专题4.4 平面向量基本定理及坐标表示（举一反三专项训练）
【全国通用】
目录
第一部分 题型专
练
【题型1 用基底表示向量】......................................................................................................................................1
【题型2 利用平面向量基本定理求参数】..............................................................................................................3
【题型3 向量共线（平行）的坐标表示】..............................................................................................................5
【题型4 平面向量数量积的坐标表示】..................................................................................................................7
【题型5 平面向量夹角、模长的坐标表示】.........................................................................................................8
【题型6 向量垂直的坐标表示】............................................................................................................................10
【题型7 由向量的坐标运算解决最值和范围问题】...........................................................................................11
第二部分 分层突破
A 组 基础跟踪练
B 组 培优提升练
【题型1 用基底表示向量】
1．（2025·海南三亚·一模）已知ABCD为平行四边形，E为CD的中点，记⃗AB =⃗a,⃗AD =⃗b，则⃗BE =
（ ）
A．⃗a+ 1
2⃗b
B．⃗a−1
2⃗b
C．−1
2⃗a+⃗b
D．−1
2⃗a−⃗b
【答案】C
【解题思路】根据平面向量线性运算法则计算可得.
【解答过程】因为E为CD的中点，所以⃗CE = 1
2⃗CD，
所以⃗BE =⃗BC +⃗CE =⃗BC + 1
2⃗CD =⃗AD−1
2⃗AB =−1
2⃗a+⃗b.
故选：C.
2．（2025·全国·模拟预测）在平行四边形ABCD中，⃗EB =2⃗AE ,⃗BF =⃗FC，记⃗AB =⃗a,⃗AD =⃗b，则⃗EF =
（ ）
A．2
3⃗a−1
2⃗b
B．2
3⃗a+ 1
2⃗b
C．1
3⃗a+ 1
2⃗b
D．1
2⃗a+ 2
3⃗b
【答案】B
【解题思路】由向量的线性运算，用⃗AB ,⃗AD表示⃗EF
【解答过程】因为⃗EB =2⃗AE ,⃗BF =⃗FC，则有⃗EB = 2
3⃗AB ,⃗BF = 1
2⃗BC = 1
2⃗AD，
所以⃗EF =⃗EB+⃗BF = 2
3⃗a+ 1
2⃗b.
故选：B．
3．（2025·辽宁·模拟预测）在△ABC中，⃗AC =3⃗AD，⃗BF =2⃗FD，则⃗CF =（ ）
A．4
9⃗BA −5
9⃗BC
B．1
3⃗BA −7
9⃗BC
C．4
9⃗BA −7
9⃗BC
D．4
9⃗BA −1
3⃗BC
【答案】C
【解题思路】利用平面向量的线性运算可得出⃗CF关于⃗BA、⃗BC的表达式.
【解答过程】如下图所示：
由题意得⃗CF =⃗BF −⃗BC = 2
3⃗BD−⃗BC = 2
3 (⃗BA +⃗AD)−⃗BC = 2
3(⃗BA + 1
3⃗AC)−⃗BC
= 2
3⃗BA + 2
9 (⃗BC −⃗BA)−⃗BC = 4
9⃗BA −7
9⃗BC.
故选：C.
4．（2025·甘肃庆阳·一模）在平行四边形ABCD 中，⃗AB =2⃗AE，⃗BF =2⃗BC，则⃗EF =（ ）
A．2⃗AB+ 1
2⃗AD
B．1
2⃗AB+ 1
2⃗AD
C．1
2⃗AB+2⃗AD
D．2⃗AB+2⃗AD
【答案】C
【解题思路】由平面向量的基本定理求解即可.
【解答过程】
如图：⃗EF =⃗EB+⃗BF = 1
2⃗AB+2⃗AD.
故选：C.
【题型2 利用平面向量基本定理求参数】
5．（2025·甘肃甘南·模拟预测）如图，在△ABC中，⃗BM =2⃗MC , N为线段AM上一点，且⃗
AN =(1−λ)⃗AB+ λ
3⃗AC，则实数λ的值为（ ）
A．3
4
B．2
5
C．5
6
D．6
7
【答案】D
【解题思路】先利用基底⃗AB，⃗AC表示⃗AM，再设⃗AN =t⃗AM，即可构造关于λ ,t的方程组.
【解答过程】因⃗BM =2⃗MC，则⃗BM = 2
3⃗BC，
故⃗AM =⃗AB+⃗BM =⃗AB+ 2
3⃗BC =⃗AB+ 2
3 (⃗AC −⃗AB)=1
3⃗AB+ 2
3⃗AC，
因A , N , M三点共线，故设⃗AN =t⃗AM，则⃗AN = t
3⃗AB+ 2t
3⃗AC，
因⃗AN =(1−λ)⃗AB+ λ
3⃗AC，则¿，解得λ= 6
7 ．
故选：D．
6．（2025·陕西铜川·模拟预测）在△ABC中，点D为线段BC的中点，点E满足⃗CE =2⃗EA，若⃗
AB = λ⃗AD + μ⃗BE，则λ+ μ的值为（ ）
A．1
2
B．1
4
C．−1
2
D．−1
4
【答案】D
【解题思路】利用平面向量基本定理根据题意将⃗AB用⃗AD ,⃗BE表示出来，从而可求出λ , μ，进而可求得结
果.
【解答过程】因为点D 为线段BC 的中点，点E 满足⃗CE =2⃗EA，
所以{⃗
AD = 1
2 (⃗AB+⃗AC )⃗
BE =⃗AE−⃗AB = 1
3⃗AC −⃗AB)
，所以{
2⃗AD =⃗AB+⃗AC
3⃗BE =⃗AC −3⃗AB)，
消去⃗AC，得2⃗AD−3⃗BE = 4⃗AB，
所以⃗AB = 1
2⃗AD−3
4⃗BE = λ⃗AD+ μ⃗BE，
所以λ= 1
2，μ=−3
4 ，所以λ+ μ=−1
4 ．
故选：D．
7．（2025·湖南邵阳·三模）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，点E满足⃗DC = 4⃗DE，⃗
OE = λ⃗AC + μ⃗BD，则λ−μ=（ ）
A．−1
4
B．−1
2
C．1
4
D．1
2
【答案】A
【解题思路】由平面向量的线性运算可得⃗OE = 1
8⃗AC + 3
8⃗BD，即可求出λ, μ的值，进而求出λ−μ.
