.
14．（2024·山西太原·三模）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222 年，赵爽为《周髀算
经》一书作序时，介绍了
勾股圆方图
，亦称
赵爽弦图
“
”
“
” (以直角三角形的斜边为边得到的正方形).
类比
赵爽弦图
，构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的
“
”
一个大等边三角形，且DF = AF，点P在AB上，BP =2 AP，点Q在△≝¿ 内 (含边界)一点，若⃗
PQ = λ⃗PD +⃗PA，则λ的最大值为
.
【答案】3
2
【解题思路】先利用向量线性运算得到⃗AQ = λ⃗PD，作出辅助线，得到DP// AH，且DP
AH = 2
3，从而得
到答案.
【解答过程】⃗PQ = λ⃗PD +⃗PA ⇒⃗PQ−⃗PA = λ⃗PD⇒⃗AQ = λ⃗PD，
取DE的中点H，连接AH，
因为BD = DE，故BD =2 HD，
又BP =2 AP，所以BP
AB = BD
BH = 2
3，故DP// AH，且DP
AH = 2
3，
所以λ的最大值为3
2，此时点Q与点H重合.
故答案为：3
2.
四、解答题
15．（24-25 高一下·广西南宁·开学考试）某人从点A 出发向东走了5 米到达点B，然后改变方向按东北方
向走了10 ❑√2米到达点C.
(1)在图中作出向量⃗AB ,⃗BC；（正方形小方格的边长是1 米）
(2)求向量⃗AC的模.
【答案】(1)作图见解析；
(2)5 ❑√13米.
【解题思路】（1）根据给定条件，作出图形.
（2）借助几何图形，利用勾股定理求出模长.
【解答过程】（1）作出向量⃗AB ,⃗BC，如图：
（2）依题意，⃗AC =⃗AB+⃗BC，向量⃗AC相当于从点A 出发向东走15 米，再向正北走10 米，
所以|⃗AC |=
❑√15
2+10
2=5 ❑√13（米）.
16．（24-25 高一下·广西钦州·阶段练习）化简：
(1)⃗AO+⃗BC +⃗OB；
(2)⃗DB+⃗CD +⃗BC；
(3)⃗AB−⃗BM +⃗BO−⃗MO．
【答案】(1)⃗AC
(2)⃗0
(3)⃗AB
【解题思路】利用平面向量的加减法运算法则计算即可.
【解答过程】（1）易知⃗AO+⃗BC +⃗OB =⃗AO+⃗OB+⃗BC =⃗AB+⃗BC =⃗AC；
（2）易知⃗DB+⃗CD +⃗BC =⃗DB+⃗BC +⃗CD =⃗DC +⃗CD =⃗0；
（3）易知⃗AB−⃗BM +⃗BO−⃗MO =⃗AB+⃗BO−(⃗BM +⃗MO)=⃗AO−⃗BO =⃗AB.
17．（24-25 高一下·全国·课后作业）如图所示，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形，在以
各顶点为起点和终点的非零向量中，写出（不含⃗AB）：
(1)与向量⃗AB相等的向量；
(2)与向量⃗AB共线的向量．
【答案】(1)ED
→，DC
→
(2)⃗ED，⃗DC，⃗EC，⃗BA，⃗DE，⃗CD，⃗CE．
【解题思路】（1）根据向量相等的概念直接求解；（2）根据共线向量的概念直接求解即可.
【解答过程】（1）因为四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形，
所以AB// EC，又AB = ED = DC，所以 ⃗AB =⃗ED =⃗DC，
与向量⃗AB相等的向量有ED
→
，DC
→
.
（2）与⃗AB共线的向量有⃗ED，⃗DC，⃗EC，⃗BA，⃗DE，⃗CD，⃗CE．
18．（24-25 高一下·重庆·阶段练习）设⃗e1，⃗e2是两个不共线的向量，已知⃗AB =2⃗e1−6⃗e2，⃗C B =⃗e1+2⃗e2
，⃗CD =2⃗e1−⃗e2.
(1)求证：A，B，D 三点共线；
(2)若⃗BF =3⃗e1−k⃗e2，且⃗BF //⃗BD，求实数k的值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)9.
【解题思路】（1）由平面向量的线性表示与共线定理，证明⃗AB、⃗BD共线，得出A，B，D 三点共线；
（2）由平面向量的共线定理列方程求出k的值.
【解答过程】（1）由⃗AB =2⃗e1−6⃗e2，⃗C B =⃗e1+2⃗e2，⃗CD =2⃗e1−⃗e2，
所以⃗BD =⃗CD−⃗C B =2⃗e1−⃗e2−(⃗e1+2⃗e2)=⃗e1−3⃗e2，
所以⃗AB =2⃗BD，
所以⃗AB、⃗BD共线，且有公共点B，
所以A，B，D 三点共线.
（2）由⃗BF =3⃗e1−k⃗e2，且⃗BF //⃗BD，
所以⃗BF = λ⃗BD，
即3⃗e1−k⃗e2= λ(⃗e1−3⃗e2)，
所以{
3= λ
−k =−3 λ)，所以{
λ =3
k =9)，
所以实数k的值为9.
19．（2025 高一·全国·专题练习）如图，在任意四边形ABCD中，E和F分别是AD和BC的中点．
(1)求证：2⃗EF =⃗AB+⃗DC；
(2)若A , D , E三点重合，你能得到什么结论？
(3)若C , D两点重合，你能得到什么结论？
【答案】(1)证明见解析
(2)⃗AF = 1
2 (⃗AB+⃗AC )
(3)⃗EF = 1
2⃗AB
【解题思路】（1）根据给定条件，利用同一向量的不同回路中的相反向量关系计算得证.
（2）作出图形，可得中线向量公式.
（3）利用向量共线，即可得中位线向量公式.
【解答过程】（1）由⃗EF =⃗EA +⃗AB+⃗BF ,⃗EF =⃗ED +⃗DC +⃗CF，得
2⃗EF =⃗EA +⃗AB+⃗BF +⃗ED +⃗DC +⃗CF，
由E和F分别是AD和BC的中点，得⃗EA +⃗ED =⃗BF +⃗CF =⃗0，
所以2⃗EF =⃗AB+⃗DC.
（2）当A , D , E三点重合，记为点A，如图，
在△ABC中，F是BC的中点，得⃗AF = 1
2 (⃗AB+⃗AC )，这是中线向量公式.
（3）当C , D两点重合，记为点C，
在△ABC中，E , F分别是AC和BC的中点，得⃗EF = 1
2⃗AB，这是中位线性质.