【解答过程】因为⃗OE =⃗OC +⃗CE =⃗OC + 3
4⃗CD =⃗OC + 3
4 (⃗OD−⃗OC)
= 1
4⃗OC + 3
4⃗OD = 1
8⃗AC + 3
8⃗BD，
又因为⃗OE = λ⃗AC + μ⃗BD，
所以λ= 1
8 , μ= 3
8 , λ−μ= 1
8 −3
8 =−1
4 .
故选：A.
8．（2025·北京朝阳·二模）在矩形ABCD中，AB⊥AD , AD =2, AB = ❑√2，点E 为线段AD的中点，BE
与AC交于点F．设⃗AF =k1⃗e1+k2⃗e2(k1,k2∈R)，其中⃗e1,⃗e2分别是与⃗AB ,⃗AD方向相同的单位向量，则
（ ）
A．k1= 2
3 ,k2=
❑√2
3
B．k1=
❑√2
3 ,k2= 2
3
C．k1= 1
3 ,k2=
❑√2
3
D．k1= 1
3 ,k2= 2
3
【答案】B
【解题思路】利用向量的线性运算，用⃗e1,⃗e2来表示⃗AF，然后利用平面向量基本定理即可确定选项.
【解答过程】
在矩形ABCD中，因为点E 为线段AD的中点，所以AF
FC = AE
BC = 1
2 ⇒AF = 1
3 AC，
则有⃗AF = 1
3⃗AC = 1
3 (⃗AB+⃗AD)= 1
3⃗AB+ 1
3⃗AD，
因为AD =2, AB = ❑√2，⃗e1,⃗e2分别是与⃗AB ,⃗AD方向相同的单位向量,
所以⃗AD =2⃗e2,⃗AB = ❑√2⃗e1，
则⃗AF = 1
3⃗AB+ 1
3⃗AD =
❑√2
3⃗e1+ 2
3⃗e2，
又因为⃗AF =k1⃗e1+k2⃗e2(k1,k2∈R)，所以k1=
❑√2
3 ,k2= 2
3，
故选：B.
【题型3 向量共线（平行）的坐标表示】
9．（2025·河南·模拟预测）已知向量⃗a=(−2,3)，⃗b=(6,m)，若⃗a∥⃗b，则m=（ ）
A．−9
B．−4
C．4
D．9
【答案】A
【解题思路】由向量共线的坐标表示列出等式求解即可.
【解答过程】因为⃗a∥⃗b，
所以−2×m=3×6，
解得m= −9，
故选：A.
10．（2025·吉林长春·模拟预测）已知向量⃗a=(1,2),⃗b=(x , x
2)，则“x =2 是
”
“⃗a//⃗b 的（ ）
”
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解题思路】由向量平行可得x =2或x =0，根据充分条件、必要条件概念判断即可.
【解答过程】已知向量⃗a=(1,2),⃗b=(x , x
2)，
若⃗a//⃗b，则x
2=2 x，解得x =2或x =0，
所以“x =2 是
”
“⃗a//⃗b 的充分不必要条件
”
.
故选：A.
11．（2025·四川攀枝花·模拟预测）设向量⃗a=(m,2)，⃗b=(1,m+1)，且⃗a与⃗b的方向相反，则实数m的值为
（ ）
A．−2
B．1
C．−2或1
D．不存在
【答案】A
【解题思路】先根据向量共线求m的值，再根据两向量方向相反进行验证.
【解答过程】向量⃗a=(m,2)，⃗b=(1,m+1)，因为⃗a∥⃗b，所以m(m+ 1)=2×1，解得m=−2或m=1.
当m=1时，⃗a=(1,2)，⃗b=(1,2)，⃗a与⃗b的方向相同，舍去；
当m=−2时，⃗a=(−2,2)，⃗b=(1,−1)，⃗a与⃗b的方向相反，符合题意.
故选：A.
12．（2025·湖北·模拟预测）已知向量⃗a=(1,4),⃗b=(2, x)，若⃗b//(2⃗a+⃗b)，则x =（ ）
A．8
B．4
C．2
D．−8
【答案】A
【解题思路】根据平面向量共线的坐标公式计算即可.
【解答过程】2⃗a+⃗b=(4,8+ x)，由⃗b//(2⃗a+⃗b)得4 x =2(8+ x)，解得x =8．
故选：A．
【题型4 平面向量数量积的坐标表示】
13．（2025·广西南宁·模拟预测）若向量⃗a=(2,−3)，⃗b=(−1,2)，则⃗a⋅(⃗a+2⃗b)=（ ）
A．5
B．3
C．−5
D．−3
【答案】D
【解题思路】根据向量运算的坐标表示求解即可.
【解答过程】因为⃗a=(2,−3)，⃗b=(−1,2)，所以⃗a+2⃗b=(0,1)，
所以⃗a⋅(⃗a+2⃗b)=2×0+(−3)×1=−3，
故选：D.
14．（2025·全国·模拟预测）已知向量⃗a,⃗b满足⃗a=(2,1),⃗b=(−2,m)，若⃗a⋅⃗b=−5，则m=（ ）
A．−2
B．−1
C．1
D．2
【答案】B
【解题思路】利用向量数量积的定义，列出等式即可求出m的值．
【解答过程】因为⃗a⋅⃗b=−5，所以⃗a⋅⃗b=2×(−2)+m=−5，解得m=−1，
故选：B.
15．（24-25 高一下·江苏南京·期中）已知向量⃗a=(3,4)，⃗a−⃗b=(1,2)，则⃗a⋅⃗b=（ ）
A．5
B．14
C．−6
D．2❑√2
【答案】B
【解题思路】法一：根据向量线性运算与数量积的坐标运算直接计算；法二：利用转化法结合数量积的坐
标运算公式直接计算.
【解答过程】方法一：因为⃗a=(3,4)，⃗a−⃗b=(1,2)，所以⃗b=⃗a−(⃗a−⃗b)=(2,2)，
所以⃗a⋅⃗b=3×2+ 4×2=14；
方法二：由⃗a=(3,4)，⃗a−⃗b=(1,2)，
则⃗a⋅(⃗a−⃗b)=3×1+ 4×2=11，⃗a
2=3
2+ 4
2=25，
又⃗a⋅(⃗a−⃗b)=⃗a
2−⃗a⋅⃗b，
所以11=25−⃗a⋅⃗b，即⃗a⋅⃗b=14；
故选：B.
16．（2025·甘肃酒泉·模拟预测）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中
点，连接DE并延长到点F，使得DE = 1
3 EF，则⃗AF ⋅⃗BC的值为（ ）
A．3
4
B．1
8
C．−5
8
D．11
8
【答案】A
【解题思路】通过建立直角坐标系，根据题意求出向量⃗AF ，⃗BC的坐标，利用数量积的坐标运算求⃗
AF ⋅⃗BC的值即可.
【解答过程】如图，以BC所在直线为x轴，E为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，
由题意可得E (0,0)，B(−1
2 ,0)，C(
1
2 ,0)，A(0,
❑√3
2 )，
则D(−1
4 ,
❑√3
4 ),⃗DE =(
1
4 ,−
❑√3
4 )，⃗BC =(1,0)
设F (x , y)，由DE = 1
3 EF得，⃗EF =3⃗DE，
所以(x , y)=3(
1
4 ,−
❑√3
4 )=(
3
4 ,−3 ❑√3
4 )
所以F(
3
4 ,−3 ❑√3
4 )，所以⃗AF =(
3
4 ,−5 ❑√3
4 )，⃗BC =(1,0)
所以⃗AF ⋅⃗BC = 3
4 ×1+(−5 ❑√3
4 )×0= 3
4 .
故选：A.
【题型5 平面向量夹角、模长的坐标表示】
17．（2025·安徽合肥·二模）已知向量e
→
1=(1,0), e
→
2=(1,❑√3)，设a
→
= 4 e
→
1+ e
→
2,b
→
=3 e
→
1−e
→
2，则⃗a与⃗b的夹
角为（ ）
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．2π
3
【答案】C
【解题思路】由向量线性运算的坐标表示计算出a
→
,b
→
，再由数量积公式计算出夹角的余弦，结合角度范围
求出夹角.
【解答过程】因为e
→
1=(1,0), e
→
2=(1,❑√3)，
所以a
→
= 4 e
→
1+ e
→
2 =(4,0)+(1,❑√3)=(5,❑√3),b
→
=3 e
→
1−e
→
2=(3,0)−(1,❑√3)= (2,−❑√3)，
所以a
→
⋅b
→
=5×2+ ❑√3×(−❑√3)=7，|a
→)=
❑√5
2+(❑√3)
2=2❑√7,|b
→)=
❑√2
2+(−❑√3)
2= ❑√7，
设⃗a与⃗b的夹角为θ，则cosθ = a
→
⋅b
→
|a
→)|b
→)
=
7
2❑√7×❑√7 = 1
2，
又θ∈[0,π)，所以θ =π
3 ，即⃗a与⃗b的夹角为π
3 ．
故选：C．
18．（2025·陕西西安·模拟预测）已知向量 a
→
=(2,1),b
→
=(1,−1) ，若 |a
→
+ b
→|=|a
→
−m b
→| ，则 m=
（ ）
A．2
B．−1
C．2 或 −1
D．3
【答案】C
【解题思路】根据向量坐标运算结合模长公式计算求参.
【解答过程】因为a
→
+ b
→
=(3,0)，所以|a
→
+ b
→|=3.
因为a
→
−m b
→
=(2,1)−(m,−m)=(2−m,1+m)，
所以|a
→
−m b
→|=
❑√(2−m)
2+(1+m)
2=
❑√2m
2−2m+5.
因为|a
→
+ b
→|=|a
→
−m b
→|，所以❑√2m
2−2m+5=3，
解得m=2 或 m=−1，
故选：C.
19．（2025·全国·模拟预测）已知向量⃗a=(2,0)，⃗a−⃗b=(3,−❑√3)，则cos⟨⃗a−2⃗b,⃗a)=（ ）
A．−
❑√3
5
B．
❑√7
5
C．2❑√7
7
D．
❑√7
7
【答案】C
【解题思路】根据已知向量⃗a=(2,0)，⃗a−⃗b=(3,−❑√3)，利用向量减法求出⃗b和⃗a−2⃗b，再通过点积计算求
出(⃗a−2⃗b)⋅⃗a，通过模长计算求出|⃗a−2⃗b)和|⃗a)，利用向量夹角的余弦公式cos⟨⃗a−2⃗b,⃗a)= (⃗a−2⃗b)⋅⃗a
|⃗a−2⃗b)⋅|⃗a)
求解.
【解答过程】∵⃗a=(2,0),⃗a−⃗b=(3,−❑√3)，
∴⃗b=⃗a−(⃗a−⃗b)=(2−3,0−(−❑√3))=(−1,❑√3).
∴2⃗b=(−2,2❑√3).
∴⃗a−2⃗b=(2,0)−(−2,2❑√3)=(4 ,−2❑√3).
∴(⃗a−2⃗b)⋅⃗a=(4 ,−2❑√3)⋅(2,0)= 4×2+(−2❑√3)×0=8.
∴|⃗a)=
❑√2
2+0
2=2,|⃗a−2⃗b)=
❑√4
2+(−2❑√3)
2= ❑√28=2❑√7.
∴cos⟨⃗a−2⃗b,⃗a)= (⃗a−2⃗b)⋅⃗a
|⃗a−2⃗b)⋅|⃗a)
=
8
2❑√7⋅2 = 2❑√7
7
.
故选：C.
20．（2025·浙江·模拟预测）已知向量a
→
=(1,m+ 4),b
→
=(4,2)，若|⃗a+⃗b|=|⃗a−⃗b|，则|⃗a|=（ ）
A．5
B．3
C．❑√5
D．❑√3
【答案】C
【解题思路】首先利用等式求出向量a
→
,b
→
的数量积，然后根据数量积的值求出m，进而可求得向量a
→
的模.
【解答过程】因为|a
→
+ b
→)=|a
→
−b
→)，两边平方得：
a
→
2+ b
→
2+2 a
→
· b
→
= a
→
2+ b
→
2−2 a
→
· b
→
，
所以a
→
· b
→
=0.
所以1×4+2×(m+ 4)=0，解得m=−6.
所以a
→
=(1,−2)，所以|a
→)= ❑√1+ 4 = ❑√5.
故选：C.
【题型6 向量垂直的坐标表示】
21．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知向量⃗a=(2,m),⃗b=(1,−3)，且(⃗a+⃗b)⊥⃗b，则m=（ ）
A．−2
B．−1
C．1
D．4
【答案】D
【解题思路】由向量数量积的坐标表示，和垂直的坐标表示求解即可.
【解答过程】因为(⃗a+⃗b)⊥⃗b，
所以⃗a⋅⃗b+⃗b
2=0⇒⃗a⋅⃗b=−⃗b
2=−10,∴2−3m=−10
解得：m= 4，
故选：D.
22．（2025·河南·模拟预测）已知向量⃗a=(1,2)，⃗b=(1,−2)，若⃗a⊥(⃗a+ λ⃗b)，则实数λ=（ ）
A．3
5
B．1
C．5
3
D．2
【答案】C
【解题思路】利用向量线性运算的坐标表示，向量垂直的坐标表示列式求解.
【解答过程】向量⃗a=(1,2)，⃗b=(1,−2)，则⃗a+ λ⃗b=(1+ λ ,2−2 λ)，由⃗a⊥(⃗a+ λ⃗b)，
得⃗a⋅(⃗a+ λ⃗b)=1×(1+ λ)+2×(2−2 λ)=0，所以λ= 5
3.
故选：C.
23．（2025·湖南郴州·三模）在平面直角坐标系xOy 中，已知A(2,−1)，B(1,1)，⃗
OP = λ⃗OA +(2−λ)⃗OB，若⃗OP⊥⃗OB，则λ的值为（ ）
A．4
B．2
C．−2
D．−3
【答案】A
【解题思路】根据向量的坐标运算，可求出⃗OA =(2,−1)，⃗OB =(1,1)，⃗OP =(2+ λ，2−2 λ)，再根据向
量数量积的坐标运算，即可求解.
【解答过程】因为A(2,−1)，B(1,1)，所以⃗OA =(2,−1)，⃗OB =(1,1)，
又⃗OP = λ⃗OA +(2−λ)⃗OB，得⃗OP = λ(2,−1)+(2−λ)(1,1)=(2+ λ ,2−2 λ)，
又⃗OP⊥⃗OB，所以⃗OP⋅⃗OB =0，即(2+ λ)×1+(2−2 λ)×1= 4−λ =0，解得λ = 4.
故选A.
24．（2025·河南·一模）设向量⃗a=(−4,2)，⃗b=(1,−1)，若(⃗a+k⃗b)⊥(⃗a−k⃗b)(k >0)，则k =（ ）
A．❑√5
B．❑√10
C．5
D．10
【答案】B
【解题思路】利用平面向量的坐标表示求解向量的模长，再利用平面向量垂直的坐标表示建立方程，求解
参数即可.
【解答过程】由向量的模长公式得|⃗a)=2❑√5，|⃗b)= ❑√2，
因为(⃗a+k⃗b)⊥(⃗a−k⃗b)，所以(⃗a+ k⃗b)⋅(⃗a−k⃗b)=0，
则⃗a
2−k
2⃗b
2=|⃗a)
2−|⃗b)
2k
2=20−2k
2=0，解得k = ❑√10（负根舍去），故B 正确.
故选：B．
【题型7 由向量的坐标运算解决最值和范围问题】
25．（2025·江苏南京·二模）在四边形ABCD中，AB // DC，A =90
∘，AB = AD =2CD =2，E 是线段
AD中点，F是线段BE上的动点，则⃗FB⋅⃗FC的最小值为（ ）
A．−4
3
B．−5
4
C．−4
5
D．−7
9
【答案】C
【解题思路】建立坐标系，表示出A ,B ,C , D , E的坐标，根据F是线段BE上的动点用参数λ表示点F的函
数，从而题目可转换为关于λ的二次函数在闭区间上的最小值问题.
【解答过程】由题以点A为坐标原点，AB , AD为x , y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
因为AB = AD =2CD =2，E 是线段AD中点，
所以A (0,0),B (2,0),C (1,2), D (0,2), E (0,1)，
而F是线段BE上的动点，
从而可设⃗AF = λ⃗AB+(1−λ)⃗AE =(2 λ ,0)+(0,1−λ)=(2 λ ,1−λ), λ∈[0,1)，
所以点F的坐标是(2 λ ,1−λ)，
所以⃗FB =(2−2 λ ,−1+ λ),⃗FC =(1−2 λ ,1+ λ)，⃗
FB⋅⃗FC =(2−2 λ)(1−2 λ)+(−1+ λ)(1+ λ)
= 4 λ
2−6 λ+2+ λ
2−1=5 λ
2−6 λ+1=5(λ−3
5)
2
−4
5 , λ∈[0,1)，
所以当λ= 3
5时，⃗FB⋅⃗FC的最小值是−4
5 .
故选：C.
26．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知向量⃗a=(−1,❑√3),⃗b=(x , y)，若x>0, y <0，则⃗a⋅⃗b
|⃗b)
的取值范围是
（ ）
A．[−2,−1)
B．[−2,−❑√3)
C．(−❑√3,−1)
D．(−❑√3,−❑√2)
【答案】A
【解题思路】由向量夹角的公式变形后再讨论⃗a,⃗b夹角范围可得.
【解答过程】设向量⃗a,⃗b的夹角为θ，则⃗a⋅⃗b
|⃗b)
=|⃗a)cosθ =2cosθ，
设⃗a,⃗b的起点在原点，⃗a与x轴正方向的夹角为α
由tan α =
❑√3
−1 =−❑√3可得⃗a与x轴正方向的夹角为120°，
由x>0, y <0可得⃗b的终点在第四象限，当两向量反向共线时，夹角最大，
当⃗b的终点趋于x正方向时，夹角趋近于120°，
所以120
∘<θ≤180
∘，则−1≤cosθ<−1
2，所以−2≤⃗a⋅⃗b
|⃗b)
<−1．
故选：A.
27．（2025·甘肃甘南·模拟预测）如图，已知△ABC是边长为4 的等边三角形，点D 满足⃗
BD = λ⃗BC(0< λ<1)，E 为AC的中点，则⃗DB⋅⃗DE的取值范围为（ ）
A．[−9
4 ,4)
B．[−4,4)
C．[−9
4 ,4)
D．[−2,4 ]
【答案】A
【解题思路】以直线BC为x 轴，线段BC的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，先利用坐标表示相关向
量，再结合数量积的坐标表示和二次函数的性质计算可得.
【解答过程】以直线BC为x 轴，线段BC的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系xOy（如图所示），
则B(−2,0),C(2,0), A(0,2❑√3), E(1,❑√3)，
因为⃗BD = λ⃗BC(0< λ<1)，
则点D 在线段BC（不含端点）上，
设D( x ,0)，则−2< x<2,⃗DB =(−2−x ,0),⃗DE =(1−x ,❑√3)，
所以⃗DB⋅⃗DE =(−2−x)(1−x)= x
2+ x−2=(x + 1
2)
2
−9
4 (−2< x<2)，
所以当x =−1
2时，⃗DB⋅⃗DE取得最小值−9
4 ，
当x =2时，⃗DB⋅⃗DE = 4，
故⃗DB⋅⃗DE的取值范围为[−9
4 ,4).
故选：A．
28．（2025·安徽芜湖·模拟预测）莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应
用广泛．如图所示，分别以正三角形ABC 的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边
三角形即为菜洛三角形，已知正三角形ABC 的边长为1，点P 为´AB的中点，则⃗PC ⋅(⃗PA +⃗PB)的值为
（ ）
A．1
B．2−❑√3
C．1
2
D．
❑√3
2
【答案】B
【解题思路】根据题意，建立平面直角坐标系，求出相应向量的坐标，结合向量的数量积的坐标运算公
式，即可求解.
【解答过程】根据题意，以C为坐标原点，BC所在的直线为x轴，过点C且垂直于BC的直线为y轴，建立
平面直角坐标系，如图所示，
因为正△ABC的边长为1，且点P为´AB的中点，所以∠PCB =30
∘，
点P在以C为圆心，BC为半径的圆上，
则C(0,0),B(−1,0), A(−1
2 ,
❑√3
2 ), P(−
❑√3
2 , 1
2 ),
所以⃗PC =(
❑√3
2 ,−1
2 ),⃗PA =(
❑√3
2 −1
2 ,
❑√3
2 −1
2 ),⃗PB =(
❑√3
2 −1,−1
2 )，
则⃗PA +⃗PB =(❑√3−3
2 ,
❑√3
2 −1)，
所以⃗PC ⋅(⃗PA +⃗PB)=
❑√3
2 ×(❑√3−3
2 )−1
2 ×(
❑√3
2 −1)=2−❑√3.
故选：B.
A 组 基础跟踪练
一、单选题
1．（2026·陕西宝鸡·一模）已知点O(0,0)，向量⃗OA =(2,3)，⃗OB =(8,−3)，⃗AP =2⃗PB，则P 点坐标为
（ ）
A．(6,−1)
B．(6,1)
C．(4 ,−1)
D．(4,1)
【答案】A
【解题思路】利用向量线性运算的坐标表示求出OP
→
即可.
【解答过程】向量⃗OA =(2,3)，⃗OB =(8,−3)，⃗AP =2⃗PB，可得：OP
→
−OA
→
=2(OB
→
−OP
→),
则OP
→
= 2
3 OB
→
+ 1
3 OA
→
= 2
3
(8,−3)+ 1
3 (2,3)=(6,−1),
因为点O(0,0)，则P 点坐标为(6,−1)
故选：A.
2．（2026·广西南宁·一模）已知向量a
→
=(x ,1)，b
→
=(7 , x−8)．若a
→
⊥b
→，则x＝（ ）
A．8
B．−1
C．7
D．1
【答案】D
【解题思路】根据平面向量垂直的坐标表示，列出方程，即可求出x的值.
【解答过程】由题可知，a
→
· b
→
=7 x + x −8=8 x −8=0，解得x =1.
故选：D.
3．（2025·河北沧州·一模）已知向量⃗AB =(m,2),⃗BC =(2,−1).若⃗AB //⃗BC，则|⃗AC)=（ ）
A．❑√5
B．5
C．3 ❑√5
D．45
【答案】A
【解题思路】利用向量平行的坐标运算得出m=−4，再根据向量线性运算的坐标表示以及求模公式计算.
【解答过程】由题意可得，m×(−1)=2×2，得m=−4，则⃗AB =(−4,2)，
所以⃗AC =⃗AB+⃗BC =(−4,2)+(2,−1)=(−2,1)，则|⃗AC)=
❑√(−2)
2+1
2= ❑√5.
故选：A.
4．（2026·重庆九龙坡·一模）已知平面向量⃗a=(1,2),⃗b=(−1,3)，若( λ⃗a+⃗b)⊥( λ⃗a−⃗b)，则λ=（ ）
A．±2
B．± 1
2
C．±
❑√2
2
D．± ❑√2
【答案】D
【解题思路】根据条件，可得λ⃗a+⃗b，λ⃗a−⃗b的坐标，根据向量垂直坐标的关系，代入求解，即可得答案.
【解答过程】因为⃗a=(1,2),⃗b=(−1,3)，
所以λ⃗a+⃗b=( λ−1,2 λ+3), λ⃗a−⃗b=( λ+1,2 λ−3)，
因为( λ⃗a+⃗b)⊥( λ⃗a−⃗b)，
所以( λ−1)( λ+1)+(2 λ+3)(2 λ−3)=0，解得λ =± ❑√2.
故选：D.
5．（2026·河北沧州·一模）在△ABC中，点D在边AB上，BD =3 DA，记⃗CB = x⃗CA + y⃗CD，则x , y分
别是（ ）
A．4 ,−3
B．−3，4
C．4，3
D．3，4
【答案】B
【解题思路】利用向量的线性运算求解.
【解答过程】如图，
⃗
CD =⃗CA +⃗AD =⃗CA + 1
4⃗AB =⃗CA + 1
4 (⃗CB−⃗CA)=⃗CA + 1
4⃗CB−1
4⃗CA = 3
4⃗CA + 1
4⃗CB，
∴⃗CB =−3⃗CA + 4⃗CD，则x =−3, y = 4.
故选：B.
6．（2025·云南楚雄·模拟预测）已知向量⃗a=(4 m,1),⃗b=(9,m)，则“⃗a ∥ ⃗b 是
”
“m= 3
2 的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解题思路】根据共线向量的坐标表示，以及充分、必要条件的判定方法，即可求解.
【解答过程】若m= 3
2，则⃗a=(6,1),⃗b=(9, 3
2)，此时⃗b= 3
2⃗a，所以⃗a ∥ ⃗b；
若⃗a ∥ ⃗b，则由向量共线定理可得4 m
2−9=0，解得m= 3
2或m=−3
2.
因此，“⃗a ∥ ⃗b 是
”
“m= 3
2 的必要不充分条件
”
.
故选：B.
7．（2025·广东江门·模拟预测）已知向量⃗a,⃗b分别表示位移向北偏东
“
60
∘方向2km
向东偏南
”“
30
∘方向3km
，则向量
”
3⃗a−2⃗b表示位移（ ）
A．向正北方向6km
B．向正南方向6km
C．向西北方向6 ❑√2km
D．向东南方向6 ❑√2km
【答案】A
【解题思路】建立平面直角坐标系，得⃗a=(❑√3,1),⃗b=(
3 ❑√3
2
,−3
2)进行求解即可．
【解答过程】建立平面直角坐标系：
则⃗a=(❑√3,1),⃗b=(
3 ❑√3
2
,−3
2)，得3 a
→
−2b
→
=(3 ❑√3,3)−(3 ❑√3,−3)=(0,6)，
则向量3⃗a−2⃗b表示位移：向正北方向6km．
故选：A.
8．（2026·河北邯郸·模拟预测）已知向量⃗a=(x +1, x),⃗b=(x ,2)，则下列结论正确的是（ ）
A．“⃗a⊥⃗b 的必要条件是
”
“x =−3”
B．“a
→
// b
→的必要条件是
”
“x =1−❑√3”
C．“⃗a⊥⃗b 的充分条件是
”
“x =3”
D．“a
→
// b
→的充分条件是
”
“x =1+ ❑√3”
【答案】D
【解题思路】通过集合间关系与充分必要条件的联系判断选项A、B；通过充分条件的定义判断C、D.
【解答过程】若a
→
⊥b
→
，则a
→
· b
→
=(x +1) x +2 x =0，解得x =0或x =−3，
若a
→
// b
→
，则(x +1)×2−x
2=0，解得x =1± ❑√3，
对于A：因为{−3)⫋{0,−3)，所以“x =−3 是
”
“a
→
⊥b
→的充分不必要条件，
”
A 错误；
对于B：因为{1−❑√3)⫋{1−❑√3,1+ ❑√3)，所以“x =1−❑√3 是
”
“a
→
// b
→的充分不必要条件，
”
B 错误；
对于C：当x =3时，a
→
=(4,3),b
→
=(3,2)，所以a
→
· b
→
= 4×3+3×2=18≠0，
所以a
→
与b
→
不垂直，即“x =3 不是
”
“a
→
⊥b
→
的充分条件，
”
C 错误；
对于D：当x =1+ ❑√3时，a
→
=(2+ ❑√3,1+ ❑√3),b
→
=(1+ ❑√3,2)，
因为(2+ ❑√3)×2−(1+ ❑√3)
2=0，所以a
→
// b
→
，即“x =1+ ❑√3 是
”
“a
→
// b
→
的充分条件，
”
D 正确；
故选：D.
二、填空题
9．（2026·重庆·模拟预测）若向量a
→
=(2,−1),b
→
=(1, y )，a
→
⊥( a
→
−b
→
)，则|⃗b|= .
【答案】❑√10
【解题思路】由向量垂直得数量积为0，求出y，再计算b⃗即可得出结果.
【解答过程】因为a
→
=(2,−1),b
→
=(1, y )，则a
→
−b
→
=(1,−1−y )，
又因为a
→
⊥( a
→
−b
→
)，
所以2×1+(−1)(−1−y)=0，解得y =−3.
所以b
→
=(1,−3)，|b
→
|= ❑√1+9= ❑√10，
故答案为：❑√10.
10．（2026·甘肃陇南·模拟预测）已知a∈R，向量⃗m=(6,a)，⃗n=(a−1,5)，若⃗m⊥⃗n，则a 的值为
．
【答案】6
11
【解题思路】根据条件得出两个向量的数量积为0，再使用向量数量积的坐标运算解决即可.
【解答过程】由⃗m⊥⃗n，得⃗m⋅⃗n=0，即6a−6+5a=0，解得a= 6
11．
故答案为：6
11.
11．（2026·河北沧州·一模）已知向量⃗p=(2 x +1,3 x)，⃗q =(2,2 x)，若⃗p//⃗q，且|⃗p)<|⃗q)，则
(⃗p+⃗q)⋅(⃗p−⃗q)= ．
【答案】−3
【解题思路】根据⃗p//⃗q求出x的值，结合|⃗p)<|⃗q)进行验证，最后代入求值即可.
【解答过程】因为⃗p//⃗q，所以(2 x +1)⋅2 x−3 x⋅2=0，即4 x (x−1)=0，解得x =0或x =1.
当x =0时，⃗p=(1,0)，⃗q =(2,0)，此时|⃗p)=1，|⃗q)=2，满足|⃗p)<|⃗q)；
当x =1时，⃗p=(3,3)，⃗q =(2,2)，此时|⃗p)=3 ❑√2，|⃗q)=2❑√2，不满足|⃗p)<|⃗q)，舍去；
因此x =0，⃗p=(1,0)，⃗q =(2,0)，
所以(⃗p+⃗q)⋅(⃗p−⃗q)=|⃗p)
2−|⃗q)
2=1−4 =−3．
故答案为：−3.
12．（2025·广东江门·二模）设向量⃗OA =(1, x),⃗OB =(2, x)，则cos〈⃗OA ,⃗OB 〉的最小值为
.
【答案】2❑√2
3
【解题思路】先求得cos〈⃗OA ,⃗OB 〉的表达式，再利用换元法并结合二次函数的性质即可求得其最小值.
【解答过程】cos〈⃗OA ,⃗OB 〉=
2+ x
2
❑√(x
2+1)(x
2+ 4)
，令2+ x
2=t(t ≥2)，则x
2=t −2，
所以
cos〈⃗OA ,⃗OB 〉=
t
❑√(t −1)(t +2) =
1
❑√
1+ 1
t −2
t
2
=
1
❑√
−2(
1
t −1
4)
2
+ 9
8
，
当1
t = 1
4 ，即t = 4 , x
2=2时，cos〈⃗OA ,⃗OB 〉取得最小值，且最小值为2❑√2
3
．
故答案为：2❑√2
3
.
B 组 培优提升练
一、单选题
1．（2025·河北衡水·模拟预测）已知向量⃗a=(1,2),⃗b=(2,3)，则下列结论不正确的是（ ）
A．(⃗b−⃗a)⋅⃗a=3
B．(⃗a+⃗b)⊥(21⃗a−13⃗b)
C．|2⃗b−⃗a)=2❑√6
D．⃗b在⃗a方向上的投影向量为(
8
5 , 16
5 )
【答案】C
【解题思路】根据向量减法的坐标运算求出⃗b−⃗a，再根据向量的数量积运算判断A；根据向量加减的坐标
运算求出⃗a+⃗b,21⃗a−13⃗b，再根据数量积是否为0 判断B；根据向量模长的计算公式判断C；根据投影向
量的计算公式判断D.
【解答过程】对于A，因为⃗a=(1,2),⃗b=(2,3)，所以⃗b−⃗a=(1,1)，所以(⃗b−⃗a)⋅⃗a=1×1+1×2=3，故A
正确；
对于B，因为⃗a=(1,2),⃗b=(2,3)，所以⃗a+⃗b=(3,5)，21⃗a−13⃗b=(−5,3)，
所以(⃗a+⃗b)⋅(21⃗a−13⃗b)=3×(−5)+5×3=0，故B 正确；
对于C，因为⃗a=(1,2),⃗b=(2,3)，所以2⃗b−⃗a=(3,4)，所以|2⃗b−⃗a)=
❑√3
2+ 4
2=5，故C 错误；
对于D，因为⃗a=(1,2),⃗b=(2,3)，所以|⃗a)=
❑√1
2+2
2= ❑√5，⃗a⋅⃗b=1×2+2×3=8，⃗
b在⃗a方向上的投影向量为⃗a⋅⃗b
|⃗a)
2 ·⃗a= 8
5 ·(1,2)=(
8
5 , 16
5 )，故D 正确.
故选：C.
2．（2025·重庆·模拟预测）已知⃗a，⃗b,⃗e都是平面向量，|⃗e)=1，若⃗a⋅⃗e =1，⃗b⋅⃗e =2，|a
→
+ b
→)= ❑√13，则
a
→
⋅b
→
取得最大值时，|a
→
−b
→)=（ ）
A．1
B．3
C．5
D．6
【答案】A
【解题思路】本题可先设出向量坐标，再根据已知条件求出向量⃗a、⃗b坐标的关系，进而求出⃗a⋅⃗b的最大
值，最后计算|⃗a−⃗b).
【解答过程】|⃗e)=1，设⃗e =(1,0),⃗a=(x1, y1)，⃗b=(x2, y2).
已知⃗a⋅⃗e =1，⃗b⋅⃗e =2，
可得： ⃗a⋅⃗e = x1×1+ y1×0= x1=1，⃗
b⋅⃗e = x2×1+ y2×0= x2=2，
所以⃗a=(1, y1)，⃗b=(2, y2)，则 ⃗a+⃗b=(1+2, y1+ y2)=(3, y1+ y2).
已知|⃗a+⃗b)= ❑√13，则： |⃗a+⃗b)= ❑√3
2+( y1+ y2)
2= ❑√13.
即9+( y1+ y2)
2=13，化简可得( y1+ y2)
2= 4，
所以4 =( y1+ y2)
2= y1
2+2 y1 y2+ y2
2≥4 y1 y2，
即y1 y2≤1，当且仅当y1= y2=1或y1= y2=−1时等号成立，⃗
a⋅⃗b=1×2+ y1 y2=2+ y1 y2，此时⃗a⋅⃗b=2+1=3取得最大值.
当y1= y2=1或y1= y2=−1时，⃗a−⃗b=(1−2, y1−y2)=(−1,0).
根据向量模长公式可得|⃗a−⃗b)=
❑√(−1)
2+0
2=1.
故选：A.
3．（2025·山西太原·模拟预测）设向量⃗a=(k ,2)，⃗b=(1,−1)，则下列说法错误的是（ ）
A．若k <−2，则⃗a与⃗b的夹角为钝角
B．若⃗a⊥⃗b，则k =2
C．若|⃗a)=2|⃗b)，则k =2或k =−2
D．与⃗b共线的单位向量有且只有(
❑√2
2 ,−
❑√2
2 )
【答案】D
【解题思路】利用单位向量的定义，平面向量的线性运算和数量积运算，逐一分析各个选项即可得解．
【解答过程】对于A，若⃗a与⃗b的夹角为钝角，则⃗a⋅⃗b<0且⃗a与⃗b不共线，
又⃗a=(k ,2)，⃗b=(1,−1)，则{
k −2<0
−k ≠2 )，解得k <2且k ≠−2，所以当k <−2时，⃗a与⃗b的夹角为钝角，故A
正确；
对于B，因为⃗a⊥⃗b，所以⃗a⋅⃗b=k −2=0，得k =2，故B 正确；
对于C，由|⃗a)=2|⃗b)=2❑√2，即|⃗a)=
❑√k
2+ 4 =2❑√2，解得k =±2，故C 正确．
对于D，易得|⃗b)= ❑√2，与⃗b共线的单位向量为±⃗b
|⃗b)
，即与⃗b共线的单位向量为(
❑√2
2 ,−
❑√2
2 )或
(−
❑√2
2 ,
❑√2
2 )，故D 错误；
故选：D．
4．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知△ABC中，O是BC边上靠近B的三等分点，过点O的直线分别
交直线AB , AC于不同的两点M , N，设⃗AB =m⃗AM ,⃗AC =n⃗AN，其中m>0,n>0，则1
m + 1
n的最小值是
（ ）
A．4
B．3
2 + ❑√2
C．1+ 2❑√2
3
D．3+2❑√2
【答案】C
【解题思路】利用向量的线性运算，再结合三点共线的性质，即可得1
3 n+ 2
3 m=1，然后利用代换，结合
基本不等式即可求得最小值.
【解答过程】
由O是BC边上靠近B的三等分点，
可得：⃗OC =2⃗BO⇒⃗AC −⃗AO =2(⃗AO−⃗AB)⇒⃗AO = 1
3⃗AC + 2
3⃗AB，
又因为⃗AB =m⃗AM ,⃗AC =n⃗AN，所以⃗AO = 1
3 n⃗AN + 2
3 m⃗AM，
又因为M , N ,O三点共线，所以1
3 n+ 2
3 m=1
又因为m>0,n>0，
所以1
m + 1
n =(
1
m + 1
n)(
n
3 + 2m
3 )=1+ n
3m + 2m
3n ≥1+2❑√
n
3m ⋅2 m
3n =1+ 2❑√2
3
，
当且仅当n
3m = 2m
3n ，即m= 3(2−❑√2)
2
,n=3(❑√2−1)时取得等号，
所以1
m + 1
n的最小值为1+ 2❑√2
3
，
故选：C.
5．（2025·安徽·二模）如图，正方形ABCD的边长为2，E为边BC的中点，F为边CD上一点，当⃗
AE⋅⃗AF取得最大值时，tan∠EAF =（ ）
A．1
B．2
3
C．1
3
D．1
4
【答案】C
【解题思路】建立平面直角坐标系，设|⃗DF)= x，则F (x ,2)，0≤x ≤2，利用平面向量数量积的运算性质
可得出⃗AE⋅⃗AF的最大值及其对应的x值，可得出∠BAF =π
4 ，再利用两角差的正切公式可求得
tan∠EAF的值.
【解答过程】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系如图所
示，
则A (0,0)、E (2,1)，设|⃗DF)= x，则F (x ,2)，0≤x ≤2，故⃗AF =(x ,2)，⃗AE =(2,1).
所以⃗AE⋅⃗AF =(2,1)⋅(x ,2)=2 x +2，当x =2时，⃗AE⋅⃗AF取得最大值，
此时点F (2,2)，即点F与点C重合，且∠BAF =π
4 ，
此时tan∠EAF =tan(
π
4 −∠BAE)=
tanπ
4 −tan ∠BAE
1+ tanπ
4
tan ∠BAE
=
1−1
2
1+ 1
2
= 1
3.
故选：C.
6．（2025·山东·三模）如图是八卦图以及根据八卦图抽象得到的正八边形ABCDEFGH，若⃗
HA ⋅⃗HE +⃗FE⋅⃗HE +⃗GF ⋅⃗HE = 3 ❑√2+ 4
2
，则正八边形的边长为（ ）
A．2❑√2
B．❑√2
C．2
D．1
【答案】D
【解题思路】以点A为坐标原点，AB , AF分别为x , y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设正八边形边
长为a，表示出各个点的坐标，进一步表示出⃗HA ⋅⃗HE +⃗FE⋅⃗HE +⃗GF ⋅⃗HE，从而列方程求解a.
【解答过程】以点A为坐标原点，AB , AF分别为x , y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设正八边形的
边长为a，
因为正八边形的外角为2π
8 =π
4 ，所以A (0,0)，B (a,0)，C((1+
❑√2
2 )a,
❑√2
2 a)，
D((1+
❑√2
2 )a,(1+
❑√2
2 )a)，E(a,(❑√2+1)a)，F(0,(❑√2+1)a)，
G(−
❑√2
2 a,(1+
❑√2
2 )a)，H(−
❑√2
2 a,
❑√2
2 a)，⃗
HA =(
❑√2
2 a,−
❑√2
2 a),⃗HE =((1+
❑√2
2 )a,(1+
❑√2
2 )a),⃗FE =(a,0)，⃗
GF =(
❑√2
2 a,
❑√2
2 a)，
所以⃗HA +⃗FE +⃗GF =((❑√2+1)a,0)，
因为⃗HA ⋅⃗HE +⃗FE⋅⃗HE +⃗GF ⋅⃗HE = 3 ❑√2+ 4
2
，
而⃗HA ⋅⃗HE +⃗FE⋅⃗HE +⃗GF ⋅⃗HE =(⃗HA +⃗FE +⃗GF)⋅⃗HE =
❑√2
2 (❑√2+1)
2a
2，
故
❑√2
2 (❑√2+1)
2a
2= 3 ❑√2+ 4
2
，解得a=1.
故选：D.
二、填空题
7．（2025·重庆·三模）已知矩形ABCD的边AB =3，AD =2，点P，Q 分别在边BC ,CD上，若
∠PAQ =π
3 ，则⃗AP⋅⃗AQ的最小值为
.
【答案】12(2−❑√3)
【解题思路】以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，设∠PAB=θ，表示出⃗AP⋅⃗AQ，用基本不等式求
最小值.
【解答过程】
以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(3,0)，D(0,2)．
设∠PAB=θ，则P =(3,3 tanθ)，Q =(2tan(π
6 −θ),2)，
则⃗AP =(3,3 tanθ)，⃗AQ =(2tan(π
6 −θ),2)，0≤tanθ≤
❑√3
3 ．
因为⃗AP⋅⃗AQ =6 tan(π
6 −θ)+6 tanθ =
6(
❑√3
3 −tanθ)
1+
❑√3
3 tanθ
+6 tanθ = 6 ❑√3−18 tanθ
3+ ❑√3 tanθ
+6 tanθ
=
24 ❑√3
3+ ❑√3 tanθ −6 ❑√3+6 tanθ =
24 ❑√3
3+ ❑√3 tanθ +2❑√3(❑√3 tanθ+3)−12❑√3
≥2❑√
24 ❑√3
3+ ❑√3 tanθ ×2❑√3(❑√3 tanθ+3)−12❑√3=24−12❑√3=12(2−❑√3)．
当且仅当
24 ❑√3
3+ ❑√3 tanθ =2❑√3(❑√3 tanθ+3)，即tanθ =2−❑√3时，＝成立，
“
”
所以⃗AP⋅⃗AQ的最小值为12(2−❑√3)．
故答案为：12(2−❑√3).
8．（2025·天津·一模）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD =π
3
,| AB|=3,| AD|=2，点E 为BC
中点，⃗CG = 1
3⃗CD，点F 为边AD上的点．若点F 满足⃗AF = 1
4⃗AD，且⃗EF = λ⃗AB+ μ⃗AD，则λ+ μ=
；若点F 为线段AD上的动点，则⃗EF ⋅⃗FG的取值范围为
．
【答案】−5
4 ；[−12,−5)
【解题思路】由题意得⃗EF = λ⃗AB+ μ⃗AD =−⃗AB−1
4⃗AD，从而λ+ μ=−5
4 ；对于第二问，设⃗
AF = λ⃗AD , λ∈[0,1)，首先分解⃗EF ,⃗FG，然后由数量积的运算律转换成关于λ的二次函数在闭区间上的
值域即可求解.
【解答过程】由题意⃗EF = λ⃗AB+ μ⃗AD =⃗EB+⃗BA +⃗AF =−1
2⃗AD−⃗AB+ 1
4⃗AD =−⃗AB−1
4⃗AD
所以λ+ μ=−(1+ 1
4)=−5
4 ，
设⃗AF = λ⃗AD , λ∈[0,1)，⃗
EF =⃗EB+⃗BA +⃗AF =−1
2⃗AD−⃗AB+ λ⃗AD =−⃗AB+(λ−1
2)⃗AD，⃗
FG =⃗FD+⃗DG = 2
3⃗AB+(1−λ)⃗AD，⃗
EF ⋅⃗FG =[−⃗AB+(λ−1
2)⃗AD)[
2
3⃗AB+(1−λ)⃗AD)
=−2
3⃗AB
2+(λ−1
2)(1−λ)⃗AD
2+(
5
3 λ−4
3)⃗AB⋅⃗AD，
=−6+ 4(−λ
2+ 3
2 λ−1
2)+5 λ−4 =−4 λ
2+11 λ−12, λ∈[0,1)，
设y =−4 λ
2+11 λ−12, λ∈[0,1)，对称轴是λ= 11
8 >1，
故y =−4 λ
2+11 λ−12, λ∈[0,1)单调递增，
从而当点F 为线段AD上的动点时，⃗EF ⋅⃗FG的取值范围为[−12,−5).
故答案为：−5
4 ；[−12,−5).
